第03讲 不等式及其基本性质（3个知识清单+3类热点题型讲练+强化训练）-【帮课堂】2024-2025学年七年级数学下册同步学与练（沪科版2024）

第03讲 不等式及其基本性质 课程标准 学习目标 1不等式的概念 2不等式的性质 3在数轴上表示不等式的解集 1、会用不等式描述现实世界中的不等关系； 2、能灵活运用不等式基本性质1将不等式进行变形；过程与方法 通过具体不等关系的分析，让学生感受到不等式是刻画现实世界的有效模型，再经过学生的操作，归纳得出不等式性质1,并能灵活运用此性质对不等式进行变形. 【重点】不等式的概念和基本性质 【难点】简单的不等式变形. 知识点01不等式的概念 （1）不等式的概念：用“＞”或“＜”号表示大小关系的式子，叫做不等式，用“≠”号表示不等关系的式子也是不等式． （2）凡是用不等号连接的式子都叫做不等式．常用的不等号有“＜”、“＞”、“≤”、“≥”、“≠”．另外，不等式中可含未知数，也可不含未知数． 【即学即练1】 1．某日我市最高气温是，最低气温是，则当天气温的变化范围是　 　． 【答案】 【知识点】不等式的概念 【即学即练2】 2．（2022春•滁州期末）“与的2倍的和是正数”用不等式可表示为 　　． 【分析】根据“与的2倍的和是正数”，即可得出关于，的不等式，此题得解． 【解答】解：依题意得：． 故答案为：． 【点评】本题考查了不等式的定义，根据各数量之间的关系，正确列出不等式是解题的关键． 【即学即练3】 3．（2023七年级下·全国·专题练习）下列式子中哪些是等式？哪些是不等式？ ①；②；③；④；⑤；⑥． 【答案】等式有②，不等式有①③④⑥ 【分析】表示相等关系的式子叫等式，用不等号（，，，，）表示不等关系的式子叫不等式，再逐个判断即可． 【详解】解：等式有②； 不等式有①；③；④；⑥； 综上，等式有②，不等式有①③④⑥． 【点睛】本题考查了等式和不等式的定义，能熟记等式和不等式定义是解此题的关键． 知识点02不等式的性质 （1）不等式的基本性质 ①不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变，即： 若a＞b，那么a±m＞b±m； ②不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，即： 若a＞b，且m＞0，那么am＞bm或＞； ③不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，即： 若a＞b，且m＜0，那么am＜bm或＜； （2）不等式的变形：①两边都加、减同一个数，具体体现为“移项”，此时不等号方向不变，但移项要变号；②两边都乘、除同一个数，要注意只有乘、除负数时，不等号方向才改变． 【规律方法】 1．应用不等式的性质应注意的问题：在不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数时，一定要改变不等号的方向；当不等式的两边要乘以（或除以）含有字母的数时，一定要对字母是否大于0进行分类讨论． 2．不等式的传递性：若a＞b，b＞c，则a＞c． 【即学即练1】 4．若，则下列不等式不成立的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】不等式的性质 【解析】【解答】解：A、，两边同时加a得 ，A正确； B、，，两边同时乘a得 ，B正确； C、，两边同时减去a得 ，C正确； D、，，两边同时乘a得，D错误. 故答案为：D. 【分析】根据不等式两边同时加上或减去一个数，不等式方向不变；不等式两边同时乘或除以一个正数不等式方向不变，不等式两边同时乘或除以一个负数不等式方向改变. 【即学即练2】 5．（23-24七年级下·安徽阜阳·阶段练习）若不等式两边同时除以，得，则m的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】不等式的性质 【分析】本题考查了不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解题的关键． 根据不等式的性质可得：，然后进行计算即可解答． 【详解】解：根据题意得：， 解得：， 故答案为： 【即学即练3】 6．（23-24七年级下·安徽滁州·阶段练习）先阅读下面的解题过程，再解题． 已知，试比较与的大小． 解：因为，① 所以，② 故．③ (1)上述解题过程中，从步骤_______开始出现错误； (2)请写出正确的解题过程． 【答案】(1)② (2)见解析 【知识点】不等式的性质 【分析】此题主要考查了不等式的解法，熟知不等式的性质是解题的关键． （1）由题意，不等式两边乘以负数，不等式号改变，故②错误； （2）根据不等式的性质，不等式两边同乘以一个负号，不等号方向要发生改变，来求解． 【详解】（1）由题意得②错误， 根据不等式两边乘以负数，不等式号改变即可判断； 故答案为：②； （2）因为， 所以， 故． 