八年级数学下学期第一次月考测试卷【人教版，测试范围：二次根式～勾股定理】-【上好课】2024-2025学年初中数学同步精品课堂

2024-2025学年八年级数学下学期第一次月考卷 基础知识达标测 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 考前须知： 1．本卷试题共24题，单选10题，填空6题，解答8题。 2．测试范围：二次根式~勾股定理（人教版）。 第Ⅰ卷 一、单项选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．（3分）若式子有意义，则m的取值范围是（　　） A．m B．m C．m D．m 2．（3分）下列二次根式是最简二次根式的是（　　） A． B． C． D． 3．（3分）下列运算正确的是（　　） A．• B．9 C．12 D．•6 4．（3分）估算的值（　　） A．在0与1之间 B．在0与2之间 C．在2与3之间 D．在3与4之间 5．（3分）已知a、b、c是△ABC的三边，下列条件：①a＝6，b＝10，c＝8；②∠C＝23°，∠B＝57°；③∠B﹣∠C＝∠A；④a2﹣c2＝b2，能够判断△ABC为直角三角形的有（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 6．（3分）“今有方池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问：水深几何？”这是我国数学史上的“葭生池中”问题．即AC＝5，DC＝1，BD＝BA，则BC＝（　　） A．8 B．10 C．12 D．13 7．（3分）如图，三角形纸片ABC中，∠BAC＝90°，AB＝2，AC＝3，沿AD和EF将纸片折叠，使点B和点C都落在边BC上的点P处，则AE的长是（　　） A． B． C． D． 8．（3分）已知a+b＝﹣6，ab＝7．则代数式的值为（　　） A． B． C． D． 9．（3分）如图，在正方形方格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，点A，B，C，D，E均在小正方形方格的顶点上，线段AB，CD交于点F，若∠CFB＝α，则∠ABE等于（　　） A．180°﹣α B．180°﹣2α C．90°+α D．90°+2α 10．（3分）如图，四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝90°，∠BCD＝30°，BC＝2，AC，则CD的长为（　　） A．4 B．2 C．5 D． 二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分） 11．（3分）比较下列两个数的大小： 　 　．（用“＞”或“＜”填空） 12．（3分）读材料：我们规定，若a+b＝﹣1，则称a与b是关于﹣1的平衡数，若与m是关于﹣1的平衡数，则m＝　 　． 13．（3分）如图，从一个大正方形中裁去面积为8cm2和18cm2的两个小正方形，则留下的阴影部分面积和为 　 　． 14．（3分）如图，庭院中有两棵树，小鸟要从一棵高10m的树顶飞到一棵高4m的树顶上，两棵树相距8m，则小鸟至少要飞 　 　米． 15．（3分）勾股数是指能成为直角三角形三条边长的三个正整数，世界上第一次给出勾股数公式的是中国古代数学著作《九章算术》．现有勾股数a，b，c，其中a，b均小于c，am2，，m是大于1的奇数，则b＝　 　（用含m的式子表示）． 16．（3分）如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝90°，AC，CD＝6，则BD＝　 　． 三．解答题（共8小题，满分72分） 17．（8分）计算： （1）； （2）． 18．（8分）先化简，再求值：，其中x，y＝4． 19．（8分）如图，在四边形ABCD中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，点D是Rt△ABC外一点，连接CD，AD，且CD＝12，AD＝13．