2.9 利用导数研究函数的单调性-2025年高考数学艺考生总复习（新教材新高考）

2.9 利用导数研究函数的单调性 【题型1】 导函数的“穿线图”与原函数的“趋势图” 【基础知识】 函数单调性与导数 在某个区间内，若 ，则函数在这个区间内单调递增； 若，则函数在这个区间内单调递减． 【例】函数的导函数的图象如图所示，则下列判断中正确的 （　　）    A．在上单调递增 B．在上单调递减 C．在上单调递减 D．在上单调递增 【详解】时，，故在上单调递减， 时，，故在上单调递增， 当时，，故在上单调递减， 当时，，故在上单调递增， 显然C正确，其他选项错误. 故选：C. 【经典例题】 【例1】（2025·广东·专练）已知的导函数的图象如图所示，那么的图象最有可能是（    ） A．B．C．D． 【巩固练习】 1（2025·广西·专练）已知函数的导函数的图象如图所示，则函数（    ） A．在上单调递减 B．在上单调递增 C．在R上单调递减 D．在R上单调递增 2（2025·广东·专练）已知函数的导函数 的图像如图所示，则函数（   ） A．在上单调递增 B．在上单调递减 C．在上单调递增 D．在上单调递减 3（2025·河北·专练）如图是函数y=f（x）的导函数的图象，则下列判断正确的是（    ） A．在区间上f（x）单调递增 B．在区间（1，3）上f（x）单调递减 C．在区间上f（x）单调递增 D．在区间（3，5）上f（x）单调递增 4（2025·湖北·模拟测试）已知函数的导函数为，若的图象如图所示，则函数的图象可能是（    ） A．B．C．D． 5设是函数的导函数，的图象如图所示，则的图象最有可能是（    ）    A．   B．   C．     D．   6（2025·广东·专练）（多选）如图是函数的导函数的图象，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【题型2】求三次函数的单调性 【经典例题】 【例1】（2023·广东深圳·模拟预测）已知函数，，且函数的图象在点处的切线斜率为3. (1)求的值； (2)求函数的单调区间． 【巩固练习】 1 （2025·广西·专练）函数的递减区间为（    ） A． B． C． D． 2（2025·江西·专练）函数的单调递增区间为（    ） A． B． C． D．和 3（2023·北京·模拟预测）已知函数，则函数的单调增区间为 . 4（2024·黑龙江·模拟预测）函数， 直线l是在处的切线. (1)确定的单调性； (2)求直线l的方程及直线l与的图象的交点. 5（2025·广东·专练）已知函数，且． (1)求的值；(2)求的单调区间； 【题型3】 求指数型函数的单调性 【经典例题】 【例1】（2025·广东·专练）已知函数．求函数的单调区间． 【例2】（2024·河北·模拟预测）已知函数在处的切线为轴． (1)求的值；(2)求的单调区间． 【巩固练习】 1（2025·湖南·专练）函数的单调增区间是（    ） A． B． C． D． 2函数的单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 3（多选）（2025·广东·专练）已知函数，则函数在下列区间上单调递增的有（    ） A． B． C． D． 4（2025·广东·专练）求函数 的单调区间． 5（2025·四川·专练）已知函数．求函数的单调区间． 6（2025·重庆·专练）已知函数. (1)求的单调增区间； (2)求在点处的切线方程. 【题型4】 求对数型函数的单调性 【经典例题】 【例1】（2025·广东·专练）函数的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 【例2】（2025·广东·专练）已知函数. (1)若函数的图象在点处的切线方程是，求和； (2)求函数的单调区间. 【巩固练习】 1（2024·四川成都·模拟预测）函数的单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 2（2024·海南海口·模拟预测）已知函数，则的单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 3（2024·广东·模拟预测）函数的单调减区间是（　　） A．（0，1） B．（1，+∞） C．（﹣∞，1） D．（﹣1，1） 4（2024·海南·模拟预测）函数的单调增区间为（    ） A． B． C． D． 5（2024·河南·专练）已知函数.讨论的单调性. 6（2024·广西·专练）求的单调区间. 【题型5】 由函数在区间上的单调性求参数 【基础知识】 1 单变量的恒成立问题 ① 恒成立，则； ② 恒成立，则； ③ 恒成立，则； ④ 恒成立，则; 2 处理恒成立问题方法 · 直接最值法 · 分类参数法 【经典例题】 【例1】（2024·四川成都·模拟预测）若函数在区间上单调递增，则实数k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【例2】（2024·广东·专练）已知函数在上为减函数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【巩固练习】 1（2025·海南·专练）若函数在上是增函数，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2（2025·浙江·专练）函数的单调递减区间是，则（    ） A．6 B．3 C．2 D．0 3（2025·广西·专练）函数是R上的单调增函数，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4（2025·湖北·专练）若函数在区间内单调递增，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5（2025·广东·专练）设函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6（2025·河北·模拟测试）若函数在区间上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7（2025·广东·模拟测试）已知函数在区间上单调递减，则a的值可能为（    ） A． B． C． D．e 【A组---基础题】 1（2025·广东·专练）已知函数的导函数的图象如图所示，那么函数 （    ） A．在上单调递增 B．在上单调递减 C．在上单调递增 D．在上单调递减 2函数的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 3（2022·四川眉山·模拟预测）函数的单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 4（2024·甘肃武威·模拟预测）函数的单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 5（2025·广东·专练）函数的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 6（2025·广东·模拟测试）函数在上是减函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7（2025·河北·模拟测试）已知在上递增，则实数的范围是（   ） A． B． C． D． 8（2025·四川·模拟测试）已知函数，若函数在上单调递减，则实数m的最小值为（    ） A．1 B． C．2 D． 9（2024·山西太原·二模）函数的单调递增区间是 ． 10（2025·广东·专练）已知函数（为自然对数的底）. （1）求函数的单调递增区间；（2）求曲线在点处的切线方程. 11（2025重庆·专练）已知函数，其导函数为． (1)求在处的切线方程；(2)求的单调区间． 12（2024·湖南邵阳·三模）已知函数． (1)求函数的单调递增区间； (2)若函数有且仅有三个零点，求的取值范围． 【B组---提高题】 1（2025·广东·模拟测试）已知定义在区间上的函数，则的单调递增区间为（    ） A． B． C．， D． 2（2025·湖南·专练）函数的单调增区间为（    ） A． B． C． D． 3（2024·云南昆明·模拟预测）已知函数在区间上单调递增，则a的最小值为（    ） A． B． C．e D． 4（2025·广东·专练）已知函数，则不等式的解集为 . 5（2025·广东·模拟测试）已知函数． (1)当时，求的单调区间； (2)若对任意，都有，求的取值范围． 2 / 2 多反思总结多交流的学习才高效！ 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2.9 利用导数研究函数的单调性 【题型1】 导函数的“穿线图”与原函数的“趋势图” 【基础知识】 函数单调性与导数 在某个区间内，若 ，则函数在这个区间内单调递增； 若，则函数在这个区间内单调递减． 【例】函数的导函数的图象如图所示，则下列判断中正确的 （　　）    A．在上单调递增 B．在上单调递减 C．在上单调递减 D．在上单调递增 【详解】时，，故在上单调递减， 时，，故在上单调递增， 当时，，故在上单调递减， 当时，，故在上单调递增， 显然C正确，其他选项错误. 故选：C. 【经典例题】 【例1】（2025·广东·专练）已知的导函数的图象如图所示，那么的图象最有可能是（    ） A．B．C．D． 【答案】D 【分析】根据导数正负与函数的单调性的关系即可得解. 【详解】由题意可知，当和时，导函数，函数单调递减； 当时，导函数，函数单调递增，故选项D正确. 故选：D. 【巩固练习】 1（2025·广西·专练）已知函数的导函数的图象如图所示，则函数（    ） A．在上单调递减 B．在上单调递增 C．在R上单调递减 D．在R上单调递增 【答案】D 【分析】根据导函数的符号确定单调性. 【详解】∵导函数图象在x轴及x轴上方，则，函数为增函数, ∴在R上递增. 故选：D. 2（2025·广东·专练）已知函数的导函数 的图像如图所示，则函数（   ） A．