精品解析：山东省东营市东营区第一中学2024-2025学年九年级上学期第三次月考数学试题

2024-2025第一学期第三次阶段质量测试 数学试题 考试时间：120分钟 一、单选题（每题3分，共30分） 1. 如图所示的“中”字，俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了简单组合体的三视图，从上面看得到的图形是俯视图是解题关键．根据从上面看得到的图形是俯视图，可得答案． 【详解】解：从上面看，是一个矩形，矩形的内部靠中间处有两条纵向的实线，靠两侧分别有两条纵向的虚线． 故选：D． 2. 如图，在中，．则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角是圆心角的一半，理解相关知识是解答关键． 根据在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角是圆心角的一半来求解． 【详解】解：在中，， ． 故选：A． 3. 将抛物线向左平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度，平移后的抛物线顶点坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了把二次函数的一般式化为顶点式以及二次函数的平移性质，先整理，再结合向左平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度，得出，即可作答． 【详解】解：依题意，， ∵向左平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度， ∴， ∴平移后的抛物线顶点坐标为， 故选：B． 4. 无色酚酞溶液是一中常见常用酸碱指示剂，广泛应用于检验溶液酸碱性，通常情况下酚酞溶液遇酸溶液不变色，遇中性溶液也不变色，遇碱溶液变红色．现有5瓶缺失标签的无色液体：蒸馏水、白醋溶液、食用碱溶液、柠檬水溶液、火碱溶液，将酚酞试剂滴入任意一瓶液体后呈现红色的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据概率公式求解即可． 【详解】解：∵酚酞溶液遇酸溶液不变色，遇中性溶液也不变色，遇碱溶液变红色， ∵总共有5种溶液，其中碱性溶液有2种， ∴将酚酞试剂滴入任意一瓶液体后呈现红色的概率是：． 故选：B． 【点睛】此题考查了概率的知识，解题的关键是熟练掌握概率的求解方法． 5. 如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别是点、点、点．则的外心的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据线段垂直平分线的性质求解即可． 【详解】∵的外心P到三个顶点的距离相等， ∴点P是线段BC，AB垂直平分线的交点，如图， 由图可知，点P的坐标为， 故选：D． 【点睛】本题主要考查三角形的外心，掌握线段垂直平分线的性质是关键． 6. 如图，在平面直角坐标系中，点A在第一象限，轴于点B，函数（）的图象与线段交于点C，且．若的面积为24，则k的值为（ ） A. 6 B. 8 C. 12 D. 16 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数k值的几何意义，反比例函数图象上的点与坐标轴围成的长方形面积等于k的绝对值．连接，，，的面积为24，的面积为8，根据k值的几何意义求出k值即可． 【详解】解：连接， ∵， ∴， ∵的面积为24， ∴的面积为8， ∴， 故选：D． 7. 如图，四边形是的内接四边形，，，，，则的长为（ ） A. B. C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】如图，延长AD，BC，二线交于点E，可求得∠E=30°，在Rt△CDE中，利用tan30°计算DE，在Rt△ABE中，利用sin30°计算AE，根据AD=AE-DE求解即可； 【详解】如图，延长AD，BC，二线交于点E， ∵∠B=90°，∠BCD=120°， ∴∠A=60°，∠E=30°，∠ADC=90°， ∴∠ADC=∠EDC= 90°， 在Rt△CDE中， tan30°=， ∴DE==， 在Rt△ABE中， sin30°=， ∴AB==4， ∴AD=AE-DE=, 故选C 【点睛】本题考查了圆的内接四边形对角互补，特殊角的三角函数值，延长构造直角三角形，灵活运用直角三角形特殊角的三角函数值计算是解题的关键． 