专题03 一次函数的图象与性质重难点题型专训（19大题型+15道提优训练）-2024-2025学年八年级数学下册重难点专题提升精讲精练（华东师大版）

专题03 一次函数的图象与性质重难点题型专训（19大题型+15道提优训练） 题型一 识别一次函数 题型二 正比例函数的定义 题型三 正比例函数的图象 题型四 正比例函数的性质 题型五 根据一次函数的定义求参数 题型六 求一次函数自变量或函数值 题型七 判断一次函数的增减性 题型八 根据一次函数增减性求参数 题型九 根据一次函数的增减性判断自变量的变化情况 题型十 比较一次函数值的大小 题型十一 列一次函数解析式并求值 题型十二 判断一次函数的图象 题型十三 画一次函数图象 题型十四 根据一次函数解析式判断其经过的象限 题型十五 已知函数经过的象限求参数范围 题型十六 求一次函数解析式 题型十七 一次函数图象与坐标轴的交点问题 题型十八 一次函数图象平移问题 题型十九 一次函数的规律探究问题 知识点01 函数的概念 一般地，在某一变化过程中有两个变量x与y，如果给定一个x值，相应地就确定了一个y值，那么我们称y是x的函数，其中x是自变量，y是因变量。 注意：要判断一个关系式是不是函数，首先看这个变化过程中是否只有两个变量，其次看每一个x的值是否对应唯一确定的y值． 知识点02 求函数的值 (1) 当已知函数解析式时，求函数值就是求代数式的值；函数值是唯一的，而对应的自变量可以是多个． (2)函数表达式中只有两个变量，给定一个变量的值，将其代入函数表达式即可求另一个变量的值，即给自变量的值可求函数值，给函数值可求自变量的值． 知识点03 函数的图象 把一个函数的自变量x的值与对应的函数y的值分别作为点的横坐标和纵坐标，在直角坐标系内描出它的对应点，所有这些点组成的图形叫做这个函数的图像，用图像表示的函数关系，更为直观和形象． 知识点04 正比例函数 （1）如果两个变量的每一组对应值的比值是一个常数（这个常数不等于零），那么就说这两个变量成正比例，用数学式子表示两个变量、成正比例，就是，或表示为（不等于0），是不等于零的常数. （2）解析式形如（是不等于零的常数）的函数叫做正比例函数，其中常数叫做比例系数.正比例函数的定义域是一切实数.确定了比例系数，就可以确定一个正比例函数的解析式. 知识点05 正比例函数的图像 1.一般地，正比例函数(是常数, )的图象是经过，这两点的一条直线，我们把正比例函数的图象叫做直线； 2.图像画法：列表、描点、连线． 知识点06 正比例函数的性质 （1） 当时，正比例函数的图像经过第一、三象限；自变量x的值逐渐增大时，y的值 也随着逐渐增大． （2）当时，正比例函数的图像经过第一、三象限；自变量x的值逐渐增大时，y的值 则随着逐渐减小． 【经典例题一 识别一次函数】 【例1】 （23-24八年级下·河南焦作·阶段练习）下列函数：①；②；③；④中，关于x的一次函数的有（      ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 1．（23-24八年级下·广西桂林·期末）下列函数不是正比例函数的是（　　） A．y＝2x B．y＝﹣4x C．y＝﹣6x D．y＝﹣6x+5 2．（23-24八年级下·河南南阳·课后作业）下列函数中：①；②；③；④；⑤．是一次函数的有 3．（23-24八年级下·湖南衡阳·课后作业）写出下列各题中x与y之间的关系式，并判断y是否为x的一次函数？是否为正比列函数？ （1）汽车以60千米/时的速度匀速行驶，行驶路程y（千米）与行驶时间x（时）之间的关系； （2）圆的面积y（平方厘米）与它的半径x（厘米）之间的关系； （3）一棵树现在高50厘米，每个月长高2厘米，x月后这棵树的高度为y（厘米） 【经典例题二 正比例函数的定义】 【例2】（24-25八年级下·四川内江·期中）若函数是关于的正比例函数，则（   ） A． B． C． D． 1．（23-24八年级下·河南开封·期末）下列是正比例函数的是（　　） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·重庆江津·期末）已知函数是正比例函数，则的值是 ． 3．（23-24八年级下·全国·课前预习）下列式子，哪些y是x的正比例函数？如果是，请你指出正比例系数k的值． (1)y＝－0.1x (2)y ＝ (3)y＝2x2 (4)y2＝4x (5)y＝－4x＋3 (6)y＝2（x－x2 ）＋2x2 【经典例题三 正比例函数的图象】 【例3】（23-24八年级下·四川眉山·期末）一次函数与（k，b是常数，且）在同一坐标系中的大致图象是（　　） A． B． C． D． 1．（2024·陕西汉中·模拟预测）如果一个正比例函数的图象经过不同象限的两点A（3，m）、B（n，﹣2），那么一定有（　　） A．m＞0，n＞0 B．m＞0，n＜0 C．m＜0，n＞0 D．m＜0，n＜0 2．（23-24八年级下·四川遂宁·期中）函数的图象经过点，则的值为 ；点 （填“在”或“不在”）该函数图象上． 3．（23-24八年级下·全国·课前预习）如图分别是函数y＝k1x，y＝k2x，y＝k3x，y＝k4x的图象． (1)k1 k2，k3 k4（填“＞”或“＜”）； (2)用不等号将k1，k2，k3，k4及0依次连接起来． 【经典例题四 正比例函数的性质】 【例4】（23-24八年级·全国·课后作业）关于函数，下列说法错误的是（    ） A．它是正比例函数 B．图象经过点 C．图象经过第一、三象限 D．y随x的增大而减小 1．（2024·福建莆田·一模）已知正比例函数y=kx（k≠0）的图象经过点（1，－2），则正比例函数的解析式为 （    ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·全国·课后作业）如图所示，直线、、的解析式分别为，，，则、、三个数的大小关系是 ． 3．（23-24八年级下·全国·课后作业）已知正比例函数图象经过点(-1，2). (1)求此正比例函数的表达式; (2)画出这个函数图象; (3)点(2,-5)是否在此函数图象上？ (4)若这个图象还经过点A(a，8)，求点A的坐标. 【经典例题五 根据一次函数的定义求参数】 【例5】 （2024八年级下·全国·专题练习）若直线经过点和，且，则n的值可以是（ ） A．3 B．4 C．5 D．6 1．（23-24八年级下·河南驻马店·阶段练习）A (x1，y)，B(x2，y2)是一次函数y=kx+2（k>0）图像上的不同的两点，若t=（x1- x2）（y1-y2），则（    ） A．t<1 B．t>0 C．t=0 D．t≤1 2．（23-24八年级下·河南开封·期末）定义：在平面直角坐标系中，对于点，，若，则称点为点的“理想点”．如点为点的“理想点”，而点的“理想点”就是点．已知点为直线上一点，点的“理想点”为点，当时，，则的取值范围是 ． 3．（23-24八年级下·四川巴中·期末）已知：如图，直线AB的函数解析式为y=-2x+8，与x轴交于点A，与y轴交于点B．   （1）求A、B两点的坐标； （2）若点P(m，n)为线段AB上的一个动点(与A、B不重合)，作PE⊥x轴于点E，PF⊥y轴于点F，连接EF，若△PEF的面积为S，求S关于m的函数关系式，并写出m的取值范围；     （3）以上(2)中的函数图象是一条直线吗?请尝试作图验证． 【经典例题六 求一次函数自变量或函数值】 【例6】（24-25八年级下·四川资阳·阶段练习）一次函数的图像一定经过点（    ） A． B． C． D． 1．（23-24八年级下·河南驻马店·期末）某商家为减少商品的积压，通过电商平台采取降价销售的策略，商品原售价480元/件， 随着不同幅度的降价，日销量发生相应的变化如下表所示： 降价/元 … 5 10 15 20 25 30 35 … 日销量/件 … 160 180 200 220 240 260 280 … 下列说法不正确的是（       ） A．当降价10元时，日销量为180件 B．每降价5元，日销量增加20件 C．当售价为420元，估计日销量为400件 D．估计降价之前的日销量为140件 2．（24-25八年级下·河南新乡·期中）定义：在平面直角坐标系中，函数图象上到两坐标轴的距离之和等于的点，叫做该函数图象的“阶和点”．例如，为一次函数的“3阶和点” ． （1）若点是关于的正比例函数的“阶和点”，则 ， ； （2）若关于的一次函数的图象经过一次函数图象的“5阶和点”， ． 3．（23-24八年级下·山西晋城·期末）综合与实践 问题情境：“综合与实践”课上，老师请同学们探索一次函数的图象与系数的关系．老师给出两个一次函数，（a，b均不为0，且），同学们利用图形计算器画出a，b不同取值下的两个一次函数的图象，并观察它们的交点位置．三个小组分别绘制了当（时的函数图象，得到了不同情况下函数和的图象的交点坐标． 数学思考：（1）请从（I）当时；（Ⅱ）当时；（Ⅲ）当时，三组值中任选一组，求此时函数和的图象的交点坐标． 注：如果选择多组条件分别作答，按第一个解答计分． 深入探究：（2）老师请同学们经过思考，提出新的问题． ①“运河小组”提出问题：不论a，b如何取值，函数和的图象的交点的横坐标都是定值．请你证明结论，并求出这个定值． ②“武林小组”提出问题：若，要比较和的大小，需要分类讨论．请你比较和的大小． ③不论a，b如何取值，当x等于某个正数时，函数和的值都存在某种确定的等量关系，请你直接写出结论． 【经典例题七 判断一次函数的增减性】 【例7】（24-25八年级下·福建龙岩·期中）下列一次函数中，随着的增大而减小的是（  ） A． B． C． D． 1．（23-24八年级下·河南南阳·期末）已知点，，都在直线上，则，，的大小关系是（　　） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·四川攀枝花·期末）已知直线与轴交于点，直线与轴交于点．设，当时，随着的增大而 ．（填“增大”或“减小”） 3．（23-24八年级下·湖南衡阳·期中）设a，b是任意两个不相等的实数，我们规定：当时，满足不等式的实数x的所有取值的全体叫做“稳定区间”，表示为，对于一个函数，如果它的自变量x与函数值y满足：，有我们就称此函数是稳定区间上的“稳定函数”． (1)正比例函数是稳定区间上的“稳定函数”吗？请判断并说明理由； (2)若一次函数是稳定区间上的“稳定函数”，求m，n的值； (3)若函数是稳定区间上的“稳定函数”，且a，b为整数，求数a，b的值． 【经典例题八 根据一次函数增减性求参数】 【例8】（24-25八年级下·河南驻马店·期中）已知点在一次函数的图象上，且，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 1．（24-25八年级下·四川乐山·阶段练习）已知一次函数的图象经过点A，且y的值随着x值的增大而减小，则点A的坐标可以是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·河南开封·期末）已知点，，且，两点不重合，线段的长度随的增大而减小，则的取值范围是 ． 3．（24-25八年级下·四川内江·阶段练习）已知一次函数的图象与y轴的负半轴相交，y随x的增大而减小，且m为整数． (1)求m的值； (2)求该图像与坐标轴围成的三角形的面积． 【经典例题九 根据一次函数的增减性判断自变量的变化情况】 【例9】（24-25八年级下·福建厦门·期末）如图是一次函数的图象，点，点在该函数图象上，下列选项正确的是（   ） A． B． C． D． 1．（23-24八年级下·福建漳州·期末）如表所示，取一次函数的部分自变量的值和对应的函数值，根据信息，下列说法正确的个数是（    ） 0 2024 ①；②当时；③；④不等式的解集是． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（2024八年级·全国·竞赛）如图是函数的图象，则点的坐标是 ． 3．（23-24八年级下·河南南阳·期中）已知函数，    (1)画出的图象，图像分别与，轴交于，两点； (2)若为坐标原点，求的面积； (3)当，的取值范围是_________； (4)在满足条件______时，． 【经典例题十 比较一次函数值的大小】 【例10】（24-25八年级下·广西桂林·期中）已知点，都在直线上，则，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 1．（23-24八年级下·福建厦门·期末）已知一次函数的图象经过点，，，若，则下列一定正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·广西百色·期中）若点和点在一次函数的图象上，则 （用“>”、“<”或“=”连接）． 