知识点03在数轴上表示不等式的解集 用数轴表示不等式的解集时，要注意“两定”： 一是定界点，一般在数轴上只标出原点和界点即可．定边界点时要注意，点是实心还是空心，若边界点含于解集为实心点，不含于解集即为空心点； 二是定方向，定方向的原则是：“小于向左，大于向右”． 【规律方法】不等式解集的验证方法 某不等式求得的解集为x＞a，其验证方法可以先将a代入原不等式，则两边相等，其次在x＞a的范围内取一个数代入原不等式，则原不等式成立． 【即学即练1】 7．不等式 的解集表示在数轴上是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】解一元一次不等式；在数轴上表示不等式的解集 【解析】【解答】解：去分母，得， 2（3x+2）≤3（x+5）﹣6， 去括号，得 6x+4≤3x+15﹣6， 移项、合并同类项，得 3x≤5， 系数化为1，得， x≤ ， 在数轴上表示为： 故答案为：B. 【分析】根据去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1可求解不等式，在数轴上表示解集的三个步骤：①画数轴（注意正方向、原点、单位长度）；②定介点（有等号为实心，无等号为空心）；③定方向（大于朝右，小于朝左），将解集在数轴上表示出来即可. 【即学即练2】 8．某个关于x的不等式的解集在数轴上的表示如图所示，这个不等式的解集是　 　． 【答案】x≥﹣2 【知识点】在数轴上表示不等式的解集 【解析】【解答】解：∵﹣2处是实心圆点，且折线向右， ∴x≥﹣2． 故答案为：x≥﹣2． 【分析】根据不等式的解集在数轴上的表示方法解答即可． 9．解不等式≥1，并把它的解集在数轴上表示出来. 【答案】解：去分母，得： 去括号，得： 移项，合并同类项： 系数化为1得：. 把解集表示在数轴上： 【知识点】解一元一次不等式；在数轴上表示不等式的解集 【解析】【分析】根据一元一次不等式的解题步骤“去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1”求出不等式的解集；然后根据在数轴上表示不等式的解集时“”实心向左可求解. 题型01 不等式定义 1．（22-23七年级下·安徽安庆·阶段练习）某品牌酱油的包装上标注了“氨基酸态氮克/100毫升”，它的含义是（    ） A．每100毫升酱油所含氨基酸态氮1.2克 B．每100毫升酱油所含氨基酸态氮高于1.2克 C．每100毫升酱油所含氨基酸态氮不低于1.2克 D．每100毫升酱油所含氨基酸态氮不超过1.2克 【答案】C 【知识点】不等式的定义 【分析】“≥”就是不小于，在本题中也就是“不低于”的意思． 【详解】解：根据≥的含义，“氨基酸态氮克/100毫升”，就是“每100毫升酱油所含氨基酸态氮不低于1.2克”， 故选：C． 【点睛】本题主要考查不等号的含义，是需要熟练记忆的内容． 2．（21-22七年级下·安徽滁州·期末）“x与y的2倍的和是正数”用不等式可以表示为 ． 【答案】 【知识点】不等式的定义 【分析】根据“x与y的2倍的和”用代数式表示出来，再由和为正数即可得不等式． 【详解】解：x与y的2倍的和用代数式表示为：x+2y， 则由题意可得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了列不等式，关键是理解和、差、倍、分等的含义，注意运算顺序． 3．（23-24七年级下·全国·课后作业）判断下列各式哪些是等式，哪些是不等式，哪些既不是等式也不是不等式． (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)52； (7)． 【答案】(1)既不是等式也不是不等式 (2)是不等式 (3)是等式 (4)是不等式 (5)是等式 (6)既不是等式也不是不等式 (7)是不等式 【知识点】不等式的定义 【分析】本题主要考查不等式的定义，掌握等式和不等式的定义是解题的关键．根据所学知识，可知：含有等号的式子叫做等式，用不等号连接的式子叫做不等式，根据上述定义，找出用等号和不等号连接的式子即可找出等式和不等式，进而找出既不是等式也不是不等式的式子． 【详解】（1）解：既不是等式也不是不等式； （2）解：是不等式； （3）解：是等式； （4）解：是不等式； （5）解：是等式； （6）解：52既不是等式也不是不等式 （7）解：是不等式． 题型02 不等式的解集 4．（21-22七年级下·安徽亳州·阶段练习）下列解集中，包括2的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】不等式的解集 【分析】根据不等式表示的解集范围进行判断即可． 【详解】解：A．表示比2小的数，不包含2，故A不符合题意； B．表示比3大或与3相等的数，不包含2，故B不符合题意； C．表示比3小或与3相等的数，包含2，故C符合题意； D．