专题17.4 一次函数的性质【十大题型】-2024-2025学年八年级数学下册举一反三系列（华东师大版）

专题17.4 一次函数的性质【十大题型】 【华东师大版】 【题型1 确定一次函数经过的象限】 1 【题型2 确定一次函数的增减性】 2 【题型3 由一次函数经过的象限求字母的取值范围】 2 【题型4 由一次函数的增减性求字母的取值范围】 3 【题型5 比较一次函数值的大小】 3 【题型6 一次函数中的对称性问题】 4 【题型7 由两直线的位置关系求解析式】 5 【题型8 两直线的相交问题】 7 【题型9 由一次函数解决最值问题】 8 【题型10 一次函数与几何图形的综合运用】 9 知识点1：一次函数的图象与性质 一次函数 y=kx+b（k、b是常数，k≠0 ) 性质 k＞0时，y随x的增大(或减小)而增大(或减小)； k＜0时，y随x的增大(或减小)而减小(或增大). 直线y=kx+b（k≠0）的位置与k、b符号之间的关系. （1）k>0，b＞0图像经过一、二、三象限； （2）k>0，b＜0图像经过一、三、四象限； （3）k>0，b＝0 图像经过一、三象限； （4）k＜0，b＞0图像经过一、二、四象限； （5）k＜0，b＜0图像经过二、三、四象限； （6）k＜0，b＝0图像经过二、四象限。 【题型1 确定一次函数经过的象限】 【例1】（23-24九年级·上海宝山·期中）如果，，则直线不经过（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式1-1】（23-24九年级·浙江杭州·期中）一次函数的图象一定经过第 象限． 【变式1-2】（23-24九年级·河北唐山·期中）一次函数的图像经过点P，且，则点P的坐标不可能为（   ） A． B． C． D． 【变式1-3】（23-24九年级·四川达州·期中）如果 ab>0， <0 则直线 不经过第 象限； 【题型2 确定一次函数的增减性】 【例2】（23-24九年级·河北石家庄·期中）如图，一个函数的图象由射线BA、线段BC、射线CD组成，其中点A（-2，2），B（1，3），C（2，1），D（6，5），则此函数(    ) A．当时，随的增大而增大 B．当时，随的增大而减小 C．当时，随的增大而增大 D．当时，y随x的增大而减小 【变式2-1】（23-24九年级·吉林长春·期末）下列一次函数中，随的增大而减小的是（　　） A． B． C． D． 【变式2-2】（23-24九年级·安徽蚌埠·期末）在一次函数 的图像上任取不同两点，，则 的正负情况是（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】（2024·浙江杭州·一模）若，分别是一次函数图象上两个不相同的点，记，则W 0．（请用“＞”，“＝”或“＜”填写） 【题型3 由一次函数经过的象限求字母的取值范围】 【例3】（23-24九年级·宁夏银川·期中）如果直线不经过第二象限，那么的取值范围是（   ）． A． B． C． D． 【变式3-1】（23-24九年级·河南驻马店·期中）已知点、，若一次函数的图象与线段有交点，则的取值范围为 ． 【变式3-2】（2024九年级·全国·专题练习）平面直角坐标系中，过点的直线l经过一、二、三象限，若点，，都在直线l上，则下列判断正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式3-3】（23-24九年级·江苏南通·期中）已知过点的直线不经过第四象限，设，则S的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【题型4 由一次函数的增减性求字母的取值范围】 【例4】（23-24九年级·湖南长沙·期中）对某一个函数给出如下定义:若存在实数，对于任意的函数值，都满足，则称这个函数是有界函数，在所有满足条件的中，其最小值称为这个函数的边界值．例如，图中的函数是有界函数，其边界值是1．若函数 (，)的边界值是2，且这个函数的最大值也是2，则的取值范围是 ．    【变式4-1】（2024·山东临沂·模拟预测）若一次函数的函数值y随x的增大而增大，则k值可能是（　　） A．1 B． C． D． 【变式4-2】（2024·浙江宁波·三模）在平面直角坐标系中，当（其中为常数）时．函数的最小值为，则满足条件的的值为（    ） A．－5 B．－2 C． D．－1 【变式4-3】（23-24九年级·福建福州·期末）我是一条直线，很有名气的直线，数学家们给我命名为．在我的图象上有两点，且，，当时，m的取值范围是(    ) A． B． C． D． 【题型5 比较一次函数值的大小】 【例5】（23-24九年级·山东聊城·期末）一次函数的图象上三个点的坐标分别为，，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】（23-24九年级·广西崇左·阶段练习）已知点和点是一次函数图象上的两点，则a b．（填“＞”、“＜”或“＝”） 【变式5-2】（23-24九年级·江西抚州·期中）已知一次函数的图象经过，两点，则 ．（填“”“<”或“=”） 【变式5-3】（23-24九年级·福建厦门·期末）点是一次函数图像上两点，则a b（填“>”、“=”或”<”）． 【题型6 一次函数中的对称性问题】 【例6】（23-24九年级·陕西西安·开学考试）若直线 与直线 关于直线 对称，则 值分别为（   ） A． B． C． D． 【变式6-1】（23-24九年级·福建宁德·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，点在第一象限，若点关于轴的对称点在直线上，则的值为（    ） A．-1 B．1 C．2 D．3 【变式6-2】（23-24九年级·四川成都·期中）如图，在平面直角坐标系中，，直线交轴于，过点A作交轴于点D． (1)求直线和直线的关系式； (2)点M在直线上，且与的面积相等，求点M的坐标． 