3．（23-24八年级下·河南开封·期末）定义：在平面直角坐标系中，对于一次函数，我们把的函数称为一次函数的反射函数． (1)写出一次函数的反射函数y'的关系式，并在坐标系中画出y'的图象． (2)若，都在（1）中y'图象上，，若，求a的取值范围． (3)已知点C（p，q）是（1）中y图象上的动点，点是同一坐标平面上的一个动点，当时，求p的取值范围． 【经典例题十一 列一次函数解析式并求值】 【例11】（2024·陕西汉中·三模）若关于的方程的解是，则直线一定经过点（    ） A． B． C． D． 1．（23-24八年级下·全国·期末）如右图所示，直线m是一次函数y=kx+b的图像，则k的值是（    ） A．-1 B．-2 C．1 D．2 2．（2024·山西晋城·模拟预测）“闪送”是1小时同城速递服务领域的开拓者和一对一急送服务标准的制定者．客户下单后，订单全程只由唯一的“闪送员”专门派送，平均送达时间在60分钟以内，同时避免传统快递服务的中转、分拣，配送过程中存在的诸多安全性问题．某闪送公司每月给闪送员的工资为：底薪1700元，超过300单后另加送单补贴（每送一个包裹称为一单），送单补贴的具体方案如下： 送单数量 补贴（元/单） 每月超过300单且不超过500单的部分 5 每月超过500单的部分 7 设该月某闪送员送了单，所得工资为元，则与的函数关系式为 ． 3．（23-24八年级下·全国·课后作业）如图，甲、乙两地相距，现有一列火车从乙地出发，以的速度向丙地行驶．    设表示火车行驶的时间，表示火车与甲地的距离． （1）写出与之间的关系式，并判断是否为的一次函数； （2）当时，求的值． 【经典例题十二 判断一次函数的图象】 【例12】（24-25八年级下·重庆·阶段练习）两个一次函数与，它们在同一直角坐标系中的图象可能是（   ） A． B． C． D． 1．（23-24八年级下·山西临汾·开学考试）一次函数，将函数变形为．当时，，所以无论a取任何实数，一次函数过定点．已知一次函数，正方形，A ，B ，C ，D ，若一次函数的图象与正方形的边有交点，则k的取值范围是（    ） A． 或 B．或 C． D． 2．（23-24八年级下·全国·单元测试）如图，四个一次函数，，，的图象如图所示，则a，b，c，d 的大小关系是 ． 3．（23-24八年级下·山西长治·期中）已知一次函数． （1）试判断点与点，是否在这个函数的图象上； （2）在如图所示的平面直角坐标系中画出这个函数的图象并回答：通过平移这个函数的图象，能否得到正比例函数的图象？如果能，请直接写出平移方法，如果不能，请说明理由． 【经典例题十三 画一次函数图象】 【例13】（2024·河南开封·三模）如图，函数的图像所在坐标系的原点是（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 1．（23-24八年级下·河南驻马店·期末）直角坐标系中，我们定义横、纵坐标均为整数的点为整点.在的范围内，直线和所围成的区域中，整点一共有（    ）个. A．12 B．13 C．14 D．15 2．（2024·四川内江·三模）一次函数和的图像交于点（a，n），直线y＝n﹣1与和的图像分别交于点（b，n﹣1）和（c，n﹣1）．若＞0，＜0，则a、b、c从大到小排列应为 ． 3．（2024八年级下·全国·专题练习）（1）如图，指出平面直角坐标系中的两个图象，可以怎样由的图象得到，并写出相应的函数表达式； （2）将的图象分别向上平移2个单位长度、向下平移3个单位长度，画出平移后的图象，并写出相应的函数表达式 ___________． 【经典例题十四 根据一次函数解析式判断其经过的象限】 【例14】（24-25八年级下·四川达州·期中）已知一次函数，随着的增大而增大，且，则在直角坐标系内它的大致图象是（     ） A． B． C． D． 1．（24-25八年级下·全国·课后作业）已知一次函数的图象与轴交于负半轴，且不经过第一象限，则该函数的图象与一次函数的图象的交点在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．（23-24八年级下·四川内江·期末）如果函数y＝ax＋b（，）和y＝kx（）的图像交于点P，那么点P位于第 象限． 3．（23-24八年级下·福建莆田·期中）已知：一次函数y＝﹣x+2的图象分别与x轴、y轴交于点A、B． （1）请直接写出A，B两点坐标：A　 　、B　 　 （2）在直角坐标系中画出函数图象； （3）若平面内有一点C（5，3），请连接AC、BC，则△ABC是　 　三角形． 【经典例题十五 已知函数经过的象限求参数范围】 【例15】（24-25八年级下·河南新乡·阶段练习）在平面直角坐标系中，已知点，直线与线段有交点，则k的取值范围为（ ） A． B．且 C．或 D． 1．（24-25八年级下·吉林长春·期中）直线与直线在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·吉林长春·开学考试）已知一次函数的图象经过第一、三、四象限，则m的取值范围是 ． 3．（23-24八年级下·河南新乡·期末）在平面直角坐标系中，设一次函数（a为常数，且）． (1)若函数图象过坐标原点，求a的值． (2)已知该函数图象经过第一，三，四象限． ①求a的取值范围． ②点和点在该函数图象上，若，，求证：． 【经典例题十六 求一次函数解析式】 【例16】（24-25八年级下·福建漳州·期末）一次函数的与的部分对应值如下表所示，根据表中数值分析，下列说法正确的是（   ） … 0 1 2 … … 1 4 … A．的值随值的增大而减小 B．该函数的图象不经过第四象限 C．关于的方程的解是 D．当时， 1．（23-24八年级下·重庆江北·期中）一次函数的图象经过点，则k的值是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·全国·期末）在平面直角坐标系中，点、、在同一直线上，若m与n互为倒数，则 ． 3．（24-25八年级下·河南开封·期末）在测浮力的实验中，将一长方体石块由玻璃器皿的上方，向下缓慢移动浸入水里的过程中，弹簧测力计的示数与石块下降的高度之间的关系如图所示． (1)求所在直线的函数表达式； (2)当石块下降的高度为时，求此刻该石块所受浮力的大小．（温馨提示：当石块位于水面上方时，；当石块入水后，） 【经典例题十七 一次函数图象与坐标轴的交点问题】 【例17】（2024·四川眉山·模拟预测）已知与是一次函数．若，那么如图所示的个图中正确的是（ ） A． B． C． D． 1．（23-24八年级下·吉林长春·期末）如图，在平面直角坐标系中，我们把横、纵坐标都是整数的点叫做整点．例如点M的坐标是，点M就是一个整点．已知一次函数的图象与x轴正半轴交于点A，与y轴正半轴交于点B，如果内部（不包括边上）的整点只有1个，那么b的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·四川攀枝花·期中）如图，直线：，直线：分别交y轴于A，B两点，过B作y轴垂线交直线于，过作垂线交于，再过，作垂线交直线于，过作垂线交于，…依次类推，则的坐标是 ． 3．（2024·河南驻马店·三模）在初中阶段的函数学习中，我们经历了“确定函数的表达式→利用函数图象研究其性质→运用函数解决问题”的学习过程．结合学习函数的经验，探究函数的图象与性质，探究过程如下，请补充完整． （1）列表： x … 0 1 2 3 4 … y … b … （2）描点并连线． （3）观察图象并填空： ① ， ②写出该函数的一条性质： ③图象与x轴围成的三角形面积为 ④当时，直接写出x的取值范围 【经典例题十八 一次函数图象平移问题】 【例18】（24-25八年级下·四川攀枝花·期末）如图，在平面直角坐标系中，边长为3的正方形在第一象限内，轴，点的坐标为，直线的表达式为：．将直线沿轴向上平移个单位，使平移后的直线与正方形有交点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 1．（24-25八年级下·四川资阳·阶段练习）将直线经过适当变换后得到直线，要使经过原点，则可以将直线（   ） A．向上平移个单位 B．向下平移个单位 C．向右平移个单位 D．向左平移个单位 2．（23-24八年级下·四川宜宾·阶段练习）如图，是由直线围成的封闭图形，若直线与没有交点，则k的取值范围是 ． 3．（23-24八年级下·四川宜宾·期末）创新小队在学习一次函数的图象与性质时，发现一次函数的图象可以由正比例函数的图象通过上下平移或左右平移得到，于是，他们进行了如下的探究活动． (1)请你完成探究活动中的相关问题： ①将的图象向上平移4个单位，得到的直线l，则l的表达式为__________； ②请在平面直角坐标系中，画出直线l的图象； ③直线l与x轴的交点坐标是__________； ④观察图象，直线l也可以看作由的图象向______（填“左”或“右”）平移_______个单位得到． (2)将向下平移3个单位得到的图象，相当于将向_______（填“左”或“右”）平移_______个单位得到； (3)将下平移个单位得到的图象，相当于将向_______（填“左”或“右”）平移_______个单位得到． 【经典例题十九 一次函数的规律探究问题】 【例19】（23-24八年级下·河南鹤壁·阶段练习）在平面直角坐标系中，直线l经过点，点按如图所示的规律排列在直线l上．若直线l上任意相邻两个点的横坐标都相差1，纵坐标也都相差1，若点（为正整数）的纵坐标为，则n的值为（    ） A．4042 B．4043 C．4044 D．4045 1．（23-24八年级下·山西长治·期末）如图，直线：与直线：相交于动点，直线与y轴交于点A，一动点C从点A出发，先沿平行于x轴的方向运动，到达直线上的点处后，改为垂直于x轴方向运动，到达直线上的点A1处后，再沿平行于x轴的方向运动，到达直线上的点处后，又改为垂直于x轴的方向运动，到达直线的点处后，仍沿平行于x轴的方向运动，．．．，照此规律运动，动点C依次进过点，，，，，，…，，则当动点C到达处时，运动的总路径的长为（    ） A．22022-1 B．22022-2 C．22023+1 D．22023-2 2．（23-24八年级下·全国·单元测试）已知k为正整数，无论k取何值，直线与直线都交于一个固定的点，这个点的坐标是 ；记直线和与x轴围成的三角形面积为，当时，可求得，请计算的值为 ． 3．（23-24八年级下·四川内江·期中）小东同学根据函数的学习经验，对函数y 进行了探究，下面是他的探究过程： （1）已知x＝-3时 0；x＝1 时 0，化简： ①当x＜-3时，y＝ ； ②当-3≤x≤1时，y＝ ； ③当x＞1时，y＝ ． （2）在平面直角坐标系中画出y＝|x﹣1|+|x+3|的图象，根据图象，写出该函数的一条性质：　 ； 1．（24-25八年级下·四川宜宾·期中）下列各关系式中成正比例的个数有（ ） （1）圆的周长与半径     （2）正方形的面积与边长 （3）速度一定，路程与时间  （4）长方形的面积一定时，长和宽 A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 2．（24-25八年级下·河南驻马店·期末）一次函数与，它们在同一坐标系中的大致图象可能是（　　） A． B． C． D． 3．（24-25八年级下·山西晋城·期末）在平面直角坐标系中，一次函数与的图象互相平行，如果这两个函数的部分自变量和对应的函数值如下表： 0 2 0 1 7 那么的值是（   ） A．6 B．5 C．4 D．3 4．（24-25八年级下·重庆巴南·阶段练习）定义一种新运算：，例如：，，给出下列说法：；，则或；的解集为；函数的最小值为．以上结论中正确的个数为（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 5．（24-25八年级下·河南鹤壁·期中）在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点，如图所示，依次作正方形，正方形，…，正方形，使得点、、、…，在直线l上，点，，，…，在y轴正半轴上，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 6．（24-25八年级下·四川遂宁·期中）若，则直线一定经过第 限． 7．（24-25八年级下·河南焦作·期末）在平面直角坐标系中，一次函数的图像经过点和，则不等式的解集是 ． 8．（24-25八年级下·四川宜宾·期末）在平面直角坐标系中，对于点和给出如下定义：两点横坐标相同，的纵坐标，那么称点为点的“姊妹点”．