4.3 直线与直线、直线与平面的位置关系（5知识点+7题型+强化训练）-【帮课堂】2024-2025学年高一数学同步学与练（湘教版2019必修第二册）

4.3 直线与直线、直线与平面的位置关系 课程标准 学习目标 （1）掌握直线与直线的位置关系； （2）掌握直线与平面的位置关系. （1）理解异面直线的概念，会求异面直线所成的角； （2）会证明直线平行、垂直的位置关系； （3）掌握直线与平面的位置关系； （4）会证明直线与平面平行、垂直的位置关系（难点) 知识点01 平行直线 1空间直线的位置关系 2 平行直线 (1) 基本事实4：平行与同一条直线的两条直线平行. (2) 这性质通常叫做平行线的传递性.符号表述：. （3）等角定理:如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补. 【即学即练1】 （24-25高一下·全国·课后作业）若，，且，则等于（    ） A． B． C．或 D．不能确定 【答案】C 【分析】根据空间等角定理判断即可. 【详解】因为，，且， 所以 或 . 故选：C 知识点02 异面直线 1异面直线: ① 定义:不同在任何一个平面内的两条直线； ② 图形语言 ③ 符号语言 2 异面直线所成的角 (1) 范围:；当两直线平行时，它们所成的角为. (2) 作异面直线所成的角:平移法. 如图，在空间任取一点，过作，则所成的角为异面直线所成的角.特别地，找异面直线所成的角时，经常把一条异面直线平移到另一条异面直线的特殊点(如线段中点，端点等)上，形成异面直线所成的角. 3 直线与直线垂直 如果两条异面直线所成的角是直角，那么我们就说两条异面直线相互垂直，记作. 【即学即练2】 （2025·上海·模拟预测）如图，是正四棱台，则下列各组直线中属于异面直线的是（   ）．    A．和； B．和； C．和； D．和． 【答案】D 【分析】根据棱台的性质及直线与直线的位置关系即可判断. 【详解】因为是正四棱台，所以，故A错误， 侧棱延长交于一点，所以与相交，故B错误， 同理与也相交，所以四点共面，所以与相交，故C错误， 与是异面直线，故D正确. 故选：D 知识点03 空间中直线与平面的位置关系 1 直线与平面的位置关系 (1) 直线与平面的位置关系 当直线与平面相交或平行时，直线不在平面内，也称为直线在平面外. (2) 图形语言 【即学即练3】 （2024高三·全国·专题练习）已知直线与直线平行，直线与平面平行，则直线b与平面的关系为（   ） A．平行 B．相交 C．直线在平面内 D．平行或直线在平面内 【答案】D 【分析】根据空间中线面位置关系的基本事实直接判断选项即可. 【详解】依题意，直线必与平面内的某直线平行， 又，因此直线与平面的位置关系是平行或直线在平面内． 故选：D 知识点04直线与平面平行 1 定义 直线与平面无交点. 2 判定定理 如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行. 3 性质定理 一条直线与一个平面平行，如果过该直线的平面与此平面相交，那么该直线与交线平行. 【即学即练4】 （21-22高三上·陕西西安·期中）如图，在正方形中，分别是的中点，则直线与平面的位置关系是（    ） A．垂直 B．平行 C．相交但不垂直 D．无法确定 【答案】B 【分析】连接，设，连接,，证明四边形为平行四边形可得,从而即可证明 平面. 【详解】连接交于，连接，，，而，分别是，的中点， 所以，即，且，即， 则四边形为平行四边形，故，由平面平面，则 平面. 故选：B. 知识点05 直线与平面垂直 1 定义 若一条直线垂直于平面内的任意一条直线，则这条直线垂直于平面. 符号表述:若任意都有，则 2 判定定理 如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直. 符号表述: (线线垂直线面垂直) 3 性质定理 垂直同一平面的两直线平行 符号表述：. 【即学即练5】 （2024高二上·黑龙江·学业考试）如图，在正方体中，与平面垂直的直线是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接，，即可证明平面，从而得到，同理可证，即可得到平面. 【详解】连接，，由正方体的性质可知，平面， 又平面，所以， 又，平面，所以平面， 又平面，所以， 同理可证平面，又平面，所以， 又，平面，所以平面，故D正确； 显然与不垂直，平面，所以不垂直平面，故A错误； 显然与不垂直，平面，所以不垂直平面，故B错误； 显然与不垂直，平面，所以不垂直平面，故C错误； 故选：D 知识点06 直线与平面所成的角 1 定义 如下图，平面的一条斜线(直线)和它在平面上的射影()所成的角，叫做这条直线和这个平面所成的角. 一条直线垂直平面，则；一条直线和平面平行或在平面内，则. 2 范围 直线和平面所成的角的取值范围是. 【即学即练6】 （2022高二下·河北·学业考试）如图，在正方体中，分别为棱，的中点.直线与平面所成角的正弦值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】作出线面角，解直角三角形求得线面角的最小值. 【详解】设是的中点，连接， 由于，所以平面，平面，， 且是直线与平面所成角. 设正方体的边长为，则， 所以. 故选：D 【题型一：等角定理的运用】 例1．（19-20高一下·全国·课后作业）如图在四面体 中，，，，， 分别是 ，，，， 的中点，则下列说法中不正确的是（    ） A．，， ， 四点共面 B． C． D．四边形 为梯形 【答案】D 【分析】利用中位线定理和等角定理即可解决. 【详解】由图可知，在中，,,分别是 ,的中点， 所以 且， 同理在中， 且， 所以 所以四边形为平行四边形， 所以，， ， 四点共面，所以A正确; 在中,由中位线定理得 同理在中，由中位线定理得, 所以由等角定理知，，所以B正确; 在中，由中位线定理得 所以 , 所以由等角定理可知， ，,, 所以，所以C正确; 由上述分析得四边形为平行四边形，所以D错误; 故选:D. 变式1-1．（2024高三·全国·专题练习）下列命题正确的个数是（   ） ① 如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等； ② 如果两条相交直线与另两条直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角或直角相等； ③ 如果一个角的两边与另一个角的两边分别垂直，那么这两个角相等或互补； ④ 如果两条直线同时平行于第三条直线，那么这两条直线互相平行． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解析】略 变式1-2．（19-20高一下·全国·课后作业）已知，，，则（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】B 【解析】根据等角定理，即可得到结论. 【详解】的两边与的两边分别平行， 根据等角定理易知或. 故选：B. 【点睛】本题考查等角定理，属基础题. 【方法技巧与总结】 1 基本事实4：平行与同一条直线的两条直线平行. 这性质通常叫做平行线的传递性.符号表述：. 