2.6 对数函数-2025年高考数学艺考生总复习（新教材新高考）

2.6 对数函数 【题型1】 对数函数的图象 【基础知识】 1 对数函数 (1)对数函数的概念 函数叫做对数函数，其中是自变量，定义域是. (2)图像与性质 图像 【例1】画出函数和的图象. 【经典例题】 【例1】（2025·云南·模拟预测）函数与函数且的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【巩固练习】 1（2025·广东·专练）当a>1时，在同一直角坐标系中，函数与的图像是（    ） A．B．  C．  D．   2（2025·全国·专练）若，则函数的图象不经过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3（2024·广东·模拟测试）函数的图像为（    ） A．B．C．D． 4函数的图象形状大致是（    ） A．B．C． D． 5函数的图象是（    ） A．B．C．D． 【题型2】比较对数大小 【基础知识】 图像 定义域 值域 过定点 奇偶性 非奇非偶 单调性 在上是增函数 在上是减函数 【例】比较与的大小. 解析 两个对数的底数都是，想到对数函数，则，，而是增函数，所以，即。 【经典例题】 【例1】（2023·甘肃白银·二模）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【例2】（2023·山东日照·二模）已知，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【巩固练习】 1（2025·广东·专练）若，则（    ） A． B． C． D． 2（2024·四川资阳·二模）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 3 （2025·广东深圳·模拟预测）已知，，，则的大小关系为（   ） A． B． C． D． 4（2024·云南·一模）已知，若，则（    ） A． B． C． D． 5（2023·吉林·一模）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6（2025·广东·专练）“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 7（2024·云南·模拟预测）“”是“”成立的（   ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 8（2024·宁夏·一模）设a，b为实数，则是的（    ）. A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【题型3】 求解对数型不等式 【基础知识】 图像 定义域 值域 过定点 奇偶性 非奇非偶 单调性 在上是增函数 在上是减函数 【例】解不等式. 解析 ，而是增函数，所以。 【经典例题】 【例1】（2025·广东·专练）不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【例2】（2024·辽宁·三模）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【巩固练习】 1（2025·广东·专练）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 2（2023·贵州铜仁·模拟预测）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 3（2024·河北衡水·三模）已知集合，则（   ） A． B． C． D． 4（2023·陕西安康·模拟预测）已知集合或，则（    ） A． B． C． D． 5（2024·广东广州·模拟预测）若，，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6（2024·湖北·二模）设集合，则（    ） A． B． C． D． 【题型4】 对数型函数的最值或范围问题 【经典例题】 【例1】（2023·湖北武汉·模拟预测）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【例2】（2025·广东·专练）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【巩固练习】 1（2025·广东·专练）设全集，集合，，则（    ） A． B． C． D． 2（2024·湖南·模拟预测）函数在区间上的最大值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．4 3（2020·河北邯郸·一模）函数在上的最大值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 4（2024·湖北武汉·模拟预测）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 5（2022·山东·模拟预测）设集合，，则=（    ） A． B． C． D． 【A组---基础题】 1函数与在同一坐标系中的图像可能是（    ） A． B． C． D． 2函数的大致图象是（    ） A． B． C． D． 3已知，则（    ） A． B． C． D． 4（2024·四川自贡·三模）已知，，，则a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 5已知，，，则（    ） A． B． C． D． 6（2023·湖北·三模）函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 7已知命题，命题，则是的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 8（2024·河南·模拟预测）“”是“”的（   ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 9（2023·福建三明·三模）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 10（2025·浙江·模拟预测）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 11（2024·江西·二模）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 12（2024·甘肃庆阳·一模）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 13（多选）（2024·山东·模拟预测）已知，则下列结论成立的是（    ） A． B． C． D． 