表示比2大的数，不包含2，故D不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了不等式的解集，解题的关键是熟练掌握不等式解集的定义． 5．（23-24七年级下·全国·单元测试）如图，小童爸爸开货车走右侧车道，建议车速为 ． 【答案】答案不唯一 【知识点】不等式的解集 【分析】本题主要考查了不等式组的应用，根据题意可知，车速限制为，取其中任意数即可求解． 【详解】解：设车速为， 小童爸爸开货车走右侧车道，车速应该在， 建议车速为． 故答案为：答案不唯一． 6．（22-23七年级下·全国·假期作业）下列各式哪些是不等式2(2x+1)＞25的解？哪些不是？ (1)x=1． (2)x=3． (3)x=10． (4)x=12． 【答案】(1)不是 (2)不是 (3)是 (4)是 【知识点】不等式的解集 【分析】把未知数的值代入计算，比较后，判断即可 【详解】（1）把x=1代入不等式2(2x+1)＞25，因为：左边=2×(2×1+1)=6＜25，所以x=1不是不等式2(2x+1)＞25的解． （2）把x=3代入不等式2(2x+1)＞25，因为：左边=2×(2×3+1)=14＜25，所以x=3不是不等式2(2x+1)＞25的解． （3）把x=10代入不等式2(2x+1)＞25，因为：左边=2×(2×10+1)=42＞25，所以x=10是不等式2(2x+1)＞25的解． （4）把x=12代入不等式2(2x+1)＞25，因为：左边=2×(2×12+1)=50＞25，所以x=12是不等式2(2x+1)＞25的解． 【点睛】本题考查了不等式的解即使不等式左右两边成立的未知数的值，正确理解不等式的解是解题的关键． 题型03 不等式的性质 7．（23-24七年级下·安徽六安·阶段练习）下列说法中正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，且，则 D．若，则 【答案】A 【知识点】不等式的性质 【分析】此题主要考查了不等式的基本性质：(1)不等式的两边同时加上(或减去)同一个数或同一个整式，不等号的方向不变；(2)不等式的两边同时乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变；(3)不等式的两边同时乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变． 根据不等式的性质，逐项判断即可． 【详解】解：， ， ， 选项A符合题意； ， 时， 选项B不符合题意； ，， 时，时， 选项C不符合题意； ，， 选项D不符合题意； 故选：A． 8．（23-24七年级下·安徽合肥·期中）若，且，，设， （1）用只含有的代数式表示，则 ； （2）t的取值范围为 ． 【答案】 【知识点】不等式的性质、整式的加减运算 【分析】本题主要考查不等式的基本性质，二元一次方程中用一个未知数表示另一个未知数； （1）根据得到，代入计算即可； （2）根据，，把，代入得到，再确定t的取值范围． 【详解】解：（1）∵， ∴，． ∴． 故答案为：； （2）∵，， ∴，． ∴，． ∴． ∴， ∵ ∴． 故答案为：． 9．（23-24七年级下·安徽安庆·阶段练习）【阅读材料】： “已知均为非负数，且满足，求的范围”，有如下解法： ∵， ∴， ∵，是非负数， ∴即， ∴， ∵， ∴， ∴． 【回答问题】：已知，，． (1)试确定的取值范围； (2)求出的取值范围． 【答案】(1)； (2)． 【知识点】不等式的性质 【分析】（）仿照例子，根据不等式的性质即可求解； （）仿照例子，根据不等式的性质即可求解； 本题考查了不等式的性质，解题的关键是熟练掌握不等式的性质及应用． 【详解】（1）∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）∵， 由（）得， ∴， 即， ∴， ∴的取值范围是． 一、单选题 1．已知，则下列结论不成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据不等式的基本性质，逐项判断即可求解． 【详解】解：A、若，则，故本选项不符合题意； B、若，则，故本选项不符合题意； C、若，则，故本选项符合题意； D、若，则，故本选项不符合题意； 故选C. 【点睛】本题主要考查了不等式的性质，熟练掌握不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变． 2．已知，则下列不等式成立的是（    ） A．- B． C． D． 【答案】B 【分析】利用不等式性质，“不等式两边同时乘以（或除以）同一个大于0的数字，不等号方向不变”可得. 【详解】选项A错误，∵， ∴ （如果x>y，z<0，那么xz<yz）； 选项B正确，∵ ∴ （如果x>y，z>0，那么xz>yz）； 选项C错误，∵则 ，∴ （如果x>y，而z为任意实数或整式，那么x+z>y+z）； 选项D错误，∵∴ （如果x>y，而z为任意实数或整式，那么x+z>y+z）. 