2.8 导数的运算与几何意义-2025年高考数学艺考生总复习（新教材新高考）

2.8 导数的运算与几何意义 【题型1】 基本初等函数的导数运算 【基础知识】 1 基本初等函数的导数公式 原函数 导函数 原函数 导函数 2 导数运算法则 (1)； 拓展：； 记忆：函数的和差的导数等于函数导数的和差； (2)； 记忆：两函数积的导数等于“前导后不导后导前不导”； 特别：，为常数； 证明 ； (3). 记忆：两函数商的导数等于“分母平分，子导母不导减母导子不导”. 【例】 求下列函数的导数 (1) (2) (3) 解 (1)； (2)； (3). 【经典例题】 【例1】（2024·湖北·一模）已知函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求导，通过赋值逐项判断即可. 【详解】因为，所以， 则，所以， 则，所以. 故选：C 【例2】（2025·广东·专练）下列求导运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据基本函数的求导公式以及求导法则即可结合选项逐一求解. 【详解】对于A，，A错误； 对于B，，B正确； 对于C，，C错误； 对于D，，D错误． 故选：B. 【巩固练习】 1（2025·广东·专练）已知函数，则（    ） A． B．1 C．4 D．2 【答案】C 【分析】求导可求得. 【详解】由，可得，则. 故选：C. 2（2025·全国·专练）已知，且，则实数a的值为(    ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求f(x)的导数，令x＝－1即可求出a． 【详解】∵， ∴， ， ， ． 故选：D． 3（2023·全国·模拟预测）已知函数，则（    ） A．12 B．10 C．8 D．6 【答案】B 【分析】求导，根据即可求解，代入即可求值. 【详解】由题意知,所以，解得，则，故． 故选：B 4（2025·湖北·专练）已知函数满足，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出导函数，代入，即可得出答案. 【详解】由已知可得，， 则， 所以，. 故选：A. 5（2025·广东·专练）已知函数的导函数为，若，则（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】A 【分析】求得，令，即可求解. 【详解】由函数，可得， 令，可得，解得. 故选：A. 6（2025·湖南·模拟测试）若函数，其中，则的解集为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】直接由导数四则运算列不等式即可求解. 【详解】由题意知，且， 若，则，解得或． 又，所以． 故选：C. 7（2025·广东·专练）下列关于函数求导的等式，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据基本初等函数的导数公式及导数的运算法则逐项分析即可． 【详解】对于A，，故A错误； 对于B，，故B正确； 对于C，，故C错误； 对于D，，故D错误. 故选：B． 8（2025·广东·专练）已知函数，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出函数的导数，再求出导数值即可. 【详解】函数，求导得，所以. 故选：C 9已知函数，则（    ） A．0 B．1 C． D． 【答案】A 【分析】直接求导代入即可得解. 【详解】由题，，故. 故选：A. 10若，则（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据乘法的导数的公式即可得到结论． 【详解】. 故选：A 【题型2】 复合函数的导数运算 【基础知识】 复合函数的导数 复合函数的导数与函数 的导数间的关系是 即对的导数等于对的导数与对的导数的乘积。 【例】若，设，， 则. 【经典例题】 【例1】（2025·广东·专练）已知函数，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先利用复合函数的求导公式求导，再令即可得解. 【详解】由，得，所以. 故选：C. 【巩固练习】 1（2025·河北·专练）已知，则（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据复合函数求导规则求导即可. 【详解】，则. 故选：B. 2（2025·广西·专练）已知函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用复合函数求导法则计算即可. 【详解】由可得. 故选：B 3（2025·湖北·专练）已知函数的导数为，则＝（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】先求出导函数，再代入求值即得. 【详解】则. 故选：D. 【题型3】导数的几何意义 【基础知识】 函数在点处的导数的几何意义是曲线处的切线的斜率，即：曲线在点处的切线的斜率， 切线的方程为． 【经典例题】 【例1】（2025·广东·专练）如图，曲线在点处的切线为直线，直线经过原点，则（    ）        A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据导数的意义及直线的斜率公式求解即可. 【详解】由题意，，且， 所以. 故选：C. 【例2】（2022·江西九江·二模）曲线在处的切线倾斜角是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】计算出的值，即可求得切线的倾斜角. 【详解】设曲线在处的切线倾斜角为， 因为，则，因为，因此，. 故选：B. 【例3】（2023·河南洛阳·模拟预测）曲线在处的切线方程是 .【答案】 【分析】利用导数的几何意义去求曲线在处的切线方程 【详解】，则， 当时，，， 所以切线方程为，即． 【巩固练习】 1（2025·广东·专练）已知函数的部分图象如图所示，其中为图上三个不同的点，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合函数图形及导数的几何意义判断即可； 【详解】解：由图可知函数在点的切线斜率小于，即， 在点的切线斜率等于，即， 在点的切线斜率大于，即， 所以； 故选：B 2（2024·四川内江·一模）函数在处的切线如图所示，则（    ） A．0 B． C． D．- 【答案】A 【分析】根据切线过和，利用斜率公式求得，写出切线方程，再令，求得即可. 【详解】因为切线过和，所以， 所以切线方程为， 令，则， 所以， 所以. 故选：A. 【点睛】本题主要考查导数的几何意义，属于基础题. 3（2025·广东·专练）函数在点处切线的斜率为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用导数的几何意义即可得. 【详解】由于，所以. 故选：D. 4（2024·广东佛山·模拟预测）抛物线在点处的切线的斜率为（    ） A． B． C． D．1 【答案】D 【分析】求出导函数，令求出即为切线的斜率. 【详解】令，得，得 故选：D 5（2025·湖南·模拟测试）已知函数的图像在点处的切线与轴平行,则点的坐标是     （ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先设,再对函数求导得由已知得，即可求出切点坐标. 【详解】设,由题得 所以, ∴. 故选：B. 6（2025·贵州毕节·模拟预测）函数在处的切线方程为(    ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用导数的几何意义即可求切线方程﹒ 【详解】， ，， ， 在处的切线为：，即﹒ 故选：C﹒ 7（2025·广东·专练）曲线在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用切点和斜率求得切线方程. 【详解】由，有． 曲线在点处的切线方程为，整理为． 故选：A 8（2022·甘肃·一模）曲线在点处的切线方程为，则实数（    ） A．-16 B．16 C．-20 D．20 【答案】B 【分析】直接求出切线方程，即可得到答案. 【详解】函数的导数为. 所以，. 所以在点处的切线方程为.故b=16. 故选：B 9（2025·四川·模拟预测）曲线在处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】把代入切线方程求得，求出原函数的导函数，得到函数在处的导数值，再求得的值，利用直线方程的点斜式确定答案． 【详解】由题意，解得． 由，得，则，又， ∴曲线在处的切线方程为． 故选：D． 10（2022·湖南·一模）若曲线在点处的切线与直线平行，则（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】C 【分析】利用导数的几何意义，结合平行线的性质进行求解即可. 【详解】由，显然在曲线上， 所以曲线在点处的切线的斜率为， 因此切线方程为：， 直线的斜率为， 因为曲线在点处的切线与直线平行， 所以， 故选：C 11（2025·四川绵阳·模拟预测）若曲线在点（1，－1）处的切线与曲线y=ln x在点P处的切线垂直，则点P的坐标为（    ） A．(e, 1) B．(1, 0) C．(2, ln2) D． 【答案】D 【分析】先求出曲线在点（1，－1）处的切线的斜率为，利用斜率成积等于-1，求出曲线y=ln x在点P处的切线的斜率，利用导数即可求出切点的横坐标，代入可解. 【详解】的导数为，所以曲线在点（1，－1）处的切线的斜率为. 因为曲线在点（1，－1）处的切线与曲线y=ln x在点P处的切线垂直， 所以曲线y=ln x在点P处的切线的斜率. 而y=ln x的导数，所以切点的横坐标为，所以切点. 故选：D 12（2023·北京东城·一模）过坐标原点作曲线的切线，则切线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设切点坐标为，求得切线方程为，把原点代入方程，得到，解得，即可求得切线方程. 【详解】由函数，可得， 设切点坐标为，可得切线方程为， 把原点代入方程，可得，即， 解得，所以切线方程为，即. 故选：A. 【A组---基础题】 1（2022·陕西咸阳·二模）下列导数运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用基本初等函数求导公式及导数的四则运算法则进行计算. 【详解】，A错误； ，B错误； ，C错误， ，D正确. 故选：D 2（2025·广东·专练）下列各式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数的求导公式直接求导. 【详解】A选项：，A选项错误； B选项：，B选项正确； C选项：，C选项错误； D选项：，D选项错误； 故选：B. 3（2025·广西·专练）已知函数​，则​（    ） A．​ B．1 C．​ D．5 【答案】B 【分析】利用导数运算求得. 【详解】， 令得. 故选：B 4（2025·湖南·模拟测试）已知，若，则（      ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】直接求导代入即可列方程求解. 【详解】因为，所以， 而，解得. 故选：B. 5（2025·河南郑州·模拟预测）已知函数的导函数为，且满足，则（    ） A．1 B． C． D．4 【答案】C 【分析】先对进行求导，然后把代入，可列出关于的等式，即可解出，从而得出的解析式，即可求出. 【详解】解：因为， 所以， 把代入， 得，解得：， 所以，所以. 故选：C. 6（2021·广东肇庆·一模）已知函数，则（    ） A．0 B．1 C．e D．2 【答案】D 【解析】对求导后，将代入即可求解. 【详解】因为，所以， 所以， 故选：D 7（2025·广东·专练）函数，若，则（　　） A． B．1 C． D．e 【答案】B 【分析】求导，再根据即可得解. 【详解】∵， ∴， 若，则，解得. 故选：B． 8（2025·广东·模拟测试）已知，若，则x0等于（　　） A．e2 B．e C．ln 22 D．ln 2 【答案】B 【分析】利用乘法求导法则求导，代入即可求解. 【详解】由可得：，所以， 故选：B 9（2025·湖南·专练）曲线在点处的切线斜率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求导，根据导数的几何意义可得解. 【详解】由已知，则， 当时，， 即切线斜率， 故选：A. 10（2025·江苏连云港·模拟预测）曲线在点处的切线方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】应用导数的几何意义求解即可. 【详解】因为，所以，即切点坐标为，由，所以，所以在点处的切线方程为，即. 故选：B 11（2025·福建·模拟预测）曲线在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分别求出切点及斜率，再用点斜式即可求切线方程. 【详解】因为，所以， 又，，故所求切线方程为． 故选：A 12（2025·广东·专练）已知函数的图象在点处的切线经过点，则实数（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【分析】根据导数的几何意义，结合直线的点斜式方程进行求解即可. 【详解】，所以有， 所以切线方程为，把代入，得 ， 故选：B 13（2022·青海海东·模拟预测）曲线在处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出导函数，求出切线斜率，利用点斜式可得切线方程． 【详解】，，曲线在点（2，2）处的切线方程为，即． 故选：C. 【B组---提高题】 1（2024·福建厦门·一模）已知直线与曲线在原点处相切，则的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用导数几何意义求直线的斜率，进而确定倾斜角. 【详解】由，则，即直线的斜率为， 根据倾斜角与斜率关系及其范围知：的倾斜角为. 故选：C 2（2023·全国·模拟预测）已知直线为曲线在处的切线，则点到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据导数的几何意义求得切线的方程，再利用点到直线的距离公式，即可求解. 【详解】由函数，可得，则，即切线的斜率为， 又由时，求得，即切点坐标为， 所以切线方程为，即， 由点到直线的距离公式，可得点到直线的距离. 故选：D． 3（2025·广东·专练）若曲线与曲线在它们的公共点处具有公切线，则实数a等于（    ） A．2 B．1 C． D． 【答案】B 【分析】利用导数在曲线上切点处的导数等于在切点处切线的斜率，联立方程可解. 【详解】根据题意，得， ，因为在公共点处有公切线，所以且，即且，解得. 故选：B. 4（2025·江西·专练）已知曲线在点处的切线与抛物线相切，则的值为（　　） A． B．或 C． D． 【答案】C 【分析】求出曲线在点处的切线方程，再联立切线方程和抛物线方程并消去，利用判别式为零可求的值. 【详解】，当时，切线的斜率， 切线方程为，因为它与抛物线相切， 有唯一解即 故 ，解得，故选C. 【点睛】对于曲线的切线问题，注意“在某点处的切线”和“过某点的切线”的差别，切线问题的核心是切点的横坐标.一般地，曲线在处的切线方程为. 5（2025·浙江·模拟测试）已知函数的图象在点处的切线过点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由导数的几何意义求出切线的斜率，再用点斜式求出切点方程，代入点即可求解 【详解】因为， 所以， 所以切线斜率为， 又， 所以切线方程为， 整理得：， 又切线过点， 则，解得， 故选：B. 2 / 2 多反思总结多交流的学习才高效！ 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2.8 导数的运算与几何意义 【题型1】 基本初等函数的导数运算 【基础知识】 1 基本初等函数的导数公式 原函数 导函数 原函数 导函数 2 导数运算法则 (1)； 拓展：； 记忆：函数的和差的导数等于函数导数的和差； (2)； 记忆：两函数积的导数等于“前导后不导后导前不导”； 特别：，为常数； 证明 ； (3). 记忆：两函数商的导数等于“分母平分，子导母不导减母导子不导”. 【例】 求下列函数的导数 (1) (2) (3) 解 (1)； (2)； (3). 【经典例题】 【例1】（2024·湖北·一模）已知函数，则（    ） A． B． C． D． 【例2】（2025·广东·专练）下列求导运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【巩固练习】 1（2025·广东·专练）已知函数，则（    ） A． B．1 C．4 D．2 2（2025·全国·专练）已知，且，则实数a的值为(    ) A． B． C． D． 3（2023·全国·模拟预测）已知函数，则（    ） A．12 B．10 C．8 D．6 4（2025·湖北·专练）已知函数满足，则的值为（    ） A． B． C． D． 5（2025·广东·专练）已知函数的导函数为，若，则（    ） A． B．1 C． D．2 6（2025·湖南·模拟测试）若函数，其中，则的解集为（    ）． A． B． C． D． 7（2025·广东·专练）下列关于函数求导的等式，正确的是（    ） A． B． C． D． 8（2025·广东·专练）已知函数，则（   ） A． B． C． D． 9已知函数，则（    ） A．0 B．1 C． D． 10若，则（　　） A． B． C． D． 【题型2】 复合函数的导数运算 【基础知识】 复合函数的导数 复合函数的导数与函数 的导数间的关系是 即对的导数等于对的导数与对的导数的乘积。 【例】若，设，， 则. 【经典例题】 【例1】（2025·广东·专练）已知函数，则等于（    ） A． B． C． D． 【巩固练习】 1（2025·河北·专练）已知，则（　　） A． B． C． D． 2（2025·广西·专练）已知函数，则（    ） A． B． C． D． 3（2025·湖北·专练）已知函数的导数为，则＝（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【题型3】导数的几何意义 【基础知识】 函数在点处的导数的几何意义是曲线处的切线的斜率，即：曲线在点处的切线的斜率， 切线的方程为． 【经典例题】 【例1】（2025·广东·专练）如图，曲线在点处的切线为直线，直线经过原点，则（    ）        A． B． C． D． 【例2】（2022·江西九江·二模）曲线在处的切线倾斜角是（    ） A． B． C． D． 【例3】（2023·河南洛阳·模拟预测）曲线在处的切线方程是 . 【巩固练习】 1（2025·广东·专练）已知函数的部分图象如图所示，其中为图上三个不同的点，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 2（2024·四川内江·一模）函数在处的切线如图所示，则（    ） A．0 B． C． D．- 3（2025·广东·专练）函数在点处切线的斜率为（ ） A． B． C． D． 4（2024·广东佛山·模拟预测）抛物线在点处的切线的斜率为（    ） A． B． C． D．1 5（2025·湖南·模拟测试）已知函数的图像在点处的切线与轴平行,则点的坐标是     （ ） A． B． C． D． 6（2025·贵州毕节·模拟预测）函数在处的切线方程为(    ) A． B． C． D． 7（2025·广东·专练）曲线在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 8（2022·甘肃·一模）曲线在点处的切线方程为，则实数（    ） A．-16 B．16 C．-20 D．20 9（2025·四川·模拟预测）曲线在处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 10（2022·湖南·一模）若曲线在点处的切线与直线平行，则（    ） A． B．1 C． D．2 11（2025·四川绵阳·模拟预测）若曲线在点（1，－1）处的切线与曲线y=ln x在点P处的切线垂直，则点P的坐标为（    ） A．(e, 1) B．(1, 0) C．(2, ln2) D． 12（2023·北京东城·一模）过坐标原点作曲线的切线，则切线方程为（    ） A． B． C． D． 【A组---基础题】 1（2022·陕西咸阳·二模）下列导数运算正确的是（    ） A． B． C． D． 2（2025·广东·专练）下列各式正确的是（    ） A． B． C． D． 3（2025·广西·专练）已知函数​，则​（    ） A．​ B．1 C．​ D．5 4（2025·湖南·模拟测试）已知，若，则（      ） A． B． C． D． 5（2025·河南郑州·模拟预测）已知函数的导函数为，且满足，则（    ） A．1 B． C． D．4 6（2021·广东肇庆·一模）已知函数，则（    ） A．0 B．1 C．e D．2 7（2025·广东·专练）函数，若，则（　　） A． B．1 C． D．e 8（2025·广东·模拟测试）已知，若，则x0等于（　　） A．e2 B．e C．ln 22 D．ln 2 9（2025·湖南·专练）曲线在点处的切线斜率为（    ） A． B． C． D． 10（2025·江苏连云港·模拟预测）曲线在点处的切线方程为（     ） A． B． C． D． 11（2025·福建·模拟预测）曲线在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 12（2025·广东·专练）已知函数的图象在点处的切线经过点，则实数（    ） A． B． C．1 D．2 13（2022·青海海东·模拟预测）曲线在处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【B组---提高题】 1（2024·福建厦门·一模）已知直线与曲线在原点处相切，则的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 2（2023·全国·模拟预测）已知直线为曲线在处的切线，则点到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 3（2025·广东·专练）若曲线与曲线在它们的公共点处具有公切线，则实数a等于（    ） A．2 B．1 C． D． 4（2025·江西·专练）已知曲线在点处的切线与抛物线相切，则的值为（　　） A． B．或 C． D． 5（2025·浙江·模拟测试）已知函数的图象在点处的切线过点，则（    ） A． B． C． D． 2 / 2 多反思总结多交流的学习才高效！ 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$