14（2023·北京朝阳·一模）函数的值域为 ． 15（2024·山东日照·一模）若函数在区间上的最大值是最小值的倍，则 . 【B组---提高题】 1已知是R上的偶函数，且在上单调递减，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 2（2024·辽宁大连·模拟预测）已知函数（，且）的图象恒过定点，若点在直线上，则的最小值为（    ） A．13 B． C． D．8 3（2025·广东·专练）已知函数（且）在上单调递增，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4（2025·广东·专练）已知函数．若是方程的四个互不相等的解，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2 / 2 多反思总结多交流的学习才高效！ 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2.6 对数函数 【题型1】 对数函数的图象 【基础知识】 1 对数函数 (1)对数函数的概念 函数叫做对数函数，其中是自变量，定义域是. (2)图像与性质 图像 【例1】画出函数和的图象. 解 【经典例题】 【例1】（2025·云南·模拟预测）函数与函数且的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分0＜a＜1和a＞1两种情况，结合指数和对数函数的图像性质即可进行判断﹒ 【详解】函数f(x)单调递增，且过定点(0，1＋a)， 当0＜a＜1时，1＜1＋a＜2，即f(x)与y轴交点纵坐标介于1和2之间，此时过定点(1，0)且在(0，＋∞)单调递减，没有符合的选项； 当a＞1时，1＋a＞2，即f(x)与y轴交点纵坐标大于2，此时g(x)过定点(1，0)且在(0，＋∞)单调递增，符合的选项为B. 故选：B. 【巩固练习】 1（2025·广东·专练）当a>1时，在同一直角坐标系中，函数与的图像是（    ） A．B．  C．  D．   【答案】A 【分析】由可知，根据指数函数和对数函数图象的单调性即可判断得出结果. 【详解】依题意可将指数函数化为，由可知； 由指数函数图象性质可得为单调递减，且过定点，即可排除BD， 由对数函数图象性质可得为单调递增，且过定点，排除C， 故选：A. 2（2025·全国·专练）若，则函数的图象不经过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【分析】根据对数函数的图像特征即可求解结论． 【详解】， 在上单调递减，且过第一，第四象限， 图像向左平移个单位，得到， 故函数的图象不经过第一象限， 故选：． 3（2024·广东·模拟测试）函数的图像为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】以函数的定义域、奇偶性去排除错误选项即可. 【详解】函数的定义域为，可以排除选项B、C； 由， 可知函数为偶函数，其图像应关于y轴轴对称，可以排除选项D. 故选：A 4函数的图象形状大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由，再结合函数的单调性判断即可. 【详解】解：， 即函数在为减函数，在为增函数，则四个选项中，只有选项C满足题意， 故选：C. 【点睛】本题考查了分段函数的图像，重点考查了数形结合的数学思想方法，属基础题. 5函数的图象是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将函数的图象中位于轴下方的图象关于轴翻折即可得出函数的图象，即可得出正确选项. 【详解】函数的图象如下图所示： 将函数的图象中位于轴下方的图象关于轴翻折即可得出函数的图象，故选项A中的图象即为函数的图象. 故选：A. 【点睛】本题考查函数图象的识别，解题的关键就是要熟悉绝对值翻折变换，考查推理能力，属于基础题. 【题型2】比较对数大小 【基础知识】 图像 定义域 值域 过定点 奇偶性 非奇非偶 单调性 在上是增函数 在上是减函数 【例】比较与的大小. 解析 两个对数的底数都是，想到对数函数，则，，而是增函数，所以，即。 【经典例题】 【例1】（2023·甘肃白银·二模）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据指对数的性质判断大小关系即可. 【详解】因为 ， 所以． 故选：D 【例2】（2023·山东日照·二模）已知，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】根据指数函数与对数函数的单调性，结合简易逻辑用语判断选项即可. 【详解】因为定义域上单调递减，故由得， 而定义域上单调递增，故，满足充分性； 又，满足必要性， 故选：C 【巩固练习】 1（2025·广东·专练）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据对数函数单调性直接判断即可. 【详解】在上单调递增，且， 由得：. 故选：B. 2（2024·四川资阳·二模）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由对数函数、指数函数以及幂函数的单调性即可比较大小. 【详解】因为，，所以. 又，所以. 故选：A. 3 （2025·广东深圳·模拟预测）已知，，，则的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据指数以及对数的单调性即可求解. 【详解】由于，，， 所以， 故选：B 4（2024·云南·一模）已知，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据将进行转化，再利用在上为增函数进行判断即可. 【详解】由得：，，， 因为在上为增函数， 所以， 即. 故选：B. 5（2023·吉林·一模）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】判断“”和“”之间的逻辑推理关系，即可得答案. 