专题1.6 相交线与平行线（压轴题综合测试卷）-2024-2025学年七年级数学下册压轴题专项讲练系列（浙教版2024）

相交线与平行线 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 题号 一 二 三 总分 得分 评卷人 得 分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分） 1．（3分）（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）下列命题中，真命题有（   ） ①过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行；②在同一平面内，不重合的两条直线的位置关系有平行、相交、垂直三种；③在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；④相等的角是对顶角； ⑤两条直线被第三条直线所截，内错角相等． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 2．（3分）（23-24七年级下·新疆昌吉·期中）如图，按各组角的位置判断错误的是（    ） A．与是同旁内角 B．与是内错角 C．与是同旁内角 D．与是同位角 3．（3分）（23-24七年级下·全国·单元测试）a，b，c为同一平面内的任意三条直线，那么它们的交点可能有（    ）个 A．1，2或3 B．0，1，2或3 C．1或2 D．以上都不对 4．（3分）（2024七年级下·全国·专题练习）如图，在下列给出的条件中，不能判定的是（ ） A． B． C． D． 5．（3分）（23-24七年级下·四川南充·期末）如图，直线，相交于点O，平分，．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 6．（3分）（23-24七年级下·浙江湖州·期末）如图，将三角形沿方向平移得到，与交于点．此时满足．若，则四边形与四边形周长之差为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 7．（3分）（2024七年级下·全国·专题练习）如图，，用含，，的式子表示，则的值为（　　） A． B． C． D． 8．（3分）（2024七年级下·江苏无锡·竞赛）如图，直线，点E在直线上，点F在直线上，N为、之间一点，连接并延长交的角平分线于点G，且平分，当时，则的度数为（   ） A． B． C． D． 9．（3分）（23-24七年级下·浙江金华·阶段练习）如图，与交于点E，点G在直线上，，下列四个结论：①；②；③；④．其中正确的结论是（    ） A．①②③ B．②④ C．①②④ D．①④ 10．（3分）（23-24八年级上·广东深圳·期末）如图，在锐角中，，将沿着射线方向平移得到（平移后点A，B，C的对应点分别是点（，，），连接，若在整个平移过程中，和的度数之间存在2倍关系，则不可能的值为（ 　 ） A． B． C． D． 评卷人 得 分 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，满分15分） 11．（3分）（2024七年级下·江苏无锡·竞赛）如图，平行直线，与相交直线，相交，图中的同旁内角共有 对． 12．（3分）（23-24七年级下·全国·单元测试）如图所示，将直角三角形沿方向平移，得到直角三角形，连接，若，则图中阴影部分的面积为 ． 13．（3分）（2024七年级·全国·竞赛）如图，已知，，，则 ．    14．（3分）（23-24七年级下·山东济南·期中）如图，直线上有两点、，分别引两条射线、，，，射线、分别绕点，点以度/秒和度/秒的速度同时顺时针转动，在射线转动一周的时间内，使得与平行所有满足条件的时间 ． 15．（3分）（23-24七年级下·浙江宁波·期中）如图，，分别为直线上两点，且，射线从开始绕点按顺时针方向旋转至后立即回转，然后以不变的速度在和之间不停地来回旋转，射线从绕点按逆时针方向同时开始旋转，射线转动的速度是，射线转动的速度是，在射线到达之前，当时间为 秒时，射线与射线互相平行． 评卷人 得 分 三、解答题（本大题共8小题，满分55分） 16．（6分）（23-24七年级下·全国·单元测试）如图，已知． （1）过点画，垂足为； （2）过点画，交于点． 17．（6分）（23-24七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，直线交于点O，分别平分和，且． （1）求证：； （2）若，求的度数． 18．（6分）（23-24七年级上·浙江杭州·期末）直线相交于点O，过点O作． （1）如图1，若，求的度数． （2）如图2，作射线使，则是的平分线．请说明理由． （3）在图1上作，写出与的数量关系，并说明理由． 19．（6分）（2024七年级上·全国·专题练习）学习情境·类比探究 问题情境：如图，，，，求的度数． （1）小机灵同学看过图形后立即口答出：，请你补全他的推理依据． 如图2，过点作， ， ， （_____） ，． （_____） ，， ，． ．（_____） 问题迁移： （2）如图，，当点在线段上运动时，，，求与、之间有何数量关系？请说明理由； （3）在（2）的条件下，如果点在射线上，且在、两点外侧运动时（点与点、、三点不重合），请直接写出与、之间的数量关系． 20．（6分）（2024七年级上·全国·专题练习）如图1，对于两条直线，被第三条直线所截的同旁内角，满足，则称是的关联角． （1）已知是的关联角．当时，_____． （2）如图2，已知是的关联角，点是直线上一定点． ①求证：是的关联角； ②过点的直线分别交直线，于点，，且．当是图中某角的关联角时，写出所有符合条件的的度数为_____． 21．（8分）（23-24七年级下·广东佛山·阶段练习）如图 1，被直线所截，点D是线段上的点，过点D作，连接，． （1）请说明的理由． （2）将线段沿着直线平移得到线段，连接． ①如图 2，当时，求的度数； ②在整个运动中，当时，求的度数． ③在整个运动中，之间的等量关系为： ．（直接写出答案） 22．（8分）（23-24七年级下·全国·单元测试）【探究】 （1）如图1，已知直线，点A在上，点C在上，点E在两平行线之间，则 ； 【应用】如图2，已知直线，点A、 B在上，点C、D在上，连接，，其中，分别是，的平分线，，． （2）求的度数： （3）将线段沿方向平移，如图3所示，其他条件不变，求的度数． 23．（9分）（23-24七年级下·湖南长沙·期中）如图，直线，一副三角尺，中，， ，，．      （1）若如图①摆放，当平分时，求证：平分； （2）如图②，的边在直线上，的顶点恰好落在直线上，且边与边在同一直线上．当固定，将沿着方向平移，使边与直线相交于点，作和的平分线，，两线相交于点（图③），求的度数； （3）若图②中固定，将绕点逆时针旋转（图④），速度为2分钟半圈，在旋转至与直线首次重合的过程中，请求出当的一边与的一边平行时旋转的时间． 第 1 页 共 30 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 相交线与平行线 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 题号 一 二 三 总分 得分 评卷人 得 分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分） 1．（3分）（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）下列命题中，真命题有（   ） ①过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行； ②在同一平面内，不重合的两条直线的位置关系有平行、相交、垂直三种； ③在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直； ④相等的角是对顶角； ⑤两条直线被第三条直线所截，内错角相等． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【思路点拨】 本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题，许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式；有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理； 根据平行线的判定、对顶角、平行线等知识逐项判断即可； 【解题过程】 解：①过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，正确，是真命题； ②在同一平面内，不重合的两条直线的位置关系有平行、相交两种，故原命题错误，是假命题； ③在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，正确，是真命题； ④相等的角不一定是对顶角，故原命题错误，是假命题； ⑤两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等，故原命题错误，是假命题； 真命题有2个， 故选：A 2．（3分）（23-24七年级下·新疆昌吉·期中）如图，按各组角的位置判断错误的是（    ） A．与是同旁内角 B．与是内错角 C．与是同旁内角 D．与是同位角 【思路点拨】 本题主要考查了三线八角，关键是掌握同位角的边构成“F“形，内错角的边构成“Z“形，同旁内角的边构成“U”形．根据同位角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角．内错角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的两旁，则这样一对角叫做内错角．同旁内角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同旁内角分别进行分析可得答案． 【解题过程】 解：A、与是同旁内角，原说法正确，不符合题意； B、与是内错角，原说法正确，不符合题意； C、与不是同旁内角，原说法错误，符合题意； D、与是同位角，原说法正确，不符合题意； 故选：C． 3．（3分）（23-24七年级下·全国·单元测试）a，b，c为同一平面内的任意三条直线，那么它们的交点可能有（    ）个 A．1，2或3 B．0，1，2或3 C．1或2 D．以上都不对 【思路点拨】 本题考查了相交线，掌握分类讨论思想是解题关键． 分以下四种情况①三条直线两两平行，②三条直线交于一点，③两条直线平行与第三条直线相交，④三条直线两两相交不交于同一点解答即可． 【解题过程】 解：①三条直线两两平行，没有交点； ②三条直线交于一点，有一个交点； ③两条直线平行与第三条直线相交，有两个交点； ④三条直线两两相交不交于同一点，有三个交点． 综上，它们的交点可能有0，1，2或3个． 故选：B． 4．（3分）（2024七年级下·全国·专题练习）如图，在下列给出的条件中，不能判定的是（ ） A． B． C． D． 【思路点拨】 本题考查了平行线的判定；正确识别“三线八角”中的同位角、内错角、同旁内角是正确答题的关键，只有同位角相等、内错角相等、同旁内角互补，才能推出两被截直线平行．利用平行线的判定定理，逐一判断，容易得出结论． 【解题过程】 解：A、因为，所以（同位角相等，两直线平行），不能证出，故本选项符合题意； B、因为，所以（同位角相等，两直线平行），故本选项不符合题意； C、因为，所以（内错角相等，两直线平行），故本选项不符合题意； D、因为，所以（同旁内角互补，两直线平行），故本选项不符合题意； 故选：A． 5．（3分）（23-24七年级下·四川南充·期末）如图，直线，相交于点O，平分，．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【思路点拨】 本题考查垂线及角平分线的定义，熟知角平分线的定义及对顶角相等和邻补角互补是解题的关键． 根据求出，根据平分，得出，再结合，得出，即可解决问题． 【解题过程】 解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 6．（3分）（23-24七年级下·浙江湖州·期末）如图，将三角形沿方向平移得到，与交于点．此时满足．若，则四边形与四边形周长之差为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【思路点拨】 本题考查了平移的性质，根据平移的性质可得，，根据已知可得，，结合，进而根据四边形周长之差即可求解． 【解题过程】 解：∵将三角形沿方向平移得到， ∴， ∴，即， ∵ ∴，， 四边形与四边形周长之差为 ∵ ∴四边形与四边形周长之差为， 故选：A． 7．（3分）（2024七年级下·全国·专题练习）如图，，用含，，的式子表示，则的值为（　　） A． B． C． D． 【思路点拨】 本题考查了平行的性质，作出相应的辅助线是解题的关键．过点作，过点作，可得，从而推出，，即可得到答案． 【解题过程】 解：过点作，过点作， 故选：D． 8．（3分）（2024七年级下·江苏无锡·竞赛）如图，直线，点E在直线上，点F在直线上，N为、之间一点，连接并延长交的角平分线于点G，且平分，当时，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【思路点拨】 本题考查了平行线的性质，根据平行线的性质得出、、之间的关系，再结合求出，最后根据对顶角相等即可得解问题． 【解题过程】 解：如图：令与的交点为， ， ∵， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∵， ∴， ∵，且， ∴ ， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 9．（3分）（23-24七年级下·浙江金华·阶段练习）如图，与交于点E，点G在直线上，，下列四个结论：①；②；③；④．其中正确的结论是（    ） A．①②③ B．②④ C．①②④ D．①④ 【思路点拨】 本题主要考查了根据平行线的判定以及性质，角度的相关计算，由已知条件可得出，过点H作，由平行线的性质可得出②，设，则，， 可判断③④． 【解题过程】 解：∵， ∴， ∴①正确； 过点H作， ∵， ∴， ∴，， ∴， 即， ∵ ∴， 即， ∴②正确． 设，则，， 由②知 作， ， ， ∴，无法判断是否为， ∴③错误； ∴， ∴④正确． 综上所述，正确答案为①②④． 故选：C． 10．（3分）（23-24八年级上·广东深圳·期末）如图，在锐角中，，将沿着射线方向平移得到（平移后点A，B，C的对应点分别是点（，，），连接，若在整个平移过程中，和的度数之间存在2倍关系，则不可能的值为（ 　 ） A． B． C． D． 【思路点拨】 本题考查了平行线的性质，一元一次方程的应用，分类讨论是解答本题的关键． 根据的平移过程，分点在上和点在外两种情况，根据平移的性质得到，根据平行线的性质得到和和之间的等量关系，列出方程求解即可． 【解题过程】 解：第一种情况：如图，当点在上时，过点作， 由平移得到， ， ， ， ①当时， 设，则， ∵ ， ， ， 解得：， ， ②当时， 设，则， ， ， ， 解得：， ； 第二种情况：当点在外时，过点作， 由平移得到， ， ， ， ①当时， 设，则， ， ， ， 解得：， ②当时， 由图可知，，故不存在这种情况， 综上所述，或或． 故选：C 评卷人 得 分 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，满分15分） 11．（3分）（2024七年级下·江苏无锡·竞赛）如图，平行直线，与相交直线，相交，图中的同旁内角共有 对． 【思路点拨】 此题考查了同旁内角的知识，属于基础题，掌握定义是关键．根据同旁内角的定义：两直线被第三条直线所截，在截线的同一侧，被截线的内部的两个角是同旁内角，注意每一个“三线八角”基本图形都有两对同旁内角，从对原图形进行分解入手即可求得答案． 【解题过程】 解：直线，被所截有2对同旁内角； 直线，被所截有2对同旁内角； 直线、被所截有2对同旁内角； 直线、被所截有2对同旁内角； 直线、被所截有2对同旁内角； 直线、被所截有2对同旁内角； 直线、被所截有2对同旁内角； 直线、被所截有2对同旁内角． ∴共有16对同旁内角． 故答案为：16． 12．（3分）（23-24七年级下·全国·单元测试）如图所示，将直角三角形沿方向平移，得到直角三角形，连接，若，则图中阴影部分的面积为 ． 【思路点拨】 本题主要考查了平移的性质、平行四边形的判定与性质等知识点，熟记性质并判断出阴影部分是平行四边形是解题的关键．先说明阴影部分是平行四边形，再根据平行四边形的面积公式列式计算即可． 【解题过程】 解：∵沿方向平移得到， ∴， ∴阴影部分四边形是平行四边形， ∵平移距离为, ∴, ∴阴影部分的面积为． 故答案为：． 13．（3分）（2024七年级·全国·竞赛）如图，已知，，，则 ．    【思路点拨】 本题考查了平行公理的推理，平行线的性质等知识．过作，再证明，先证明，，再证明，，分别代入原式即可得到一个周角，问题得解． 【解题过程】 解：如图，过作．    ∵， ∴． ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴ ． 故答案为：． 14．（3分）（23-24七年级下·山东济南·期中）如图，直线上有两点、，分别引两条射线、，，，射线、分别绕点，点以度/秒和度/秒的速度同时顺时针转动，在射线转动一周的时间内，使得与平行所有满足条件的时间 ． 【思路点拨】 本题考查了平行线的性质、一元一次方程的应用．分①与在的两侧时，分别表示出与，然后根据内错角相等两直线平行，列式计算即可得解；②旋转到与都在的右侧，分别表示出与，然后根据同位角相等两直线平行，列式计算即可得解；③旋转到与都在的左侧，分别表示出与，然后根据同位角相等两直线平行，列式计算即可得解． 【解题过程】 解： ，， ，， 分三种情况： 如图①，与在的两侧时， ，， 要使，则， 即， 解得：； 如图②，旋转到与都在的右侧， ，， 要使，则， 即， 解得：； 如图③，旋转到与都在的左侧， ，， 要使， 则，即， 解得：， 此时， 此情况不存在． 综上所述，当时间的值为秒或秒时，． 故答案为：秒或秒． 15．（3分）（23-24七年级下·浙江宁波·期中）如图，，分别为直线上两点，且，射线从开始绕点按顺时针方向旋转至后立即回转，然后以不变的速度在和之间不停地来回旋转，射线从绕点按逆时针方向同时开始旋转，射线转动的速度是，射线转动的速度是，在射线到达之前，当时间为 秒时，射线与射线互相平行． 【思路点拨】 分四种情况讨论，依据时，，列出方程即可得到射线与射线互相平行时的时间．本题主要考查了平行线的判定与性质，以及角的和差关系的运用，解决问题的关键是运用分类思想进行求解，解题时注意：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等．简单说成：两直线平行，内错角相等． 【解题过程】 解：设射线从开始绕点按顺时针方向旋转时，射线与射线互相平行． 分四种情况： ①如图，当时，，， ，， ， ， ，， 当时，， 此时，， 解得； ②当时，，， ∴， ，， ， ， ，， 当时，， 此时，， 解得，此时， （舍去）； ③如图，当时，，，， ，， ， ， ，， 当时，， 此时，， 解得（舍去）； ④当从出发，到，再回到，再转到如下图的位置： ∵， ∴， 即， ∴， 解得：， 综上所述，在射线到达之前，有2次射线与射线互相平行，时间分别是36或． 故答案为：36或108． 评卷人 得 分 三、解答题（本大题共8小题，满分55分） 16．（6分）（23-24七年级下·全国·单元测试）如图，已知． （1）过点画，垂足为； （2）过点画，交于点． 【思路点拨】 本题主要考查了简单的作图和平行线的性质等知识点， （1）由垂线的作图方法进行作图，即可求出图形； （2）由角的作图方法和平行线的性质，即可求出图形； 熟练掌握作图步骤和平行线的性质是解决此题的关键． 【解题过程】 （1）如图所示： 将三角板的一条直角边与已知直线重合，沿着已知直线移动三角板，让三角板的另一直角边与直线外的已知点Q重合，沿着另一条直角边画经过已知点的直线交于点D，‌ ∴即为所求； （2）如图所示： 用三角板的一条直角边与已知直线重合，用直尺紧靠三角板另一条直角边，沿着直尺平移三角板，使与已知直线重合的直角边通过已知点Q，沿着这条直角边画一条直线与已知射线交于点E， ∴即为所求． 17．（6分）（23-24七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，直线交于点O，分别平分和，且． （1）求证：； （2）若，求的度数． 【思路点拨】 本题考查了平行线的判定、对顶角的性质、同角的余角相等、角平分线的定义等知识点，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键． （1）先利用角平分线的定义可得，从而利用平角定义可得，然后利用同角的余角相等可得，再利用平行线的判定即可得到结论； （2）利用（1）的结论可得，然后利用平角定义可得，然后利用对顶角相等可得，再利用角平分线的定义可得，从而利用平角定义即可解答． 【解题过程】 （1）证明：分别平分和， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 18．（6分）（23-24七年级上·浙江杭州·期末）直线相交于点O，过点O作． （1）如图1，若，求的度数． （2）如图2，作射线使，则是的平分线．请说明理由． （3）在图1上作，写出与的数量关系，并说明理由． 【思路点拨】 （1）根据垂直的定义进行计算即可； （2）根据垂直的定义，对顶角相等以及等角的余角相等可得答案； （3）根据垂直的定义，平角的定义以及对顶角相等、同角的余角相等进行计算即可． 【解题过程】 （1）解：∵． ∴，即， ∵， ∴； （2）解：∵． ∴，即， ∵， ∴， 又∵， ∴， 即是的平分线； （3）解：如图11，，理由如下： ∵， ∴，即， ∵． ∴，即， ∵， ∴ ∵， ∴． 如图12，，理由如下： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 19．（6分）（2024七年级上·全国·专题练习）学习情境·类比探究 问题情境：如图，，，，求的度数． （1）小机灵同学看过图形后立即口答出：，请你补全他的推理依据． 如图2，过点作， ， ， （_____） ，． （_____） ，， ，． ．（_____） 问题迁移： （2）如图，，当点在线段上运动时，，，求与、之间有何数量关系？请说明理由； （3）在（2）的条件下，如果点在射线上，且在、两点外侧运动时（点与点、、三点不重合），请直接写出与、之间的数量关系． 【思路点拨】 本题考查了平行线的性质与判定，掌握平行线的性质与判定并且作出平行的辅助线是解答本题的关键． （1）根据平行线的判定与性质填写即可； （2）过作交于，推出，根据平行线的性质得出，，代入，即可得出答案； （3）画出图形（分两种情况：点在的延长线上，点在的延长线上），根据平行线的性质得出，，即可得出答案． 【解题过程】 （1）解：如图2，过点作， ， ， （平行于同一条直线的两条直线互相平行） ，． （两直线平行，同旁内角互补） ，， ，． ．（等量代换） 故答案为：平行于同一条直线的两条直线互相平行；两直线平行，同旁内角互补；等量代换； （2）解：，理由：过点作交于点， ， ， ，， ； （3）解：或， 当点在延长线上时，过点作交延长线于点， ， ， ，， ； 当点在延长线上时，过点作交于点， ， ， ，， ， 综上，或． 20．（6分）（2024七年级上·全国·专题练习）如图1，对于两条直线，被第三条直线所截的同旁内角，满足，则称是的关联角． （1）已知是的关联角．当时，_____． （2）如图2，已知是的关联角，点是直线上一定点． ①求证：是的关联角； ②过点的直线分别交直线，于点，，且．当是图中某角的关联角时，写出所有符合条件的的度数为_____． 【思路点拨】 本题考查平角，三角形的外角和，关联角的定义，解题的关键是理解关联角的性质，利用平角，三角形的外角和，进行解答，即可． （1）根据关联角的定义，进行解答，即可； （2）①根据关联角的定义，得，根据平角的性质，则，，再根据关联角的定义，即可；②根据关联角的定义，求出，，分类讨论：当直线位于图所示位置：若是的关联角；若是的关联角；②当直线位于图所示位置：若是的关联角；若是的关联角，利用三角形的外角和，关联角的定义，进行解答，即可． 【解题过程】 （1）解：由题意得，是的关联角， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． （2）解：证明如下： ∵是的关联角， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是的关联角； ②当直线位于图所示位置， ∵是的关联角， ∴， ∵， ∴， 若是的关联角， ∴； 若是的关联角， ∴， ∵， ∴， ∴； ②当直线位于图所示位置， ∵是的关联角， ∴， ∵， ∴， ∴，， 若是的关联角， ∴， ∴， ∵， ∴（舍去）； 若是的关联角， ∴， ∵， ∴， ∴； 综上所述，的度数为或或． 21．（8分）（23-24七年级下·广东佛山·阶段练习）如图 1，被直线所截，点D是线段上的点，过点D作，连接，． （1）请说明的理由． （2）将线段沿着直线平移得到线段，连接． ①如图 2，当时，求的度数； ②在整个运动中，当时，求的度数． ③在整个运动中，之间的等量关系为： ．（直接写出答案） 【思路点拨】 本题主要考查了平移的性质、平行线的判定和性质等知识点，正确的作出辅助线是解题的关键． （1）根据平行线的性质得到，等量代换得到，再根据平行线的判定定理即可证明结论； （2）①如图2，过D作交于F，根据平行线的性质即可得到结论；②如图3：过D作交于F，根据平行线的性质即可得到结论．③结合①②即可得在整个运动中，之间的等量关系． 【解题过程】 （1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解： ①如图2，过D作交于F， ∵线段沿着直线平移得到线段， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； ②如图3，如图3：过D作交于F， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵,即, ∴，解得：； 如图4，过D作交于F， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴， ∴； 综上所述，或； ③如图3，∵， ∴， ∴，即； 如图4，∵， ∴， ∴，即； 同理，当在下方时，． 综上所述，或或． 故答案为：或∠EDQ=∠Q−∠E或 22．（8分）（23-24七年级下·全国·单元测试）【探究】 （1）如图1，已知直线，点A在上，点C在上，点E在两平行线之间，则 ； 【应用】如图2，已知直线，点A、 B在上，点C、D在上，连接，，其中，分别是，的平分线，，． （2）求的度数： （3）将线段沿方向平移，如图3所示，其他条件不变，求的度数． 【思路点拨】 本题主要考查了平移的性质以及角平分线的定义、平行线的性质等知识，正确应用平行线的性质得出各角之间关系是解题关键． （1）如图1中，作，利用平行线的性质求解即可． （2）利用平行线的定义结合角平分线的定义得出以及的度数即可得出答案； （3）利用平行线的性质结合角平分线的定义得出以及的度数即可得出答案． 【解题过程】 解∶（1）如图1中，作， ∵，， ∴， ∴， ∴． 故答案为∶，； （2）如下图2，过点E作． ∵， ∴． ∵， ∴， ． ∵是的平分线，是的平分线， ∴，． ∵，， ∴，， ∴； （3）如下图3，过点E作， ∵， ∴． ∵， ∴，． ∵是的平分线，是的平分线， ∴，． ∵，， ∴，， ∴． 23．（9分）（23-24七年级下·湖南长沙·期中）如图，直线，一副三角尺，中，， ，，．      （1）若如图①摆放，当平分时，求证：平分； （2）如图②，的边在直线上，的顶点恰好落在直线上，且边与边在同一直线上．当固定，将沿着方向平移，使边与直线相交于点，作和的平分线，，两线相交于点（图③），求的度数； （3）若图②中固定，将绕点逆时针旋转（图④），速度为2分钟半圈，在旋转至与直线首次重合的过程中，请求出当的一边与的一边平行时旋转的时间． 【思路点拨】 本题主要考查了平行线性质及判定，角平分线定义，平移的性质等，添加辅助线，利用平行线性质是解题关键． （1）运用角平分线定义及平行线性质即可证得结论； （2）如图， 分别过点作，，运用平行线性质和角平分线定义即可得出答案； （3）如图， 过点作利用平行线性质即可求得；分四种情况：①当时，同时， ②当时， ③当时，④⑤时，分别求出旋转角度求解即可． 【解题过程】 （1）证明：在中， ， ， ， 平分 ， ， ， ， ， ， 平分； （2）如图3，分别过点，作， ， ，， ，，， ， ， 和的角平分线，，两线相交于点， ， ， ， ， ， ， ， ； （3）如图， 过点作， ， ， ，， ， ， 又， ， ， ①当时，同时，如图，设与相交于点H，过点作， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 旋转时间为； ②当时，如图，设与相交于点H，过点作，过点E作， ， ， ， 旋转时间为； ③当时，如图，过点E作，延长交于点K， 则， ， 这时在上停止运动， 旋转时间为； ④时，如图，延长交于， ， ， ， ， 旋转时间为； ⑤时，如图，延长交于， ， ， ， 旋转时间为； 综上所述，当运动或或或或时，的一边与的一边平行． 第 1 页 共 30 页 学科网（北京）股份有限公司 $$