2.7 函数的零点与方程的解-2025年高考数学艺考生总复习（新教材新高考）

2.7 函数的零点与方程的解 【题型1】求（或判断）函数的零点 【基础知识】 1函数的零点 (1)函数零点的概念 对于函数，使的实数叫做函数的零点. 注 零点是个数，不是个点. 【例】函数的零点是 . 解 方程的解是函数的零点是. (2) 方程根与函数零点的关系 方程有实数根 ⇔函数有零点 ⇔函数的图象与轴有交点，且交点横坐标为. 如 方程的实数根是， 函数与轴的交点横坐标是， 函数的零点是，而不是. 【经典例题】 【例1】（2023·新疆乌鲁木齐·三模）定义符号函数，则方程的解是（    ） A．2或 B．3或 C．2或3 D．2或3或 【答案】D 【分析】根据符号函数的意义，分段解方程作答. 【详解】依题意，当时，方程为：，解得或，因此或， 当时，方程为：，解得，于是无解， 当时，方程为：，解得或，因此， 所以方程的解是或或. 故选：D 【巩固练习】 1（2025·江西·专练）函数的零点是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】解方程，可得函数的零点. 【详解】解方程，即，解得或， 因此，函数的零点为、. 故选：C. 2（2023·陕西西安·模拟预测）函数的零点为（    ） A． B．2 C． D． 【答案】A 【分析】根据零点的定义即可求解. 【详解】令，得，则． 故选：A 2（2024·陕西西安·模拟预测）已知函数，则函数的零点为（    ） A．1 B．0 C．e D． 【答案】C 【分析】先根据函数解析式，求出的解析式，再由函数的零点定义，解对数方程即得. 【详解】由可得， 由可得，，解得. 故选：C. 3（2024·山东青岛·二模）函数的零点为（   ） A．0 B．1 C． D． 【答案】B 【分析】令，解出即可. 【详解】因为， 令，解得， 即函数的零点为1. 故选：B. 4已知函数，则函数的零点为（    ） A． B．，0 C． D．0 【答案】D 【分析】函数的零点，即令分段求解即可. 【详解】函数 当时， 令，解得 当时， 令，解得（舍去） 综上函数的零点为0 故选：D． 【点睛】本题考查函数的零点个数，考查分段函数的知识，属于基础题. 5已知函数 ，若函数有个零点，则实数的值为 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题知，，进而得答案. 【详解】解：由题意得,当，可得，有两个零点， 那么另一个零点在上，即， 故选：C. 6（2022·江西萍乡·二模）已知函数，则的所有零点之和为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】令求解即可. 【详解】时，由得， 时，由得或， 所以四个零点和为． 故选：D． 【题型2】函数零点存在定理的应用 【基础知识】 如果函数在上的图象是连续不断的，且，那么函数在至少有一个零点，即存在，使得，这个也就是方程的解. 【例】研究函数在上的零点个数. 解 是连续函数，且， 由函数零点存在定理可得，在上至少存在一个零点， 而函数 在又是增函数， 故函数在上只有一个零点. 【经典例题】 【例1】（2024·河北·模拟测试）函数的零点所在的区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合单调性和零点存在定理直接判断即可. 【详解】易知为增函数，又， ，故零点所在的区间是. 故选：B. 【例2】（2024·广东·模拟测试）函数的零点所在的大致区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】利用零点存在性定理判断零点所在区间. 【详解】因为，，且函数f（x）在(0，＋∞)上单调递增，所以函数的零点所在区间为(1，2)． 故选：C 【巩固练习】 1函数的零点所在的区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先判断函数的单调性，再根据零点的存在性定理即可得解. 【详解】因为函数都是增函数， 所以函数是增函数， 又， 所以函数的零点所在的区间为. 故选：A. 2（2023·海南·模拟预测）函数的零点所在的区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用零点存在定理计算出满足条件的区间即可. 【详解】易知函数在上单调递增， 又，， 由函数的零点存在定理可知，函数的零点所在的一个区间是． 故选：C 3函数的零点所在的区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先判断函数的单调性，再根据零点的存在性定理即可得解. 【详解】因为函数在上都是增函数， 所以在上单调递增， 因为，所以的零点所在的区间为. 故选：C. 4（2023·海南·模拟预测）函数的零点所在的大致区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据零点存在性定理即可计算求解. 【详解】在连续不断，且单调递减， ， 所以零点位于， 故选：C 5（2024·广东·模拟测试）已知函数，在下列区间中包含零点的区间是（    ） A．(0，1) B．(1，2) C．(2，3) D．( 3，4) 【答案】C 【解析】可判断函数单调性，将区间端点代入解析式，函数值为一正一负，该区间就必有零点. 【详解】为上增函数 由零点存在定理可知，在区间(2，3)存在零点. 