【详解】当时，，若，则推不出； 由于在上单调递增， 当时，可得到，则有， 故“”是“”的必要不充分条件， 故选：B 6（2025·广东·专练）“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】C 【分析】根据对数函数的单调性及定义域求解即可. 【详解】因为等价于，即，解得， 所以是的充要条件. 故选：C. 7（2024·云南·模拟预测）“”是“”成立的（   ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】利用充分性与必要性的定义，结合对数函数性质可得结果. 【详解】利用对数函数性质可知：， 则，即，故必要性成立； ，当不全大于0时，或无意义， 故不能推出，故充分性不成立， 所以“”是“”的必要而不充分条件. 故选：B． 8（2024·宁夏·一模）设a，b为实数，则是的（    ）. A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据指数函数和对数函数的定义域和单调性解不等式，得到解集，从而得到答案. 【详解】，而在R上单调递减，故， ，而在上单调递增， 故，故， 故，但， 故是的必要不充分条件. 故选：B 【题型3】 求解对数型不等式 【基础知识】 图像 定义域 值域 过定点 奇偶性 非奇非偶 单调性 在上是增函数 在上是减函数 【例】解不等式. 解析 ，而是增函数，所以。 【经典例题】 【例1】（2025·广东·专练）不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据对数函数单调性得到不等式组，解出即可. 【详解】，即， 则，解得. 故选：D. 【例2】（2024·辽宁·三模）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据对数式有意义、对数函数的单调性以及指数函数值域的解法，结合并集的定义即可求解. 【详解】要使函数有意义，则，解得， 显然函数在区间上上单调递增，且， 所以，只需，解得 另函数在区间上单调递增， 则， 所以， 所以. 故选：B. 【巩固练习】 1（2025·广东·专练）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意得，解不等式得解. 【详解】由，即，即，解得. 所以函数的定义域为. 故选：B. 2（2023·贵州铜仁·模拟预测）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求解集合，再求即可. 【详解】集合，集合 所以， 故选：D． 3（2024·河北衡水·三模）已知集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求得，可求. 【详解】， 又，故， 故选：B． 4（2023·陕西安康·模拟预测）已知集合或，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用已知条件先求出集合，然后根据集合的交集与补集运算即可. 【详解】因为, 又， 所以， 故选：C. 5（2024·广东广州·模拟预测）若，，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】由指数函数，对数函数的单调性分别求解不等式，再由充分条件以及必要条件的定义，即可判断. 【详解】因为在上单调递增， 由可得，即，所以， 但无法保证，故不一定成立，充分性不满足； 由可得，所以一定成立，故必要性满足； 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：B 6（2024·湖北·二模）设集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分别求两个集合，再求集合的混合运算. 【详解】，得，即， ，得，即，， 所以. 故选：B 【题型4】 对数型函数的最值或范围问题 【经典例题】 【例1】（2023·湖北武汉·模拟预测）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出集合，再由交集的定义可求出答案. 【详解】因为，所以，所以 ， 所以 . 故选：B. 【例2】（2025·广东·专练）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求函数的定义域，再根据对数函数的单调性求出其值域，最后利用集合的交集定义即得. 【详解】对于，由可得， 又因，故得， 则有，故，则． 故选：A． 【巩固练习】 1（2025·广东·专练）设全集，集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据指数函数的单调性解集合A，根据对数函数的单调性解集合B，结合补集的定义和运算即可求解. 【详解】由， 得， 所以 . 故选：C 2（2024·湖南·模拟预测）函数在区间上的最大值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．4 【答案】B 【分析】由定义域求出的范围，进而求出的范围与最大值. 【详解】因为，所以， 所以，最大值为1， 故选：B. 3（2020·河北邯郸·一模）函数在上的最大值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】化简函数的解析式，利用函数的单调性即可得解. 【详解】函数， 函数在区间上是增函数， 所以函数的最大值为：. 故选：B. 【点睛】本题考查了函数单调性的应用，对数的运算法则以及函数最值的求法，属于基础题. 4（2024·湖北武汉·模拟预测）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分别求出集合和，然后，利用交集的运算可得答案. 【详解】， ， . 故选：C 5（2022·山东·模拟预测）设集合，，则=（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先由解出集合，再由的值域解出，计算交集即可. 【详解】由解得，则，又时，， 则，即，又，则. 故选：D. 【A组---基础题】 1函数与在同一坐标系中的图像可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】分别讨论和时函数与在的单调性和所过定点，利用排除法即可求解. 【详解】由对数和指数函数的性质可得且， 当时，过点在上单调递减，过点在单调递减，所以排除选项C， 当时，过点在上单调递增，过点在单调递增，所以排除选项AD， 故选：B. 2函数的大致图象是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数的定义域，单调性，排除选项. 【详解】函数的定义域是，故排除AB，当时，，函数单调递增，故排除D，满足条件的是C. 故选：C 3已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】根据对数函数的单调性可得，再根据指数函数的单调性即可求解. 【详解】为单调递减函数， 若，则， 又为单调递增函数， 所以. 故选：A 4（2024·四川自贡·三模）已知，，，则a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据对数函数和指数函数的单调性即可判断. 【详解】因为在上单调递增， 所以即； 因为为增函数，故即； 因为为减函数，故即， 综上. 故选：A. 5已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】引入中间量，利用函数的单调性，进行大小的比较. 【详解】因为，，，所以. 故选：A 6（2023·湖北·三模）函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用根式及对数函数的定义建立不等式组，解不等式组得到定义域即可. 【详解】由，得，解得， 所以函数的定义域为. 故选：D． 7已知命题，命题，则是的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据充分性、必要性的定义，结合对数的运算性质和对数函数的性质进行判断即可. 【详解】若，则，故； 反之，若，当其中有负数时，q不成立. 故是q的必要不充分条件. 故选：B. 8（2024·河南·模拟预测）“”是“”的（   ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【分析】取，即可说明不充分，结合对数函数单调性解不等式也可说明不必要由此即可得解. 【详解】取，可得，故充分性不成立； 若，根据对数函数的单调性可得， 故，得，并不能推出，所以必要性同样不成立， 故“”是“”的既不充分也不必要条件， 故选：D． 9（2023·福建三明·三模）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】解对数不等式求出，进而求出交集. 【详解】，解得，故， 因为，所以. 故选：D 10（2025·浙江·模拟预测）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分别求出集合A、B，再进行集合的交运算求解即可． 【详解】由已知得， 故． 故选：C. 11（2024·江西·二模）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先化简集合M和N,再求交集. 【详解】易知 因为，所以，故， 故 . 故选：A. 12（2024·甘肃庆阳·一模）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用二次函数与对数函数的性质即可得解. 【详解】对于，有，解得， 对于，其图象开口向下，对称轴为， 当时，，当时，， 所以当时，，即， 又在其定义域内单调递增， 所以，则， 则的值域为. 故选：D. 13（多选）（2024·山东·模拟预测）已知，则下列结论成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】由题意，，利用函数单调性比大小判断选项AB，利用作差和作商法比大小判断选项CD. 【详解】，则有， 对于A，由，则，A选项正确； 对于B，对勾函数在上单调递减，在上单调递增， 而，不一定成立，B选项错误； 对于C，，有，C选项错误； 对于D，，又，所以，D选项正确. 故选：AD. 14（2023·北京朝阳·一模）函数的值域为 ． 【答案】 【分析】利用对数函数和指数函数的图象和性质分别求和的值域，再取并集即可. 【详解】因为当时，， 当时，， 所以函数的值域为， 故答案为： 15（2024·山东日照·一模）若函数在区间上的最大值是最小值的倍，则 . 【答案】 【分析】分析函数在区间上的单调性，可得出关于实数的等式，由此可解得实数的值. 【详解】，所以，函数在区间上为增函数， 由已知条件可得，，，解得. 故答案为：. 【B组---提高题】 1已知是R上的偶函数，且在上单调递减，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由函数的单调性与奇偶性可转化条件为，结合对数函数的性质即可得解. 【详解】因为是R上的偶函数，且在上单调递减， 所以不等式等价于即， 所以， 所以不等式的解集为. 故选：B. 【点睛】本题考查了函数单调性与奇偶性的综合应用，考查了对数不等式的求解，属于基础题. 2（2024·辽宁大连·模拟预测）已知函数（，且）的图象恒过定点，若点在直线上，则的最小值为（    ） A．13 B． C． D．8 【答案】C 【分析】先得出，再由基本不等式得出答案. 【详解】当时，，即 因为在直线上，所以 当且仅当时，取等号，即的最小值为. 故选：C 3（2025·广东·专练）已知函数（且）在上单调递增，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据每段上函数均为增函数且结合临界处函数值的大小可得关于的不等式组，求出其解后可得的取值范围. 【详解】因为为上的增函数，故：， 解得， 故选：C. 4（2025·广东·专练）已知函数．若是方程的四个互不相等的解，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数图像可得、各有两解，从而可用表示四根之和，结合的范围可求和的范围. 【详解】 的图象如图所示，设， 结合图像可得：，且，， 而，故， 故， 设，而在为增函数， 故， 故选：D. 2 / 2 多反思总结多交流的学习才高效！ 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$