2 等角定理:如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补. 【题型二：异面直线的判断或证明】 例2．（22-23高三下·上海浦东新·阶段练习）已知正方体中，，，分别是棱，，的中点，是线段上的动点，则下列直线中，始终与直线异面的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】对于选项A，利用异面直线的判断定理可知选项A正确；对于选项B，当与重合时，有，从而判断出选项B的正误；对于选项C，当与重合时，有与相交，从而判断出选项C的正误；对于选项D，取中点，连交于，利用，可得到与相交，从而判断出选项D的正误. 【详解】对于选项A，面，面，面，所以直线与异面； 对于选项B，当与重合时，因为，又，，分别是棱，，的中点，所以，所以，选项B错误； 对于选项C，连接，在正方体中，易得且，所以与相交，即当与重合时，与相交，选项C错误； 对于选项D，取中点，连交于，连，因为且，所以且，故当与重合时，与相交，选项D错误. 故选：A. 变式2-1．（24-25高三上·云南大理·开学考试）如图，在正四棱台中，分别为棱的中点，则（    ） A．直线与直线是异面直线 B．直线与直线是异面直线 C．直线与直线共面 D．直线与直线共面 【答案】C 【分析】由正四棱台的结构特征，侧棱的延长线交于同一点，的延长线必过此点，可判断选项中的线线位置关系. 【详解】延长， 由正四棱台的性质可得侧棱的延长线交于同一点，设该交点为. 分别为棱的中点， 延长，则的延长线必过点， 则直线与直线相交于点；与直线相交于点；与直线相交于点；与直线是异面直线. 故选：C. 变式2-2．（2021·全国·模拟预测）如图所示，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E是平面ADD1A1的中心，M、N、F分别是B1C1、CC1、AB的中点，则下列说法正确的是（    ） A．MNEF，且MN与EF平行 B．MNEF，且MN与EF平行 C．MNEF，且MN与EF异面 D．MNEF，且MN与EF异面 【答案】D 【分析】设正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2a，求出即得MN，连结DE，再证明MN与EF异面，即得解. 【详解】解：设正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2a， 则， 作点E在平面ABCD内的射影点G，连结EG，GF， 所以， 所以MN，故选项A,C错误； 连结DE，因为E为平面ADD1A1的中心，所以DE， 又因为M，N分别为B1C1，CC1的中点，所以MN∥B1C， 又因为B1C∥A1D，所以MN∥ED，且DE∩EF＝E， 所以MN与EF异面，故选项B错误； 故选：D． 变式2-3．（24-25高二上·上海·阶段练习）如图，已知，，，分别是空间四边形的边，，，的中点. (1)若，判断四边形的形状： (2)证明：和是异面直线. 【答案】(1)菱形； (2)证明见解析 【分析】（1）先证明四边形为平行四边形，再由证明它是菱形即得； （2）运用反证法思路，先假设和共面，即共面，与题设产生矛盾，得出假设不成立即可. 【详解】（1）因为，，，分别是空间四边形的边，，，的中点， 所以线段是的中位线，所以且， 同理可得且， 即，，所以四边形为平行四边形， 又同理可得且，且，所以， 故平行四边形为菱形； （2）假设和不是异面直线，则与平行或相交， 即与确定一个平面，则，，，， 这与四边形为空间四边形矛盾，故和是异面直线. 【方法技巧与总结】 1异面直线: ① 定义:不同在任何一个平面内的两条直线； ② 符号语言 2 判断异面直线主要利用定义法证明，采取反证法是常见方法. 【题型三：求异面直线所成的角】 例3．（2024高三·全国·专题练习）《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部不朽之作，其第十一卷中称轴截面为等腰直角三角形的圆锥为直角圆锥.如图，若都是直角圆锥底面圆的直径，且，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接，根据 得或其补角为异面直线与所成的角，在直角中利用余弦定理可得答案. 【详解】如图，连接. 因为为中点，且，所以四边形为矩形， 所以 ，所以或其补角为异面直线与所成的角. 设圆的半径为1，则. 因为，所以. 所以在直角中，，，. 所以， 所以异面直线与所成角的余弦值为. 故选：C. 变式3-1．（24-25高二上·四川成都·期中）如图，棱长为1的正方形中，异面直线AC与所成的角是（   ）    A．120° B．90° C．60° D．30° 【答案】C 【分析】根据异面直线所成角的定义进行求解. 【详解】连接，因为且，    所以四边形为平行四边形， 则可得，所以直线AC与所成的角为或其补角. 在正方体中可知，所以可知. 故选：C 变式3-2．（2024高三·全国·专题练习）如图，在长方体中，若，则异面直线和所成角的余弦值为（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据异面直线的定义，转化为相交直线所成的角，即可求解. 【详解】连接，由题得且， 故四边形是平行四边形，所以且， 则的余弦值即为所求． 由可得，故有，解得． 故选：D 【方法技巧与总结】 1 异面直线所成的角的范围:；当两直线平行时，它们所成的角为. 2 作异面直线所成的角:平移法.得到所求角后再解含有该角的三角形便可，会用到正余弦定理等. 【题型四：证明线线的位置关系】 例4．（20-21高一·全国·课后作业）如图所示，在空间四边形ABCD中，AD=BC=2，E，F分别是AB，CD的中点，EF=．求证：AD⊥BC． 【答案】证明见解析 【分析】通过平移后再解三角形即可获得证明. 【详解】证明：如图所示，取BD的中点H，连接EH，FH． 因为E是AB的中点，且AD=2， 所以EH∥AD，EH=1．同理FH∥BC，FH=1． 所以∠EHF(或其补角)是异面直线AD，BC所成的角． 因为EF=，所以EH2+FH2=EF2， 所以EFH是等腰直角三角形，EF是斜边， 所以∠EHF=90°，即AD与BC所成的角是90°， 所以AD⊥BC． 变式4-1．（23-24高二·上海·课堂例题）如图，在空间四边形中，、、、分别是边、、、的中点．当对角线和满足什么条件时，分别是矩形、菱形、正方形？ 【答案】答案见解析 【分析】连接，，，，，首先可证四边形为平行四边形，再根据平面几何的知识添加相应的条件即可. 【详解】如图，连接，，，，， ，，，分别为，，，中点， 是的中位线，是的中位线， 所以且，且， ，， 同理可证，， 四边形为平行四边形， 当对角线时，则，所以平行四边形为菱形； 当对角线时，则，即，所以平行四边形为矩形； 当对角线且时，则且， 所以平行四边形为正方形． 变式4-2．（19-20高一下·全国·课后作业）如图，已知正方体. （1）求与所成角的大小； （2）若E，F分别为棱AB，AD的中点，求证：. 【答案】（1）（2）证明见解析 【分析】（1）根据正方体的性质，证出，由此得到就是与所成的角．