求四边形ABCD的面积． 20．（8分）如图，在一条绷紧的绳索一端系着一艘小船．河岸上一男子拽着绳子另一端向右走，绳端从C移动到E，绳子始终绷紧且绳长保持不变． （1）若CF＝7米，AF＝24米，AB＝18米，求男子需向右移动的距离；（结果保留根号） （2）此人以0.5米每秒的速度收绳，请通过计算回答，该男子能否在30秒内将船从A处移动到岸边点F的位置？ 21．（8分）如图是由小正方形组成的9×7网格，每个小正方形的顶点叫做格点，△ABC的三个顶点都是格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中按下列要求完成画图，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示． （1）在图1中按下列步骤完成画图． ①画出△ABC的高CD； ②画△ACD的角平分线AE； ③画点D关于AC的对称点D'； （2）如图2，P是网格线上一点，过点P的线段MN分别交AB，BC于点M，N，且PM＝PN，画出线段MN． 22．（10分）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AC＝17，BC＝15，点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿折线A﹣C﹣B﹣A运动．设点P的运动时间为t（t＞0）． （1）AB＝　 　； （2）求斜边AC上的高线长； （3）①当P在BC上时，CP的长为 　 　，t的取值范围是 　 　；（用含t的代数式表示） ②若点P在∠BCA的平分线上，则t的值为 　 　． 23．（10分）（1）如图1，在Rt△ABC和Rt△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC，AD＝AE，且点D在BC边上滑动（点D不与点B，C重合），连接EC．求证：BD2+CD2＝2AD2； [拓展延伸] （2）如图2，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ACB＝∠ADC＝45°．若BD＝17cm，CD＝8cm，求AD的长； （3）如图3，把斜边长都为18cm的一副三角板的斜边重叠摆放在一起，则两块三角板的直角顶点之间的距离AB长为 　 　cm． 24．（12分）如图，在平面直角坐标系中，点A（0，a）在y轴上，点B（b，0）、C在x轴上，OB＝OC，且a，b满足． （1）如图1，则点A坐标 　 　，点B坐标 　 　，∠ABC＝　 　； （2）如图2，若点D在第一象限且满足AD＝AC，∠DAC＝90°，线段BD交y轴于点G，求线段BG的长；（3）如图3，在（2）的条件下，若在第四象限有一点E，满足∠BEC＝∠BDC．请探究BE、CE、AE之间的数量关系，并证明． 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年八年级数学下学期第一次月考卷 基础知识达标测 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 考前须知： 1．本卷试题共24题，单选10题，填空6题，解答8题。 2．测试范围：二次根式~勾股定理（人教版）。 第Ⅰ卷 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1．（3分）若式子有意义，则m的取值范围是（　　） A．m B．m C．m D．m 【分析】根据二次根式的被开方数是非负数列出不等式，解不等式得到答案． 【解答】解：由题意得：2m﹣3≥0， 解得：m， 故选：C． 2．（3分）下列二次根式是最简二次根式的是（　　） A． B． C． D． 【分析】对于一个二次根式，被开方数中不含分母或不含开得尽方的因数或因式，这种二次根式即为最简二次根式，据此进行判断即可． 【解答】解：不是二次根式，则A不符合题意； 是最简二次根式，则B符合题意； 中含有分母，则C不符合题意； 含有分母，则D不符合题意； 故选：B． 