【变式6-3】（2024·江西南昌·一模）定义：若两个函数的图象关于直线y＝x对称，则称这两个函数互为反函数．请写出函数y＝2x+1的反函数的解析式 ． 知识点2：两直线的位置关系 同一平面直角坐标系中两直线，的位置关系： 的关系 与的关系 与相交 ， 与相交于y轴上的一点 ， 与平行 【题型7 由两直线的位置关系求解析式】 【例7】（23-24九年级·福建南平·期末）探究活动一： 如图1，某数学兴趣小组在研究直线上点的坐标规律时，发现在直线上的三点，，，有，，，兴趣小组提出猜想：若直线上任意两点， ，则是定值．通过多次验证和查阅资料得知，猜想成立，是定值，并且是直线中的，叫做这条直线的斜率． （1）请你应用以上规律直接写出过，两点的直线的斜率______． 探究活动二： 数学兴趣小组继续深入研究直线的“斜率”问题，得到正确结论：当任意两条不和坐标轴平行的直线互相垂直时，这两条直线的斜率之积是定值． （2）如图2，直线与直线垂直于点，且，，．请求出直线与直线的斜率之积．并写出你发现的结论． 综合应用： （3）如图3，，，请结合探究活动二的结论，求出过点且与直线垂直的直线的解析式． 【变式7-1】（23-24九年级·辽宁鞍山·阶段练习）函数的图象平行于直线，且交y轴于点，则其函数表达式是 ． 【变式7-2】（2024·河北石家庄·一模）某个一次函数的图象与直线平行，与x轴，y轴的交点分别为A，B，并且过点，则在线段上（包括点A，B），横、纵坐标都是整数的点有（    ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【变式7-3】（23-24九年级·辽宁葫芦岛·期末）数学精英小组利用平面直角坐标系在研究直线上点的坐标规律时，发现直线上的任意三点，，（），满足，经小组查阅资料，再经请教老师验证，以上结论是成立的，即直线上任意两点的坐标，，（），都有．例如：，为直线上两点，则． (1)已知直线经过，两点，请直接写出______． (2)如图，直线于点，直线，分别交轴于，两点，，，三点坐标如图所示．请用上述方法求出的值． 【题型8 两直线的相交问题】 【例8】（23-24九年级·四川自贡·阶段练习）已知一次函数的图像经过点，且与正比例函数交于点，求点B 的坐标及一次函数的解析式． 【变式8-1】（23-24九年级·辽宁沈阳·期中）如图，已知直线和分别交轴于点，，两直线交于点． （1）求，的值； （2）求的面积． 【变式8-2】（23-24九年级·四川达州·期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y1=−x+2与x轴、y轴分别相交于点A和点B，直线y2=kx+b(k≠0)经过点C(1，0)且与线段AB交于点P，并把△ABO分成两部分． (1)求A、 B的坐标； (2)求△ABO的面积； (3)若△ABO被直线CP分成的两部分的面积相等，求点P的坐标及直线CP的函数表达式．    【变式8-3】（23-24九年级·安徽芜湖·阶段练习）如图，已知直线分别与轴，轴交于，两点，直线分别与轴，轴交于点，点，两直线的交点为．    (1)求，，的值． (2)连接，试说明．（表示几何图形的面积）． (3)若轴上存在点，使得（表示几何图形的面积），求出此时点的坐标． 【题型9 由一次函数解决最值问题】 【例9】（23-24九年级·四川内江·期中）对于几个实数a、b、c，我们规定符号表示a、b、c中较小的数，如：．按照这个规定，已知函数：，则y的最大值是 ． 【变式9-1】（2024·四川南充·二模）如图，直线与直线交于点，与轴交于点，点在线段上，点在直线上，则的最小值为 ． 【变式9-2】（23-24九年级·北京海淀·期中）在平面直角坐标系中，已知点，，．    (1)若一次函数的图象经过已知三个点中的某一点，求b的最大值； (2)当时，在图中用阴影表示直线运动的区域，并判断在点M，N，P中直线不可能经过的点是　　． 【变式9-3】（23-24九年级·天津蓟州·期末）如图，直线与x轴交于点A，直线与x轴交于点，直线与直线相交于点M．    (1)求直线的解析式及点M的坐标； (2)点P是直线上的一点． ①当时，求点P的坐标； ②点Q是x轴上一动点，在①的条件下，当取最小值时，直接写出点Q的坐标． 【题型10 一次函数与几何图形的综合运用】 【例10】（23-24九年级·河南商丘·期中）如图，在平面直角坐标系中，三角形的顶点坐标分别为，，． (1)求三角形的面积． (2)若点 P 的坐标为(m，0)， ①请直接写出线段的长为 ；(用含m的式子表示) ②当 时，求m的值． (3)若交y轴于点 M，求点 M的坐标． 【变式10-1】（2024·陕西西安·一模）如图，在平面直角坐标系中放置三个长为2，宽为1的长方形，已知一次函数y＝kx+b的图象经过点A与点B，则k与b的值为（    ） A．k，b B．k，b C．k，b D．k，b 【变式10-2】（2024·陕西·一模）问题探究： （1）将一直角梯形放在如图1所示的正方形网格（图中每个小正方形的边长均为一个单位长度）中，梯形的顶点均在格点上，请你在图中作一条直线l，使它将梯形分成面积相等的两部分；（画出一种即可） （2）如图2，，点A、D在上，点B、C在上，连接、，交于点O，连接、．试说明：； 问题解决： （3）如图3，在平面直角坐标系中，不规则五边形是李大爷家的一块土地的示意图，顶点B在y轴正半轴上，边在x轴正半轴上，平行于x轴，的中点P处有一口灌溉水井，现结合实际耕种需求，需在上找一点Q，使将这块土地的面积分为相等的两部分，用于耕种两种不同的作物，并沿修一条灌溉水渠（水渠的宽度忽略不计）． ①请你利用有刻度的直尺在图中画出的位置，并简要说明作图过程； ②若点A的坐标为，，，，，请求出直线的解析式． 【变式10-3】（23-24九年级·山西大同·期末）在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点A的横坐标为a，点A的纵坐标为b，且实数a，b满足．    (1)如图1，求点A的坐标； (2)如图2，过点A作x轴的垂线，点B为垂足．若将点A向右平移10个单位长度，再向下平移8个单位长度可以得到对应点C，连接，，请直接写出点B，C的坐标并求出三角形的面积． (3)在（2）的条件下，记与x轴交点为点D，点P在y轴上，连接，，若三角形的面积与三角形的面积相等，直接写出点P的坐标． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题17.4 一次函数的性质【十大题型】 【华东师大版】 【题型1 确定一次函数经过的象限】 1 【题型2 确定一次函数的增减性】 4 【题型3 由一次函数经过的象限求字母的取值范围】 6 【题型4 由一次函数的增减性求字母的取值范围】 8 【题型5 比较一次函数值的大小】 10 【题型6 一次函数中的对称性问题】 12 【题型7 由两直线的位置关系求解析式】 15 【题型8 两直线的相交问题】 19 【题型9 由一次函数解决最值问题】 23 【题型10 一次函数与几何图形的综合运用】 29 知识点1：一次函数的图象与性质 一次函数 y=kx+b（k、b是常数，k≠0 ) 性质 k＞0时，y随x的增大(或减小)而增大(或减小)； k＜0时，y随x的增大(或减小)而减小(或增大). 直线y=kx+b（k≠0）的位置与k、b符号之间的关系. （1）k>0，b＞0图像经过一、二、三象限； （2）k>0，b＜0图像经过一、三、四象限； （3）k>0，b＝0 图像经过一、三象限； （4）k＜0，b＞0图像经过一、二、四象限； （5）k＜0，b＜0图像经过二、三、四象限； （6）k＜0，b＝0图像经过二、四象限。 【题型1 确定一次函数经过的象限】 【例1】（23-24九年级·上海宝山·期中）如果，，则直线不经过（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】根据，，可以，且同号，从而可以判断一次函数的图象经过哪几个象限，不经过哪个象限，本题得以解决． 【详解】解：∵，， ∴异号，异号， ∴，且同号， ∴， 一次函数的图象经过第一、三、四象限，不经过第二象限． 故选B 【点睛】本题考查一次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答． 【变式1-1】（23-24九年级·浙江杭州·期中）一次函数的图象一定经过第 象限． 【答案】一 【分析】由一次函数的定义可知，故可分类讨论：当和时，分别求出的取值范围，结合一次函数的图象与性质即可解答． 【详解】解：∵该函数为一次函数， ∴，即 分类讨论：①当，即时， ∴， ∴此时该函数图象必经过第一、三象限． 当时，经过第二象限，当时，经过第四象限； ②当，即时， ∴， ∴此时该函数图象经过第一、二、四象限， 综上可知，该函数图象必经过第一象限． 故答案为：一． 【点睛】本题考查一次函数的图象和性质．掌握一次函数，当时，其图象经过第一、二、三象限；当时，其图象经过第一、三、四象限；当时，其图象经过第一、二、四象限；当时，其图象经过第二、三、四象限是解题关键． 【变式1-2】（23-24九年级·河北唐山·期中）一次函数的图像经过点P，且，则点P的坐标不可能为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由，即，则y的值随x值的增大而增大．又因为，所以一次函数的图像经过第一、二、三象限．然后根据选项的点所在的象限即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∴y的值随x值的增大而增大， 又∵， ∴一次函数的图像经过第一、二、三象限． ∵在第四象限， ∴点P的坐标不可能为． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了一次函数的性质、一次函数图像与系数的关系等知识点，由一次函数解析式系数确定一次函数图像的位置是解题的关键． 【变式1-3】（23-24九年级·四川达州·期中）如果 ab>0， <0 则直线 不经过第 象限； 【答案】一 【分析】先根据ab＞0，＜0讨论出a、b、c的符号，进而可得出，的符号，再根据一次函数的图象与系数的关系进行解答即可． 【详解】∵ab＞0，＜0， ∵a、b同号，a、c异号， 当a＞0，b＞0时，c＜0， ∴＞0，＜0， ∴直线y=-x+过二、三、四象限； 当a＜0，b＜0时，c＞0， ∴＞0，＜0， ∴直线过二、三、四象限． ∴这条直线不经过第一象限， 故答案为：一． 【点睛】本题考查的是一次函数的图象与系数的关系，解答此题的关键是根据ab＞0，＜0讨论出a、b、c的符号，进而可得出，的符号． 【题型2 确定一次函数的增减性】 【例2】（23-24九年级·河北石家庄·期中）如图，一个函数的图象由射线BA、线段BC、射线CD组成，其中点A（-2，2），B（1，3），C（2，1），D（6，5），则此函数(    ) A．当时，随的增大而增大 B．当时，随的增大而减小 C．当时，随的增大而增大 D．当时，y随x的增大而减小 【答案】C 【分析】根据函数图象和各点坐标，可得出各段中函数图象的变化情况，即可得答案． 【详解】∵A（-2，2），B（1，3），C（2，1），D（6，5）， ∴由图象可知：当x＜1时，y随x的增大而增大， 当1≤x≤2时，y随x的增大而减小， 当x＞2时，y随x的增大而增大， 故选：C． 【点睛】本题考查分段函数的图象及函数的增减性，正确得出对应的横坐标的取值范围是解题关键． 【变式2-1】（23-24九年级·吉林长春·期末）下列一次函数中，随的增大而减小的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数的性质，根据当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小，据此即可判断求解，掌握一次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：、∵， ∴随的增大而增大，该选项不合题意； 、∵， ∴随的增大而增大，该选项不合题意； 、∵， ∴随的增大而增大，该选项不合题意； 、∵， ∴随的增大而减小，该选项不合题意； 故选：． 