例如：点的“姊妹点”为点．如果一次函数图象上的点是点的“姊妹点”，那么点的坐标为 ． 9．（23-24八年级下·四川资阳都·期中）如图，在平面直角坐标系中有一个等腰直角，其中点，，给出如下定义：若点P向上平移1个单位，再向右平移4个单位后得到，若点在等腰直角的内部或边上，则称点P为等腰直角的“和雅点”．若在直线上存在点Q，使得点Q是等腰直角的“和雅点”，则k的取值范围是 ． 10．（23-24八年级下·河南开封·单元测试）如图，已知直线（n为正整数）与x轴、y轴分别交于点，的面积为，则 ． 11．（23-24八年级下·河南新乡·单元测试）已知y与成正比例，且时，． (1)求y与x之间的函数关系式． (2)当时，求y的值． 12．（24-25八年级下·四川遂宁·期末）在平面直角坐标系中，设一次函数、（、是实数，且． (1)若，分别求出、与轴的交点坐标； (2)若函数的图像与轴交点坐标为，则函数的图像与轴交点坐标为______； (3)若函数的图像不经过第一象限，且过点，求的取值范围． 13．（24-25八年级下·福建厦门·期中）补充完成下列表格，在平面直角坐标系中画出一次函数和的图象 函数列表1 x 0 y 0 函数列表2 x 0 1 y 14．（24-25八年级下·吉林长春·阶段练习）已知甲种水果单价为30元/千克，若一次性购买甲种水果超过40千克，超过部分的价格打八五折．某经销商购买甲种水果x千克，付款y元，y与x之间的函数关系如图所示． (1)直接写出图象中a的值，并求y与x之间的函数表达式； (2)若乙种水果单价为元/千克，该经销商计划一次性购进甲、乙两种水果共80千克，且甲种水果不少于30千克，但又不超过50千克．如何分配甲、乙两种水果的购买量，才能使经销商付款总金额w（元）最少？最少付款金额是多少？ 15．（24-25八年级下·山西晋城·阶段练习）如图，已知一次函数，与x轴的交点横坐标分别为6和，、的交点． (1)求、的函数解析式； (2)x取何值时，函数的图象在函数图象的上方？ (3)若点向下平移个单位长度，向左平移个单位长度后，恰好落在的图象上，求m的值； 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 一次函数的图象与性质重难点题型专训（19大题型+15道提优训练） 题型一 识别一次函数 题型二 正比例函数的定义 题型三 正比例函数的图象 题型四 正比例函数的性质 题型五 根据一次函数的定义求参数 题型六 求一次函数自变量或函数值 题型七 判断一次函数的增减性 题型八 根据一次函数增减性求参数 题型九 根据一次函数的增减性判断自变量的变化情况 题型十 比较一次函数值的大小 题型十一 列一次函数解析式并求值 题型十二 判断一次函数的图象 题型十三 画一次函数图象 题型十四 根据一次函数解析式判断其经过的象限 题型十五 已知函数经过的象限求参数范围 题型十六 求一次函数解析式 题型十七 一次函数图象与坐标轴的交点问题 题型十八 一次函数图象平移问题 题型十九 一次函数的规律探究问题 知识点01 函数的概念 一般地，在某一变化过程中有两个变量x与y，如果给定一个x值，相应地就确定了一个y值，那么我们称y是x的函数，其中x是自变量，y是因变量。 注意：要判断一个关系式是不是函数，首先看这个变化过程中是否只有两个变量，其次看每一个x的值是否对应唯一确定的y值． 知识点02 求函数的值 (1) 当已知函数解析式时，求函数值就是求代数式的值；函数值是唯一的，而对应的自变量可以是多个． (2)函数表达式中只有两个变量，给定一个变量的值，将其代入函数表达式即可求另一个变量的值，即给自变量的值可求函数值，给函数值可求自变量的值． 知识点03 函数的图象 把一个函数的自变量x的值与对应的函数y的值分别作为点的横坐标和纵坐标，在直角坐标系内描出它的对应点，所有这些点组成的图形叫做这个函数的图像，用图像表示的函数关系，更为直观和形象． 知识点04 正比例函数 （1）如果两个变量的每一组对应值的比值是一个常数（这个常数不等于零），那么就说这两个变量成正比例，用数学式子表示两个变量、成正比例，就是，或表示为（不等于0），是不等于零的常数. （2）解析式形如（是不等于零的常数）的函数叫做正比例函数，其中常数叫做比例系数.正比例函数的定义域是一切实数.确定了比例系数，就可以确定一个正比例函数的解析式. 知识点05 正比例函数的图像 1.一般地，正比例函数(是常数, )的图象是经过，这两点的一条直线，我们把正比例函数的图象叫做直线； 2.图像画法：列表、描点、连线． 知识点06 正比例函数的性质 （1） 当时，正比例函数的图像经过第一、三象限；自变量x的值逐渐增大时，y的值 也随着逐渐增大． （2）当时，正比例函数的图像经过第一、三象限；自变量x的值逐渐增大时，y的值 则随着逐渐减小． 【经典例题一 识别一次函数】 【例1】 （23-24八年级下·河南焦作·阶段练习）下列函数：①；②；③；④中，关于x的一次函数的有（      ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】本题主要考查一次函数的定义，掌握一次函数的定义（的定义条件是：k、b为常数，，自变量次数为1）是解题的关键． 根据一次函数的定义条件进行逐一分析即可． 【详解】解：一次函数有：①；②；③；④不是一次函数； 综上所述，正确的有3个 ， 故选：B． 1．（23-24八年级下·广西桂林·期末）下列函数不是正比例函数的是（　　） A．y＝2x B．y＝﹣4x C．y＝﹣6x D．y＝﹣6x+5 【答案】D 【分析】利用正比例函数的定义对各选项进行判断． 【详解】解：y＝2x，y＝﹣4x，y＝﹣6x都是正比例函数，y＝﹣6x+5为一次函数． 故选：D． 【点睛】本题考查了正比例函数的定义：一般地，形如y=kx（k是常数，k≠0）的函数叫做正比例函数，其中k叫做比例系数． 2．（23-24八年级下·河南南阳·课后作业）下列函数中：①；②；③；④；⑤．是一次函数的有 【答案】①④ 【分析】根据一次函数的定义对每个选项进行判断即可. 【详解】解：①是一次函数； ②不是一次函数； ③是二次函数，不是一次函数； ④是一次函数； ⑤是常值函数，不是一次函数， 故是一次函数的有①④. 故答案为①④. 【点睛】本题主要考查一次函数的定义，解此题的关键在于熟练掌握其知识点. 3．（23-24八年级下·湖南衡阳·课后作业）写出下列各题中x与y之间的关系式，并判断y是否为x的一次函数？是否为正比列函数？ （1）汽车以60千米/时的速度匀速行驶，行驶路程y（千米）与行驶时间x（时）之间的关系； （2）圆的面积y（平方厘米）与它的半径x（厘米）之间的关系； （3）一棵树现在高50厘米，每个月长高2厘米，x月后这棵树的高度为y（厘米） 【答案】（1）一次函数，正比例函数；（2）不是x的一次函数，不是正比例函数；（3）是x的一次函数，不是正比例函数． 【分析】(1)根据路程=速度时间可得相关函数关系式;(2)根据圆的面积可得相关函数关系式;(3)x月后这棵树的高度=现在高+每个月长的高月数． 【详解】解：（1）行驶路程y（千米）与行驶时间x（时）之间的关系为：y=60x，是x的一次函数，是正比例函数； （2）圆的面积y（平方厘米）与它的半径r（厘米）之间的关系为：y=πx2，不是x的一次函数，不是正比例函数； （3）x月后这棵树的高度为y（厘米）之间的关系为：y=50+2x，是x的一次函数，不是正比例函数． 【经典例题二 正比例函数的定义】 【例2】（24-25八年级下·四川内江·期中）若函数是关于的正比例函数，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了正比例函数的定义，熟练掌握正比例函数的定义是解题的关键．根据正比例函数的定义进行判断即可． 【详解】是关于的正比例函数， 且， 解得， 故选C． 1．（23-24八年级下·河南开封·期末）下列是正比例函数的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了正比例函数的定义，形如的函数叫做正比例函数，据此来判断即可，正确理解正比例函数的定义是解题的关键． 【详解】解：、是正比例函数，故选项符合题意； 、不是正比例函数，故选项不符合题意； 、表达式是分式，不是正比例函数，故选项不符合题意； 、是二次式，不是正比例函数，故选项不符合题意； 故选：． 2．（23-24八年级下·重庆江津·期末）已知函数是正比例函数，则的值是 ． 【答案】 【分析】根据正比例函数的定义，可得，即可求解． 【详解】解：∵函数是正比例函数， ∴， 解得：， 故答案为：． 【点睛】一般地，两个变量、之间的关系式可以表示成形如的函数（为常数，的次数为，且），那么就叫做正比例函数． 3．（23-24八年级下·全国·课前预习）下列式子，哪些y是x的正比例函数？如果是，请你指出正比例系数k的值． (1)y＝－0.1x (2)y ＝ (3)y＝2x2 (4)y2＝4x (5)y＝－4x＋3 (6)y＝2（x－x2 ）＋2x2 【答案】(1)是正比例函数，正比例系数是-0.1 (2)是正比例函数，正比例系数是 (3)不是正比例函数 (4)不是正比例函数 (5)不是正比例函数 (6)是正比例函数，正比例系数是2 【解析】略 【经典例题三 正比例函数的图象】 【例3】（23-24八年级下·四川眉山·期末）一次函数与（k，b是常数，且）在同一坐标系中的大致图象是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据一次函数的图象与系数的关系，由一次函数图象分析可得、的符号，进而可得的符号，从而判断的图象是否正确，进而比较可得答案． 【详解】根据一次函数的图象分析可得： A、由一次函数图象可知，，；正比例函数的图象可知，矛盾，故此选项错误； B、由一次函数图象可知，；即，与正比例函数的图象可知，一致，故此选项正确； C、由一次函数图象可知，；即，与正比例函数的图象可知，矛盾，故此选项错误； D、由一次函数图象可知，；即，与正比例函数的图象可知，矛盾，故此选项错误； 故选：B． 【点睛】本题主要考查了一次函数图象，解题的关键是掌握一次函数的图象有四种情况：①当，，函数的图象经过第一、二、三象限；②当，，函数的图象经过第一、三、四象限；③当，时，函数的图象经过第一、二、四象限；④当，时，函数的图象经过第二、三、四象． 1．（2024·陕西汉中·模拟预测）如果一个正比例函数的图象经过不同象限的两点A（3，m）、B（n，﹣2），那么一定有（　　） A．m＞0，n＞0 B．m＞0，n＜0 C．m＜0，n＞0 D．m＜0，n＜0 【答案】B 【分析】利用正比例函数的性质，可得出点A，B分别在一、三象限，结合点A，B的坐标，可得出m＞0，n＜0． 【详解】解：∵一个正比例函数的图象经过不同象限的两点A（3，m）、B（n，﹣2）， ∴点A，B分别在一、三象限， ∴m＞0，n＜0． 故选：B． 【点睛】此题考查了正比例函数的性质，牢记“当k＞0时，正比例函数y＝kx的图象在第一、三象限；当k＜0时，正比例函数y＝kx的图象在第二、四象限”是解题的关键． 2．（23-24八年级下·四川遂宁·期中）函数的图象经过点，则的值为 ；点 （填“在”或“不在”）该函数图象上． 【答案】 不在 【分析】函数的图象经过点，将其代入即可得到k的值．把x=2代入求出y的值，看y的值是否等于-5即可 【详解】解：∵函数的图象经过点，， ∴-1＝3k， 解得： ． 则k的值为:． ∵当x=2时，， ∴点不在函数的图象上． 故答案为：，不在． 【点睛】本题考查的是正比例函数图象上点的坐标特点，熟知正比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键． 3．（23-24八年级下·全国·课前预习）如图分别是函数y＝k1x，y＝k2x，y＝k3x，y＝k4x的图象． (1)k1 k2，k3 k4（填“＞”或“＜”）； (2)用不等号将k1，k2，k3，k4及0依次连接起来． 【答案】(1)＜，＜ (2)k1＜k2＜0＜k3＜k4 【解析】略 【经典例题四 正比例函数的性质】 【例4】（23-24八年级·全国·课后作业）关于函数，下列说法错误的是（    ） A．它是正比例函数 B．图象经过点 C．图象经过第一、三象限 D．y随x的增大而减小 【答案】D 【分析】利用正比例函数的定义和性质逐一判断即可： K>0时，图像经过第一、三象限，y随x的增大而减小；K<0时，图像经过第二、四象限，y随x的增大而增大. 【详解】解：易知函数是正比例函数，故A项中的说法正确，不合题意； 当时，，所以该函数图象经过点，故B项中的说法正确，不合题意； 因为函数是正比例函数，且，所以图象经过第一、三象限，故C项中的说法正确，不合题意； 因为函数是正比例函数，且， y随x的增大而增大，D项中的说法错误，符合题意． 