故选B 【点睛】本题考查不等式的性质，理解并掌握不等式的性质为解题的关键. 3．已知，则下列各式中，错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了不等式的性质，能熟记不等式的性质是解题的关键．根据不等式的性质逐个判断即可． 【详解】解：A、，，故本选项不符合题意； B、，，故本选项不符合题意； C、，，故本选项符合题意； D、，，故本选项不符合题意； 故选：C． 4．若，则下列各式中错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据不等式的基本性质依次分析各项即可得到结果． 【详解】解：∵， ∴，描述正确，故A选项不符合题意； ∵， ∴，原描述错误，故B选项符合题意； ∵， ∴，描述正确，故C选项不符合题意； ∵， ∴>，描述正确，故D选项不符合题意； 故选B． 【点睛】本题考查了不等式的基本性质，解答本题的关键是熟练掌握不等式的基本性质：（1）不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；（2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；（3）不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变． 5．若，则下列式子中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据不等式的性质判断选择即可．本题考查了不等式的性质，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】∵， ∴， 故A不符合题意； ∵， ∴， 故B符合题意； ∵， ∴， 故C不符合题意； ∵， ∴， 故D不符合题意； 故选B． 6．下列说法不一定成立的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】根据不等式的性质分析判断即可． 【详解】．若，则，此选项正确，不符合题意； ．若，则，即，此选项正确，不符合题意； ．若，则，此选项不正确，符合题意； ．若，则，即，此选项正确，不符合题意； 故选：C． 【点睛】此题考查了不等式的性质，解题的关键是掌握不等式的性质：①不等式两边加(或减)同一个数(或式子)，不等号的方向不变；②不等式两边乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变；③不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变． 7．估计+4的值（    ） A．在5和6之间 B．在6和7之间 C．在7和8之间 D．在8和9之间 【答案】B 【分析】利用逼近法先估算出位于哪两个整数之间，再利用不等式的性质确定+4位于哪两个整数之间即可． 【详解】解：∵＜＜， ∴2＜＜3， ∴6＜+4＜7． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了估算无理数的大小，掌握逼近法是解题的关键． 8．已知关于x、y的二元一次方程组，给出下列说法：①若x与y互为相反数，则m=2；②若x=y，则m=﹣；③若x+ y>﹣，则m的最大整数值为4.其中正确的有(   ) A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】解此题时可以解出二元一次方程组中x，y关于m的式子，然后依次判断即可得出答案． 【详解】解：∵解方程组， 得， ∴①x与y互为相反数，则x=-y， m+2=2m m=2，故①正确； ②x=y， 则m+2=-2m m=，故②正确； ③， 则m+2-2m=2-m m＜，则m的最大整数值为2，故③错误. 故选C. 【点睛】此题考查的是二元一次方程组和不等式的性质，求出m的值或取值范围是解题的关键． 9．已知a＞b，则下列不等式变形正确的是（    ） A．－2a＞－2b B．a＋3＞b＋3 C． D．ac＞bc 【答案】B 【分析】直接利用不等式的基本性质分别分析得出答案． 【详解】A、∵a＞b，∴－2a＜－2b，故选项A错误； B、∵a＞b，∴a＋3＞b＋3，故选项B正确； C、当0＜b＜a时，；当b＜a＜0时，，故选项C错误； D、∵a＞b，若c=0时，ac=bc，故选项D错误． 故选：B． 【点睛】此题主要考查了不等式的性质，正确把握不等式基本性质是解题关键． 10．已知实数满足，则下列结论不正确的是（    ） A． B． C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】本题考查了等式的性质，不等式的性质，通过等式的性质得和，可判断和；由题目条件判断，，可判断；结合和得到，，且，利用作差法即可判断；掌握等式的性质、不等式的性质并正确变形做出判断是解题的关键． 【详解】解：∵，∴， 即，故选项正确，不符合题意； ∵， ∴， 即，故选项正确，不符合题意； 若， ∵， ∴， 即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 整理得， ∴，故选项正确，不符合题意； 由知，， ∴， 若，则， ∴， 由知，， ∴， ∴， ∴， ∴，故不正确，符合题意； 故选：． 二、填空题 11．已知，则 （填“”“”或“”） 【答案】 【分析】本题考查了不等式的性质解题关键是掌握不等式的性质：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．根据不等式两边同时乘以，不等号方向改变，即可得出答案． 【详解】解：， ， ， 故答案为：． 12．用符号“”（或“”），“”（或“”），“”连接而成的数学式子，叫做 ．这些用来连接的符号统称 ． 【答案】 不等式 不等号 【详解】解：根据题意，用符号“”或“”表示大小关系的式子，叫做不等式，这些用来连接的符号统称不等号， 故答案为：不等式；不等号． 【点睛】本题考查了不等式，熟练掌握不等式的定义是解题关键． 13．当m 时，不等式mx＜7的解集为x＞ 【答案】＜0 【详解】试题解析：∵不等式mx＜7的解集为x＞， ∴m＜0． 故答案为＜0． 14．已知是关于x，y的二元一次方程，则 （填“是”或“不是”）不等式的解． 【答案】不是 【分析】先根据二元一次方程的定义求出k值，从而得k+1的值，再把k+1代入不等式检验，即可求解． 【详解】解：∵是关于x，y的二元一次方程， ∴，解得：k=-5， ∴k+1=-5+1=-4， 把x=k+1=-4代入不等式左边得-4+2=-2, 把x=k+1=-4代入不等式右边得2×(-4)-1=-9, ∵-2>-9， ∴k+1不是不等式的解， 故答案为：不是． 【点睛】本题考查二元一次方程的定义，判定一个数是否是不等式的解，求出k值是解题的关键． 三、解答题 15．判断下列各式哪些是等式，哪些是不等式． (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1)是不等式 (2)是不等式 (3)是不等式 (4)是等式 (5)是代数式 (6)是不等式 【分析】根据不等式的定义对各小题进行逐一判断即可． 【详解】（1）是不等式； （2）是不等式； （3）是不等式； （4）是等式； （5）是代数式； （6）是不等式； 综上，（1）、（2）、（3）、（6）是不等式，（4）是等式． 【点睛】本题考查的是不等式的定义，熟知用不等号连接的式子叫不等式是解答此题的关键． 16．判断下列各式哪些是等式，哪些是不等式，哪些既不是等式也不是不等式． (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)52； (7)． 【答案】(1)既不是等式也不是不等式 (2)是不等式 (3)是等式 (4)是不等式 (5)是等式 (6)既不是等式也不是不等式 (7)是不等式 【分析】本题主要考查不等式的定义，掌握等式和不等式的定义是解题的关键．根据所学知识，可知：含有等号的式子叫做等式，用不等号连接的式子叫做不等式，根据上述定义，找出用等号和不等号连接的式子即可找出等式和不等式，进而找出既不是等式也不是不等式的式子． 【详解】（1）解：既不是等式也不是不等式； （2）解：是不等式； （3）解：是等式； （4）解：是不等式； （5）解：是等式； （6）解：52既不是等式也不是不等式 （7）解：是不等式． 17．若，比较与的大小，并说明理由． 【答案】，理由详见解析． 【分析】本题考查了不等式的性质：①把不等式的两边都加(或减去)同一个整式，不等号的方向不变；②不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变；③不等式两边都乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．根据不等式的性质解答即可． 【详解】解：， 理由：∵， ∴， ∴． 18．我们知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，而，于是可用来表示的小数部分，根据以上信息回答下列问题： (1)的小数部分为______，的小数部分为______； (2)若m是的整数部分，n是小数部分，求的值； (3)已知，其中是整数，请直接写出的平方根． 【答案】(1)， (2)3 (3) 【分析】（1）由得到的小数部分为，由得到，则，即可得的小数部分为； （2）由，m是的整数部分，则．由，n是的小数部分得到．