在上单调递增 B．在上单调递减 C．在上单调递增 D．在上单调递减 【答案】D 【分析】根据导函数的符号确定单调性. 【详解】由图可知：当 时， 单调递减，当 时， 单调递增，当 时， 单调递增； 故选：D. 3（2025·河北·专练）如图是函数y=f（x）的导函数的图象，则下列判断正确的是（    ） A．在区间上f（x）单调递增 B．在区间（1，3）上f（x）单调递减 C．在区间上f（x）单调递增 D．在区间（3，5）上f（x）单调递增 【答案】C 【分析】根据导数的正负依次判断单调性即可. 【详解】由导数图象知，在区间上小于0，在上大于0，函数f（x）先减后增，A错误；在区间上大于0， 在上小于0，函数f（x）先增后减，B错误；在区间上大于0，函数f（x）单调递增，C正确；在区间上小于0， 在上大于0，函数f（x）先减后增，D错误. 故选：C. 4（2025·湖北·模拟测试）已知函数的导函数为，若的图象如图所示，则函数的图象可能是（    ） A．B．C．D． 【答案】D 【解析】根据导函数大于，原函数单调递增；导函数小于，原函数单调递减；即可得出正确答案. 【详解】由导函数得图象可得：时，，所以在单调递减， 排除选项A、B， 当时，先正后负，所以在先增后减， 因选项C是先减后增再减，故排除选项C， 故选：D. 5设是函数的导函数，的图象如图所示，则的图象最有可能是（    ）    A．   B．   C．     D．   【答案】C 【分析】根据导函数的正负性与原函数的单调性的关系进行判断即可. 【详解】由的图象知，当时，为增函数，当时，为减函数，当时，，为增函数. 故选：C 6（2025·广东·专练）（多选）如图是函数的导函数的图象，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】根据的图象可得的单调性，结合单调性分析判断. 【详解】由题意可知：当时，；当时，； 可知在内单调递增，在内单调递减， 可得，，，故AD正确，B错误； 又因为不在同一单调区间内，所以无法比较的大小，故C错误； 故选：AD. 【题型2】求三次函数的单调性 【经典例题】 【例1】（2023·广东深圳·模拟预测）已知函数，，且函数的图象在点处的切线斜率为3. (1)求的值； (2)求函数的单调区间． 【答案】(1)1 (2)单调递增区间为，单调递减区间为 【分析】（1）根据题意结合导数的几何意义分析运算； （2）根据题意利用导数求原函数的单调区间. 【详解】（1）对函数求导得：， 由题意知：，解得. （2）由（1）可知：，， 令，解得；令，解得； 故函数的单调递增区间为，单调递减区间为. 【巩固练习】 1 （2025·广西·专练）函数的递减区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用导数与原函数单调性的关系进行求解即可. 【详解】， 由， 所以函数的递减区间为， 故选：C 2（2025·江西·专练）函数的单调递增区间为（    ） A． B． C． D．和 【答案】D 【分析】求导，根据导函数的符号求解. 【详解】 ，依题意， 或 ； 故选：D. 3（2023·北京·模拟预测）已知函数，则函数的单调增区间为 . 【答案】 【分析】根据导函数求单调区间即可. 【详解】函数的定义域为R，，令，解得，所以函数的单调递增区间为. 故答案为：. 4（2024·黑龙江·模拟预测）函数， 直线l是在处的切线. (1)确定的单调性； (2)求直线l的方程及直线l与的图象的交点. 【答案】(1)在和内单调递增，在内单调递减 (2)，交点坐标为、 【分析】（1）求出导函数，分别解和即可求出结果； （2）结合导数的几何意义即可求出切线的方程，然后与函数方程联立即可求出交点坐标. 【详解】（1）（1） 令或，， 所以在和内单调递增，在内单调递减. （2）因为，则， 而，则， 所以，即， 所以直线的方程为. 联立得或， 故直线l与的图象的交点坐标为、. 5（2025·广东·专练）已知函数，且． (1)求的值； (2)求的单调区间； 【答案】(1) (2)单调增区间，单调减区间 【分析】（1）根据已知条件列方程组，从而求得. （2）求出的导数，由和，求得单调区间. 【详解】（1）依题意，，解得. （2）由（1）得，， 当时，， 在区间上单调递增，在区间上单调递减， 所以的单调增区间为，单调减区间为. 【题型3】 求指数型函数的单调性 【经典例题】 【例1】（2025·广东·专练）已知函数．求函数的单调区间． 【答案】单调递增区间为：和；单调递减区间为：. 【分析】分别令 ，解不等式即可. 【详解】因， 由可解得，或；由可解得，. 故函数的单调递增区间为：和； 函数的单调递减区间为：. 【例2】（2024·河北·模拟预测）已知函数在处的切线为轴． (1)求的值； (2)求的单调区间． 【答案】(1)， (2)单调递减区间为，单调递增区间为 【分析】（1）求出函数的导函数，依题意可得且，即可得到方程组，解得即可； （2）求出函数的导函数，再利用导数说明的单调性，即可求出的单调区间. 【详解】（1）因为，所以， 依题意且， 所以，解得. （2）由（1）可得函数的定义域为， 又， 令，则， 所以（）在定义域上单调递增， 又，所以当时，当时， 所以的单调递减区间为，单调递增区间为. 【巩固练习】 1（2025·湖南·专练）函数的单调增区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】对函数求导，根据导函数的正负,确定函数的单调递增递减区间即得. 【详解】由求导得，， 则当时，，即函数在上单调递增； 当时，，即函数在上单调递减， 故函数的单调递增区间为. 故选：D. 2函数的单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】直接求导，再令，解出不等式即可. 【详解】，令，解得， 所以的单调递减区间为， 故选：A. 3（多选）（2025·广东·专练）已知函数，则函数在下列区间上单调递增的有（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】由导函数大于0求出单调递增区间，得到答案. 【详解】因为的定义域为R， ， 令得：或， 所以在区间，上单调递增． 故选：AC． 4（2025·广东·专练）求函数 的单调区间． 【答案】单调递增区间为；单调递减区间为. 【分析】通过对函数求导，根据导数的意义，令导数大于解得单调递增区间，小于解得单调递减区间. 【详解】由题可得：的定义域为， 则 由，得，解得或， 由，得，解得， 单调递增区间为，单调递减区间为. 5（2025·四川·专练）已知函数．求函数的单调区间． 【答案】的减区间为，增区间为． 【分析】对求导，利用导数与单调性的关系即可求解. 【详解】， 令，可得，令，可得， ∴在上单调递减，在上单调递增． 所以的减区间为，增区间为． 6（2025·重庆·专练）已知函数. (1)求的单调增区间； (2)求在点处的切线方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用导数求函数的单调增区间； （2）利用导数的几何意义求切线方程. 【详解】（1），令，得， 由，得， 所以函数的单调增区间是； （2）， 所以函数在处的切线方程为， 即. 【题型4】 求对数型函数的单调性 【经典例题】 【例1】（2025·广东·专练）函数的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出函数导数，令可得解. 【详解】因为， 所以令可得，解得， 所以函数的单调递增区间为. 故选：C 【例2】（2025·广东·专练）已知函数. (1)若函数的图象在点处的切线方程是，求和； (2)求函数的单调区间. 【答案】(1) (2)递增区间为，递减区间为. 【分析】（1）求得，得到且，根据题意，列出方程组，即可求解； （2）求得，结合和的解集和定义域，即可求解. 【详解】（1）解：由函数，可得，则且， 因为函数的图象在点处的切线方程是， 可得 解得. （2）解：由函数的定义域为，且， 令，即，即，可得； 令，即，即，可得， 所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为. 【巩固练习】 1（2024·四川成都·模拟预测）函数的单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先得出函数的定义域，再令，解不等式即可. 【详解】函数的定义域为，，令，解得：， 多取一个端点不影响单调性，所以在上单调递减. 故选：D 2（2024·海南海口·模拟预测）已知函数，则的单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求导，根据导数为负即可求解. 【详解】的定义域为， ， 令，解得， 故的单调递减区间为， 故选：B 3（2024·广东·模拟预测）函数的单调减区间是（　　） A．（0，1） B．（1，+∞） C．（﹣∞，1） D．（﹣1，1） 【答案】A 【分析】求得函数的定义域与导数，结合导数的符号，即可求得函数的递减区间，得到答案. 【详解】由题意，函数的定义域为，且， 因为，可得，令，即，解得， 所以函数的递减区间为. 故选：A. 【点睛】本题主要考查了利用导数求解函数的单调区间，其中解答中熟记导数与函数的单调性的关系式解答的关键，着重考查推理与运算能力. 4（2024·海南·模拟预测）函数的单调增区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出导数，利用导数大于0可得答案. 【详解】函数 的定义域为 ， ， 由 得，解得 ， 所以 的单调增区间为 . 故选：B. 5（2024·河南·专练）已知函数.讨论的单调性. 【答案】在上单调递减，在上单调递增. 【分析】求导函数，由得增区间，由得减区间. 【详解】的定义域为，. 令，得；令，得. 所以在上单调递减，在上单调递增. 6（2024·广西·专练）求的单调区间. 【答案】的单调递增区间是，单调递减区间是 【分析】求出，令，求得增区间，令，求得减区间； 【详解】 的定义域为，， 所以的单调递增区间是：，单调递减区间是：. 【题型5】 由函数在区间上的单调性求参数 【基础知识】 1 单变量的恒成立问题 ① 恒成立，则； ② 恒成立，则； ③ 恒成立，则； ④ 恒成立，则; 2 处理恒成立问题方法 · 直接最值法 · 分类参数法 【经典例题】 【例1】（2024·四川成都·模拟预测）若函数在区间上单调递增，则实数k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用函数在区间上的导函数为非负数，列不等式，解不等式即可求得的取值范围. 【详解】由题意得， 在区间上恒成立， 即在区间上恒成立， 又函数在上单调递增，得， 所以，即实数的取值范围是. 故选：B 【例2】（2024·广东·专练）已知函数在上为减函数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求导，根据导函数的符号求解. 【详解】，由条件知当时，，即， 令，是减函数，； 故选：D. 【巩固练习】 1（2025·海南·专练）若函数在上是增函数，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出函数的导数，问题转化为在恒成立，利用判别式即可求出的范围． 【详解】函数，， 若在递增，则在恒成立， 可得,解得， 故选：D 2（2025·浙江·专练）函数的单调递减区间是，则（    ） A．6 B．3 C．2 D．0 【答案】A 【分析】根据是的实数根即可求解. 【详解】由可得， 由于的单调递减区间是，故和是的两个根，故，故， 故选：A 3（2025·广西·专练）函数是R上的单调增函数，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用列不等式，由此求得的取值范围. 【详解】依题意，由于，所以. 故选：D 4（2025·湖北·专练）若函数在区间内单调递增，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数单调性与导数的关系进行求解即可. 【详解】由， 因为函数在区间内单调递增， 所以有在上恒成立，即在上恒成立， 因为，所以由， 因为，所以，于是有， 故选：D 5（2025·广东·专练）设函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出函数的单调减区间后可求参数的取值范围. 【详解】， 令，则，而在区间上单调递减， 故，故， 故选：A. 6（2025·河北·模拟测试）若函数在区间上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由分离常数，利用构造函数法，结合导数，求得的取值范围. 【详解】依题意在区间上恒成立， 即在区间上恒成立， 令， ， 在上递增，， 所以. 所以的取值范围是. 故选：B 7（2025·广东·模拟测试）已知函数在区间上单调递减，则a的值可能为（    ） A． B． C． D．e 【答案】C 【分析】由题意可得在上恒成立，当时，上式恒成立，当时，转化为在上恒成立，构造函数，，利用可求得，从而可求出取值范围. 【详解】因为，所以， 因为在区间上单调递减， 所以在上恒成立，即在上恒成立， 当时，因为在上恒成立，故上式成立，满足题意； 当时，则在上恒成立， 令，， 所以在上恒成立，所以在上单调递增， 又，故，即， 综上，所以ABD错误，C正确. 故选：C. 【A组---基础题】 1（2025·广东·专练）已知函数的导函数的图象如图所示，那么函数 （    ） A．在上单调递增 B．在上单调递减 C．在上单调递增 D．在上单调递减 【答案】D 【分析】根据导函数图象判断出原函数的单调性. 【详解】根据导函数的图象可知，在区间上递减， 在区间上，递增， 所以D选项正确，ABC选项错误. 故选：D 2函数的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用导数的性质进行求解即可. 【详解】由题意得， 令，解得或，故其单调增区间为， 故选：A. 3（2022·四川眉山·模拟预测）函数的单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求导数，令求解不等式可得答案. 【详解】由题可知，由，解得. 所以单调递减区间为. 故选：A. 4（2024·甘肃武威·模拟预测）函数的单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数求导，然后由求解. 【详解】因为函数， 所以， 由，解得， 所以函数的单调递减区间是， 故选：C 5（2025·广东·专练）函数的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求定义域，再利用导数大于零可得增区间. 【详解】定义域为，，令得，即， 所以增区间为. 故选：B 6（2025·广东·模拟测试）函数在上是减函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意可得在恒成立，进而有，结合指数函数的单调性即可得出结果. 【详解】由题意知， 在恒成立， 得， 又函数在上单调递减， 所以， . 故选：D． 7（2025·河北·模拟测试）已知在上递增，则实数的范围是（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【解析】转化为导函数在给定区间上大于等于0恒成立，然后利用不等式恒成立的意义和二次函数的性质得解. 【详解】由已知可得在上满足，即在上恒成立， 由于在上的最小值为时取得，最小值为3， ， 故选：D. 【点睛】本题考查利用导数判定函数的单调性问题，属基础题，关键是将函数的单调性问题转化为导数在给定区间上大于等于0恒成立问题. 8（2025·四川·模拟测试）已知函数，若函数在上单调递减，则实数m的最小值为（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】A 【分析】根据单调性可得导函数在上恒成立即可求解. 【详解】由在上单调递减，可得在上恒成立，故， 所以， 故选：A 9（2024·山西太原·二模）函数的单调递增区间是 ． 【答案】/ 【分析】求导，令求解即可. 【详解】因为的定义域为，则， 且，令，则，解得， 所以函数的单调递增区间是. 故答案为： 10（2025·广东·专练）已知函数（为自然对数的底）. （1）求函数的单调递增区间； （2）求曲线在点处的切线方程. 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）对函数求导，使导函数大于零，从而可求出函数的增区间， （2）利用导数的几何意义求解即可 【详解】解：（1） 令，即函数的单调递增区间是； （2）因为，， 所以曲线在点处的切线方程为， 即. 11（2025重庆·专练）已知函数，其导函数为． (1)求在处的切线方程； (2)求的单调区间． 【答案】(1) (2)单调递增区间为，单调递减区间为 【分析】（1）利用导数的几何意义即可得解； （2）利用导数与函数单调性的关系即可得解. 【详解】（1）因为的导数为， 所以在处的切线斜率为，而 故所求的切线方程为，即． （2）因为，定义域为 所以 解得，解得， 所以的单调递增区间为，单调递减区间为． 12（2024·湖南邵阳·三模）已知函数． (1)求函数的单调递增区间； (2)若函数有且仅有三个零点，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用求导，导数值大于0来求单调递增区间即可； （2）利用函数的单调性和取值情况，分析可得的取值范围. 【详解】（1）由，得， 令，得，解得． 所以的单调递增区间为 （2）令，解得或． 当变化时，，的变化情况如下表所示： 0 2 0 0 单调递减 1 单调递增 单调递减 由函数有且仅有三个零点， 得方程有且仅有三个不等的实数根， 所以函数的图象与直线有且仅有三个交点． 显然，当时，；当时，． 所以由上表可知，的极小值为，的极大值为， 故． 【B组---提高题】 1（2025·广东·模拟测试）已知定义在区间上的函数，则的单调递增区间为（    ） A． B． C．， D． 【答案】C 【分析】利用导数，解三角不等式求函数的单调递增区间. 【详解】，，则，， 时有，由，解得或， 所以的单调递增区间为和. 故选：C. 2（2025·湖南·专练）函数的单调增区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，求得，结合的解集，即可求得函数的递增区间. 【详解】由函数，可得其定义域为， 且， 令，解得，所以函数的单调增区间为． 故选：C. 3（2024·云南昆明·模拟预测）已知函数在区间上单调递增，则a的最小值为（    ） A． B． C．e D． 【答案】A 【分析】在上恒成立，即，构造函数，，求导得到其单调性，得到，得到，求出答案. 【详解】由题意得在上恒成立， ，故， 即， 令，， 则在上恒成立， 故在上单调递减， 故， 故，故a的最小值为. 故选：A 4（2025·广东·专练）已知函数，则不等式的解集为 . 【答案】 【分析】利用导数判定函数单调性，利用单调性解不等式. 【详解】因为的定义域为， 所以，仅当时等号成立， 所以函数在上单调递减， 由可得， 解得， 所以不等式的解集为. 故答案为： 5（2025·广东·模拟测试）已知函数． (1)当时，求的单调区间； (2)若对任意，都有，求的取值范围． 【答案】(1)单调增区间为，无单调减区间 (2) 【分析】（1）求导，根据导数符号判断的单调区间； （2）构建，分析可知在单调递增，求导整理可得，利用基本不等式运算求解. 【详解】（1）当时，， 可知的定义域为，且， 所以的单调增区间为，无单调减区间． （2）因为， 则，即， 设函数，可知在单调递增． 且， 则在恒成立．即，可得， 又因为，当且仅当时等号成立， 可得，即． 所以的取值范围是． 2 / 2 多反思总结多交流的学习才高效！ 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$