精品解析： 福建省福州外国语学校2024—2025学年八年级上学期数学12月适应性练习

2024—2025学年福州外国语学校八上数学12月适应性练习 一、选择题（本大题有10小题，每小题5分，共50分．每小题都有四个选项，其中有且只有一个选项正确） 1. 使分式有意义，则x满足条件（　　） A. x＞0 B. x≠0 C. x＞1 D. x≠1 【答案】D 【解析】 【分析】根据分式的分母不为零分式有意义，可得答案． 【详解】解：依题意得：x﹣1≠0． 解得x≠1． 故选：D． 【点睛】本题考查了分式有意义的条件，分母不等于零分式有意义． 2. “中国天眼”是世界上最大的单口径球面射电望远镜，它发现的一个脉冲星是至今世界上发现的射电流量最弱的高能毫秒脉冲星．其自转周期为0.00519秒．将0.00519用科学记数法表示应为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面0的个数所决定． 【详解】解：． 故选：C． 3. 点关于轴对称的点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查坐标与轴对称，根据关于轴对称的点的特征：横坐标互为相反数，纵坐标不变，进行求解即可． 【详解】点关于y轴对称的点的坐标为； 故选：A． 4. 如图，是一个的正方形网格．根据图中标示的各点位置，在下列三角形中，与全等的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定，观察可知点与点关于对称，即可求解． 【详解】解： 由图可知：点与点关于对称， 由轴对称的性质可知： 故选：C 5. 下列各式从左向右变形正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的基本性质，分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变，据此判断即可． 【详解】解：A、分子、分母都加2，分式的值改变，故A错误； B、，故B正确； C、，故C错误； D、，故D错误． 故选：B． 6. 若是完全平方式，则m 的值为（ ） A. 2 B. C. 4 D. 或4 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式．解题的关键在于对完全平方公式的熟练掌握与灵活运用．由题意知，，则，计算求解即可． 【详解】解：由题意知，， ∴，解得， 故选：D． 7. 《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目：一份文件，若用慢马送到900里远的城市，所需时间比规定时间多1天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少3天，已知快马的速度是慢马的2倍，求规定时间，设规定时间为天，则可列出正确的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设规定时间为天，分别表示出慢马和快马的行驶时间与速度，根据“快马的速度是慢马的倍”这一等量关系列方程即可解答． 【详解】解：设规定时间为天， ∵慢马所需时间比规定时间多天， ∴慢马的行驶时间为天，慢马速度为， ∵快马所需时间比规定时间少天， ∴快马的行驶时间为天，快马速度为， 又∵快马的速度是慢马的倍， ∴可得方程 ，即选项B符合题意． 8. 如图，已知，点在边上，且点在点的右侧，，点是边上一动点，在点运动的过程中，始终保持，若，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了含的直角三角形，等腰三角形的判定与性质．熟练掌握含的直角三角形，等腰三角形的判定与性质是解题的关键． 如图，作于，则，，，根据，计算求解即可． 【详解】解：如图，作于， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 9. 四个全等的直角三角形按如图1所示的方式摆放，形成两个正方形，大正方形的面积为，空白区域所示的小正方形面积为．将图1中的直角三角形分别沿着斜边往里翻折，形成如图2所示的更小正方形，若直角三角形的两条直角边长分别为，则代数式的值为（ ） A. 4 B. 6 C. 12 D. 18 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查勾股定理以及完全平方公式，注意观察图形：发现各个图形的面积和a，b的关系是解决本题的关键．根据正方形的面积公式以及勾股定理，结合图形进行分析发现：图1中：大正方形的面积为，小正方形的面积为，则四个直角三角形的面积和是大正方形的面积减去小正方形的面积为．在图2中，最中间的正方形面积为，也可以用图1中的小正方形面积减去四个直角三角形的面积，即，即可求解． 【详解】解：根据题意，得， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 10. 已知，，为自然数，且满足，则的取值不可能是（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了幂的乘方，根据题意可得，从而得出，，再分情况讨论求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴，， ∵，，为自然数， ∴当时，，此时， 当时，，此时， 当时，，此时， 当时，，此时， 综上所述，的取值不可能是8， 故选：D． 