北京市怀柔区2024-2025学年高二上学期期末质量检测数学试题

怀柔区2024一2025学年度第一学期高二质量检测 数 学 注意事项： 1.考生要认真填写姓名和考号 2.本试卷分第一部分（选择题）和第二部分（非选择题），共150分.考试时间120分钟. 3.试题所有答案必须填涂或书写在答题卡的对应位置，在试卷上作答无效.第一部分必须用 2B铅笔作答：第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答. 4,考试结束后，考生应将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回. 第一部分。选择题（共40分） 一、选择题（共10道小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求 的一项.) 1.已知直线的倾斜角为60°，且过点P(0,1),则直线的方程为 A.y-1 B.y-5z+l C.y=√3x-1 D.y=√3x+1 2.抛物线x2=4y的焦点到准线的距离等于 A.1 B.2 C.4 D.8 3.已知等比数列{an},a1=1,a4=一8，则公比q等于 A-司 B C.-2 D.2 4.若直线x+y一a=0是圆x2+y2一2x十6y+1=0的一条对称轴，则a值为 A.-2 B.2 C.-4 D.4 5.若直线4x+2y一1=0与直线4x十my=0平行，则两平行线间的距离 A.25 35 5 B. c停 n得 6.已知直线l1的一个方向向量为元=（一2,1,3），直线l2的一个方向向量为m=(2,一1，)，若 l∥l2,则t值为 A.-3 B.1 c号 7.双曲线C需一苦-1的右焦点F到其渐近线的距离为 A.4 B.3 C47 5 D.37 5 高二数学第1页（共4页） 8“0<m<2”是“方程需+示兰-1表示焦点在：轴上的双曲线”的 3y2 A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 9.金刚石是天然存在的最硬的物质，这是因为金刚石的碳原子在空间中的排列方式决定的.如 图1，组成金刚石的每一个碳原子，都与其相邻的4个碳原子以完全相同的方式连接.从立体 几何的角度来看，可以认为4个碳原子分布在一个所有棱长都相等的正三棱锥的4个顶点 处，而中间的那个碳原子处于与这4个碳原子距离都相等的位置，如图2所示.即图2中AE =BE=CE=DE,则∠BEC的余弦值为 图1 图2 A. 16 c-号 D.- 10.已知数列{an}的通项公式an=n2一2an,则根据下列说法选出正确答案是 ①若a=一，则数列。)的前n项和S。=1一n市： ②若a=之，数列{a,}的前n项和为T…则T。是递增数列： ③若数列{an}是递增数列，则a∈(-∞，l]. A.①② B.②③ C.①③ D.①②③ 第二部分。 非选择题（共110分） 二、填空题（共5道小题，每小题5分，共25分.） 11.以(2,1)为圆心且与x轴相切的圆的标准方程 12.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,若a2=一3，a3十a,=一3，则an= S。的最小值为 13.若双曲线的离心率为√2，写出一个满足条件的双曲线方程 14.已知椭圆E:号+y=1的左右焦点分别是F,F,点P在椭圆上，则1PF,+1PF,1= ;若PF1·PF≤0，则点P的横坐标的取值范围是 高二数学第2页（共4页） 15.边长为1的正方体ABD-AB,CD中，E,F,G分别为AA,CC,B,C的中点，H为正 方体内的一个动点（包含边界），且满足BH=1,则下列选项中所有正确结论的序号是 ①线段BH与GF无交点： ②平面G截正方体所得到的截面图形面积为3华。 ⑧直线BH与平面EFG所成角为： ①在平面EFG上存在点H,使得BH⊥平面EFG. 三、解答题（共6道小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.） 16.(本小题13分)已知圆C:x2+(y-2)2=4,直线1：.x+y一1=0. (I)求过圆心且与直线（垂直的直线方程； (Ⅱ)直线1与圆C交于A,B两点，求△ABC的面积. 17.(本小题13分)如图，已知正方体ABCD一ABCD1,边长为2. (I)证明：BD⊥AC (Ⅱ)求二面角A,一BD一C的余弦值. 18.(本小题15分)已知等差数列(an}的前n项和为Sm,且a3十a1=12,S=25 (I)求数列(an}的通项公式； (Ⅱ)数列{b.)的前n项和为Tm,且满足b=2a1,从下列三个条件中任选一个作为已知，求数列 {bn)的通项公式及数列{an十bn}的前n项和Kn 条件①b.+1=3hni 条件②{bn}的前n项和为Tm=3”一1； 条件③log受=a.一 高二数学第3页（共4页） 19.(本小题14分)已知抛物线C:y2=2pr(p>0)的焦点为F,且经过点M(1,一2). (1)求抛物线C的标准方程、焦点F坐标及准线方程： (I)抛物线C上一点V,若VF=6,求N点的坐标： (Ⅲ)直线1：a=my+1与抛物线C交于A、B两点，若△以XO为坐标原点)的面积为4，求m值. 20.(本小题15分)如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PDC⊥平面ABCD,BC⊥DC,AB//DC, E为PA中点，PD=DC=BC=1,PC=√2，AB=2 (1)求证：DE/平面PBC (Ⅱ)求直线DE与平面PAB所成角的正弦值： (Ⅲ)在线段DP上是否存在点Q,使得PB//平面ACQ, 若存在，求出器的值：若不存在，请说明理由。 21.(本小题15分已知椭圆E:号+芳=1>6>0)，左右焦点为F,F,上顶点为A,△AF,R, 为正三角形，点(1，一多)在椭圆上，过B(与x轴不重合)的直线与椭圆E交于M,N两点 (I)求椭圆E的方程及离心率； (Ⅱ)在x轴上是否存在定点P(与F,不重合)，使得点F,到直线PM,PN的距离总相等，若存 在，求出点P坐标；若不存在，说明理由. 高二数学第4页（共4页） 怀柔区20242025学年度第一学期高二质量检测 数学试题答案 2025.1 一 选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分. 题号 (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) 答案 D B A D A D A 二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分. 题号 (11) (12) (13) (14) (15) 答案 (x-2)4(y-1)=l am-5;-10 等轴双曲线 2W5; 66 22 ①② 注：1.12题：第一空2分，第二空3分。 2.14题：第-空2分，第二空3分。 3.15题：选对-个2分，选对两个5分，多选不给分。 三、解答题：本题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程 16.(本小题13分)已知圆C:x4(y-2)2=4,直线l:x+y-1=0. (I)求过圆心且与直线！垂直的直线方程： (Ⅱ)直线I与圆C交于A,B两点，求△BC的面积. 【解析】 (1)由圆C:x+(-2)2=4可知圆心坐标(0,2) 一1分 由直线/：x+y1=0可知直线的斜率为-1 -2分 若两直线垂直，则直线斜率为1 一4分 .直线方程：y=x2 (或xy+2-0) —6分 (II)由圆C:x+(y-2)2=4可知圆心坐标(0,2)，半径为2 一-7分 圆心到直线距高d=位，++C_山互 42+B2 V22 —10分（公式2分，结论1分） 1B2--24-= —12分（公式1分，结论1分） 2 -13分 17.(本小题13分)如图，已知正方体ABCD-AB1CD1,边长为2. (I)证明：BD⊥AC (Ⅱ)求二面角A-BD-C的余弦值， 【解析】方法一： (I)连接AC,设AC∩BD=O,在正方形ABCD中，AC⊥BD一-J分 :在正方体ABCD-AB1CD1中AA1I平面ABCD,且BDC平面ABCD AAI⊥BD -3分 :AA,C平面A,AC,ACC平面AAC,且AA,∩AC=A BD⊥平面A,AC 一5分 'A,Cc平面A,AC ∴BDLAIC —6分 用三垂线定理证明给分 (I)连接A1O,C0 '△BCD中，BC=DC,O为BD的中点 CO⊥BD 一-一一7分 4 在正方体ABCD-ABCD1,AD=AB ,在△4BD中AO⊥BD 一8分 ∠A,OC即为二面角的平面角 一-9分 :在△40C中，0C=V2,40=V6,4C=2W3 -11分 ∴由余弦定理可s∠40c=402+0C2-4C2.- 240.0C 3 二面角A1-BDc的余弦值- 3 一13分 方法二：(I)在正方体ABCD-A,B,C,D,中，DD,⊥D,DD,⊥DC,D⊥DC.如图建系： 一1分 D(0,0,0),A(2,0,0),A(2,0,2),B(2,2,0),C(0,2,0) 一2分 ∴.DB=(2,2,0),AC=(2,-2,2) 一4分 DB·A1C=2,2,0)(2,-2,2)=0 —5分 ·DB⊥AC ——6分 (Ⅱ)平面BCD⊥z轴，所以平面BCD的法向量n1=(0,0,) —-7分 设平面ABD的法向量n2=(名，y,z) DA1=(2,0,2),DB=(2,2,0) DA2=2x+2z=0 令x1,则y=-1,2=-1即n2=0-1,-1) -10分 DB,n2=2x+2y=0 .co1 一一12分 Inln21 33 二面角A-BD-C的平面角为钝角，其余弦值-月 13分 2 18.(本小题15分)已知等差数列{4，}的前n项和为S.,且a+a=12,S,=25 (I)求数列{包}的通项公式： (I)数列色}的前如项和为T,且满足4=241，从下列三个条件中任选一个作为已知，求数列色.}的通项 公式及数列{白。+b,}的前n项和K 条件①b36； 条件@色.