然后在正三角形中加以计算，可得与所成角的大小； （2）平行四边形中可得， 可证，又即可得证； 【详解】解：（1）如图，连接，由几何体是正方体，知四边形为平行四边形，所以， 从而与所成的角为与所成的角， 由，可知. 故与所成的角为. （2）如图，连接，易知四边形为平行四边形，所以， 因为为的中位线， 所以. 又， 所以， 所以. 【点睛】本题在正方体中求异面直线所成角的大小，着重考查了正方体的性质、异面直线所成角的定义及求法等知识，属于中档题． 【方法技巧与总结】 1 证明线线平行，直接证明可采取中位线或构造平行四边形等方法，间接的可采取线面或面面平行或垂直的性质； 2 证明线线垂直，直接证明可采取勾股定理，间接的可采取线面或面面平行或垂直的性质. 【题型五：证明线面平行】 例5．（2025高三下·全国·专题练习）在四棱锥中，四边形为矩形，点E，F分别在线段CB，AP上，且.求证：平面. 【答案】证明见解析 【分析】先证明平行四边形得出线线平行，再应用线面平行判定定理证明即可. 【详解】如图，取PD的中点G，连接GF，GC. 在中，点G，F分别为PD，AP的中点， 且. 在矩形ABCD中，点E为BC的中点， 且， 且. 四边形是平行四边形， . 又平面，平面， 平面. 变式5-1．（2024高三·全国·专题练习）如图，在直三棱柱中，为的中点.    (1)求证： 平面； (2)求三棱锥的体积. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）连接，设，连接，利用中位线的性质可得出 ，利用线面平行的判定定理可证得结论成立； （2）由（1）可知，则点到平面的距离等于点到平面的距离，则，利用锥体的体积公式可求得结果. 【详解】（1）连接，设，连接，    在直三棱柱中，四边形为平行四边形，则为的中点， 又因为为的中点，则 ，因为平面平面， 因此 平面. （2）因为 平面，则点到平面的距离等于点到平面的距离， 所以. 在中，为的中点，， 所以. 因此. 变式5-2．（24-25高二上·吉林四平·开学考试）如图，正三棱柱中．，、分别为棱、的中点，且． (1)证明：∥平面； (2)三棱柱被平面截得的两部分．令三棱锥的体积为．多面体的体积为，求． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据直三棱柱的性质以及中位线定理可得线线平行，利用线面平行判定定理，可得答案； （2）由相似三角形求得三棱柱体高，利用三棱柱与三棱锥的体积公式，可得答案. 【详解】（1）连接交于，连接，如图： ∵三棱柱为正三棱柱， ∴为的中点，又为的中点， ∴为的中位线，∴， 又平面，平面， ∴平面. （2）三棱柱被平面截得的两部分为三棱锥与多面体． ∵三棱柱为正三棱柱， ∴四边形为矩形，又， ∴，∴，解得. ∴三棱柱的体积为， 故三棱锥的体积为，即. 多面体的体积为．即， 所以. 变式5-3．（21-22高一下·山东青岛·期中）如图，四棱锥中，底面为梯形， ，点在棱上. (1)求证： 平面； (2)若 平面，探索平面的哪条线与平行，做出此线，并求的值. 【答案】(1)证明见解析 (2)，证明见解析， 【分析】（1）由已知结合线面平行的判定定理可得出结论； （2）连接交于，连接，由线面平行的性质定理可得出，利用计算出的值，进而可求得的值. 【详解】（1）因为，平面，平面，所以平面； （2）连接交于，连接， 因为平面，且平面，平面平面， 所以， 则，可得， 又因为，可知，则， 因此，. 【方法技巧与总结】 1 线面平行判定定理：如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行. 2 线面平行性质定理：一条直线与一个平面平行，如果过该直线的平面与此平面相交，那么该直线与交线平行. 3 证明线面平行，往往会用到中位线或构造平行四边形的方法. 【题型六：证明线面垂直】 例6．1（2022高二下·河北·学业考试）如图，在正方体中，分别为棱，的中点.下列结论正确的是（    ） A．平面 B．平面 C．平面 D．平面 【答案】A 【分析】根据线面平行、线面垂直的知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】设，连接，由于是的中点，是的中点， 所以，而， 所以，所以四边形是平行四边形， 所以，由于平面，平面， 所以平面，所以A选项正确. 由A选项的分析可知，而平面， 所以与平面相交，所以C选项错误. 由于与的夹角为，所以与平面不垂直，D选项错误. 设正方体的边长为，则，不满足勾股定理， 所以与不垂直，而平面，所以与平面不垂直， 所以B选项错误. 故选：A 例6．2 （2025高三·全国·专题练习）如图，在以P为顶点，为母线长的圆锥中，底面圆O的直径AB长为2，点C在圆O所在平面内，且AC是圆O的切线，BC交圆O于点D，连接PD，OD． (1)求证：平面PAC； (2)若，求点O到平面PBD的距离． 【答案】(1)证明见解析 (2)． 【分析】（1）由题意可知，，从而可得平面，从而由勾股定理得由线面垂直的判定定理可得到证明； （2）由条件计算和，然后利用即可得到结果. 【详解】（1）因为是圆的直径，与圆切于点，所以. 又在圆锥中，垂直底面圆，底面圆， 所以，而，平面，所以平面，平面，从而. 在三角形中，，所以， 又平面.所以平面. （2）因为，，， 所以在直角中，. 又，则是等腰三角形， 所以，. 又，所以 设点到平面的距离为，由， 即，所以. 变式6-1．（24-25高二上·四川达州·期末）空间中三条不同的直线，，和平面满足，，，则下面结论正确的是（   ） A．若，则 B．若且，则 C．若，则 D．若且，则 【答案】C 【分析】根据线面平行的性质定理判断选项A；根据线面垂直的判定定理判断选项B；根据线面垂直的性质定理判断选项C；根据空间直线位置关系判断选项D即可. 【详解】对于A，若，，则或是异面直线，故A错误； 对于B，若且，，，根据线面垂直的判定定理，当相交时，才有，故B错误； 对于C，根据线面垂直的性质定理，，则，故C正确； 对于D，若且，，，则或相交，故D错误； 故选：C. 变式6-2．（24-25高二上·上海·期中）若直线垂直于以为直径的圆所在的平面，为圆周上异于的一点，下列说法错误的是（   ） A． B． C． D．平面 【答案】A 【分析】根据条件，利用线面垂直的性质定理和判定定理，对各选项分析判断，即可求解. 【详解】因为直线垂直于以为直径的圆所在的平面， 又面，所以，故选项C正确， 又，，面，所以平面， 又面，所以，故选项B和D正确， 对于选项A，若，又，面， 则面，又面，所以，与相矛盾 故选：A. 变式6-3．（24-25高二上·四川内江·期末）在中国古代数学著作《九章算术》中，“鳖臑”是指4个面都是直角三角形的四面体.如图，在等腰梯形ABCD中，，，且现将沿AE翻折，使四面体DACE为一个鳖臑，并得到四棱锥 (1)设F为ED的中点，求证：平面BCD； (2)求证：平面 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）取DC的中点M，连接FM，BM，证明四边形ABMF是平行四边形，所以，根据线面平行的判定定理证明即可； （2）由鳖臑的性质，推断出，由勾股定理可得CD的值，再证得，符合勾股定理的逆定理，即为直角三角形． 