故选D． 【点睛】此题考查了正比例函数的性质和定义，熟练掌握正比例函数的定义与性质是解题关键． 1．（2024·福建莆田·一模）已知正比例函数y=kx（k≠0）的图象经过点（1，－2），则正比例函数的解析式为 （    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】试题分析：把点（1，－2）代入y=kx（k≠0）即可求得k值．故答案选B． 考点：求正比例函数的解析式． 2．（23-24八年级下·全国·课后作业）如图所示，直线、、的解析式分别为，，，则、、三个数的大小关系是 ． 【答案】 【分析】利用赋值法，令x=1时，观察图像即可得到答案. 【详解】解：可用赋值法，令＝1，则， 观察图象可知：. 【点睛】本题考查了正比例函数的图像和性质，解题的关键是熟练掌握正比例函数的图像和性质. 3．（23-24八年级下·全国·课后作业）已知正比例函数图象经过点(-1，2). (1)求此正比例函数的表达式; (2)画出这个函数图象; (3)点(2,-5)是否在此函数图象上？ (4)若这个图象还经过点A(a，8)，求点A的坐标. 【答案】见解析. 【详解】试题分析：(1)设函数关系式为y=kx，将点（-1，2）代入可得出k的值． (2)找出图象过的两个点，画图. (3)将点（2，-5）代入，看能否满足函数解析式，继而可作出判断． (4)将x=a,y=8代入函数关系式求得 解：(1)设函数关系式为：y=kx， 则-k=2，即k=-2， 故可得出正比例函数关系式为：y=-2x； (2)直线y=-2x过(0，0)，(1，-2)所以作图得： (3)将点（2，-5）代入，左边=-5，右边=-4，左边≠右边， 故点（2，-5）不在此函数图象上． (4)将A点代入得:-2a=8,所以a=-4,所以A(-4,8) 【经典例题五 根据一次函数的定义求参数】 【例5】 （2024八年级下·全国·专题练习）若直线经过点和，且，则n的值可以是（ ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】根据题意得出，求出，根据，求出，即可得出答案． 【详解】解：由题意得， 解得：， ， ， ， 可以是5，故C正确． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了一次函数的性质，利用函数图象上的点满足函数关系式，用n表示出k，得到关于n的不等式是解题的关键． 1．（23-24八年级下·河南驻马店·阶段练习）A (x1，y)，B(x2，y2)是一次函数y=kx+2（k>0）图像上的不同的两点，若t=（x1- x2）（y1-y2），则（    ） A．t<1 B．t>0 C．t=0 D．t≤1 【答案】B 【分析】根据点在一次函数图象上，将点代入解析式，得到，，再代入t的式子得到，根据平方式的非负性得到结果． 【详解】解：∵、在一次函数上， ∴，， ， ， ∵，∴． 故选：B． 【点睛】本题考查一次函数的图象和性质，平方式的非负性，解题的关键是熟练运用一次函数图象上点的性质去列式求解． 2．（23-24八年级下·河南开封·期末）定义：在平面直角坐标系中，对于点，，若，则称点为点的“理想点”．如点为点的“理想点”，而点的“理想点”就是点．已知点为直线上一点，点的“理想点”为点，当时，，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征，解一元一次不等式，根据题意，当以及当时，理想点Q的坐标不同，应分别进行分析计算，关键在于理解理想点的定义，确定k的取值范围． 【详解】解：根据题意，可设点P坐标为， ①当时，点Q的纵坐标为，则， 解得：，即， ②当时，点Q的纵坐标为，则， 解得： ∴ x的取值范围是：， ∵当时，， ∴k的取值范围是：， 故答案为：． 3．（23-24八年级下·四川巴中·期末）已知：如图，直线AB的函数解析式为y=-2x+8，与x轴交于点A，与y轴交于点B．   （1）求A、B两点的坐标； （2）若点P(m，n)为线段AB上的一个动点(与A、B不重合)，作PE⊥x轴于点E，PF⊥y轴于点F，连接EF，若△PEF的面积为S，求S关于m的函数关系式，并写出m的取值范围；     （3）以上(2)中的函数图象是一条直线吗?请尝试作图验证． 【答案】（1）A(4，0)；（2）S△PET=-m2+4m，(0<m<4)；（3）见解析 【分析】（1）根据坐标轴上点的特点直接求值， （2）由点在直线AB上，找出m与n的关系，再用三角形的面积公式求解即可； （3）列表，描点、连线即可． 【详解】（1）解：令x=0，则y=8， ∴B(0、8) 令y=0，则2x+8=0 x=4 A(4，0)， （2）解：点P(m，n)为线段AB上的一个动点， -2m+8=n， ∵A(4．0) OA=4 ∴0<m<4 ∴S△PEF= PF×PE= ×m×(-2m+8)=2(-2m+8)=-m2+4m，(0<m<4)； （3）S关于m的函数图象不是一条直线，简图如下： ①列表 x 0 0.5 1 1.5 12 2.5 3 3.5 4 y 0 0.75 3 3.75 4 3.75 3 0.75 0 ②描点，连线（如图） 【点睛】此题考查一次函数综合题，坐标轴上点的特点，三角形的面积公式，极值的确定，解题的关键是求出三角形PEF的面积． 【经典例题六 求一次函数自变量或函数值】 【例6】（24-25八年级下·四川资阳·阶段练习）一次函数的图像一定经过点（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一次函数性质，将选项各点代入一次函数求解判断，即可解题． 【详解】解：A、当时，，一次函数的图像一定经过点，选项A不符合题意； B、当时，，一次函数的图像一定经过点，选项B不符合题意； C、当时，，一次函数的图像一定经过点，选项C不符合题意； D、当时，，一次函数的图像一定经过点，选项D符合题意； 故选：D． 1．（23-24八年级下·河南驻马店·期末）某商家为减少商品的积压，通过电商平台采取降价销售的策略，商品原售价480元/件， 随着不同幅度的降价，日销量发生相应的变化如下表所示： 降价/元 … 5 10 15 20 25 30 35 … 日销量/件 … 160 180 200 220 240 260 280 … 下列说法不正确的是（       ） A．当降价10元时，日销量为180件 B．每降价5元，日销量增加20件 C．当售价为420元，估计日销量为400件 D．估计降价之前的日销量为140件 【答案】C 【分析】根据图表，可得A、B、D正确，以此计算出售价为420元时的日销量，即可判断C， 本题考查了，自变量与因变量，解题的关键是：从表中正确获取信息． 【详解】解：由表可得：当降价10元时，日销量为180件，故A正确，不符合题意， 每降价5元，日销量增加20件，故B正确，不符合题意， 当售价为480元，日销量为：（件），故D正确，不符合题意， 当售价为420元，降价了（元），日销量为：（件），故C错误，符合题意， 故选：C． 2．（24-25八年级下·河南新乡·期中）定义：在平面直角坐标系中，函数图象上到两坐标轴的距离之和等于的点，叫做该函数图象的“阶和点”．例如，为一次函数的“3阶和点” ． （1）若点是关于的正比例函数的“阶和点”，则 ， ； （2）若关于的一次函数的图象经过一次函数图象的“5阶和点”， ． 【答案】 1 2 6或 【分析】本题主要考查了一次函数的图形与性质，一次函数图象上点的坐标的特征，待定系数法． （1）由点在正比例函数的图象上，利用一次函数图象上点的坐标特征，可求出m的值，由点是y关于x的正比例函数的“阶和点”，可求出n的值； （2）利用分类讨论的方法和“5阶和点”的定义求得“5阶和点”，再利用待定系数法解答即可． 【详解】解：（1）∵点是y关于x的正比例函数的点， ∴， ∴， ∵点到两坐标轴的距离之和等于2， ∴点是y关于x的正比例函数的“2阶和点”， ∴． 故答案为：1，2； （2）设一次函数图象的“5阶和点”为，则，， 一次函数图象经过第一、二、三象限， 当在第一象限时，， ∴，， ∴一次函数图象的“5阶和点”为， ∴一次函数的图象经过， ∴， ∴； 当在第二象限时，，由于，此种情形不存在； 当在第三象限时，， ∴，， ∴一次函数图象的“5阶和点”为， ∴一次函数的图象经过， ∴， ∴． 综上，关于的一次函数的图象经过一次函数图象的“5阶和点”，k的值为6或， 故答案为：6或． 3．（23-24八年级下·山西晋城·期末）综合与实践 问题情境：“综合与实践”课上，老师请同学们探索一次函数的图象与系数的关系．老师给出两个一次函数，（a，b均不为0，且），同学们利用图形计算器画出a，b不同取值下的两个一次函数的图象，并观察它们的交点位置．三个小组分别绘制了当（时的函数图象，得到了不同情况下函数和的图象的交点坐标． 数学思考：（1）请从（I）当时；（Ⅱ）当时；（Ⅲ）当时，三组值中任选一组，求此时函数和的图象的交点坐标． 注：如果选择多组条件分别作答，按第一个解答计分． 深入探究：（2）老师请同学们经过思考，提出新的问题． ①“运河小组”提出问题：不论a，b如何取值，函数和的图象的交点的横坐标都是定值．请你证明结论，并求出这个定值． ②“武林小组”提出问题：若，要比较和的大小，需要分类讨论．请你比较和的大小． ③不论a，b如何取值，当x等于某个正数时，函数和的值都存在某种确定的等量关系，请你直接写出结论． 【答案】（1）答案不唯一，见解析；（2）①证明见解析，定值为-1；②当时，；当时，；当时，；③当时， 【分析】本题考查了一次函数的交点问题，分类讨论是解答本题的关键． （1）数学思考：分别将三组数据代入解析式，联立方程组解答交点坐标即可； （2）①联立解析式，求出的值，根据，均不为0，且，得到为定值即可； ②令，则，得；令，则得； ③两解析式相加得），即时，不论，如何取值，． 【详解】解：（1）选择（Ⅰ）时函数和的图象的交点坐标是； 选择（Ⅱ）时函数和的图象的交点坐标是； 选择（Ⅲ）时函数和的图象的交点坐标是． （2）①由题意，得， 所以， 因为， 所以． 所以不论a，b如何取值，函数和的图象的交点的横坐标都是定值． ②由题意，得， 因为，所以， 所以当时，，； 当时，，； 当时，，． ③当时，． 【经典例题七 判断一次函数的增减性】 【例7】（24-25八年级下·福建龙岩·期中）下列一次函数中，随着的增大而减小的是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了正比例函数的性质，一次函数的性质，根据一次函数的性质即可得出答案，解题的关键是熟记在直线中，当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小． 【详解】解：中，时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小， ∴只有选项中，，符合题意； 故选：D． 1．（23-24八年级下·河南南阳·期末）已知点，，都在直线上，则，，的大小关系是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数的增减性和实数的大小比较，熟知：时，随增大而增大；时，随增大而减小是解题的关键．根据，可得随增大而增大，即可解答． 【详解】解：直线中，， 随增大而增大， ， ， 故选：C． 2．（24-25八年级下·四川攀枝花·期末）已知直线与轴交于点，直线与轴交于点．设，当时，随着的增大而 ．（填“增大”或“减小”） 【答案】增大 【分析】本题考查了一次函数的知识，掌握了以上知识是解题的关键； 本题需要先求出，然后根据，得到，然后即可求解． 【详解】解：把代入，得，， 把代入，得，， ∴， ， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴随着的增大而增大． 故答案为：增大 3．（23-24八年级下·湖南衡阳·期中）设a，b是任意两个不相等的实数，我们规定：当时，满足不等式的实数x的所有取值的全体叫做“稳定区间”，表示为，对于一个函数，如果它的自变量x与函数值y满足：，有我们就称此函数是稳定区间上的“稳定函数”． (1)正比例函数是稳定区间上的“稳定函数”吗？请判断并说明理由； (2)若一次函数是稳定区间上的“稳定函数”，求m，n的值； (3)若函数是稳定区间上的“稳定函数”，且a，b为整数，求数a，b的值． 【答案】(1)正比例函数是稳定区间上的“稳定函数”，见解析 (2)，； (3)，或，或，或，或，. 【分析】此题考查了一次函数的性质，求一次函数的函数值： （1）根据定义分别计算x，y的区间，即可判断； （2）由一次函数是稳定区间上的“稳定函数”，得，，分两种情况解答； （3）当时，一次函数在稳定区间上y随x的增大而增大，当时， 一次函数在稳定区间上y随x的增大而减小，分三种情况讨论解答即可． 