}的前项和为T,=3°-1： 条件国1og:2 =4- 【解析】 (I)在等差数列{A)中 a3+a4=2a+5d=12 (一个方程2分) S,=5a+10d=25 4分 a=1,d=2 5分 ∴.0n=2n-1 —6分 (Ⅱ)选条件① b,=2a,-2 —7分 b=3b, 即b=3 数列色，}是以2为首项，3为公比的等比数列。—9分 b。 b。=2×3-时 —11分 (6通项公式，等比数列的证明完成一个2分，两个3分) 数列{ab.}的前n项和 K.=a1+b+a2+b2+a3+6+---+an+b. =(a1+a2+a3+--+a)+(6+b2+b3+--+bn) --12分 =a+o-d+5-g】 ------14分 2 1-g =n2+3-1 —15分 选条件②b,=2a2 b,J的前n项和为T,=3”-1 b,-T,=2 一-7分 b.=T。-T=(3-1)-(31-1)=2×3 —一8分 n=1时，b,2×32 b,=2×3 —-9分 ,64=2x30 6.2x3阿=3 数列伍，}是以？为首项，3为公比的等比数列， 11分 数列{a,b.」的前n项和 3 K。=a+6+a2+b2+a]+6+--+a。+b =(a1+a2+a3+--+a)+(6+b2+b3+--+bn】 --12分 =(a+-1d)+bia-" 2 1-9 ------14分（b的前n项和可以直接代已知) =n2+3"-1 一--15分 选条件国 b-2a=2 yog2=a-aea- 一7分 受=36,2xg 9分 b=2×39 b,2×3m=3 数列色，}是以2为首项，3为公比的等比数列。 一一11分 数列{a,b,)的前n项和 K。=a1+6+a2+b2+a3++---+an+bn =(a1+a2+a3+--+an)+(6+52+b3+-+bn) --12分 =(a+0-d+b-2 ----4----14分 2 1-9 =n2+30-1 —15分 19.（本小题14分)已知抛物线C:y=2px(p>0)的焦点为F,且经过点M(1,-2) (I)求抛物线C的标准方程、焦点F坐标及准线方程： (Ⅱ)抛物线C上一点N,若NF=6,求N点的坐标： (Ⅲ)直线：x=my+1与抛物线C交于A、B两点，若△4B0(0为坐标原点)的面积为4，求m值。 【解析】 (I):抛物线C:y=2px(p>0)经过点M(1,-2) .4=2P即P=2 :抛物线C:y2=4x —2分 焦点F(1,0) —3分 准线方程：x=-1 —4分 (Ⅱ)由N向准线x=-1引垂线，垂足为N 若|NP=6,由抛物线定义可知：N=N,=6 —5分 且准线方程：x三-1 xw=5,代入抛物线方程得到y2=20 1分 y=t2W5即N5,2W5) (开方少一解扣一分) —8分 ()方法一 1红+ y m4x 代入消去得到y-4网-4=0 △H16m2+16>0 9分 设Any,B(G 则九+为=4m,为=4 —10分 5aag=之l0rI,+0FI⅓10rI⅓-%l 2,+%-4%=i+i6=2wre4 …3分 m=士万 —14分 方法二： x=町+l y2.4x 代入消去x得到y2-4泗-4.0 △a16m2+16>0 一一9分 设A(,y,B。y 则1+2=4物，为为=4 —10分 =V0+m2+2-4为-V0+mX06m2+16-40+m2 11分 气 12分 5u--0+的4 18分 m=万 14分 20.(本小题15分)如图，在四枝锥P-ABCD中，平面DCL平面ABCD,BCLDC,AB/DC,E为PA中点， PD-DC=BC=1,PC2,AB-2 (【)求证：DE平面BC (且)求庭线DE与平面PAB所成角的正弦值： E (田)在线段DP上是否存在点Q,使得PB/平面AC0, D 存在，求由D巴的值，若不存在，销说明理由。 DP 【鄉折】 (1)敢PF的中点F,速接亚，FC 因为E,F分别为P队.PB的中点，所以△PAB中，E即AB,EF=AB 底面ABCD中AB=2,DC=L,AB/心C,AB=DG “.FDC,F=DC :四边形EFCD为平行四边形 —艺分 .DE//PC ,FCc平面PBC,D吧a平面阳C D/∥平面PBC (百)取A由的中点付，连接N -.NB//DC.NB=DC :四边形NBCD为平行四边形 .N/BC又BC⊥DC ..DN I DC .:平面PDC⊥平面ABCD.且平苗PDC0平面ABCD-DC PD DC=1,PC2 ..PD+DCi PC .PD DC ∴.PD⊥面ABCD 如狃系 6分 A-1m1.区号7岁 .PA✉0-L-0A.02. 丽岁 设乎面P人B物神羞a久，) P-0ax-y…20 两a0A) 18-n52y80 -—8分 oo5<五Di .DE I口ID5J 直线DB与平間AB所求角为9，则蜘。 —10分 3 (田)兢段PD上存在点Q,使得PB/平园ACQ,避由如下： 设Q(0.0.c) —11分 设平面A00的怯向量m=(s,y,)AC=(-120),C0-(0.-1) 「40丽=-x+2y=0 m-(2c,c) 13分 cQm-y+a0 :PB/平面ACQ .PB⊥m 14分 即：丽.a-0u-0-0ce0-2z*6-00片 :存在Q点， D0_时P阳/平面AC0 DP 3 15分 6