【详解】（1）证明：取DC的中点M，连接FM，BM， 因为F为DE的中点，所以FM为的中位线，所以，且， 在等腰梯形ABCD中，，，且， 所以， 所以且，所以四边形AFMB是平行四边形，所以， 又平面BCD，平面BCD， 所以平面BCD； （2）由题意可得，，， 因为，，，平面， 所以平面，所以，是直角三角形， 又因为四面体DACE为一个鳖臑，所以需满足，为直角三角形，且不是直角， 又因为，所以，故要使为直角三角形，只能是直角， 即，则， 又平面， 所以，，平面 所以平面，又平面， 所以， 此时成立， 即也是直角三角形， 即证得平面 变式6-4．（24-25高三上·广东湛江·期末）如图所示，已知多面体PABCDE的底面ABCD是边长为2的菱形，点F是PC的中点，AC交BD于点O，PA底面ABCD，EDPA，且. (1)证明：OF平面PAB ； (2)证明：BD平面PAC ； (3)若，求三棱锥的体积. 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析； (3). 【分析】（1）由题设易知，再由线面平行的判定证明结论； （2）根据菱形、线面垂直的性质有PABD、ACBD，再由线面垂直的判定证明结论； （3）根据已知证明EF平面PAC，再应用棱锥的体积公式求体积. 【详解】（1）底面ABCD是边长为2的菱形， 点O是BD的中点，又点F是PC的中点， OF是的中位线，则， 又平面PAB，平面PAB， 则平面PAB. （2）由PA底面ABCD，又BD⊂平面ABCD，所以PABD， 底面ABCD是边长为2的菱形，则ACBD， 又且都在平面PAC内， 则平面PAC. （3）底面ABCD是边长为2的菱形，， ∴△ABC是等边三角形，， 由PA底面ABCD，又平面ABCD，则PAAC， 所以， 由（1）得且， 又EDPA，，即， 且，则四边形OFED为平行四边形， 且，即， 又平面PAC，所以EF平面PAC，则EF是三棱锥的高. 所以三棱锥的体积为. 【方法技巧与总结】 1 线面垂直判定定理：如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直. 2 线面垂直性质定理：垂直同一平面的两直线平行； 3 证明线面垂直，主要是根据线面垂直判定定理的证明，过程中多注意与垂直有关的平面几何性质（勾股定理逆定理、矩形正方形、菱形对角线垂直等）. 【题型七：求直线与平面所成的角】 例7．（23-24高二上·河北沧州·期末）如图，在三棱锥中，，，平面，为的中点，则直线与平面所成角的余弦值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】取的中点为，连接，易证平面，即为直线与平面所成角. 【详解】取的中点为，连接，可得， ∵平面，平面，∴， ∴又，，平面，    ∴平面，又，∴平面， ∴为直线与平面所成角，设，， ∴， 则， ∴直线CO与平面PAC所成角的余弦值为. 故选：B. 变式7-1．（23-24高一下·四川成都·期末）如图，在正方体中，点M，N分别为线段AC和线段的中点，求直线MN与平面所成角为（    ） A．60° B．45° C．30° D．75° 【答案】B 【分析】取的中点,连接，证明平面，即得即直线MN与平面所成角，解三角形即得. 【详解】 如图，取的中点,连接,因是的中点，故, 又因正方体中，平面,故平面, 即是在平面上的射影，故即直线MN与平面所成角， 因是的中点,故,易得，, 即直线MN与平面所成角为. 故选：B. 变式7-2．（2024·全国·模拟预测）如图所示，在四棱锥中，底面为平行四边形，点为棱的中点． (1)设平面与直线相交于点，求证：平面； (2)若平面，，，，求直线与平面所成角的大小． 【答案】(1)证明见解析 (2)． 【分析】（1）根据得到平面，故，从而证明出平面； （2）作出辅助线，证明出，，从而平面，所以即是直线与平面所成角，求出各边长，求出，得到， 【详解】（1）底面为平行四边形，故， 因为，平面，平面， 所以平面， 因为平面与平面相交于，平面， 所以， 因为不在平面内，平面， 所以平面． （2）取中点，连接， 因为，， 所以为等边三角形， 所以，且，． 因为平面，平面， 所以， 又，平面， 故平面， 所以即是直线与平面所成角． 因为，，所以， 所以中，，得， 所以直线与平面所成角的大小为． 【方法技巧与总结】 1 线面角的定义 如下图，平面的一条斜线(直线)和它在平面上的射影()所成的角，叫做这条直线和这个平面所成的角. 一条直线垂直平面，则；一条直线和平面平行或在平面内，则. 2 范围 直线和平面所成的角的取值范围是. 3 求线面角，根据定义得到所求角后，再解含该角的三角形，往往会用上正余弦定理等. 一、单选题 1．（24-25高一下·全国·课后作业）若，且，与方向相同，则下列结论正确的是（    ） A．且方向相同 B．，方向可能不同 C．与不平行 D．与不一定平行 【答案】D 【分析】依题意画出图形，即可判断. 【详解】如图， ，，与的方向相同， 但是与不平行， 如图，，，与的方向相同， 此时且方向相同， 故与不一定平行，故D正确. 故选：D 2.（2025·福建厦门·一模）已知，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，，则下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】根据线面平行的性质判断A的真假；根据线面平行的判定判断B的真假；根据线面垂直的判定判断C的真假；根据线面垂直的性质判断D的真假. 【详解】若，则m，n平行或异面，A选项错误； 若，则或，B选项错误； 若，则m，不一定垂直，也可能平行或相交，C选项错误； 若，，则，D选项正确. 故选：D 3.（2024高二上·北京·学业考试）如图，在三棱柱中，底面是的中点，则直线（    ） A．与直线相交 B．与直线平行 C．与直线垂直 D．与直线是异面直线 【答案】D 【分析】由直三棱柱的特征逐项判断即可. 【详解】易知三棱柱为直三棱柱， 由图易判断与异面，AB错误； 因为,与相交但不垂直，所以与直线不垂直，C错误； 由图可判断与直线是异面直线，D正确. 故选：D 4. （2022高二下·河北·学业考试）如图，在正方体中，分别为棱，的中点.下列结论正确的是（    ） A．平面 B．平面 C．平面 D．平面 【答案】A 【分析】根据线面平行、线面垂直的知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】设，连接，由于是的中点，是的中点， 所以，而， 所以，所以四边形是平行四边形， 所以，由于平面，平面， 所以平面，所以A选项正确. 由A选项的分析可知，而平面， 所以与平面相交，所以C选项错误. 由于与的夹角为，所以与平面不垂直，D选项错误. 设正方体的边长为，则，不满足勾股定理， 所以与不垂直，而平面，所以与平面不垂直， 所以B选项错误. 故选：A 5.（21-22高二下·四川乐山·期末）如图是正方体的平面展开图，则在这个正方体中： ① ② CN与BM所成角为60° ③ ED与CF为异面直线    ④ 以上四个命题中，正确命题的序号是（    ） A．①② B．②③④ C．②④ D．