3．（3分）下列运算正确的是（　　） A．• B．9 C．12 D．•6 【分析】直接利用二次根式的乘除运算法则分别化简得出答案． 【解答】解：A、•，故此选项错误； B、9993，故此选项错误； C、2，故此选项错误； D、•6，故此选项正确； 故选：D． 4．（3分）估算的值（　　） A．在0与1之间 B．在0与2之间 C．在2与3之间 D．在3与4之间 【分析】求出原式＝5，先确定的范围，再确定5的范围，即可得出答案． 【解答】解：2 ＝5， ∵23， ∴﹣23， ∴5﹣2＞55﹣3， 即2＜53， ∴23， 故选：C． 5．（3分）已知a、b、c是△ABC的三边，下列条件：①a＝6，b＝10，c＝8；②∠C＝23°，∠B＝57°；③∠B﹣∠C＝∠A；④a2﹣c2＝b2，能够判断△ABC为直角三角形的有（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【分析】根据三角形的内角和定理和勾股定理的逆定理求解即可． 【解答】解：①∵62+82＝102， ∴a2+c2＝b2， ∴△ABC是直角三角形， 故本选项符合题意； ②∵∠C＝23°，∠B＝57°，∠A+∠B+∠C＝180°， ∴∠A＝100°， ∴△ABC是钝角三角形， 故本选项不符合题意； ③∵∠B﹣∠C＝∠A， ∴∠A+∠C＝∠B， ∵∠A+∠B+∠C＝180°， ∴2∠B＝180°， ∴∠B＝90°， ∴△ABC是直角三角形， 故本选项符合题意； ④∵a2﹣c2＝b2， ∴a2＝b2+c2， ∴△ABC是直角三角形， 故本选项符合题意； 综上，能够判断△ABC为直角三角形的有3个， 故选：D． 6．（3分）“今有方池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问：水深几何？”这是我国数学史上的“葭生池中”问题．即AC＝5，DC＝1，BD＝BA，则BC＝（　　） A．8 B．10 C．12 D．13 【分析】设BC＝x，则BD＝BA＝x+1，在Rt△ABC中，由勾股定理得出方程求解即可． 【解答】解：设BC＝x，则BD＝BA＝x+1， 在Rt△ABC中，由勾股定理得， AB2＝AC2+BC2， 即（x+1）2＝52+x2， 解得x＝12， 即BC＝12， 故选：C． 7．（3分）如图，三角形纸片ABC中，∠BAC＝90°，AB＝2，AC＝3，沿AD和EF将纸片折叠，使点B和点C都落在边BC上的点P处，则AE的长是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据题意可得AP＝AB＝2，∠B＝∠APB，CE＝PE，∠C＝∠CPE，可得∠APE＝90°，继而设AE＝x，则CE＝PE＝3﹣x，根据勾股定理即可求解． 【解答】解：∵沿过点A的直线将纸片折叠，使点B落在边BC上的点D处， ∴AP＝AB＝2，∠B＝∠APB， ∵折叠纸片，使点C与点D重合， ∴CE＝PE，∠C＝∠CPE， ∵∠BAC＝90°， ∴∠B+∠C＝90°， ∴∠APB+∠C＝90°， ∴∠APE＝90°， ∴AP2+PE2＝AE2， 设AE＝x， 则CE＝PE＝3﹣x， ∴22+（3﹣x）2＝x2， 解得， 即， 故选：A． 8．（3分）已知a+b＝﹣6，ab＝7．则代数式的值为（　　） A． B． C． D． 【分析】根据题意得a＜0，b＜0，a2+2×7+b2＝36，再利用二次根式的性质进行化简即可求解． 【解答】解：∵a+b＝﹣6，ab＝7， ∴a＜0，b＜0，a2+2×7+b2＝36， ∴a2+b2＝22， ， 故选：A． 9．（3分）如图，在正方形方格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，点A，B，C，D，E均在小正方形方格的顶点上，线段AB，CD交于点F，若∠CFB＝α，则∠ABE等于（　　） A．180°﹣α B．180°﹣2α C．90°+α D．90°+2α 【分析】过B点作BG∥CD，连接EG，根据平行线的性质得出∠ABG＝∠CFB＝α．