专题8.2 整式的乘法（分层专项练习）-2024-2025学年七年级数学下册基础知识专项突破讲与练（苏科版）

专题1.4 整式的乘法（分层专项练习） 第一部分：夯实基础.............................................................................................................1 第二部分：链接中考.............................................................................................................2 第三部分：培优拓展.............................................................................................................4 第一部分：夯实基础 一、单选题 1．（20-21八年级上·天津红桥·期末）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级下·安徽六安·期末）若则代数式的值为（     ） A．7 B．8 C．9 D．10 3．（24-25八年级上·云南玉溪·期末）若，则m的值为（   ） A．1 B． C．7 D． 4．（23-24七年级下·陕西西安·期末）已知 ，则整式M=（   ） A． B． C． D． 5．（23-24七年级下·陕西西安·期中）根据，，，的规律，则的个位数字是（    ） A．7 B．5 C．3 D．1 6．（23-24七年级下·河南郑州·期末）观察图1中多项式乘以多项式的运算规律，将之迁移到图2所示运算中，可得分别是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 7．（21-22七年级下·湖南怀化·期末）若，则的值为 ． 8．（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）定义新运算：，则的运算结果是 ． 9．（23-24七年级下·山东东营·期末）若关于x的多项式的乘积化简后不含项，则 ． 10．（21-22七年级下·湖南永州·期末）某人计算时，已正确得出结果中的一次项系数为，不小心将第二个括号中的常数染黑了，则被染黑的常数为 ． 11．（22-23八年级上·湖北武汉·期末）如图，在一块边长为的正方形花圃中，修建两条宽为2米的人行道，人行道把花圃分隔成4块小长方形花圃，则该花圃的实际种花面积用含的式子表示为 ． 12．（23-24七年级下·陕西渭南·期中）如图，有正方形卡片类，类和长方形卡片类若干张，如果要拼一个长为，宽为的大长方形，则需要类卡片 张． 三、解答题 13．（24-25八年级上·云南昆明·期中）计算： (1)； (2)． 14．（24-25七年级上·上海·阶段练习）已知，，．求： (1) (2) 15．（23-24七年级下·贵州毕节·期末）先化简，再求值： (1)，其中，． (2)已知，求代数式的值． 第二部分：链接中考 一、单选题 1．（2024·湖北·中考真题）的值是（    ） A． B． C． D． 2．（2024·河北·中考真题）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（2024·辽宁·中考真题）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 4．（2024·甘肃兰州·中考真题）计算：（    ） A．a B． C． D． 5．（2020·四川达州·中考真题）图2是图1中长方体的三视图，用S表示面积，则（　　）    A． B． C． D． 6．（2023·湖北随州·中考真题）设有边长分别为a和b()的A类和B类正方形纸片、长为a宽为b的C类矩形纸片若干张．如图所示要拼一个边长为的正方形，需要1张A类纸片、1张B类纸片和2张C类纸片．若要拼一个长为、宽为的矩形，则需要C类纸片的张数为(    )    A．6 B．7 C．8 D．9 二、填空题 7．（2021·青海西宁·中考真题）计算 ． 8．（2018·广西玉林·中考真题）已知ab=a+b+1，则（a﹣1）（b﹣1）= ． 9．（2011·浙江湖州·中考真题）如图，甲类纸片是边长为2的正方形，乙类纸片是边长为1的正方形，丙类纸片是长、宽边长分别是2和1的长方形．