1.2.2 完全平方公式（5大题型提分练）-【上好课】2024-2025学年七年级数学下册同步精品课堂（湘教版2024）

1.2.2 完全平方公式 题型一 利用完全平方公式计算 1．的计算结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查完全平方公式，熟记完全平方公式是解答的关键．根据完全平方公式展开求解即可． 【详解】解： ， 故选：B． 2．的展开式是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查多项式乘多项式，利用完全平方公式把原式展开即可． 【详解】解：， 故选：C． 3．计算的结果（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查完全平方公式，解决本题的关键是要熟练掌握完全平方公式． 根据完全平方公式进行计算即可． 【详解】解：． 故选：B． 4．的运算结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了完全平方公式．变形后根据完全平方公式计算即可． 【详解】解： ， 故选：D． 5．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． （1）运用完全平方公式进行计算即可； （2）运用完全平方公式进行计算即可； （3）运用完全平方公式进行计算即可； （4）运用完全平方公式进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 题型二 利用完全平方公式进行简便运算 6．运用完全平方公式计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)3969 (2)9604 (3) (4) 【分析】此题考查了完全平方公式，解题的关键是掌握以上运算法则． （1）根据已知得出，然后根据完全平方公式求解即可； （2）根据已知得出，然后根据完全平方公式求解即可； （3）根据已知得出，然后根据完全平方公式求解即可； （4）根据已知得出，然后根据完全平方公式求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 7．用简便方法计算： (1)； (2)． 【答案】(1)90000 (2)10000 【分析】本题考查了平方差公式和完全平方公式的应用，熟记公式的形式是解题关键． （1）将原式写成，利用完全平方公式即可求解； （2）将原式写成，利用平方差公式即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 题型三 完全平方公式与几何图形 8．如图，边长为的正方形，将它的边长增加，根据图形可以说明公式：（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了完全平方公式的几何背景，即运用几何直观理解、解决完全平方公式的推导过程，通过几何图形之间的数量关系对完全平方公式做出几何解释． 本题依据大正方形的面积的不同表示方法，即可得到等式，进而得到本题答案． 【详解】解：由题可得，大正方形由2个小正方形和2个长方形组成，即大正方形的面积；大正方形边长为，大正方形的面积； ∴， 故选：B． 9．某学习小组学习《整式的乘除》这一章后，共同研究课题，用4个能够完全重合的长方形，长、宽分别为a、b拼成不同的图形．在研究过程中，一位同学用这4个长方形摆成了一个大正方形．如图，利用面积不同表示方法验证了下面一个等式，则这个等式是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了完全平方公式的几何背景，解决问题的关键是读懂题意，找到所求的量的等量关系．根据图形的组成以及正方形和长方形的面积公式，知：大正方形的面积小正方形的面积个矩形的面积，据此求解即可． 【详解】解：∵大正方形的面积小正方形的面积个矩形的面积， ∴． 故选：B． 10．观察下列图形由左到右的变化，写出相应的代数恒等式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查整式乘法与几何的应用，理解题意，能用代数式表示图中阴影部分的面积是解答的关键． 【详解】解：左图中阴影部分的面积为， 右图中阴影部分的面积为， ∴相应的代数恒等式为， 故选：C． 11．如图所示的四边形均为矩形或正方形，下列等式能够正确表示该图形面积与边长关系的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了完全平方和公式在图形中的应用． 根据大正方形面积S的两种求法：方法一，S等于边长的平方；方法二，S等于两个小正方形的面积与两个长方形的面积之和，由此即可得出答案． 【详解】解：由图可知，大正方形面积S的两种求法如下： 方法一：， 方法二： 则有 故选：A． 12．如图，将一个边长为的正方形分成四部分，观察图形，解答下列问题： (1)请根据图中阴影部分面积写出一个关于a、b的代数恒等式：______． (2)应用代数恒等式解决下列问题： ①若图中的a、满足，求的值； ②已知，求的值． 【答案】(1) (2)①5；② 【分析】本题考查完全平方公式的几何背景；理解题意，结合图形面积的关系得到公式，并能灵活运用公式是解题的关键． （1）用两种方法表示出图形的面积，进而求解即可； （2）①由，再将已知条件代入得到，解得；②设，则，，根据，得出，即可求解． 【详解】（1）解：根据图中条件得， 该图形中阴影部分的总面积， 该图形中阴影部分的总面积还可以表示为， ∴图中阴影部分面积的代数恒等式为：； （2）解：①． ， ． ②设， ． ， ． ． 即． 13．如图①所示是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四个小长方形，然后按图②的方式拼成一个正方形． (1)你认为图②中的阴影部分的正方形的边长等于________； (2)请用两种不同的方法列代数式表示图②中阴影部分的面积．方法①________，方法②________； (3)观察图②，你能写出，，这三个代数式之间的等量关系吗？ (4)根据（3）中的等量关系，解决如下问题：若，，求的值． 【答案】(1) (2)； (3) (4)4 【分析】本题考查了完全平方公式的几何背景，读懂题意，找到所求的量的等量关系是解题关键． （1）由题意可知，剪裁后的小长方形的长为，宽为，即可得到答案； （2）用两种不同方法表示出阴影面积即可； （3）结合（2）所得式子，即可得到答案； （4）根据（3）中的等量关系计算即可． 【详解】（1）解：由题意可知，剪裁后的小长方形的长为，宽为， 则图②中的阴影部分的正方形的边长等于， 故答案为： （2）解：方法①阴影的面积为边长的正方形面积，即； 方法②阴影的面积为大正方形的面积减去四个小长方形的面积，则， 故答案为：；； （3）解：根据图②里图形的面积关系，可得； （4）解：由（3）中的等量关系可知， ． 题型四 利用完全平方公式变形或化简求值 14．已知，，则的值等于（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】D 【分析】本题主要考查了完全平方公式的应用，熟记完全平方公式结构：，求出两个等式的差是解题的关键．取已知条件中的两个等式的差，结合完全平方公式即可得到，即可求得的值． 【详解】解：∵，， ∴， 即， 解得：． 故选：D． 15．已知，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了完全平方公式，由得，由得，然后即可求解，解题的关键是掌握完全平方公式． 【详解】解：由得， 由得， 得：， ∴， 故选：． 16．若，，则的值为（    ） A．0 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了完全平方公式，根据完全平方公式可知，，据此可得的值，进而得出则的值． 【详解】， 即， 解得， ， 故选：B． 17．已知，，求与的值． 【答案】25，57 【分析】本题考查了整式乘法的完全平方公式的应用，熟练掌握完全平方公式及其变形是解题的关键．根据完全平方公式的变形整体求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 18．先化简，再求值：，其中，． 【答案】，． 【分析】本题主要考查整式的混合运算，原式根据平方差公式、完全平方公式以及单项式乘以多项式将括号展开合并后得最简结果，再把的值代入计算即可． 【详解】解： 当，时，原式． 19．先化简，再求值：，其中． 【答案】，． 【分析】本题主要考查了整式的混合运算，先利用单项式乘多项式计算法则，平方差公式和完全平方公式去括号，然后合并同类项，最后代值求解即可得到答案． 【详解】解：原式= = 当时，原式=． 题型五 利用完全平方式求字母的值 20．已知是一个完全平方式，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查完全平方公式，由平方项确定出这两个数是解题的关键．先根据两平方项确定出这两个数，再根据完全平方公式的乘积二倍项即可确定k的值． 【详解】∵， ∴， ∴， 故选D． 21．已知多项式是完全平方式，则的值为（   ） A．5 B． C．9或 D．5或 【答案】D 【分析】本题考查了完全平方公式的变形计算，掌握完全平方公式的计算是解题的关键． 根据完全平方公式计算即可求解． 【详解】解：多项式是完全平方式， ∴， ∴， ∴或， 故选：D ． 22．若多项式是关于、的完全平方式，则的值为（   ） A．21 B．19 C．21或 D．或19 【答案】C 【分析】本题考查了完全平方式，先得出完全平方式为，再将其展开，则有，计算出k的值即可． 【详解】解：∵多项式是关于、的完全平方式， ∴， ∵， ∴， ∴或， 故选：C． 23．如果二次三项式是一个完全平方式，那么m的值是（   ） A． B．16 C．4 D． 【答案】A 【分析】本题考查了求完全平方式中的字母系数，熟练掌握完全平方式的结构特征是解题的关键． 根据完全平方式的结构特征即可得出答案． 【详解】解：二次三项式是一个完全平方式， ∴， ∴， 故选：A． 24．已知整式是一个完全平方式，则符合M的整式有（   ）个 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了完全平方式．根据完全平方公式得到或，然后把等式右边展开，从而得到M的值． 【详解】解：∵整式是一个完全平方式， ∴或， 即或， ∴或． 则符合M的整式有3个， 故选：C． 25．某同学化简出现了错误，解答过程如下： 解：原式第一步 第二步 第三步 (1)该同学的解答过程是从第______步开始出现错误的； (2)写出此题的正确解答过程 【答案】(1)一 (2) 【分析】本题考查了整式的乘法公式和整式的加减，利用整式乘法公式和整式的加减法则进行运算，并在计算过程中完成（1）即可． 【详解】（1）解：该同学从第一步开始出现错误； 故答案为：一； （2）原式 ． 26．已知，，分别求下列式子的值： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)12 (2)21 (3)126 【分析】本题主要考查了完全平方公式的变形应用，解题的关键是熟练掌握完全平方公式． （1）根据完全平方公式得出，，根据得出结果即可； （2）根据，，求出，得出，最后代入求值即可； （3）根据，，变形求出的值即可． 【详解】（1）解：，， ，， ， ∴， ； （2）解：∵，， ∴， ∴， 解得：， ∴； （3）解：． 27．根据完全平方公式， 我们可以得出下列结论：①，② 利用公式①和②解决下列问题： 已知满足， (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2)9 【分析】本题考查的是完全平方公式的变形应用，熟记完全平方公式是解本题的关键． （1）设，，由可得答案； （2）设，，可得，再进一步求解可得答案． 【详解】（1）解：设，，， ∴，， ∴ ， ∴； （2）解：∵设，， ∴， ∵，， ∴ ； ∴． 28．有一张边长为厘米的正方形木板，现需要将边长增加厘米，木工师傅设计了如图所示的三种方案，都可以利用图形面积关系来验证完全平方公式． 例如方案一： 大正方形面积可看成，也可看成，故 (1)根据方案三，大正方形面积可看成①______，也可看成②________③________，故； (2)若边长，之间的关系为，，求的值； (3)两块大小相等，形状相同的和（其中）按图的方式放置，、在同一直线上，连接、，若，，求阴影部分面积． 【答案】(1)，， (2) (3)10 【分析】本题主要考查了完全平方公式在几何图形中的应用，完全平方公式的变形求值，熟知完全平方公式是解题的关键． （1）方案二：大正方形面积可以看成一个边长为的正方形面积加上两个上底为，下底为，高为的梯形面积，据此仿照方案一求解即可； （2）先求出，进而得到，则． （3）先求出，，再根据求解即可． 【详解】（1）解：方案三：∵大正方形面积可以看成①， 又可以看成②， 故答案为：，，． （2）解：∵， ， ， ， ， ，即， （负值已舍去）． （3）解：根据题意设， 则，， 故，， 则 ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1.2.2 完全平方公式 题型一 利用完全平方公式计算 1．的计算结果为（   ） A． B． C． D． 2．的展开式是（   ） A． B． C． D． 3．计算的结果（　　） A． B． C． D． 4．的运算结果是（    ） A． B． C． D． 5．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 题型二 利用完全平方公式进行简便运算 6．运用完全平方公式计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 7．用简便方法计算： (1)； (2)． 题型三 完全平方公式与几何图形 8．如图，边长为的正方形，将它的边长增加，根据图形可以说明公式：（   ） A． B． C． D． 9．某学习小组学习《整式的乘除》这一章后，共同研究课题，用4个能够完全重合的长方形，长、宽分别为a、b拼成不同的图形．在研究过程中，一位同学用这4个长方形摆成了一个大正方形．如图，利用面积不同表示方法验证了下面一个等式，则这个等式是（   ） A． B． C． D． 10．观察下列图形由左到右的变化，写出相应的代数恒等式为（    ） A． B． C． D． 11．如图所示的四边形均为矩形或正方形，下列等式能够正确表示该图形面积与边长关系的是（   ） A． B． C． D． 12．如图，将一个边长为的正方形分成四部分，观察图形，解答下列问题： (1)请根据图中阴影部分面积写出一个关于a、b的代数恒等式：______． (2)应用代数恒等式解决下列问题： ①若图中的a、满足，求的值； ②已知，求的值． 13．如图①所示是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四个小长方形，然后按图②的方式拼成一个正方形． (1)你认为图②中的阴影部分的正方形的边长等于________； (2)请用两种不同的方法列代数式表示图②中阴影部分的面积．方法①________，方法②________； (3)观察图②，你能写出，，这三个代数式之间的等量关系吗？ (4)根据（3）中的等量关系，解决如下问题：若，，求的值． 题型四 利用完全平方公式变形或化简求值 14．已知，，则的值等于（   ） A． B． C．1 D．2 15．已知，，则的值为（    ） A． B． C． D． 16．若，，则的值为（    ） A．0 B．2 C．3 D．4 17．已知，，求与的值． 18．先化简，再求值：，其中，． 19．先化简，再求值：，其中． 题型五 利用完全平方式求字母的值 20．已知是一个完全平方式，则的值是（   ） A． B． C． D． 21．已知多项式是完全平方式，则的值为（   ） A．5 B． C．9或 D．5或 22．若多项式是关于、的完全平方式，则的值为（   ） A．21 B．19 C．21或 D．或19 23．如果二次三项式是一个完全平方式，那么m的值是（   ） A． B．16 C．4 D． 24．已知整式是一个完全平方式，则符合M的整式有（   ）个 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 25．某同学化简出现了错误，解答过程如下： 解：原式第一步 第二步 第三步 (1)该同学的解答过程是从第______步开始出现错误的； (2)写出此题的正确解答过程 26．已知，，分别求下列式子的值： (1)； (2)； (3)． 27．根据完全平方公式， 我们可以得出下列结论：①，② 利用公式①和②解决下列问题： 已知满足， (1)求的值； (2)求的值． 28．有一张边长为厘米的正方形木板，现需要将边长增加厘米，木工师傅设计了如图所示的三种方案，都可以利用图形面积关系来验证完全平方公式． 例如方案一： 大正方形面积可看成，也可看成，故 (1)根据方案三，大正方形面积可看成①______，也可看成②________③________，故； (2)若边长，之间的关系为，，求的值； (3)两块大小相等，形状相同的和（其中）按图的方式放置，、在同一直线上，连接、，若，，求阴影部分面积． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$