8. 如图，在边长为1的小正方形网格中，点A，B，C，D都在这些小正方形的顶点上，，相交于点O，则（ ） A. B. C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质、勾股定理以及锐角三角函数．此题难度适中，解题的关键准确作出辅助线，注意转化思想与数形结合思想的应用． 通过添加辅助线构造出后，将问题转化为求的值，再利用勾股定理 、锐角三角函数解即可． 【详解】解：连接、，如图： ∵由图可知： ∴， ∴ ∵小正方形的边长为 ∴在中，， ∴ ∴． 故选：B 9. 如图1，点从的顶点B出发，沿匀速运动到点A，图2是点运动时，线段的长度随时间变化的关系图象，其中曲线部分为轴对称图形，为最低点，则的周长是（ ） A. 12 B. 16 C. 18 D. 24 【答案】C 【解析】 【分析】由图得，当点运动到点和店处时，长都是5，即，当最短时，即垂直时长为3，根据勾股定理求出，再由三线合一定理求出，即可根据三角形周长公式计算即可． 【详解】解：由图象可知，点在上运动时，此时不断增大，最大为, 故， 由图象可知，点从向运动时，最大值为5，即， ， 当最短时，即垂直时长为3， 如图， 在中， ，， ， ，， ， ， 的周长为． 故选：C． 10. 如图，抛物线过点，且对称轴为直线，有下列结论：①；②；③抛物线经过点与点，则；④无论a，b，c取何值，抛物线都经过同一个点；⑤；⑥若方程（，m为常数）有四个根，分别为，，，，则，其中所有正确的结论是（ ） A. 6个 B. 5个 C. 4个 D. 3个 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了二次函数的图象和性质，根据图象并结合已知条件进行正确分析是解题的关键． ①由图象及对称轴即可判断；②推出抛物线过点，当时，，又由即可做出判断；③由对称轴为，且开口向上，得到离对称轴水平距离越大，函数值越大，即可得出结论；④推出当时，，即可判断；⑤先推出，得到，由，得到，即可做出判断；⑥方程的四个根，可化为函数图象与函数图象交点的横坐标，画出分析，根据对称性求解． 【详解】解：由图象可知，抛物线开口向上，则， 顶点在y轴右侧，则， 抛物线与y轴交于负半轴，则， ∴，故①错误； ∵抛物线过点，且对称轴为直线， ∴抛物线过点， ∴当时，， ∵， ∴，故②正确； ∵对称轴为，且开口向上， ∴离对称轴水平距离越大，函数值越大， ∵点与点，， ∴，故③错误； 当时，， ∵当时，， ∴当时，， 即无论a，b，c取何值，抛物线都经过同一个点，故④正确； 对应的函数值为， 对应的函数值为， 又∵时函数取得最小值， ∴，即， ∵对称轴为， ∵， ∴， ∴， ∴，故⑤正确； 方程的四个根，可化为函数图象与函数图象交点的横坐标，如图，可画出函数图象，令函数图象与函数图象交点依次为， ∵方程有4个根， ∴，函数图象与函数图象有4个交点， ∵对称轴为直线， ∴， ∴ 即，故⑥正确， ∴正确的为②④⑤⑥， 故选：C． 二、填空题（11-14每题3分，15-18每题4分，共28分） 11. 在一个透明的盒子里装有2个红球和个白球，这些球除颜色外其余完全相同，摇匀后随机摸出一个，摸出红球的概率是0.2，则值为__________ ． 【答案】8 【解析】 【分析】本题考查概率的求法与运用，根据概率公式求解即可：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率． 根据红球的概率结合概率公式列出关于n的方程，求出n的值即可． 【详解】解：∵摸到红球的概率为 ∴ 解得．经检验，是原方程的解． 故答案为：8． 12. 抛物线经过三点，，，则，，的大小关系是______（用“<”连接） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次函数的对称性和增减性．把二次函数化简成顶点式，对称轴，在对称轴两侧时，三点的横坐标离对称轴越近，纵坐标越小，由此判断，，的大小． 【详解】解：， 抛物线开口向上，对称轴为直线 ， ． 故答案为：． 13. 如图是一个几何体的三视图，则该几何体的侧面积是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是圆锥的侧面展开图，三视图的含义，理解题意，掌握由三视图还原几何体是解本题的关键．先由三视图还原几何体为圆锥，再利用勾股定理求解母线长，再利用扇形面积公式进行计算即可． 【详解】解：由三视图可得：该几何体是圆锥，底面直径为8，高为3，如图， ∴，，而， ∴，， ∴该几何体的侧面积是． 故答案为：． 14. 如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线交于点，．则满足的的取值范围______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，根据图象解答即可求解，利用数形结合思想解答是解题的关键． 【详解】解：由图象可得，当或时，， ∴满足的的取值范围为或， 故答案为：或． 15. 若函数与轴只有1个交点，则m的值为_______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了函数与x轴的交点，一次函数的性质，函数与x轴只有一个交点，分两种情况考虑：当时，为二次函数，即关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，利用根的判别式计算求值，当时，为一次函数，而一次函数必与x轴有一个交点； 【详解】解：当时，函数为二次函数； 令可得， 当二次函数与x轴只有一个交点时，一元二次方程有两个相等的实数根， ∴， ∴； 当时，一次函数必与x轴有一个交点即可； 故答案为：或． 16. 如图，A，B两点分别在反比例函数和图象上，连接，，若，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的性质和判定，反比例函数图象上点的坐标特征． 先证得，根据相似三角形的性质得出，则，得出． 【详解】解：如图，过、分别作轴的垂线，垂足分别为、． ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ， ， ， ， ∵点在反比例函数的图象上， ， ， ， 故答案为：． 17. 如图，直线y＝﹣x+6与x轴、y轴分别交于A、B两点，点P是以C（﹣1，0）为圆心，1为半径的圆上一点，连接PA，PB，则△PAB面积的最大值为_____． 【答案】32 【解析】 【分析】如图，作CH⊥AB于H交⊙O于E、F，求出A、B的坐标，根据勾股定理求出AB，再由S△ABC＝AB•CH＝OB•AC求出点C到AB的距离CH，即可求出圆C上点到AB的最大距离，根据面积公式求出即可． 【详解】如图，作CH⊥AB于H交⊙O于E、F， ∵直线y＝﹣x+6与x轴、y轴分别交于A、B两点， ∴当y=0时，可得0=﹣x+6， 解得：x=8， ∴A（8，0）， 当x=0时，得y=6， ∴B（0，6）， ∴OA＝8，OB＝6， ∴＝10， ∵C（﹣1，0）， ∴AC=8+1=9， ∴S△ABC＝AB•CH＝OB•AC， ∴， ∴CH=5.4， ∴FH＝CH+CF=5.4+1＝6.4，即⊙C上到AB的最大距离为6.4， ∴△PAB面积的最大值＝×10×6.4＝32， 故答案为32． 【点睛】本题考查了三角形的面积，勾股定理、三角形等面积法求高、求圆心到直线的距离等知识，解此题的关键是求出圆上的点到直线AB的最大距离． 18. 如图，一次函数与反比例函数的图象交于点A，过点A作交x轴于点B，作交反比例函数图象于点，过点作交x轴于点，再作交反比例函数图象于点，依次进行下去，……，则点的纵坐标为______ 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查反比例函数与一次函数图象的交点，掌握一次函数、反比例函数图象上点的坐标特征以及等腰直角三角形的性质是正确解答的前提． 由一次函数与反比例函数的图象交于点,可得；易得是等腰直角三角形，则分别过点, 作轴的垂线，垂足分别为 ,则是等腰直角三角形，设则则 在反比例函数上，可得的值，求出点的坐标，同理可得的坐标，以此类推，可得结论. 【详解】解：如图，分别过点, 作轴的垂线，垂足分别为. ∵一次函数与反比例函数的图象交于点， ∴联立 ，解得 ， ∴点的坐标为. ， ， ∴是等腰直角三角形. ， ， ， 设 则 ∴点 的坐标为， ∵点在反比例函数上, ， 解得或(负值舍去). ∴点的坐标为 ； ， ， ， ， ， 设 则 ∴点的坐标为 ∵点在反比例函数 上, ， 解得 (负值舍去). ∴点的坐标为； 同理点的坐标为； 以此类推，可得点的纵坐标为， 故答案为：． 三、解答题（共62分） 19. （1）计算：． （2）先化简，再求值：，其中a是使得不等式成立的正整数． 