③④ 【答案】C 【分析】先复原正方体，再由异面直线的定义及线线平行及垂直依次判断四个命题即可求解. 【详解】 先将正方体复原，连接， 对于①，易得，则四边形为平行四边形，则，又，则，①错误； 对于②，由知或其补角为CN与BM所成角，又为等边三角形，则，即CN与BM所成角为60°，②正确； 对于③，易得，则四边形为平行四边形，则，③错误； 对于④，易得，又，则，④正确. 故选：C. 6.（24-25高二上·四川成都·期中）如图，在正方体中，分别为的中点，则下列说法错误的是（    ） A．平面 B．异面直线与所成角为 C．直线与平面所成角为 D． 【答案】B 【分析】连接，可得，A选项，利用线面平行的判定定理即可证明；B选项，异面直线与所成角即为直线与与所成角；C选项直线与平面所成角即直线与平面所成角；D选项，由线面垂直的性质可以得证. 【详解】如图，连接， 在正方形中，为的中点，则，即也为的中点， 在中，分别为的中点，有， 又平面，平面，所以平面，故A正确； 由题可知，异面直线与所成角即为直线与与所成角， 即，为，故B错误 直线与平面所成角即直线与平面所成角， 由平面，可知直线与平面所成角为，故C正确； 正方体中，平面，平面，则有， 由，得，故D正确；， 故选：B. 7.（2022高二下·河北·学业考试）如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧面都是等边三角形，是的中点，则异面直线和所成角的余弦值是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题涉及异面直线所成角的概念，可通过平移异面直线中的一条，使其与另一条相交，这个相交角就是异面直线所成角或其补角.我们可以利用中点的性质，构造平行关系来平移直线，然后通过余弦定理求出这个角的余弦值. 【详解】    连接BD，AC交O.连接EO,则O为BD中点，是的中点，则根据三角形中位线定理， 在中，且.所以（或其补角）就是异面直线BE和PA所成的角. 设正方形ABCD的边长为.因为侧面都是等边三角形，所以. 在中，是PC的中点，，，根据等腰三角形三线合一，， 由勾股定理可得. 在中，，则.且. 在中，根据余弦定理. 将，，代入可得：. 故选：B 8. （23-24高一下·江苏南京·期末）如图，四棱锥中，面，四边形为正方形，，与平面所成角的大小为，且，则四棱锥的外接球表面积为（   ） A．26π B．28π C．34π D．14π 【答案】C 【分析】依题意可将四棱锥补成长方体，则四棱锥的外接球也是长方体的外接球，由可求出的长，进而可求，即为外接球的直径，从而可得外接球的表面积. 【详解】如图，因为面，四边形为正方形， 所以可将四棱锥补成长方体， 则四棱锥的外接球也是长方体的外接球. 由面，所以就是与平面所成的角， 则，所以， 设四棱锥的外接球的半径为， 因为长方体的对角线的长即为其外接球的直径， 所以，所以， 所以四棱锥的外接球的表面积为. 故选：C 二、多选题 9．（2025·河南郑州·模拟预测）如图是一个正方体的表面展开图，则在原正方体中，（    ） A．直线与垂直 B．直线与平行 C．直线与异面 D．直线与成角 【答案】BCD 【分析】作出正方体，利用异面直线所成角的定义可判断AD选项；利用平行四边形的性质可判断B选项；利用图形可判断C选项. 【详解】作出正方体，如下图所示，连接. 对于A选项，因为且，则四边形为平行四边形， 故与所成的角为或其补角， 易知为等边三角形，则， 所以直线与的夹角为，A错； 对于B选项，由A可知，四边形为平行四边形，则，B对； 对于C选项，由图可知，平面，，平面， 所以直线与为异面直线，C对； 对于D选项，因为且，故四边形为平行四边形， 所以，所以与所成的角为或其补角， 因为为等边三角形，则，即直线与直线所成角为，D对. 故选：BCD. 10. （2025高三·全国·专题练习）如图，在正方体中，M，N分别为棱的中点，则以下四个结论中，正确的有（    ） A．直线与是相交直线 B．直线与是异面直线 C．与平行 D．直线与共面 【答案】BD 【分析】根据异面直线的概念结合正方体性质可判断AB；根据直线的平行的判定可判断C；利用四点共面可判断D. 【详解】对于A，三点在平面内，M点不在直线上， A点不在平面内，可得直线与是异面直线，故A错误； 对于B，三点在平面内，不在直线上， M点不在平面内，可得直线与是异面直线，故B正确； 对于C，取的中点E，连接，又N为的中点， 则有，， 所以四边形是平行四边形，所以， ，则与不平行，故C错误； 对于D，连接， 因为M，N分别为棱的中点， 所以， 由正方体的性质可知：， 所以，则有四点共面， 所以直线与共面，故D正确. 故选：BD. 11.（24-25高三下·山西·开学考试）在直三棱柱中，，，，分别为棱，的动点且，点在平面上的射影为点，的中点为，则（   ） A．存在一半径为的球，使得三棱柱的所有顶点都在该球面上 B．存在一半径为2的球与三棱柱的所有侧棱相切，与上、下底面也相切 C．的中点在以为球心，半径为的球面上 D．点的轨迹长为 【答案】BC 【分析】根据给定条件，结合直棱柱的结构特征及球的结构特征依次判断ABC；确定点位置并求出长，进而求出轨迹长判断D. 【详解】对于A，在直三棱柱中，，则， 的外接圆半径为，三棱柱的外接球半径，A错误； 对于B，分别是的中点，则以的中点为球心，2为半径的球， 球心到三条侧棱的距离都等于2，且到上下底面距离也都为2，满足题意，B正确； 对于C，，令的中点为，在直角中，， 即的中点在以为球心，半径为的球面上，C正确； 对于D，平面，则平面， 而平面，则，且点在上，则， ，，在直角中，， 则点在以为圆心，半径为的圆上，当点与重合时，点与重合， 点为的中点；当点与重合时，点为中点， 而四边形为正方形，则，因此点的轨迹所对圆角为，轨迹长为，D错误． 故选：BC 三、填空题 12．（2025高三下·全国·专题练习）如图，在底面为正方形，侧棱垂直于底面的四棱柱中，，若点P在平面内且不在对角线上，过点P在平面内作一直线m，使与直线的夹角为，且.这样的直线可作 条. 【答案】2 【分析】 在平面内作m，使m与的夹角为，再利用直线的位置关系即可判断. 【详解】 在平面内作m，使m与的夹角为. ，∴直线m与BD也成角，即m为所求. 且m与BD是异面直线，当时，m只有1条，当时，这样的直线有2条. 故答案为：2. 13. （24-25高二上·北京平谷·期末）某玩具模型设计图为一个六面几何体，如图所示，、和均为等边三角形，测得cm，cm，则这个玩具模型的体积是 cm3. 【答案】 【分析】取中点 ，连接 ，可证明 平面 ，可得三棱锥 的体积为 ，再根据对称性可知三棱锥 ，三棱锥 ，棱锥 全等，进而可得答案. 【详解】如图，取 中点 ，连接 ， 则由 、 和 均为等边三角形， 可得 ， ，又 ， 平面 平面 ，又易知 ， ， 等腰三角形 的底边 边上的高为 ， 三角形 的面积为 ， 三棱锥 的体积为 ， 又根据对称性可知三棱锥 ，三棱锥 ，棱锥 全等， 这个玩具模型的体积是 . 故答案为： . 14. （24-25高三上·辽宁沈阳·阶段练习）如图，在直三棱柱中，，，D，E，F分别是棱，BC，的中点，则异面直线AD与EF所成角的余弦值为 ． 