1.2.1 平方差公式（5大题型提分练）-【上好课】2024-2025学年七年级数学下册同步精品课堂（湘教版2024）

1.2.1 平方差公式 题型一 平方差公式 1．下列算式能用平方差公式计算的是（   ） A． B． C． D． 2．下列各式不能用平方差公式计算的是（   ） A． B． C． D． 3．计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【 4．计算： (1)； (2)； (3)． 题型二 利用平方差公式进行简便运算 5．利用平方差公式计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 6．用乘法公式计算：． 7．运用乘法公式计算：． 8．利用乘法公式计算． 9．计算： 题型三 平方差公式与几何图形 10．如图①，在边长为的正方形中挖掉一个边长为的小正方形，把余下的部分剪拼成一个矩形（如图②），验证了一个等式，则这个等式是（   ） A． B． C． D． 11．如图所示，在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形，将余下的部分拼成一个长方形，此过程可以验证（   ） A． B． C． D． 12．数学活动课上，小华将正方形纸片中间剪去一个小正方形，剩余部分沿虚线剪开（如图①），拼成新的图形（如图②），通过计算两个图形阴影部分的面积可以验证一个乘法公式，这个乘法公式为（   ） A． B． C． D． 13．从边长为的正方形减掉一个边长为的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）． (1)上述过程能验证的等式是_________； (2)若，求的值； (3)． 题型四 利用平方差公式化简求值 14．先化简，再求值：，其中． 15．先化简再求值：，其中． 题型五 利用平方差公式的综合 16．在学习整式乘法这一章时，我们经常利用图形面积得到关于整式乘法或因式分解的等式． (1)如图1，在边长为a的大正方形中，剪去一个边长为3的小正方形，将余下的部分按图中的虚线剪开后，拼成如图2所示的长方形，根据两个图形阴影部分面积相等的关系，可验证的等式为 ； (2)小明用四个如图3所示的小长方形，拼成如图4所示的大正方形． ①根据图4的图形面积，可以得到的一个等式是 ； ②利用①中的等式，解决问题：若，求一个小长方形的周长． 17．综合探究：某数学兴趣小组用“等面积法”构造了可以验证恒等式的图形： (1)【探究】图中求阴影部分面积能够验证的恒等式是 ； (2)【应用】利用（1）中的结论计算：； (3)【拓展】利用（1）中的结论计算：． 18．春秋时期，孔子有一天对他的弟子们说道：“举一隅，不以三隅反，则不复也．”这句话的意思是说：“教书先生举出一个墙角，学生就应该会独立思考，融会贯通，从而类推到其余三个墙角，然后用三个墙角反证老师先前提出的墙角，如果每个学生都这样学习和思考，教书先生就不用再费力气教学生了”．请阅读下面的解题过程，感受从特殊到一般的数学思想，类比推理解决以下问题． 例题：化简． 解：原式 ． (1)填空：______； (2)化简； (3)运用上面所学内容直接写出下面两题的答案． ______； 若、均为正整数，则______． 19．利用乘法公式计算下列各题： (1)； (2)； (3)； (4)． 20．用简便方法计算： (1)； (2)． (3) 21．计算： 22．如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“连偶数”．如：因此4，12，20都是“连偶数”． (1)请判断：52______“连偶数”；（填“是”或“不是”） (2)下面是两个同学演算后的发现，请判断真假，并说明理由． ①明明发现：两个连续偶数和2k（其中k是正整数）构造的“连偶数”也是4的倍数． ②心心发现：2032是“连偶数”． 23．问题提出： （1）数学课上王老师在黑板上写了如下式子： 小丽同学想到刚学的平方差公式，她的方法是： ， 求出 ． 问题解决：（2）请借鉴小丽的方法求出的值． 迁移应用：定义一种新运算：． （3） ． （4）求的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1.2.1 平方差公式 题型一 平方差公式 1．下列算式能用平方差公式计算的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平方差公式，可以用平方差公式计算的式子的特点是：两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数． 【详解】解：A、不符合平方差公式的形式，故不符合题意； B、原式，不符合平方差公式的形式，故不符合题意； C、原式，符合平方差公式的形式，故符合题意； D、原式，不符合平方差公式的形式，故不符合题意． 故选：C． 2．下列各式不能用平方差公式计算的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查平方差公式：，根据平方差公式逐项分析即可． 【详解】解：A、，故能够用平方差公式计算； B、不符合平方差公式的结构，故不能够用平方差公式计算； C、，故能够用平方差公式计算； D、，故能够用平方差公式计算； 故选：B． 3．计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平方差公式．根据平方差公式计算即可． 【详解】解： ． 故选：D． 4．计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查平方差公式，熟练掌握平方差公式是解题的关键； （1）直接运用平方差公式展开； （2）先根据平方差公式展开得到原式，然后根据幂的乘方法则运算； （3）先提负号得到原式，然后根据平方差公式计算． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ． 题型二 利用平方差公式进行简便运算 5．利用平方差公式计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)899 (2)99.99 (3)9996 (4)999991 【分析】本题考查了平方差公式的运用，两个二项式相乘，把这两个二项式转化为有一项完全相同，另一项互为相反数．相乘的结果应该是：右边是乘式中两项的平方差（相同项的平方减去相反项的平方）． （1）先将原式进行变形，再根据平方差公式求解即可； （2）先将原式进行变形，再根据平方差公式求解即可； （3）先将原式进行变形，再根据平方差公式求解即可； （4）先将原式进行变形，再根据平方差公式求解即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． 6．用乘法公式计算：． 【答案】 【分析】本题考查了有理数乘法，平方差公式，解题的关键是掌握平方差公式的运算法则．利用平方差公式进行计算，即可得到答案． 【详解】解：原式 ． 7．运用乘法公式计算：． 【答案】1 【分析】本题主要考查了有理数混合运算，平方差公式的应用，熟练掌握平方差公式，是解题的关键．根据平方差公式求出，然后进行计算即可． 【详解】解： ． 8．利用乘法公式计算． 【答案】 【分析】本题主要考查了运用平方差公式进行简便计算．根据算式中数字的特点把写成的形式，然后运用平方差公式展开，得到：原式，去括号合并同类项可得结果． 【详解】解： ． 9．计算： 【答案】1 【分析】本题考查了平方差公式．利用平方差公式变形，则原式等于，进行解答即可． 【详解】解： ． 题型三 平方差公式与几何图形 10．如图①，在边长为的正方形中挖掉一个边长为的小正方形，把余下的部分剪拼成一个矩形（如图②），验证了一个等式，则这个等式是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平方差公式的几何背景，正确识图是解题的关键．分别表示出图①和图②的面积，再根据图①和图②的面积相等即可求解． 【详解】解：由题意可得，图①中阴影部分的面积是：， 图②中矩形的面积是：， 图①和图②的面积相等， ， 故选：B． 11．如图所示，在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形，将余下的部分拼成一个长方形，此过程可以验证（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查平方差公式的几何背景，分别表示两个图形中阴影部分的面积即可得出答案． 【详解】解：第1个图中阴影部分的面积为：， 第2个图中阴影部分的面积为， 因此有， 故选：D． 12．数学活动课上，小华将正方形纸片中间剪去一个小正方形，剩余部分沿虚线剪开（如图①），拼成新的图形（如图②），通过计算两个图形阴影部分的面积可以验证一个乘法公式，这个乘法公式为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查平方差公式的几何背景，利用代数式表示拼接前、后的面积可得答案． 【详解】解：阴影部分的面积相等，左边阴影部分的面积，右边阴影部分面积， 可得：，可以验证平方差公式； 故选：A． 13．从边长为的正方形减掉一个边长为的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）． (1)上述过程能验证的等式是_________； (2)若，求的值； (3)． 【答案】(1) (2)； (3)． 【分析】本题考查了平方差公式与几何图形面积． （1）根据图形面积相等即可求解； （2）根据平方差公式进行计算即可求解； （3）根据平方差公式进行计算即可求解． 【详解】（1）解：上述过程能验证的等式是， 故答案为：； （2）解：， ， ， ， ∴； （3）解： ． 题型四 利用平方差公式化简求值 14．先化简，再求值：，其中． 【答案】； 【分析】此题考查了整式的混合运算-化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 原式利用单项式乘以多项式，以及平方差公式化简，去括号合并得到最简结果，把a的值代入计算即可求出值． 【详解】解：原式 ， 当时，原式． 15．先化简再求值：，其中． 【答案】，3 【分析】本题考查整式运算中的化简求值，先进行平方差公式和多项式乘以多项式的运算，再合并同类项，化简后，代值计算即可． 【详解】解：原式 ； 当时，原式． 题型五 利用平方差公式的综合 16．在学习整式乘法这一章时，我们经常利用图形面积得到关于整式乘法或因式分解的等式． (1)如图1，在边长为a的大正方形中，剪去一个边长为3的小正方形，将余下的部分按图中的虚线剪开后，拼成如图2所示的长方形，根据两个图形阴影部分面积相等的关系，可验证的等式为 ； (2)小明用四个如图3所示的小长方形，拼成如图4所示的大正方形． ①根据图4的图形面积，可以得到的一个等式是 ； ②利用①中的等式，解决问题：若，求一个小长方形的周长． 【答案】(1) (2)①② 【分析】（1）用代数式，分表表示图1，图2中的面积，即可求解， （2）①用代数式，分表表示图3，图4中的面积，即可求解，②将，代入求出，根据长方形周长公式，即可求解， 本题考查了平方差公式，解题的关键是：用代数式表示出图形中的面积． 【详解】（1）解：由图1得：， 由图2得：， 根据面积相等，得到：， （2）解：①由图3得：， 由图4得：， 根据面积相等，得到：， ②∵，， ∴，解得：， 所以小长方形的周长为：． 17．综合探究：某数学兴趣小组用“等面积法”构造了可以验证恒等式的图形： (1)【探究】图中求阴影部分面积能够验证的恒等式是 ； (2)【应用】利用（1）中的结论计算：； (3)【拓展】利用（1）中的结论计算：． 【答案】(1) (2)4 (3) 【分析】本题考查的是平方差公式的几何背景，平方差公式的灵活运用，熟练掌握平方差公式是解本题的关键． （1）分别用代数式表示图形中阴影部分的面积即可； （2）把原式化为，再利用平方差公式计算即可； （3）把原式化为，再依次利用平方差公式计算即可． 【详解】（1）解：图形中阴影部分的面积可以看作两个正方形的面积差，即，也可以拼成底为，高为的平行四边形，因此面积为， 所以有， 故答案为：； （2）原式 ． （3）原式 ． 18．春秋时期，孔子有一天对他的弟子们说道：“举一隅，不以三隅反，则不复也．”这句话的意思是说：“教书先生举出一个墙角，学生就应该会独立思考，融会贯通，从而类推到其余三个墙角，然后用三个墙角反证老师先前提出的墙角，如果每个学生都这样学习和思考，教书先生就不用再费力气教学生了”．请阅读下面的解题过程，感受从特殊到一般的数学思想，类比推理解决以下问题． 例题：化简． 解：原式 ． (1)填空：______； (2)化简； (3)运用上面所学内容直接写出下面两题的答案． ______； 若、均为正整数，则______． 【答案】(1)； (2)； (3) ； 【分析】本题考查了平方差公式，读懂题意，理解平方差公式的结构特点是解题的关键． （）根据平方差公式即可求解； （）原式变形后，根据平方差公式即可求解； （）原式变形后，根据平方差公式即可求解； 原式变形后，根据平方差公式即可求解； 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ， 故答案为：； 原式 ， 故答案为：． 19．利用乘法公式计算下列各题： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查平方差公式，熟练掌握平方差公式是解题的关键； （1）利用平方差公式进行计算即可得解； （2）利用平方差公式进行计算即可得解； （3）二次利用平方差公式进行计算即可得解； （4）先把第一项和第三项利用平方差公式计算，然后再次利用平方差公式进行计算即可得解． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． 20．用简便方法计算： (1)； (2)． (3) 【答案】(1)9999 (2)1 (3) 【分析】本题考查了平方差公式，同底数幂的乘法，熟练掌握这些知识是解题的关键． （1）根据平方差公式运算即可； （2）先根据平方差公式计算，再算加减； （3）利用平方差公式计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：原式 ． （3）解：原式 ． 21．计算： 【答案】 【分析】本题主要考查平方差公式，分母可通过高斯求和公式进行巧算，分子可根据平方差公式进行巧算． 【详解】 22．如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“连偶数”．如：因此4，12，20都是“连偶数”． (1)请判断：52______“连偶数”；（填“是”或“不是”） (2)下面是两个同学演算后的发现，请判断真假，并说明理由． ①明明发现：两个连续偶数和2k（其中k是正整数）构造的“连偶数”也是4的倍数． ②心心发现：2032是“连偶数”． 【答案】(1)是 (2)①明明的发现正确，理由见解析；②心心的发现不正确，理由见解析 【分析】本题主要考查了平方差公式，新定义： （1）看52能否可以用两个连续偶数的平方差表示即可得到结论； （2）①利用平方差公式求出，据此可得结论；②令，解方程看方程是否有正整数解即可得到结论． 【详解】（1）解：， ∴52是“连偶数”； 故答案为：是； （2）解：①明明的发现正确，理由如下： ， ∵k是正整数， ∴是正整数， ∴是4的倍数， ∴两个连续偶数和2k（其中k是正整数）构造的“连偶数”也是4的倍数； ②心心的发现不正确，理由如下： 由（1）可知“连偶数”是4的倍数， 那么当2032是“连偶数”时，一定存在一个正整数k满足， 解得，这与k是正整数矛盾， ∴2032不是“连偶数” ∴心心的发现不正确． 23．问题提出： （1）数学课上王老师在黑板上写了如下式子： 小丽同学想到刚学的平方差公式，她的方法是： ， 求出 ． 问题解决：（2）请借鉴小丽的方法求出的值． 迁移应用：定义一种新运算：． （3） ． （4）求的值． 【答案】（1）；（2）；（3）13；（4） 【分析】本题考查了平方差公式在计算中的应用，根据材料中的方法正确运用平方差公式是解题的关键．依次按照平方差公式计算即可． （1）依次按照平方差公式计算即可； （2）结合题意构造平方差公式的形式进行求解即可； （3）按照平方差公式计算即可； （4）由，得，则，……可知，结合题意构造平方差公式的形式进行求解即可． 【详解】解：（1） ， 故答案为：； （2） ； （3）， 故答案为：13； （4）∵， ∴，则，…… ∴， ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$