根据勾股定理求出BG2＝17，BE2＝17，EG2＝34，那么BG2+BE2＝EG2，根据勾股定理的逆定理得出∠GBE＝90°，进而求出∠ABE的度数． 【解答】解：如图，过B点作BG∥CD，连接EG， ∵BG∥CD， ∴∠ABG＝∠CFB＝α． ∵BG2＝12+42＝17，BE2＝12+42＝17，EG2＝32+52＝34， ∴BG2+BE2＝EG2， ∴△BEG是直角三角形， ∴∠GBE＝90°， ∴∠ABE＝∠GBE+∠ABG＝90°+α． 故选：C． 10．（3分）如图，四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝90°，∠BCD＝30°，BC＝2，AC，则CD的长为（　　） A．4 B．2 C．5 D． 【分析】把△ABC绕点A逆时针旋转90°得到△ADE，连接CE，作EF⊥CD于F，则AC＝AE，结合旋转的性质求得∠ADE+∠ADC＝240°，在Rt△EDF中，∠DEF＝30°，然后利用含30°角的直角三角形性质及勾股定理列方程求解即可． 【解答】解：如图，把△ABC绕点A逆时针旋转90度，得到△ADE，连接CE，过点E作EF⊥CD延长线于点F， 根据旋转可知：AE＝AC，ED＝BC＝2，∠ABC＝∠ADE， 根据四边形ABCD的内角和＝360°， ∴∠ABC+∠BCD+∠ADC+∠DAB＝360°， ∵∠BAD＝90°，∠BCD＝30°， ∴∠ABC+∠ADC＝240°， ∴∠ADE+∠ADC＝240°， ∴∠CDE＝120°， ∴∠EDF＝60°， 在Rt△EDF中，DE＝2， ∴DF＝1，EF， 在Rt△AEC中，CEAC＝2 ∴CF5， ∴CD＝CF﹣DF＝5﹣1＝4． 故选：A． 二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分） 11．（3分）比较下列两个数的大小： 　＞　．（用“＞”或“＜”填空） 【分析】先根据二次根式的性质将根号外的数字3和4，分别放入根号内，再比较大小即可求解． 【解答】解： ∵ ∴， 故答案为：＞． 12．（3分）读材料：我们规定，若a+b＝﹣1，则称a与b是关于﹣1的平衡数，若与m是关于﹣1的平衡数，则m＝　　． 【分析】根据新定义列出算式计算即可． 【解答】解：由题意，得：． 故答案为：． 13．（3分）如图，从一个大正方形中裁去面积为8cm2和18cm2的两个小正方形，则留下的阴影部分面积和为 　24cm2　． 【分析】直接利用正方形的性质得出两个小正方形的边长，进而得出大正方形的边长，即可得出答案． 【解答】解：∵两个小正方形面积为8cm2和18cm2， ∴大正方形边长为：235（cm）， ∴大正方形面积为（5）2＝50（cm2）， ∴留下的阴影部分面积和为：50﹣8﹣18＝24（cm2）． 故答案为：24cm2． 14．（3分）如图，庭院中有两棵树，小鸟要从一棵高10m的树顶飞到一棵高4m的树顶上，两棵树相距8m，则小鸟至少要飞 　10　米． 【分析】根据勾股定理求出AB的长即可． 【解答】解：如图，由题意可知，AC＝AD﹣CD＝10﹣4＝6（m），BC＝8m， 在Rt△ABC中，由勾股定理得， AB（m）， 则小鸟至少要飞10m， 故答案为：10． 15．（3分）勾股数是指能成为直角三角形三条边长的三个正整数，世界上第一次给出勾股数公式的是中国古代数学著作《九章算术》．现有勾股数a，b，c，其中a，b均小于c，am2，，m是大于1的奇数，则b＝　m　（用含m的式子表示）． 【分析】根据勾股数的定义解答即可． 【解答】解：∵a，b，c是勾股数，其中a，b均小于c，am2，， ∴b2＝c2﹣a2 ＝（m2）2﹣（m2）2 m4m2﹣（m4m2） m4m2m4m2 ＝m2， ∵m是大于1的奇数， ∴b＝m． 故答案为：m． 16．（3分）如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝90°，AC，CD＝6，则BD＝　　． 【分析】作AE⊥AC，AE＝AC，连接EC，延长EB交CD于点F，构造旋转全等，再结合勾股定理求解． 【解答】解：作AE⊥AC，AE＝AC，连接EC，延长EB交CD于点F， ∵AE⊥AC，∠BAD＝90°， ∴∠BAE＝∠DAC， ∵AE＝AC，AB＝AD， ∴△ABE≌△ADC（SAS）， ∴BE＝CD＝6，∠AEB＝∠ACD， ∵∠1＝∠2， ∴∠CFB＝∠CAE＝90°， 在Rt△AEC中，， 在Rt△BCF中，Rt△ECF中，有， 解得：BF＝6， ∴CF＝2，FD＝4， ∴在Rt△BDF中，， 故答案为：． 三．解答题（共8小题，满分72分） 17．（8分）计算： （1）； （2）． 【分析】（1）利用平方差公式，完全平方公式计算即可； （2）先计算乘除，再计算加减． 【解答】解：（1）原式＝（3）2﹣1﹣（12﹣41） ＝27﹣1﹣12+41 ＝13+4； （2）原式＝2 ＝123﹣2 ＝115． 18．（8分）先化简，再求值：，其中x，y＝4． 【分析】先把各二次根式化为最简二次根式，再合并得到原式，然后把x、y的值代入计算． 【解答】解：∵x0，y＝4＞0， ∴原式＝54 ， 当x，y＝4时，原式． 19．（8分）如图，在四边形ABCD中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，点D是Rt△ABC外一点，连接CD，AD，且CD＝12，AD＝13．求四边形ABCD的面积． 【分析】根据勾股定理计算AC，根据勾股定理的逆定理判定△ADC是直角三角形，根据面积公式计算即可． 【解答】解：∵∠B＝90°，AB＝3，BC＝4， ∴AC5， ∵CD＝12，AD＝13，AC＝5， 且CD2+AC2＝52+122＝132＝AD2， ∴∠ACD＝90°， ∴四边形ABCD面积为： ． 20．（8分）如图，在一条绷紧的绳索一端系着一艘小船．河岸上一男子拽着绳子另一端向右走，绳端从C移动到E，绳子始终绷紧且绳长保持不变． （1）若CF＝7米，AF＝24米，AB＝18米，求男子需向右移动的距离；（结果保留根号） （2）此人以0.5米每秒的速度收绳，请通过计算回答，该男子能否在30秒内将船从A处移动到岸边点F的位置？ 【分析】（1）根据勾股定理求AC、BC的长，然后作差求解即可； （2）求出从A处移动到岸边点F的时间，再比较即可． 【解答】解：（1）∵∠AFC＝90°，AF＝24米，CF＝7米， ∴AC25（米）， ∵AB＝18米， ∴BF＝AF﹣AB＝24﹣18＝6（米）， ∴BC（米）， ∴CE＝AC﹣BC＝（25）米， 答：男子需向右移动的距离为米； （2）由题意知，需收绳的绳长为：AC﹣CF＝25﹣7＝18（米）， ∴此人的收绳时间为（秒）， ∵36＞30， ∴该男子不能在30秒内将船从A处移动到岸边点F的位置． 21．（8分）如图是由小正方形组成的9×7网格，每个小正方形的顶点叫做格点，△ABC的三个顶点都是格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中按下列要求完成画图，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示． （1）在图1中按下列步骤完成画图． ①画出△ABC的高CD； ②画△ACD的角平分线AE； ③画点D关于AC的对称点D'； （2）如图2，P是网格线上一点，过点P的线段MN分别交AB，BC于点M，N，且PM＝PN，画出线段MN． 【分析】（1）①取格点T，连接CT交AB于点D，线段CD即为所求； ②取BC的中点E，连接AE即可； ③作点B关于AC的对称点B′，T关于AC的对称点T′，连接CT′交AB′于点D′，点D′即为所求； （2）连接BP并延长交网格线于点Q，则BP＝PQ，连接AP并延长交网格线于点L，则AP＝PL，连接QL交BC于点N，延长NP交AB于点M，则线段MN即为所画的线段． 【解答】解：（1）①如图1中，线段CD即为所求； ②如图1中，线段AE即为所求； ③如图1中，点D′即为所求． （2）如图2，线段MN即为所求． 22．（10分）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AC＝17，BC＝15，点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿折线A﹣C﹣B﹣A运动．设点P的运动时间为t（t＞0）． （1）AB＝　8　； （2）求斜边AC上的高线长； （3）①当P在BC上时，CP的长为 　3t﹣17　，t的取值范围是 　　；（用含t的代数式表示） ②若点P在∠BCA的平分线上，则t的值为 　　． 【分析】（1）利用股定理即可求解； （2）过点B作BD⊥AC于点D，利用面积法求解即可； （3）①根据点P的运动路径及速度表示出CP即可解答； ②过点P作PE⊥AC于E，利用角平分线的性质可知PB＝PE，再证Rt△BCP≌Rt△ECP（HL），推出EC＝BC，最后利用股定理解Rt△AEP即可． 【解答】解：（1）在△ABC中，∠ABC＝90°，AC＝17，BC＝15， ∴． 故答案为：8． （2）如图所示，过点B作 BD⊥AC 于点D， ∴， 即 ， ∴斜边AC上的高线长为 ． （3）①∵点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿折线 A﹣C﹣B﹣A 运动，AC＝17， ∴当P在 BC上时，CP＝3t﹣AC＝3t﹣17． ∵，即 ， ∴． 故答案为：3t﹣17，； ②当点P在∠BCA 的角平分线上时，过点P作 PE⊥AC 于E，如图所示， ∵CP平分∠BCA，∠B＝90°，PE⊥AC， ∴PB＝PE． 又∵PC＝PC， ∴Rt△BCP≌Rt△ECP（HL）． ∴EC＝BC＝15，则 AE＝AC﹣CE＝17﹣15＝2． 由（2）易知 AP＝40﹣3t，BP＝3t﹣32， ∴PE＝3t﹣32． 在Rt△AEP中，AP2＝AE2+EP2 即 （40﹣3t）2＝22+（3t﹣32）2， 解得 ． ∴点P在∠BAC 的平分线上时，． 故答案为：． 23．（10分）（1）如图1，在Rt△ABC和Rt△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC，AD＝AE，且点D在BC边上滑动（点D不与点B，C重合），连接EC．求证：BD2+CD2＝2AD2； [拓展延伸] （2）如图2，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ACB＝∠ADC＝45°．若BD＝17cm，CD＝8cm，求AD的长； （3）如图3，把斜边长都为18cm的一副三角板的斜边重叠摆放在一起，则两块三角板的直角顶点之间的距离AB长为 　　cm． 【分析】（1）证明△BAD≌△CAE（SAS），根据全等三角形的性质得到BD＝CE，∠ACE＝∠B，得到∠DCE＝90°，根据勾股定理计算即可； （2）作AE⊥AD，使AE＝AD，连接CE，DE，证明△BAD≌△CAE，得到BD＝CE＝17cm，根据勾股定理计算即可． （3）延长BN到点P，使NP＝MB，先证△AMB≌△ANP得AB＝AP，∠NAM＝∠BAP，据此可得∠BAP＝∠MAN＝90°，由勾股定理知AB2+AP2＝BP2，继而可得2AB2＝（MB+BN）2；由直角三角形的性质知，代入计算即可得答案． 【解答】（1）证明：∵∠BAC＝∠DAE＝90°， ∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，即∠BAD＝∠CAE， 在△BAD和△CAE中， ， ∴△BAD≌△CAE（SAS）， ∴BD＝CE，∠ACE＝∠B， ∴∠DCE＝90°， ∴CE2+CD2＝ED2， 在Rt△ADE中，AD2+AE2＝ED2， 又AD＝AE， ∴BD2+CD2＝2AD2； （2）解：作AE⊥AD，使AE＝AD，连接CE，DE，如图2， ∵∠BAC+∠CAD＝∠DAE+∠CAD， 即∠BAD＝∠CAE， 在△BAD与△CAE中， ， ∴△BAD≌△CAE（SAS）， ∴BD＝CE＝17cm， ∵∠ADC＝45°，∠EDA＝45°， ∴∠EDC＝90°， ∴， ∵∠DAE＝90°， ∴． （3）解：如图3，延长BN到点P，使NP＝MB， ∵∠MAB＝90°，∠MBN＝90°， ∴∠AMB+∠ANB＝180°， ∵∠ANP+∠ANB＝180°， ∴∠AMB＝∠ANP， ∵AM＝AN，NP＝MB， ∴△AMB≌△ANP（SAS）， ∴AB＝AP，∠MAB＝∠NAP， ∴∠BAP＝∠BAM＝90°， ∴BA2+AP2＝BP2， ∴2AB2＝（MB+BN）2，即； ∵MN＝18cm，∠BMN＝30°， ∴， ∴ ∴， 故答案为：． 24．（12分）如图，在平面直角坐标系中，点A（0，a）在y轴上，点B（b，0）、C在x轴上，OB＝OC，且a，b满足． （1）如图1，则点A坐标 　（0，1）　，点B坐标 　（﹣3，0）　，∠ABC＝　30°　； （2）如图2，若点D在第一象限且满足AD＝AC，∠DAC＝90°，线段BD交y轴于点G，求线段BG的长； （3）如图3，在（2）的条件下，若在第四象限有一点E，满足∠BEC＝∠BDC．请探究BE、CE、AE之间的数量关系，并证明． 【分析】（1）先根据二次根式的性质求出a的值，然后再求出b的值，取AB的中点M，连接OM， 证明△OAM为等边三角形，得出∠OAB＝60°，求出∠ABC＝90°﹣60°＝30°，即可得出答案； （2）求出，即AB＝AC，可得∠ABD＝∠ADB，接着求出∠BAG＝120°，证明△BAO≌△CAO，即有∠BAO＝60°＝∠CAO，可得∠GAD＝180°﹣∠DAC﹣∠OAC＝30°，得出∠BAD＝∠BAG+∠GAD＝150°，进而有∠ABD＝∠ADB＝15°，可得∠GBO＝∠ABD+∠ABO＝45°，即有∠GBO＝∠BGO＝45°，问题随之得解； （3）由（2）可知：∠ADB＝15°，可得∠BDC＝∠ADB+∠ADC＝60°，进而有∠BEC＝∠BDC＝60°，延长EB至F，使BF＝CE，连接AF，过A点作AM⊥EF于M点，根据∠OAB＝∠OAC＝60°，即有∠BAC＝120°，进一步有∠BAC+∠BEC＝180°，即可证明∠ABF＝∠ACE，接着证明△ABF≌△ACE（SAS），问题随之得解． 【解答】解：（1）∵有意义， ∴， ∴a2＝1， 解得：a＝±1， ∵点A在y轴的正半轴上， ∴a＝1， ∴A（0，1）， ∴， ∴点， ∴， ∴， ∴， 取AB的中点M，连接OM，如图1所示： ，， 则， ∴OM＝AM＝OA， ∴△OAM为等边三角形， ∴∠OAB＝60°， ∴∠ABC＝90°﹣60°＝30°． （2）∵，AO＝1， ∴在Rt△ACO中，，即AB＝AC， ∵AD＝AC， ∴AD＝2， ∴AD＝2＝AB， ∴∠ABD＝∠ADB， ∵∠ABO＝30°，∠AOB＝90°， ∴∠BAO＝60°，即∠BAG＝120°， ∵OB＝OC，AB＝AC＝2，AO＝AO， ∴△BAO≌△CAO（SSS）， ∴∠BAO＝60°＝∠CAO， ∵∠DAC＝90°， ∴∠GAD＝180°﹣∠DAC﹣∠OAC＝30°， ∵∠BAG＝120°， ∴∠BAD＝∠BAG+∠GAD＝150°， ∴∠ABD＝∠ADB＝15°， ∵∠ABO＝30°，∠AOB＝90°， ∴∠GBO＝∠ABD+∠ABO＝45°， ∴∠GBO＝∠BGO＝45°， ∴BO＝OG， ∵， ∴， ∴在△BOG中，； （3），理由如下： 由（2）可知：∠ADB＝15°， ∵AD＝AC，∠DAC＝90°， ∴∠ADC＝∠ACD＝45°， ∴∠BDC＝∠ADB+∠ADC＝60°， ∴∠BEC＝∠BDC＝60°， 延长EB至F，使BF＝CE，连接AF，过A点作AM⊥EF于M点，如图3， ∵∠OAB＝∠OAC＝60°， ∴∠BAC＝120°， ∴∠BAC+∠BEC＝180°， ∴∠ACE+∠ABE＝180°， ∵∠ABF+∠ABE＝180°， ∴∠ABF＝∠ACE， 又∵AB＝AC，BF＝CE， ∴△ABF≌△ACE（SAS）， ∴AF＝AE，∠BAF＝∠CAE， ∴∠FAE＝∠BAC＝120°， ∴∠F＝∠AEF＝30°， ∵AM⊥EF，AF＝AE， ∴，， ∴， ∴， ∴， 即． 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $$