第05讲 一次方程（组）及其应用（讲练）-【上好课】2025年中考数学一轮复习讲练测（浙江专用）

第二章 方程与不等式 第05讲 一次方程（组）及其应用（6~10分） （思维导图+4考点+5命题点36种题型） 试卷第1页，共3页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 01考情透视·目标导航 02知识导图·思维引航 03考点突破·考法探究 考点一 等式的性质与方程的定义 考点二 一元一次方程及解法 考点三 二元一次方程及解法 考点四 一次方程（组）的应用 04题型精研·考向洞悉 命题点一 等式性质与方程的概念 ►题型01 等式的性质 ►题型02 方程的概念 命题点二 一元一次方程及其解法 ►题型01 一元一次方程的定义 ►题型02 解一元一次方程 ►题型03 一元一次方程错解问题 ►题型04 一元一次方程求参数问题 ►题型05 一元一次方程同解问题 ►题型06 一元一次方程错看与遮挡问题 ►题型07 解绝对值方程 ►题型08 新定义的方程 ►题型09 定义新运算与方程综合 命题点三 一元一次方程的应用 ►题型01 和差倍分问题 ►题型02 配套问题 ►题型03 工程问题 ►题型04 销售问题 ►题型05 数字问题 ►题型06 分段收费问题 ►题型07 行程问题 ►题型08 古典问题 ►题型09 其他问题 命题点四 二元一次方程（组）及其解法 ►题型01 二元一次方程（组）的概念 ►题型02 解二元一次方程组 ►题型03 二元一次方程组错解问题 ►题型04 二元一次方程组求参数问题 ►题型05 二元一次方程组同解问题 ►题型06 二元一次方程组的特殊解法 ►题型07 解三元一次方程组 命题点五 二元一次方程（组）的应用 ►题型01 行程问题 ►题型02 数字问题 ►题型03 销售问题 ►题型04 和差倍分问题 ►题型05 几何问题 ►题型06 古典问题 ►题型07 方案选择问题 ►题型08 其他问题 ►题型09 三元一次方程组的应用 05分层训练·巩固提升 基础巩固 能力提升 考点要求 新课标要求 考查频率 命题预测 等式的基本性质 理解等式的基本性质 ⭐⭐ 一元一次方程与二元一次方程（组）在初中数学中因为未知数的最高次数都是一次，且都是整式方程,所以统称为“一次方程”.中考中，对于这两个方程的解法及其应用一直都有考察，其中对于两个方程的解法以及注意事项是必须掌握的，而在其应用上也是中考代数部分结合型较强的一类考点. 预计2025年浙江中考还将继续考查一次方程的解法和应用题，为避免丢分，学生应扎实掌握． 一元一次方程 能解一元一次方程 ⭐⭐⭐ 二元一次方程（组） 掌握消元法，能解二元一次方程，能解简单的三元一次方程组 ⭐⭐⭐⭐⭐ 一次方程（组） 的应用 利用一次方程求解实际问题 ⭐⭐⭐⭐⭐ 考点一 等式的性质与方程的定义 1．等式的性质 （1）等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，所得的结果仍是等式． （2）等式两边都乘以（或除以）同一个不等于零的数，所得的结果仍是等式． 2．方程:含有未知数的等式叫做方程． 3．方程的解:使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解；求方程的解的过程叫做解方程． 1.利用等式的性质进行变形时，等式两边都要参加运算，而且是同一种运算. 2.运用等式的性质2时，等式两边不能同时除以0，因为0不能作除数或分母。 1．（2022·青海·中考真题）根据等式的性质，下列各式变形正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】A 【分析】根据等式的性质，一次判断各个选项，即可进行解答． 【详解】解：A、若，则，故A正确，符合题意； B、若，且，则，故B不正确，不符合题意； C、若，则，故C不正确，不符合题意； D、若，则，故D不正确，不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题主要考查了等式的性质，解题的关键是掌握：等式两边同时乘或除以一个不为0的数，等式仍成立． 2．（2017·浙江金华·中考真题）若，则 ． 【答案】 【分析】根据等式性质，在两边都加上1，则问题可解． 【详解】解：根据等式的性质，两边都加上1，即可得，通分得． 故答案为：． 【点睛】本题考查了等式的性质和分式的加减法，解答关键是根据相关法则进行计算． 3．（2018·浙江杭州·中考真题）中央电视台2套“开心辞典”栏目中，一期的题目如图所示，两个天平都平衡，则三个球体的重量等于（　　）个正方体的重量． A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】由图可知：2球体的重量=5圆柱体的重量，2正方体的重量=3圆柱体的重量．可设一个球体重x，圆柱重y，正方体重z．根据等量关系列方程即可得出答案． 【详解】解：设一个球体重x，圆柱重y，正方体重z． 根据等量关系列方程2x=5y；2z=3y，消去y可得：x=z， 则3x=5z，即三个球体的重量等于五个正方体的重量． 故选D． 【点睛】此题考查了等式的性质，正确理解题意是解题的关键． 考点二 一元一次方程及解法 1．一元一次方程:只含有一个未知数，并且未知数的次数为1，这样的整式方程叫做一元一次方程．它的一般形式为． 注意：x前面的系数不为0． 2．一元一次方程的解：使一元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元一次方程的解． 3．一元一次方程的求解步骤 变形名称 具体做法 去分母 在方程两边都乘以各分母的最小公倍数 去括号 先去小括号，再去中括号，最后去大括号 移项 把含有未知数的项都移到方程的一边，其他项都移到方程的另一边 合并同类项 把方程化成的形式 系数化成1 在方程两边都除以未知数的系数，得到方程的解为 注意：解方程时移项容易忘记改变符号而出错，要注意解方程的依据是等式的性质，在等式两边同时加上或减去一个代数式时，等式仍然成立，这也是“移项”的依据．移项本质上就是在方程两边同时减去这一项，此时该项在方程一边是0，而另一边是它改变符号后的项，所以移项必须变号． 1. 一元一次方程中未知数所在的式子是整式，即分母中不含未知数. 2. 一元一次方程只含有一个未知数,未知数的次数都为1. 3. 解方程的五个步骤有些可能用不到，有些可能重复使用，也不一定有固定的顺序，要根据方程的特点灵活运用． 4. 对于分母中含有小数的一元一次方程．当分母中含有一位小数时，含分母项的分子、分母都乘10，化分母中的小数为整数；当分母中含有两位小数时，含分母项的分子、分母都乘100，化分母中的小数为整数． 1．（2021·浙江温州·中考真题）解方程，以下去括号正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】去括号得法则：括号前面是正因数，去掉括号和正号，括号里的每一项都不变号；括号前面是负因数，去掉括号和负号，括号里的每一项都变号． 【详解】解： ， 故选：D． 【点睛】此题主要考查了解一元一次方程，其步骤为：去分母，去括号，移项合并，把未知数系数化为1，求出解．去括号注意几点：①不要漏乘括号里的每一项；②括号前面是负因数，去掉括号和负号，括号里的每一项一定都变号． 2．（2020·浙江衢州·中考真题）一元一次方程2x+1=3的解是x= ． 【答案】1 【分析】将方程移项，然后再将系数化为1即可求得一元一次方程的解． 【详解】解：将方程移项得， 2x=2， 系数化为1得， x=1． 故答案为：1． 【点睛】此题主要考查学生对解一元一次方程这一知识点的理解和掌握，此题比较简单，属于基础题 3．（2023·浙江衢州·中考真题）小红在解方程时，第一步出现了错误： 解：， …… (1)请在相应的方框内用横线划出小红的错误处． (2)写出你的解答过程． 【答案】(1)见解析； (2). 【分析】此题考查了解一元一次方程，其步骤为：去分母，去括号，移项合并，把未知数系数化为1，求出解 （1）根据等式的性质，解一元一次方程的步骤即可判断； （2）首先去分母、然后去括号、移项、合并同类项、次数化成1即可求解． 【详解】（1） （2）解：， 去分母，得，， 移项，得：， 合并同类页，得：， 解得：． 4．（2020·浙江杭州·中考真题）以下是圆圆解方程＝1的解答过程． 解：去分母，得3（x+1）﹣2（x﹣3）＝1． 去括号，得3x+1﹣2x+3＝1． 移项，合并同类项，得x＝﹣3． 圆圆的解答过程是否有错误？如果有错误，写出正确的解答过程． 【答案】圆圆的解答过程有错误，正确的解答过程见解析 【分析】直接利用一元一次方程的解法进而分析得出答案． 【详解】解：圆圆的解答过程有错误， 正确的解答过程如下： 3（x+1）﹣2（x﹣3）＝6． 去括号，得3x+3﹣2x+6＝6． 移项，合并同类项，得x＝﹣3． 【点睛】此题主要考查一元一次方程的求解，解题的关键是熟知一元一次方程的求解方法． 考点三 二元一次方程及解法 1．二元一次方程：含有2个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程叫做二元一次方程． 2．二元一次方程的解:使二元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做二元一次方程的解． 3．二元一次方程组:由两个二元一次方程组成的方程组叫二元一次方程组．方程组中同一个字母代表同一个量，其一般形式为． 4．解二元一次方程组的基本思想 解二元一次方程组的基本思想是消元，即将二元一次方程组转化为一元一次方程． 5．二元一次方程组的解法 （1）代入消元法：将方程中的一个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来，并代入另一个方程中，消去一个未知数，化二元一次方程组为一元一次方程． （2）加减消元法：将方程组中两个方程通过适当变形后相加（或相减）消去其中一个未知数，化二元一次方程组为一元一次方程． 1.二元一次方程有无数个解，满足二元一次方程使得方程左右相等都是这个方程的解，但并不是说任意一对数值就是它的解. 2.在二元一次方程中，给定其中一个未知数的值，就可以通过解一元一次方程的方法求出另一个未知数的值. 3.二元一次方程组的“二元”和“一次”都是针对整个方程组而言的，组成方程组的各个方程不必同时含有两个未知数，这两个一次方程不一定都是二元一次方程，但这两个一次方程必须只含有两个未知数. 4.解二元一次方程组的基本思想是消元，即将二元一次方程组转化为一元一次方程． 1．（2023·浙江衢州·中考真题）下列各组数满足方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】代入的值，逐一判断即可解答． 【详解】解：当时，方程左边，方程左边方程右边，故A符合题意； 当时，方程左边，方程左边方程右边，故B不符合题意； 当时，方程左边，方程左边方程右边，故C不符合题意； 当时，方程左边，方程左边方程右边，故D不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查了二元一次方程的解，熟知使得二元一次方程两边的值相等的两位未知数是二元一次方程的解，是解题的关键． 2．（2021·浙江金华·中考真题）已知是方程的一个解，则m的值是 ． 【答案】2 【分析】把解代入方程,得6+2m=10，转化为关于m的一元一次方程，求解即可． 【详解】∵是方程的一个解， ∴6+2m=10， 解得m=2， 故答案为：2． 【点睛】本题考查了二元一次方程的解，一元一次方程的解法，灵活运用方程的解的定义，转化为一元一次方程求解是解题的关键． 3．（2020·浙江绍兴·中考真题）若关于x，y的二元一次方程组的解为，则多项式A可以是 （写出一个即可）． 【答案】x﹣y（答案不唯一） 【分析】根据方程组的解的定义，应该满足所写方程组的每一个方程．因此，可以围绕列一组算式，然后用x，y代换即可. 【详解】∵关于x，y的二元一次方程组的解为， 而1﹣1＝0， ∴多项式A可以是答案不唯一，如x﹣y． 故答案为：x﹣y（答案不唯一）. 【点睛】此题考查二元一次方程组的定义，二元一次方程组的解，正确理解方程组的解与每个方程的关系是解题的关键. 4．（2024·浙江·中考真题）解方程组： 【答案】 【分析】此题考查了解二元一次方程组，利用①×3＋②得，，解得，再把代入①求出即可. 【详解】解： ①×3＋②得， 解得， 把代入①得， 解得 ∴ 考点四 一次方程（组）的应用 1．列方程（组）解应用题的一般步骤 （1）审题；（2）设出未知数；（3）列出含未知数的等式——方程；（4）解方程（组）； （5）检验结果；（6）作答（不要忽略未知数的单位名称）． 2．一次方程（组）常见的应用题型 （1）销售打折问题：利润售价-成本价；利润率=×100％；售价=标价×折扣；销售额=售价×数量． （2）储蓄利息问题：利息=本金×利率×期数；本息和=本金+利息=本金×(1+利率×期数)；贷款利息=贷款额×利率×期数． （3）工程问题：工作量=工作效率×工作时间． （4）行程问题：路程=速度×时间． （5）相遇问题：全路程=甲走的路程+乙走的路程． （6）追及问题（同地不同时出发）：前者走的路程=追者走的路程． （7）追及问题（同时不同地出发）：前者走的路程+两地间距离=追者走的路程． （8）水中航行问题：顺水速度=静水速度+水流速度；逆水速度=静水速度-水流速度． 1．（2023·浙江·中考真题）古代中国的数学专著《九章算术》中有一题：“今有生丝三十斤，干之，耗三斤十二两．今有干丝一十二斤，问生丝几何？”意思是：“今有生丝斤，干燥后耗损斤两（古代中国斤等于两）．今有干丝斤，问原有生丝多少？”则原有生丝为 斤． 【答案】 【分析】设原有生丝斤，根据题意列出方程，解方程即可求解． 【详解】解：设原有生丝斤，依题意， 解得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，根据题意列出方程解题的关键． 2．（2022·浙江绍兴·中考真题）元朝朱世杰的《算学启蒙》一书记载：“良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里，驽马先行一十二日，问良马几何追及之．” 其题意为：“良马每天行里，劣马每天行里，劣马先行天，良马要几天追上劣马？”答：良马追上劣马需要的天数是 ． 【答案】20 【分析】设良马x天追上劣马，根据良马追上劣马所走路程相同可得：240x＝150（x＋12），即可解得良马20天追上劣马． 【详解】解：设良马x天追上劣马， 根据题意得：240x＝150（x＋12）， 解得x＝20， 答：良马20天追上劣马； 故答案为：20． 【点睛】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是读懂题意，找到等量关系列出方程． 3．（2023·浙江绍兴·中考真题）《九章算术》中有一题：“今有大器五、小器一容三斛；大器一、小器五容二斛．问大、小器各容几何？”译文：今有大容器5个，小容器1个，总容量为3斛（斛：古代容是单位）；大容器1个，小容器5个，总容暴为2斛．问大容器、小容器的容量各是多少斛？设大容器的容量为斛，小容器的容量为斛，则可列方程组是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设大容器的容积为x斛，小容器的容积为y斛，根据“大容器5个，小容器1个，总容量为3斛；大容器1个，小容器5个，总容量为2斛”即可得出关于x、y的二元一次方程组． 【详解】解：设大容器的容积为x斛，小容器的容积为y斛， 根据题意得：． 故选：B． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，根据数量关系列出关于x、y的二元一次方程组是解题的关键． 4．（2022·浙江宁波·中考真题）我国古代数学名著《九章算术》中记载：“粟米之法：粟率五十；粝米三十．今有米在十斗桶中，不知其数．满中添粟而舂之，得米七斗．问故米几何？”意思为：50斗谷子能出30斗米，即出米率为．今有米在容量为10斗的桶中，但不知道数量是多少．再向桶中加满谷子，再舂成米，共得米7斗．问原来有米多少斗？如果设原来有米x斗，向桶中加谷子y斗，那么可列方程组为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意列出方程组即可； 【详解】原来有米x斗，向桶中加谷子y斗，容量为10斗，则； 已知谷子出米率为，则来年共得米； 则可列方程组为， 故选A． 【点睛】本题考查了根据实际问题列出二元一次方程组，题目较简单，根据题意正确列出方程即可． 5．（2020·浙江绍兴·中考真题）有两种消费券：A券，满60元减20元，B券，满90元减30元，即一次购物大于等于60元、90元，付款时分别减20元，30元．小敏有一张A券，小聪有一张B券，他们都购了一件标价相同的商品，各自付款，若能用券时用券，这样两人共付款150元，则所购商品的标价是 元． 【答案】100或85． 【分析】设所购商品的标价是x元，然后根据两人共付款150元的等量关系，分所购商品的标价小于90元和大于90元两种情况，分别列出方程求解即可． 【详解】解：设所购商品的标价是x元，则 ①所购商品的标价小于90元， x﹣20+x＝150， 解得x＝85； ②所购商品的标价大于90元， x﹣20+x﹣30＝150， 解得x＝100． 故所购商品的标价是100或85元． 故答案为100或85． 【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，正确运用分类讨论思想是解答本题的关键． 6．（2023·浙江绍兴·中考真题）某校购买体育器材，第一次购买篮球7个，排球5个，足球3个，共花费450元，第二次又购买同样的篮球3个，排球2个，足球1个，共花费175元，则购买同样的篮球、排球、足球各1个，共需花费（   ） A．100元 B．105元 C．110元 D．125元 【答案】A 【分析】本题考查了三元一次方程组的应用．设篮球的单价为元，排球的单价为元，足球的单价为元， 依题意得，，然后作答即可． 【详解】解：设篮球的单价为元，排球的单价为元，足球的单价为元， 依题意得， ， 由得：， 由得：， 则购买同样的篮球、排球、足球各1个，共需花费元， 故选：A． 命题点一 等式性质与方程的概念 ►题型01 等式的性质 1．（2020·浙江·模拟预测）设是有理数，则下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】B 【分析】根据等式的性质一一判断即可． 【详解】解：∵， ∴或，故A不符合题意； ∵， ∴，故B符合题意； ∵，， ∴，故C不符合题意； ∵， ∴，故D不符合题意； 故选B 【点睛】本题考查等式的性质，解题的关键是掌握等式的性质：性质1、等式两边加同一个数（或式子）结果仍得等式；性质2、等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式． 2．（2023·浙江衢州·三模）已知，下列等式不一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据等式的性质，逐项分析判断即可求解． 【详解】A. ∵，∴，故该选项正确，不符合题意；     B. ∵，∴，故该选项正确，不符合题意；     C. ∵，∴ ，故该选项正确，不符合题意； D. ∵，且，∴，故该选项不正确，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了等式的性质，熟练等式的性质是解题的关键．等式的性质1：等式两边加(或减)同一个数(或式子)，结果仍相等；等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数(或式子)，结果仍相等． 3．（23-24七年级下·湖南衡阳·阶段练习）运用等式性质进行的下列变形，不正确的是（    ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 【答案】C 【分析】本题考查等式的性质，熟记性质内容，结合题意准确判断是解题关键．直接根据等式的性质判断即可得出结果． 【详解】解：∵， ∴，故A不符合题意； ∵， ∴，故B不符合题意； ∵，， ∴，故C符合题意； ∵， ∴，故D不符合题意； 故选：C． ►题型02 方程的概念 1．（2024七年级上·浙江·专题练习）给出下列各式：①；②；③；④；⑤；⑥．其中是方程的有（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】B 【分析】本题考查了方程的定义，熟练掌握方程的定义是解题的关键：含有未知数的等式叫做方程，方程的定义有两层含义：方程必须是一个等式，即是用等号连接而成的式子；方程中必有若干个待确定的数，即未知的字母，这些字母就是未知数．方程与等式的区别与联系如下： 概念及其特点 区别 联系 方程 含有未知数的等式叫做方程．一个式子是方程，要满足两个条件：一是等式，二是含有未知数 方程一定是等式，并且是含有未知数的等式 方程是特殊的等式 等式 用等号来表示相等关系的式子叫做等式．等式的主体是相等关系 等式不一定是方程，因为等式不一定含有未知数 方程和等式的关系是从属关系，且有不可逆性 根据方程的定义逐项分析判断即可． 【详解】解：是方程； 是不等式，不是方程； 是方程； 是方程； 可化简为，化简后不含有未知数，不是方程； 是方程； 是方程，共个， 故选：． 2．（2024七年级上·全国·专题练习）下列各式中：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧；是方程的有（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】D 【分析】本题考查方程的判断，含有未知数的等式，叫做方程，据此进行判断即可． 【详解】解：，是方程，故①正确； ，不是等式，不是方程，故②错误； ，是方程，故③正确； ，是方程，故④正确； ，不是等式，不是方程，故⑤错误； ，是方程，故⑥正确； ，是方程，故⑦正确； ，是方程，故⑧正确； 故选D． 命题点二 一元一次方程及其解法 ►题型01 一元一次方程的定义 1．（22-23七年级上·江苏扬州·期中）下列方程是一元一次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一元一次方程定义，只含有一个未知数，且未知数的次数最高为一次的整式方程叫一元一次方程．根据一元一次方程的定义判定即可． 【详解】解：A. 含有两个未知数，不是一元一次方程，故此选项不符合题意；     B. 是一元一次方程，故此选项符合题意；     C. 分母中含量有字母，不是一元一次方程，故此选项不符合题意；     D. 最高次数是二次不是一次，不是一元一次方程，故此选项不符合题意； 故选：B． 2．（2024七年级上·浙江·专题练习）下列属于一元一次方程的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次方程的定义，熟知一元一次方程的定义是解题的关键．只含有一个未知数，并且未知数的次数是1的整式方程叫做一元一次方程，由此判断即可． 【详解】解：A、不是方程，故此选项不符合题意； B、是一元一次方程，故此选项符合题意； C、不是整式方程，故此选项不符合题意； D、未知数的次数是2，不是一元一次方程，故此选项不符合题意； 故选：B． ►题型02 解一元一次方程 1．（20-21七年级上·全国·单元测试）下列解方程去分母正确的是（   ） A．由，得 B．由，得 C．由，得 D．由，得 【答案】D 【分析】本题考查了解一元一次方程——去分母．正确的去分母是解题的关键．根据解一元一次方程——去分母，对各选项进行判断作答即可． 【详解】解：A. 由，得，原计算错误； B. 由，得，原计算错误； C. 由，得，原计算错误； D. 由，得，计算正确； 故选：D． 2．（2023·浙江·一模）解方程： 【答案】 【分析】按照去分母，去括号，移项，合并同类项，化系数为1的步骤，进行解答即可． 【详解】解：去分母，得：， 移项，得：， 合并同类项，得：， 系数化为1，得：． 【点睛】本题主要考查了解一元一次方程，解题的关键是在掌握解一元一次方程的方法和步骤． 3．（2020·浙江·模拟预测）解方程： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）去括号，移项，合并同类项，系数化成1即可； （2）去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化成1即可． 【详解】（1）解：， 去括号，得2x-1=3x-3， 移项，得2x-3x=-3+1， 合并同类项，得-x=-2， 系数化成1，得x=2； （2）解：， 去分母，得5（x-1）=10+2（x+1）， 去括号，得5x-5=10+2x+2， 移项，得5x-2x=10+2+5， 合并同类项，得3x=17， 系数化成1，得x=． 【点睛】本题主要考查了解一元一次方程的方法，要熟练掌握解一元一次方程的一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1． ►题型03 一元一次方程错解问题 1．（2023·浙江杭州·模拟预测）以下是圆圆解方程的解答过程： 解：去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为，得． 圆圆的解答过程是否有错误？如果有错误，请写出正确的解答过程． 【答案】圆圆解方程有错误，正确解答见解析 【分析】本题考查解一元一次方程，涉及解一元一次方程的方法步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1等知识，熟练掌握解一元一次方程的方法步骤，逐条验证即可知道解答过程的错误之处，从而按步骤求解即可得到答案，熟练掌握一元一次方程的解法步骤是解决问题的关键． 【详解】解：圆圆解方程有错误， 正确解答为： 去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为，得． 2．（2024·浙江台州·二模）以下是亮亮解方程的解答过程． 解：去分母，得． 移项，得． 合并同类项，得． 亮亮的解答过程是否有错误？如果有错误，写出正确的解答过程． 【答案】亮亮的解答过程有错误，解答过程见解析 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，解题的关键是熟练掌握解一元一次方程的方法，准确计算；先去分母，再去括号，然后移项并合并同类项，最后系数化为1即可得解． 【详解】解：亮亮的解答过程有错误． 正确的解答过程： 去分母，得：， 移项，得：， 合并同类项，得：． ►题型04 一元一次方程求参数问题 1．（2024·河北邯郸·三模）已知关于x的方程的解比方程的解大5，求这两个方程的解． 【答案】方程的解为，方程的解为 【分析】本题考查了一元一次方程的解的定义． 首先由方程，用表示，然后由第二个方程，再用表示，此时两个的值相差5，可得方程求出的值，进而即可求得方程的解． 【详解】解：由题意得：， 解得：． 由， 解得：， 关于的方程的解比方程的解大5， ， 解得， ， ， 这两个方程的解为和． 2．（2022·浙江金华·模拟预测）若关于x的一元一次方程与的解互为相反数，则k的值为（    ） A．7 B． C． D．5 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元一次方程的拓展问题，先求出的方程解为，根据题意可得方程的解为，将代入求出k的值即可．根据题意列方程是解题的关键． 【详解】由方程得， ， 解得． 由题意得方程的解为， ， 解得． 故答案为：B． 3．（24-25七年级上·广东广州·阶段练习）关于的两个一元一次方程与的解互为相反数，则的值为（   ） A． B．26 C．15 D． 【答案】A 【分析】本题考查根据方程的解的关系求参数的值，熟练掌握方程的解得定义是解题关键．求出的解，进而得到的解，再代入到中，进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵方程与的解互为相反数， ∴的解为， ∴， 解得：． 故选：A． ►题型05 一元一次方程同解问题 1．（24-25七年级上·河南·期末）如果关于x的方程与的解相同，求m的值． 【答案】 【分析】本题考查同解方程，求出方程的解，代入中，求解即可． 【详解】解：解，得：， 把代入，得：， 解得：； 故m的值为． 2．（2024七年级上·全国·专题练习）学习情境·同解问题如果方程的解也是关于的方程的解，那么的值是（   ） A．7 B．5 C．3 D．1 【答案】A 【分析】本题考查解一元一次方程、一元一次方程的解，熟练掌握一元一次方程的解法是解答的关键． 先解一元一次方程求得值，然后将值代入第二个方程得到关于的一元一次方程，然后解方程即可求解． 【详解】解：解方程， 去分母，得：， 去括号，得：， 移项、合并同类项，得：， 化系数为1，得：， ∵也是方程的解， ∴，即， 解得：． 故选：A． ►题型06 一元一次方程错看与遮挡问题 1．（2022·河北邯郸·三模）嘉淇在解关于x的一元一次方程＝3时，发现正整数被污染了； (1)嘉淇猜是2，请解一元一次方程； (2)若老师告诉嘉淇这个方程的解是正整数，则被污染的正整数是多少？ 【答案】(1) (2)2 【分析】（1）由题意得方程，按解一元一次方程的一般步骤求解即可； （2）设被污染的正整数为m，得方程，求解得，再根据解是正整数求解即可． 【详解】（1）解：， 去分母，得； 移项，合并同类项，得； 系数化为1，得． （2）解：设被污染的正整数为m， 则有， 解之得，， ∵是正整数，且m为正整数， ∴． 【点睛】本题考查解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的一般步骤是解题的关键． 2．（2022·河北保定·一模）已知整式，其中“■”处的系数被墨水污染了．当，时，该整式的值为16． (1)则■所表示的数字是多少？ (2)小红说该代数式的值是非负数，你认为小红的说法对吗？说明理由． 【答案】(1)■所表示的数字是2； (2)小红的说法是正确的，理由见解析. 【分析】（1）直接把，代入代数式其值等于16，解关于■方程即可； （2）把（1）求得的■的结果代入代数式整理即可求解． 【详解】（1）（1）将，代入， 可得，解得； （2）（2）由（1）求得的结果可得该整式为， ， 故小红的说法是正确的． 【点睛】本题考查了代数式的化简求值及解一元一次方程、完全平方公式等，求得■的值是解题的关键． 3．（10-11七年级下·河南鹤壁·期中）小明在做解方程作业时，不小心将方程中的一个常数污染了看不清楚，被污染的方程是2y-y-●，怎么办呢?小明想了一想便翻看了书后的答案，此方程的解是y = -，很快补好了这个常数，这个常数应是 ． 【答案】3 【分析】设这个常数为x，已知此方程的解是y=-，将之代入二元一次方程2y-y-x，即可得这个常数的值． 【详解】解：设被污染的常数为x，则：2y-y-x ∵此方程的解是y=- ∴将此解代入方程，方程成立 ∴2×(-)-×(-)-x 解此一元一次方程可得：x=3 ∴这个常数是3 答：这个常数是3． 【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用以及它的解的意义． ►题型07 解绝对值方程 1．（2023·浙江·模拟预测）关于的方程有无数多个实根，则实数的值为（    ） A．1 B． C．1或 D．有无数个取值 【答案】C 【分析】根据绝对值的性质，进行分类讨论：①当时，②当时，即可求解． 【详解】解：①当时， ， ， 当时，，只有一个实数根，不符合题意； 当时，解得：， 左边，右边， 此时方程有无数个解，符合题意； ②当时， ， ， 当时，，只有一个实数根，不符合题意； 当时，解得：， 左边，右边， 此时方程有无数个解，符合题意； 综上：实数的值为1或， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了绝对值的定义，解一元一次方程，解题的关键是掌握正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0． 2．（2024七年级上·北京·专题练习）解方程：； 【答案】 【分析】本题考查了绝对值方程，根据正数的绝对值等于它的本身，零的绝对值还是零，一个负数的绝对值等于它的相反数求解即可． 【详解】解：当时，， 不成立； 当时，， 解得； 当时，， 不成立； 综上，． 3．（2024七年级上·北京·专题练习）解方程：． 【答案】或 【分析】本题考查了绝对值方程，根据绝对值等于一个正数的数有2个，它们是互为相反数的关系求解即可． 【详解】解：∵， ∴． ∴或， 解得或． ►题型08 新定义的方程 1．（2020·浙江杭州·模拟预测）我们规定，若关于x的一元一次方程的解为，则称该方程为“差解方程”，例如：的解为2，且，则该方程是差解方程． 请根据上边规定解答下列问题： （1）判断是否是差解方程； （2）若关于x的一元一次方程是差解方程，求m的值． 【答案】（1）是差解方程，理由见解析；（2）3． 【分析】（1）先解方程：，再利用差解方程的定义进行验证即可得到答案； （2）先解方程：，再由差解方程的定义可得：，再解关于的一元一次方程即可得到答案． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∵， ∴是差解方程； （2）由， ∴， ∵关于x的一元一次方程是差解方程， ∴， ∴ ， ∴， ∴， 解得：． 【点睛】本题考查的是新定义情境下的一元一次方程的解法，掌握一元一次方程的解法是解题的关键． 2．（2020·浙江·模拟预测）我们规定，若关于x的一元一次方程的解为，则称该方程为“奇异方程”．例如：的解为，则该方程是“奇异方程”．请根据上述规定解答下列问题： （1）判断方程________（回答“是”或“不是”）“奇异方程”； （2）若，有符合要求的“奇异方程”吗？若有，求b的值；若没有，请说明理由． （3）若关于x的一元一次方程和都是“奇异方程”，求代数式的值． 【答案】（1）不是；（2）有，；（3） 【分析】（1）解方程，并根据“奇异方程”的定义判断它是不是； （2）根据“奇异方程”的定义得到，解出b的值； （3）根据“奇异方程”的定义得到关于m、n的两个方程，作差得到m、n的关系，再代入化简后的代数式求出值． 【详解】解：（1）的解是不等于， ∴方程不是“奇异方程”， 故答案是：不是； （2）若，则方程的解是， 要使它是“奇异方程”，则，解得； （3）∵是“奇异方程”， ∴，化简得， ∵是“奇异方程”， ∴，化简得， 两式相减得， 原式 ． 【点睛】本题考查解一元一次方程，解题的关键是理解题目中定义的“奇异方程”的概念，列出方程进行求解． 3．（2020·浙江·模拟预测）定义：若一个关于x的方程的解为，则称此方程为“中点方程”．如：的解为，而；的解为，而． （1）若且方程为中点方程时，求b的值． （2）若关于x的方程是“中点方程”，求代数式的值． 【答案】（1）-1；（2）-2019； 【分析】（1）根据中点方程的定义计算即可； （2）根据中点方程的定义得出x的值，代入方程求解即可； 【详解】（1）当时，方程为， 解得：， 根据中点方程的解可得： ， 解得：； （2）∵， ∴， ∵关于x的方程是“中点方程”， ∴， 把代入原方程得， ∴． 【点睛】本题主要考查了阅读理解能力和“中点方程的定义”，准确理解中点方程的定义是解题的关键． 4．（2020·浙江·模拟预测）我们称使方程成立的一对数为“相伴数对”，记为． （1）若是“相伴数对”，求的值： （2）若是“相伴数对”，请用含的代数式表示； （3）若是“相伴数对”，求代数式的值 【答案】（1）y＝−9；（2）a＝−b；（3）−2． 【分析】（1）根据使方程成立的一对数x，y为“相伴数对”，记为（x．y），将x换成4代入计算即可； （2）结合（1）将x和y换成a和b，代入计算即可用含b的代数式表示a； （3）由（2）可得m＝−n，然后先将原式化简，代入计算即可求值． 【详解】（1）∵（4，y）是“相伴数对”， ∴， 解得y＝−9； （2）∵（a，b）是“相伴数对”， ∴， 解得a＝−b； （3）∵（m，n）是“相伴数对”， ∴由（2）得，m＝−n， ∴原式＝−3m−n−2＝−3×（−n）−n−2＝−2． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，解决本题的关键是理解题目中相伴数对的定义，并运用． ►题型09 定义新运算与方程综合 1．（2024·浙江宁波·模拟预测）定义一种新运算：，若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了新定义运算，解一元一次方程，由结合题意得出，解方程即可得出答案，理解题意，正确得出方程是解此题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 解得：， 故答案为：． 2．（2024·浙江宁波·二模）对于整数，，定义一种新的运算“”：当为偶数时，规定；当为奇数时，规定．已知，其中是负数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查解一元一次方程，去绝对值，整式的加减运算，根据定义新运算的法则，列出一元一次方程，进行求解即可，注意进行分类讨论． 【详解】解：∵为偶数，是负数， ∴， ∴， 当为偶数时， 则：， ∴， 解得：； 当为奇数时， 则：， ∴， 解得：（舍去）； 故选C． 3．（2023·浙江宁波·三模）定义一种新运算：对于任意的非零实数m，n，．若，则x的值为 ． 【答案】1 【分析】 根据新定义的运算列出方程求解即可． 【详解】 解：∵， ∴， 解得：， 故答案为：1． 【点睛】 题目主要考查解一元一次方程，理解新定义的运算是解题关键． 命题点三 一元一次方程的应用 ►题型01 和差倍分问题 1．（2024·浙江台州·二模）在一次学农活动中，在甲处劳动的有27人，在乙处劳动的有19人．现在另调20人去支援，使得在甲处的人数为在乙处人数的2倍，设调往甲处人，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 设应调往甲处人，那么调往乙处的人数是人，调动后甲处的人数是人，乙处的人数是人，根据在甲处劳动的人数为乙处人数的2倍，就可以列出方程即可． 【详解】解：设应调往甲处人，那么调往乙处的人数是人， 根据题意得：． 故选：D． 2．（2024·浙江湖州·一模）甲煤场有煤390吨，乙煤场有煤96吨，为了使甲煤场存煤数是乙煤场的2倍，应从甲煤场运多少吨煤到乙煤场? 若设从甲煤场运x吨煤到乙煤场，则下列方程中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程．设从甲煤场运煤x吨到乙煤场，根据调运后甲煤场存煤是乙煤场的2倍，即可得出关于x的一元一次方程，此题得解． 【详解】解：设从甲煤场运煤x吨到乙煤场， 依题意得， 故选：A． 3．（2023·浙江·一模）一批学生夏令营住某校学生宿舍楼，如果一间房住6人，那么有6人无房可住；如果一间房住8人，那么就空出一间房，若设该校学生宿舍楼有房x间，则列出关于x的一元一次方程正确的是（    ） A． B．C． D． 【答案】C 【分析】直接利用住宿人数不变进而得出方程即可． 【详解】解：设该校学生宿舍楼有房x间， 则可列方程：， 故选：C． 【点睛】此题主要考查了由实际问题抽象出的一元一次方程，正确表示出总住店人数是解题的关键． ►题型02 配套问题 1．（2021·浙江杭州·一模）某校教师举行茶话会．若每桌坐10人，则空出一张桌子；若每桌坐8人，还有6人不能就座．设该校准备的桌子数为x，则可列方程为（　　） A．10（x﹣1）=8x﹣6 B．10（x﹣1）=8x+6 C．10（x+1）=8x﹣6 D．10（x+1）=8x+6 【答案】B 【分析】设该校准备的桌子数为x，根据“若每桌坐10人，则空出一张桌子；若每桌坐8人，还有6人不能就坐”，即可得出关于x的一元一次方程，此题得解． 【详解】解：设该校准备的桌子数为x， 依题意得：10（x-1）=8x+6． 故选：B． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 2．（2020·浙江·模拟预测）有6个班的同学在大会议室里听报告，如果每条长凳坐5人，还缺8条长凳；如果每条长凳坐6人，就多出2条长凳．设来听报告的同学有x人，会议室里有y条长凳，则下列方程正确的是（　　　） ①　②  ③　④ A．①③ B．②④ C．①② D．③④ 【答案】A 【分析】首先理解题意发现题中有两个量不变，一个是听报告的人数不变，第二个是板凳的总数不变，根据这两个不变的量列方程即可． 【详解】（1）由题意可知，设来听报告的同学有x人，则根据会议室的长凳的数量不变列方程得：； （2）设会议室里有y条长凳，则根据听报告的人数不变列方程得：； 根据以上两个等式依次判断即可， 则正确的是①③， 故选：A． 【点睛】本题考查了用列方程的思想解决实际问题，解答本题的关键是找出题目中的相等关系． 3．（2020·浙江·模拟预测）为了防控新冠病毒，某工厂要制作一批医用口罩，制作一个口罩要用一个口罩面体和2条松紧带．某车间有12名工人，每人每天可以生产1200个口罩面体或4800条松紧带．为使每天生产的口罩面体和松紧带刚好配套，应安排生产口罩面体和松紧带的工人各多少名？ 【答案】安排8名工人生产口罩面体、4名工人生产松紧带 【分析】设安排x名工人生产口罩面体，能使每天生产的口罩面与松紧带刚好配套，则生产口罩松紧带的工人有（12-x）名，根据每名工人每天可以生产1200个口罩面或4800个口罩松紧带，一个口罩面需要配2个口罩松紧带列方程，解方程即可求解即可． 【详解】设安排x名工人生产口罩面，能使每天生产的口罩面与松紧带刚好配套，则生产口罩松紧带的工人有（12-x）名，依题意得： 4800（12-x）=1200x·2， 解得x=8， 答：安排8名工人生产口罩面体、4名工人生产松紧带能使每天生产的口罩面与松紧带刚好配套． 【点睛】考查了一元一次方程的应用，解题关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程． ►题型03 工程问题 1．（2024·浙江·模拟预测）学校要制作一块广告牌，请来两名工人，已知甲单独完成需4天，乙单独完成需6天，若先由乙做1天，再两人合作，完成任务后共得到报酬900元，若按各人的工作量计算报酬，则分配方案为（    ） A．甲360元，乙540元 B．甲450元，乙450元 C．甲300元，乙600元 D．甲540元，乙360元 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次方程的实际应用，熟悉掌握工程问题中的数量关系是解题的关键． 设两人合作了天，根据甲的工作量乙的工作量剩余工作总量列出方程求解即可． 【详解】解：设两人合作了天， ∴由题意可得： 解得： ∴甲的工作量为 ∴甲的报酬为：元， ∴乙的报酬为：元， 故选：B． 2．（2024·浙江绍兴·一模）某市为缓解交通拥堵，决定修建高架快速路，原计划用20个月完成这项工程，实际提前2个月完成该工程，求实际每月的工作效率比原计划提高的百分比．若设实际每月的工作效率比原计划提高的百分比是，则根据题意可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，根据结果比原计划提前2个月完成交货，列方程即可． 【详解】解：设实际每月的工作效率比原计划提高的百分比是，根据题意，得 故选：A． 3．（2023·浙江嘉兴·一模）某市为缓解交通拥堵，决定修建高架快速路，原计划用20个月完成这项工程，实际提前2个月完成该工程，求实际每月的工作效率比原计划提高的百分比？若设实际每月的工作效率比原计划提高的百分比是，根据题意可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据结果比原计划提前2个月完成交货，列分式方程即可． 【详解】解：设实际每月的工作效率比原计划提高的百分比是，根据题意，得 故选：A． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，理解题意并根据题意建立等量关系是解题的关键． ►题型04 销售问题 1．（2023·浙江衢州·一模）一家商店某种衣服按进价提高后标价，又以八折优惠卖出，结果每件衣服获利元，则这件衣服的进价是 元． 【答案】 【分析】设这件衣服的进价元，标价为，根据题意可得等量关系：标价八折进价利润，根据等量关系列出方程即可． 【详解】解：设这件衣服的进价x元，由题意得： ， 解得：， 即：这件衣服的进价元． 故答案是：． 【点睛】此题主要考查了一元一次方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程． 2．（2021·浙江杭州·二模）某商户在元旦假期进行促销活动时，将一件标价80元的衬衫，按照八折销售后仍可获利10元，设这件衬衫的成本为x元，根据题意，可列方程（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意找出题中存在的等量关系：售价﹣成本价＝利润，列方程即可． 【详解】解：设这件衬衫的成本为x元，根据题意， 可列方程：， 故选：D． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，列方程的关键是正确找出题目的相等关系，此题应重点弄清两点： （1）利润、售价、成本价三者之间的关系； （2）打八折的含义． 3．（2022·浙江宁波·三模）某商品随季节变化降价出售，如果按标价降价10%，仍可盈利40元．如果降价后再九折出售，就要亏损14元，则这件商品的标价是 元． 【答案】600 【分析】设这件商品的标价为x元，根据该商品的成本价不变，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：设这件商品的标价为x元， 依题意得：（1-10%）x-40=90%×（1-10%）x+14， 解得：x=600． 答：这件商品的标价是600元， 故答案为：600． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． ►题型05 数字问题 1．（2020·浙江金华·中考真题）如图，在编写数学谜题时，“□”内要求填入同一个数字，若设“□”内数字为x．则列出方程正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】直接利用表示十位数的方法进而得出等式即可． 【详解】解：根据题意可得： ． 故选：D． 【点睛】此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次方程，正确表示十位数是解题关键． 2．（2022·浙江杭州·模拟预测）一个两位数的个位数字与十位数字都是，如果将个位数字与十位数字分别加和，所得的新数比原数大，则可列的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意分别表示出原来的两位数和新的两位数，再根据所得的新数比原数大得出方程． 【详解】解：由题意得：原来的两位数可表示为，新的两位数可表示为， 则可列的方程是， 故选：D． 【点睛】本题主要考查由实际问题抽象出一元一次方程，读懂题意，找出等量关系是解答本题的关键． 3．（2021·浙江绍兴·一模）如图，现有3×3的方格，每个小方格内均有数字，要求方格内每一行．每一列以及每一条对角线上的三个数字之和均相等，记三个数字之和为P，则P的值是（　　） A．12 B．15 C．18 D．21 【答案】D 【分析】如图，A=P-10，C=x，求得E=P+x-17，D=P-x-7，由3+D+E=P，列式求解即可． 【详解】解：如图， 由题意得：A=P-10， 设C=x， ∴B=P-A-C=P-(P-10)-x=10-x， ∵B+7+E=P， ∴E=P-B-7=P-(10-x)-7=P+x-17， ∵C+7+D=P， ∴D=P-C-7=P-x-7， 又∵3+D+E=P， ∴3+P-x-7+P+x-17=P， 整理得：2P-21=P， ∴P=21． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了整式的加减，图形的变化规律，学习过程中注意培养自己的观察、分析能力． ►题型06 分段收费问题 1．（2024·浙江台州·一模）某省居民生活用电实施阶梯电价，年用电量分为三个阶梯．阶梯电费计价方式如下： 阶梯档次 年用电量 电价（单位：元/度） 第一阶梯 2760度及以下部分 0.538 第二阶梯 2761度至4800度部分 0.588 第三阶梯 4801度及以上部分 0.838 小聪家去年12月份用电量为500度，电费为319元，则小聪家去年全年用电量为（   ） A．5250度 B．5100度 C．4900度 D．4850度 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，解题的关键是先判断出小聪家去年前11个月用电量超过2761度，不足4800度，设小聪家去年12月份用电量500度超过4800度的部分为x度，根据12月份用电量为500度，电费为319元，列出方程，解方程即可． 【详解】解：∵（元），（元）， 又∵， ∴小聪家去年前11个月用电量超过2761度，不足4800度， 设小聪家去年12月份用电量500度超过4800度的部分为x度，根据题意得： ， 解得：， （度）， 答：小聪家去年全年用电量为4900度． 故选：C． 2．（2022·浙江丽水·三模）电信公司推出移动电话A，两种套餐计费方法，收费标准如下表，一个月累计通话时间记为（分）． A计费方法 计费方法 月租费（元/月） 58 88 不加收通话费时限（分） 150 350 超时部分加收通话费标准（元/分） 0.25 0.20 (1)若，则选用哪种套餐话费少？通过计算说明． (2)当时，按这两种计费方法，所需的话费会相等吗？若会，求的值；若不会，说明理由． (3)用A套餐时，一个月累计通话时间410分所需的话费，若改用套餐，则可多通话多少分钟？ 【答案】(1)选择A套餐 (2)会，当时，所需的话费相等 (3)改用套餐，则可多通话115分钟 【分析】（1）直接将代入两种套餐计算出费用即可比较； （2）根据话费相等，列出方程，解出t的值即可； （3）根据题意列出方程即可求解． 【详解】（1）A套餐收费：； 套餐收费：． 所以选择A套餐． （2）当时，， 解得． ∴当时，所需的话费相等． （3）根据题意得方程， 解得， ． 答：改用套餐，则可多通话115分钟． 【点睛】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键在于找到题目中的等量关系列方程． ►题型07 行程问题 1．（2024·浙江嘉兴·三模）已知物体自由下落的距离可以表示为，表示物体下落的末速度，表示物体下落的时间，声音传播的速度为米/秒．若将一块石头从井口自由落下，秒后听到它落水的声音，测得米/秒，设石头下落的时间为，则可列得方程（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次方程的实际应用，根据题意列出方程式是解题的关键． 根据题意列出方程式即可选出． 【详解】解：∵声音传播的速度为米/秒．若将一块石头从井口自由落下，秒后听到它落水的声音，设石头下落的时间为 ∴从石头落水时，传到井口用的时间为， ∴从井底到井口的总路程， 将米/秒，石头下落的时间为，代入，得， 即， 故选． 2．（2020·浙江杭州·模拟预测）如图，，点是线段的中点，点从点出发，以2cm/s的速度向右移动，同时点从点出发，以的速度向右移动到点后立即原速返回点，当点到达点时，、两点同时停止运动．当时，运动时间的值是 ．    【答案】2或或 【分析】根据点从点到点所需时间为，点从从点到点再回到点所需时间为，分两种情况列出方程即可求解． 【详解】解：∵点从点到点所需时间为， 点从点到点所需时间为， 当时，， ∴， 解得， 当时，点到点的距离为， 点到点的距离为， ∴，即， 解得或， 故答案为：2或或． 【点睛】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是读懂题意，利用分类讨论的思想列出一元一次方程． 3．（2023·浙江·模拟预测）如图，A，B两地相距1200m，小车从A地出发，以8m/s的速度向B地行驶，中途在C地停靠3分钟．大货车从B地出发，以5m/s的速度向A地行驶，途经D地（在A地与C地之间）时沿原路返回B点取货两次，且往返两次速度都保持不变（取货时间不计），取完两批货后再出发至A点．已知：，则直至两车都各自到达终点时，两车相遇的次数为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】由题意可求出，，，．再根据题意结合速度=路程÷时间讨论即可． 【详解】解：由题意可知． ∵， ∴，， ∴，． 当大货车第一次到达D地时，用时， ∴此时小车行驶路程为． ∵， ∴此过程两车不相遇； 当大货车第一次由D地返回B地，且到达C地的过程中， ∵， ∴大货车到达C地用时． 假设此过程中两车相遇，且又经过t秒相遇， 则， 解得：，即说明大货车到达C地之前没相遇； 当大货车继续由C地返回B地时， ∵， ∴大货车到达B地用时． 此时大货车共行驶． ∵小车到达C地用时， ∴当大货车到达B地时，小车已经到达C地停靠． ∵小车中途在C地停靠3分钟，即， ∴当大货车到达B地时，小车在C地还需停靠． 当大货车又从B地出发前往D地时，用时， ∴当大货车到达D地时小车还在停靠，即此时第一次相遇， ∴此时小车剩余停靠时间， ∴当小车出发时，大货车第二次从D地前往B地行驶了． 假设大货车到达B地前小车能追上大货车，且用时为， 则， 解得：，即说明大货车到达B地前小车没追上大货车， ∴此过程两车没相遇． 当大货车最后由B地前往A地时，小车正在向B地行驶， ∴两车此过程必相遇． 综上可知，两车相遇的次数为2次． 故选A． 【点睛】本题考查线段的n等分点，线段的和与差，一元一次方程的实际应用．读懂题意，列出算式或方程是解题关键． ►题型08 古典问题 1．（2024·浙江衢州·一模）今有三人共车，二车空：二人共车，九人步．问人与车各几何？（选自《孙子算经》）现假设有辆车，则有方程（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一元一次方程的应用，读懂题意，根据两种方式的总人数相等列方程即可． 【详解】解：设有辆车，根据题意，得， 故选：A． 2．（2023·浙江宁波·模拟预测）我国古代数学著作《孙子算经》中有“多人共车”问题：“今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问人与车各几何？”其大意为：每车坐3人，两车空出来；每车坐2人，多出9人无车坐．问人数和车数各多少？设车辆，则符合题意的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，注意正确理解题意即可． 【详解】解：∵每车坐3人，两车空出来 ∴总人数为 ∵每车坐2人，多出9人无车坐 ∴总人数为 故可列方程， 故选：A． 3．（2019·浙江金华·模拟预测）《孙子算经》是中国传统数学的重要著作之一，其中记载的“荡杯问题”很有趣．《孙子算经》记载“今有妇人河上荡杯，津吏问曰：杯何以多？妇人曰：家有客．津吏曰：客几何？妇人曰：二人共饭，三人共羹，四人共肉，凡用杯六十五．不知客几何？译文：“2人同吃一碗饭，3人同吃一碗羹，4人同吃一碗肉，共用65个碗，问有多少客人？”设共有客人x人，可列方程为 ． 【答案】 【分析】设共有客人人，根据“2人同吃一碗饭，3人同吃一碗羹，4人同吃一碗肉，共用65个碗”列出方程即可． 【详解】解：设共有客人人， 根据题意，得． 故答案为：． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，解答本题的关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程． ►题型09 其他问题 1．（2024·浙江杭州·一模）20位同学在植树节这天共种了52棵树苗，其中男生每人种3棵，女生每人种2棵．求男生有多少人？设男生有x人，则可列方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了由实际问题抽出一元一次方程，设男生有人，则女生有人，根据植树的总棵数男生人数女生人数，即可得出关于的一元一次方程，此题得解，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 【详解】解：设男生有人，则女生有人， 根据题意得：． 故选：B． 2．（2023·浙江杭州·中考真题）在直角坐标系中，把点先向右平移1个单位，再向上平移3个单位得到点．若点的横坐标和纵坐标相等，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】先根据平移方式确定点B的坐标，再根据点的横坐标和纵坐标相等列方程，解方程即可． 【详解】解：点先向右平移1个单位，再向上平移3个单位得到点， ，即， 点的横坐标和纵坐标相等， ， ， 故选C． 【点睛】本题考查平面直角坐标系内点的平移，一元一次方程的应用等，解题的关键是掌握平面直角坐标系内点平移时坐标的变化规律：横坐标右加左减，纵坐标上加下减． 3．（2024·浙江·三模）如图，将若干条完全相同的塑料板凳叠放成一摞．如图1，测得一条板凳的高度为；如图2，测得五条板凳的总高度为． (1)求六条板凳叠放成一摞的总高度． (2)运送时，板凳总高度限制为不超过，则运送时最多可以将几条板凳叠放成一摞？ 【答案】(1)六条板凳总高度为 (2)运送时最多可以将11条板凳叠放成一摞 【分析】此题考查了一元一次方程的实际应用，一元一次不等式的应用， （1）设增加一条板凳将增高，根据五条板凳的总高度为列得，求出一条板凳的高度即可求出六条板凳的高度； （2）设运送时最多可以将y条板凳叠放成一摞，列不等式求解． 【详解】（1）设增加一条板凳将增高，则，解得； 六条板凳总高度：. 答：六条板凳总高度为. （2）设运送时最多可以将y条板凳叠放成一摞， ；解得． 答：运送时最多可以将11条板凳叠放成一摞． 命题点四 二元一次方程（组）及其解法 ►题型01 二元一次方程（组）的概念 1．（2020·浙江杭州·模拟预测）下列是二元一次方程的（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二元一次方程的定义：含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，像这样的整式方程叫做二元一次方程可以直接选出答案． 【详解】解：A、不是方程，故不符合； B、是三元一次方程，故不符合； C、是分式方程，故不符合； D、是二元一次方程，故符合； 故选D． 【点睛】此题主要考查了二元一次方程的定义，解题的关键是掌握二元一次方程需满足三个条件：①首先是整式方程．②方程中共含有两个未知数．③所有未知项的次数都是一次．不符合上述任何一个条件的都不叫二元一次方程． 2．（2020·浙江杭州·模拟预测）与方程构成的方程组，其解为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将解代入选项中验证即可求解． 【详解】解：A．不是方程的解，该项不符合题意； B．不是方程的解，该项不符合题意； C．不是方程的解，该项不符合题意； D．是方程的解，该项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查二元一次方程组的解，理解二元一次方程组的解的定义是解题的关键． 3．（2020·浙江杭州·模拟预测）若是下列某二元一次方程组的解，则这个方程组为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】运用代入排除法进行选择或分别解每一个方程组求解． 【详解】解：A、适合方程组中的每一个方程，故该选项正确； B、不是方程组中每一个方程的解，故该选项错误； C、不是方程组中每一个方程的解，故该选项错误； D、不是方程组中每一个方程的解，故该选项错误． 故选：A． 【点睛】此题考查了方程组的解的定义，能根据二元一次方程组的解的定义进行准确判断是解题的关键． 4．（2022·浙江杭州·一模）二元一次方程的解可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】把各个选项答案带进去验证是否成立即可得出答案． 【详解】逐项代入计算， A．将代入4x-y=2，方程左右两边不相等，故A项错误； B．将代入4x-y=2，方程左右两边不相等，故B项错误； C．将代入4x-y=2，方程左右两边相等，故C项正确； D．将代入4x-y=2，方程左右两边不相等，故D项错误； 故选：C． 【点睛】此题考查的是二元一次方程的解，掌握二元一次方程的解题技巧是解题的关键． ►题型02 解二元一次方程组 1．（2023·浙江台州·三模）解方程组：． 【答案】 【分析】本题主要考查加减消元法解二元一次方程，掌握解二元一次方程组的方法是解题的关键． 【详解】解：， 得，， 解得，， 把代入得，， 解得，， ∴原方程组的解为． 2．（2024·浙江·模拟预测）解方程或方程组： (1) (2) 【答案】(1)， (2) 【分析】此题考查了解一元二次方程和解二元一次方程组，熟练掌握相关解法是解题的关键. （1）利用配方法解一元二次方程即可； （2）利用加减法解二元一次方程组即可. 【详解】（1）解： 原方程可变为：， ∴， 则 ∴或 解得， （2） ①＋②得，， 解得，， 把代入①得，， 解得， ∴ 3．（2023·浙江温州·二模）解方程组： 【答案】 【分析】方程组利用代入消元法求出解即可． 【详解】解：， 将代入，得，解得， 将代入，得， 则原方程的解为． 【点睛】本题考查了解二元一次方程组，利用消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法． 解二元一次方程组的方法选择： 1)当方程组中某一个未知数的系数是1或者-1时，选用代入消元法； 2)当方程组中某一个方程的常数项为0时，选用代入消元法； 3)当方程组中同一个未知数的系数相同或互为相反数时，选用加减消元法； 4)当两个方程中同一个未知数的系数成整数倍关系时，选用加减消元法． ►题型03 二元一次方程组错解问题 1．（2021·浙江嘉兴·二模）解方程组：，小海同学的解题过程如下： 解：由②得，③ 把③代入①得， 把代入③得， ∴此方程组的解为． 判断小海同学的解题过程是否正确，若不正确，请指出错误的步骤序号，并给出正确的解题过程． 【答案】不正确，（1），（2），（3），（4），过程见解析 【分析】第（1）步，移项没有变号，第（2）步没有用乘法分配律，去括号也错误了，第（3）步移项没有变号，写出正确的解答过程即可． 【详解】解：错误的是（1），（2），（3），（4）， 正确的解答过程： 由②得：y=5-x③ 把③代入①得：3x-10+2x=6， 解得：x=， 把x=代入③得：y=， ∴此方程组的解为． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的解法，解二元一次方程组的基本思路是消元，把二元方程转化为一元方程是解题的关键． 2．（2020·浙江杭州·模拟预测）完成下列问题： （1）已知方程组的解x、y的值相等，求m的值． （2）甲、乙两位同学在解方程组时，甲看错了a，解得；乙将一个方程中的b写成了相反数，解得，求a、b的值． 【答案】（1）m=9；（2）a=3，b=-2 【分析】（1）根据x、y的值相等得到x=y，结合3x+2y=1求出x和y的值，再代入中求出m值； （2）甲看错了第一个方程，把他解的答案代入第二个方程，乙将一个方程中的b写成了相反数，把他解得答案代入方程，求a、b的值． 【详解】解：（1）∵的解x、y的值相等， ∴x=y，代入3x+2y=1中， ∴，代入中， 则， 解得：m=9； （2）由题意得： 把代入3x+by=5， 得：9+2b=5， 解得：b=-2， 因为乙将一个方程中的b写成了相反数， 所以把b=2代入方程组得：ax+2y=1， 把代入方程ax+2y=1得：a=3． 【点睛】此题考查的是二元一次方程组的解和解二元一次方程组，解答此题先要根据题意列出方程，然后求解． ►题型04 二元一次方程组的求参数问题 1．（2023·浙江金华·模拟预测）已知满足和的x，y也满足，那么（　　） A．1 B．2 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了已知方程的解求参数，先解即可用含m的代数式表示出x，将x的值代入方程①中便可用m的代数式表示出y，把x、y的值代入方程中进行计算即可求出m的值． 【详解】解：， ①②得：， ， 把代入①得：， 解得：． 把和代入得： ， 解得． 故选：B． 2．（2023·浙江温州·模拟预测）已知方程组，若，的值互为相反数，则的值为（    ） A．0 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二元一次方程，解题的关键是熟练运用二元一次方程组的解法，根据二元一次方程组的解法求出x，y，再根据，即可求出答案． 【详解】解：， 两式相加得：， ， ， ∵x，y的值互为相反数， ∴， ， 解得：， 故选：D． 3．（2024·浙江宁波·模拟预测）若关于x，y的方程组的解满足，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查二元一次方程组和一元一次不等式的解法，把方程组的解求出，即用k表示出x、y，代入不等式，转化为关于k的一元一次不等式，可求得k的取值范围． 【详解】解： 由可得：， 所以： 把③代入②得：， 解得：， 代入可得：， 解得：， 故答案为：． ►题型05 二元一次方程组的同解问题 1．（2017·浙江杭州·一模）若关于x、y的方程组与有相同的解． (1)求这个相同的解； (2)求m、n的值． 【答案】(1) (2)． 【分析】此题考查了二元一次方程组的解法，方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知数的值． （1）联立两方程组中不含m，n的方程求出相同的解即可； （2）把求出的解代入剩下的方程中，再联立方程组求出m与n的值即可． 【详解】（1）根据题意，得：， 解得：； （2）将代入方程组，得：， 解得：． 2．（2021·浙江杭州·二模）若方程组的解也是方程x+ky＝0的解，则k＝ ． 【答案】2． 【分析】先解方程组，再把方程组的解代入方程x+ky＝0，解方程即可． 【详解】解： ①+②得，，解得， 把代入②得，，解得， 方程组的解为； 代入x+ky＝0中，得2﹣k＝0，解得k＝2． 故答案为：2． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的解法和一元一次方程的解法，解题关键是熟练运用解方程组的方法求出二元一次方程组的解，并代入解一元一次方程． ►题型06 二元一次方程组的特殊解法 1．（2024·浙江宁波·一模）已知关于、的方程组的解为，则关于、的方程组的解为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的解．将方程组可化为，然后根据题意即可得出，从而求出、的值． 【详解】解：方程组可化为， 关于、的方程组的解为， 方程组的解是，即， 故答案为：． 2．（2020·浙江杭州·模拟预测）若关于x，y的二元一次方程组和有相同的解， 求：（1）这两个方程组的解； （2）代数式的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）由两个方程组同解可得，解方程组可得答案； （2）把代入两个系数未知的方程可得：，解方程组求解的值，即可得到答案． 【详解】解：（1）由题意得： ①+②得： 把代入①得： 所以这两个方程组的解是： （2）把代入可得： ， ③④得： 把代入③得： 所以： 【点睛】本题考查的是同解方程，二元一次方程组的解法，代数式的值，乘方符号的确定，掌握以上知识是解题的关键． 3．（2023·浙江·模拟预测）已知关于x、y的二元一次方程组的解为，则关于x，y的方程组的解为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题可知，关于x，y的方程组的解为，进而求出的值即可得解． 【详解】解：∵关于x、y的二元一次方程组的解为， ∴关于x，y的方程组的解为， ∴， 故选A． 【点睛】本题考查解二元一次方程组．解题的关键是利用整体思想，得到． 4．（2022·浙江·二模）我们知道二元一次方程组的解是．现给出另一个二元一次方程组，它的解是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用换元法，令，得到：，即：，再解二元一次方程组即可． 【详解】解：在二元一次方程组中，令， 则， ∵二元一次方程组的解是， ∴， ∴， 解得：． 故选C． 【点睛】本题考查解二元一次方程组．熟练掌握换元法解方程组，是解题的关键． 5．（2020·浙江杭州·模拟预测）若关于，的方程组的解为，则方程组的解为 ． 【答案】 【分析】利用换元法解二元一次方程组即可得． 【详解】方程组可变形为， 令， 则方程组可化为， 由题意得：此方程组的解为， 因此有， 解得， 即所求方程组的解为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的特殊解法，观察两个方程组，正确换元是解题关键． 6．（2019·浙江温州·二模）我们知道方程组的解是．现给出另一个方程组它的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】仿照已知方程组的解确定出所求方程组的解即可． 【详解】∵方程组的解是 ∴的解为 ∴ 故选：A 【点睛】本题是仿照已知方程组的解，求复杂方程组的解，不需要解方程，只需将和看成整体，即可简便求解． ►题型07 解三元一次方程组 1．（2023·浙江绍兴·模拟预测）已知三个实数x、y、z中，x与y的平均数是127，y与z的和的是78，x与z的和的是52，则这三个数x、y、z的平均数是 ． 【答案】116 【分析】本题考查了三元一次方程组的应用，求平均数，正确解三元一次方程组是解题关键．根据题意列三元一次方程求出x、y、z的值，再求平均数即可． 【详解】解：由题意得：，即， 解得：， x、y、z的平均数是， 故答案为：116． 2．（2023·浙江·模拟预测）实数满足．则 ． 【答案】 【分析】由得：，，由得：，从而得到，即可求解． 【详解】解：， 由得：， ∴， 由得：， ∴， ∴， ∴． 故答案为： 【点睛】本题主要考查了求代数式的值，三元一次方程组，根据题意得到，是解题的关键． 3．（22-23七年级下·湖南怀化·期末）已知方程组，则的值是（    ） A．9 B．8 C．7 D．6 【答案】A 【分析】原方程组左右两边同时相加后再两边同时除以2可以得解．　 【详解】解：原方程组左右两边同时相加可得： ∴ 故选：A．　 【点睛】本题考查解三元一次方程组，熟练掌握等式的基本性质及方程的变形是解题关键．　 命题点五 二元一次方程（组）的应用 ►题型01 行程问题 1．（2024·浙江宁波·一模）甲乙两人练习跑步，如果乙先跑10米，甲跑5秒就可追上乙；如果乙先跑2秒，甲跑4秒就可追上乙．设甲的速度为x米/秒，乙的速度为y米/秒，则可列出的方程组为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，确定等量关系即甲跑的路程等于乙的两次跑的路程的和，列出方程即可，本题考查了二元一次方程组的应用，正确理解题意是解题的关键． 【详解】根据题意，得， 故选B． 2．（2023·浙江台州·一模）作业本中有这样一道题：“小明去郊游上午9时从家中出发，先走平路，然后登山，中午12时到达山顶，原地休息1h后沿原路返回，正好下午3时到家．若他平路每小时走，登山每小时走，下山每小时走，求小明家到山顶的路程．”小李查看解答时发现答案中的方程组中有污损，，则答案中另一个方程应为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由可知a表示上山所用时间，b表示下山所用时间，分别求出从家到山顶、从山顶到家所用的时间，两者之差等于上山与下山所用时间之差，由此可列等式． 【详解】解：由题意知，表示上山的路程等于下山的路程， a表示上山用的时间，b表示下山用的时间， 由题意知，小明从家到山顶所用时间为， 从山顶回到家所用时间为， 上山比下山多用时间为：， ， 故选：C． 【点睛】本题考查列二元一次方程组，解题的关键是理解方程中a，b的含义． 3．（2020·浙江杭州·模拟预测）已知A，B两地相距160千米，甲、乙两车分别从A，B两地同时出发，相向而行，其终点分别为B，A两地．两车均先以a千米每小时的速度行驶，再以b千米每小时的速度行驶，且甲车以两种速度行驶的路程相等，乙车以两种速度行驶的时间相等， （1）若，且甲车行驶的总时间为小时，求a和b的值； （2）若，且乙车行驶的总时间为小时． ①求a和b的值； ②求两车相遇时，离A地多少千米． 【答案】（1）a=，b=160；（2）①a=85，b=115；②78.2千米 【分析】（1）由甲车以两种速度行驶的路程相等，可得，再结合即可求出a、b的值； (2)①由乙车以两种速度行驶的时间相等，可得，即可求出a、b的值； ②求出两车相遇时所用的时间，再根据甲车所走的路程，即为相遇时离A的距离. 【详解】解：（1）由题意，得 ，解得：， 答：a的值为千米/时，b的值为160千米/时． （2）①由题意，得 ， 解得：； ②由题意，得 相遇时甲行驶的时间为：=0.92小时； ∴乙离A地距离，即为甲行驶的距离为：0.92×85=78.2千米 答：两车相遇时，离A地78.2千米． 【点睛】本题考查了行程问题的数量关系的运用，列二元一次方程解实际问题的运用，解答时分别运用路程相等和时间相等建立方程组是解答本题的关键． ►题型02 数字问题 1．（22-23九年级下·河北秦皇岛·阶段练习）幻方是古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方——九宫格．将9个数填入幻方的空格中，要求每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等，例如图（1）就是一个幻方．图（2）是一个末完成的幻方，则的值是（    ） A．0 B． C． D．32 【答案】B 【分析】设中间的数为，第三行第1个数字为，根据题意得出，由①得，由②得，得出，进而即可求解． 【详解】解：如图所示，设中间的数为，第三行第1个数字为， 由①得 由②得 ∴， 解得： ∴ 故选：B． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，根据题意列出方程组是解题的关键． 2．（2019·浙江杭州·一模）一个两位数，十位数字比个位数字的2倍大1，若将这个两位数减去36恰好等于个位数字与十位数字对调后所得的两位数，则这个两位数是（　　） A．86 B．68 C．97 D．73 【答案】D 【分析】用二元一次方程组解决问题的关键是找到2个合适的等量关系．由于十位数字和个位数字都是未知的，所以不能直接设所求的两位数． 本题中2个等量关系为： 十位数字=2×个位数字+1； （10×十位数字+个位数字）-36=10×个位数字+十位数字． 根据这两个等量关系可列出方程组． 【详解】设这个两位数的十位数字为x，个位数字为y． 则， 解得． 故选D． 【点睛】解题关键是弄清题意，合适的等量关系，列出方程组． 本题涉及一个常识问题：两位数=10×十位数字+个位数字，并且在求两位数或三位数时，一般是不能直接设这个两位数或三位数的，而是设它各个数位上的数字为未知数． 3．（23-24七年级上·安徽宿州·期中）图1是我国古代传说中的洛书，图2是洛书的数字表示．相传，大禹时，洛阳西洛宁县洛河中浮出神龟，背驮“洛书”，献给大禹．大禹依此治水成功，遂划天下为九州．洛书是一个三阶幻方，就是将已知的9个不同整数填入的方格中，使每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的数字之和都相等．图3是一个不完整的幻方，根据幻方的规则，由已知数求出的值应为（    ） A．3 B． C． D．2 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的关键． 设第二行第一个数字为(为常数），根据每一横行、每一竖列上的数字之和相等，可列出关于，的二元一次方程，变形后，即可求出的值． 【详解】解：设第二行第一个数字为为常数）， 根据题意得：， ． 故选：B． ►题型03 销售问题 1．（2024·浙江宁波·一模）低碳生活已是如今社会的一种潮流形式，人们的环保观念也在逐渐加深．“低碳环保，绿色出行”成为大家的生活理念，不少人选择自行车出行．某公司销售甲、乙两种型号的自行车，其中甲型自行车进货价格为每台1000元，乙型自行车进货价格为每台1200元．该公司销售3台甲型自行车和2台乙型自行车，可获利1100元，销售1台甲型自行车和2台乙型自行车，可获利700元． (1)该公司销售一台甲型、一台乙型自行车的利润各是多少元？ (2)在销售中发现，甲型自行车按（1）中获利定价时，每天可售出20台．在原有基础上，每降价5元，可多售出1台，要使甲型自行车每天销售利润不低于3360元，求优惠幅度的范围． 【答案】(1)该公司销售一台甲型的利润为200元，一台乙型自行车的利润为250元 (2)优惠幅度的范围是15元至85元 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，二次函数的应用，根据题意列出方程组和函数关系是解题的关键． （1）根据“销售3台甲型自行车和2台乙型自行车，可获利1100元，销售1台甲型自行车和2台乙型自行车，可获利700元”建立方程组求解即可； （2）设甲型自行车降价元，则可多售出台，甲型自行车每天销售利润为元，根据题意列出二次函数，利用二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）该公司销售一台甲型、一台乙型自行车的利润分别为、元，根据题意得， ， 解得：， 答：该公司销售一台甲型的利润为200元，一台乙型自行车的利润为250元； （2）设甲型自行车降价元，则可多售出台，甲型自行车每天销售利润为元，根据题意得， ， ∵，二次函数的图象的开口向下， 当时，有， 解得：， ∵为整数， ∴，， 当时，， ∴ 答：优惠幅度的范围是15元至85元． 2．（2021·浙江·一模）我校计划购进一批机器人套件和3D打印机．购买1份机器人套件和2台3D打印机需要3.5万元，购买2份机器人套件和1台3D打印机需要2.5万元． (1)求每份机器人套件、每台3D打印机各多少万元? (2)若需购进机器人套件和3D打印机共300台，总费用不超过300万元，但不低于280万元，请你通过计算求出费用最低的购买方案． 【答案】(1)每份机器人套件0.5万元，每台打印机1.5万元． (2)费用最低的购买方案为：购进机器人套件170份，打印机130台． 【分析】（1）设每份机器人套件万元，每台打印机万元，根据“购买1份机器人套件和2台打印机需要3.5万元，购买2份机器人套件和1台打印机需要2.5万元”，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设购进机器人套件份，则购进打印机台，根据“总费用不超过300万元，但不低于280万元”，即可得出关于的一元一次不等式组，解之即可得出的取值范围，设购进机器人套件和打印机的总费用为万元，利用总价单价数量，即可得出关于的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可找出费用最低的购买方案． 【详解】（1）设每份机器人套件万元，每台打印机万元， 依题意得：， 解得：． 答：每份机器人套件0.5万元，每台打印机1.5万元． （2）设购进机器人套件份，则购进打印机台， 依题意得：， 解得：． 设购进机器人套件和打印机的总费用为万元，则， ， 随的增大而减小， 当时，取得最小值， 费用最低的购买方案为：购进机器人套件170份，打印机130台． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，找出关于的函数关系式． 3．（2023·浙江·模拟预测）某礼品经销商在春节前购进了甲、乙两种规格的礼品盒盒，共花费了元．已知甲、乙两种规格的礼品盒的进价和售价如下表： 类别 甲规格 乙规格 进价(元) 售价(元) (1)该礼品经销商购进甲、乙两种规格的礼品盒各多少盒？ (2)由于市场供不应求，该礼品经销商计划再购进两种礼品盒共盒，而此次投入不超过元，为使得获利最大，应如何进货． 【答案】(1)该礼品经销商分别购进甲、乙两种礼品盒为120、80盒 (2)进货方案为：甲礼品盒盒，乙礼品盒的数量盒 【分析】 （1）首先根据题意设出未知数，再找到等量关系：①甲、乙两种礼品盒共盒，②甲礼品盒的数量乙礼品盒的数量共花费了元，然后解方程组可得到甲乙两种礼品盒各买了多少盒． （2）再购进甲礼品盒盒，则购进乙礼品盒盒，甲礼品盒的花费乙礼品盒的花费，进而求出进货方案． 【详解】（1） 解：设购进甲规格的礼品盒盒，乙规格的礼品盒盒， 根据题意得：， 解得， 答：该礼品经销商分别购进甲、乙两种礼品盒为、盒． （2） 设再购进甲礼品盒盒，根据题意得：， ， ， 利润， 随着的增大而减小， 当时，最大，此时元． 即进货方案为：甲礼品盒盒，乙礼品盒的数量盒， 【点睛】 此题主要考查了一次函数、一元一次不等式、二元一次方程组的应用，根据不等式的性质以及一次函数的增减性是解决问题的关键． ►题型04 和差倍分问题 1．（2024·浙江·二模）年元旦期间，小华和家人到杭州西湖景区游玩，湖边有大小两种游船，小华发现：2艘大船与3艘小船一次共可以满载游客人，1艘大船与1艘小船一次共可以满载游客人．则1艘大船可以满载游客的人数为（   ） A．10 B．16 C．18 D．20 【答案】C 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，设1艘大船可以满载游客x人，1艘小船可以满载游客y人，由题意：2艘大船与3艘小船一次共可以满载游客人，1艘大船与1艘小船一次共可以满载游客人．列出二元一次方程组，解方程组即可． 【详解】解：设1艘大船可以满载游客x人，1艘小船可以满载游客y人， 依题意得：， 解得：， 即1艘大船可以满载游客的人数为人， 故选：C 2．（2020·浙江杭州·模拟预测）通过对一份中学生营养快餐的检测，得到以下信息： ①快餐总质量为300g； ②快餐的成分：蛋白质、碳水化合物、脂肪、矿物质； ③蛋白质和脂肪含量占；矿物质的含量是脂肪含量的2倍；蛋白质和碳水化合物含量占． （1）设其中蛋白质含量是，脂肪含量是，请用含或的代数式分别表示碳水化合物和矿物质的质量． （2）求每份营养午餐中蛋白质、碳水化合物、脂肪和矿物质的质量． 【答案】（1）碳水化合物：255-x；矿物质：2y；（2）蛋白质质量为135g，碳水化合物质量为120g，脂肪质量为15g，矿物质质量为30g 【分析】（1）根据“矿物质的含量是脂肪含量的2倍，蛋白质和碳水化合物含量占85%”解答； （2）由题意得等量关系：蛋白质的质量+脂肪的质量=300×50%，四种成分含量之和=300，列出方程组，再解即可． 【详解】解：（1）由题可知，矿物质的质量为2y（g）． 碳水化合物的质量为300×85%-x=255-x（g）． （2）由题意可得： ，解得， ∴蛋白质质量为135g，碳水化合物质量为255-135=120g，脂肪质量为15g，矿物质质量为2×15=30g． 【点睛】此题主要考查了二元一次方程组的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，表示出碳水化合物的质量，矿物质的质量，脂肪的含量，蛋白质的质量，再列方程． ►题型05 几何问题 1．（2020·浙江杭州·模拟预测）如图，周长为的长方形团由10个形状大小完全相同的小长方形拼成，其汇总一个小长方形的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设小长方形的长为x，宽为y，列出二元一次方程组并求解，即可得出结论． 【详解】解：设小长方形的长为x，宽为y，根据图形可得： ， 解得， ∴一个小长方形的面积为， 故选：C． 【点睛】本题考查二元一次方程组的实际应用，根据图形找出等量关系是解题的关键． 2．（2020·浙江杭州·模拟预测）我市新建植物园以其优美独特的自然植物景观，现已成为我市市民春游踏青、赏四季花卉、观景的重要旅游景区．若该植物园中现有A、B两个园区，已知A园区为长方形，长为米，宽为米；B园区为正方形，边长为米． （1）请用代数式表示A、B两园区的面积之和并化简： （2）现根据实际需要对A园区进行整改，长增加米，宽减少米，整改后A区的长比宽多350米，且整改后两园区的周长之和为980米，求此时x、y的值． （3）在（2）的条件下，若整改后A园区全部种植C种花，B园区全部种植D种花，且C、D两种花投入的费用与吸引游客的收益如下表： 花的种类 C D 投入（元/平方米） 13 16 收益（元/平方米） 18 26 求整改后A、B两园区旅游的净收益之和．（净收益＝收益－投入） 【答案】（1） ；（2）；（3）54000元 【分析】（1）根据长方形的面积公式和正方形的面积公式分别计算、两园区的面积，再相加即可求解； （2）根据等量关系：整改后区的长比宽多350米；整改后两园区的周长之和为980米；列出方程组求出，的值； （3）进一步得到整改后、两园区的面积之和，再根据净收益收益-投入，列式计算即可求解． 【详解】解：（1） （平方米） 答：、两园区的面积之和为平方米； （2） （米， （米， 依题意有， 解得． （3）（平方米）， （平方米）， （元． 答：整改后、两园区旅游的净收益之和为54000元． 【点睛】本题考查了二元一次方程的应用，关键是：（1）找出问题中的已知条件和未知量及它们之间的关系．（2）找出题中的两个关键的未知量，并用字母表示出来．（3）挖掘题目中的关系，找出等量关系，列出二元一次方程． ►题型06 古典问题 1．（2023·浙江宁波·模拟预测）“鸡兔同笼”是我国古代的数学名题，《孙子算经》中这样叙述：今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？若设雉只，兔只，则可列方程组为 ． 【答案】 【分析】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是读懂题意，找出等量关系，列出相应的方程组．根据“雉的数量兔的数量，雉的脚的数量兔子的脚的数量”可列方程组． 【详解】解：根据题意可得：， 故答案为：． 2．（2023·浙江宁波·模拟预测）《九章算术》是中国古代数学著作之一，书中有这样的一个问题：“五只雀、六只燕，共重1斤（等于16两），雀重燕轻，互换其中一只，恰好一样重．问：每只雀、燕的重量各为多少？”设每只雀、燕的重量分别为两、两，则可列方程组（    ） A．B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二元一次方程组的运用，根据数量关系列式求解即可． 【详解】解：设每只雀、燕的重量分别为 两、 两， ∵五只雀、六只燕，共重1斤（等于16两）， ∴， ∵雀重燕轻，互换其中一只，恰好一样重， ∴， ∴， 故选：D ． 3．（2023·浙江杭州·一模）《九章算术》中有一道题，原文是：“今有二马、一牛价过一万，如半马之价；一马、二牛价不满一万，如半牛之价．问牛、马价各几何?”意思是：今有匹马、头牛的总价超过钱，其超出的钱数相当于匹马的价格．匹马、头牛的总价不足钱，所差的钱数相当于头牛的价格．问每头牛、每匹马的价格各是多少？可设每匹马价格为钱，每头牛价格为钱，下列式子正确的是（　　 ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组以及数学常识，找准等量关系，设每匹马价格为钱，每头牛价格为钱，根据题意列出方程组即可，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 【详解】解：设每匹马价格为钱，每头牛价格为钱， 根据题意得：， 故选：． ►题型07 方案选择问题 1．（2024·浙江杭州·二模）杆秤是我国度量衡“三大件（尺斗秤）”重要组成部分，是中华民族衡重的基本量具．杆秤依据杠杆原理制作而成，一般由秤钩（或秤盘）、秤杆和秤砣三部分组成，秤杆上的刻度叫做“秤星”．如图是小戚同学利用自制杆秤称重的示意图，使用时将货物放在秤盘上，用手提起（相当于支点）处的秤纽，在秤杆上移动秤砣的位置，当秤杆水平平衡时，可根据秤砣在秤杆上的位置读出货物的质量．如图1所示，称量货物甲时，秤砣在处秤杆平衡，此时可读出货物甲的质量是，则此时：（甲的质量秤盘质量）秤砣质量；如图2所示，称量货物乙时，秤砣在处秤杆平衡，此时可读出货物乙的质量是．根据图中所给数据，可以知道秤盘的质量是 克，这把杆秤的秤星E对应的刻度是 克．      【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程的应用、一元一次方程的应用，设秤盘的质量为，秤砣的质量为，根据题意列出二元一次方程组，求解即可得出秤盘的质量为，秤砣的质量为，设这把杆秤的秤星对应的刻度是克，再列出一元一次方程，解方程即可得解，理解题意，找准等量关系，正确列出方程组以及方程是解此题的关键． 【详解】解：设秤盘的质量为，秤砣的质量为， 由题意得：， 解得：， 秤盘的质量为，秤砣的质量为， 设这把杆秤的秤星E对应的刻度是克， 由题意得：， 解得：， 这把杆秤的秤星对应的刻度是克， 故答案为：，． 2．（2022·浙江温州·一模）2022年北京冬奥会吉祥物“冰墩墩”万众瞩目，硅胶是生产“冰墩墩”外壳的主要原材料．某硅胶制品有限公司的两个车间负责生产“冰墩墩”硅胶外壳，已知每天生产的硅胶外壳数量甲车间是乙车间的两倍，甲车间生产8000个所用的时间比乙车间生产2000个所用的时间多一天． (1)求出甲、乙两车间每天生产硅胶外壳个数． (2)现有如下表所示的A，B两种型号硅胶外壳，该公司现有378千克的原材料用于生产外壳，并恰好全部用完． 型号 所需原材料 冰墩墩单价 A 99克 198元 B 90克 192元 ①若生产的A，B两种型号的外壳共4000个，求出A，B两种型号的外壳个数． ②若生产的A，B两种型号的外壳若干个用于销售，且A型号的数量大于B型号的数量，则A型号外壳为多少个时，冰墩墩的销售金额最大．求出最大销售金额． 【答案】(1)甲、乙车间每天生产的数量分别为4000个、2000个 (2)①生产A型号外壳2000个，B型号外壳2000个；②当A型号外壳2010个时，w有最大值，最大值为779868元 【分析】（1）设甲、乙车间每天生产的数量分别为 2m、m个 ，则由题意可得到关于m的方程，解方程即可得解； （2）①设生产A型号外壳x个，B型号外壳y个，由题意列出关于x、y的二元一次方程组，解方程组可以得到解答；②设生产A型号外壳x个，B型号外壳y个，销售金额为w元，则由题意可以把w表示成x的一次函数，根据一次函数的性质可以求出w的最大值及对应的A型号外壳个数． 【详解】（1）解：根据已知，设甲、乙车间每天生产的数量分别为、m个 解得 经检验符合题意， ∴甲、乙车间每天生产的数量分别为4000个、2000个 （2）①设生产A型号外壳x个，B型号外壳y个，得 ，解得 ∴生产A型号外壳2000个，B型号外壳2000个 ②设生产A型号外壳x个，B型号外壳y个，销售金额为w元，得 ∴，∵ ∴，解得： ，∵ ∴w随x的减小而增大 ∵x，y都是正整数 ∴x是10的倍数，那么x的最小值取2010， 即当时，w有最大值，最大值为779868元． 3．（2022·浙江温州·一模）某商场用60个A型包装袋与90个B型包装袋对甲，乙两类农产品进行包装出售（两种型号包装袋都用完），每个A型包装袋装2千克甲类农产品或装3千克乙类农产品，每个B型包装袋装3千克甲类农产品或装5千克乙类农产品，设有x个A型包装袋包装甲类农产品，有y个B型包装袋包装甲类农产品． (1)请用含x或y的代数式填空完成下表： 包装袋型号 A B 甲类农产品质量（千克） _________ 乙类农产品质量（千克） _______ (2)若甲、乙两类农产品的总质量分别是260千克与210千克，求x，y的值． (3)若用于包装甲类农产品的B型包装袋数量是用于包装甲类农产品的A型包装袋数量的两倍，且它们数量之和不少于90个，记甲、乙两类农产品的总质量之和为m千克，求m的最小值与最大值． 【答案】(1)见解析 (2) (3)m的最大值为480，最小值为405 【分析】（1）根据题意填表即可； （2）根据（1）所求结合甲、乙两类农产品的总质量分别是260千克与210千克，列出方程求解即可； （3）设用于包装甲类农产品的A型包装袋数量为n，则用于包装甲类农产品的B型包装袋数量为2n，然后求出， ， 【详解】（1）解：由题意可以填表如下： 包装袋型号 A B 甲类农产品质量（千克） 乙类农产品质量（千克） （2）解：由题意得：， 解得； （3）解：设用于包装甲类农产品的A型包装袋数量为n，则用于包装甲类农产品的B型包装袋数量为2n， ∵用于包装甲类农产品的A、B型包装袋的数量之和不少于90个， ， ∴， ∴ ， ∵， ∴当时，m随n增大而减小， ∴当n=45时，m有小值405，当n=30时，m有最大值480， ∴m的最大值为480，最小值为405 【点睛】本题主要考查了列代数式，二元一次方程组的应用，一次函数的应用，正确理解题意列出式子是解题的关键． ►题型08 其他问题 1．（2024·浙江嘉兴·一模）李老师逛超市时看中一套碗，她将碗叠成一列（如图），测量后发现：用2只碗叠放时总高度为7.5cm，用4只碗叠放时总高度为11.5cm．若将8个碗叠成一列正好能放入消毒柜，则这个消毒柜的高度至少有（   ）    A．15.5cm B．19.5cm C．23cm D．30cm 【答案】B 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，以实物图形为题目主干，图形形象直观，直接反映了物体的数量关系， 设每两个碗叠放在一起比单独的一个碗增高，单独一个碗的高度为，根据题意列方程组求出，进而求解即可． 【详解】解：设每两个碗叠放在一起比单独的一个碗增高，单独一个碗的高度为， 根据题意得： 解得： ． 则8个碗放在一起时，它的高度为． 故选B． 2．（2024·浙江宁波·一模）根据以下素材，探索完成任务． 如何设计采购方案？ 素材1 为了迎接9月末至10月初在杭州举行的第19届亚运会，某旅游商店购进若干明信片和吉祥物钥匙扣已知一个吉祥物钥匙扣的售价比一套明信片的售价高20元． 素材2 小明在该店购买了1套明信片与4个吉祥物钥匙扣共花费130元． 素材3 已知明信片的进价为5元/套，吉祥物钥匙扣的进价为18元/个．为了促销，商店对吉祥物钥匙扣进行8折销售．临近期中考试，某老师打算提前给学生准备奖品，在该店同时购买吉祥物钥匙扣和明信片两种商品若干件，本次交易商家-共获得600元的销售额．其中售出吉祥物钥匙扣不少于15个． 问题解决 任务1 假设明信片的售价为x元/套，钥匙扣的售价为y元/个，请协助解决右边问题． 问：_______（用含的代数式表示） 任务2 基于任务1的假设和索材2的条件，请尝试求出吉祥物钥匙扣和明信片的售价． 任务3 【拟定设计方案】 请结合素材3中的信息，帮助该老师完成此次促销活动中可行的购买方案．在这些购买方案中，哪种方案商家获利最高． 【答案】任务1：；任务2：吉祥物钥匙扣的售价为30元，明信片的售价为10元；任务3：购买吉祥物钥匙扣15个，明信片24套商家获利最高． 【分析】本题考查一元一次方程，二元一次方程的应用，解题的关键是读懂题意，列出方程解决问题． 任务1：根据一个吉祥物钥匙扣的售价比一套明信片的售价高20元，得； 任务2：根据小明在本店购买了1套明信片与4个吉祥物钥匙扣与共花费130元，得，可解得答案； 任务3：设购买吉祥物钥匙扣m个，明信片n张，得：，由是非负整数，可求出的值，再计算每种方案商家的利润，比较可得答案． 【详解】解：任务1： 一个吉祥物钥匙扣的售价比一套明信片的售价高20元， ． 故答案为：． 任务2： 由素材2，得， 解得， （元）， 答：吉祥物钥匙扣的售价为30元，明信片的售价为10元． 任务3： 设购买吉祥物钥匙扣个，明信片套， 根据题意，得， ． 是非负整数，， 吉祥物钥匙扣每件利润为（元），明信片每套利润为（元）， 购买吉祥物钥匙扣15个，明信片24套，商家获利元； 购买吉祥物钥匙扣20个，明信片12套，商家获利元； 购买吉祥物钥匙扣25个，明信片0套，商家获利元； 购买吉祥物钥匙扣15个，明信片24套商家获利最高． 3．（2024·浙江嘉兴·模拟预测）某城市正在实施垃圾分类制度，居民需要将垃圾分为可回收垃圾、易腐垃圾、有害垃圾和其他垃圾四类．某小区为了鼓励居民积极参与垃圾分类，决定设立积分奖励机制．规则如下表： 垃圾类别 可回收垃圾 易腐垃圾 有害垃圾 其他垃圾 每公斤获得积分 a b 100 无 积分可以兑换部分商品，具体如下表： 物品 垃圾袋/卷 5元话费券/张 水果店打折券/张 小区临时停车券/张 积分数 800 1500 2000 1000 已知2公斤可回收垃圾和1.5公斤易腐垃圾可以获得130积分；2.5公斤可回收垃圾和2公斤易腐垃圾可获得165积分． (1)求a，b的值； (2)小明家一季度产出了46公斤可回收垃圾，100公斤易腐垃圾，1公斤有害垃圾，将这一季度获得的所有积分都兑换成物品，可有哪些兑换方案？ 【答案】(1) (2)有两种兑换方案：垃圾袋3卷，小区临时停车券2张或垃圾袋3卷，水果店打折券1张 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用等知识点 ，理解题意，列出方程（组）是解决此题的关键． （1）根据题意得列出方程组，解方程即可得解； （2）根据题意列出方程，然后根据s，t，m，n都为非负整数，讨论即可得解． 【详解】（1）解：根据题意得：， 解得：； （2）解：共有积分为：， 设兑换垃圾袋s卷，5元话费券t张，水果店打折券m张，小区临时停车券n张， ∴由题意得： 化简得：， ∵s，t，m，n都为非负整数， ∴ ∴原式化为：， ∴；或， 有两种兑换方案：垃圾袋3卷，小区临时停车券2张或垃圾袋3卷，水果店打折券1张． ►题型09 三元一次方程组的应用 1．（2021·浙江温州·二模）某商店销售A，B两种商品，已知B种商品的单价是A种商品的2倍，用120元购买A种商品的数量比用150元购买B种商品的数量多9件． (1)求A、B两种商品的单价； (2)现商店推出C商品，且C商品的单价是A商品的4倍．若某单位支出600元全部用于购买A，B，C三种商品共计40件（A，B，C至少1件），且A，C两种商品的数量之和不超过B种商品数量的3倍，请求出所有可能的购买方案． 【答案】(1)A、B两种商品的单价分别为5元、10元； (2)所有可能的购买方案为：①购买A，B，C三种商品分别为2件，17件，21件；②购买A，B，C三种商品分别为4件，14件，22件；③购买A，B，C三种商品分别为6件，11件，23件 【分析】（1）设A种商品的单价为x元，则B种商品的单价为2x元，根据用120元购买A种商品的数量=150元购买B种商品的数量+9件列出方程，解方程即可； （2）先算出C种商品的价格，设购买A、B、C三种商品分别为a件、b件、c件，根据等量关系式：A种商品的数量+B种商品的数量+C种商品的数量=40，A种商品的花费+B种商品的花费+C种商品的花费=600，列出方程组，得出b、c与a的关系，根据A，B，C至少1件，A，C两种商品的数量之和不超过B种商品数量的3倍，列出关于a的不等式组，解不等式组得出a的取值范围，即可得出结果． 【详解】（1）设A种商品的单价为x元，则B种商品的单价为2x元， 由题意得：＝9+， 解得：x＝5， 经检验，x＝5是原方程的解， 则2x＝10， 答：A、B两种商品的单价分别为5元、10元； （2）∵C商品的单价是A商品的4倍， ∴C商品的单价是20元， 设购买A、B、C三种商品分别为a件、b件、c件， 由题意得：， 解得：， ∵a≥1，a+c≤3b， ∴a+20+a≤3（20﹣a）， 解得：a≤， ∴1≤a≤， ∵b≥1，c≥1， ∴a为2或4或6， 当a＝2时，b＝17，c＝21； 当a＝4时，b＝14，c＝22； 当a＝6时，b＝11，c＝23； 即所有可能的购买方案为：①购买A，B，C三种商品分别为2件，17件，21件； ②购买A，B，C三种商品分别为4件，14件，22件； ③购买A，B，C三种商品分别为6件，11件，23件． 【点睛】本题主要考查了分式方程和一元一次不等式组的应用，找出等量关系列出方程，找出不等关系列出不等式组是解决本题的关键． 2．（2020·浙江杭州·模拟预测）一辆货车、一辆客车、一辆小轿车在一条笔直的公路上朝同一方向匀速行驶，在某一时刻，货车在前，小轿车在后，客车在货车与小轿车的正中间，过了，小轿车追上了客车；又过了；小轿车追上了货车；再过了 客车追上了货车． 【答案】 【分析】由于在某一时刻，货车在前，小轿车在后，客车在货车与小轿车的中间，所以设在某一时刻，客车与货车、小轿车的距离均为S千米，小轿车、货车、客车的速度分别为a、b、c（千米/分），由过了分钟，小轿车追上了客车可以列出方程，由又过了分钟，小轿车追上了货车列出方程，由再过t分钟，客车追上了货车列出方程，联立所有方程求解即可求出t的值． 【详解】解：设在某一时刻，客车与货车、小轿车的距离均为S千米，再过t分钟，客车追上了货车，小轿车、货车、客车的速度分别为a、b、c（千米/分）， 由题意可得：   由②×2①×3 得：④， ④代入③中得：， ∴（分）． 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了三元一次方程组的应用，解题的关键是正确理解题意，准确变为题目的数量关系，然后列出方程组解决问题． 3．（2022·浙江金华·一模）现有A，B，C三种型号的纸片若干张，大小如图所示．从中取出一些纸片进行无空隙、无重叠拼接，拼成一个长宽分别为11和5的新矩形，在各种拼法中，B型纸片最多用了 张． 【答案】7 【分析】设需要的A卡片x张，B卡片y张，C卡片z张，x、y、z均为正整数，从面积入手，A的面积为4，B的面积为6，C的面积为9，再结合总面积为55，来讨论求解． 【详解】由图可知，A的面积为4，B的面积为6，C的面积为9， 则有方程，x、y、z均为正整数， 则未知数的取值范围为：x取0至11的正整数，y取0至9的正整数，z取0至6的正整数； 当x=0时，此时表明只选择了B、C两张纸片，则有：，即， 55无法被3整除，显然此时y、z无法取正整数，不合题意，则必选了A纸片； 当z=0时，此时表明只选择了A、B两种纸片，则有：，即， 55无法被2整除，显然此时x、y无法取正整数，不合题意，则必选了C纸片； 从题目所求可知，不必讨论当y=0时的情况， 综上可以发现除B纸张外，A、C至少都取了一张， 则有，即， 即B型纸张最多用了7张， 故答案为：7． 【点睛】本题考了三元一次方程的正整数解的知识，通过题中条件找到未知数的范围，即可求解．题目包含有不定方程的知识，本题作为填空题难度较大． 基础巩固 1．如果，那么根据等式的基本性质下列变形正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了等式的性质，熟知等式的性质是解题的关键：等式两边同时加上或减去同一个数或整式，等式仍然成立；等式两边同时乘以一个数或式子等式仍然成立；等式两边同时除以一个不为零的数字或式子等式仍然成立．据此进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、如果，则，故该选项不符合题意； B、如果，则，故该选项不符合题意； C、如果，则，故该选项符合题意； D、如果，则，故该选项不符合题意； 故选：C 2．《算法统宗》是我国古代重要的数学著作，其中记载着这样一个问题：我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．其大意为：今有若干人住店，若每间住7人，则剩下7人无房可住；若每间住9人，则剩下一间无人住．设店中共有间房，根据题意所列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一元一次方程的应用，理清题中的等量关系是解题的关键． 根据“每间住7人，则剩下7人无房可住；若每间住9人，则剩下一间无人住”．设店中共有间房，以人数不变为等量关系，列出方程即可． 【详解】解：设店中共有间房，根据题意，得 ． 故选：C． 3．若是关于，的二元一次方程的解，则的值为（   ） A．2 B．1 C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二元一次方程的解、解一元一次方程等知识，理解二元一次方程的解的定义是解题关键．将代入关于，的二元一次方程，可得关于的一元一次方程，求解即可获得答案． 【详解】解：将代入关于，的二元一次方程， 可得，解得． 故选：B． 4．在解方程时，去分母正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了解一元一次方程--去分母；方程两边同时乘以42，即可得到答案． 【详解】解：， 去分母得，， 故选：B． 5．我国明代《算法统宗》一书中有这样一题：“一支竿子一条索，索比竿子长一托，对折索子来量竿，却比竿子短一托（一托按照5尺计算）．”大意是：现有一根竿和一条绳索，如果用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；如果将绳索对折后再去量竿，就比竿短5尺，则绳索长几尺？设竿长x尺，绳索长y尺，根据题意可列方程组为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了从实际问题中抽象出二元一次方程组，设竿长x尺，绳索长y尺，根据用绳索去量竿，绳索比竿长5尺可得方程，根据将绳索对折后再去量竿，就比竿短5尺可得方程，据此可得答案，解题的关键是读懂题意，列出方程组． 【详解】解：由题意得： ， 故选：A． 6．关于x、y的方程组的解是则的值是（   ） A．4 B．9 C．5 D．11 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程组的解的定义，把方程组的解代入方程组求出、的值是解题的关键． 【详解】解：∵方程组的解是， ∴， 解得， 所以，． 故选：B． 7．已知关于x的一元一次方程的解为，a为某个定值，那么关于y的一元一次方程的解为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次方程的解，解一元一次方程，根据是的解得出，再将代入得出，再解关于y的一元一次方程即可得出答案． 【详解】解：∵是的解， ∴， 解得：， 把代入可得出： ， 解得： 故选：B． 8．解二元一次方程组用代入消元法消去x，得到的方程是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了用代入消元法消去系数为1的未知数项，从而达到消元的目的，掌握此知识点是解答本题的关键． 将①变形代入②即可消去x，得到方程． 【详解】解：， ①变形为, 将其代入②可得：， 即． 故选：D． 9．如图，在两个长、宽都分别为、的大长方形中，有若干个形状、大小完全相同的小长方形，拼成了“南开”两字，则每个小长方形的面积为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二元一次方程组的几何应用，设每个小长方形的长为，宽为，根据图形间的关系列方程组求解即可． 【详解】解：设每个小长方形的长为，宽为， 由题意得， 解得 则每个小长方形的面积为． 故选：C． 10．观察方程组的系数特征，若要使求解简便，消元的方法是（   ） A．先消去x B．先消去y C．先消去z D．以上说法都不对 【答案】B 【分析】本题的实质是考查三元一次方程组的解法．先把“三元”转化为“二元”、把“二元”转化为“一元”的消元的思想方法，从而进一步理解把“未知”转化为“已知”，把复杂问题转化为简单问题的思想方法．经观察发现，3个方程中先消去y，即可得到一个关于x、z的二元一次方程组，再用加减消元法和代入法解方程即可． 【详解】解： 方程可直接消去未知数y， 即可得到一个关于x、z的二元一次方程组， ∴要使运算简便，消元的方法应选取先消去y， 故选：B． 11．已知是关于的一元一次方程的解，则代数式的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的解及代数式的化简求值，根据题意将代入得出，再代入代数式，即可求解． 【详解】解：∵是关于的一元一次方程的解， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 12．下列变形：①如果，那么；②如果，那么；③如果那么；④如果，那么．其中正确的是 ．（填序号） 【答案】②③④ 【分析】本题考查了等式的基本性质，正确掌握等式的性质是解题的关键．根据等式的性质逐项分析即可． 【详解】解：①如果，那么当时，，故①不正确； ②如果，那么，故②正确； ③如果那么，故③正确； ④如果，那么，故④正确． 故答案为：②③④． 13．足球的表面由白块和黑块组成．已知黑块是五边形，白块是六边形，且每一白块的6条边中，有3边与黑块相接，另3边与白块相接，每一黑块的5边全与白块的边相接，已知足球表面的黑块总数是12，则白块数为 ． 【答案】20 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，根据五边形的边数相等列方程，再求解． 【详解】解：设白块有x块．由题意得：， 解得：． 即：白块数为20． 故答案为：20． 14．已知方程组是关于，的二元一次方程组，则的值 ． 【答案】5 【分析】本题考查了二元一次方程组的定义．二元一次方程组也满足三个条件：①方程组中的两个方程都是整式方程；②方程组中共含有两个未知数；③每个方程都是一次方程． 根据二元一次方程组的定义得到，且，且，求解即可． 【详解】解：∵方程组是关于x，y的二元一次方程组， ∴，且，且， ∴． 故答案为：5． 15．已知关于的二元一次方程组的解为，小强因看错了系数，得到的解为，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的解．根据题意把代入二元一次方程组可得的值，根据小强看错系数得到解为，由此可得新的方程组，运用加减消元法可求出的值，代入计算即可求解． 【详解】解：把代入二元一次方程组得， ， ∴由得，， ∵小强看错了系数得到， ∴， ∴， ①②得，， 解得，， 把代入②得，， 解得，， ∴， 故答案为：11． 16．若关于x、y方程的解满足，以方程中的未知数设计的“Y”形图案，如图所示，则此图案的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是二元一次方程的解，三角形的面积和代数式求值，解决本题的关键是利用整体替换思想．先求出y的值，再根据该图案的面积等于一个长方形的面积加上两个平行四边形的面积再减去一个三角形的面积，据此列出代数式，再把x，y分别用a和数值替换进行化简即可得到答案． 【详解】解：根据题意可得方程组： ， 解得：， 该图案的面积为： ， 故答案为：． 17．已知关于x的方程的解与的解相同，求a的值． 【答案】 【分析】本题考查了同解方程，一元一次方程的求解，正确计算是解题的关键．先求出方程的解，再代入，求出a的值即可． 【详解】解：， 去括号得：， 移项合并同类项得：， 将代入， 得：， 去分母得：， 去括号得：， 移项合并同类项得：， 系数化为1得：． 18．下面是小欣同学解一元一次方程的过程，请认真阅读并解答相应问题． 解方程：． 解：去分母，得．……第一步 去括号，得……第二步 移项，得……第三步 合并同类项，得．……第四步 两边同乘以，得．……第五步 填空： (1)以上求解步骤中，第一步变形的依据是 ；第 步开始出现错误，错误的原因是 ； (2)该方程正确的解为 ． 【答案】(1)等式的性质，三，移项未变号 (2) 【分析】本题主要考查解一元一次方程，掌握去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的方法是解题的关键． （1）根据材料提示的解方程的方法进行分析判定即可； （2）运用去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的方法求解即可． 【详解】（1）解：去分母，运用的是等式的性质，第三步开始出错，错误的原因是：移项未变号， 故答案为：等式的性质，三，移项未变号； （2）解：该方程的正确的解为： 去分母，得， 去括号，得， 移项，得 合并同类项，得， 两边同乘以，得． 19．解下列方程或方程组： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解一元一次方程、解二元一次方程组等知识点，掌握相关计算方法成为解题的关键． （1）按照去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1即可解答； （2）先化简方程组，然后运用加减消元法求解即可． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， ． （2）解：可化为：， 由可得：，解得：； 将代入②可得：，解得：． 所以． 20．《算法统宗》中有这样一首诗： 巍巍古寺在山中，不知寺内几多僧，三百六十四只碗，恰合用尽不差争． 三人共食一碗饭，四人共尝一碗羹，请问先生能算者，都来寺内几多僧． 请用一元一次方程或者二元一次方程组求解上述问题． 【答案】624个 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，二元一次方程组的实际应用： 法1：设寺内有x个和尚，根据三人共食一碗饭，四人共尝一碗羹，共有三百六十四只碗，列出方程进行求解即可； 法2：设盛饭用了x只碗，盛羹用了y只碗，根据题意，列出方程组进行求解即可． 【详解】解：法1：设寺内有x个和尚，根据题意，得， 解得：， 答：寺内有624个和尚；                                  法2：设盛饭用了x只碗，盛羹用了y只碗，根据题意，得： ，解得， 所以 答：寺内有624个和尚． 21．为了鼓励市民节约用水，某市居民生活用水按阶梯式水价计费．下表是该市民“一户一表”生活用水阶梯式计费价格表的部分信息：（说明：①每户生产的污水量等于该户自来水用量；②水费＝自来水费用+污水处理费）已知小王家2018年7月用水16吨，交水费元．8月份用水25吨，交水费元． 自来水销售价格 污水处理价格 每户每月用水量 单价：元/吨 单价：元/吨 17吨及以下 a 0.90 超过17吨但不超过30吨的部分 b 0.90 超过30吨的部分 6.00 0.90 (1)求a、b的值； (2)如果小王家9月份上交水费元，则小王家这个月用水多少吨？ (3)小王家10月份忘记了去交水费，当他11月去交水费时发现两个月一共用水50吨，其中10月份用水超过30吨，一共交水费元，其中包含30元滞纳金，求小王家11月份用水多少吨？（滞纳金：因未能按期缴纳水费，逾期要缴纳的“罚款金额”） 【答案】(1) (2)小王家这个月用水39吨 (3)小王家11月份用水11吨 【分析】本题主要考查一元一次方程与二元一次方程组的实际应用，找到等量关系，列出方程，是解题的关键． （1）根据题意，列出关于a，b的二元一次方程组，即可求解； （2）设小王家这个月用水吨（），根据小王家9月份上交水费元，列出方程，即可求解； （3）设小王家11月份用水吨，分两种情况，①当时，②当时，分别列出方程，即可求解． 【详解】（1）由题意得： 解①，得：， 将代入②，解得：， ． （2）， 设小王家这个月用水吨（），由题意得： ， 解得：， 经检验，是方程的解，且符合题意， 答：小王家这个月用水吨． （3）设小王家11月份用水吨， 当时，， 解得：； 当时， 解得(舍去) ． 答：小王家11月份用水11吨． 22．新趋势·新定义  对于未知数为的二元一次方程组，如果方程组的解满足．我们就说方程组的解与具有“邻好关系”． (1)方程组的解是否具有“邻好关系”？说明你的理由： (2)若方程组 的解与具有“邻好关系”，求的值． 【答案】(1)具有“邻好关系”，见解析 (2)或6 【分析】本题考查解二元一次方程组，熟练掌握新定义，是解题的关键： （1）根据方程，即可得到，即可得出结论； （2）先解二元一次方程组，根据新定义，得到关于的绝对值方程，进行求解即可． 【详解】（1）具有“邻好关系”．理由如下：方程组 由②得． 所以方程组的解具有“邻好关系”； （2）解方程组得 因为方程组的解具有“邻好关系”， 所以， 所以，即． 所以或， 所以或6． 23．随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具，某汽车4S店计划购进一批新能源汽车进行销售．据了解，购进2辆A型新能源汽车、3辆B型新能源汽车共需85万元；购进3辆A型新能源汽车、2辆B型新能源汽车共需90万元． (1)问A、B两种型号的新能源汽车每辆进价分别为多少万元？ (2)若该公司计划正好用180万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均购买），请你设计出符合要求的购买方案． (3)销售1辆A型汽车可获利1.8万元，销售1辆B型汽车可获利1.2万元．假如这些新能源汽车全部售出，在（2）中的购买方案中，哪种方案获利最大？最大利润是多少元？ 【答案】(1)A、B两种型号的新能源汽车每辆进价分别为20万元，15万元 (2)共有两种购买方案： 方案一：购进3辆A型号的新能源汽车，购进8辆B型号的新能源汽车； 方案二：购进6辆A型号的新能源汽车，购进4辆B型号的新能源汽车 (3)第二种方案获得的利润最大，为15.6万元 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程；（3）利用总价=单价×数量求出三种购车方案获得的利润． （1）设A、B两种型号的新能源汽车每辆进价分别为x万元和y万元，根据“购进2辆A型新能源汽车、3辆B型新能源汽车共需85万元；购进3辆A型新能源汽车、2辆B型新能源汽车共需90万元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设购进m辆A型号的新能源汽车，购进n辆B型号的新能源汽车，根据总价=单价×数量，即可得出关于m，n的二元一次方程，结合m，n均为正整数，即可得出结论； （3）利用总价=单价×数量，即可求出三种购车方案获得的利润，比较后即可得出结论． 【详解】（1）解：设A、B两种型号的新能源汽车每辆进价分别为x万元和y万元，根据题意可列方程组为，解得， 所以A、B两种型号的新能源汽车每辆进价分别为20万元，15万元． （2）解：设购进m辆A型号的新能源汽车，购进n辆B型号的新能源汽车， 根据题意得：，且均为正整数， 或 共有两种购买方案： 方案一：购进3辆A型号的新能源汽车，购进8辆B型号的新能源汽车； 方案二：购进6辆A型号的新能源汽车，购进4辆B型号的新能源汽车． （3）解：方案一：获得的利润为：（万元）， 方案二：获得的利润为：（万元） 第二种方案获得的利润最大，为15.6万元 能力提升 24．方程是关于x的一元一次方程，则a=（   ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的次数是1的整式方程，据此进行解答即可． 根据x的指数为1，且含x项的系数不为0即可． 【详解】解：由题意可得：， ∴， 故选：B． 25．等式中的部分数字被墨渍污染，则被墨渍污染的“”为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了等式的性质，整式的加减，熟练掌握等式的性质是解题的关键． 根据等式的性质，两边同时加上，即可求解； 【详解】解： ，等式两边分别加上， 可得：； 故选：A 26．已知是关于x的整式，我们定义的导出整式为．例如，的导出整式为．若是关于x的二次多项式，且关于x的方程的解为偶数，则m为（　　） A．0 B．1 C．0或 D．1或 【答案】A 【分析】本题主要考查定义新概念问题，解体的关键是理解定义新概念及整式的定义． 根据题目已知的定义新概念，写出导出整式，再用m表示出方程的解． 【详解】解：由导出整式的定义可知， ∴，解得． 由于的解为偶数，则或 解得或 由于是关于x的二次多项式，则，即 综上所述，． 故选：A． 27．已知关于x，y的方程组给出下列结论：a．当时，方程组的解也是的解；b．无论m取何值，x，y的值不可能互为相反数；c．x，y均为正整数的解只有1对；d．若，则．正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解法、二元一次方程组的解等知识，将已知分别代入进而解方程得出答案，即可判断． 【详解】a．当时，关于的方程组为， 解得， 所以， 当时，， 所以当时，方程组的解也是的解，正确； b．解方程组，得， 所以， 所以无论取何值，的值不可能互为相反数，正确； c．由得， 所以原方程组的正整数解是，共2对，错误； d．， 得，， 因为， 所以， 解得，正确； 所以正确的有． 故选：C． 28．小明运用七年级上册的知识设计了一台数值转换机，只要依次输入两个整数，，则输出的结果为．比如小明依次输入1，2，则输出的结果是，再次输入3，则输出的结果为，此后每输入一个整数都是与前次显示的结果进行求差的运算．下列说法： ①若依次输入，则最后输出的结果是13； ②若将这5个整数任意地一个一个输入，全部输入完毕后显示一个结果．在所有的结果中，最大值是11，最小值是； ③若将三个互不相等的正整数x，y，5按照任意顺序一个一个地输入，全部输入完毕后显示的最后结果设为m．若m的最小值是，那么m的最大值可能是． 其中正确的个数是（   ） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】A 【分析】本题考查的是数字的变化规律，二元一次方程组的应用，通过列举计算并验证是解题的关键．根据有理数的减法法则计算即可判断①；利用和计算，可求得最大值和最小值，可判断②；分六种情况讨论，可判断③． 【详解】解：①根据题意， ，故①正确； ②将，2，，4，这5个整数任意地一个一个输入， ， ， 则最大值为11，最小值为，故②正确； ③，，5是三个互不相等的正整数， 若，则，，即，， 此时，（舍去）； 若，同理得：，（舍去）； 若，则，，即，，无解， 若，同理得：无解； 若，则，，即，，解得：，； 若，同理得：，； 故③正确． 综上，正确的有①②③， 故选：A． 29．用现代高等代数的符号可以将方程组的系数排成一个表，这种由数列排成的表叫做矩阵．矩阵表示，，为未知数的三元一次方程组，若为定值，则与关系（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了解三元一次方程组、二元一次方程组的定义等知识点，理解题意、根据新定义解答问题是解题的关键． 根据矩阵定义列方程组求解即可． 【详解】解：由题意得：， ①×2+②得：， ∵为定值， ∴． 故选：D． 30．一辆快车从实验中学开往锦绣中学，一辆慢车从锦绣中学开往实验中学，两车同时出发，设快车离锦绣中学的距离为，慢车离锦绣中学的距离为，行驶时间为，两车之间的距离为．与x的函数关系图象如图1所示，s与x的函数关系图象如图2所示．则下列判断：①图1中；②当时，两车相遇；③当时，两车相距； ④当或时，两车相距．其中正确的有__________． A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④ 【答案】A 【分析】本题考查从函数图象获取信息，一元一次方程的实际应用，理解题意，看懂图象是解题关键．由图象可知两地相距300千米，且当时，快车到达终点，即可判断①；分别求出快车和慢车的速度，即可求出相遇时的时间，可判断②；求出时，两车的路程即可判断③；分两车相遇之前和当两车相遇之后，两种情况解答，即可判断④． 【详解】解：由题意可知锦绣中学与实验中学的距离为300千米，当时，快车到达实验中学， ∴，故①正确； 快车的速度为，慢车的速度为， 相遇时，即， 解得：，故②正确； 当时，快车行驶的路程为，慢车行驶的路程为， ∴两车相距，故③正确； 当两车相遇之前，相距，即， 解得：； 当两车相遇之后，相距，即， 解得：， ∴此时快车早已到达，故不合题意， ∴当时，两车相距，故④错误． 综上可知①②③正确． 故选A． 31．我们知道自行车一般是由后轮驱动，因此，后轮胎的磨损要超过前轮胎，假设前轮行驶5000公里报废，后轮行驶3000公里报废，如果在自行车行驶若干公里后，将前后轮进行对换，那么这对轮胎最多可以行驶（　　）公里． A．4000 B．3750 C．4250 D．3250 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程组，再求解．利用二元一次方程组求解的应用题一般情况下题中要给出两个等量关系，准确地找到等量关系并用方程组表示出来是解题的关键．设每个新轮胎报废时的总磨损量为k，一对新轮胎交换位置前走了x公里，交换位置后走了y公里，根据交换前磨损总量和交换后的磨损总量相等，可列出方程组，解方程组即可． 【详解】解：设每个新轮胎报废时的总磨损量为k， 则安装在前轮的轮胎每行驶1公里磨损量为，安装在后轮的轮胎每行驶1公里的磨损量为， 设一对新轮胎交换位置前走了x公里，交换位置后走了y公里， 由题意得：， 两式相加，得， 解得：， 故选：B． 32．已知，，则式子的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查等式的性质，以及代数式求值，根据等式的性质得到，将其整理为求解，即可解题． 【详解】解： ，， ． 故答案为：． 33．已知关于x的方程，求所有整数解的和 ． 【答案】 【分析】本题主要考查含绝对值符号的一元一次方程，解题的关键是掌握绝对值的性质和解一元一次方程的能力． 分、和三种情况分别求解可得． 【详解】解：当时，，解得，不符合条件，舍去； 当时，， 解得，此范围恒成立， 符合条件的整数为、、、0； 当时，， 解得， 方程的所有整数解的和为：， 故答案为：． 34．已知关于的方程组的解满足，求的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了由二元一次方程组的解求参数，先解二元一次方程组，分别用表示出，再代入中解答即可求解，掌握解二元一次方程组的方法是解题的关键． 【详解】解：， 由②得，， ∵， ∴， ∴， 把代入①得，， ∴， ∵， ∴， 解得， 故答案为：． 35．已知，则的值为 ． 【答案】2023 【分析】本题考查解二元一次方程组的拓展，把代入原方程组，化简后，利用加减消元法求解． 【详解】解：把代入原方程组，得： ， 化简，得， ，得． 故答案为：2023． 36．A、B两地相距，一列快车以的速度从A地匀速驶往B地，到达B地后立刻原路返回A地，一列慢车以的速度从B地匀速驶往A地．两车同时出发，截止到它们都到达终点时，两车恰好相距的次数是 次． 【答案】5 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，设两车相距时，行驶的时间为t小时，分快车从A到B，快车从B到A两种情况，每种情况中又分两车相遇前和相遇后两种情况进行讨论求解即可． 【详解】解：设两车相距时，行驶的时间为t小时，依题意得： 当快车从A地开往B地，慢车从B地开往A地，两车相距时，则有： 解得； ②当快车继续开往B地，慢车继续开往A地，相遇后背离而行，两车相距时， ， 解得； ③快车从A地到B地全程需要小时，此时慢车从B地到A地行驶， ∵ ∴快车又从B地返回A地是追慢车，则有： ， 解得； ④快车追上慢车后并超过慢车相距，则有， 解得：； ⑤快车返回A地终点所需时间是9小时，此刻慢车行驶了，距终点还需 行驶，则有： 解得． 综上所述，两车恰好相距的次数为5次． 故答案为：5． 37．对于一个各个数位上的数字不相等且均不为零的四位自然数，且满足，则称这个数为“前和幂数”，如：，因为，所以5924是“前和幂数”．若是“前和幂数”，则这个数是 ；若四位数A是“前和幂数”，将“前和幂数”A的千位数字与百位数字对调，十位数字与个位数字对调，得到新数B，若能被33整除，则满足条件的A的最大值和最小值的差是 ． 【答案】 3674 4950 【分析】本题考查了新定义下的实数运算，一元一次方程的应用，因式分解的应用．理解新定义，正确推理计算是解题关键． 根据“前和幂数”的定义求解即可；设这个四位数，则，再结合“前和幂数”的定义，得出，再由能被33整除可知是整数，得到满足条件的的值为，进而得出满足条件的等式，即可得到A的最大值与最小值，即可解答． 【详解】解：∵是“前和幂数”， ∴， ∴， 这个数是3674； 设这个四位数，则， ， 四位数A是“前和幂数”， ， ， 能被33整除， 是整数，且，，，， 满足条件的的值为， ， 满足条件的等式为， 满足条件的A的最大值是，最小值为1263， 它们的差为． 故答案为：3674；4950． 38．如果关于的一元一次方程的解是整数，则称该方程为“整”方程；如果不是整数，则称为“分”方程．例如方程是“整”方程，方程是“分”方程．按此定义解答下列问题： (1)方程是________方程； (2)已知为整数，试判断关于的方程是否可能是“整”方程，并说明理由； (3)若关于的方程是“分”方程，则关于的方程是_______方程． 【答案】(1)“分” (2)不可能，理由见解析 (3)“整” 【分析】（）求出方程的解，再根据定义判断即可； （）把代入方程，求出值即可判断； （）由“分”方程可得，再把所解方程转化为，代入计算即可求解； 本题考查了一元一次方程的解和解一元一次方程，理解新定义是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴方程是“分”方程， 故答案为：“分”； （2）解：不可能，理由如下： 当方程是“整”方程时，， 把代入方程得，， 解得， ∵为整数， ∴关于的方程不能是“整”方程； （3）解：∵关于的方程是“分”方程， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵方程， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴方程是“整”方程， 故答案为：“整”． 39．解方程组： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解二元一次方程和解三元一次方程，熟练掌握加减消元法是解题关键． （1）首先将原式整理为，由，可解得，将代入②，解得，即可获得答案； （2）由，可得 ④，由，可得 ⑤，再由，可解得，将代入④，可解得，将，代入②，可解得，即可获得答案． 【详解】（1）解：， 整理可得， 由，可得， 解得， 将代入②，可得， 解得， 所以，该方程组的解为； （2）解：， 由，可得 ④， 由，可得 ⑤， 由，可得 ，解得 ， 将代入④，可得，解得， 将，代入②，可得， 解得， 所以，该方程组的解为． 40．已知二元一次方程（a，b均为常数，且a≠0）． (1)当a＝3，b＝﹣4时，用x的代数式表示y； (2)若是该二元一次方程的一个解， ①探索a与b关系，并说明理由； ②无论a、b取何值，该方程有一组固定解，请求出这组解． 【答案】(1) (2)①a=b；② 【分析】（1）直接将，代入二元一次方程中解关于y的方程即可； （2）①将方程的解x，y代入原方程中整理可得； ②把代入，由取值无关可得a的系数为0，由此即可解题． 【详解】（1）解：当，时，原方程为：， ∴； （2）①关系是a =b，理由： 把代入二元一次方程得 ， ， ， ， ∴； ②由①知道， ∴原方程可化为：， ∴ ∵该方程组的解与与的取值无关，. ∴． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程的解的定义、完全平方公式的应用，“有解必代”是解题的关键． 41．对，定义一种新的运算，规定：（其中）． （1）若已知，，则_________． （2）已知，．求，的值； （3）在（2）问的基础上，若关于正数的不等式组恰好有2个整数解，求的取值范围． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）根据新定义就是即可； （2）根据题中的新定义列出方程组，求出方程组的解即可得到a与b的值； （3）由（2）化简得A（x，y）的关系式，先判断括号内数的大小，再转化成不等式求解即可． 【详解】解：（1）根据题中的新定义得：1×4+3×(-2)=-2， 故答案为-2； （2）根据题中的新定义得：， 解得：； （3）由（2）化简得：A（x，y）= ， ∴在关于正数p的不等式组中， ∴A（3p，2p-1）=7p-2＞4， A（-1-3p，-2p）=-2p+2（-1-3p）=-8p-2m， ∴p＞，p≤ ∵恰好有2个整数解， ∴2个整数解为1，2． ∴2≤＜3， ∴-26＜m≤-18． 【点睛】本题主要考查新定义的运算，解决本题的关键是要按照定义式子中列出算式进行解方程和不等式组． 42．在数轴上，点O，A，B，C，D表示的数分别为0，，6，12，21．现沿点O，B，C将数轴折成如图所示的“三角数轴”． 在“三角数轴”上，若点M，N表示的数为m，n，当点M，N同时落在之间时（含点O和点C），则M，N两点的“三角距离”为．例如：若点M和点N表示的数分别为8和2，它们落在之间，则点M和点N的“三角距离”为．其余情况下，两点的“三角距离”为． 已知P，Q是“三角数轴”上的两个动点．点P从点A出发，向点C运动，同一时刻，点Q从点D出发，向点O运动，它们在水平方向上的速度分别是每秒2个单位长度和每秒3个单位长度．两个点上坡时候的速度均是各自水平速度的一半，下坡时候的速度均是各自水平速度的2倍．在点P运动到点C与点Q运动到点O中，若一个点先到达，则两点同时停止运动．设运动时间为t． (1)当运动时间秒时，点P和点Q的“三角距离”是多少？ (2)当点P和点Q的“三角距离”为3时，求t的值． 【答案】(1)3.25 (2) 【分析】本题主要考查了数轴上的动点问题，一元一次方程的实际应用，掌握新定义“三角距离”是解题的关键． （1）根据题意表示出点P和点Q代表的数，然后根据“三角距离”计算即可． （2）先计算出t的取值范围，再分4种情况讨论，分别表示出点P和点Q代表的数，再利用“三角距离”公式列出关于t的一元一次方程，求解并判断即可得出答案． 【详解】（1）解：当秒时，点P代表的数为：， 点Q代表的数为：， ∵此时点P和点Q表示的数分别为0.5和13.5，它们没有全部落在之间， ∴点P和点Q的“三角距离”是 （2）解：∵当点Q运动到点O所需的时间为： 秒， 当点P运动到点B点的时间为：秒 故当秒时，点Q和点P停止运动． 当时， 此时点P代表的数为：，点Q代表的数为：， 根据题意可知：， 解得：（不合题意舍去）， 当时 此时点P代表的数为：，点Q代表的数为：， 根据题意可知：， 解得：秒， 当时， 此时点P代表的数为：， 点Q代表的数为：， 根据题意可知： 解得：（不合题意舍去）， 当时， 此时点P代表的数为：， 点Q代表的数为：， 根据题意得：， 解得：（不合题意，舍去） 综上：t的值为． 43．根据以下素材，探索完成任务． 如何设计制作木箱方案？ 素材1 如图1，是一个无盖的木箱，该木箱由A，B，C三种型号的木板制作而成，而三种型号的木板是由一个大长方形板材按如下甲、乙、丙三种不同切割方式进行无废料切割得到．已知． 素材2 若有24张长方形板材，将板材按以上三种方式进行切割，无材料剩余（恰好可以制作若干个木箱）． 素材3 若有20张B型号木板和m张长方形板材，将板材按以上三种方式进行切割，无材料剩余（恰好可以制作若干个木箱）． 问题解决 任务1 确定型号大小 求A，B，C三种型号木板的面积． 任务2 探究木箱容量 一共可以制作多少个木箱？并求出木箱的总体积． 任务3 拟定制作方案 请你设置一种合适的切割方案，并指出m的值． 【答案】任务1：A，B，C三种型号木板的面积分别是；任务2：一共可以做18个木箱，木箱的总体积；任务3：甲方式切割5张，乙方式切割8张，丙方式切割3张，此时（答案不唯一） 【分析】本题考查有理数的运算，二元一次方程组和三元一次方程组的应用： 任务1：根据图形分别求出三种型号的木板的长和宽，进行计算即可； 任务2：设用张按照图甲制作型木板，张按照图乙制作型木板，则张按照图丙制作型木板，根据题意，列出二元一次方程组进行求解即可； 任务3：设用张按照图甲制作型木板，张按照图乙制作型木板，则张按照图丙制作型木板，根据题意，列出方程组进行求解即可． 【详解】解：任务1：由图可知，型木板的宽为，型木板的宽和木板的长均为，由图1可知，木板的宽与型木板的宽相同，均为，由图丙可知，型木板的长型木板的宽，由图乙可知，型木板的长等于型木板的长， ∴型木板的面积为： 型木板的面积为： 型木板的面积为：； 任务2：设用张按照图甲制作型木板，张按照图乙制作型木板，则张按照图丙制作型木板，则共制作型木板，张，共制作型木板，张，共制作型木板，张， 由图1可知，制作一个木盒需要2张，2张和1张， ∴，解得：， ∴共制作型木板，张， ∴共能制作木盒18个， 木箱的总体积为：； 任务3：设用张按照图甲制作型木板，张按照图乙制作型木板，则张按照图丙制作型木板，则共制作型木板，张，共制作型木板，张，共制作型木板，张， 又原来有20张型木板，故共张型木板， 由题意，得： ∴， 解得：，（均为正整数）， ∵， ∴ ∴当时，，， 即：甲方式切割5张，乙方式切割8张，丙方式切割3张，此时．（答案不唯一） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二章 方程与不等式 第05讲 一次方程（组）及其应用（6~10分） （思维导图+4考点+5命题点36种题型） 试卷第1页，共3页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 01考情透视·目标导航 02知识导图·思维引航 03考点突破·考法探究 考点一 等式的性质与方程的定义 考点二 一元一次方程及解法 考点三 二元一次方程及解法 考点四 一次方程（组）的应用 04题型精研·考向洞悉 命题点一 等式性质与方程的概念 ►题型01 等式的性质 ►题型02 方程的概念 命题点二 一元一次方程及其解法 ►题型01 一元一次方程的定义 ►题型02 解一元一次方程 ►题型03 一元一次方程错解问题 ►题型04 一元一次方程求参数问题 ►题型05 一元一次方程同解问题 ►题型06 一元一次方程错看与遮挡问题 ►题型07 解绝对值方程 ►题型08 新定义的方程 ►题型09 定义新运算与方程综合 命题点三 一元一次方程的应用 ►题型01 和差倍分问题 ►题型02 配套问题 ►题型03 工程问题 ►题型04 销售问题 ►题型05 数字问题 ►题型06 分段收费问题 ►题型07 行程问题 ►题型08 古典问题 ►题型09 其他问题 命题点四 二元一次方程（组）及其解法 ►题型01 二元一次方程（组）的概念 ►题型02 解二元一次方程组 ►题型03 二元一次方程组错解问题 ►题型04 二元一次方程组求参数问题 ►题型05 二元一次方程组同解问题 ►题型06 二元一次方程组的特殊解法 ►题型07 解三元一次方程组 命题点五 二元一次方程（组）的应用 ►题型01 行程问题 ►题型02 数字问题 ►题型03 销售问题 ►题型04 和差倍分问题 ►题型05 几何问题 ►题型06 古典问题 ►题型07 方案选择问题 ►题型08 其他问题 ►题型09 三元一次方程组的应用 05分层训练·巩固提升 基础巩固 能力提升 考点要求 新课标要求 考查频率 命题预测 等式的基本性质 理解等式的基本性质 ⭐⭐ 一元一次方程与二元一次方程（组）在初中数学中因为未知数的最高次数都是一次，且都是整式方程,所以统称为“一次方程”.中考中，对于这两个方程的解法及其应用一直都有考察，其中对于两个方程的解法以及注意事项是必须掌握的，而在其应用上也是中考代数部分结合型较强的一类考点. 预计2025年浙江中考还将继续考查一次方程的解法和应用题，为避免丢分，学生应扎实掌握． 一元一次方程 能解一元一次方程 ⭐⭐⭐ 二元一次方程（组） 掌握消元法，能解二元一次方程，能解简单的三元一次方程组 ⭐⭐⭐⭐⭐ 一次方程（组） 的应用 利用一次方程求解实际问题 ⭐⭐⭐⭐⭐ 考点一 等式的性质与方程的定义 1．等式的性质 （1）等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，所得的结果仍是等式． （2）等式两边都乘以（或除以）同一个不等于零的数，所得的结果仍是等式． 2．方程:含有未知数的等式叫做方程． 3．方程的解:使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解；求方程的解的过程叫做解方程． 1.利用等式的性质进行变形时，等式两边都要参加运算，而且是同一种运算. 2.运用等式的性质2时，等式两边不能同时除以0，因为0不能作除数或分母。 1．（2022·青海·中考真题）根据等式的性质，下列各式变形正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 2．（2017·浙江金华·中考真题）若，则 ． 3．（2018·浙江杭州·中考真题）中央电视台2套“开心辞典”栏目中，一期的题目如图所示，两个天平都平衡，则三个球体的重量等于（　　）个正方体的重量． A．2 B．3 C．4 D．5 考点二 一元一次方程及解法 1．一元一次方程:只含有一个未知数，并且未知数的次数为1，这样的整式方程叫做一元一次方程．它的一般形式为． 注意：x前面的系数不为0． 2．一元一次方程的解：使一元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元一次方程的解． 3．一元一次方程的求解步骤 变形名称 具体做法 去分母 在方程两边都乘以各分母的最小公倍数 去括号 先去小括号，再去中括号，最后去大括号 移项 把含有未知数的项都移到方程的一边，其他项都移到方程的另一边 合并同类项 把方程化成的形式 系数化成1 在方程两边都除以未知数的系数，得到方程的解为 注意：解方程时移项容易忘记改变符号而出错，要注意解方程的依据是等式的性质，在等式两边同时加上或减去一个代数式时，等式仍然成立，这也是“移项”的依据．移项本质上就是在方程两边同时减去这一项，此时该项在方程一边是0，而另一边是它改变符号后的项，所以移项必须变号． 1. 一元一次方程中未知数所在的式子是整式，即分母中不含未知数. 2. 一元一次方程只含有一个未知数,未知数的次数都为1. 3. 解方程的五个步骤有些可能用不到，有些可能重复使用，也不一定有固定的顺序，要根据方程的特点灵活运用． 4. 对于分母中含有小数的一元一次方程．当分母中含有一位小数时，含分母项的分子、分母都乘10，化分母中的小数为整数；当分母中含有两位小数时，含分母项的分子、分母都乘100，化分母中的小数为整数． 1．（2021·浙江温州·中考真题）解方程，以下去括号正确的是（ ） A． B． C． D． 2．（2020·浙江衢州·中考真题）一元一次方程2x+1=3的解是x= ． 3．（2023·浙江衢州·中考真题）小红在解方程时，第一步出现了错误： 解：， …… (1)请在相应的方框内用横线划出小红的错误处． (2)写出你的解答过程． 4．（2020·浙江杭州·中考真题）以下是圆圆解方程＝1的解答过程． 解：去分母，得3（x+1）﹣2（x﹣3）＝1． 去括号，得3x+1﹣2x+3＝1． 移项，合并同类项，得x＝﹣3． 圆圆的解答过程是否有错误？如果有错误，写出正确的解答过程． 考点三 二元一次方程及解法 1．二元一次方程：含有2个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程叫做二元一次方程． 2．二元一次方程的解:使二元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做二元一次方程的解． 3．二元一次方程组:由两个二元一次方程组成的方程组叫二元一次方程组．方程组中同一个字母代表同一个量，其一般形式为． 4．解二元一次方程组的基本思想 解二元一次方程组的基本思想是消元，即将二元一次方程组转化为一元一次方程． 5．二元一次方程组的解法 （1）代入消元法：将方程中的一个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来，并代入另一个方程中，消去一个未知数，化二元一次方程组为一元一次方程． （2）加减消元法：将方程组中两个方程通过适当变形后相加（或相减）消去其中一个未知数，化二元一次方程组为一元一次方程． 1.二元一次方程有无数个解，满足二元一次方程使得方程左右相等都是这个方程的解，但并不是说任意一对数值就是它的解. 2.在二元一次方程中，给定其中一个未知数的值，就可以通过解一元一次方程的方法求出另一个未知数的值. 3.二元一次方程组的“二元”和“一次”都是针对整个方程组而言的，组成方程组的各个方程不必同时含有两个未知数，这两个一次方程不一定都是二元一次方程，但这两个一次方程必须只含有两个未知数. 4.解二元一次方程组的基本思想是消元，即将二元一次方程组转化为一元一次方程． 1．（2023·浙江衢州·中考真题）下列各组数满足方程的是（    ） A． B． C． D． 2．（2021·浙江金华·中考真题）已知是方程的一个解，则m的值是 ． 3．（2020·浙江绍兴·中考真题）若关于x，y的二元一次方程组的解为，则多项式A可以是 （写出一个即可）． 4．（2024·浙江·中考真题）解方程组： 考点四 一次方程（组）的应用 1．列方程（组）解应用题的一般步骤 （1）审题；（2）设出未知数；（3）列出含未知数的等式——方程；（4）解方程（组）； （5）检验结果；（6）作答（不要忽略未知数的单位名称）． 2．一次方程（组）常见的应用题型 （1）销售打折问题：利润售价-成本价；利润率=×100％；售价=标价×折扣；销售额=售价×数量． （2）储蓄利息问题：利息=本金×利率×期数；本息和=本金+利息=本金×(1+利率×期数)；贷款利息=贷款额×利率×期数． （3）工程问题：工作量=工作效率×工作时间． （4）行程问题：路程=速度×时间． （5）相遇问题：全路程=甲走的路程+乙走的路程． （6）追及问题（同地不同时出发）：前者走的路程=追者走的路程． （7）追及问题（同时不同地出发）：前者走的路程+两地间距离=追者走的路程． （8）水中航行问题：顺水速度=静水速度+水流速度；逆水速度=静水速度-水流速度． 1．（2023·浙江·中考真题）古代中国的数学专著《九章算术》中有一题：“今有生丝三十斤，干之，耗三斤十二两．今有干丝一十二斤，问生丝几何？”意思是：“今有生丝斤，干燥后耗损斤两（古代中国斤等于两）．今有干丝斤，问原有生丝多少？”则原有生丝为 斤． 2．（2022·浙江绍兴·中考真题）元朝朱世杰的《算学启蒙》一书记载：“良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里，驽马先行一十二日，问良马几何追及之．” 其题意为：“良马每天行里，劣马每天行里，劣马先行天，良马要几天追上劣马？”答：良马追上劣马需要的天数是 ． 3．（2023·浙江绍兴·中考真题）《九章算术》中有一题：“今有大器五、小器一容三斛；大器一、小器五容二斛．问大、小器各容几何？”译文：今有大容器5个，小容器1个，总容量为3斛（斛：古代容是单位）；大容器1个，小容器5个，总容暴为2斛．问大容器、小容器的容量各是多少斛？设大容器的容量为斛，小容器的容量为斛，则可列方程组是（    ） A． B． C． D． 4．（2022·浙江宁波·中考真题）我国古代数学名著《九章算术》中记载：“粟米之法：粟率五十；粝米三十．今有米在十斗桶中，不知其数．满中添粟而舂之，得米七斗．问故米几何？”意思为：50斗谷子能出30斗米，即出米率为．今有米在容量为10斗的桶中，但不知道数量是多少．再向桶中加满谷子，再舂成米，共得米7斗．问原来有米多少斗？如果设原来有米x斗，向桶中加谷子y斗，那么可列方程组为（    ） A． B． C． D． 5．（2020·浙江绍兴·中考真题）有两种消费券：A券，满60元减20元，B券，满90元减30元，即一次购物大于等于60元、90元，付款时分别减20元，30元．小敏有一张A券，小聪有一张B券，他们都购了一件标价相同的商品，各自付款，若能用券时用券，这样两人共付款150元，则所购商品的标价是 元． 6．（2023·浙江绍兴·中考真题）某校购买体育器材，第一次购买篮球7个，排球5个，足球3个，共花费450元，第二次又购买同样的篮球3个，排球2个，足球1个，共花费175元，则购买同样的篮球、排球、足球各1个，共需花费（   ） A．100元 B．105元 C．110元 D．125元 命题点一 等式性质与方程的概念 ►题型01 等式的性质 1．（2020·浙江·模拟预测）设是有理数，则下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 2．（2023·浙江衢州·三模）已知，下列等式不一定成立的是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24七年级下·湖南衡阳·阶段练习）运用等式性质进行的下列变形，不正确的是（    ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 ►题型02 方程的概念 1．（2024七年级上·浙江·专题练习）给出下列各式：①；②；③；④；⑤；⑥．其中是方程的有（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 2．（2024七年级上·全国·专题练习）下列各式中：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧；是方程的有（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 命题点二 一元一次方程及其解法 ►题型01 一元一次方程的定义 1．（22-23七年级上·江苏扬州·期中）下列方程是一元一次方程的是（   ） A． B． C． D． 2．（2024七年级上·浙江·专题练习）下列属于一元一次方程的是（　　） A． B． C． D． ►题型02 解一元一次方程 1．（20-21七年级上·全国·单元测试）下列解方程去分母正确的是（   ） A．由，得 B．由，得 C．由，得 D．由，得 2．（2023·浙江·一模）解方程： 3．（2020·浙江·模拟预测）解方程： (1) (2) ►题型03 一元一次方程错解问题 1．（2023·浙江杭州·模拟预测）以下是圆圆解方程的解答过程： 解：去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为，得． 圆圆的解答过程是否有错误？如果有错误，请写出正确的解答过程． 2．（2024·浙江台州·二模）以下是亮亮解方程的解答过程． 解：去分母，得． 移项，得． 合并同类项，得． 亮亮的解答过程是否有错误？如果有错误，写出正确的解答过程． ►题型04 一元一次方程求参数问题 1．（2024·河北邯郸·三模）已知关于x的方程的解比方程的解大5，求这两个方程的解． 2．（2022·浙江金华·模拟预测）若关于x的一元一次方程与的解互为相反数，则k的值为（    ） A．7 B． C． D．5 3．（24-25七年级上·广东广州·阶段练习）关于的两个一元一次方程与的解互为相反数，则的值为（   ） A． B．26 C．15 D． ►题型05 一元一次方程同解问题 1．（24-25七年级上·河南·期末）如果关于x的方程与的解相同，求m的值． 2．（2024七年级上·全国·专题练习）学习情境·同解问题如果方程的解也是关于的方程的解，那么的值是（   ） A．7 B．5 C．3 D．1 ►题型06 一元一次方程错看与遮挡问题 1．（2022·河北邯郸·三模）嘉淇在解关于x的一元一次方程＝3时，发现正整数被污染了； (1)嘉淇猜是2，请解一元一次方程； (2)若老师告诉嘉淇这个方程的解是正整数，则被污染的正整数是多少？ 2．（2022·河北保定·一模）已知整式，其中“■”处的系数被墨水污染了．当，时，该整式的值为16． (1)则■所表示的数字是多少？ (2)小红说该代数式的值是非负数，你认为小红的说法对吗？说明理由． 3．（10-11七年级下·河南鹤壁·期中）小明在做解方程作业时，不小心将方程中的一个常数污染了看不清楚，被污染的方程是2y-y-●，怎么办呢?小明想了一想便翻看了书后的答案，此方程的解是y = -，很快补好了这个常数，这个常数应是 ． ►题型07 解绝对值方程 1．（2023·浙江·模拟预测）关于的方程有无数多个实根，则实数的值为（    ） A．1 B． C．1或 D．有无数个取值 2．（2024七年级上·北京·专题练习）解方程：； 3．（2024七年级上·北京·专题练习）解方程：． ►题型08 新定义的方程 1．（2020·浙江杭州·模拟预测）我们规定，若关于x的一元一次方程的解为，则称该方程为“差解方程”，例如：的解为2，且，则该方程是差解方程． 请根据上边规定解答下列问题： （1）判断是否是差解方程； （2）若关于x的一元一次方程是差解方程，求m的值． 2．（2020·浙江·模拟预测）我们规定，若关于x的一元一次方程的解为，则称该方程为“奇异方程”．例如：的解为，则该方程是“奇异方程”．请根据上述规定解答下列问题： （1）判断方程________（回答“是”或“不是”）“奇异方程”； （2）若，有符合要求的“奇异方程”吗？若有，求b的值；若没有，请说明理由． （3）若关于x的一元一次方程和都是“奇异方程”，求代数式的值． 3．（2020·浙江·模拟预测）定义：若一个关于x的方程的解为，则称此方程为“中点方程”．如：的解为，而；的解为，而． （1）若且方程为中点方程时，求b的值． （2）若关于x的方程是“中点方程”，求代数式的值． 4．（2020·浙江·模拟预测）我们称使方程成立的一对数为“相伴数对”，记为． （1）若是“相伴数对”，求的值： （2）若是“相伴数对”，请用含的代数式表示； （3）若是“相伴数对”，求代数式的值 ►题型09 定义新运算与方程综合 1．（2024·浙江宁波·模拟预测）定义一种新运算：，若，则 ． 2．（2024·浙江宁波·二模）对于整数，，定义一种新的运算“”：当为偶数时，规定；当为奇数时，规定．已知，其中是负数，则（    ） A． B． C． D． 3．（2023·浙江宁波·三模）定义一种新运算：对于任意的非零实数m，n，．若，则x的值为 ． 命题点三 一元一次方程的应用 ►题型01 和差倍分问题 1．（2024·浙江台州·二模）在一次学农活动中，在甲处劳动的有27人，在乙处劳动的有19人．现在另调20人去支援，使得在甲处的人数为在乙处人数的2倍，设调往甲处人，则（    ） A． B． C． D． 2．（2024·浙江湖州·一模）甲煤场有煤390吨，乙煤场有煤96吨，为了使甲煤场存煤数是乙煤场的2倍，应从甲煤场运多少吨煤到乙煤场? 若设从甲煤场运x吨煤到乙煤场，则下列方程中，正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（2023·浙江·一模）一批学生夏令营住某校学生宿舍楼，如果一间房住6人，那么有6人无房可住；如果一间房住8人，那么就空出一间房，若设该校学生宿舍楼有房x间，则列出关于x的一元一次方程正确的是（    ） A． B．C． D． ►题型02 配套问题 1．（2021·浙江杭州·一模）某校教师举行茶话会．若每桌坐10人，则空出一张桌子；若每桌坐8人，还有6人不能就座．设该校准备的桌子数为x，则可列方程为（　　） A．10（x﹣1）=8x﹣6 B．10（x﹣1）=8x+6 C．10（x+1）=8x﹣6 D．10（x+1）=8x+6 2．（2020·浙江·模拟预测）有6个班的同学在大会议室里听报告，如果每条长凳坐5人，还缺8条长凳；如果每条长凳坐6人，就多出2条长凳．设来听报告的同学有x人，会议室里有y条长凳，则下列方程正确的是（　　　） ①　②  ③　④ A．①③ B．②④ C．①② D．③④ 3．（2020·浙江·模拟预测）为了防控新冠病毒，某工厂要制作一批医用口罩，制作一个口罩要用一个口罩面体和2条松紧带．某车间有12名工人，每人每天可以生产1200个口罩面体或4800条松紧带．为使每天生产的口罩面体和松紧带刚好配套，应安排生产口罩面体和松紧带的工人各多少名？ ►题型03 工程问题 1．（2024·浙江·模拟预测）学校要制作一块广告牌，请来两名工人，已知甲单独完成需4天，乙单独完成需6天，若先由乙做1天，再两人合作，完成任务后共得到报酬900元，若按各人的工作量计算报酬，则分配方案为（    ） A．甲360元，乙540元 B．甲450元，乙450元 C．甲300元，乙600元 D．甲540元，乙360元 2．（2024·浙江绍兴·一模）某市为缓解交通拥堵，决定修建高架快速路，原计划用20个月完成这项工程，实际提前2个月完成该工程，求实际每月的工作效率比原计划提高的百分比．若设实际每月的工作效率比原计划提高的百分比是，则根据题意可列方程为（   ） A． B． C． D． 3．（2023·浙江嘉兴·一模）某市为缓解交通拥堵，决定修建高架快速路，原计划用20个月完成这项工程，实际提前2个月完成该工程，求实际每月的工作效率比原计划提高的百分比？若设实际每月的工作效率比原计划提高的百分比是，根据题意可列方程为（    ） A． B． C． D． ►题型04 销售问题 1．（2023·浙江衢州·一模）一家商店某种衣服按进价提高后标价，又以八折优惠卖出，结果每件衣服获利元，则这件衣服的进价是 元． 2．（2021·浙江杭州·二模）某商户在元旦假期进行促销活动时，将一件标价80元的衬衫，按照八折销售后仍可获利10元，设这件衬衫的成本为x元，根据题意，可列方程（　　） A． B． C． D． 3．（2022·浙江宁波·三模）某商品随季节变化降价出售，如果按标价降价10%，仍可盈利40元．如果降价后再九折出售，就要亏损14元，则这件商品的标价是 元． ►题型05 数字问题 1．（2020·浙江金华·中考真题）如图，在编写数学谜题时，“□”内要求填入同一个数字，若设“□”内数字为x．则列出方程正确的是（　　） A． B． C． D． 2．（2022·浙江杭州·模拟预测）一个两位数的个位数字与十位数字都是，如果将个位数字与十位数字分别加和，所得的新数比原数大，则可列的方程是（    ） A． B． C． D． 3．（2021·浙江绍兴·一模）如图，现有3×3的方格，每个小方格内均有数字，要求方格内每一行．每一列以及每一条对角线上的三个数字之和均相等，记三个数字之和为P，则P的值是（　　） A．12 B．15 C．18 D．21 ►题型06 分段收费问题 1．（2024·浙江台州·一模）某省居民生活用电实施阶梯电价，年用电量分为三个阶梯．阶梯电费计价方式如下： 阶梯档次 年用电量 电价（单位：元/度） 第一阶梯 2760度及以下部分 0.538 第二阶梯 2761度至4800度部分 0.588 第三阶梯 4801度及以上部分 0.838 小聪家去年12月份用电量为500度，电费为319元，则小聪家去年全年用电量为（   ） A．5250度 B．5100度 C．4900度 D．4850度 2．（2022·浙江丽水·三模）电信公司推出移动电话A，两种套餐计费方法，收费标准如下表，一个月累计通话时间记为（分）． A计费方法 计费方法 月租费（元/月） 58 88 不加收通话费时限（分） 150 350 超时部分加收通话费标准（元/分） 0.25 0.20 (1)若，则选用哪种套餐话费少？通过计算说明． (2)当时，按这两种计费方法，所需的话费会相等吗？若会，求的值；若不会，说明理由． (3)用A套餐时，一个月累计通话时间410分所需的话费，若改用套餐，则可多通话多少分钟？ ►题型07 行程问题 1．（2024·浙江嘉兴·三模）已知物体自由下落的距离可以表示为，表示物体下落的末速度，表示物体下落的时间，声音传播的速度为米/秒．若将一块石头从井口自由落下，秒后听到它落水的声音，测得米/秒，设石头下落的时间为，则可列得方程（    ） A． B． C． D． 2．（2020·浙江杭州·模拟预测）如图，，点是线段的中点，点从点出发，以2cm/s的速度向右移动，同时点从点出发，以的速度向右移动到点后立即原速返回点，当点到达点时，、两点同时停止运动．当时，运动时间的值是 ．    3．（2023·浙江·模拟预测）如图，A，B两地相距1200m，小车从A地出发，以8m/s的速度向B地行驶，中途在C地停靠3分钟．大货车从B地出发，以5m/s的速度向A地行驶，途经D地（在A地与C地之间）时沿原路返回B点取货两次，且往返两次速度都保持不变（取货时间不计），取完两批货后再出发至A点．已知：，则直至两车都各自到达终点时，两车相遇的次数为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 ►题型08 古典问题 1．（2024·浙江衢州·一模）今有三人共车，二车空：二人共车，九人步．问人与车各几何？（选自《孙子算经》）现假设有辆车，则有方程（    ） A． B． C． D． 2．（2023·浙江宁波·模拟预测）我国古代数学著作《孙子算经》中有“多人共车”问题：“今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问人与车各几何？”其大意为：每车坐3人，两车空出来；每车坐2人，多出9人无车坐．问人数和车数各多少？设车辆，则符合题意的方程是（    ） A． B． C． D． 3．（2019·浙江金华·模拟预测）《孙子算经》是中国传统数学的重要著作之一，其中记载的“荡杯问题”很有趣．《孙子算经》记载“今有妇人河上荡杯，津吏问曰：杯何以多？妇人曰：家有客．津吏曰：客几何？妇人曰：二人共饭，三人共羹，四人共肉，凡用杯六十五．不知客几何？译文：“2人同吃一碗饭，3人同吃一碗羹，4人同吃一碗肉，共用65个碗，问有多少客人？”设共有客人x人，可列方程为 ． ►题型09 其他问题 1．（2024·浙江杭州·一模）20位同学在植树节这天共种了52棵树苗，其中男生每人种3棵，女生每人种2棵．求男生有多少人？设男生有x人，则可列方程为（　　） A． B． C． D． 2．（2023·浙江杭州·中考真题）在直角坐标系中，把点先向右平移1个单位，再向上平移3个单位得到点．若点的横坐标和纵坐标相等，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 3．（2024·浙江·三模）如图，将若干条完全相同的塑料板凳叠放成一摞．如图1，测得一条板凳的高度为；如图2，测得五条板凳的总高度为． (1)求六条板凳叠放成一摞的总高度． (2)运送时，板凳总高度限制为不超过，则运送时最多可以将几条板凳叠放成一摞？ 命题点四 二元一次方程（组）及其解法 ►题型01 二元一次方程（组）的概念 1．（2020·浙江杭州·模拟预测）下列是二元一次方程的（    ） A． B． C． D． 2．（2020·浙江杭州·模拟预测）与方程构成的方程组，其解为的是（    ） A． B． C． D． 3．（2020·浙江杭州·模拟预测）若是下列某二元一次方程组的解，则这个方程组为（    ） A． B． C． D． 4．（2022·浙江杭州·一模）二元一次方程的解可以是（    ） A． B． C． D． ►题型02 解二元一次方程组 1．（2023·浙江台州·三模）解方程组：． 2．（2024·浙江·模拟预测）解方程或方程组： (1) (2) 3．（2023·浙江温州·二模）解方程组： 解二元一次方程组的方法选择： 1)当方程组中某一个未知数的系数是1或者-1时，选用代入消元法； 2)当方程组中某一个方程的常数项为0时，选用代入消元法； 3)当方程组中同一个未知数的系数相同或互为相反数时，选用加减消元法； 4)当两个方程中同一个未知数的系数成整数倍关系时，选用加减消元法． ►题型03 二元一次方程组错解问题 1．（2021·浙江嘉兴·二模）解方程组：，小海同学的解题过程如下： 解：由②得，③ 把③代入①得， 把代入③得， ∴此方程组的解为． 判断小海同学的解题过程是否正确，若不正确，请指出错误的步骤序号，并给出正确的解题过程． 2．（2020·浙江杭州·模拟预测）完成下列问题： （1）已知方程组的解x、y的值相等，求m的值． （2）甲、乙两位同学在解方程组时，甲看错了a，解得；乙将一个方程中的b写成了相反数，解得，求a、b的值． ►题型04 二元一次方程组的求参数问题 1．（2023·浙江金华·模拟预测）已知满足和的x，y也满足，那么（　　） A．1 B．2 C． D． 2．（2023·浙江温州·模拟预测）已知方程组，若，的值互为相反数，则的值为（    ） A．0 B． C． D． 3．（2024·浙江宁波·模拟预测）若关于x，y的方程组的解满足，则的取值范围是 ． ►题型05 二元一次方程组的同解问题 1．（2017·浙江杭州·一模）若关于x、y的方程组与有相同的解． (1)求这个相同的解； (2)求m、n的值． 2．（2021·浙江杭州·二模）若方程组的解也是方程x+ky＝0的解，则k＝ ． ►题型06 二元一次方程组的特殊解法 1．（2024·浙江宁波·一模）已知关于、的方程组的解为，则关于、的方程组的解为 ． 2．（2020·浙江杭州·模拟预测）若关于x，y的二元一次方程组和有相同的解， 求：（1）这两个方程组的解； （2）代数式的值． 3．（2023·浙江·模拟预测）已知关于x、y的二元一次方程组的解为，则关于x，y的方程组的解为（    ） A． B． C． D． 4．（2022·浙江·二模）我们知道二元一次方程组的解是．现给出另一个二元一次方程组，它的解是（　　） A． B． C． D． 5．（2020·浙江杭州·模拟预测）若关于，的方程组的解为，则方程组的解为 ． 6．（2019·浙江温州·二模）我们知道方程组的解是．现给出另一个方程组它的解是（    ） A． B． C． D． ►题型07 解三元一次方程组 1．（2023·浙江绍兴·模拟预测）已知三个实数x、y、z中，x与y的平均数是127，y与z的和的是78，x与z的和的是52，则这三个数x、y、z的平均数是 ． 2．（2023·浙江·模拟预测）实数满足．则 ． 3．（22-23七年级下·湖南怀化·期末）已知方程组，则的值是（    ） A．9 B．8 C．7 D．6 命题点五 二元一次方程（组）的应用 ►题型01 行程问题 1．（2024·浙江宁波·一模）甲乙两人练习跑步，如果乙先跑10米，甲跑5秒就可追上乙；如果乙先跑2秒，甲跑4秒就可追上乙．设甲的速度为x米/秒，乙的速度为y米/秒，则可列出的方程组为（   ） A． B． C． D． 2．（2023·浙江台州·一模）作业本中有这样一道题：“小明去郊游上午9时从家中出发，先走平路，然后登山，中午12时到达山顶，原地休息1h后沿原路返回，正好下午3时到家．若他平路每小时走，登山每小时走，下山每小时走，求小明家到山顶的路程．”小李查看解答时发现答案中的方程组中有污损，，则答案中另一个方程应为（    ） A． B． C． D． 3．（2020·浙江杭州·模拟预测）已知A，B两地相距160千米，甲、乙两车分别从A，B两地同时出发，相向而行，其终点分别为B，A两地．两车均先以a千米每小时的速度行驶，再以b千米每小时的速度行驶，且甲车以两种速度行驶的路程相等，乙车以两种速度行驶的时间相等， （1）若，且甲车行驶的总时间为小时，求a和b的值； （2）若，且乙车行驶的总时间为小时． ①求a和b的值； ②求两车相遇时，离A地多少千米． ►题型02 数字问题 1．（22-23九年级下·河北秦皇岛·阶段练习）幻方是古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方——九宫格．将9个数填入幻方的空格中，要求每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等，例如图（1）就是一个幻方．图（2）是一个末完成的幻方，则的值是（    ） A．0 B． C． D．32 2．（2019·浙江杭州·一模）一个两位数，十位数字比个位数字的2倍大1，若将这个两位数减去36恰好等于个位数字与十位数字对调后所得的两位数，则这个两位数是（　　） A．86 B．68 C．97 D．73 3．（23-24七年级上·安徽宿州·期中）图1是我国古代传说中的洛书，图2是洛书的数字表示．相传，大禹时，洛阳西洛宁县洛河中浮出神龟，背驮“洛书”，献给大禹．大禹依此治水成功，遂划天下为九州．洛书是一个三阶幻方，就是将已知的9个不同整数填入的方格中，使每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的数字之和都相等．图3是一个不完整的幻方，根据幻方的规则，由已知数求出的值应为（    ） A．3 B． C． D．2 ►题型03 销售问题 1．（2024·浙江宁波·一模）低碳生活已是如今社会的一种潮流形式，人们的环保观念也在逐渐加深．“低碳环保，绿色出行”成为大家的生活理念，不少人选择自行车出行．某公司销售甲、乙两种型号的自行车，其中甲型自行车进货价格为每台1000元，乙型自行车进货价格为每台1200元．该公司销售3台甲型自行车和2台乙型自行车，可获利1100元，销售1台甲型自行车和2台乙型自行车，可获利700元． (1)该公司销售一台甲型、一台乙型自行车的利润各是多少元？ (2)在销售中发现，甲型自行车按（1）中获利定价时，每天可售出20台．在原有基础上，每降价5元，可多售出1台，要使甲型自行车每天销售利润不低于3360元，求优惠幅度的范围． 2．（2021·浙江·一模）我校计划购进一批机器人套件和3D打印机．购买1份机器人套件和2台3D打印机需要3.5万元，购买2份机器人套件和1台3D打印机需要2.5万元． (1)求每份机器人套件、每台3D打印机各多少万元? (2)若需购进机器人套件和3D打印机共300台，总费用不超过300万元，但不低于280万元，请你通过计算求出费用最低的购买方案． 3．（2023·浙江·模拟预测）某礼品经销商在春节前购进了甲、乙两种规格的礼品盒盒，共花费了元．已知甲、乙两种规格的礼品盒的进价和售价如下表： 类别 甲规格 乙规格 进价(元) 售价(元) (1)该礼品经销商购进甲、乙两种规格的礼品盒各多少盒？ (2)由于市场供不应求，该礼品经销商计划再购进两种礼品盒共盒，而此次投入不超过元，为使得获利最大，应如何进货． ►题型04 和差倍分问题 1．（2024·浙江·二模）年元旦期间，小华和家人到杭州西湖景区游玩，湖边有大小两种游船，小华发现：2艘大船与3艘小船一次共可以满载游客人，1艘大船与1艘小船一次共可以满载游客人．则1艘大船可以满载游客的人数为（   ） A．10 B．16 C．18 D．20 2．（2020·浙江杭州·模拟预测）通过对一份中学生营养快餐的检测，得到以下信息： ①快餐总质量为300g； ②快餐的成分：蛋白质、碳水化合物、脂肪、矿物质； ③蛋白质和脂肪含量占；矿物质的含量是脂肪含量的2倍；蛋白质和碳水化合物含量占． （1）设其中蛋白质含量是，脂肪含量是，请用含或的代数式分别表示碳水化合物和矿物质的质量． （2）求每份营养午餐中蛋白质、碳水化合物、脂肪和矿物质的质量． ►题型05 几何问题 1．（2020·浙江杭州·模拟预测）如图，周长为的长方形团由10个形状大小完全相同的小长方形拼成，其汇总一个小长方形的面积为（    ） A． B． C． D． 2．（2020·浙江杭州·模拟预测）我市新建植物园以其优美独特的自然植物景观，现已成为我市市民春游踏青、赏四季花卉、观景的重要旅游景区．若该植物园中现有A、B两个园区，已知A园区为长方形，长为米，宽为米；B园区为正方形，边长为米． （1）请用代数式表示A、B两园区的面积之和并化简： （2）现根据实际需要对A园区进行整改，长增加米，宽减少米，整改后A区的长比宽多350米，且整改后两园区的周长之和为980米，求此时x、y的值． （3）在（2）的条件下，若整改后A园区全部种植C种花，B园区全部种植D种花，且C、D两种花投入的费用与吸引游客的收益如下表： 花的种类 C D 投入（元/平方米） 13 16 收益（元/平方米） 18 26 求整改后A、B两园区旅游的净收益之和．（净收益＝收益－投入） ►题型06 古典问题 1．（2023·浙江宁波·模拟预测）“鸡兔同笼”是我国古代的数学名题，《孙子算经》中这样叙述：今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？若设雉只，兔只，则可列方程组为 ． 2．（2023·浙江宁波·模拟预测）《九章算术》是中国古代数学著作之一，书中有这样的一个问题：“五只雀、六只燕，共重1斤（等于16两），雀重燕轻，互换其中一只，恰好一样重．问：每只雀、燕的重量各为多少？”设每只雀、燕的重量分别为两、两，则可列方程组（    ） A．B． C． D． 3．（2023·浙江杭州·一模）《九章算术》中有一道题，原文是：“今有二马、一牛价过一万，如半马之价；一马、二牛价不满一万，如半牛之价．问牛、马价各几何?”意思是：今有匹马、头牛的总价超过钱，其超出的钱数相当于匹马的价格．匹马、头牛的总价不足钱，所差的钱数相当于头牛的价格．问每头牛、每匹马的价格各是多少？可设每匹马价格为钱，每头牛价格为钱，下列式子正确的是（　　 ） A． B． C． D． ►题型07 方案选择问题 1．（2024·浙江杭州·二模）杆秤是我国度量衡“三大件（尺斗秤）”重要组成部分，是中华民族衡重的基本量具．杆秤依据杠杆原理制作而成，一般由秤钩（或秤盘）、秤杆和秤砣三部分组成，秤杆上的刻度叫做“秤星”．如图是小戚同学利用自制杆秤称重的示意图，使用时将货物放在秤盘上，用手提起（相当于支点）处的秤纽，在秤杆上移动秤砣的位置，当秤杆水平平衡时，可根据秤砣在秤杆上的位置读出货物的质量．如图1所示，称量货物甲时，秤砣在处秤杆平衡，此时可读出货物甲的质量是，则此时：（甲的质量秤盘质量）秤砣质量；如图2所示，称量货物乙时，秤砣在处秤杆平衡，此时可读出货物乙的质量是．根据图中所给数据，可以知道秤盘的质量是 克，这把杆秤的秤星E对应的刻度是 克．      2．（2022·浙江温州·一模）2022年北京冬奥会吉祥物“冰墩墩”万众瞩目，硅胶是生产“冰墩墩”外壳的主要原材料．某硅胶制品有限公司的两个车间负责生产“冰墩墩”硅胶外壳，已知每天生产的硅胶外壳数量甲车间是乙车间的两倍，甲车间生产8000个所用的时间比乙车间生产2000个所用的时间多一天． (1)求出甲、乙两车间每天生产硅胶外壳个数． (2)现有如下表所示的A，B两种型号硅胶外壳，该公司现有378千克的原材料用于生产外壳，并恰好全部用完． 型号 所需原材料 冰墩墩单价 A 99克 198元 B 90克 192元 ①若生产的A，B两种型号的外壳共4000个，求出A，B两种型号的外壳个数． ②若生产的A，B两种型号的外壳若干个用于销售，且A型号的数量大于B型号的数量，则A型号外壳为多少个时，冰墩墩的销售金额最大．求出最大销售金额． 3．（2022·浙江温州·一模）某商场用60个A型包装袋与90个B型包装袋对甲，乙两类农产品进行包装出售（两种型号包装袋都用完），每个A型包装袋装2千克甲类农产品或装3千克乙类农产品，每个B型包装袋装3千克甲类农产品或装5千克乙类农产品，设有x个A型包装袋包装甲类农产品，有y个B型包装袋包装甲类农产品． (1)请用含x或y的代数式填空完成下表： 包装袋型号 A B 甲类农产品质量（千克） _________ 乙类农产品质量（千克） _______ (2)若甲、乙两类农产品的总质量分别是260千克与210千克，求x，y的值． (3)若用于包装甲类农产品的B型包装袋数量是用于包装甲类农产品的A型包装袋数量的两倍，且它们数量之和不少于90个，记甲、乙两类农产品的总质量之和为m千克，求m的最小值与最大值． ►题型08 其他问题 1．（2024·浙江嘉兴·一模）李老师逛超市时看中一套碗，她将碗叠成一列（如图），测量后发现：用2只碗叠放时总高度为7.5cm，用4只碗叠放时总高度为11.5cm．若将8个碗叠成一列正好能放入消毒柜，则这个消毒柜的高度至少有（   ）    A．15.5cm B．19.5cm C．23cm D．30cm 2．（2024·浙江宁波·一模）根据以下素材，探索完成任务． 如何设计采购方案？ 素材1 为了迎接9月末至10月初在杭州举行的第19届亚运会，某旅游商店购进若干明信片和吉祥物钥匙扣已知一个吉祥物钥匙扣的售价比一套明信片的售价高20元． 素材2 小明在该店购买了1套明信片与4个吉祥物钥匙扣共花费130元． 素材3 已知明信片的进价为5元/套，吉祥物钥匙扣的进价为18元/个．为了促销，商店对吉祥物钥匙扣进行8折销售．临近期中考试，某老师打算提前给学生准备奖品，在该店同时购买吉祥物钥匙扣和明信片两种商品若干件，本次交易商家-共获得600元的销售额．其中售出吉祥物钥匙扣不少于15个． 问题解决 任务1 假设明信片的售价为x元/套，钥匙扣的售价为y元/个，请协助解决右边问题． 问：_______（用含的代数式表示） 任务2 基于任务1的假设和索材2的条件，请尝试求出吉祥物钥匙扣和明信片的售价． 任务3 【拟定设计方案】 请结合素材3中的信息，帮助该老师完成此次促销活动中可行的购买方案．在这些购买方案中，哪种方案商家获利最高． 3．（2024·浙江嘉兴·模拟预测）某城市正在实施垃圾分类制度，居民需要将垃圾分为可回收垃圾、易腐垃圾、有害垃圾和其他垃圾四类．某小区为了鼓励居民积极参与垃圾分类，决定设立积分奖励机制．规则如下表： 垃圾类别 可回收垃圾 易腐垃圾 有害垃圾 其他垃圾 每公斤获得积分 a b 100 无 积分可以兑换部分商品，具体如下表： 物品 垃圾袋/卷 5元话费券/张 水果店打折券/张 小区临时停车券/张 积分数 800 1500 2000 1000 已知2公斤可回收垃圾和1.5公斤易腐垃圾可以获得130积分；2.5公斤可回收垃圾和2公斤易腐垃圾可获得165积分． (1)求a，b的值； (2)小明家一季度产出了46公斤可回收垃圾，100公斤易腐垃圾，1公斤有害垃圾，将这一季度获得的所有积分都兑换成物品，可有哪些兑换方案？ ►题型09 三元一次方程组的应用 1．（2021·浙江温州·二模）某商店销售A，B两种商品，已知B种商品的单价是A种商品的2倍，用120元购买A种商品的数量比用150元购买B种商品的数量多9件． (1)求A、B两种商品的单价； (2)现商店推出C商品，且C商品的单价是A商品的4倍．若某单位支出600元全部用于购买A，B，C三种商品共计40件（A，B，C至少1件），且A，C两种商品的数量之和不超过B种商品数量的3倍，请求出所有可能的购买方案． 2．（2020·浙江杭州·模拟预测）一辆货车、一辆客车、一辆小轿车在一条笔直的公路上朝同一方向匀速行驶，在某一时刻，货车在前，小轿车在后，客车在货车与小轿车的正中间，过了，小轿车追上了客车；又过了；小轿车追上了货车；再过了 客车追上了货车． 3．（2022·浙江金华·一模）现有A，B，C三种型号的纸片若干张，大小如图所示．从中取出一些纸片进行无空隙、无重叠拼接，拼成一个长宽分别为11和5的新矩形，在各种拼法中，B型纸片最多用了 张． 基础巩固 1．如果，那么根据等式的基本性质下列变形正确的是（　　） A． B． C． D． 2．《算法统宗》是我国古代重要的数学著作，其中记载着这样一个问题：我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．其大意为：今有若干人住店，若每间住7人，则剩下7人无房可住；若每间住9人，则剩下一间无人住．设店中共有间房，根据题意所列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 3．若是关于，的二元一次方程的解，则的值为（   ） A．2 B．1 C． D． 4．在解方程时，去分母正确的是（    ） A． B． C． D． 5．我国明代《算法统宗》一书中有这样一题：“一支竿子一条索，索比竿子长一托，对折索子来量竿，却比竿子短一托（一托按照5尺计算）．”大意是：现有一根竿和一条绳索，如果用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；如果将绳索对折后再去量竿，就比竿短5尺，则绳索长几尺？设竿长x尺，绳索长y尺，根据题意可列方程组为（   ） A． B． C． D． 6．关于x、y的方程组的解是则的值是（   ） A．4 B．9 C．5 D．11 7．已知关于x的一元一次方程的解为，a为某个定值，那么关于y的一元一次方程的解为（    ） A． B． C． D． 8．解二元一次方程组用代入消元法消去x，得到的方程是（  ） A． B． C． D． 9．如图，在两个长、宽都分别为、的大长方形中，有若干个形状、大小完全相同的小长方形，拼成了“南开”两字，则每个小长方形的面积为（  ） A． B． C． D． 10．观察方程组的系数特征，若要使求解简便，消元的方法是（   ） A．先消去x B．先消去y C．先消去z D．以上说法都不对 11．已知是关于的一元一次方程的解，则代数式的值为 ． 12．下列变形：①如果，那么；②如果，那么；③如果那么；④如果，那么．其中正确的是 ．（填序号） 13．足球的表面由白块和黑块组成．已知黑块是五边形，白块是六边形，且每一白块的6条边中，有3边与黑块相接，另3边与白块相接，每一黑块的5边全与白块的边相接，已知足球表面的黑块总数是12，则白块数为 ． 14．已知方程组是关于，的二元一次方程组，则的值 ． 15．已知关于的二元一次方程组的解为，小强因看错了系数，得到的解为，则 ． 16．若关于x、y方程的解满足，以方程中的未知数设计的“Y”形图案，如图所示，则此图案的面积为 ． 17．已知关于x的方程的解与的解相同，求a的值． 18．下面是小欣同学解一元一次方程的过程，请认真阅读并解答相应问题． 解方程：． 解：去分母，得．……第一步 去括号，得……第二步 移项，得……第三步 合并同类项，得．……第四步 两边同乘以，得．……第五步 填空： (1)以上求解步骤中，第一步变形的依据是 ；第 步开始出现错误，错误的原因是 ； (2)该方程正确的解为 ． 19．解下列方程或方程组： (1)； (2)． 20．《算法统宗》中有这样一首诗： 巍巍古寺在山中，不知寺内几多僧，三百六十四只碗，恰合用尽不差争． 三人共食一碗饭，四人共尝一碗羹，请问先生能算者，都来寺内几多僧． 请用一元一次方程或者二元一次方程组求解上述问题． 21．为了鼓励市民节约用水，某市居民生活用水按阶梯式水价计费．下表是该市民“一户一表”生活用水阶梯式计费价格表的部分信息：（说明：①每户生产的污水量等于该户自来水用量；②水费＝自来水费用+污水处理费）已知小王家2018年7月用水16吨，交水费元．8月份用水25吨，交水费元． 自来水销售价格 污水处理价格 每户每月用水量 单价：元/吨 单价：元/吨 17吨及以下 a 0.90 超过17吨但不超过30吨的部分 b 0.90 超过30吨的部分 6.00 0.90 (1)求a、b的值； (2)如果小王家9月份上交水费元，则小王家这个月用水多少吨？ (3)小王家10月份忘记了去交水费，当他11月去交水费时发现两个月一共用水50吨，其中10月份用水超过30吨，一共交水费元，其中包含30元滞纳金，求小王家11月份用水多少吨？（滞纳金：因未能按期缴纳水费，逾期要缴纳的“罚款金额”） 22．新趋势·新定义  对于未知数为的二元一次方程组，如果方程组的解满足．我们就说方程组的解与具有“邻好关系”． (1)方程组的解是否具有“邻好关系”？说明你的理由： (2)若方程组 的解与具有“邻好关系”，求的值． 23．随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具，某汽车4S店计划购进一批新能源汽车进行销售．据了解，购进2辆A型新能源汽车、3辆B型新能源汽车共需85万元；购进3辆A型新能源汽车、2辆B型新能源汽车共需90万元． (1)问A、B两种型号的新能源汽车每辆进价分别为多少万元？ (2)若该公司计划正好用180万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均购买），请你设计出符合要求的购买方案． (3)销售1辆A型汽车可获利1.8万元，销售1辆B型汽车可获利1.2万元．假如这些新能源汽车全部售出，在（2）中的购买方案中，哪种方案获利最大？最大利润是多少元？ 能力提升 24．方程是关于x的一元一次方程，则a=（   ） A．2 B． C． D． 25．等式中的部分数字被墨渍污染，则被墨渍污染的“”为（ ） A． B． C． D． 26．已知是关于x的整式，我们定义的导出整式为．例如，的导出整式为．若是关于x的二次多项式，且关于x的方程的解为偶数，则m为（　　） A．0 B．1 C．0或 D．1或 27．已知关于x，y的方程组给出下列结论：a．当时，方程组的解也是的解；b．无论m取何值，x，y的值不可能互为相反数；c．x，y均为正整数的解只有1对；d．若，则．正确的是（   ） A． B． C． D． 28．小明运用七年级上册的知识设计了一台数值转换机，只要依次输入两个整数，，则输出的结果为．比如小明依次输入1，2，则输出的结果是，再次输入3，则输出的结果为，此后每输入一个整数都是与前次显示的结果进行求差的运算．下列说法： ①若依次输入，则最后输出的结果是13； ②若将这5个整数任意地一个一个输入，全部输入完毕后显示一个结果．在所有的结果中，最大值是11，最小值是； ③若将三个互不相等的正整数x，y，5按照任意顺序一个一个地输入，全部输入完毕后显示的最后结果设为m．若m的最小值是，那么m的最大值可能是． 其中正确的个数是（   ） A．3 B．2 C．1 D．0 29．用现代高等代数的符号可以将方程组的系数排成一个表，这种由数列排成的表叫做矩阵．矩阵表示，，为未知数的三元一次方程组，若为定值，则与关系（   ） A． B． C． D． 30．一辆快车从实验中学开往锦绣中学，一辆慢车从锦绣中学开往实验中学，两车同时出发，设快车离锦绣中学的距离为，慢车离锦绣中学的距离为，行驶时间为，两车之间的距离为．与x的函数关系图象如图1所示，s与x的函数关系图象如图2所示．则下列判断：①图1中；②当时，两车相遇；③当时，两车相距； ④当或时，两车相距．其中正确的有__________． A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④ 31．我们知道自行车一般是由后轮驱动，因此，后轮胎的磨损要超过前轮胎，假设前轮行驶5000公里报废，后轮行驶3000公里报废，如果在自行车行驶若干公里后，将前后轮进行对换，那么这对轮胎最多可以行驶（　　）公里． A．4000 B．3750 C．4250 D．3250 32．已知，，则式子的值为 ． 33．已知关于x的方程，求所有整数解的和 ． 34．已知关于的方程组的解满足，求的值为 ． 35．已知，则的值为 ． 36．A、B两地相距，一列快车以的速度从A地匀速驶往B地，到达B地后立刻原路返回A地，一列慢车以的速度从B地匀速驶往A地．两车同时出发，截止到它们都到达终点时，两车恰好相距的次数是 次． 37．对于一个各个数位上的数字不相等且均不为零的四位自然数，且满足，则称这个数为“前和幂数”，如：，因为，所以5924是“前和幂数”．若是“前和幂数”，则这个数是 ；若四位数A是“前和幂数”，将“前和幂数”A的千位数字与百位数字对调，十位数字与个位数字对调，得到新数B，若能被33整除，则满足条件的A的最大值和最小值的差是 ． 38．如果关于的一元一次方程的解是整数，则称该方程为“整”方程；如果不是整数，则称为“分”方程．例如方程是“整”方程，方程是“分”方程．按此定义解答下列问题： (1)方程是________方程； (2)已知为整数，试判断关于的方程是否可能是“整”方程，并说明理由； (3)若关于的方程是“分”方程，则关于的方程是_______方程． 39．解方程组： (1)； (2)． 40．已知二元一次方程（a，b均为常数，且a≠0）． (1)当a＝3，b＝﹣4时，用x的代数式表示y； (2)若是该二元一次方程的一个解， ①探索a与b关系，并说明理由； ②无论a、b取何值，该方程有一组固定解，请求出这组解． 41．对，定义一种新的运算，规定：（其中）． （1）若已知，，则_________． （2）已知，．求，的值； （3）在（2）问的基础上，若关于正数的不等式组恰好有2个整数解，求的取值范围． 42．在数轴上，点O，A，B，C，D表示的数分别为0，，6，12，21．现沿点O，B，C将数轴折成如图所示的“三角数轴”． 在“三角数轴”上，若点M，N表示的数为m，n，当点M，N同时落在之间时（含点O和点C），则M，N两点的“三角距离”为．例如：若点M和点N表示的数分别为8和2，它们落在之间，则点M和点N的“三角距离”为．其余情况下，两点的“三角距离”为． 已知P，Q是“三角数轴”上的两个动点．点P从点A出发，向点C运动，同一时刻，点Q从点D出发，向点O运动，它们在水平方向上的速度分别是每秒2个单位长度和每秒3个单位长度．两个点上坡时候的速度均是各自水平速度的一半，下坡时候的速度均是各自水平速度的2倍．在点P运动到点C与点Q运动到点O中，若一个点先到达，则两点同时停止运动．设运动时间为t． (1)当运动时间秒时，点P和点Q的“三角距离”是多少？ (2)当点P和点Q的“三角距离”为3时，求t的值． 43．根据以下素材，探索完成任务． 如何设计制作木箱方案？ 素材1 如图1，是一个无盖的木箱，该木箱由A，B，C三种型号的木板制作而成，而三种型号的木板是由一个大长方形板材按如下甲、乙、丙三种不同切割方式进行无废料切割得到．已知． 素材2 若有24张长方形板材，将板材按以上三种方式进行切割，无材料剩余（恰好可以制作若干个木箱）． 素材3 若有20张B型号木板和m张长方形板材，将板材按以上三种方式进行切割，无材料剩余（恰好可以制作若干个木箱）． 问题解决 任务1 确定型号大小 求A，B，C三种型号木板的面积． 任务2 探究木箱容量 一共可以制作多少个木箱？并求出木箱的总体积． 任务3 拟定制作方案 请你设置一种合适的切割方案，并指出m的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$