现有甲类纸片1张，乙类纸片4张，则应至少取丙类纸片 张才能用它们拼成一个新的正方形． 10．（2011·安徽·中考真题）定义运算ab＝a(1－b)，下面给出了关于这种运算的四个结论： ①2(－2)＝6； ②ab＝ba；③若a＋b＝0，则(aa)＋(bb)＝2ab； ④若ab＝0，则a＝0．其中正确结论的序号是 (填上你认为所有正确结论的序号)． 11．（2023·黑龙江大庆·中考真题）1261年，我国宋朝数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中提到了如图所示的数表，人们将这个数表称为“杨辉三角”． 观察“杨辉三角”与右侧的等式图，根据图中各式的规律，展开的多项式中各项系数之和为 ． 12．（2021·湖南常德·中考真题）如图中的三个图形都是边长为1的小正方形组成的网格，其中第一个图形有个正方形，所有线段的和为4，第二个图形有个小正方形，所有线段的和为12，第三个图形有个小正方形，所有线段的和为24，按此规律，则第n个网格所有线段的和为 ．(用含n的代数式表示) 第三部分：培优拓展 一、单选题 1．（23-24七年级下·江苏苏州·期末）下列运算正确的是（     ） A． B． C． D． 2．（18-19七年级下·全国·课后作业）若a3(3an-2am+4ak)=3a9-2a6+4a4，则m，n，k的值分别为（    ） A．6，3，1 B．3，6，1 C．2，1，3 D．2，3，1 3．（24-25八年级上·河南南阳·阶段练习）已知， 则代数式的值为（   ） A．3 B． C． D．8 4．（24-25八年级上·福建福州·期中）已知等式（为正整数），则的值不可能是（   ） A． B． C． D． 5．（24-25八年级上·广东江门·期中）如果等式成立，那么a、b的值分别是（　　） A．0， B．0，1 C．1，0 D．，0 6．（24-25八年级上·河南安阳·阶段练习）我国宋代数学家杨辉所著《详解九章算法》中记载了用如图所示的三角形解释了二项和的乘方展开式中的系数规律，我们把这种数字三角形叫做“杨辉三角”．请你利用杨辉三角，计算的展开式中，含项的系数是（   ） A．15 B．10 C．9 D．6 二、填空题 7．（23-24七年级下·湖南永州·期末）计算： ． 8．（19-20七年级上·黑龙江大庆·期中）若5am+1b2与3an+2bn的积是15a8b4，则nm＝ ． 9．（24-25八年级上·新疆乌鲁木齐·期中）若，则的值是 ． 10．（24-25八年级上·四川乐山·期中），则 ． 11．（24-25八年级上·河南驻马店·期中）若的乘积中不含项和项，则 ． 12．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，某公园形如长方形，长为a、宽为b，该公园中有3条宽均为c的小路，其余部分均种上小草，则该公园种植小草的面积为 ． 三、解答题 13．（22-23七年级下·重庆沙坪坝·期末）计算： (1)； (2)． 14．（22-23六年级下·山东淄博·期末）先化简，再求值： (1)已知，求的值； (2)，其中满足． 15．（19-20七年级下·江苏无锡·阶段练习）【数学实验】如图，有足够多的边长为a的小正方形（A类）、长为a宽为b的长方形（B类）以及边长为b的大正方形（C类），发现利用图①中的三种材料各若干个可以拼出一些长方形来解释某些等式．例如图②可以解释为：（a＋2b）（a＋b）＝a2＋3ab＋2b2．    【初步运用】 （1）仿照例子，图③可以解释为： ； （2）取图①中的若干个（三种图形都要取到）拼成一个长方形，使它的边长分别为（2a＋3b）、（a＋5b），不画图形，试通过计算说明需要C类卡片多少张； 【拓展运用】 若取其中的若干个（三种图形都要取到）拼成一个长方形，使它的面积为2a2＋5ab＋3b2，通过操作你会发现拼成的长方形的长宽分别是 ，将2a2＋5ab＋3b2改写成几个整式积的形式为 ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题1.4 整式的乘法（分层专项练习） 第一部分：夯实基础.............................................................................................................1 第二部分：链接中考.............................................................................................................7 第三部分：培优拓展...........................................................................................................13 第一部分：夯实基础 一、单选题 1．（20-21八年级上·天津红桥·期末）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了单项式的乘法，单项式与单项式的乘法法则是，把它们的系数相乘，字母部分的同底数的幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，连同它的指数作为积的一个因式． 解：：A．，故不正确； B．，正确； C．，故不正确；     D．，故不正确； 故选B． 2．（23-24七年级下·安徽六安·期末）若则代数式的值为（     ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】B 【分析】本题考查了代数式求值，将式子变形，代入求值即可． 解：：， ， 故选：B． 3．（24-25八年级上·云南玉溪·期末）若，则m的值为（   ） A．1 B． C．7 D． 【答案】B 【分析】本题考查多项式乘多项式．利用多项式乘多项式法则进行计算即可． 解：：∵， ∴； 故选：B． 4．（23-24七年级下·陕西西安·期末）已知 ，则整式M=（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】题目主要考查单项式的乘除法运算，根据题意得出，求解即可 解：：根据题意得：， 故选：D 5．（23-24七年级下·陕西西安·期中）根据，，，的规律，则的个位数字是（    ） A．7 B．5 C．3 D．1 【答案】D 【分析】本题主要考查了多项式乘法相关的规律、数字类规律探索等知识点．由题意可发现规律，再将代入进行计算可得，然后根据的末位数字的规律，即可解答． 解：：根据题意得：， 把代入得：， ∴， ∵， ∴的末位数字是按1，3，7，5为一个循环的， ∵， ∴的末位数字为1． 故选D． 6．（23-24七年级下·河南郑州·期末）观察图1中多项式乘以多项式的运算规律，将之迁移到图2所示运算中，可得分别是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查多项式乘多项式，根据图示，得到，将各选项逐一代入，验证即可． 解：：由图示可得：， A、，不符合题意； B、，符合题意； C、，不符合题意； D、，不符合题意； 故选B． 二、填空题 7．（21-22七年级下·湖南怀化·期末）若，则的值为 ． 【答案】4 【分析】先利用单项式乘单项式法则计算，再根据等式得到指数间关系，最后求出． 解：：∵ ， ∴， ∴①，②． ∴，得． 故答案为：4． 【点睛】本题考查了整式的运算，掌握单项式乘单项式法则是解决本题的关键． 8．（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）定义新运算：，则的运算结果是 ． 【答案】 【分析】本题考查定义新运算，整式的混合运算，解题的关键是掌握定义新运算的运算法则．根据定义新运算计算即可． 解：：， 故答案为：． 9．（23-24七年级下·山东东营·期末）若关于x的多项式的乘积化简后不含项，则 ． 【答案】 【分析】本题考查整式的混合运算，解题的关键在于熟练掌握相关运算法则；根据整式的混合运算顺序，先去括号，再合并同类项后，根据不含项，则该项的系数为0，即可求得a的值． 解：： ， 关于x的多项式的乘积化简后不含项， ， 解得， 故答案为：． 10．（21-22七年级下·湖南永州·期末）某人计算时，已正确得出结果中的一次项系数为，不小心将第二个括号中的常数染黑了，则被染黑的常数为 ． 【答案】1 【分析】根据多项式乘多项式的法则进行运算，再结合所给的条件进行求解即可． 解：：（x－2）（x+■）=x2+（■－2）x－2■， ∵一次项系数为－1， ∴■－2=－1， 解得：■=1． 故答案为：1． 【点睛】本题主要考查多项式乘多项式，解答的关键是运算时注意符号的变化． 11．（22-23八年级上·湖北武汉·期末）如图，在一块边长为的正方形花圃中，修建两条宽为2米的人行道，人行道把花圃分隔成4块小长方形花圃，则该花圃的实际种花面积用含的式子表示为 ． 