【答案】（1）；（2）， 当时，原式 【解析】 【分析】（1）先计算乘方，零指数幂，和特殊角的三角函数值，再化简绝对值，计算乘法，最后进行加减计算； （2）先根据分式混合运算法则进行化简，然后求出不等式的解集，得出正整数a的值，再代入数据计算即可． 【详解】解：（1） ； （2） ∵a是使不等式成立的正整数， ∴且a为正整数， ∴，2，3， 又∵， ， ∴，3，， ∴， 当时，原式． 【点睛】本题主要考查了实数的混合运算，特殊角的三角函数值，分式化简求值，分式有意义的条件，解不等式，解题的关键是熟练掌握分式混合运算法则，准确计算． 20. 某校为落实“双减”工作，增强课后服务的吸引力，充分用好课后服务时间，为学有余力的学生拓展学习空间，成立了5个活动小组（每位学生只能参加一个活动小组）：A．音乐；B．体育；C．美术；D．阅读；E．人工智能．为了解学生对以上活动的参与情况，随机抽取部分学生进行了调查统计，并根据统计结果，绘制了如图所示的两幅不完整的统计图． 根据图中信息，解答下列问题： （1）①此次调查一共随机抽取了 名学生； ②补全条形统计图（要求在条形图上方注明人数）； ③扇形统计图中圆心角 度； （2）若该校有2800名学生，估计该校参加D组（阅读）的学生人数； （3）学校计划从E组（人工智能）的甲、乙、丙、丁四位学生中随机抽取两人参加市青少年机器人竞赛，请用树状图法或列表法求出恰好抽中甲、乙两人的概率． 【答案】（1）①400；②见解析；③54° （2）980人 （3） 【解析】 【分析】本题考查的概率及其应用，掌握概率=所求情况数与总情况数之比是解题的关键． （1）①由B组的人数除以所占百分比即可； ②求出A、C组的人数，可补全统计图； ③由乘以C组所占的比例即可； （2）由该校共有学生人数乘以参加D组（阅读）的学生人数所占的比例即可； （3）画树状图，共有12种等可能的结果，其中恰好抽中甲、乙两人的结果有2种，再由概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：①调查人数：（名）， 故答案为：400； ②A组的人数：（名）， C组的人数：（名）， 补全条形统计图如下： ③扇形统计图中圆心角， 故答案为：， 【小问2详解】 解：（人）， 答：参加D组（阅读）的学生人数为980人； 【小问3详解】 解：树状图如下： ∵共有12种等可能的结果，其中恰好抽到甲、乙两人同时参赛的有两种， ∴P（恰好抽中甲、乙两人）． 21. 如图，是的外接圆，是的直径，是延长线上一点，连接，，且． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的长． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查切线的判定和性质，圆周角定理，解直角三角形及相似三角形的判定与性质，掌握切线的判定方法，直角三角形的边角关系以及相似三角形的性质是正确解答的前提． （1）根据切线的判定，连接，证明出即可，利用直径所得的圆周角为直角，三角形的内角和以及等腰三角形的性质可得答案； （2）由，根据锐角三角函数的意义和勾股定理可得，再根据相似三角形的性质可求出答案． 【小问1详解】 证明：连接，如图所示： 是的直径， ， ， 又， ， 又． ，即， 是的切线； 【小问2详解】 解：，， ， 在中，，， ，则， ， ，， ， ， 设，则，， ，即， 解得或（舍去）， ． 22. 2024年，中国国产游戏3A大作《黑神话：悟空》一经上线，即火爆全球，反映了中国文化的对全世界的吸引力．作为重要取景地的济南四门塔是中国现存唯一的隋代石塔，也是中国现存最早、保存最完整的单层亭阁式佛塔．某兴趣小组利用所学知识开展以“测量四门塔的高度”为主题的活动，并写出如下报告： 课题 测量四门塔的高度 测量工具 测角仪、无人机等 测量示意图 测量过程 如图②，测量小组使无人机在点A处以的速度竖直上升后，飞行至点B处，在点B处测得塔顶D的俯角为，然后沿水平方向向左飞行至点C处，在点C处测得塔顶D和点A的俯角均为 说明 点A，B，C，D，E均在同一竖直平面内，且点A，E在同一水平线上，．结果精确到1m．（参考数据：，，） （1）求无人机从点B到点C处的飞行距离； （2）求四门塔的高度． 【答案】（1）34米 （2）15米 【解析】 【分析】（1）根据题意求出，再根据等腰直角三角形的性质求出； （2）延长交的延长线于点F，设，用x表示出、，根据正切的定义列出方程，解方程得到答案． 【小问1详解】 解：由题意可知：， 在中，，， 则， 答：无人机从点B到点C处的飞行距离为； 【小问2详解】 解：如图②，延长交的延长线于点F， 则四边形为矩形， ∴， 设，则， 在中，， 则， ∴， 在中，， ∵， ∴，即， 解得：， 答：四门塔的高度约为． 【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用仰角俯角问题，熟记锐角三角函数的定义是解题的关键． 23. 一大型商场经营某种品牌商品，该商品的进价为每件3元，根据市场调查发现，该商品每周的销售量y（件）与售价x（元件）（x为正整数）之间满足一次函数关系，下表记录的是某三周的有关数据： x（元/件） 4 5 6 y（件） 10000 9500 9000 （1）求y与x的函数关系式（不求自变量的取值范围）； （2）在销售过程中要求销售单价不低于成本价，且不高于15元/件．若某一周该商品的销售量不少于6000件，求这一周该商场销售这种商品获得的最大利润和售价分别为多少元？ （3）抗疫期间，该商场这种商品售价不大于15元/件时，每销售一件商品便向某慈善机构捐赠m元（），捐赠后发现，该商场每周销售这种商品的利润仍随售价的增大而增大．请直接写出m的取值范围． 【答案】（1）；（2）这一周该商场销售这种商品获得的最大利润为54000元，售价为12元；（3）． 【解析】 【分析】（1）设y与x的函数关系式为y=kx+b，代入表中的数据求解即可； （2）设这一周该商场销售这种商品获得的利润为w，根据总利润=单件利润×销售量列出函数关系式求最大值，注意x的取值范围； （3）写出w关于x的函数关系式，根据当x≤15时，利润仍随售价的增大而增大，可得，求解即可． 【详解】解：（1）设y与x的函数关系式为y=kx+b， 代入（4，10000），（5，9500）可得：， 解得：， 即y与x的函数关系式为； （2）设这一周该商场销售这种商品获得的利润为w， 根据题意可得：， 解得：， ∵， ∴当x=12时，w有最大值，w=54000， 答：这一周该商场销售这种商品获得的最大利润为54000元，售价为12元． （3）设这一周该商场销售这种商品获得的利润为w， 当每销售一件商品便向某慈善机构捐赠m元时， 由题意，当x≤15时，利润仍随售价的增大而增大， 可得：，解得：m≥3， ∵ ∴ 故m的取值范围为：． 【点睛】本题考查二次函数的实际应用——最大利润问题，解题的关键是根据题意列出函数关系式，通过配方法找到最大值． 24. 【初步感知】如图1，点A，B，P均在上，若，则锐角的大小为 度； 【深入探究】如图2，小明遇到这样一个问题：是等边三角形的外接圆，点P在上（点P不与点A，C重合），连接．求证：；小明发现，延长至点E，使，连接，通过证明．可推得是等边三角形，进而得证．请根据小明的分析思路完成证明过程． 【启发应用】如图3，是的外接圆，，点P在上，且点P与点B在的两侧，连接，若，则的值为 ． 【答案】【初步感知】45； 【深入探究】证明：如图，延长至点E，使，连接， ∵四边形是的内接四边形， ∴， ∵， ∴， ∵是等边三角形， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴； 【启发应用】 【解析】 【分析】本题主要考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质，全等三角形的判定和性质，作出辅助线构造出全等三角形是解本题的关键． 初步感知：根据圆周角定理即可得出答案； 深入探究：先构造出，得出，进而得出是等边三角形，即可得出结论； 启发应用：先构造出，进而判断出，进而得出是等腰直角三角形，即可得出结论． 【详解】解：初步感知：∵， ∴， 故答案为：45； 深入探究：略 启发应用：如图，延长至点G，使，连接． ∵四边形是的内接四边形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 25. 如图1，抛物线与直线相交于点B和C，点B在x轴上，点C在y轴上，抛物线与x轴的另一个交点为A． （1）求抛物线的解析式； （2）E为线段上方抛物线上一动点，求四边形面积最大时，E的坐标以及面积的最大值； （3）如图2，将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新抛物线，在新抛物线上有一点N，在x轴上有一点M，试问是否存在以点B、M、C、N为顶点的平行四边形？