【详解】（1）解： 是稳定区间上的“稳定函数” ∵，∴y随x的增大而增大， ∴当时，；当时，， ∴， ∴正比例函数是稳定区间上的“稳定函数”； （2）∵一次函数是稳定区间上的“稳定函数”， ∴，， 分两种情况： ①若时，y随x的增大而增大， ∴时，； 时，， ∴，； ②若时，y随x的增大而减小， ∴时，； 时，， ，矛盾， 综合以上两种情况可知：，； （3）当时，一次函数在稳定区间上y随x的增大而增大，当时， 一次函数在稳定区间上y随x的增大而减小； ∴分以下三种情况讨论： ①当时，根据闭函数定义知：，解得：（舍）； ②当时，此时函数的最大值，由稳定区间上稳定函数定义知，或， 即或，解得：或（舍）； ③当时，根据稳定函数定义知：，， ∴，∵a与b是整数， 解得：或或或； 综上，，或，或，或，或，． 【经典例题八 根据一次函数增减性求参数】 【例8】（24-25八年级下·河南驻马店·期中）已知点在一次函数的图象上，且，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一次函数的增减性，解一元一次不等式，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键． 由题目条件可判断出一次函数的增减性，则可得到关于的不等式，可求得的取值范围． 【详解】解：∵点在一次函数的图象上，且， ∴随的增大而增大， ∴，解得：， 故选：C． 1．（24-25八年级下·四川乐山·阶段练习）已知一次函数的图象经过点A，且y的值随着x值的增大而减小，则点A的坐标可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一次函数的图象和性质，根据题意，得到，当时，，进而得到当时，，当时，，进行判断即可． 【详解】解：∵一次函数的图象经过点A，且y的值随着x值的增大而减小， ∴，当时，， ∴当时，，当时，， ∴点的坐标可以为； 故选C． 2．（24-25八年级下·河南开封·期末）已知点，，且，两点不重合，线段的长度随的增大而减小，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了坐标与图形性质，根据题意得出线段平行于轴，进而可表示出线段的长度，再利用分类讨论的数学思想即可解决问题． 【详解】解：因为点坐标为，点坐标为 ， 所以线段平行于轴， 则， 因为，两点不重合， 所以，即， 当时， ， 此时随的增大而增大，故不符合题意； 当时， ， 此时随的增大而减小， 所以的取值范围是． 故答案为：． 3．（24-25八年级下·四川内江·阶段练习）已知一次函数的图象与y轴的负半轴相交，y随x的增大而减小，且m为整数． (1)求m的值； (2)求该图像与坐标轴围成的三角形的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了一次函数与几何综合，一次函数图象的性质，解不等式组： （1）根据增减性可得一次项系数小于0，根据图象与y轴的负半轴相交可得常数项小于0，据此可得，解不等式组即可得到答案； （2）根据（1）所求得到函数解析式，进而求出一次函数与x轴，y轴的交点坐标，再根据三角形面积计算公式求解即可． 【详解】（1）解：∵一次函数的图象与y轴的负半轴相交，y随x的增大而减小， ∴， 解得， ∵m为整数， ∴； （2）解：当时，一次函数解析式为， 在中，当时，，当时，， ∴一次函数与x轴，y轴的交点坐标分别为，， ∴一次函数与坐标轴围成的三角形面积为． 【经典例题九 根据一次函数的增减性判断自变量的变化情况】 【例9】（24-25八年级下·福建厦门·期末）如图是一次函数的图象，点，点在该函数图象上，下列选项正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据图像得到，随增大而增大，根据，即可求解， 本题考查了，一次函数的增减性，解题的关键是：熟练掌握一次函数的增减性． 【详解】解：如图可知， ∴随增大而增大， ∵， ∴， 故选：C． 1．（23-24八年级下·福建漳州·期末）如表所示，取一次函数的部分自变量的值和对应的函数值，根据信息，下列说法正确的个数是（    ） 0 2024 ①；②当时；③；④不等式的解集是． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式，一次函数图象上点的坐标特征，认真体会一次函数与一元一次不等式之间的内在联系及一次函数的增减性是解决本题的关键．根据表格数据逐项判定即可求解． 【详解】解：①由表格可知，时，， ∴， 即．故本选项说法正确，符合题意； ②由表格可知，时，，且y随x的增大而增大， ∴当时，故本选项说法正确，符合题意； ③由表格可知，时，，即， ∴，故本选项说法错误，不符合题意； ④由表格可知，时，，且y随x的增大而增大， ∴不等不等式的解集是，故本选项说法正确，符合题意； 综上所述，说法正确的有3个． 故选：C 2．（2024八年级·全国·竞赛）如图是函数的图象，则点的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查分段函数图象，一次函数的性质．由图象获取到点是函数增减性的转折点是解题的关键． 根据点是函数增减性的转折点，则点的横坐标是4，把代入函数解析式计算即可求解． 【详解】解：由图象可知：点是函数增减性的转折点， 点的横坐标是4， 当时，则 ∴． 故答案为：． 3．（23-24八年级下·河南南阳·期中）已知函数，    (1)画出的图象，图像分别与，轴交于，两点； (2)若为坐标原点，求的面积； (3)当，的取值范围是_________； (4)在满足条件______时，． 【答案】(1)见解析 (2) (3) (4) 【分析】（1）解出的图象与，轴交于，两点的坐标，过两点作直线即可； （2）利用三角形的面积公式解答即可； （3）根据图象作答即可； （4）根据图象作答即可． 【详解】（1）当时，，当时，， ∴， 作图如下：    （2）； （3）当，随x的增大而减小， 当时，y最大，； 当时，y最小，； ∴的取值范围是， 故答案为：； （4）由图象可知，时，， 故答案为：． 【点睛】本题考查了作一次函数的图象，一次函数图象上的点的坐标特征，熟练掌握知识点，运用数形结合的思想是解题的关键． 【经典例题十 比较一次函数值的大小】 【例10】（24-25八年级下·广西桂林·期中）已知点，都在直线上，则，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一次函数图像上点的坐标特征，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键．根据一次函数图像上点的坐标特征进行解答即可． 【详解】解：直线的，随的增大而减小， ， 故， 故选A． 1．（23-24八年级下·福建厦门·期末）已知一次函数的图象经过点，，，若，则下列一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式，一次函数的性质．由可知随的增大而减小，然后利用一次函数的性质即可得到． 【详解】解：一次函数的图象经过点，，，若， 随的增大而减小， 时，，且， ， 故选：D． 2．（24-25八年级下·广西百色·期中）若点和点在一次函数的图象上，则 （用“>”、“<”或“=”连接）． 【答案】 【分析】本题主要考查一次函数，熟练掌握一次函数的图像和性质是解题的关键．根据一次函数的解析式求出和的值，即可比较大小． 【详解】解：点和点在一次函数的图象上， ， ， 故． 故答案为：． 3．（23-24八年级下·河南开封·期末）定义：在平面直角坐标系中，对于一次函数，我们把的函数称为一次函数的反射函数． (1)写出一次函数的反射函数y'的关系式，并在坐标系中画出y'的图象． (2)若，都在（1）中y'图象上，，若，求a的取值范围． (3)已知点C（p，q）是（1）中y图象上的动点，点是同一坐标平面上的一个动点，当时，求p的取值范围． 【答案】(1)，画图见解析 (2) (3) 【分析】本题考查的是一次函数综合运用，涉及到函数作图，解不等式、新定义等，数形集合是解题的关键. （1）由题意即可求出函数表达式，取点、描点、连线绘制图象即可； （2）同理可得：即可求解； （3）联立上式和得: 解得：联立和 同理可得： 当 时, 即 即可求解. 【详解】（1）由题意得: 当,, 当,, 当, 将上述点描点、连线绘制图象如下： （2）则, , 就点、在和上, 则, 同理可得:, ∵, 即, 解得: , 即； （3）由点的坐标知，点在直线 (下图,虚线)上, 联立上式和得: 解得： 联立和 同理可得： 当时, 即 即 【经典例题十一 列一次函数解析式并求值】 【例11】（2024·陕西汉中·三模）若关于的方程的解是，则直线一定经过点（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了一元二次方程解的定义，一次函数的性质等等，先把代入方程中得到，进而得到当时，，据此可得答案． 【详解】解：∵关于x的方程的解是， ∴， ∴， ∴直线解析式为， ∴当时，，即直线一定经过点， 故选：D． 1．（23-24八年级下·全国·期末）如右图所示，直线m是一次函数y=kx+b的图像，则k的值是（    ） A．-1 B．-2 C．1 D．2 【答案】D 【分析】将图像经过的两个点坐标代入解析式即可求出k的值. 【详解】将点（1,0），（0，-2）代入y=kx+b，得 ，解得， 故选：D. 【点睛】此题考查利用图像求一次函数的解析式，准确表示点的坐标是解题的关键，利用待定系数法求函数解析式. 2．（2024·山西晋城·模拟预测）“闪送”是1小时同城速递服务领域的开拓者和一对一急送服务标准的制定者．客户下单后，订单全程只由唯一的“闪送员”专门派送，平均送达时间在60分钟以内，同时避免传统快递服务的中转、分拣，配送过程中存在的诸多安全性问题．某闪送公司每月给闪送员的工资为：底薪1700元，超过300单后另加送单补贴（每送一个包裹称为一单），送单补贴的具体方案如下： 送单数量 补贴（元/单） 每月超过300单且不超过500单的部分 5 每月超过500单的部分 7 设该月某闪送员送了单，所得工资为元，则与的函数关系式为 ． 【答案】 【分析】该员工的工资包括底薪1700元，每月超过300单且不超过500单的部分200×5=1000元，超过500单的7（x-500）元，然后求和即可． 【详解】解：y=1700+200×5+7（x-500）=7x-800． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了列函数解析式，正确理解题意成为解答本题的关键． 3．（23-24八年级下·全国·课后作业）如图，甲、乙两地相距，现有一列火车从乙地出发，以的速度向丙地行驶．    设表示火车行驶的时间，表示火车与甲地的距离． （1）写出与之间的关系式，并判断是否为的一次函数； （2）当时，求的值． 【答案】（1），是的一次函数；（2）140 【分析】（1）根据题意，首先计算得出y与x之间的关系式，再根据一次函数的性质分析，即可得到答案； （2）根据（1）的结论，将x=0.5代入到一次函数并计算，即可得到答案． 【详解】（1）根据题意，火车与乙地的距离表示为：80x（km） ∵甲、乙两地相距100km ∴火车与甲地的距离表示为：（100+80x）km ∴y=100+80x ∴y是x的一次函数； （2）当时，得：y=100+80×0.5=140． 【点睛】本题考查了一次函数的知识；解题的关键是熟练掌握一次函数的性质，从而完成求解． 【经典例题十二 判断一次函数的图象】 【例12】（24-25八年级下·重庆·阶段练习）两个一次函数与，它们在同一直角坐标系中的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一次函数的图象和性质， 观察题中所给选项，根据图象判断a、b的正负，如果通过两个一次函数图象所判断的a、b的正负一致，即为正确选项． 【详解】解：A．的图象过第一、三、四象限，所以，，的图象过第二、三、四象限，由此判断，，由两个图象判断出的a的取值矛盾，故本选项错误； B．的图象过第一、二、三象限，所以，，的图象过第一、二、四象限，由此判断，，由两个图象判断出的b的取值矛盾，故本选项错误； C．的图象过第一、三、四象限，所以，，的图象过第一、二、四象限，由此判断，，由两个图象判断出的a、b的正负一致，故本选项正确； D．的图象过第一、二、四象限，所以，，的图象过第二、三、四象限，由此判断，，由两个图象判断出的b的取值矛盾，故本选项错误； 故选C． 1．（23-24八年级下·山西临汾·开学考试）一次函数，将函数变形为．当时，，所以无论a取任何实数，一次函数过定点．已知一次函数，正方形，A ，B ，C ，D ，若一次函数的图象与正方形的边有交点，则k的取值范围是（    ） A． 或 B．或 C． D． 【答案】B 【分析】先求出无论k取任何实数，一次函数过定点，画出图形，当一次函数过点A 时，可得，当一次函数过点B 时，可得，数形结合，即可求解． 【详解】一次函数，将函数变形为． 当时，， ∴无论k取任何实数，一次函数过定点， 如图，    当一次函数过点A 时， 有：，解得：， 当一次函数过点B 时， 有：，解得：， ∵一次函数的图象与正方形的边有交点， ∴，结合图象可知：或， 故选：B． 【点睛】本题考查了一次函数的图象，坐标与图形，根据题干求出一次函数过定点，是解答本题的关键． 2．（23-24八年级下·全国·单元测试）如图，四个一次函数，，，的图象如图所示，则a，b，c，d 的大小关系是 ． 【答案】 【分析】此题考查函数的图象，根据一次函数图象的性质分析，了解一次函数图象的性质：当时，图象经过一、三象限，随的增大而增大；当时，图象经过二、四象限，随的增大而减小．同时注意直线越陡，则越大． 【详解】解：由图象可得：，，，， 由于直线比陡，直线比陡， ，， ， 故答案为：． 3．（23-24八年级下·山西长治·期中）已知一次函数． （1）试判断点与点，是否在这个函数的图象上； （2）在如图所示的平面直角坐标系中画出这个函数的图象并回答：通过平移这个函数的图象，能否得到正比例函数的图象？如果能，请直接写出平移方法，如果不能，请说明理由． 【答案】（1）点不在这个函数的图象上，点在这个函数的图象上，见解析；（2）能，向下平移个单位长度（或向左平移个单位长度），见解析 【分析】（1）把点的坐标分别代入函数的解析式，看看两边是否相等即可； （2）根据列表、描点、连线画出图象，观察图象即可求解． 【详解】解：（1）当时，， 点不在这个函数的图象上， 当时，， 点在这个函数的图象上． （2）1．列表 2．描点 3．连线 能，向下平移个单位长度（或向左平移个单位长度）． 【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，能理解函数图象上点的坐标的特点是解题的关键，代入函数解析式，左边=右边． 【经典例题十三 画一次函数图象】 【例13】（2024·河南开封·三模）如图，函数的图像所在坐标系的原点是（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】B 【分析】首先去绝对值，列出分段函数，再画出函数图像，与所给图像进行对比，即可得出答案． 【详解】解：由可得， 函数图像如下所示： 对比所给图像可知，点是坐标系的原点． 故选B． 【点睛】本题考查一次函数的图像和性质，解题的关键是列出分段函数． 1．（23-24八年级下·河南驻马店·期末）直角坐标系中，我们定义横、纵坐标均为整数的点为整点.在的范围内，直线和所围成的区域中，整点一共有（    ）个. A．12 B．13 C．14 D．15 【答案】A 【分析】根据题意，画出直线和的函数图像，在的范围内寻找整点即可得解. 【详解】根据题意，如下图所示画出直线和在范围内的函数图像，并标出整点： 有图可知，整点的个数为12个， 故选：A. 【点睛】本题主要考查了函数图像的画法及新定义整点的寻找，熟练掌握一次函数图像的画法以及理解整点的含义是解决本题的关键 2．（2024·四川内江·三模）一次函数和的图像交于点（a，n），直线y＝n﹣1与和的图像分别交于点（b，n﹣1）和（c，n﹣1）．若＞0，＜0，则a、b、c从大到小排列应为 ． 【答案】c＞a＞b 【分析】依据条件画出一次函数图像可直观判断． 【详解】解：∵＞0，＜0， 点（b，n﹣1）和（c，n﹣1）纵坐标相等 ∴ y＝n﹣1是一条水平线 画出满足题意位置关系的函数图像如下， 由图像易得：c＞a＞b， 故答案为：c＞a＞b． 【点睛】本题考查一次函数的图像及性质，依据性质去画出图像是解题关键． 3．（2024八年级下·全国·专题练习）（1）如图，指出平面直角坐标系中的两个图象，可以怎样由的图象得到，并写出相应的函数表达式； （2）将的图象分别向上平移2个单位长度、向下平移3个单位长度，画出平移后的图象，并写出相应的函数表达式 ___________． 【答案】（1），；（2）图象见解析，； 【分析】此题考查了一次函数与几何变换，涉及的知识有：平移的性质及图象的画法，熟练掌握平移性质是解本题的关键． （1）利用平移规律“上加下减”确定出平移后函数解析式即可； （2）利用平移规律确定出平移后函数解析式，然后再画出图形． 【详解】解：（1）由图象知，l1是将的图象向上平移3个单位长度得到的，其函数表达式为； 是将的图象向下平移2个单位长度得到的，其函数表达式为； （2）将的图象向上平移2个单位长度得到的函数表达式为； 将的图象向下平移3个单位长度得到的函数表达式为； 函数图象如图所示： 故答案为：yx+2；yx﹣3． 【经典例题十四 根据一次函数解析式判断其经过的象限】 【例14】（24-25八年级下·四川达州·期中）已知一次函数，随着的增大而增大，且，则在直角坐标系内它的大致图象是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，由一次函数，随着的增大而增大，则，通过得，从而可知此函数的图象经过一、二、三象限，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题的关键． 【详解】解：∵一次函数，随着的增大而增大， ∴， ∵， ∴， ∴此函数的图象经过一、二、三象限， 故选：． 1．（24-25八年级下·全国·课后作业）已知一次函数的图象与轴交于负半轴，且不经过第一象限，则该函数的图象与一次函数的图象的交点在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【详解】一次函数的图象与轴交于负半轴，且不经过第一象限，，画图如解图所示， 由图象可知，两函数图象交点在第四象限． 2．（23-24八年级下·四川内江·期末）如果函数y＝ax＋b（，）和y＝kx（）的图像交于点P，那么点P位于第 象限． 【答案】三 【分析】根据一次函数y＝ax＋b中a、b的符号确定其图像所在象限，再根据k的符号确定函数y＝kx所在象限，两函数图像都经过的象限就是点P所在象限． 【详解】解：∵函数中，， ∴图像经过第二、三、四象限， ∵y＝kx中， ∴图像经过第一、三象限， ∴两函数图像交于点P时，点P位于第三象限． 故答案为：三． 【点睛】本题主要考查了根据函数解析式判断其经过的象限，解题关键是正确判断两个函数所经过的象限． 3．（23-24八年级下·福建莆田·期中）已知：一次函数y＝﹣x+2的图象分别与x轴、y轴交于点A、B． （1）请直接写出A，B两点坐标：A　 　、B　 　 （2）在直角坐标系中画出函数图象； （3）若平面内有一点C（5，3），请连接AC、BC，则△ABC是　 　三角形． 【答案】（1）（3，0）；（0，2）．（2）详见解析；（3）等腰直角． 【分析】（1）利用一次函数解析式求得点A、B的坐标； （2）由两点确定一条直线作出图形； （3）根据两点间的距离公式和勾股定理的逆定理解答． 【详解】（1）令y＝0，则x＝3，即A（3，0）． 令x＝0，则y＝2，即B（0，2）． 故答案是：（3，0）；（0，2）． （2）如图， （3）因为A （3，0）、B （0，2）、C（5，3）， ∴AB2＝32+22＝13，BC2＝52+12＝26，AC2＝22+32＝13， ∴BC2＝AB2+AC2，且AB＝AC， ∴∠CAB＝90°， ∴△ABC是等腰直角三角形． 故答案是：等腰直角． 【点睛】考查了一次函数图象上点的坐标特征，一次函数的图象．解答（3）题时，注意△ABC是等腰直角三角形，不要只写直角三角形． 【经典例题十五 已知函数经过的象限求参数范围】 【例15】（24-25八年级下·河南新乡·阶段练习）在平面直角坐标系中，已知点，直线与线段有交点，则k的取值范围为（ ） A． B．且 C．或 D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数与线段相交求参数问题，理解经过两点求得的是的最值是解题的关键． 先确定直线过定点，要使直线与线段有交点，分别将代入，求得的值，即可求解． 【详解】解：∵当时，，即直线过定点， ∴当直线经过点，得：， 解得：， 当直线经过点，得：， 解得：， ∴当直线与线段有交点， ∴或， 故选：C． 1．（24-25八年级下·吉林长春·期中）直线与直线在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，掌握一次函数的图象与性质，数形结合是本题的关键．根据两个一次函数的图象逐一分析系数符号即可解决． 【详解】解：A、直线中，，中，，k的取值相矛盾，故本选项不符合题意； B、直线中，，中，，b的取值相矛盾，故本选项不符合题意； C、直线中，，中，，故本选项符合题意； D、直线中，，中，，k，b的取值相矛盾，故本选项不符合题意； 故选：C． 2．（24-25八年级下·吉林长春·开学考试）已知一次函数的图象经过第一、三、四象限，则m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查一次函数图象在坐标平面内的位置与k、b的关系．根据一次函数图象与系数的关系得到，，然后求出不等式组的解集即可． 【详解】∵一次函数的图象经过第一、三、四象限， ∴，， 解得， 故答案为：． 3．（23-24八年级下·河南新乡·期末）在平面直角坐标系中，设一次函数（a为常数，且）． (1)若函数图象过坐标原点，求a的值． (2)已知该函数图象经过第一，三，四象限． ①求a的取值范围． ②点和点在该函数图象上，若，，求证：． 【答案】(1) (2)①；②见解析 【分析】（1）本题考查一次函数的图象和性质，掌握函数图象过坐标原点体现在解析式上就是，解方程即可解题． （2）①本题考查一次函数的图象和性质和不等式解集，理解函数图象经过第一、三、四象限时和的取值范围即可解题． ②本小问将、两点代入一次函数解析式，根据题意建立方程和不等式，即可解题． 【详解】（1）解：将代入一次函数，得． 解得． （2）解：①函数图象经过第一、三、四象限， ，， 解得． ②证明：把点和点代入一次函数， 得，， ， ， ，即， ， ， ， ， ． 【经典例题十六 求一次函数解析式】 【例16】（24-25八年级下·福建漳州·期末）一次函数的与的部分对应值如下表所示，根据表中数值分析，下列说法正确的是（   ） … 0 1 2 … … 1 4 … A．的值随值的增大而减小 B．该函数的图象不经过第四象限 C．关于的方程的解是 D．当时， 【答案】D 【分析】根据表格中的数据和一次函数的性质，可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题． 【详解】解：由表格可得， A、y随x的增大而增大，原说法错误，故此选项不符合题意； B、当时，，可知，y随x的增大而增大，可知，则该函数图象经过第一、三、四象限，不经过第二象限，原说法错误，故此选项不符合题意； C、∵点，在该函数图象上， ∴，解得， ∴， 时，，故方程的解是，原说法错误，故此选项不符合题意； D、点在该函数图象上，y随x的增大而增大，∴当时，，原说法正确，故此选项符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查一次函数与一元一次方程、一次函数的性质，解答本题的关键是利用一次函数的性质解答． 1．（23-24八年级下·重庆江北·期中）一次函数的图象经过点，则k的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，牢记“直线上任意一点的坐标都满足函数关系式”是解题的关键． 由一次函数的图象经过点，利用一次函数图象上点的坐标特征，可得出关于的一元一次方程，解之即可得出的值． 【详解】解：∵一次函数的图象经过点， ， 解得：， ∴的值是1． 故选：B． 2．（24-25八年级下·全国·期末）在平面直角坐标系中，点、、在同一直线上，若m与n互为倒数，则 ． 【答案】3 【分析】本题主要考查一次函数的应用，运用待定系数法求出直线的解析式为，得出，通过变形得出，根据m与n互为倒数进一步可得出结论． 【详解】解：设直线的解析式为， 把、代入，得： ， 解得， ∴直线的解析式为， ∵点在直线上， ∴， ∴， 与互为倒数， ， ． 故答案为：3． 3．（24-25八年级下·河南开封·期末）在测浮力的实验中，将一长方体石块由玻璃器皿的上方，向下缓慢移动浸入水里的过程中，弹簧测力计的示数与石块下降的高度之间的关系如图所示． (1)求所在直线的函数表达式； (2)当石块下降的高度为时，求此刻该石块所受浮力的大小．（温馨提示：当石块位于水面上方时，；当石块入水后，） 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，求一次函数的函数值，解题的关键是读懂题意，把实际问题转化为数学问题． （1）用待定系数法可得所在直线的函数表达式； （2）结合（1），求出石块下降的高度为时，的值，即可得到答案． 【详解】（1）设所在直线的函数表达式为， 将，代入得： 解得 ∴所在直线的函数表达式为； （2）在中，令得， ∵， ∴当石块下降的高度为时，该石块所受浮力为． 【经典例题十七 一次函数图象与坐标轴的交点问题】 【例17】（2024·四川眉山·模拟预测）已知与是一次函数．若，那么如图所示的个图中正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一次函数的图象，其图象是直线，要求学生掌握通过函数的解析式，判断直线的位置及与坐标轴的交点． 联立方程，得出两直线的交点为，依次分析选项可得答案． 【详解】解：联立方程，可解得，故两直线的交点为， 选项中交点纵坐标是0，即，但根据图象可得，故选项不符合题意； 而选项中交点横坐标是负数，故选项不符合题意； 选项中交点横坐标是负数，选项不符合题意； 选项中交点横坐标是正数，纵坐标是正数，即，根据图象可得，故选项符合题意； 故选：． 1．（23-24八年级下·吉林长春·期末）如图，在平面直角坐标系中，我们把横、纵坐标都是整数的点叫做整点．例如点M的坐标是，点M就是一个整点．已知一次函数的图象与x轴正半轴交于点A，与y轴正半轴交于点B，如果内部（不包括边上）的整点只有1个，那么b的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了一次函数图象和性质，根据题意画出直线和，根据图象即可得到答案. 【详解】解：当时，， 当时，，解得， ∵一次函数的图象与x轴正半轴交于点A，与y轴正半轴交于点B， ∴点A的坐标为，点B的坐标为，其中， 如图，画出直线和， 由图象可知当时，内部（不包括边上）的整点只有1个， 故选：B. 2．（23-24八年级下·四川攀枝花·期中）如图，直线：，直线：分别交y轴于A，B两点，过B作y轴垂线交直线于，过作垂线交于，再过，作垂线交直线于，过作垂线交于，…依次类推，则的坐标是 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了一次函数的图象及一次函数图象上点的坐标，先求出点，点，由轴，得点的纵坐标为，进而得点的横坐标为，再由得点的横坐标为，进而得点的纵坐标为同理：点的纵坐标为，横坐标为，点的横坐标为，纵坐标为点的纵坐标为，横坐标为，点的横坐标为，纵坐标为依次类推，的纵坐标为，则的纵坐标为然后根据点在直线上即可求出点的坐标，准确地找出点的纵坐标为是解决问题的关键． 【详解】解：对于当时， ∴点的坐标为， 对于当时， ∴点的坐标为， 轴， ∴点的纵坐标为， 对于当时， ∴点的横坐标为， ∴点的横坐标为， 对于当时， ∴点的纵坐标为 同理：点的纵坐标为，横坐标为， 点的横坐标为，纵坐标为 点的纵坐标为，横坐标为， 点的横坐标为，纵坐标为 依次类推，的纵坐标为 的纵坐标为 ∵点在直线上， ∴当时， 解得： ∴点的坐标为， 故答案为：． 3．（2024·河南驻马店·三模）在初中阶段的函数学习中，我们经历了“确定函数的表达式→利用函数图象研究其性质→运用函数解决问题”的学习过程．结合学习函数的经验，探究函数的图象与性质，探究过程如下，请补充完整． （1）列表： x … 0 1 2 3 4 … y … b … （2）描点并连线． （3）观察图象并填空： ① ， ②写出该函数的一条性质： ③图象与x轴围成的三角形面积为 ④当时，直接写出x的取值范围 【答案】（2）见解析；（3）①，；②当时，y随x增大而增大（或）当时，y随x增大而减小（或）当时，y取最小；③16；④或 【分析】本题考查画函数图象，利用函数图象分析解决问题，掌握描点画图是解题的关键． （2）根据表格描出各点，然后连接即可得到图象； （3）①把给的任一点的坐标代入求出，然后把代入解题即可； ②观察图象得到性质即可； ④先根据求出自变量x的值，然后借助图象回答即可． 【详解】（2）如图 （3）①把，代入得，解得， ∴当时，， 故答案为：，； ②当时，y随x增大而增大  （或）当时，y随x增大而减小  （或）当时，y取最小 ③令，则，解得，， ∴图象与x轴围成的三角形面积为， 故答案为：16 ； ④令，则，解得，， ∴由图像可知，当时，直接写出x的取值范围或． 【经典例题十八 一次函数图象平移问题】 【例18】（24-25八年级下·四川攀枝花·期末）如图，在平面直角坐标系中，边长为3的正方形在第一象限内，轴，点的坐标为，直线的表达式为：．将直线沿轴向上平移个单位，使平移后的直线与正方形有交点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数图象的几何变换．根据题意求得正方形各顶点的坐标，然后根据待定系数法求得直线l的解析式，直线平移，斜率不变，设平移后的直线方程为；把点B和D的坐标代入进行解答即可． 【详解】解：∵长为3的正方形中，点的坐标为， ∴，， 将直线沿轴向上平移个单位后扔解析式为，， 当直线与正方形有唯一一个交点时，即直线经过点B，D， 当经过点D时，有，解得，； 当经过点B时，有，解得，； 所以，直线与正方形有交点，则的取值范围是， 故选：B． 1．（24-25八年级下·四川资阳·阶段练习）将直线经过适当变换后得到直线，要使经过原点，则可以将直线（   ） A．向上平移个单位 B．向下平移个单位 C．向右平移个单位 D．向左平移个单位 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数图象的平移，首先求出一次函数图象与轴的交点坐标为，如果平移后直线经过原点，则要平移后图象要经过点，所以要向右平移个单位长度． 【详解】解：当时，可得：， 解得：， 直线与轴的交点坐标为， 直线经过适当变换后得到直线，要使经过原点， 则直线与轴的交点坐标为， 需要向右平移个单位长度， 故选：C． 2．（23-24八年级下·四川宜宾·阶段练习）如图，是由直线围成的封闭图形，若直线与没有交点，则k的取值范围是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了一次函数的图象与系数的关系，直线相交或平行问题，熟练掌握直线相交或平行问题的特点是解题的关键．分别利用当直线过点C时及当直线过点A时的值，据此即可求解． 【详解】解：一次函数中，令，得， ， 将联立方程组得： ，解得：， ， 一次函数中，令，则， 故， 直线过定点，如图， 当直线过点C时，将代入得： ，解得：， 当直线过点A时，则直线与轴平行， 所以将直线绕点D从直线位置逆时针旋转到直线位置时，与没有交点， 故直线与没有交点，则k的取值范围是， 故答案为：． 3．（23-24八年级下·四川宜宾·期末）创新小队在学习一次函数的图象与性质时，发现一次函数的图象可以由正比例函数的图象通过上下平移或左右平移得到，于是，他们进行了如下的探究活动． (1)请你完成探究活动中的相关问题： ①将的图象向上平移4个单位，得到的直线l，则l的表达式为__________； ②请在平面直角坐标系中，画出直线l的图象； ③直线l与x轴的交点坐标是__________； ④观察图象，直线l也可以看作由的图象向______（填“左”或“右”）平移_______个单位得到． (2)将向下平移3个单位得到的图象，相当于将向_______（填“左”或“右”）平移_______个单位得到； (3)将下平移个单位得到的图象，相当于将向_______（填“左”或“右”）平移_______个单位得到． 【答案】(1)①；②图见详解；③；④左，2； (2)左，9； (3)右，． 【分析】（1）①根据平移的性质直接写出答案即可；②根据①的解析式求出与坐标轴的交点找到点画出即可；③令即可得到答案；④根据图像看与x轴交点移动情况即可得到答案； （2）将平移后的解析式变形即可得到答案； （3）将平移后的解析式变形即可得到答案． 【详解】（1）①解：由函数图像的平移性质：上加下减左加右减得， ； ②当时，，当时，找到，，过两点画直线即为所求， ③由②得， 当时，， ∴直线l与x轴的交点坐标是：； ④，故向左移动了2个单位； （2）解：由题意可得， ， 故答案为：向左平移了9个单位； （3）解：由题意可得， ， ∴向右平移了 个单位． 【点睛】本题考查函数图像的平移性质：上加下减左加右减；两点法画一次函数． 【经典例题十九 一次函数的规律探究问题】 【例19】（23-24八年级下·河南鹤壁·阶段练习）在平面直角坐标系中，直线l经过点，点按如图所示的规律排列在直线l上．若直线l上任意相邻两个点的横坐标都相差1，纵坐标也都相差1，若点（为正整数）的纵坐标为，则n的值为（    ） A．4042 B．4043 C．4044 D．4045 【答案】B 【分析】观察可以发现：①n为奇数时，横坐标纵坐标变化得出规律；②n为偶数时，横坐标纵坐标变化得出规律，再求解即可． 【详解】解：观察①n为奇数时，横坐标变化： 纵坐标变化为： ， ②n为偶数时，横坐标变化： 纵坐标变化为：， ∵点（n为正整数）的纵坐标为， ∴，解得． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了一次函数图像上点的坐标特征，找出坐标的规律是解题的关键． 1．（23-24八年级下·山西长治·期末）如图，直线：与直线：相交于动点，直线与y轴交于点A，一动点C从点A出发，先沿平行于x轴的方向运动，到达直线上的点处后，改为垂直于x轴方向运动，到达直线上的点A1处后，再沿平行于x轴的方向运动，到达直线上的点处后，又改为垂直于x轴的方向运动，到达直线的点处后，仍沿平行于x轴的方向运动，．．．，照此规律运动，动点C依次进过点，，，，，，…，，则当动点C到达处时，运动的总路径的长为（    ） A．22022-1 B．22022-2 C．22023+1 D．22023-2 【答案】D 【分析】将代入解析式，可得，，由直线直线：可知，，则纵坐标为1，代入直线：中，得，又、横坐标相等，可得，则，，可判断为等腰直角三角形，利用平行线的性质，得、、…、都是等腰直角三角形，根据平行于轴的直线上两点纵坐标相等，平行于轴的直线上两点横坐标相等，及直线、的解析式，分别求，的长，得出一般规律，即可得到答案． 【详解】解：将代入解析式，可得，， 由直线：可知，， 由平行于坐标轴的两点的坐标特征和直线、对应的函数表达式可知，，，， ，，，， ，，，…， 由此可得，， ∴当动点到达点处时，运动的总路径的长为， ∴当点到达处时，运动的总路径的长为． 故选：D． 【点睛】本题考查了一次函数的综合运用．关键是利用平行于轴的直线上点的纵坐标相等，平行于轴的直线上点的横坐标相等，得出点的坐标，判断等腰直角三角形，得出一般规律． 2．（23-24八年级下·全国·单元测试）已知k为正整数，无论k取何值，直线与直线都交于一个固定的点，这个点的坐标是 ；记直线和与x轴围成的三角形面积为，当时，可求得，请计算的值为 ． 【答案】 【分析】此题考查了一次函数的综合题，解题的关键是掌握一次函数的图象与两坐标轴的交点坐标特点，与轴的交点的纵坐标为0，与轴的交点的横坐标为0．变形解析式得到两条直线都经过点，即可证出无论取何值，直线与的交点均为定点；先求出与轴的交点和与轴的交点坐标，再根据三角形面积公式求出，求出，，以此类推，相加后得到． 【详解】解：直线， 直线经过点； 直线， 直线经过点， 无论取何值，直线与的交点均为定点． 直线与轴的交点为， 直线与轴的交点为， ， ． 故答案为：；． 3．（23-24八年级下·四川内江·期中）小东同学根据函数的学习经验，对函数y 进行了探究，下面是他的探究过程： （1）已知x＝-3时 0；x＝1 时 0，化简： ①当x＜-3时，y＝ ； ②当-3≤x≤1时，y＝ ； ③当x＞1时，y＝ ． （2）在平面直角坐标系中画出y＝|x﹣1|+|x+3|的图象，根据图象，写出该函数的一条性质：　 ； 【答案】（1）①﹣2﹣2x；②4；③2x+2；（2）画出图象见解析；函数图象不过原点． 【分析】（1）根据已知条件及绝对值的化简法则计算即可； （2）画出函数图象，则易得一条函数性质； 【详解】解：（1）∵x＝﹣3时|x+3|＝0；x＝1时|x﹣1|＝0 ∴当x＜﹣3时，y＝1﹣x﹣x﹣3＝﹣2﹣2x； ②当﹣3≤x≤1时，y＝1﹣x+x+3＝4； ③当x＞1时，y＝x﹣1+x+3＝2x+2； 故答案为：﹣2﹣2x；4；2x+2． （2）在平面直角坐标系中画出y＝|x﹣1|+|x+3|的图象，如图所示： 根据图象，该函数图象不过原点． 故答案为：函数图象不过原点； 【点睛】本题考查了一次函数的图象上的点的坐标特点及绝对值的化简计算，数形结合是解题的关键． 1．（24-25八年级下·四川宜宾·期中）下列各关系式中成正比例的个数有（ ） （1）圆的周长与半径     （2）正方形的面积与边长 （3）速度一定，路程与时间  （4）长方形的面积一定时，长和宽 A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】C 【分析】本题考查正比例函数，理解相应函数的意义和相应的关系式是正确判断的前提． 分别得出四个问题中的两个变量的函数关系式，进而确定是正比例函数的个数即可． 【详解】解：（1）圆的周长C与半径R之间的关系为：是正比例函数； （2）正方形的面积S与边长a的关系为：不是正比例函数； （3）速度一定，路程S与时间t之间的关系为：是正比例函数； （4）长方形的面积一定时，长和宽的关系为：不是正比例关系； ∴是正比例函数的有（1）（3），共2个， 故选：C． 2．（24-25八年级下·河南驻马店·期末）一次函数与，它们在同一坐标系中的大致图象可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数的图形，熟知一次函数中：，随增大而增大；，随增大而减小；，函数图像与轴交于正半轴；，函数图像与轴交于负半轴；是解本题的关键．对选项中的分别对应的的值进行分析可得答案． 【详解】解：A、： ； ： ； 故此选项不符合题意； B、：；： ； 故此选项符合题意； C、：；： ； 故此选项不符合题意； D、：；： ； 故此选项不符合题意； 故选：B． 3．（24-25八年级下·山西晋城·期末）在平面直角坐标系中，一次函数与的图象互相平行，如果这两个函数的部分自变量和对应的函数值如下表： 0 2 0 1 7 那么的值是（   ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】A 【分析】本题考查了两条直线的平行问题：若两条直线是平行的关系，那么他们的自变量系数相同，即k值相同． 由一次函数与的图象互相平行，得出，设，将代入，得到，；将代入，得到，求出n，a，m，p的值，然后代入计算即可． 【详解】解：∵一次函数与的图象互相平行， ∴， 设，则，． 将代入，得，； 将代入， 得， ①代入③，得， 把代入④，得， 把代入①，得， 把代入②，得， ∴． 故选A． 4．（24-25八年级下·重庆巴南·阶段练习）定义一种新运算：，例如：，，给出下列说法：；，则或；的解集为；函数的最小值为．以上结论中正确的个数为（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】本题考查了新运算，有理数的运算，解不等组，一次函数的性质，根据新定义分别分析，然后根据有理数的运算，解不等组，一次函数的性质逐一求解即可，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：，故正确； ， 当时，即， ，解得：（舍去）， 当时，即， ，解得：， 综上可知：，则，故错误； 当，， 联立：，无解； 当，， 联立：，解得：， 故正确； 函数中， 当时，即， ，无最小值， 当时，即， ，当时，有最小值，故正确， 综上：正确，共个正确， 故选：． 5．（24-25八年级下·河南鹤壁·期中）在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点，如图所示，依次作正方形，正方形，…，正方形，使得点、、、…，在直线l上，点，，，…，在y轴正半轴上，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征及点的坐标变化规律，能根据题意得出点的坐标为是解题的关键．根据题意，依次求出点的坐标，发现规律即可解决问题． 【详解】解：将代入得，， 所以点的坐标为． 因为四边形是正方形， 所以点的坐标为． 同理可得， 点的坐标为， 点的坐标为， 点的坐标为， ， 所以点的坐标为， 当时， 点的坐标为． 故选：A． 6．（24-25八年级下·四川遂宁·期中）若，则直线一定经过第 限． 【答案】三，四 【分析】本题考查一次函数的性质，解题的关键是分类讨论思想的应用． 由，可得，当时，，直线经过一，三，四象限；当时，直线为经过二，三，四象限；即可得到答案． 【详解】解：∵， ，，， ， 当时，， ∴直线为，经过一，三，四象限； 当时，有， ， ∴直线为，经过二，三，四象限； 综上所述，直线一定经过第三，四象限； 故答案为：三，四． 7．（24-25八年级下·河南焦作·期末）在平面直角坐标系中，一次函数的图像经过点和，则不等式的解集是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的性质和解不等式，根据题意，易得，，即可得，再由不等式得，即可得出答案． 【详解】解：∵一次函数的图像经过点和，，， ∴，， ∴， ∴由得，即， 故答案为：． 8．（24-25八年级下·四川宜宾·期末）在平面直角坐标系中，对于点和给出如下定义：两点横坐标相同，的纵坐标，那么称点为点的“姊妹点”．例如：点的“姊妹点”为点．如果一次函数图象上的点是点的“姊妹点”，那么点的坐标为 ． 【答案】或 【分析】本题考查一次函数图象上点的坐标特征、算术平方根，理解新定义是解答的关键．根据一次函数图象上的点的坐标特征求得，再根据新定义设，分和分别列方程求解即可． 【详解】解：∵点在一次函数图象上， ∴，解得，则， ∵点是点的“姊妹点”， ∴设， 当时，由得或（舍去）； 当时，由得， ∴点M的坐标为或， 故答案为：或． 9．（23-24八年级下·四川资阳都·期中）如图，在平面直角坐标系中有一个等腰直角，其中点，，给出如下定义：若点P向上平移1个单位，再向右平移4个单位后得到，若点在等腰直角的内部或边上，则称点P为等腰直角的“和雅点”．若在直线上存在点Q，使得点Q是等腰直角的“和雅点”，则k的取值范围是 ． 【答案】或 【分析】本题考查了新定义，一次函数的平移，一次函数图象与系数的关系，熟练掌握一次函数的平移法则“左减右加，上加下减”是解答本题的关键． 将直线按照平移法则平移后得到，函数图象过，将已知A、B、C坐标代入求出k值，根据题意得到k的取值范围即可． 【详解】解：∵，，是等腰直角三角形， ∴， 直线上平移1个单位，再向右平移4个单位后得到解析式为：， ∴函数过点， 将坐标代入得，，， 将坐标代入得，，， 将坐标代入得，，． ∵点Q是等腰直角的“和雅点”， ∴或． 故答案为：或 10．（23-24八年级下·河南开封·单元测试）如图，已知直线（n为正整数）与x轴、y轴分别交于点，的面积为，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一次函数与坐标轴的交点问题，数字类的规律性问题，解题的关键在于能够求出．先利用一次函数与坐标轴交点的求解方法求出（，0），（0，），则，，从而得到，由此求解即可． 【详解】解：由题意得：和分别是直线与x轴，y轴的交点， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ， 故答案为：． 11．（23-24八年级下·河南新乡·单元测试）已知y与成正比例，且时，． (1)求y与x之间的函数关系式． (2)当时，求y的值． 【答案】(1) (2)8 【分析】本题主要考查了待定系数法求函数的解析式、求函数值等知识点，理解题意并熟练掌握正比例函数的定义是解题的关键． （1）设，再利用待定系数法求解即可； （2）将代入求解即可． 【详解】（1）解：设， ∵当时，， ∴，解得， ∴． （2）解：由（1）知， 当时，． 12．（24-25八年级下·四川遂宁·期末）在平面直角坐标系中，设一次函数、（、是实数，且． (1)若，分别求出、与轴的交点坐标； (2)若函数的图像与轴交点坐标为，则函数的图像与轴交点坐标为______； (3)若函数的图像不经过第一象限，且过点，求的取值范围． 【答案】(1)、与轴的交点坐标分别为 (2) (3) 【分析】本题主要考查一次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题的关键； （1）分别把代入可得、的解析式，然后问题可求解； （2）把点代入一次函数的表达式，然后可得m、n的关系，进而问题可求解； （3）由函数的图像不经过第一象限，可得，，然后把点代入函数解析式可得m、n的关系，进而可建立不等式进行求解． 【详解】（1）解：∵， ∴，， 分别令代入可得：，， 解得：，， ∴、与轴的交点坐标分别为； （2）解：把点代入一次函数的表达式得：， ∴， ∴， 令，则有， 解得：， ∴函数的图像与轴交点坐标为； 故答案为； （3）解：由函数的图像不经过第一象限，可得，， 把点代入得：， ∴， ∴． 13．（24-25八年级下·福建厦门·期中）补充完成下列表格，在平面直角坐标系中画出一次函数和的图象 函数列表1 x 0 y 0 函数列表2 x 0 1 y 【答案】补充表格及图象见解析， 【分析】本题考查一次函数的性质、一次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，画出相应的函数图象． 直接将点横（纵）坐标代入，计算即可补充表格，找到函数图象上的两个点，连接即可得到函数图象. 【详解】解：解：∵ ∴当时，；当时，； 列表1 x 0 2 y 0 ∵函数 ∴当时，；当时，； 列表2 x 0 1 y 4 2 函数图像如下： 14．（24-25八年级下·吉林长春·阶段练习）已知甲种水果单价为30元/千克，若一次性购买甲种水果超过40千克，超过部分的价格打八五折．某经销商购买甲种水果x千克，付款y元，y与x之间的函数关系如图所示． (1)直接写出图象中a的值，并求y与x之间的函数表达式； (2)若乙种水果单价为元/千克，该经销商计划一次性购进甲、乙两种水果共80千克，且甲种水果不少于30千克，但又不超过50千克．如何分配甲、乙两种水果的购买量，才能使经销商付款总金额w（元）最少？最少付款金额是多少？ 【答案】(1)2220， (2)购进甲、乙两种水果分别为30千克、50千克，才能使经销商付款总金额w最少，最少付款金额是2225元 【分析】本题考查待定系数法求一次函数表达式，一次函数图象及性质，一次函数的实际应用． （1）根据题意求出的值，利用待定系数法求出当时与之间的函数表达式，最终写成分段函数的形式并注明的取值范围即可； （2）设购进甲种水果千克，按照和分别写出w的表达式，分别求出w的最小值并进行比较，w较小的值即为答案，并求出对应的及的值即可． 【详解】（1）解：图象中． 当时，， 当时，， 当时，设． 将坐标和代入， 得，解得， ∴． 综上，． （2）解：设购进甲种水果千克，则购进乙种水果千克． ①当时，， ∵w随a的减小而减小， ∴当时，w取最小值，此时， ． ②当时，， ∵w随a的增大而减小， ∴当时，w取最小值，此时， ． 综上，． ∴购进甲、乙两种水果分别为30千克、50千克，才能使经销商付款总金额w最少，最少付款金额是2225元． 15．（24-25八年级下·山西晋城·阶段练习）如图，已知一次函数，与x轴的交点横坐标分别为6和，、的交点． (1)求、的函数解析式； (2)x取何值时，函数的图象在函数图象的上方？ (3)若点向下平移个单位长度，向左平移个单位长度后，恰好落在的图象上，求m的值； 【答案】(1)直线l1的函数解析式为；直线l2的函数解析式； (2)当时，函数的图象在函数图象的上方 (3) 【分析】本题考查了待定系数法确定函数解析式以及一次函数与不等式，正确求出两个函数的解析式是解题的关键． （1）把点代入求得a的值，再把代入求得点P的坐标，利用待定系数法即可求得的函数解析式； （2）两直线的交点坐标为，根据图象即可得出答案， （3）根据平移的性质得到平移点的坐标，代入直线l1的函数解析式即可求解． 【详解】（1）解：∵直线与轴的交点横坐标为，即交点为， ∴， ∴， ∴直线的函数解析式为； ∵、的交点． ∴， ∴ ∵直线与轴的交点横坐标为，即交点为， ∴， 解得：， ∴直线l1的函数解析式为； （2）∵ 、的交点， 由函数图象可得当时，函数的图象在函数图象的上方； （3）点向下平移个单位长度，向左平移个单位长度后 平移后点的坐标为即， ∵平移后的点恰好落在的图象上， ∴，解得： 学科网（北京）股份有限公司 $$