【答案】/ 【分析】把直三棱柱补成一个底面为菱形的直四棱柱，利用平移法找到异面直线与所成的角，再结合余弦定理求解即可. 【详解】把直三棱柱补成一个底面为菱形的直四棱柱，如图所示：    因为，且， 所以四边形为平行四边形，所以， 所以异面直线AD与EF所成的角为或其补角， 不妨设， 因为，所以， 所以为等边三角形，所以，， 所以， 因为为边长为的等边三角形，所以， 又因为， 所以在中，由余弦定理可得， 故异面直线与所成角的余弦值为. 故答案为：. 四、解答题 15．（24-25高一上·上海·期中）如图，已知分别是正方体的棱，，，的中点，且与相交于点.    (1)求证：点在直线上； (2)求证：与是异面直线. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）通过证明在平面与平面的交线上，来证得在直线上. （2）利用反证法可证明与是异面直线. 【详解】（1）平面平面， 由于平面，平面， 所以，也即点在直线上. （2）假设与不是异面直线. 则与是共面直线，又在直线外， 则过与直线有唯一平面，所以可得平面， 这与在平面外矛盾，故与是异面直线. 16.（24-25高二上·云南昭通·期中）如图，在三棱柱中，侧棱底面，，为的中点，，．    (1)求证：平面． (2)求三棱柱的表面积； 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用线面平行的判定定理证明即可； （2）分别求三棱柱每个面的面积相加即可. 【详解】（1）连接交于点，连接， 因为四边形为矩形，所以为的中点． 因为为的中点，所以． 因为平面，平面，所以平面．    （2）因为侧棱底面，所以三棱柱为直三棱柱， 所以侧面，，均为矩形． 因为，所以底面，均为直角三角形． 因为，，所以． 所以三棱柱的表面积为 ． 17.（2025高一下·全国·专题练习）如图①，平面四边形中，，，，将沿BC边折起如图②，使__________，点，分别为AC，AD中点.在题目横线上选择下述其中一个条件，然后解答此题.①；②AC为四面体外接球的直径；③平面. (1)证明：直线平面； (2)判断直线MN与平面的位置关系，并说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)平面，理由见解析 【分析】（1）运用中位线性质，结合线面平行判定定理证明即可； （2）结合条件及线面垂直的判定定理，可得平面，进而证得平面. 【详解】（1）分别为中点，. 又平面，平面，直线平面. （2）直线平面，理由如下： 选①，，在中，，，则， 又，，则， 又，，平面， 平面，， 又，，平面， 平面，又分别为的中点， ，则平面. 选②，为四面体外接球的直径， 则，，又，， 平面，平面， 分别为AC，AD的中点， ，则平面. 选③，平面，平面，， 又，， 平面，平面， 分别为的中点，，则平面. 18. （23-24高一下·吉林长春·期中）如图，已知等腰梯形ABCD中（图1），是BC的中点，，将沿着AE翻折（图2），使得直线AB与CD不在同一个平面，得到四棱锥 (1)求直线与所成的角的大小； (2)在线段上是否存在点，使得平面，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在， 【分析】（1）根据折叠前后的图形几何性质以及异面直线夹角的求法即可得到答案； （2）平面公理与线面平行性质定理可得为中点，从而可得结论. 【详解】（1）因为，是的中点，所以，， 故四边形是菱形，从而， 所以沿着翻折成后，， 又因为，所以四边形为平行四边形，则， 则，则直线与所成的角的大小为. （2）存在，理由如下： 假设线段上是存在点，使得平面， 过点作交于，连接，，如下图， 所以，所以，，，四点共面， 又因为平面，平面平面，平面，所以， 综上，四边形为平行四边形，故， 所以为中点，故在线段上存在点，使得平面，且． 19.（24-25高二上·上海静安·阶段练习）如图，已知四边形是矩形，平面，且，M、N是线段、上的点，满足. (1)若，求证：直线平面； (2)是否存在实数，使直线同时垂直于直线，直线？如果有请求出的值，否则请说明理由. 【答案】(1)证明见解析； (2)不存在，理由见解析. 【分析】（1）根据三角形中位线定理，结合平行四边形的判定定理和性质、线面平行的判定定理进行证明即可. （2）根据线面垂直的判定定理和性质，结合线线的位置有关系进行判断即可. 【详解】（1）取中点Q，连接，， 由，得M是线段中点，则，， 由四边形是矩形，N是线段的中点，得，， 于是，，四边形是平行四边形， 则，而平面，平面， 所以直线平面. （2）假设存在实数λ，使得同时垂直于直线和直线，由四边形是矩形，得， 即，，而，平面，则平面， 由平面，平面，得，而，，平面， 因此平面，则，在矩形边上取点，使， 连接，则与矛盾，即假设不成立， 所以不存在实数，使直线同时垂直于直线和直线. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！12 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 4.3 直线与直线、直线与平面的位置关系 课程标准 学习目标 （1）掌握直线与直线的位置关系； （2）掌握直线与平面的位置关系. （1）理解异面直线的概念，会求异面直线所成的角； （2）会证明直线平行、垂直的位置关系； （3）掌握直线与平面的位置关系； （4）会证明直线与平面平行、垂直的位置关系（难点) 知识点01 平行直线 1空间直线的位置关系 2 平行直线 (1) 基本事实4：平行与同一条直线的两条直线平行. (2) 这性质通常叫做平行线的传递性.符号表述：. （3）等角定理:如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补. 【即学即练1】 （24-25高一下·全国·课后作业）若，，且，则等于（    ） A． B． C．或 D．不能确定 知识点02 异面直线 1异面直线: ① 定义:不同在任何一个平面内的两条直线； ② 图形语言 ③ 符号语言 2 异面直线所成的角 (1) 范围:；当两直线平行时，它们所成的角为. (2) 作异面直线所成的角:平移法. 如图，在空间任取一点，过作，则所成的角为异面直线所成的角.特别地，找异面直线所成的角时，经常把一条异面直线平移到另一条异面直线的特殊点(如线段中点，端点等)上，形成异面直线所成的角. 3 直线与直线垂直 如果两条异面直线所成的角是直角，那么我们就说两条异面直线相互垂直，记作. 【即学即练2】 （2025·上海·模拟预测）如图，是正四棱台，则下列各组直线中属于异面直线的是（   ）．    A．和； B．和； C．和； D．和． 知识点03 空间中直线与平面的位置关系 1 直线与平面的位置关系 (1) 直线与平面的位置关系 当直线与平面相交或平行时，直线不在平面内，也称为直线在平面外. (2) 图形语言 【即学即练3】 （2024高三·全国·专题练习）已知直线与直线平行，直线与平面平行，则直线b与平面的关系为（   ） A．平行 B．相交 C．直线在平面内 D．平行或直线在平面内 知识点04直线与平面平行 1 定义 直线与平面无交点. 2 判定定理 如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行. 3 性质定理 一条直线与一个平面平行，如果过该直线的平面与此平面相交，那么该直线与交线平行. 【即学即练4】 （21-22高三上·陕西西安·期中）如图，在正方形中，分别是的中点，则直线与平面的位置关系是（    ） A．垂直 B．平行 C．相交但不垂直 D．无法确定 知识点05 直线与平面垂直 1 定义 若一条直线垂直于平面内的任意一条直线，则这条直线垂直于平面. 符号表述:若任意都有，则 2 判定定理 如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直. 符号表述: (线线垂直线面垂直) 3 性质定理 垂直同一平面的两直线平行 符号表述：. 【即学即练5】 （2024高二上·黑龙江·学业考试）如图，在正方体中，与平面垂直的直线是（    ） A． B． C． D． 知识点06 直线与平面所成的角 1 定义 如下图，平面的一条斜线(直线)和它在平面上的射影()所成的角，叫做这条直线和这个平面所成的角. 一条直线垂直平面，则；一条直线和平面平行或在平面内，则. 2 范围 直线和平面所成的角的取值范围是. 【即学即练6】 （2022高二下·河北·学业考试）如图，在正方体中，分别为棱，的中点.直线与平面所成角的正弦值是（    ） A． B． C． D． 【题型一：等角定理的运用】 例1．（19-20高一下·全国·课后作业）如图在四面体 中，，，，， 分别是 ，，，， 的中点，则下列说法中不正确的是（    ） A．，， ， 四点共面 B． C． D．四边形 为梯形 变式1-1．（2024高三·全国·专题练习）下列命题正确的个数是（   ） ① 如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等； ② 如果两条相交直线与另两条直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角或直角相等； ③ 如果一个角的两边与另一个角的两边分别垂直，那么这两个角相等或互补； ④ 如果两条直线同时平行于第三条直线，那么这两条直线互相平行． A．1 B．2 C．3 D．4 变式1-2．（19-20高一下·全国·课后作业）已知，，，则（    ） A． B．或 C． D．或 【方法技巧与总结】 1 基本事实4：平行与同一条直线的两条直线平行. 这性质通常叫做平行线的传递性.符号表述：. 2 等角定理:如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补. 【题型二：异面直线的判断或证明】 例2．（22-23高三下·上海浦东新·阶段练习）已知正方体中，，，分别是棱，，的中点，是线段上的动点，则下列直线中，始终与直线异面的是（    ） A． B． C． D． 变式2-1．（24-25高三上·云南大理·开学考试）如图，在正四棱台中，分别为棱的中点，则（    ） A．直线与直线是异面直线 B．直线与直线是异面直线 C．直线与直线共面 D．直线与直线共面 变式2-2．（2021·全国·模拟预测）如图所示，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E是平面ADD1A1的中心，M、N、F分别是B1C1、CC1、AB的中点，则下列说法正确的是（    ） A．MNEF，且MN与EF平行 B．MNEF，且MN与EF平行 C．MNEF，且MN与EF异面 D．MNEF，且MN与EF异面 变式2-3．（24-25高二上·上海·阶段练习）如图，已知，，，分别是空间四边形的边，，，的中点. (1)若，判断四边形的形状： (2)证明：和是异面直线. 【方法技巧与总结】 1异面直线: ① 定义:不同在任何一个平面内的两条直线； ② 符号语言 2 判断异面直线主要利用定义法证明，采取反证法是常见方法. 【题型三：求异面直线所成的角】 例3．（2024高三·全国·专题练习）《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部不朽之作，其第十一卷中称轴截面为等腰直角三角形的圆锥为直角圆锥.如图，若都是直角圆锥底面圆的直径，且，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 变式3-1．（24-25高二上·四川成都·期中）如图，棱长为1的正方形中，异面直线AC与所成的角是（   ）    A．120° B．90° C．60° D．30° 变式3-2．（2024高三·全国·专题练习）如图，在长方体中，若，则异面直线和所成角的余弦值为（  ） A． B． C． D． 【方法技巧与总结】 1 异面直线所成的角的范围:；当两直线平行时，它们所成的角为. 2 作异面直线所成的角:平移法.得到所求角后再解含有该角的三角形便可，会用到正余弦定理等. 【题型四：证明线线的位置关系】 例4．（20-21高一·全国·课后作业）如图所示，在空间四边形ABCD中，AD=BC=2，E，F分别是AB，CD的中点，EF=．求证：AD⊥BC． 变式4-1．（23-24高二·上海·课堂例题）如图，在空间四边形中，、、、分别是边、、、的中点．当对角线和满足什么条件时，分别是矩形、菱形、正方形？ 变式4-2．（19-20高一下·全国·课后作业）如图，已知正方体. （1）求与所成角的大小； （2）若E，F分别为棱AB，AD的中点，求证：. 【方法技巧与总结】 1 证明线线平行，直接证明可采取中位线或构造平行四边形等方法，间接的可采取线面或面面平行或垂直的性质； 2 证明线线垂直，直接证明可采取勾股定理，间接的可采取线面或面面平行或垂直的性质. 【题型五：证明线面平行】 例5．（2025高三下·全国·专题练习）在四棱锥中，四边形为矩形，点E，F分别在线段CB，AP上，且.求证：平面. 变式5-1．（2024高三·全国·专题练习）如图，在直三棱柱中，为的中点.    (1)求证： 平面； (2)求三棱锥的体积. 变式5-2．（24-25高二上·吉林四平·开学考试）如图，正三棱柱中．，、分别为棱、的中点，且． (1)证明：∥平面； (2)三棱柱被平面截得的两部分．令三棱锥的体积为．多面体的体积为，求． 变式5-3．（21-22高一下·山东青岛·期中）如图，四棱锥中，底面为梯形， ，点在棱上. (1)求证： 平面； (2)若 平面，探索平面的哪条线与平行，做出此线，并求的值. 【方法技巧与总结】 1 线面平行判定定理：如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行. 2 线面平行性质定理：一条直线与一个平面平行，如果过该直线的平面与此平面相交，那么该直线与交线平行. 3 证明线面平行，往往会用到中位线或构造平行四边形的方法. 【题型六：证明线面垂直】 例6．1（2022高二下·河北·学业考试）如图，在正方体中，分别为棱，的中点.下列结论正确的是（    ） A．平面 B．平面 C．平面 D．平面 例6．2 （2025高三·全国·专题练习）如图，在以P为顶点，为母线长的圆锥中，底面圆O的直径AB长为2，点C在圆O所在平面内，且AC是圆O的切线，BC交圆O于点D，连接PD，OD． (1)求证：平面PAC； (2)若，求点O到平面PBD的距离． 变式6-1．（24-25高二上·四川达州·期末）空间中三条不同的直线，，和平面满足，，，则下面结论正确的是（   ） A．若，则 B．若且，则 C．若，则 D．若且，则 变式6-2．（24-25高二上·上海·期中）若直线垂直于以为直径的圆所在的平面，为圆周上异于的一点，下列说法错误的是（   ） A． B． C． D．平面 变式6-3．（24-25高二上·四川内江·期末）在中国古代数学著作《九章算术》中，“鳖臑”是指4个面都是直角三角形的四面体.如图，在等腰梯形ABCD中，，，且现将沿AE翻折，使四面体DACE为一个鳖臑，并得到四棱锥 (1)设F为ED的中点，求证：平面BCD； (2)求证：平面 变式6-4．（24-25高三上·广东湛江·期末）如图所示，已知多面体PABCDE的底面ABCD是边长为2的菱形，点F是PC的中点，AC交BD于点O，PA底面ABCD，EDPA，且. (1)证明：OF平面PAB ； (2)证明：BD平面PAC ； (3)若，求三棱锥的体积. 【方法技巧与总结】 1 线面垂直判定定理：如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直. 2 线面垂直性质定理：垂直同一平面的两直线平行； 3 证明线面垂直，主要是根据线面垂直判定定理的证明，过程中多注意与垂直有关的平面几何性质（勾股定理逆定理、矩形正方形、菱形对角线垂直等）. 【题型七：求直线与平面所成的角】 例7．（23-24高二上·河北沧州·期末）如图，在三棱锥中，，，平面，为的中点，则直线与平面所成角的余弦值为（    ）    A． B． C． D． 变式7-1．（23-24高一下·四川成都·期末）如图，在正方体中，点M，N分别为线段AC和线段的中点，求直线MN与平面所成角为（    ） A．60° B．45° C．30° D．75° 变式7-2．（2024·全国·模拟预测）如图所示，在四棱锥中，底面为平行四边形，点为棱的中点． (1)设平面与直线相交于点，求证：平面； (2)若平面，，，，求直线与平面所成角的大小． 【方法技巧与总结】 1 线面角的定义 如下图，平面的一条斜线(直线)和它在平面上的射影()所成的角，叫做这条直线和这个平面所成的角. 一条直线垂直平面，则；一条直线和平面平行或在平面内，则. 2 范围 直线和平面所成的角的取值范围是. 3 求线面角，根据定义得到所求角后，再解含该角的三角形，往往会用上正余弦定理等. 一、单选题 1．（24-25高一下·全国·课后作业）若，且，与方向相同，则下列结论正确的是（    ） A．且方向相同 B．，方向可能不同 C．与不平行 D．与不一定平行 2.（2025·福建厦门·一模）已知，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，，则下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 3.（2024高二上·北京·学业考试）如图，在三棱柱中，底面是的中点，则直线（    ） A．与直线相交 B．与直线平行 C．与直线垂直 D．与直线是异面直线 4. （2022高二下·河北·学业考试）如图，在正方体中，分别为棱，的中点.下列结论正确的是（    ） A．平面 B．平面 C．平面 D．平面 5.（21-22高二下·四川乐山·期末）如图是正方体的平面展开图，则在这个正方体中： ① ② CN与BM所成角为60° ③ ED与CF为异面直线    ④ 以上四个命题中，正确命题的序号是（    ） A．①② B．②③④ C．②④ D．③④ 6.（24-25高二上·四川成都·期中）如图，在正方体中，分别为的中点，则下列说法错误的是（    ） A．平面 B．异面直线与所成角为 C．直线与平面所成角为 D． 7.（2022高二下·河北·学业考试）如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧面都是等边三角形，是的中点，则异面直线和所成角的余弦值是（    ）    A． B． C． D． 8. （23-24高一下·江苏南京·期末）如图，四棱锥中，面，四边形为正方形，，与平面所成角的大小为，且，则四棱锥的外接球表面积为（   ） A．26π B．28π C．34π D．14π 二、多选题 9．（2025·河南郑州·模拟预测）如图是一个正方体的表面展开图，则在原正方体中，（    ） A．直线与垂直 B．直线与平行 C．直线与异面 D．直线与成角 10. （2025高三·全国·专题练习）如图，在正方体中，M，N分别为棱的中点，则以下四个结论中，正确的有（    ） A．直线与是相交直线 B．直线与是异面直线 C．与平行 D．直线与共面 11.（24-25高三下·山西·开学考试）在直三棱柱中，，，，分别为棱，的动点且，点在平面上的射影为点，的中点为，则（   ） A．存在一半径为的球，使得三棱柱的所有顶点都在该球面上 B．存在一半径为2的球与三棱柱的所有侧棱相切，与上、下底面也相切 C．的中点在以为球心，半径为的球面上 D．点的轨迹长为 三、填空题 12．（2025高三下·全国·专题练习）如图，在底面为正方形，侧棱垂直于底面的四棱柱中，，若点P在平面内且不在对角线上，过点P在平面内作一直线m，使与直线的夹角为，且.这样的直线可作 条. 13. （24-25高二上·北京平谷·期末）某玩具模型设计图为一个六面几何体，如图所示，、和均为等边三角形，测得cm，cm，则这个玩具模型的体积是 cm3. 14. （24-25高三上·辽宁沈阳·阶段练习）如图，在直三棱柱中，，，D，E，F分别是棱，BC，的中点，则异面直线AD与EF所成角的余弦值为 ． 四、解答题 15．（24-25高一上·上海·期中）如图，已知分别是正方体的棱，，，的中点，且与相交于点.    (1)求证：点在直线上； (2)求证：与是异面直线. 16.（24-25高二上·云南昭通·期中）如图，在三棱柱中，侧棱底面，，为的中点，，．    (1)求证：平面． (2)求三棱柱的表面积； 17.（2025高一下·全国·专题练习）如图①，平面四边形中，，，，将沿BC边折起如图②，使__________，点，分别为AC，AD中点.在题目横线上选择下述其中一个条件，然后解答此题.①；②AC为四面体外接球的直径；③平面. (1)证明：直线平面； (2)判断直线MN与平面的位置关系，并说明理由. 18. （23-24高一下·吉林长春·期中）如图，已知等腰梯形ABCD中（图1），是BC的中点，，将沿着AE翻折（图2），使得直线AB与CD不在同一个平面，得到四棱锥 (1)求直线与所成的角的大小； (2)在线段上是否存在点，使得平面，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 19.（24-25高二上·上海静安·阶段练习）如图，已知四边形是矩形，平面，且，M、N是线段、上的点，满足. (1)若，求证：直线平面； (2)是否存在实数，使直线同时垂直于直线，直线？如果有请求出的值，否则请说明理由. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！12 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$