若存在，直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）最大面积为，点E坐标为 （3）存在，点M的坐标为或或或 【解析】 【分析】（1）求出点和，利用待定系数法求出函数解析式即可； （2）先求得点A坐标，进而得到，当最大时，最大，过E作轴交于D，设，，则，利用坐标与图形性质得，利用二次函数的性质求得的面积最大值即可求解； （3）求出平移后新抛物线为，设点M的坐标为，要使点M与以上三点围成平行四边形，可能有以下三种情形：①当为对角线时，②当为对角线时，③当为对角线时，分别画出图形进行解答即可； 【小问1详解】 解：在中，令，得， ∴， 令，由得， ∴， 把两点的坐标代入中得， ，解得， 抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：对于，令，由得，， ∴， ∴， 则，当最大时，最大， 设，，则， ∴， ∴， ∵，， ∴当时，的面积最大，最大值为， 此时四边形面积最大，最大值为， 由得点E坐标为； 【小问3详解】 解：存在． 将抛物线沿射线方向平移个单位长度，， 相当于将抛物线先向右平移1个单位，再向下平移1个单位， ∴平移后新抛物线为， 设点M的坐标为， ， 要使点N与以上三点围成平行四边形，可能有以下三种情形： ①当为对角线时，点N的坐标为； 此时若点N在抛物线上， 则，解得， ，； ②当为对角线时，点N的坐标为， 此时若点N在抛物线上， 则，解得， ，； ③当为对角线时，点N的坐标为； 此时若点N在抛物线上， 则，解得， 当时，得到，； 当时，得到，， 综上，点M的坐标为或或或． 【点睛】此题是二次函数和几何综合题，考查了待定系数法、平行四边形的性质、二次函数的图象和性质、二次函数的平移、坐标与图形等知识，数形结合和分类讨论是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025第一学期第三次阶段质量测试 数学试题 考试时间：120分钟 一、单选题（每题3分，共30分） 1. 如图所示的“中”字，俯视图是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，在中，．则的度数为（ ） A. B. C. D. 3. 将抛物线向左平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度，平移后的抛物线顶点坐标为（ ） A. B. C. D. 4. 无色酚酞溶液是一中常见常用酸碱指示剂，广泛应用于检验溶液酸碱性，通常情况下酚酞溶液遇酸溶液不变色，遇中性溶液也不变色，遇碱溶液变红色．现有5瓶缺失标签的无色液体：蒸馏水、白醋溶液、食用碱溶液、柠檬水溶液、火碱溶液，将酚酞试剂滴入任意一瓶液体后呈现红色的概率是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别是点、点、点．则的外心的坐标是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在平面直角坐标系中，点A在第一象限，轴于点B，函数（）的图象与线段交于点C，且．若的面积为24，则k的值为（ ） A. 6 B. 8 C. 12 D. 16 7. 如图，四边形是的内接四边形，，，，，则的长为（ ） A. B. C. D. 2 8. 如图，在边长为1的小正方形网格中，点A，B，C，D都在这些小正方形的顶点上，，相交于点O，则（ ） A. B. C. D. 2 9. 如图1，点从的顶点B出发，沿匀速运动到点A，图2是点运动时，线段的长度随时间变化的关系图象，其中曲线部分为轴对称图形，为最低点，则的周长是（ ） A. 12 B. 16 C. 18 D. 24 10. 如图，抛物线过点，且对称轴为直线，有下列结论：①；②；③抛物线经过点与点，则；④无论a，b，c取何值，抛物线都经过同一个点；⑤；⑥若方程（，m为常数）有四个根，分别为，，，，则，其中所有正确的结论是（ ） A. 6个 B. 5个 C. 4个 D. 3个 二、填空题（11-14每题3分，15-18每题4分，共28分） 11. 在一个透明的盒子里装有2个红球和个白球，这些球除颜色外其余完全相同，摇匀后随机摸出一个，摸出红球的概率是0.2，则值为__________ ． 12. 抛物线经过三点，，，则，，的大小关系是______（用“<”连接） 13. 如图是一个几何体的三视图，则该几何体的侧面积是______． 14. 如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线交于点，．则满足的的取值范围______． 15. 若函数与轴只有1个交点，则m的值为_______． 16. 如图，A，B两点分别在反比例函数和图象上，连接，，若，，则______． 17. 如图，直线y＝﹣x+6与x轴、y轴分别交于A、B两点，点P是以C（﹣1，0）为圆心，1为半径的圆上一点，连接PA，PB，则△PAB面积的最大值为_____． 18. 如图，一次函数与反比例函数的图象交于点A，过点A作交x轴于点B，作交反比例函数图象于点，过点作交x轴于点，再作交反比例函数图象于点，依次进行下去，……，则点的纵坐标为______ 三、解答题（共62分） 19. （1）计算：． （2）先化简，再求值：，其中a是使得不等式成立的正整数． 20. 某校为落实“双减”工作，增强课后服务的吸引力，充分用好课后服务时间，为学有余力的学生拓展学习空间，成立了5个活动小组（每位学生只能参加一个活动小组）：A．音乐；B．体育；C．美术；D．阅读；E．人工智能．为了解学生对以上活动的参与情况，随机抽取部分学生进行了调查统计，并根据统计结果，绘制了如图所示的两幅不完整的统计图． 根据图中信息，解答下列问题： （1）①此次调查一共随机抽取了 名学生； ②补全条形统计图（要求在条形图上方注明人数）； ③扇形统计图中圆心角 度； （2）若该校有2800名学生，估计该校参加D组（阅读）的学生人数； （3）学校计划从E组（人工智能）的甲、乙、丙、丁四位学生中随机抽取两人参加市青少年机器人竞赛，请用树状图法或列表法求出恰好抽中甲、乙两人的概率． 21. 如图，是的外接圆，是的直径，是延长线上一点，连接，，且． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的长． 22. 2024年，中国国产游戏3A大作《黑神话：悟空》一经上线，即火爆全球，反映了中国文化的对全世界的吸引力．作为重要取景地的济南四门塔是中国现存唯一的隋代石塔，也是中国现存最早、保存最完整的单层亭阁式佛塔．某兴趣小组利用所学知识开展以“测量四门塔的高度”为主题的活动，并写出如下报告： 课题 测量四门塔的高度 测量工具 测角仪、无人机等 测量示意图 测量过程 如图②，测量小组使无人机在点A处以的速度竖直上升后，飞行至点B处，在点B处测得塔顶D的俯角为，然后沿水平方向向左飞行至点C处，在点C处测得塔顶D和点A的俯角均为 说明 点A，B，C，D，E均在同一竖直平面内，且点A，E在同一水平线上，．结果精确到1m．（参考数据：，，） （1）求无人机从点B到点C处的飞行距离； （2）求四门塔的高度． 23. 一大型商场经营某种品牌商品，该商品的进价为每件3元，根据市场调查发现，该商品每周的销售量y（件）与售价x（元件）（x为正整数）之间满足一次函数关系，下表记录的是某三周的有关数据： x（元/件） 4 5 6 y（件） 10000 9500 9000 （1）求y与x的函数关系式（不求自变量的取值范围）； （2）在销售过程中要求销售单价不低于成本价，且不高于15元/件．若某一周该商品的销售量不少于6000件，求这一周该商场销售这种商品获得的最大利润和售价分别为多少元？ （3）抗疫期间，该商场这种商品售价不大于15元/件时，每销售一件商品便向某慈善机构捐赠m元（），捐赠后发现，该商场每周销售这种商品的利润仍随售价的增大而增大．请直接写出m的取值范围． 24. 【初步感知】如图1，点A，B，P均在上，若，则锐角的大小为 度； 【深入探究】如图2，小明遇到这样一个问题：是等边三角形的外接圆，点P在上（点P不与点A，C重合），连接．求证：；小明发现，延长至点E，使，连接，通过证明．可推得是等边三角形，进而得证．请根据小明的分析思路完成证明过程． 【启发应用】如图3，是的外接圆，，点P在上，且点P与点B在的两侧，连接，若，则的值为 ． 25. 如图1，抛物线与直线相交于点B和C，点B在x轴上，点C在y轴上，抛物线与x轴的另一个交点为A． （1）求抛物线的解析式； （2）E为线段上方抛物线上一动点，求四边形面积最大时，E的坐标以及面积的最大值； （3）如图2，将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新抛物线，在新抛物线上有一点N，在x轴上有一点M，试问是否存在以点B、M、C、N为顶点的平行四边形？若存在，直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $