1.4 向量的分解与坐标表示（3知识点+6题型+强化训练）-【帮课堂】2024-2025学年高一数学同步学与练（湘教版2019必修第二册）

1.4向量的分解与坐标表示 课程标准 学习目标 (1)理解平面向量基本定理及其意义。 (2)借助平面直角坐标系, 掌握平面向量的正交分解及坐标表示。 (3)会用坐标表示平面向量的加、减运算与数乘运算。 （1）掌握平面向量基本定理； （2）向量线性运算的坐标表示（难点) （3）平行向量的坐标表示 知识点01 平面向量的基本定理 1 平面向量的基本定理 设 ， 同一平面内的两个不共线向量， 是该平面内任一向量，则存在唯一实数对，使 . 我们把，叫做表示这个平面内所有向量的一个基底. 如下图，，其中，. PS 唯一性的解释 若不共线，且则 【即学即练1】 （23-24高一下·上海·期末）若不平行，则下列向量中不能作为平面的一个基底是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 知识点02 向量线性运算的坐标表示 1正交分解及其坐标表示 ① 正交分解 把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解； 如上图，重力分解成平行斜面的力和垂直于斜面的压力. ② 向量的坐标表示 在平面内建立直角坐标系，以与轴、轴方向相同的两个单位向量 为基底，则平面内的任一向量 可表示为，称为向量的坐标，叫做向量的坐标表示. 向量，就是以原点为起点，点为终点的向量. 2 坐标运算 设，则 (1)向量的模 (2)向量的加减法运算 ， (3)若，，则  (4)实数与向量的积 【即学即练2】 （2020高二上·新疆·学业考试）若向量，则的坐标是（    ） A． B． C． D． 知识点03 平行向量 若 ，则。 【即学即练3】 （23-24高一下·北京顺义·期末）已知向量，，那么向量可以是（    ） A． B． C． D． 【题型一：平面向量基本定理的基底】 例1．（22-23高一下·山西·阶段练习）如果表示平面内所有向量的一个基底，那么下列四组向量，不能作为一个基底的是（    ） A． B． C． D． 变式1-1．（23-24高一下·山东菏泽·阶段练习）已知，是不共线的非零向量，则以下向量可以作为基底的是（    ） A．， B．， C．， D．， 变式1-2．（24-25高一上·上海·随堂练习）若已知、是平面上的一组基，则下列各组向量中不能作为基的一组是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【方法技巧与总结】 作为基底的两个向量不能是共线向量,共线向量之间存在倍数关系. 【题型二：用基底表示向量】 例2．（24-25高三上·重庆·阶段练习）在平行四边形中，点，，分别满足，，，则（    ） A． B． C． D． 变式2-1．（24-25高三上·湖南长沙·阶段练习）在平行四边形中，点为线段的中点，点在线段上，且满足，记，则（    ） A． B． C． D． 变式2-2．（2024高三·全国·专题练习）设D，E为△ABC所在平面内两点，，，则（   ） A． B． C． D． 变式2-3．（2024·福建福州·模拟预测）如图，梯形的腰的中点为，且，记，则（    ） A． B． C． D． 变式2-4．（2024·陕西铜川·模拟预测）在△ABC中，点D为线段BC的中点，点E满足，若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【方法技巧与总结】 用基底表示向量，主要是利用平行四边形法则或三角形法则求解. 【题型三：平面向量的基本定理的运用】 例3．（23-24高一下·吉林白山·期末）如图，在梯形中，在线段上，.若，则（   ） A． B． C． D． 变式3-1．已知，是平面内两个不共线向量，，，A，B，C三点共线，则m＝（   ） A． B． C． D．6 变式3-2．（2024高三·全国·专题练习）已知正三角形的边长为2，点满足，且， ，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 变式3-3．（23-24高一下·广东汕尾·期末）在中，，点为的垂心，且满足，，则（    ） A． B．－1 C． D． 【方法技巧与总结】 设点是平面内任意一点，且， 由平面向量三点共线定理可知，当点落在直线时，. 【题型四：用坐标表示平面向量】 例4．（2024高三·全国·专题练习）已知点，则与同方向的单位向量为（   ） A． B． C． D． 变式4-1．（2024高二下·安徽·学业考试）点，,则向量＝（    ） A． B． C． D． 变式4-2．（22-23高一下·吉林四平·阶段练习）已知，则下面说法正确的是（    ） A．A点的坐标是 B．当A是原点时，B点的坐标是 C．当是原点时，A点的坐标是 D．点的坐标是 变式4-3．（21-22高一下·河南许昌·期末）已知对任意平面向量，把绕其起点沿逆时针方向旋转角得到向量，叫做把点B绕点A沿逆时针方向旋转角得到点P．已知平面内点，点，把点B绕点A沿顺时针方向旋转得到点P，则点P的坐标为（    ） A． B． C． D． 【方法技巧与总结】 1 若，，则  2 求点的坐标，可用待定系数法. 【题型五：平面向量线性运算的坐标表示】 例5．（24-25高三上·江苏南京·期中）已知向量，若，则（    ） A． B． C． D． 变式5-1．（2024高二下·黑龙江·学业考试）已知向量，则（    ） A． B． C． D． 变式5-2．（24-25高一上·北京·期末）如图所示，四点在正方形网格的格点处.若，则实数（   ）    A． B． C． D． 变式5-3．（23-24高一下·广东梅州·期末）如图，在扇形AOB中，扇形的半径为，点在弧上移动，．当时，（   ）    A． B． C．2 D． 【方法技巧与总结】 设，则 (1)向量的模 (2)向量的加减法运算 ， (3)实数与向量的积 【题型六：由向量的平行关系求参数】 例6．（2020·上海长宁·二模）已知向量，，，则“”是“ ”的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 变式6-1．（24-25高三上·湖北随州·期末）已知向量若，则m等于（   ） A． B． C． D． 变式6-2．（24-25高三上·广西·阶段练习）若向量，，且，，三点共线，则（    ） A． B． C． D． 变式6-3．（23-24高一下·重庆·期末）已知点，，，若四边形ABCD为平行四边形，则点D的坐标为（    ）． A． B． C． D． 【方法技巧与总结】 若 ，则。 一、单选题 1．（2024·上海浦东新·三模）给定平面上的一组向量、，则以下四组向量中不能构成平面向量的基底的是（    ） A．和 B． 和 C． 和 D． 和 2（2024高三·全国·专题练习）已知点，，向量，则向量（   ） A． B． C． D． 3（2024高二下·湖北·学业考试）已知向量，则（    ） A． B． C． D． 4（24-25高三上·山东济宁·期末）已知向量，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5（2024·四川·一模）如图，在中，点，分别在，边上，且，，点为中点，则（    ） A． B． C． D． 6（24-25高三上·江西南昌·期中）若点为所在平面内，且满足，则（    ） A． B． C． D． 7（23-24高一下·新疆乌鲁木齐·期末）如图，在平行四边形中，，，与交于点.设，，若，则（   ） A． B． C． D． 8（2022·河南商丘·三模）如图，在中，点D，E分别在边AB，BC上，且均为靠近的四等分点，CD与AE交于点，若，则（   ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（24-25高一上·辽宁·期末）下列各组向量中，不能作为基底的是（   ） A． B． C． D． 10（23-24高一下·四川绵阳·期中）点，向量，，点是线段的三等分点，则点坐标为（    ） A． B． C． D． 11（23-24高一下·辽宁·开学考试）如图，正方形中，是的中点，若，则（    ） A． B． C． D． 三、填空题 12．（21-22高一下·安徽六安·期末）已知，则的坐标是 . 13（24-25高三上·天津滨海新·阶段练习）已知点，，，．若点在轴上，则实数的值为 ． 14（2022·湖北武汉·三模）已知向量，，向量，，若，则实数 . 四、解答题 15．（23-24高一下·全国·单元测试）已知，，求： (1)；(2). 16（24-25高一上·北京·期末）已知向量，，． (1)求； (2)若向量，试用表示； (3)若，求实数的值． 17（24-25高一上·辽宁沈阳·期末）如图所示，在中，为边上一点，且，若，，三点共线，且，. (1)用，表示； (2)求的最小值. 18（24-25高一上·河北保定·期中）如图，在中，，．设，． (1)用，表示，； (2)若为内部一点，且．求证：，，三点共线． 19（24-25高一上·辽宁·期末）如图1所示，在中，点在线段BC上，满足是线段AB上的点，且满足，线段CG与线段AD交于点． (1)若，求实数x，y的值； (2)若，求实数的值； (3)如图2，过点的直线与边AB，AC分别交于点E，F，设，，求的最小值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！12 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1.4向量的分解与坐标表示 课程标准 学习目标 (1)理解平面向量基本定理及其意义。 (2)借助平面直角坐标系, 掌握平面向量的正交分解及坐标表示。 (3)会用坐标表示平面向量的加、减运算与数乘运算。 （1）掌握平面向量基本定理； （2）向量线性运算的坐标表示（难点) （3）平行向量的坐标表示 知识点01 平面向量的基本定理 1 平面向量的基本定理 设 ， 同一平面内的两个不共线向量， 是该平面内任一向量，则存在唯一实数对，使 . 我们把，叫做表示这个平面内所有向量的一个基底. 如下图，，其中，. PS 唯一性的解释 若不共线，且则 【即学即练1】 （23-24高一下·上海·期末）若不平行，则下列向量中不能作为平面的一个基底是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】C 【分析】利用向量共线的判断方法来推理，即可得到选项． 【详解】对于A，不存在实数，使得，所以与不共线，即选项A中两个向量能作为基底，故A错误； 对于B，不存在实数，使得，所以与不共线，即选项B中两个向量能作为基底，故B错误； 对于C，因为，所以与共线，即选项C中两个向量不能作为基底，故C正确； 对于D，不存在实数，使得，所以与不共线，即选项D中两个向量是能作为基底，故D错误； 故选：C． 知识点02 向量线性运算的坐标表示 1正交分解及其坐标表示 ① 正交分解 把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解； 如上图，重力分解成平行斜面的力和垂直于斜面的压力. ② 向量的坐标表示 在平面内建立直角坐标系，以与轴、轴方向相同的两个单位向量 为基底，则平面内的任一向量 可表示为，称为向量的坐标，叫做向量的坐标表示. 向量，就是以原点为起点，点为终点的向量. 2 坐标运算 设，则 (1)向量的模 (2)向量的加减法运算 ， (3)若，，则  (4)实数与向量的积 【即学即练2】 （2020高二上·新疆·学业考试）若向量，则的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平面向量线性运算得坐标公式计算即可. 【详解】因为， 所以. 故选：D. 知识点03 平行向量 若 ，则。 【即学即练3】 （23-24高一下·北京顺义·期末）已知向量，，那么向量可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用共线向量的坐标表示判断即得. 【详解】对于A，由，得与不共线，A不是； 对于B，由，得与不共线，B不是； 对于C，由，得与不共线，C不是； 对于D，由，得，D是. 故选：D 【题型一：平面向量基本定理的基底】 例1．（22-23高一下·山西·阶段练习）如果表示平面内所有向量的一个基底，那么下列四组向量，不能作为一个基底的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平面向量基底的定义，结合平面向量共线定理逐一判断即可. 【详解】根据平面基底的定义知，向量为不共线非零向量，即不存在实数，使得， 对于A中，向量和，不存在实数，使得，可以作为一个基底； 对于B中，向量，假设存在实数，使得， 可得，此时方程组无解，所以和可以作为基底； 对于C中，向量和，假设存在实数，使得， 可得解得，所以和不可以作为基底； 对于D中，向量和，假设存在实数，使得 ， 可得此时方程组无解，所以和可以作为基底. 故选：C 变式1-1．（23-24高一下·山东菏泽·阶段练习）已知，是不共线的非零向量，则以下向量可以作为基底的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】由不共线的两个非零向量才可以作为基底，结合共线定理对各项逐一判断. 【详解】对于A，因为，所以与共线，不能作为基底； 对于B，设，则，解得，所以与共线，不能作为基底； 对于C，设，则，即：，此时无解，所以与不共线，可以作为基底； 对于D，设，则，即：，解得，所以与共线，不能作为基底； 故选：C. 变式1-2．（24-25高一上·上海·随堂练习）若已知、是平面上的一组基，则下列各组向量中不能作为基的一组是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】D 【分析】由基的定义可判断选项正误. 【详解】因、是平面上的一组基，则、不共线，据此可得ABC选项所对应向量组均不共线，可作为基， D选项，与共线，则不可以作为一组基. 故选：D 【方法技巧与总结】 作为基底的两个向量不能是共线向量,共线向量之间存在倍数关系. 【题型二：用基底表示向量】 例2．（24-25高三上·重庆·阶段练习）在平行四边形中，点，，分别满足，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】以为基底，根据向量的加法、减法、数乘运算求解即可. 【详解】由题意，如图，     ， 故选：A 变式2-1．（24-25高三上·湖南长沙·阶段练习）在平行四边形中，点为线段的中点，点在线段上，且满足，记，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据向量的线性运算计算即可. 【详解】由题意：. 故选：B 变式2-2．（2024高三·全国·专题练习）设D，E为△ABC所在平面内两点，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据几何关系，结合向量的线性运算，即可求解. 【详解】因为，，所以，， 所以.    故选：B 变式2-3．（2024·福建福州·模拟预测）如图，梯形的腰的中点为，且，记，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据图形，利用向量的几何运算得到，即可求解. 【详解】因为，又，所以， 又为腰的中点，所以， 故选：A. 变式2-4．（2024·陕西铜川·模拟预测）在△ABC中，点D为线段BC的中点，点E满足，若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用平面向量基本定理根据题意将用表示出来，从而可求出，进而可求得结果. 【详解】因为点D为线段BC的中点，点E满足， 所以，所以， 消去，得， 所以， 所以，，所以． 故选：D． 【方法技巧与总结】 用基底表示向量，主要是利用平行四边形法则或三角形法则求解. 【题型三：平面向量的基本定理的运用】 例3．（23-24高一下·吉林白山·期末）如图，在梯形中，在线段上，.若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，根据平面向量的线性运算可得，结合平面向量基本定理可得，即可得结果. 【详解】由题意可设， 则， 又因为，且，不共线， 可得，解得，即， 所以，即. 故选：D. 变式3-1．已知，是平面内两个不共线向量，，，A，B，C三点共线，则m＝（   ） A． B． C． D．6 【答案】C 【分析】利用共线向量定理列式计算即得. 【详解】由A，B，C三点共线，得，共线， 设，而，， 则，又，是平面内两个不共线向量，因此，， 所以. 故选：C 变式3-2．（2024高三·全国·专题练习）已知正三角形的边长为2，点满足，且， ，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据及，联想到，从而取的中点，利用共线定理即可得结果. 【详解】如图，取的中点， 连接，则， 又，故三点共线， 因为，所以点在中线上运动（不含端点）． 在正三角形中，， 则，故． 故选：C. 变式3-3．（23-24高一下·广东汕尾·期末）在中，，点为的垂心，且满足，，则（    ） A． B．－1 C． D． 【答案】D 【分析】一方面：根据已知得出，另一方面：由三点共线的推论即可列式求解. 【详解】由题意可知是以A为顶角的等腰三角形， 如图所示：，，则， 在直角三角形中，，即. 设， 则， ， 所以，所以. 故选：D. 【方法技巧与总结】 设点是平面内任意一点，且， 由平面向量三点共线定理可知，当点落在直线时，. 【题型四：用坐标表示平面向量】 例4．（2024高三·全国·专题练习）已知点，则与同方向的单位向量为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平面向量的坐标表示公式，结合平面向量模的运算公式进行求解即可. 【详解】由 ， 因此与同方向的单位向量为， 故选：A 变式4-1．（2024高二下·安徽·学业考试）点，,则向量＝（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由向量坐标的概念即可求解. 【详解】. 故选：B 变式4-2．（22-23高一下·吉林四平·阶段练习）已知，则下面说法正确的是（    ） A．A点的坐标是 B．当A是原点时，B点的坐标是 C．当是原点时，A点的坐标是 D．点的坐标是 【答案】B 【分析】根据向量坐标定义可判断AD；根据向量坐标等于终点坐标减始点坐标可判断BC. 【详解】设，由可得， 由平面向量的坐标定义可知，由向量坐标无法确定点A和点B的坐标，故AD错误； 当，则，即B点的坐标为，B正确； 当，，即，即A点的坐标是，C错误. 故选：B． 变式4-3．（21-22高一下·河南许昌·期末）已知对任意平面向量，把绕其起点沿逆时针方向旋转角得到向量，叫做把点B绕点A沿逆时针方向旋转角得到点P．已知平面内点，点，把点B绕点A沿顺时针方向旋转得到点P，则点P的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用新定义，根据两个向量坐标形式的运算法则，即可求解 【详解】由题意可得， 把点B绕点A沿顺时针方向旋转得到点P，即把点B绕点A沿逆时针方向旋转得到点P， 则 ， 设，则， 解得， 所以 故选：D 【方法技巧与总结】 1 若，，则  2 求点的坐标，可用待定系数法. 【题型五：平面向量线性运算的坐标表示】 例5．（24-25高三上·江苏南京·期中）已知向量，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据向量的线性运算及向量相等列方程求参即可. 【详解】向量， 若，则, 所以， 可得,即得. 故选：B. 变式5-1．（2024高二下·黑龙江·学业考试）已知向量，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用向量线性运算的坐标表示计算可得. 【详解】由向量可得 . 故选：B 变式5-2．（24-25高一上·北京·期末）如图所示，四点在正方形网格的格点处.若，则实数（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】建立平面直角坐标系，利用向量的坐标运算得解. 【详解】建立平面直角坐标系，如图，    则, 所以， 由可得， 即，解得，所以. 故选：C 变式5-3．（23-24高一下·广东梅州·期末）如图，在扇形AOB中，扇形的半径为，点在弧上移动，．当时，（   ）    A． B． C．2 D． 【答案】B 【分析】建立直角坐标系，求出三点坐标，利用坐标表示向量，然后根据条件求解即可 【详解】    如图，，又扇形的半径为，所以， 即， 所以， 由，得， 所以， 故选：B 【方法技巧与总结】 设，则 (1)向量的模 (2)向量的加减法运算 ， (3)实数与向量的积 【题型六：由向量的平行关系求参数】 例6．（2020·上海长宁·二模）已知向量，，，则“”是“ ”的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 【答案】C 【分析】根据题意，若时，则，，得出，得出，反之，则，列式求出，结合充要条件的判定，即可得出结论. 【详解】解：已知，， 若，则，， 可得，则有， 所以充分条件成立， 反之，若，则，即： 即：，解得：， 所以必要条件成立， 综合可得：“”是“ ”的充要条件. 故选：C. 【点睛】本题考查充要条件的判断，以及空间向量共线的运算，考查运算能力. 变式6-1．（24-25高三上·湖北随州·期末）已知向量若，则m等于（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据向量平行的坐标表示求解即可. 【详解】因为，所以，又，， 所以，解得. 故选：A. 变式6-2．（24-25高三上·广西·阶段练习）若向量，，且，，三点共线，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意可得∥，根据两向量平行的坐标运算求解即可. 【详解】解：由，，三点共线， 得∥， 得，解得. 故选：B. 变式6-3．（23-24高一下·重庆·期末）已知点，，，若四边形ABCD为平行四边形，则点D的坐标为（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设点D的坐标为，根据题意可知，结合向量的坐标表示分析求解即可. 【详解】设点D的坐标为，则， 若四边形ABCD为平行四边形，则， 可得，解得，即点D的坐标为. 故选：B. 【方法技巧与总结】 若 ，则。 一、单选题 1．（2024·上海浦东新·三模）给定平面上的一组向量、，则以下四组向量中不能构成平面向量的基底的是（    ） A．和 B． 和 C． 和 D． 和 【答案】C 【分析】根据平面向量共线定理，结合选项，进行逐一分析即可. 【详解】对A：不存在实数，使得， 故和不共线，可作基底； 对B：不存在实数，使得， 故和不共线，可作基底； 对C：对 和，因为是不共线的两个非零向量， 且存在实数，使得， 故和共线，不可作基底； 对D：不存在实数，使得，故和不共线，可作基底. 故选：C. 2（2024高三·全国·专题练习）已知点，，向量，则向量（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据向量坐标化的运算即可得到答案. 【详解】由题意得，． 故选：C. 3（2024高二下·湖北·学业考试）已知向量，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】运用向量的坐标运算计算即可. 【详解】因为向量，所以. 故选：D. 4（24-25高三上·山东济宁·期末）已知向量，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】由充分条件和必要条件的概念分别判断即可. 【详解】若，则，，此时，所以； 若，由向量共线定理，得，解得， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 5（2024·四川·一模）如图，在中，点，分别在，边上，且，，点为中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据条件，结合图形，利用向量的中线公式，得到，再利用向量的线性运算，即可求解. 【详解】因为点为中点，所以，又，， 所以 故选：C. 6（24-25高三上·江西南昌·期中）若点为所在平面内，且满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用向量的运算，确定点位置，根据长度关系可求面积之比. 【详解】如图所示， 因为， 所以可得， 所以与共线，且， 所以. 故选：D. 7（23-24高一下·新疆乌鲁木齐·期末）如图，在平行四边形中，，，与交于点.设，，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据、三点共线，可得、，利用平面向量线性运算的应用将表示，由此可得方程组求得，进而得到的值. 【详解】连接，如图， 因为三点共线，设，则， 所以； 因为三点共线，设，则， 所以， 则，解得，所以， 则，所以. 故选：D 8（2022·河南商丘·三模）如图，在中，点D，E分别在边AB，BC上，且均为靠近的四等分点，CD与AE交于点，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】作出辅助线，得到，，从而，，得到，得到答案. 【详解】连接DE， 由题意可知，，所以，则， 所以，所以， 则， 故. 又，所以，则. 故选：A 二、多选题 9．（24-25高一上·辽宁·期末）下列各组向量中，不能作为基底的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】结合坐标运算，根据平面向量的基底定义逐个选项判断即可. 【详解】要使平面中两个向量作为基底， 必须满足是非零向量，且不共线，即不存在倍数关系，故A正确； 对于B，由，B正确； 对于D，由，D正确； 对于C，两向量不存在倍数关系，所以C错误. 故选：ABD 10（23-24高一下·四川绵阳·期中）点，向量，，点是线段的三等分点，则点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】结合向量的坐标运算，并分类讨论，即可求解. 【详解】设点坐标为，因为向量，，则，， 当点为靠近点的三等分点时，则，故，解得：，，故点坐标为， 当点为靠近点的三等分点时，则，故，解得：，，故点坐标为， 故选：AD 11（23-24高一下·辽宁·开学考试）如图，正方形中，是的中点，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】建立如图所示的平面直角坐标系，利用向量线性运算的坐标形式可求，，故可得正确的选项. 【详解】 以为坐标原点建立平面直角坐标系，设正方形边长为1， 则，则. 故，，，故， 解得，故，，， 故选： AB. 三、填空题 12．（21-22高一下·安徽六安·期末）已知，则的坐标是 . 【答案】 【分析】由平面向量减法的坐标运算求解即可. 【详解】因为， 所以. 故答案为：. 13（24-25高三上·天津滨海新·阶段练习）已知点，，，．若点在轴上，则实数的值为 ． 【答案】 【分析】根据向量坐标运算，表示的坐标，结合点在轴上求的值. 【详解】∵，，， ∴，， ∵， ∴， ∵点在轴上， ∴， ∴. 故答案为： 14（2022·湖北武汉·三模）已知向量，，向量，，若，则实数 . 【答案】 【分析】根据题意可知，不共线，若，则，使得，代入结合向量相等运算． 【详解】根据题意可知，不共线 若，则，使得，即 则可得，解得 故答案为：． 四、解答题 15．（23-24高一下·全国·单元测试）已知，，求： (1)； (2). 【答案】(1) (2) 【分析】（1）（2）由向量线性运算的坐标运算，即可得到结果.. 【详解】（1）因为，， 所以. （2）因为，， 所以. 16（24-25高一上·北京·期末）已知向量，，． (1)求； (2)若向量，试用表示； (3)若，求实数的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先写出的坐标，再计算模长即可； （2）按照向量的坐标运算解方程即可； （3）先求出向量的坐标，再结合的坐标按照向量共线解方程即可. 【详解】（1）因为，， 所以， 所以. （2）由题可知与不共线，故设()， 即， 所以，解得，． 因此. （3）由题意得． 因为， 所以， 解得. 17（24-25高一上·辽宁沈阳·期末）如图所示，在中，为边上一点，且，若，，三点共线，且，. (1)用，表示； (2)求的最小值. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据平面向量线性运算法则计算可得. （2）根据（1）的结论，转化用，表示，根据、、三点共线找出等量关系，再利用基本不等式求出最小值. 【详解】（1）由，得， 所以. （2）由，，，， 得，又、、三点共线，因此， 则， 当且仅当，即时取等号， 所以取最小值. 18（24-25高一上·河北保定·期中）如图，在中，，．设，． (1)用，表示，； (2)若为内部一点，且．求证：，，三点共线． 【答案】(1) ， (2)证明见解析 【分析】（1）利用平面向量线性运算法则，计算出，进而得到； （2）计算出，结合（1）可得，证明出结论. 【详解】（1）由题可知， ， （2） ，且有公共点M ，，三点共线. 19（24-25高一上·辽宁·期末）如图1所示，在中，点在线段BC上，满足是线段AB上的点，且满足，线段CG与线段AD交于点． (1)若，求实数x，y的值； (2)若，求实数的值； (3)如图2，过点的直线与边AB，AC分别交于点E，F，设，，求的最小值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据向量的线性运算以为基底表示，进而求解； （2）根据向量的线性运算以为基底表示,又因为两向量共线所以具有倍数关系，求出的值； （3）根据向量的线性运算以为基底表示，又因为三点共线，所以系数之和为1，得出，然后应用基本不等式中1的代换求出的最小值. 【详解】（1）因为所以， 所以, 所以. （2）由题意可知：， ， 又因为三点共线，所以存在实数使得, ， 所以，解得：， 所以. （3）易知， 由（2）知， 又因为三点共线,所以，又， 所以：， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！12 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$