故选：C 6（2024·陕西安康·模拟预测）函数的零点所在区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由零点存在性定理可得答案. 【详解】因为函数的定义域为，又，易知函数在上单调递增， 又，所以在内存在一个零点，使. 故选：C. 7（2024·河北·模拟测试）已知函数在上存在零点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】根据零点存在定理及函数单调性可知,,解不等式组即可求得的取值范围. 【详解】因为在上单调递增, 根据零点存在定理可得, 解得. 故选:A 【点睛】本题考查了函数单调性的判断,零点存在定理的应用,根据零点所在区间求参数的取值范围,属于基础题. 8（2023·山西阳泉·三模）函数在区间存在零点．则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用函数的单调性的性质及函数零点的存在性定理即可求解. 【详解】由在上单调递增，在上单调递增，得函数在区间上单调递增， 因为函数在区间存在零点， 所以，即，解得， 所以实数m的取值范围是. 故选：B. 【题型3】 方程与函数的思想的运用 【经典例题】 【例1】（2024·河北·模拟测试）函数零点的个数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】 在同一直角坐标系下，做出函数和的图象，如图所示. 函数的零点等价于的根等价于函数和的交点. 由图可知，有一个交点，所以有一个零点. 故选B. 【例2】（2024·江苏·模拟预测）已知，，则的值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】利用函数的单调性结合指数对数的转化可得，再计算即可. 【详解】令，显然函数为R上单调递增函数， 又，， 所以. 故选：C 【巩固练习】 1（2023·全国·模拟预测）函数在上的零点个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】由函数的单调性与零点存在性定理判断 【详解】易得函数在上单调递增， 又，所以， 故函数在上有唯一的零点， 故选：B 2（2024·广东湛江·一模）函数零点的个数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】数形结合思想，分别作出和的图象即可求解. 【详解】解：由，得函数的定义域为， 函数零点的个数零点个数， 即函数的图象和函数的图象的交点个数， 如图所示： 数形结合可得函数的图象和函数的图象的交点个数为． 故选:C． 3（2024·广东·模拟测试）方程的解的个数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】作出函数y＝sinx和y＝lgx的图象，利用数形结合进行判断即可． 【详解】作出函数y＝sinx和y＝lgx的图象， 由图象可知两个函数有3个交点， 即方程sinx＝1gx的解有3个． 故选C 【点睛】本题主要考查函数与方程的关系，利用转化法转化为两个函数的交点个数问题是解决本题的关键． 4（2025·北京海淀·模拟预测）已知函数，且关于的方程有且只有一个实数根，则实数的取值范围（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】转化条件为函数的图象与直线有且仅有一个交点，数形结合即可得解. 【详解】若要使方程即有且只有一个实数根， 则函数的图象与直线有且仅有一个交点， 在同一坐标系中作出函数及的图象，如图， 数形结合可得，若函数的图象与直线有且仅有一个交点， 则， 所以实数的取值范围为. 故选：B. 5（2021·河北秦皇岛·二模）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用“分段法”，结合零点存在性定理确定正确选项. 【详解】， 因为在R上单调递增，且，， 所以，所以. 故选：C 6（2024·广东·模拟测试）设方程的根分别为x1、x2，则（    ） A．0<x1<x2<1 B．0＜x2＜1＜ x1 C．1＜x1<x2＜2 D．x1>x2≥2 【答案】B 【分析】由方程得，得：，分别画出左右两边函数的图象，即可得出结论. 【详解】解：由方程得， 得：， 分别画出左右两边函数的图象，如图所示. 由指数与对数函数的图象知：， 故选：B. 【A组---基础题】 1（2023·湖南岳阳·模拟预测）函数的零点是（    ） A．2 B． C．-2 D．2或-1 【答案】A 【分析】由题意令可得关于的方程，进而求解. 【详解】由题意令，因为，所以，即. 故选：A. 2（2025·河南·模拟预测）函数的零点个数为（    ） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】B 【分析】分别在对应区间上解方程即可求得零点的个数. 【详解】解：若．则或．又∵∴ 若，则满足， 综上，函数的零点个数为2． 故选:B 【点睛】本题考查根据函数解析式求零点个数，属于简单题. 3（2022·河南焦作·一模）设函数的零点为，则所在的区间是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由零点存在性定理求解． 【详解】易知在上单调递增且连续，，， 所以 故选：B 4（2022·天津红桥·一模）函数的零点所在的区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数零点存在性定理判断即可 【详解】函数 是上的连续增函数, , 可得, 所以函数 的零点所在的区间是. 故选：C 5（2024·广东·模拟测试）函数的零点所在的区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】根据零点存在定理判断． 【详解】，，， ∴零点在区间上． 故选：C． 【点睛】本题考查零点存在定理，掌握零点存在定理是解题基础． 6（2024·河北·模拟测试）函数的一个零点在区间内，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据零点存在定理得出，代入可得选项. 【详解】由题可知：函数单调递增，若 一个零点在区间内，则需：， 即，解得， 故选：C. 【点睛】本题考查零点存在定理，属于基础题. 7（2024·广东·专练）方程的实数解的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】根据函数图象的交点个数即可求解. 【详解】在同一直角坐标系中画出函数和的图象， 由图象可知：两个函数图象只有一个交点，故方程的实数解的个数为1， 故选：B    8关于的方程有两个解，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由得：，对的范围分类，作出函数及的图象，由图象即可得解． 【详解】由得：， 当时，分别作出函数及的图象如下： 显然，两个函数图象只交于一点，故只有一解. 当时，分别作出函数及的图象如下： 显然，两个函数图象交于两点，故有两个解. 所以实数的取值范围是. 故选A 【点睛】本题主要考查了指数函数的图象，考查了分类思想及转化思想，属于基础题． 9（2024·广东·模拟测试）下列区间内存在方程的根的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数的零点个数与方程的实根个数的关系，利用零点存在定理结合图形判断即得. 【详解】令，显然函数在R上连续，因， 故 在区间上存在零点，即方程在区间上有实数根．    如图，作出函数和的图象，由图可知和有两个交点， 因，，即， 所以在区间上存在零点，即方程在区间上有实数根， 由选项可知只有C项符合题意. 故选：C. 【B组---提高题】 1（2024·陕西榆林·模拟预测）方程在内实数根的个数为（    ） A．11 B．10 C．9 D．8 【答案】A 【分析】将题意转化为函数与图象公共点的个数即可. 【详解】由，得， 方程实根的个数就是函数与图象公共点的个数， 当时，由两函数图象可知两图象共有11个公共点，从而方程有11个实数根． 故选：A 2（2024·广东湛江·二模）已知函数，，则（    ） A．当有2个零点时，只有1个零点 B．当有3个零点时，有2个零点 C．当有2个零点时，有2个零点 D．当有2个零点时，有4个零点 【答案】D 【分析】作出函数，图象，两个函数的零点个数转化为它们的图象与的图象的公共点的个数，结合图象可得答案. 【详解】两个函数的零点个数转化为图象与的图象的公共点的个数， 作出，的大致图象，如图所示. 由图可知，当有2个零点时，无零点或只有1个零点； 当有3个零点时，只有1个零点； 当有2个零点时，有4个零点. 故选：D 3（2021·四川成都·模拟预测）已知函数，，的零点分别为，，，则，，的大小关系是（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将问题转化为，，与交点的横坐标大小的比较，通过数形结合的方式可确定大小关系. 【详解】在同一坐标系中分别作出，，，的图象，如图所示． 由图可知，函数，，的零点分别为，，， 则，，，所以． 故选:A 4（2024·广东·模拟测试）已知函数，，若存在两个零点，则的取值范围是       （    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】令，转化为两个函数图像的交点来研究的零点，由此求得的取值范围. 【详解】令，得，画出函数和的图像如下图所示，由图可知，当直线过时，，当直线过时，，即当时，两个函数图像有个交点，即有个零点. 【点睛】本小题主要考查分段函数的图像与性质，考查函数零点问题的求解策略，考查一次函数的图像是直线，考查数形结合的数学思想方法，考查化归与转化的数学思想方法，考查动态分析的观点，属于中档题.对于函数零点问题，可以令函数为零，然后转化为两个函数的图像交点来研究. 5（2024·湖北·模拟测试）设正实数，，分别满足，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据方程与函数的关系，作出函数图象，可得答案. 【详解】由已知可得，，， 作出，，的大致图象如图所示. 它们与交点的横坐标分别为，，，由图可得. 故选：D. 2 / 2 多反思总结多交流的学习才高效！ 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2.7 函数的零点与方程的解 【题型1】求（或判断）函数的零点 【基础知识】 1函数的零点 (1)函数零点的概念 对于函数，使的实数叫做函数的零点. 注 零点是个数，不是个点. 【例】函数的零点是 . 解 方程的解是函数的零点是. (2) 方程根与函数零点的关系 方程有实数根 ⇔函数有零点 ⇔函数的图象与轴有交点，且交点横坐标为. 如 方程的实数根是， 函数与轴的交点横坐标是， 函数的零点是，而不是. 【经典例题】 【例1】（2023·新疆乌鲁木齐·三模）定义符号函数，则方程的解是（    ） A．2或 B．3或 C．2或3 D．2或3或 【巩固练习】 1（2025·江西·专练）函数的零点是（    ） A． B． C． D． 2（2023·陕西西安·模拟预测）函数的零点为（    ） A． B．2 C． D． 2（2024·陕西西安·模拟预测）已知函数，则函数的零点为（    ） A．1 B．0 C．e D． 3（2024·山东青岛·二模）函数的零点为（   ） A．0 B．1 C． D． 4已知函数，则函数的零点为（    ） A． B．，0 C． D．0 5已知函数 ，若函数有个零点，则实数的值为 A． B． C． D． 6（2022·江西萍乡·二模）已知函数，则的所有零点之和为（ ） A． B． C． D． 【题型2】函数零点存在定理的应用 【基础知识】 如果函数在上的图象是连续不断的，且，那么函数在至少有一个零点，即存在，使得，这个也就是方程的解. 【例】研究函数在上的零点个数. 解 是连续函数，且， 由函数零点存在定理可得，在上至少存在一个零点， 而函数 在又是增函数， 故函数在上只有一个零点. 【经典例题】 【例1】（2024·河北·模拟测试）函数的零点所在的区间是（    ） A． B． C． D． 【例2】（2024·广东·模拟测试）函数的零点所在的大致区间是（    ） A． B． C． D． 【巩固练习】 1函数的零点所在的区间为（    ） A． B． C． D． 2（2023·海南·模拟预测）函数的零点所在的区间是（    ） A． B． C． D． 3函数的零点所在的区间为（    ） A． B． C． D． 4（2023·海南·模拟预测）函数的零点所在的大致区间为（    ） A． B． C． D． 5（2024·广东·模拟测试）已知函数，在下列区间中包含零点的区间是（    ） A．(0，1) B．(1，2) C．(2，3) D．( 3，4) 6（2024·陕西安康·模拟预测）函数的零点所在区间是（    ） A． B． C． D． 7（2024·河北·模拟测试）已知函数在上存在零点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 8（2023·山西阳泉·三模）函数在区间存在零点．则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【题型3】 方程与函数的思想的运用 【经典例题】 【例1】（2024·河北·模拟测试）函数零点的个数为（    ） A． B． C． D． 【例2】（2024·江苏·模拟预测）已知，，则的值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【巩固练习】 1（2023·全国·模拟预测）函数在上的零点个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 2（2024·广东湛江·一模）函数零点的个数为（   ） A． B． C． D． 3（2024·广东·模拟测试）方程的解的个数是（    ） A． B． C． D． 4（2025·北京海淀·模拟预测）已知函数，且关于的方程有且只有一个实数根，则实数的取值范围（    ） A． B． C． D． 5（2021·河北秦皇岛·二模）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 6（2024·广东·模拟测试）设方程的根分别为x1、x2，则（    ） A．0<x1<x2<1 B．0＜x2＜1＜ x1 C．1＜x1<x2＜2 D．x1>x2≥2 【A组---基础题】 1（2023·湖南岳阳·模拟预测）函数的零点是（    ） A．2 B． C．-2 D．2或-1 2（2025·河南·模拟预测）函数的零点个数为（    ） A．3 B．2 C．1 D．0 3（2022·河南焦作·一模）设函数的零点为，则所在的区间是（　　） A． B． C． D． 4（2022·天津红桥·一模）函数的零点所在的区间是（    ） A． B． C． D． 5（2024·广东·模拟测试）函数的零点所在的区间为（    ） A． B． C． D． 6（2024·河北·模拟测试）函数的一个零点在区间内，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7（2024·广东·专练）方程的实数解的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 8关于的方程有两个解，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 9（2024·广东·模拟测试）下列区间内存在方程的根的是（    ） A． B． C． D． 【B组---提高题】 1（2024·陕西榆林·模拟预测）方程在内实数根的个数为（    ） A．11 B．10 C．9 D．8 2（2024·广东湛江·二模）已知函数，，则（    ） A．当有2个零点时，只有1个零点 B．当有3个零点时，有2个零点 C．当有2个零点时，有2个零点 D．当有2个零点时，有4个零点 3（2021·四川成都·模拟预测）已知函数，，的零点分别为，，，则，，的大小关系是（    ）． A． B． C． D． 4（2024·广东·模拟测试）已知函数，，若存在两个零点，则的取值范围是       （    ） A． B． C． D． 5（2024·湖北·模拟测试）设正实数，，分别满足，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 2 / 2 多反思总结多交流的学习才高效！ 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$