【变式2-2】（23-24九年级·安徽蚌埠·期末）在一次函数 的图像上任取不同两点，，则 的正负情况是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数的图像与性质，解题的关键是掌握一次函数的图像与性质．根据一次函数的图像与性质即可求解． 【详解】解： ， 随的增大而减小， 当时，， ， 故选：A． 【变式2-3】（2024·浙江杭州·一模）若，分别是一次函数图象上两个不相同的点，记，则W 0．（请用“＞”，“＝”或“＜”填写） 【答案】＜ 【分析】根据一次函数的性质进行判断即可得到答案． 【详解】解：∵一次函数，随增大而减小， ∴当时，， ∴， ∴， 当时，， ∴， ∴， 故答案为：＜． 【点睛】本题考查一次函数的性质，解题的关键是熟知一次函数的图形性质． 【题型3 由一次函数经过的象限求字母的取值范围】 【例3】（23-24九年级·宁夏银川·期中）如果直线不经过第二象限，那么的取值范围是（   ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数图象的性质，根据图象不经过第二象限可得且，结合不等式的取值方法“同大取大，同小取小，大小小大取中间，大大小小无解”的方法即可求解，掌握一次函数图象的性质，不等式的取值方法是解题的关键． 【详解】解：∵不经过第二象限， ∴，且， ∴， 故选：A 【变式3-1】（23-24九年级·河南驻马店·期中）已知点、，若一次函数的图象与线段有交点，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】把A、B分别代入y＝﹣x+b，分别求得b的值，即可求得b的取值范围． 【详解】解：∵A（﹣1，2），B（3，2）， ∴若过A点，则2＝1+b，解得b＝1， 若过B点，则2＝﹣3+b，解得b＝5， ∴1≤b≤5． 故答案：1≤b≤5． 【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，图象上的点的坐标符合解析式是解题的关键． 【变式3-2】（2024九年级·全国·专题练习）平面直角坐标系中，过点的直线l经过一、二、三象限，若点，，都在直线l上，则下列判断正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数的图象和性质，根据直线l经过第一、二、三象限且过点，得出y随x的增大而增大，则，再根据点在直线l上，得出，即可解答． 【详解】解：∵直线l经过第一、二、三象限且过点， ∴y随x的增大而增大． ∵， ∴， ∴A、B、C均错； ∵点在直线l上， ∴． 故选D． 【变式3-3】（23-24九年级·江苏南通·期中）已知过点的直线不经过第四象限，设，则S的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是一次函数的性质，一次函数图象上点的坐标特征，解一元一次不等式组，以及不等式的性质．掌握一次函数中，当，时函数的图象不经过第四象限是解题的关键． 根据一次函数图象与系数的关系可得，，将点代入，得到，即．由，得出不等式组，解不等式组求出a的范围，再根据不等式的性质即可求出S的取值范围． 【详解】过点的直线不经过第四象限， ，，， ， ，解得：， ， ， ， 即S的取值范围为：， 故选B． 【题型4 由一次函数的增减性求字母的取值范围】 【例4】（23-24九年级·湖南长沙·期中）对某一个函数给出如下定义:若存在实数，对于任意的函数值，都满足，则称这个函数是有界函数，在所有满足条件的中，其最小值称为这个函数的边界值．例如，图中的函数是有界函数，其边界值是1．若函数 (，)的边界值是2，且这个函数的最大值也是2，则的取值范围是 ．    【答案】 【分析】根据函数的增减性、边界值确定a=-1；然后由“函数的最大值也是2”来求b的取值范围． 【详解】解：∵k=-1，y随x的增大而减小， ∴当x=a时，-a+1=2，解得a=-1， 而x=b时，y=-b+1， ∴-2≤-b+1≤2， 且b＞a， ∴-1＜b≤3． 故答案为-1＜b≤3． 【点睛】本题考查了一次函数y=kx+b的性质：k＞0，y随x的增大而增大，函数从左到右上升；k＜0，y随x的增大而减小，函数从左到右下降．由于y=kx+b与y轴交于（0，b），当b＞0时，（0，b）在y轴的正半轴上，直线与y轴交于正半轴；当b＜0时，（0，b）在y轴的负半轴，直线与y轴交于负半轴． 【变式4-1】（2024·山东临沂·模拟预测）若一次函数的函数值y随x的增大而增大，则k值可能是（　　） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一次函数．熟练掌握一次函数的增减性，是解决问题的关键．根据一次函数的增减性质，逐一判断可得答案． 【详解】解：∵一次函数的函数值y随着x的增大而增大， ∴，解得． 所以k的值可以是． 【变式4-2】（2024·浙江宁波·三模）在平面直角坐标系中，当（其中为常数）时．函数的最小值为，则满足条件的的值为（    ） A．－5 B．－2 C． D．－1 【答案】A 【分析】此题考查了一次函数的图象和性质，根据函数解析式得到函数的函数值随着x的增大而增大，根据自变量取值范围即可得到当时，则当时取得最小值，列方程并解方程即可. 【详解】解：∵ ∴函数的函数值随着x的增大而增大， 当时，则当时取得最小值， 即， 解得， 故选：A 【变式4-3】（23-24九年级·福建福州·期末）我是一条直线，很有名气的直线，数学家们给我命名为．