二、填空题（本大题有6小题，每小题5分，共30分） 11. 若，则应满足条件__________． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了零次幂，关键是掌握底数不能为零． 根据零指数幂：可得，解出即可． 【详解】解：∵， ∴， 解得：， 故答案为：． 12. 如图，≌，，，则 ______ cm． 【答案】2 【解析】 【分析】先求出BC，再根据全等三角形对应边相等可得BE=AB，BD=BC，然后根据DE=BD-BE计算即可得解． 【详解】∵AB=3cm，AC=8cm， ∴BC=8-3=5cm， ∵△ABD≌△EBC， ∴BE=AB=3cm，BD=BC=5cm， ∴DE=BD-BE=5-3=2cm． 故答案为2． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质，主要利用了全等三角形对应边相等，熟记性质是解题的关键． 13. 在△ABC中，按以下步骤作图：①分别以A，B为圆心，大于的长为半径画弧，相交于两点M，N；②作直线MN交AC于点D，连接BD．若CD＝BC，∠A＝35°，则∠C＝_________________. 【答案】40° 【解析】 【详解】由题意可知MN是AB的垂直平分线，∴AD=BD，∴∠ABD=∠A=35°， ∴∠CDB=∠A+∠ABD=70°， ∵CD=CB，∴∠CBD=∠CDB=70°，∴∠C=180°-∠CBD-∠CDB=40°， 故答案为40°. 【点睛】本题考查了尺规作图、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质等，结合图形熟练运用相关性质是解题的关键. 14. 已知实数满足，则____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了分式混合运算的应用：分式的化简求值，熟练掌握以上知识是解题的关键． 根据题意得：，，代入原式后化简即可求解． 【详解】解：根据题意得：， ∵， ∴代入到上式，即原式， ， ， ， 故答案为：． 15. 已知，，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了求代数式的值，利用平方差公式和完全平方公式进行计算，先将变形为，再代入代数式并结合平方差公式计算即可得解． 【详解】解：∵，， ∴ ， 故答案为：． 16. 如图，是等边的高，点是线段上一点，连接，以为边向右下方作等边，当的值最小时，的大小为________． 【答案】##度 【解析】 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，轴对称的性质等等，连接，证明，得到，则点N在直线上运动，如图，作点D关于的对称点G，连接，则，故当B，N，G在同一直线上时，的最小值，即此时最小，由轴对称的性质，可得，，则是等边三角形，得到，，求出，则，进而可得三点共线，据此可得答案． 【详解】解：连接，如图所示： ∵、都是等边三角形，是等边的高， ∴，，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点N在直线上运动， 如图，作点D关于的对称点G，连接，则， ∴当B，N，G在同一直线上时，的最小值，即此时最小， 由轴对称的性质，可得，， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， 又∵， ∴三点共线， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，等边三角形的性质，三角形内角和定理，轴对称的性质，垂线段最短，解题的关键是作出辅助线，证明． 三、解答题（本大题有7小题，共70分） 17. 计算： （1）． （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算、多项式乘以多项式，熟练掌握运算法则是解此题的关键． （1）先计算乘方、绝对值、零指数幂、负整数指数幂，再计算加减即可； （2）根据多项式乘以多项式运算法则计算即可得解． 【小问1详解】 解：原式 【小问2详解】 解：原式 ． 18. 先化简，再求值：，其中． 【答案】，1 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，解题的关键是掌握利用完全平方公式进行因式分解． 先对分式进行化简，再代数求值即可． 【详解】解： 将代入上式得， 原式． 19. 如图，在中，D是的中点，于E，于点F，且，求证：平分． 【答案】 证明： D是的中点， ， ，， ， 在和中， ， ， ， 又，， 平分． 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，角平分线的判定等，证明，由全等三角形的性质可得，然后根据“在角的内部到一个角的两边距离相等的点在这个角的角平分线上”，即可证明结论． 【详解】略 20. 劳动课上，甲、乙两小组制作纸玫瑰花，已知甲组每分钟比乙组多制作2朵，甲组制作15朵所用的时间与乙组制作10朵所用的时间相等，求甲、乙两组每分钟各制作玫瑰花多少朵？ 【答案】甲组每分钟制作玫瑰花6朵，乙组每分钟制作4朵． 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，设一组每分钟制作玫瑰花x朵，即可等到另一组每分钟制作的玫瑰花朵数，再根据“甲组制作15朵所用的时间与乙组制作10朵所用的时间相等”列出方程即可求解． 【详解】解：设甲组每分钟制作玫瑰花x朵，则乙组每分钟制作玫瑰花朵， 依题意得解得：， 检验：当时，． 所以原分式方程的解为：． 乙组每分钟制作玫瑰花（朵）． 答：甲组每分钟制作玫瑰花6朵，乙组每分钟制作4朵． 21. 乘法公式的探究及应用． 数学活动课上，老师准备了若干张如图所示的三种纸片，种纸片是边长为的正方形，种纸片是边长为的正方形，种纸片是长为，宽为的长方形，并用一张种纸片，一张种纸片，两张种纸片拼成了如图所示的大正方形． （1）观察图，请写出代数式，，之间的等量关系式． （2）根据（1）中的等量关系，解决如下问题： 已知，，求的值； 已知，求的值． 【答案】（1） （2）①；② 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式的几何背景及应用，列代数式，掌握完全平方公式的结构特征是解题的关键． （1）由图2可得总面积减掉两个小长方形面积等于两个正方形面积之和即可求解； （2）①根据题（1）公式计算即可；②令，从而得到，代入计算即可求解． 【小问1详解】 解：由图可得总面积减掉两个小矩形面积等于两个正方形面积之和， 即，∴ 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 令， ∴， ， ∵， ∴， 解得， ∴． 22. 阅读：在分式中，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”，例如：，这样的分式就是假分式；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”，例如：，这样的分式就是真分式，我们知道，假分数可以化为带分数，例如：．类似地，假分式也可以化为“带分式”，即整式与真分式的和的形式，例如： ； ． 请根据上述材料，解答下列问题： （1）填空：①分式是______分式（填“真”或“假”）． ②把下列假分式化成一个整式与一个真分式的和（差）的形式： ______＋______． （2）把分式化成一个整式与一个真分式的和（差）的形式，并求x取何整数时，这个分式的值为整数． （3）一个三位数m，个位数字是百位数字的两倍．另一个两位数n，十位数字与m的百位数字相同，个位数字与m的十位数字相同．若这个三位数的平方能被这个两位数整除，求满足条件的两位数n． 【答案】（1）①真；②， （2），或或或 （3）36 【解析】 【分析】（1）①根据真分式的定义判断即可；②根据材料中的方法变形即可得到结果； （2）原式利用材料中的方法变形，即可确定出分式的值为整数时整数的值； （3）设三位数的百位数字为，十位数字为，然后表示出，的表达式，再计算，然后利用材料中的方法变形，进行讨论即可． 【小问1详解】 解：①的分子的次数小于分母的次数， ∴分式是真分式， 故答案为：真； ②， 故答案为：，； 【小问2详解】 解： 若这个分式的值为整数， 则或或或， ∴或或或； 【小问3详解】 解：设三位数的百位数字为，十位数字为， 则个位数字为，，， ， ， ， ， ， 当时， 为正整数， ， 当时，且为正整数， 不可能为整数， ． 【点睛】此题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 23. 如图，在中，为锐角，点是的中点，直线经过点且在右侧．点关于直线的对称点为点，．连接交线段于点，连接． （1）求证：； （2）若，探究线段的数量关系； （3）在直线绕点旋转的过程中，是否存在的情形？若存在，求此时的度数；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） 证明：∵，点D是的中点， ∴垂直平分， ∴； （2） 解：； 如图1，在上找一点P，使得， 由（1）知：，，， ∵， ∴，， ∴ ，，，， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∵点关于直线的对称点为点， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴，即； （3）存在， 【解析】 【分析】（1）由，点D是的中点，可得垂直平分，则； （2）如图1，在上找一点P，使得，则，， ，，，，证明是等边三角形，则，由点关于直线的对称点为点，可得，则，证明，则， ； （3）如图2，由题意知，，则，直线l绕点A旋转的过程中，存在，由，可得． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：直线l绕点A旋转的过程中，存在，此时，如图2， ∵， ∴， ∵为锐角，也为锐角， ∴， ∴直线l绕点A旋转的过程中，存在， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴当时，总有． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质，垂直平分线的性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，含的直角三角形，三角形内角和定理，三角形外角的性质，轴对称的性质等知识．熟练掌握等腰三角形的判定与性质，垂直平分线的性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，含的直角三角形，三角形内角和定理，三角形外角的性质，轴对称的性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年福州外国语学校八上数学12月适应性练习 一、选择题（本大题有10小题，每小题5分，共50分．每小题都有四个选项，其中有且只有一个选项正确） 1. 使分式有意义，则x满足条件（　　） A. x＞0 B. x≠0 C. x＞1 D. x≠1 2. “中国天眼”是世界上最大的单口径球面射电望远镜，它发现的一个脉冲星是至今世界上发现的射电流量最弱的高能毫秒脉冲星．其自转周期为0.00519秒．将0.00519用科学记数法表示应为（ ） A. B. C. D. 3. 点关于轴对称的点的坐标为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，是一个的正方形网格．根据图中标示的各点位置，在下列三角形中，与全等的是（ ） A. B. C. D. 5. 下列各式从左向右变形正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 若是完全平方式，则m 的值为（ ） A. 2 B. C. 4 D. 或4 7. 《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目：一份文件，若用慢马送到900里远的城市，所需时间比规定时间多1天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少3天，已知快马的速度是慢马的2倍，求规定时间，设规定时间为天，则可列出正确的方程为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，已知，点在边上，且点在点的右侧，，点是边上一动点，在点运动的过程中，始终保持，若，则的长为（ ） A. B. C. D. 9. 四个全等的直角三角形按如图1所示的方式摆放，形成两个正方形，大正方形的面积为，空白区域所示的小正方形面积为．将图1中的直角三角形分别沿着斜边往里翻折，形成如图2所示的更小正方形，若直角三角形的两条直角边长分别为，则代数式的值为（ ） A. 4 B. 6 C. 12 D. 18 10. 已知，，为自然数，且满足，则的取值不可能是（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 二、填空题（本大题有6小题，每小题5分，共30分） 11. 若，则应满足条件__________． 12. 如图，≌，，，则 ______ cm． 13. 在△ABC中，按以下步骤作图：①分别以A，B为圆心，大于的长为半径画弧，相交于两点M，N；②作直线MN交AC于点D，连接BD．若CD＝BC，∠A＝35°，则∠C＝_________________. 14. 已知实数满足，则____________． 15. 已知，，则___________． 16. 如图，是等边的高，点是线段上一点，连接，以为边向右下方作等边，当的值最小时，的大小为________． 三、解答题（本大题有7小题，共70分） 17. 计算： （1）． （2） 18. 先化简，再求值：，其中． 19. 如图，在中，D是的中点，于E，于点F，且，求证：平分． 20. 劳动课上，甲、乙两小组制作纸玫瑰花，已知甲组每分钟比乙组多制作2朵，甲组制作15朵所用的时间与乙组制作10朵所用的时间相等，求甲、乙两组每分钟各制作玫瑰花多少朵？ 21. 乘法公式的探究及应用． 数学活动课上，老师准备了若干张如图所示的三种纸片，种纸片是边长为的正方形，种纸片是边长为的正方形，种纸片是长为，宽为的长方形，并用一张种纸片，一张种纸片，两张种纸片拼成了如图所示的大正方形． （1）观察图，请写出代数式，，之间的等量关系式． （2）根据（1）中的等量关系，解决如下问题： 已知，，求的值； 已知，求的值． 22. 阅读：在分式中，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”，例如：，这样的分式就是假分式；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”，例如：，这样的分式就是真分式，我们知道，假分数可以化为带分数，例如：．类似地，假分式也可以化为“带分式”，即整式与真分式的和的形式，例如： ； ． 请根据上述材料，解答下列问题： （1）填空：①分式是______分式（填“真”或“假”）． ②把下列假分式化成一个整式与一个真分式的和（差）的形式： ______＋______． （2）把分式化成一个整式与一个真分式的和（差）的形式，并求x取何整数时，这个分式的值为整数． （3）一个三位数m，个位数字是百位数字的两倍．另一个两位数n，十位数字与m的百位数字相同，个位数字与m的十位数字相同．若这个三位数的平方能被这个两位数整除，求满足条件的两位数n． 23. 如图，在中，为锐角，点是的中点，直线经过点且在右侧．点关于直线的对称点为点，．连接交线段于点，连接． （1）求证：； （2）若，探究线段的数量关系； （3）在直线绕点旋转的过程中，是否存在的情形？若存在，求此时的度数；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $