广东省广州市黄埔区华实初级中学2024-2025学年九年级上学期期中考试数学试题

2024-2025学年第一学期教学质量监测一 九年级数学 试卷共6页，25小题，满分120分．考试用时120分钟． 第一部分选择题（共30分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．下列手机手势解锁图案中，是中心对称图形的是（ ） A． B． C． D． 2．已知关于的方程的一个根为，则实数的值为（ ） A． B． C． D． 3．抛物线的对称轴是（ ） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 4．如图，将绕点按逆时针方向旋转后得到，若，则的度数是（ ） A． B． C． D． 5．如图，线段是的直径，于点，若长为16，长为6，则半径是（ ） A．5 B．6 C．8 D．10 6．若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（ ） A． B． C．且 D．且 7．若、、是抛物线上三点，，，的大小关系为（ ） A． B． C． D． 8．某班同学毕业时都将自己的照片向全班其他同学各送一张表示留念，全班共送张照片，如果全班有名同学，根据题意，列出方程为（ ） A． B． C． D． 9．函数与（，是常数，且）在同一坐标系中的图象可能是（ ） A． B． C． D． 10．如图，已知抛物线的对称轴为直线，与轴的一个交点坐标为，部分图象如图所示．下列结论：方程的两个根是，；；；当时，的取值范围是．其中结论正确的个数是（ ）个． A． B． C． D． 二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分） 11．在直角坐标系中，点关于原点对称点的坐标是_____． 12．设、是一元二次方程的两个根，则_____． 13．若抛物线先向左平移个单位，再向下平移个单位，则所得的抛物线的解析式是_____． 14．如图，在平面直角坐标系中，矩形的两边，分别在轴和轴上，并且，．若把矩形绕着点逆时针旋转，使点恰好落在边上的处，则点的坐标为_____． 　　　第14题图 15．一座石拱桥的桥拱是近似的抛物线形，建立如图所示的平面直角坐标系，其函数关系式为，当水面离桥拱顶的高度是时，水面的宽度为_____． 　　　第15题图 16．如图，中，，，点为边上一点（不与点，重合），连接，将线段绕点逆时针旋转得到，连接．下列结论：；四边形的面积是；若，则；．其中正确的结论是_____．（填写所有正确结论的序号） 　　　第16题图 三、解答题（本大题共9小题，满分72分。解答应写出文字说明、推理过程） 17．（4分）解一元二次方程：． 18．（4分）如图，在平面直角坐标系内，的顶点坐标分别为，，． （1）画出关于原点对称的． （2）画出绕点逆时针旋转后的． 19．（6分）如图，将绕点顺时针旋转得到，使点的对应点落在边上． （1）若，，求的长； （2）若，，连接，求的度数． 20．（6分）如图，射线平分，为射线上一点，以为圆心，为半径作分别与的两边相交于、和、，连接，且． （1）求证：； （2）若弦，求的长． 21．（8分）已知二次函数的图象如图所示，顶点为，抛物线与轴交于点，与轴交于和两点． （1）求此抛物线的解析式； （2）结合图象填空： ①关于的一元二次方程的解是_____； ②不等式的解集为_____． 22．（8分）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求的取值范围； （2）若比方程的两实数根，满足，求的值． 23．（10分）年杭州亚运会吉祥物是一组承载深厚底蕴和充满时代活力的机器人，由琮琮、莲莲、宸宸共同组成“江南忆”组合．“江南忆”出自唐朝诗人白居易的名句“江南忆，最忆是杭州”，融合了杭州的历史人文、自然生态和创新基因．三个吉祥物造型形象生动，深受大家的喜爱．某商店以每件元的价格购进吉祥物造型的钥匙扣，以每件元的价格出售．经统计，月份的销售量为件，月份的销售量为件． （1）求该款钥匙扣月份到月份销售量的月平均增长率； （2）从月份起，商场决定采用降价促销的方式回馈顾客，根据销售经验预测，该钥匙扣每降价元，月销售量就会增加件．当该钥匙扣售价为多少元时，月销售利润最大，最大利润是多少元? 24．（12分）如图，等边中，分别交、于点、． （1）求证：是等边三角形； （2）将绕点顺时针旋转，设直线与直线相交于点． 如图，当时，判断的度数是否为定值，若是，求出该定值；若不是，说明理由； 若，，当，，三点共线时，求的长． 25．如图，直线与轴、轴分别交于点、点，经过、两点的抛物线与轴的另一个交点为，顶点为． （1）求的值； （2）在该抛物线的对称轴上是否存在点，使以，，为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． （3）将该抛物线在轴上方的部分沿轴向下翻折，图象的其余部分保持不变，翻折后的图象与原图象轴下方的部分组成一个“”形状的新图象，若直线与该“”形状的图象部分恰好有三个公共点，求的值． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年第一学期教学质量监测一 九年级数学 试卷共6页，25小题，满分120分．考试用时120分钟． 第一部分选择题（共30分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．下列手机手势解锁图案中，是中心对称图形的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解：A、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意； B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意； C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项符合题意； D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意． 2．已知关于的方程的一个根为，则实数的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】解：将代入方程，， 解得． 3．抛物线的对称轴是（ ） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 【答案】A 【解析】抛物线的对称轴是直线． 4．如图，将绕点按逆时针方向旋转后得到，若，则的度数是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解：绕点按逆时针方向旋转后得到， ． 5．如图，线段是的直径，于点，若长为，长为，则半径是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】解：如图，连接， 线段是的直径，于点，， ， 在中，可有， 半径是． 6．若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（ ） A． B． C．且 D．且 【答案】D 【解析】解：关于的一元二次方程有实数根， 且， 解得：且． 7．若、、是抛物线上三点，，，的大小关系为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解：抛物线的开口向下，对称轴为直线， 当时，随的增大而减小， 、、在抛物线上，且， ． 8．某班同学毕业时都将自己的照片向全班其他同学各送一张表示留念，全班共送张照片，如果全班有名同学，根据题意，列出方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解：全班有名同学， 每名同学要送出张； 又是互送照片， 总共送的张数应该是． 9．函数与（，是常数，且）在同一坐标系中的图象可能是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解：A．由一次函数的图像可知，由抛物线图像可知，开口向下，，但是一次函数与轴的交点和二次函数与轴的交点，不是同一点，故A选项错误； B．由一次函数的图像可知，由抛物线图像可知，开口向下，，两者相矛盾，故B选项不正确，不符合题意； C．由一次函数的图像可知，由抛物线图像可知，开口向上，，且两函数相交轴于同一点，故C选项正确，符合题意； D．由一次函数的图像可知，由抛物线图像可知，开口向上，两者相矛盾，故D选项不正确，不符合题意． 10．如图，已知抛物线的对称轴为直线，与轴的一个交点坐标为，部分图象如图所示．下列结论：方程的两个根是，；；；当时，的取值范围是．其中结论正确的个数是（ ）个． A． B． C． D． 【答案】A 【解析】解：抛物线的对称轴为直线， 而点关于直线的对称点的坐标为， 方程的两个根是，，故错误； 当时，，即，故错误； ，即， 而时，，即， ，即，故错误； 当时，函数图象在轴的上面， 的取值范围是，故正确； 综上结论正确的个数是个． 二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分） 11．在直角坐标系中，点关于原点对称点的坐标是_____． 【答案】 【解析】解：解：点关于原点对称的点的坐标是． 12．设、是一元二次方程的两个根，则_____． 【答案】 【解析】解：、是一元二次方程的两个根， ． 13．若抛物线先向左平移个单位，再向下平移个单位，则所得的抛物线的解析式是_____． 【答案】 【解析】解：抛物线先向左平移个单位得到，再将向下平移个单位得到． 14．如图，在平面直角坐标系中，矩形的两边，分别在轴和轴上，并且，．若把矩形绕着点逆时针旋转，使点恰好落在边上的处，则点的坐标为_____． 　　　第14题图 【答案】 【解析】解：由旋转的性质得：， 四边形是矩形， ， ， 的坐标为． 15．一座石拱桥的桥拱是近似的抛物线形，建立如图所示的平面直角坐标系，其函数关系式为，当水面离桥拱顶的高度是时，水面的宽度为_____． 　　　第15题图 【答案】 【解析】解：根据抛物线的对称性， ， 点纵坐标为， 把代入得， ，， ． 16．如图，中，，，点为边上一点（不与点，重合），连接，将线段绕点逆时针旋转得到，连接．下列结论：；四边形的面积是；若，则；．其中正确的结论是_____．（填写所有正确结论的序号） 　　　第16题图 【答案】 【解析】解：线段绕点逆时针旋转得到， ，， ， ， ， 在和中， ， ，故正确； ，故不正确； 连结， ， ，， ，， ， ， ， ，， ， ， ， ， 在中， ，故正确； 在中， ， 在中， ， ，故正确， 正确的结论是． 三、解答题（本大题共9小题，满分72分。解答应写出文字说明、推理过程） 17．（4分）解一元二次方程：． 【答案】， 【解析】解：， ， ， 18．（4分）如图，在平面直角坐标系内，的顶点坐标分别为，，． （1）画出关于原点对称的． （2）画出绕点逆时针旋转后的． 【答案】（1）见解析（2）见解析 【解析】解：（1）如图，即为所求， （2）见上图为所求． 19．（6分）如图，将绕点顺时针旋转得到，使点的对应点落在边上． （1）若，，求的长； （2）若，，连接，求的度数． 【答案】（1）（2） 【解析】解：（1）将绕点顺时针旋转得到， ， ，， ， 的长为． （2）由（1）可知，， ，，， 是等腰三角形， 在中，， ， ， 的度数为． 20．（6分）如图，射线平分，为射线上一点，以为圆心，为半径作分别与的两边相交于、和、，连接，且． （1）求证：； （2）若弦，求的长． 【答案】（1）见解析（2） 【解析】解：（1）平分， ， ， ， ， ； （2）解：过点作于，如图， 则， 在中， ，， ， ， ， 在中， ． 21．（8分）已知二次函数的图象如图所示，顶点为，抛物线与轴交于点，与轴交于和两点． （1）求此抛物线的解析式； （2）结合图象填空： 关于的一元二次方程的解是_____； 不等式的解集为_____． 【答案】（1）（2），或 【解析】解：（1）由图象可知抛物线顶点为， 设抛物线解析式为， 抛物线与轴交于点， ，解得， 抛物线的解析式为； （2）抛物线对称轴为直线， 关于直线的对称点是， 关于的一元二次方程的解是，； 抛物线对称轴为直线， 的对称点是， 不等式的解集为或． 22．（8分）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求的取值范围； （2）若比方程的两实数根，满足，求的值． 【答案】（1）（2） 【解析】解：（1）根据题意得， 解得； （2）根据题意得，， ， ， 即， 整理得，解得，， ， ． 23．（10分）年杭州亚运会吉祥物是一组承载深厚底蕴和充满时代活力的机器人，由琮琮、莲莲、宸宸共同组成“江南忆”组合．“江南忆”出自唐朝诗人白居易的名句“江南忆，最忆是杭州”，融合了杭州的历史人文、自然生态和创新基因．三个吉祥物造型形象生动，深受大家的喜爱．某商店以每件元的价格购进吉祥物造型的钥匙扣，以每件元的价格出售．经统计，月份的销售量为件，月份的销售量为件． （1）求该款钥匙扣月份到月份销售量的月平均增长率； （2）从月份起，商场决定采用降价促销的方式回馈顾客，根据销售经验预测，该钥匙扣每降价元，月销售量就会增加件．当该钥匙扣售价为多少元时，月销售利润最大，最大利润是多少元？ 【答案】（1）（2）该款钥匙扣售价为元时，月销售利润最大达元 【解析】解：解：设该款钥匙扣月份到月份销售量的月平均增长率为， 根据题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）． 答：该款钥匙扣月份到月份销售量的月平均增长率为； （2）设总利润为元，该钥匙扣售价为元，则每件的销售利润为元，月销售量为件， 根据题意得：， 抛物线对称轴为直线， 当时，（元）． 答：该款钥匙扣售价为元时，月销售利润最大达元． 24．（12分）如图，等边中，分别交、于点、． （1）求证：是等边三角形； （2）将绕点顺时针旋转，设直线与直线相交于点． 如图，当时，判断的度数是否为定值，若是，求出该定值；若不是，说明理由； 若，，当，，三点共线时，求的长． 【答案】（1）见解析（2）或 【解析】解：（1）是等边三角形， ， ， ，． 是等边三角形； （2）的度数是定值，理由如下： 如图， 在和中， ， ， ， 又， ； 当，，三点共线，且在上方时．如图， 过点作于， 在中，，． ，； 在中，， ； 当，，三点共线，且在上方时，如图， 过点作于， ． 同理可得， 综上所述，或． 25．如图，直线与轴、轴分别交于点、点，经过、两点的抛物线与轴的另一个交点为，顶点为． （1）求的值； （2）在该抛物线的对称轴上是否存在点，使以，，为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． （3）将该抛物线在轴上方的部分沿轴向下翻折，图象的其余部分保持不变，翻折后的图象与原图象轴下方的部分组成一个“”形状的新图象，若直线与该“”形状的图象部分恰好有三个公共点，求的值． 【答案】（1）（2）点的坐标为或或或（3）或 【解析】解：（1）直线，令，则，令，则， 故点、的坐标分别为、， 将点、的坐标分别代入抛物线表达式得：，解得： ， 则抛物线的表达式为：，则点坐标为，顶点的坐标为， ； （2）当时， 点纵坐标为中点的纵坐标相同为， 此时点坐标为； 当时， ， 点的坐标为或； 当时， 过该中点与垂直的直线方程为：， 当时，，即点的坐标为； 点的坐标为或或或； （3）图象翻折后的点对应点的坐标为， 在如图所示的位置时，直线与该““形状的图象部分恰好有三个公共点， 此时、、三点共线，； 当直线与翻折后的图象只有一个交点时， 此时，直线与该““形状的图象部分恰好有三个公共点； 即，，解得：． 即或． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$