在我的图象上有两点，且，，当时，m的取值范围是(    ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征，将，两点坐标代入一次函数解析式，再将两式相减即可解决问题． 【详解】解：将，两点坐标分别代入一次函数解析式得， ， 两式相减得， ， 所以， 因为， 所以， 则， 所以， 则． 故选：A． 【题型5 比较一次函数值的大小】 【例5】（23-24九年级·山东聊城·期末）一次函数的图象上三个点的坐标分别为，，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了根据一次函数的增减性判断函数值的大小．根据一次函数中的可得出y随x的增大而减小，根据可得出． 【详解】解：∵一次函数中的， ∴y随x的增大而减小， ∵， ∴， 故选：C． 【变式5-1】（23-24九年级·广西崇左·阶段练习）已知点和点是一次函数图象上的两点，则a b．（填“＞”、“＜”或“＝”） 【答案】＜ 【分析】把代入一次函数得两个二元一次方程，把两个方程相减，求出的值，进行判断即可． 【详解】解：把代入一次函数得： 得：， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征，解题关键是熟练掌握比较两数大小的几种常用方法． 【变式5-2】（23-24九年级·江西抚州·期中）已知一次函数的图象经过，两点，则 ．（填“”“<”或“=”） 【答案】 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征．根据一次函数图象的增减性进行判断．判断出一次函数的增减性是解题的关键． 【详解】解：∵一次函数中的， ∴该函数图象是直线，且y的值随x的增大而减小， ∵， ∴． 故答案为：． 【变式5-3】（23-24九年级·福建厦门·期末）点是一次函数图像上两点，则a b（填“>”、“=”或”<”）． 【答案】< 【分析】由k=20结合一次函数的性质即可得出该函数为增函数，再结合2＜3即可得出结论． 【详解】解：∵k=， ∴一次函数y随x增大而增大， 同理当y越大时x也越大， ∵2＜3， ∴ab． 故答案为． 【点睛】本题考查了一次函数的性质，解题的关键确定一次函数的增减性． 【题型6 一次函数中的对称性问题】 【例6】（23-24九年级·陕西西安·开学考试）若直线 与直线 关于直线 对称，则 值分别为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是一次函数图象与几何变换，待定系数法求函数解析式，先根据题意得出直线与坐标轴的交点是解决问题的关键． 先求出一次函数与y轴交点关于直线的对称点，代入得到b的值，再求出一次函数与y轴交点关于直线的对称点，代入一次函数，求出k的值即可． 【详解】解：∵一次函数与y轴交点为， ∴点关于直线的对称点为， 把代入直线，可得， 解得， 则， 一次函数与y轴交点为， 关于直线的对称点为， 代入直线，可得， 解得． 故选：C． 【变式6-1】（23-24九年级·福建宁德·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，点在第一象限，若点关于轴的对称点在直线上，则的值为（    ） A．-1 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】根据关于x轴的对称点的坐标特点可得B（2，−m），然后再把B点坐标代入y＝−x＋1可得m的值． 【详解】点A关于x轴的对称点B的坐标为：（2，﹣m）， 将点B的坐标代入直线y＝﹣x+1 得：﹣m＝﹣2+1， 解得：m＝1， 故选：B． 【点睛】此题主要考查了关于x轴对称点的坐标，以及一次函数图象上点的坐标特点，关键是掌握凡是函数图象经过的点必能使解析式左右相等． 【变式6-2】（23-24九年级·四川成都·期中）如图，在平面直角坐标系中，，直线交轴于，过点A作交轴于点D． (1)求直线和直线的关系式； (2)点M在直线上，且与的面积相等，求点M的坐标． 【答案】(1)直线的解析式为：；直线的解析式为： (2)或 【分析】本题考查了一次函数的解析式求解、平行线间的距离处处相等等知识点，掌握待定系数法是解题关键． （1）设直线的解析式为：，将两点代入即可求解；设直线的解析式为：，将点代入即可求解； （2）求出直线的解析式，过点作的平行线，则点M是直线与直线的交点，据此即可求解； 【详解】（1）解：设直线的解析式为：， 则， 解得：， ∴直线的解析式为：， ∵ ∴设直线的解析式为：， 则, 解得： ∴直线的解析式为：， （2）解：如图所示：过点作的平行线， 设直线的解析式为：， 则， 解得：， ∴直线的解析式为：， 则直线的解析式为：， ∵点M在直线上，且与的面积相等， ∴点M是直线与直线的交点 则， 解得： ∴ 点关于点的对称点为： 综上所述：点M的坐标为或 【变式6-3】（2024·江西南昌·一模）定义：若两个函数的图象关于直线y＝x对称，则称这两个函数互为反函数．请写出函数y＝2x+1的反函数的解析式 ． 【答案】y＝x﹣ 【分析】求出函数y＝2x+1与x轴、y轴的交点坐标，再求出其对称的点的坐标，利用待定系数法1求得函数解析式即可． 【详解】y＝2x+1， 当x＝0时，y＝1， 当y＝0时，x＝﹣， 即函数和x轴的交点为（﹣，0），和y轴的交点坐标为（0，1）， 所以两点关于直线y＝x对称的点的坐标分别为（0，﹣）和（1，0）， 设反函数的解析式是y＝kx+b， 代入得：， 解得：k＝，b＝﹣， 即y＝x﹣， 故答案为y＝x﹣． 【点睛】本题考查了用待定系数法求一次函数的解析式，根据题意求得对称点的坐标是解决问题的关键. 知识点2：两直线的位置关系 同一平面直角坐标系中两直线，的位置关系： 的关系 与的关系 与相交 ， 与相交于y轴上的一点 ， 与平行 【题型7 由两直线的位置关系求解析式】 【例7】（23-24九年级·福建南平·期末）探究活动一： 如图1，某数学兴趣小组在研究直线上点的坐标规律时，发现在直线上的三点，，，有，，，兴趣小组提出猜想：若直线上任意两点， ，则是定值．通过多次验证和查阅资料得知，猜想成立，是定值，并且是直线中的，叫做这条直线的斜率． （1）请你应用以上规律直接写出过，两点的直线的斜率______． 探究活动二： 数学兴趣小组继续深入研究直线的“斜率”问题，得到正确结论：当任意两条不和坐标轴平行的直线互相垂直时，这两条直线的斜率之积是定值． （2）如图2，直线与直线垂直于点，且，，．请求出直线与直线的斜率之积．并写出你发现的结论． 综合应用： （3）如图3，，，请结合探究活动二的结论，求出过点且与直线垂直的直线的解析式． 【答案】（1）；（2）-1，当任意两条不和坐标轴平行的直线互相垂直时，这两条直线的斜率之积等于-1；（3） 【分析】（1）直接利用公式计算即可； （2）运用公式分别求出kDE和kDF的值，再计算kDE×kDF=-1； （3）先求直线MN的斜率kMN，根据探究活动二的结论可得直线PQ的斜率kPQ，待定系数法即可求得直线PQ解析式． 【详解】解：（1）根据题意得：． （2）∵，，， ∴，， ∴， 结论：当任意两条不和坐标轴平行的直线互相垂直时，这两条直线的斜率之积等于-1． （3）设过点且与直线垂直的直线为，解析式为， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵直线经过点， ∴，解得． ∴过点且与直线垂直的直线的解析式为． 【点睛】本题主要考查了待定系数法求一次函数解析式，新定义：直线斜率；是一道创新题，引入新定义：直线斜率，理解和掌握直线斜率的概念是解题的关键． 【变式7-1】（23-24九年级·辽宁鞍山·阶段练习）函数的图象平行于直线，且交y轴于点，则其函数表达式是 ． 【答案】 【分析】本题考查了求一次函数解析式，涉及了两直线平行的问题，熟知两直线平行时，k值相等是解题的关键．根据平行直线的解析式求出k值，再把点的坐标代入解析式求出b值即可． 【详解】解：∵函数的图象平行于直线， ∴， ∴交y轴于点， ∴， ∴函数的表达式是， 故答案为：． 【变式7-2】（2024·河北石家庄·一模）某个一次函数的图象与直线平行，与x轴，y轴的交点分别为A，B，并且过点，则在线段上（包括点A，B），横、纵坐标都是整数的点有（    ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的解析式之间的关系．平行线的解析式一次项系数相等，设直线为，将点代入可求直线的解析式，可得点，，再根据、的取值范围求解． 【详解】解：根据题意，设一次函数的解析式为， 由点在该函数图象上，得，解得． 所以，．可得点，． 由，且为整数，取，2，4，6时，对应的是整数． 因此，在线段上（包括点、，横、纵坐标都是整数的点有4个． 故选：B． 【变式7-3】（23-24九年级·辽宁葫芦岛·期末）数学精英小组利用平面直角坐标系在研究直线上点的坐标规律时，发现直线上的任意三点，，（），满足，经小组查阅资料，再经请教老师验证，以上结论是成立的，即直线上任意两点的坐标，，（），都有．例如：，为直线上两点，则． (1)已知直线经过，两点，请直接写出______． (2)如图，直线于点，直线，分别交轴于，两点，，，三点坐标如图所示．请用上述方法求出的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）直接根据求解即可； （2）根据，分别求出k1，k2的值，再代入计算即可 【详解】（1）解：∵A(2,3)，B(4,-2)， ∴k=， 故答案为：； （2）解：∵y1=k1x+b1经过A(2,0)，B(0,4)， ∴k1=， ∵y2=k2x+b2经过A(2,0)，C(0,-1)， ∴k1=， ∴k1k2=-2×=-1． 【点睛】本题考查求一次函数解析式，本题属阅读材料题，理解题目中介绍的解题方法并能灵活运用是解题的关键． 【题型8 两直线的相交问题】 【例8】（23-24九年级·四川自贡·阶段练习）已知一次函数的图像经过点，且与正比例函数交于点，求点B 的坐标及一次函数的解析式． 【答案】， 【分析】本题考查了求一次函数解析式，解题的关键是掌握用待定系数法求一次函数解析式的方法和步骤． 把代入求出m的值，进而得出点B的坐标，把，代入，求出k和b的值，即可得出一次函数解析式． 【详解】解：把代入得：， ∴， 把，代入得： ， 解得：， ∴一次函数解析式为． 【变式8-1】（23-24九年级·辽宁沈阳·期中）如图，已知直线和分别交轴于点，，两直线交于点． （1）求，的值； （2）求的面积． 【答案】（1），；（2）△ABC的面积为2． 【分析】（1）先利用直线求出点C坐标，再利用直线求出m的值． （2）两个函数图象与y轴的交点为A、B，即x=0时，可以求出A、B坐标，即可得出三角形面积． 【详解】解：（1）∵两直线交于点 ∴将代入得：n=-2+3=1 即：C点坐标为：（1,1） 将C（1,1）代入得：m-1=1 即：m=2 故：m=2，n=1． （2）∵当x=0时， ∴A（0,3） 当x=0时， ∴B（0，-1） ∴ 故：△ABC的面积为2． 【点睛】本题属于一次函数的基础题型，根据已知点求出函数解析式，然后利用解析式求出点坐标，并求出三角形面积． 【变式8-2】（23-24九年级·四川达州·期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y1=−x+2与x轴、y轴分别相交于点A和点B，直线y2=kx+b(k≠0)经过点C(1，0)且与线段AB交于点P，并把△ABO分成两部分． (1)求A、 B的坐标； (2)求△ABO的面积； (3)若△ABO被直线CP分成的两部分的面积相等，求点P的坐标及直线CP的函数表达式．    【答案】（1）A(3，0)，B(0，2)；（2）3；（3）P (，)，y=-6x+6 【分析】（1）已知直线y1的解析式，分别令x=0和y=0即可求出A和B的坐标； （2）根据（1）中求出的A和B的坐标，可知OA和OB的长，利用三角形的面积公式即可求出S△ABO； （3）由（2）中的S△ABO，可推出S△APC的面积，求出yp，继而求出点P的坐标，将点C和点P的坐标联立方程组求出k和b的值后即可求出函数解析式． 