【答案】 【分析】根据图形表示出正方形花圃的边长为：，即可得出该花圃的实际种花面积为 【详解】由图可知； 正方形花圃的边长为：， ∴该花圃的实际种花面积， 故答案为： 【点睛】本题主要考查多项式乘多项式表示图形面积，解题的关键是根据图形表示出正方形花圃的边长． 12．（23-24七年级下·陕西渭南·期中）如图，有正方形卡片类，类和长方形卡片类若干张，如果要拼一个长为，宽为的大长方形，则需要类卡片 张． 【答案】7 【分析】本题考查多项式乘以多项式与图形的面积，求出的值，即可得出结果． 解：：∵，类卡片的面积为， ∴需要类卡片张； 故答案为：7． 三、解答题 13．（24-25八年级上·云南昆明·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式的运算，主要是幂的运算，多项式与多项式的乘法，准确熟练地掌握运算法则和公式是解题的关键． （1）先进行幂的运算，后算加减，即可解答； （2）利用多项式乘多项式进行计算，即可解答． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 14．（24-25七年级上·上海·阶段练习）已知，，．求： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】此题主要考查了整式的加减，熟练掌握去括号法则和合并同类项法则是解题关键． （1）代入代数式，去括号，然后合并同类项，即可求解； （2）代入代数式，利用多项式乘多项式去括号，然后合并同类项，即可求解． （1）解： ； （2）解： ． 15．（23-24七年级下·贵州毕节·期末）先化简，再求值： (1)，其中，． (2)已知，求代数式的值． 【答案】(1)；16 (2) 【分析】本题主要考查了整式化简求值，解题的关键是熟练掌握整式混合运算法则，准确计算． （1）先根据整式混合运算法则进行化简，然后再代入数据进行计算即可； （2）先根据整式混合运算法则进行化简，然后再整体代入进行计算即可． （1）解： ， 当，时， 原式 ． （2）解： ， ∵， ∴， ∴原式 ． 第二部分：链接中考 一、单选题 1．（2024·湖北·中考真题）的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查单项式与单项式的乘法．运用单项式乘单项式运算法则求出结果即可判断． 解：：， 故选：D． 2．（2024·河北·中考真题）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查整式的运算，根据合并同类项，单项式乘以单项式，积的乘方，同底数幂的除法依次对各选项逐一分析判断即可．解题的关键是掌握整式运算的相关法则． 解：：A．，不是同类项，不能合并，故此选项不符合题意； B．，故此选项不符合题意； C．，故此选项符合题意； D．，故此选项不符合题意． 故选：C． 3．（2024·辽宁·中考真题）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据合并同类项、同底数幂的乘法、幂的乘方、单项式乘以多项式等知识点进行判定即可． 【详解】A．，故本选项原说法不符合题意； B．，故本选项原说法不合题意； C．，故本选项原说法不合题意； D．，故本选项符合题意． 故选：D． 【点睛】此题考查了整式的运算，涉及的知识有：合并同类项、同底数幂的乘法、幂的乘方、单项式乘以多项式的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 4．（2024·甘肃兰州·中考真题）计算：（    ） A．a B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了整式的混合运算，先计算单项式乘以多项式，再合并同类项即可． 解：： 故选：D． 5．（2020·四川达州·中考真题）图2是图1中长方体的三视图，用S表示面积，则（　　）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由主视图和左视图的宽为c，结合两者的面积得出俯视图的长和宽，从而得出答案． 解：：∵，， ∴俯视图的长为 ，宽为， ∴． 故选：C 【点睛】本题主要考查由三视图判断几何体，整式乘法的应用，解题的关键是根据主视图、俯视图和左视图想象几何体的前面、上面和左侧面的形状，以及几何体的长、宽、高． 6．（2023·湖北随州·中考真题）设有边长分别为a和b()的A类和B类正方形纸片、长为a宽为b的C类矩形纸片若干张．如图所示要拼一个边长为的正方形，需要1张A类纸片、1张B类纸片和2张C类纸片．若要拼一个长为、宽为的矩形，则需要C类纸片的张数为(    )    A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【分析】计算出长为，宽为的大长方形的面积，再分别得出A、B、C卡片的面积，即可看出应当需要各类卡片多少张． 解：：长为，宽为的大长方形的面积为： ； 需要6张A卡片，2张B卡片和8张C卡片． 故选：C． 【点睛】本题主要考查多项式乘多项式与图形面积，解题的关键是理解结果中项的系数即为需要C类卡片的张数． 二、填空题 7．（2021·青海西宁·中考真题）计算 ． 【答案】 【分析】由积的乘方、单项式乘以单项式进行化简，再合并同类项，即可得到答案． 解：：原式=； 故答案为：． 【点睛】本题考查了积的乘方、单项式乘以单项式，解题的关键是掌握运算法则，正确的进行化简． 8．（2018·广西玉林·中考真题）已知ab=a+b+1，则（a﹣1）（b﹣1）= ． 【答案】2 【分析】将（a﹣1）（b﹣1）利用多项式乘多项式法则展开，然后将ab=a+b+1代入合并即可得． 【详解】（a﹣1）（b﹣1）= ab﹣a﹣b+1， 当ab=a+b+1时， 原式=ab﹣a﹣b+1 =a+b+1﹣a﹣b+1 =2， 故答案为2． 【点睛】本题考查了多项式乘多项式，解题的关键是掌握多项式乘多项式的运算法则及整体代入思想的运用． 9．（2011·浙江湖州·中考真题）如图，甲类纸片是边长为2的正方形，乙类纸片是边长为1的正方形，丙类纸片是长、宽边长分别是2和1的长方形．现有甲类纸片1张，乙类纸片4张，则应至少取丙类纸片 张才能用它们拼成一个新的正方形． 【答案】4 【分析】根据构成的新正方形的面积一定是一个完全平方数，根据三张纸片的面积即可确定． 解：：甲类纸片1张，乙类纸片4张，总面积是，大于8的完全平方数依次是9，16，25…，而丙的面积是2，因而不可能是9； 当总面积是16时，取的丙纸片的总面积是8，因而是4张． 因而应至少取丙类纸片4张才能用它们拼成一个新的正方形． 故答案为4． 10．（2011·安徽·中考真题）定义运算ab＝a(1－b)，下面给出了关于这种运算的四个结论： ①2(－2)＝6； ②ab＝ba；③若a＋b＝0，则(aa)＋(bb)＝2ab； ④若ab＝0，则a＝0．其中正确结论的序号是 (填上你认为所有正确结论的序号)． 【答案】①③. 【分析】试题考查知识点：定义运算． 思路分析：严格按照定义计算． 具体解答过程： 按照定义运算ab＝a(1－b)不难推算： ①2(－2)＝2(1+2)=6故①正确； ②ab＝a(1－b),而ba=b(1－a)，ab＝ba不一定成立．故②错误； ③若a＋b＝0，则(aa)＋(bb)＝a(1-a)+b(1－b)=a-a2+b-b2＝（a+b）-（a2+b2）=（a+b）-（a+b）2+2ab=2ab.故③正确. ④若ab＝0，则ab＝a(1－b)=0，即a=0或b=1，故④错误； 综上所述，只有①③是正确的. 试题点评：定义计算是一种特定规则的运算，严格按照指定规则运算才能得到正确的结果. 【详解】请在此输入详解！ 11．（2023·黑龙江大庆·中考真题）1261年，我国宋朝数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中提到了如图所示的数表，人们将这个数表称为“杨辉三角”． 观察“杨辉三角”与右侧的等式图，根据图中各式的规律，展开的多项式中各项系数之和为 ． 【答案】 【分析】仿照阅读材料中的方法将原式展开，即可得出结果． 【详解】根据题意得：展开后系数为：， 系数和：， 展开后系数为：， 系数和：， 展开后系数为：， 系数和：， 故答案为：． 【点睛】此题考查了多项式的乘法运算，以及规律型：数字的变化类，解题的关键是弄清系数中的规律． 12．（2021·湖南常德·中考真题）如图中的三个图形都是边长为1的小正方形组成的网格，其中第一个图形有个正方形，所有线段的和为4，第二个图形有个小正方形，所有线段的和为12，第三个图形有个小正方形，所有线段的和为24，按此规律，则第n个网格所有线段的和为 ．(用含n的代数式表示) 【答案】2n2+2n 【分析】本题要通过第1、2、3和4个图案找出普遍规律，进而得出第n个图案的规律为Sn=4n+2n×(n-1)，得出结论即可． 解：：观察图形可知： 第1个图案由1个小正方形组成，共用的木条根数 第2个图案由4个小正方形组成，共用的木条根数 第3个图案由9个小正方形组成，共用的木条根数 第4个图案由16个小正方形组成，共用的木条根数 … 由此发现规律是： 第n个图案由n2个小正方形组成，共用的木条根数 故答案为：2n2+2n． 【点睛】本题考查了规律型-图形的变化类，熟练找出前四个图形的规律是解题的关键． 第三部分：培优拓展 一、单选题 1．（23-24七年级下·江苏苏州·期末）下列运算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了积的乘方，单项式乘以单项式和合并同类项，根据积的乘方，单项式乘以单项式和合并同类项等计算法则求解判断即可，熟知相关计算法则是解题的关键． 【详解】、，原选项计算错误，不符合题意； 、，原选项计算错误，不符合题意； 、，原选项计算错误，不符合题意； 、，原选项计算正确，符合题意； 故选：． 2．（18-19七年级下·全国·课后作业）若a3(3an-2am+4ak)=3a9-2a6+4a4，则m，n，k的值分别为（    ） A．6，3，1 B．3，6，1 C．2，1，3 D．2，3，1 【答案】B 【分析】先根据单项式与多项式相乘的运算法则进行计算，根据题意列出算式，计算即可． 【详解】a3（3an-2am+4ak）=3a3+n-2am+3+4a3+k， 则3+n=9，3+m=6，3+k=4， 解得，n=6，m=3，k=1， 故选B． 【点睛】本题考查的是单项式与多项式相乘的运算法则：单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加． 3．（24-25八年级上·河南南阳·阶段练习）已知， 则代数式的值为（   ） A．3 B． C． D．8 【答案】B 【分析】利用整体思想进行，将所求的代数式进行化简成和已知代数式相同的形式，然后进行代入求值． 本题考查了代数式的求值，解题的关键是：运用等式的性质进行变形． 解：：∵， ∴， ∴， 故选：B． 4．（24-25八年级上·福建福州·期中）已知等式（为正整数），则的值不可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了多项式乘多项式，根据多项式乘多项式的运算法则进行计算，然后根据对应项的系数相等求出的值即可求解，熟练掌握多项式乘多项式法则是解题的关键． 解：：∵， ∴，， ∵为正整数， ∴ ∴或或或， ∴的值不可能是， 故选：． 5．（24-25八年级上·广东江门·期中）如果等式成立，那么a、b的值分别是（　　） A．0， B．0，1 C．1，0 D．，0 【答案】A 【分析】本题主要考查了多项式乘多项式，熟练掌握运算法则是解题的关键．将等式右边进行展开，在于左边进行对比即可得到答案． 解：：由题知， ， ， 即， ，． 故选：A． 6．（24-25八年级上·河南安阳·阶段练习）我国宋代数学家杨辉所著《详解九章算法》中记载了用如图所示的三角形解释了二项和的乘方展开式中的系数规律，我们把这种数字三角形叫做“杨辉三角”．请你利用杨辉三角，计算的展开式中，含项的系数是（   ） A．15 B．10 C．9 D．6 【答案】D 【分析】本题考查了二项式展开式系数．运用“杨辉三角”来确定展开式中各项系数是解题的关键． 根据“杨辉三角”得规律，找到展开式中各项的系数，从而确定项的系数即可． 解：：“杨辉三角”中，对于，其系数是第行的数．例如系数为第1行的1；系数为第2行的1、1；系数为第3行的1、2、1等等．每一行的数都是由上一行相邻两数相加得到的（两端的数为1）； 根据上述规律的系数为第五行的1、4、6、4、1．那么的系数，第6行是由上一行相邻两数相加得到，即1（由上一行第一个1得到），，，，，，1（由上一行最后一个1得到）； 同理，的系数为第7行，1（由上一行第一个1得到），，，，，，1（由上一行最后一个1得到）．在的展开式中，含项的系数是第6个系数，即6． 故选D． 二、填空题 7．（23-24七年级下·湖南永州·期末）计算： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了单项式乘多项式．熟练掌握单项式乘多项式的法则，是解决问题的关键． 先用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加，即可． 【详解】 ． 故答案为：． 8．（19-20七年级上·黑龙江大庆·期中）若5am+1b2与3an+2bn的积是15a8b4，则nm＝ ． 【答案】8 【分析】根据单项式乘单项式的乘法法则计算，然后根据相同字母的指数相等列方程组即可求出m、n． 解：：， ∴， 解方程组得：， ， 故答案为8． 【点睛】本题考查了单项式乘单项式，熟记法则是解题的关键． 9．（24-25八年级上·新疆乌鲁木齐·期中）若，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查代数式的求值、多项式乘多项式的运算法则，熟练掌握多项式乘多项式的运算法则是解题的关键．根据多项式乘多项式法则将展开即可得出结果． 解：： ∵ ∴原式 故答案为：． 10．（24-25八年级上·四川乐山·期中），则 ． 【答案】 【分析】本题考查代数式求值，由得到、，将恒等变形，将已知等式整体代入即可得到答案，熟练掌握代数式求值方法是解决问题的关键． 解：：由得、， ， 故答案为：． 11．（24-25八年级上·河南驻马店·期中）若的乘积中不含项和项，则 ． 【答案】16 【分析】本题考查多项式乘多项式，将原式展开并合并同类项，根据题意求得m，n的值后代入中计算即可． 解：： ， ∵乘积中不含项和项， ∴，， ∴，， 则， 故答案为：16． 12．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，某公园形如长方形，长为a、宽为b，该公园中有3条宽均为c的小路，其余部分均种上小草，则该公园种植小草的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查平移，多项式乘多项式，利用平移法得出种小草部分的长和宽，相乘即可． 解：：由图可知，种草部分可平移组成一个长为，宽为的长方形， 则种植小草的面积为． 故答案为：． 三、解答题 13．（22-23七年级下·重庆沙坪坝·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据幂的运算性质和单项式乘以多项式展开化简即可； （2）根据多项式乘以多项式化简即可； （1）解：原式 （2）原式 【点睛】本题主要考查了整式的乘法运算，掌握相关法则和公式是解题的关键． 14．（22-23六年级下·山东淄博·期末）先化简，再求值： (1)已知，求的值； (2)，其中满足． 【答案】(1) (2)； 【分析】（1）根据幂的乘方逆运算进行计算即可； （2）根据整式的混合运算法则将原式进行化简，然后根据偶次方以及绝对值的非负性得出的值，代入求值即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴； （2） ； ∵， ∴， 当时，原式． 【点睛】本题考查了幂的乘方逆运算以及整式的混合运算－化简求值，熟练掌握相关运算法则是解本题的关键． 15．（19-20七年级下·江苏无锡·阶段练习）【数学实验】如图，有足够多的边长为a的小正方形（A类）、长为a宽为b的长方形（B类）以及边长为b的大正方形（C类），发现利用图①中的三种材料各若干个可以拼出一些长方形来解释某些等式．例如图②可以解释为：（a＋2b）（a＋b）＝a2＋3ab＋2b2．    【初步运用】 （1）仿照例子，图③可以解释为： ； （2）取图①中的若干个（三种图形都要取到）拼成一个长方形，使它的边长分别为（2a＋3b）、（a＋5b），不画图形，试通过计算说明需要C类卡片多少张； 【拓展运用】 若取其中的若干个（三种图形都要取到）拼成一个长方形，使它的面积为2a2＋5ab＋3b2，通过操作你会发现拼成的长方形的长宽分别是 ，将2a2＋5ab＋3b2改写成几个整式积的形式为 ． 【答案】（1）a2+2ab+b2；（2）15张；（3）2a+3b，a+b，（2a+3b）（a+b）． 【分析】（1）根据图②结合图形的面积即可得到结论； （2）根据多项式乘多项式的法则即可得到结论； （3）根据已知条件可画出图形，于是得到矩形的两边． 【详解】（1）图③可以解释为：（a+b）（a+b）=a2+2ab+b2； 故答案为：a2+2ab+b2； （2）∵（2a+3b）（a+5b）=2a2+13ab+15b2， ∴需要C类卡片15张； （3）如图：    长方形的长是2a+3b，宽是a+b，2a2+5ab+3b2=（2a+3b）（a+b）． 故答案为：2a+3b，a+b，（2a+3b）（a+b）． 【点睛】本题考查了多项式乘以多项式，根据矩形的面积公式分整体与部分两种思路表示出面积，然后再根据同一个图形的面积相等即可解答． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$