即可得到的值； （3）先求出，根据，其中是整数，，得到，得到，根据平方根的定义得到答案即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴的小数部分为， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的小数部分为； 故答案为：， （2）∵，m是的整数部分， ∴． ∵，n是的小数部分， ∴． ∴， ∴的值为3． （3）∵， ∴， ∴， ∴， ∵，其中是整数， ∴， ∴， ∴的平方根是． 【点睛】此题主要考查了无理数的估算，不等式的性质，熟练掌握无理数的估算是解题的关键． 19．先阅读下面的解题过程，再解题． 已知，试比较与的大小． 解：因为，① 所以，② 故．③ (1)上述解题过程中，从步骤________开始出现错误； (2)请写出正确的解题过程． 【答案】(1)② (2)-2022a＋1＜-2022b＋1 【分析】（1）由题意a＞b，不等式两边乘以负数，不等式号改变，故②错误； （2）根据不等式的性质，不等式两边同乘以一个负号，不等号方向要发生改变，来求解． 【详解】（1）由题意得②错误， 根据不等式两边乘以负数，不等式号改变即可判断； 故答案为：②； （2）因为， 所以-2022a＜-2022b， 故-2022a＋1＜-2022b＋1． 【点睛】此题主要考查了不等式的解法，熟知不等式的性质是解题的关键． 20．用不等式表示： （1）与5的和是正数； （2）与2的差是负数； （3）与15的和小于27； （4）与12的差大于； （5）的4倍大于或等于8； （6）的一半小于或等于3； （7）与的和不小于0； （8）与的差不大于． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8） 【分析】根据语句直接列式即可． 【详解】解：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）． 【点睛】此题考查列不等式，正确理解题目中的和、差、倍、分是解题的关键． 21．整数有一个很常用的性质，叫做离散性．意思是说若两个整数a，b满足，则，或者说，即两个不同整数的差的绝对值至少为1． 已知正整数a，b，c，d，e，f满足，． 试解决问题： (1)证明：； (2)． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 【分析】本题考查了因式分解的应用，关键是根据因式分解得出不等式解答． （1）根据因式分解得出不等式，进而解答即可； （2）根据不等式的性质和比例性质解答即可． 【详解】（1）证明：，，，，都是正整数， ， ， ． （2）由（1）得，， ，， ， ， ， . 22．按照下列条件，根据不等式的基本性质，写出成立的不等式． (1)，两边同加上y． (2)，两边同乘． (3)，两边同除以． (4)，两边同加上，再同除以7． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)． 【分析】（1）根据不等式的基本性质：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变，即可得到答案； （2）根据不等式的基本性质：不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，即可得到答案； （3）根据不等式的基本性质：不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，即可得到答案； （4）根据不等式的基本性质：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变，不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，即可得到答案． 【详解】（1）解：根据不等式的基本性质，不等式两边同时加上，可得：； （2）解：根据不等式的基本性质，不等式两边同时乘，可得； （3）解：根据不等式的基本性质，不等式两边同时除以，可得：； （4）解：根据不等式的基本性质，不等式两边同时加上，可得，再同时除以7，可得：． 【点睛】本题考查了不等式的基本性质，熟练掌握不等式的基本性质是解题关键． 23．（1）计算：． （2）下面是小明同学解不等式的过程，请认真阅读并完成相应任务． 解：第一步 第二步 第三步 第四步 第五步 任务一：填空： ①以上解题过程中，第二步是依据______________（运算律）进行变形的； ②第__________步开始出现错误，这一步错误的原因是________________； 任务二：请直接写出该不等式的正确解集． 【答案】（1）6；（2）任务一：①乘法分配律（或分配律）；②五；不等式两边都除以－5，不等号的方向没有改变（或不符合不等式的性质3）；任务二： 【分析】（1）根据实数的运算法则计算即可； （2）根据不等式的性质3判断并计算即可． 【详解】（1）解：原式 ． （2）①乘法分配律（或分配律） ②五  不等式两边都除以－5，不等号的方向没有改变（或不符合不等式的性质3）； 任务二：不等式两边都除以－5，改变不等号的方向得：． 【点睛】本题主要考查实数的运算，不等式的性质等知识点，熟练掌握实数的运算法则以及不等式的性质是解题关键． 2 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第03讲 不等式及其基本性质 课程标准 学习目标 1不等式的概念 2不等式的性质 3在数轴上表示不等式的解集 1、会用不等式描述现实世界中的不等关系； 2、能灵活运用不等式基本性质1将不等式进行变形；过程与方法 通过具体不等关系的分析，让学生感受到不等式是刻画现实世界的有效模型，再经过学生的操作，归纳得出不等式性质1,并能灵活运用此性质对不等式进行变形. 【重点】不等式的概念和基本性质 【难点】简单的不等式变形. 知识点01不等式的概念 （1）不等式的概念：用“＞”或“＜”号表示大小关系的式子，叫做不等式，用“≠”号表示不等关系的式子也是不等式． （2）凡是用不等号连接的式子都叫做不等式．常用的不等号有“＜”、“＞”、“≤”、“≥”、“≠”．另外，不等式中可含未知数，也可不含未知数． 【即学即练1】 1．某日我市最高气温是，最低气温是，则当天气温的变化范围是　 　． 【即学即练2】 2．（2022春•滁州期末）“与的2倍的和是正数”用不等式可表示为 　　． 【即学即练3】 3．（2023七年级下·全国·专题练习）下列式子中哪些是等式？哪些是不等式？ ①；②；③；④；⑤；⑥． 知识点02不等式的性质 （1）不等式的基本性质 ①不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变，即： 若a＞b，那么a±m＞b±m； ②不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，即： 若a＞b，且m＞0，那么am＞bm或＞； ③不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，即： 若a＞b，且m＜0，那么am＜bm或＜； （2）不等式的变形：①两边都加、减同一个数，具体体现为“移项”，此时不等号方向不变，但移项要变号；②两边都乘、除同一个数，要注意只有乘、除负数时，不等号方向才改变． 【规律方法】 1．应用不等式的性质应注意的问题：在不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数时，一定要改变不等号的方向；当不等式的两边要乘以（或除以）含有字母的数时，一定要对字母是否大于0进行分类讨论． 2．不等式的传递性：若a＞b，b＞c，则a＞c． 【即学即练1】 4．若，则下列不等式不成立的是（　　） A． B． C． D． 【即学即练2】 5．（23-24七年级下·安徽阜阳·阶段练习）若不等式两边同时除以，得，则m的取值范围是 ． 【即学即练3】 6．（23-24七年级下·安徽滁州·阶段练习）先阅读下面的解题过程，再解题． 已知，试比较与的大小． 解：因为，① 所以，② 故．③ (1)上述解题过程中，从步骤_______开始出现错误； (2)请写出正确的解题过程． 知识点03在数轴上表示不等式的解集 用数轴表示不等式的解集时，要注意“两定”： 一是定界点，一般在数轴上只标出原点和界点即可．定边界点时要注意，点是实心还是空心，若边界点含于解集为实心点，不含于解集即为空心点； 二是定方向，定方向的原则是：“小于向左，大于向右”． 【规律方法】不等式解集的验证方法 某不等式求得的解集为x＞a，其验证方法可以先将a代入原不等式，则两边相等，其次在x＞a的范围内取一个数代入原不等式，则原不等式成立． 【即学即练1】 7．不等式 的解集表示在数轴上是（　　） A． B． C． D． 【即学即练2】 8．某个关于x的不等式的解集在数轴上的表示如图所示，这个不等式的解集是　 　． 9．解不等式≥1，并把它的解集在数轴上表示出来. 题型01 不等式定义 1．（22-23七年级下·安徽安庆·阶段练习）某品牌酱油的包装上标注了“氨基酸态氮克/100毫升”，它的含义是（    ） A．每100毫升酱油所含氨基酸态氮1.2克 B．每100毫升酱油所含氨基酸态氮高于1.2克 C．每100毫升酱油所含氨基酸态氮不低于1.2克 D．每100毫升酱油所含氨基酸态氮不超过1.2克 2．（21-22七年级下·安徽滁州·期末）“x与y的2倍的和是正数”用不等式可以表示为 ． 3．（23-24七年级下·全国·课后作业）判断下列各式哪些是等式，哪些是不等式，哪些既不是等式也不是不等式． (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)52； (7)． 题型02 不等式的解集 4．（21-22七年级下·安徽亳州·阶段练习）下列解集中，包括2的是（    ） A． B． C． D． 5．（23-24七年级下·全国·单元测试）如图，小童爸爸开货车走右侧车道，建议车速为 ． 6．（22-23七年级下·全国·假期作业）下列各式哪些是不等式2(2x+1)＞25的解？哪些不是？ (1)x=1． (2)x=3． (3)x=10． (4)x=12． 题型03 不等式的性质 7．（23-24七年级下·安徽六安·阶段练习）下列说法中正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，且，则 D．若，则 8．（23-24七年级下·安徽合肥·期中）若，且，，设， （1）用只含有的代数式表示，则 ； （2）t的取值范围为 ． 9．（23-24七年级下·安徽安庆·阶段练习）【阅读材料】： “已知均为非负数，且满足，求的范围”，有如下解法： ∵， ∴， ∵，是非负数， ∴即， ∴， ∵， ∴， ∴． 【回答问题】：已知，，． (1)试确定的取值范围； (2)求出的取值范围． 一、单选题 1．已知，则下列结论不成立的是（    ） A． B． C． D． 2．已知，则下列不等式成立的是（    ） A．- B． C． D． 3．已知，则下列各式中，错误的是（    ） A． B． C． D． 4．若，则下列各式中错误的是（    ） A． B． C． D． 5．若，则下列式子中正确的是（    ） A． B． C． D． 6．下列说法不一定成立的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 7．估计+4的值（    ） A．在5和6之间 B．在6和7之间 C．在7和8之间 D．在8和9之间 8．已知关于x、y的二元一次方程组，给出下列说法：①若x与y互为相反数，则m=2；②若x=y，则m=﹣；③若x+ y>﹣，则m的最大整数值为4.其中正确的有(   ) A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 9．已知a＞b，则下列不等式变形正确的是（    ） A．－2a＞－2b B．a＋3＞b＋3 C． D．ac＞bc 10．已知实数满足，则下列结论不正确的是（    ） A． B． C．若，则 D．若，则 二、填空题 11．已知，则 （填“”“”或“”） 12．用符号“”（或“”），“”（或“”），“”连接而成的数学式子，叫做 ．这些用来连接的符号统称 ． 13．当m 时，不等式mx＜7的解集为x＞ 14．已知是关于x，y的二元一次方程，则 （填“是”或“不是”）不等式的解． 三、解答题 15．判断下列各式哪些是等式，哪些是不等式． (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 16．判断下列各式哪些是等式，哪些是不等式，哪些既不是等式也不是不等式． (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)52； (7)． 17．若，比较与的大小，并说明理由． 18．我们知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，而，于是可用来表示的小数部分，根据以上信息回答下列问题： (1)的小数部分为______，的小数部分为______； (2)若m是的整数部分，n是小数部分，求的值； (3)已知，其中是整数，请直接写出的平方根． 19．先阅读下面的解题过程，再解题． 已知，试比较与的大小． 解：因为，① 所以，② 故．③ (1)上述解题过程中，从步骤________开始出现错误； (2)请写出正确的解题过程． 20．用不等式表示： （1）与5的和是正数； （2）与2的差是负数； （3）与15的和小于27； （4）与12的差大于； （5）的4倍大于或等于8； （6）的一半小于或等于3； （7）与的和不小于0； （8）与的差不大于． 21．整数有一个很常用的性质，叫做离散性．意思是说若两个整数a，b满足，则，或者说，即两个不同整数的差的绝对值至少为1． 已知正整数a，b，c，d，e，f满足，． 试解决问题： (1)证明：； (2)． 22．按照下列条件，根据不等式的基本性质，写出成立的不等式． (1)，两边同加上y． (2)，两边同乘． (3)，两边同除以． (4)，两边同加上，再同除以7． 23．（1）计算：． （2）下面是小明同学解不等式的过程，请认真阅读并完成相应任务． 解：第一步 第二步 第三步 第四步 第五步 任务一：填空： ①以上解题过程中，第二步是依据______________（运算律）进行变形的； ②第__________步开始出现错误，这一步错误的原因是________________； 任务二：请直接写出该不等式的正确解集． 2 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$