【详解】解：（1）∵一次函数的解析式为y1=-x+2， 令x=0，得y1=2， ∴B(0，2)， 令y1=0，得x=3， ∴A(3，0)； （2）由（1）知：OA=3，OB=2， ∴S△ABO=OA•OB=×3×2=3； （3）∵S△ABO=×3=，点P在第一象限， ∴S△APC=AC•yp=×(3-1)×yp=， 解得：yp=， 又点P在直线y1上， ∴=-x+2， 解得：x=， ∴P点坐标为(，)， 将点C(1，0)、P(，)代入y=kx+b中，得 ， 解得：． 故可得直线CP的函数表达式为y=-6x+6． 【点睛】本题是一道一次函数综合题，考查了一次函数的性质、三角形的面积公式、待定系数法求解一次函数的解析式等知识点，解题关键是根据S△APC=AC•yp求出点P的纵坐标，难度中等． 【变式8-3】（23-24九年级·安徽芜湖·阶段练习）如图，已知直线分别与轴，轴交于，两点，直线分别与轴，轴交于点，点，两直线的交点为．    (1)求，，的值． (2)连接，试说明．（表示几何图形的面积）． (3)若轴上存在点，使得（表示几何图形的面积），求出此时点的坐标． 【答案】(1)， (2)证明见解析 (3)或 【分析】（1）把代入，求出的值，待定系数法求出的值； （2）求出的坐标，分别求出，即可得出结论； （3）设，利用，列式计算即可． 【详解】（1）解：∵直线和直线的交点为， ∴， ∴； 又直线与坐标轴交于， ∴，解得：； （2）由（1）知：，； 当时，，当时，， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）设，如图，    ∴ ∵， ∴， ∴， ∴或； ∴或． 【点睛】本题考查一次函数的综合应用，熟练的利用待定系数法求出函数解析式，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键． 【题型9 由一次函数解决最值问题】 【例9】（23-24九年级·四川内江·期中）对于几个实数a、b、c，我们规定符号表示a、b、c中较小的数，如：．按照这个规定，已知函数：，则y的最大值是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了新定义，一次函数的性质，求不等式组的解集，分3种情况列出不等式组求出x的取值范围，再结合一次函数的性质求解即可． 【详解】解：当时，即， 则， ∵随x的增大而增大， ∴当时，y取的最大值； 当时，即， 则， ∵随x的增大而增大， ∴当时，y取的最大值； 当时，解得， 则， ∵随x的增大而减小， ∴当时，y取的最大值； 综上可知，y的最大值是． 故答案为：． 【变式9-1】（2024·四川南充·二模）如图，直线与直线交于点，与轴交于点，点在线段上，点在直线上，则的最小值为 ． 【答案】// 【分析】本题主要考查了一次函数的交点问题，先利用求出直线解析式为：，再求出，根据点在线段上可得，再表示出，问题得解． 【详解】∵直线与直线交于点， ∴将代入，有：， 解得：， 即直线解析式为：， 当时，，即， ∵点在线段上，点在直线上， ∴，，且， ∴， ∵， ∴当时，的值最小，且为， 故答案为：． 【变式9-2】（23-24九年级·北京海淀·期中）在平面直角坐标系中，已知点，，．    (1)若一次函数的图象经过已知三个点中的某一点，求b的最大值； (2)当时，在图中用阴影表示直线运动的区域，并判断在点M，N，P中直线不可能经过的点是　　． 【答案】(1)8 (2)图见解析，N 【分析】本题考查一次函数的图象和性质得应用．用到的知识点为：一次函数的比例系数大于0，常数项大于0，图象过第一、二、三象限，一次函数的比例系数越大，随的增大越明显． （1）根据一次函数的比例系数大于0，图象过第一、三象限，求的最大值，那么把第二象限内的点代入即可； （2）求的当时直线与轴的交点，进而根据经过点和可得直线扫过的区域，即可求得直线不可能经过的点． 【详解】（1） 解：∵一次函数的比例系数为，， ∴一次函数一定经过第一、三象限． ∵求b的最大值， ∴图象还应该经过第二象限的点． ∴． ∴ 答：b的最大值为8； （2） 当时，图象经过 ∵图象必过点，， ∴直线运动的区域为过点和点的直线l与y轴之间的区域（不包括直线l和y轴）． ∴直线不可能经过的点是N． 故答案为：N．    【变式9-3】（23-24九年级·天津蓟州·期末）如图，直线与x轴交于点A，直线与x轴交于点，直线与直线相交于点M．    (1)求直线的解析式及点M的坐标； (2)点P是直线上的一点． ①当时，求点P的坐标； ②点Q是x轴上一动点，在①的条件下，当取最小值时，直接写出点Q的坐标． 【答案】(1)点的坐标为； (2)①点P的坐标为或点；②点Q的坐标为或． 【分析】本题考查一次函数的图象和性质，掌握待定系数法求一次函数的解析式，两点之间线段最短进是解题的关键． （1）利用待定系数法求出直线的解析式，然后联立解方程组求交点坐标即可； （2）①先求出点A的坐标，然后设点，根据列方程解题即可； ②利用①的结论分两种情况讨论，利用两点之间线段最短进行解题即可． 【详解】（1）解：将点代入，得，解得， ， 解方程组，解得， 点的坐标为； （2）解：①令，则，解得， ∴直线与轴的交点， 设点， ， ∴，即或，解得或， 则点P的坐标为或； ②当点P的坐标为时，如图，作点M关于轴的对称点，连接交轴于点，    此时有最小值， ∵点的坐标为， ∴点的坐标为， 设的解析式为， 则，解得， ∴的解析式为， 令，则， 解得， ∴点Q的坐标； 当点P的坐标为时，如图，    当点Q与点重合时，此时有最小值， ∴点Q的坐标为； 综上，点Q的坐标为或． 【题型10 一次函数与几何图形的综合运用】 【例10】（23-24九年级·河南商丘·期中）如图，在平面直角坐标系中，三角形的顶点坐标分别为，，． (1)求三角形的面积． (2)若点 P 的坐标为(m，0)， ①请直接写出线段的长为 ；(用含m的式子表示) ②当 时，求m的值． (3)若交y轴于点 M，求点 M的坐标． 【答案】(1)8 (2)①；②10或 (3) 【分析】本题考查了坐标与图形性质、三角形面积的计算方法、待定系数法求直线的解析式；熟练掌握坐标与图形性质是解题的关键． （1）过点作轴，垂足为，过点作，交延长线于，过点作，交延长线于，由题意得出，，．得出，，，，，，．，即可得出结果； （2）①根据题意容易得出结果； ②由三角形面积关系得出方程，解方程即可； （3）与待定系数法求出直线的解析式，即可得出点M的坐标． 【详解】（1）解：过点作轴，垂足为，过点作，交延长线于，过点作，交延长线于．如图1所示： ，， ，，，． ，，，，，，． ． 答：的面积是8． （2）解：①根据题意得：； 故答案为：； ② ， 或， 或； （3）解：设直线的解析式为， 根据题意得：， 解得：，； 直线的解析式为， 当时，， ． 【变式10-1】（2024·陕西西安·一模）如图，在平面直角坐标系中放置三个长为2，宽为1的长方形，已知一次函数y＝kx+b的图象经过点A与点B，则k与b的值为（    ） A．k，b B．k，b C．k，b D．k，b 【答案】D 【分析】首先由图可知A(-2,0)，B(2,3)，再把A、B的坐标分别代入解析式，解方程组，即可求得． 【详解】解：由图可知A(-2,0)，B(2,3)， 把A、B的坐标分别代入解析式，得 解得 故选：D． 【点睛】本题考查了利用待定系数法求一次函数的解析式，坐标与图形，结合题意和图形得到A、B的坐标是解决本题的关键． 【变式10-2】（2024·陕西·一模）问题探究： （1）将一直角梯形放在如图1所示的正方形网格（图中每个小正方形的边长均为一个单位长度）中，梯形的顶点均在格点上，请你在图中作一条直线l，使它将梯形分成面积相等的两部分；（画出一种即可） （2）如图2，，点A、D在上，点B、C在上，连接、，交于点O，连接、．试说明：； 问题解决： （3）如图3，在平面直角坐标系中，不规则五边形是李大爷家的一块土地的示意图，顶点B在y轴正半轴上，边在x轴正半轴上，平行于x轴，的中点P处有一口灌溉水井，现结合实际耕种需求，需在上找一点Q，使将这块土地的面积分为相等的两部分，用于耕种两种不同的作物，并沿修一条灌溉水渠（水渠的宽度忽略不计）． ①请你利用有刻度的直尺在图中画出的位置，并简要说明作图过程； ②若点A的坐标为，，，，，请求出直线的解析式． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）①见解析；②直线的解析式为 【分析】本题考查同底等高的三角形的面积关系、用待定系数法求一次函数解析式、一次函数平移的性质，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）根据网格和梯形的面积公式求解即可； （2）根据，，即可求解； （3）①如图，连接，平移，使其经过点B，交x轴于点M，连接，交于点N，量出的中点Q，连接，由，可得，从而可得，可证，再由平分梯形的面积，即可求解； ②由题意可得，利用待定系数法求得直线的解析式为，再根据一次函数平移的规律可设直线的解析式为，再把代入求得直线的解析式为，从而可得，再利用待定系数法求解即可． 【详解】解：（1）直线l的位置如图所示．（答案不唯一）， 理由如下：如图，直线l分别交、于点E、F， ∵，， ∵； （2）设、之间的距离为h，∵， ， ， ． （3）①如图，连接，平移，使其经过点B，交x轴于点M，连接，交于点N， 量出的中点Q，连接，的位置如图所示． ∵， ∴， 又∵， ∴， ， ∵平分梯形的面积， ∴平分五边形的面积， ②由题意得，，，，，， ． 设直线的解析式为， 将，，代入得， 解得， ∴直线的解析式为，故可设直线的解析式为， 将代入，得， ∴直线的解析式为． 当时，，解得． ． ， 设直线的解析式为， 将，，代入得， 解得， ∴直线的解析式为． 【变式10-3】（23-24九年级·山西大同·期末）在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点A的横坐标为a，点A的纵坐标为b，且实数a，b满足．    (1)如图1，求点A的坐标； (2)如图2，过点A作x轴的垂线，点B为垂足．若将点A向右平移10个单位长度，再向下平移8个单位长度可以得到对应点C，连接，，请直接写出点B，C的坐标并求出三角形的面积． (3)在（2）的条件下，记与x轴交点为点D，点P在y轴上，连接，，若三角形的面积与三角形的面积相等，直接写出点P的坐标． 【答案】(1) (2)30 (3)或 【分析】（1）根据非负数的性质求得a、b的值，即可确定点A的坐标； （2）根据“过点A作x轴的垂线，点B为垂足”可得点B的坐标；由平移的性质可得点C的坐标；结合图形，利用三角形面积公式即可计算三角形的面积； （3）设直线交y轴于点D，直线的解析式为，由待定系数法求得直线的解析式，即可确定点D的坐标；设点，根据题意可得，求解即可获得答案． 【详解】（1）∵实数a，b满足， 且，， ∴，， ∴，， ∴点A的坐标为； （2）过点A作x轴的垂线，点B为垂足， ∴， 若将点A向右平移10个单位长度，再向下平移8个单位长度可以得到对应点C， 则点C坐标为，即， ， ∴， 即三角形的面积为30； （3）如图，设直线的解析式为，    将点，点代入， 可得， 解得， ∴直线的解析式为， 令，则， ∴点， ∴ 设点， ∵三角形的面积与三角形的面积相等， ∴， 即， ∴， 解得或， ∴点P的坐标为或． 【点睛】本题考查了非负数的性质、坐标与图形、点的平移、待定系数法求一次函数解析式以及一次函数图象上点的坐标特征等知识，理解题意，利用数形结合的思想分析问题是解题关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$