专题09 函数与平面直角坐标系【九大题型】- 2025年中考数学一轮复习（全国通用版）

专题09 函数与平面直角坐标系 1平面直角坐标系 1.1平面直角坐标系 在平面内，两条互相垂直且有公共原点的数轴，组成平面直角坐标系。其中，水平的数轴叫做轴或横轴，取向右为正方向；铅直的数轴叫做轴或纵轴，取向上为正方向；轴和轴统称坐标轴。它们的公共原点称为直角坐标系的原点；建立了直角坐标系的平面，叫做坐标平面。 1.2 象限 为了便于描述坐标平面内点的位置，把坐标平面被轴和轴分割而成的四个部分，分别叫做第一象限、第二象限、第三象限、第四象限。 注意：轴和轴上的点不属于任何一个象限。 1.3 点的坐标 对于平面内任意一点，过点分别作轴、轴的垂线，垂直在轴、轴对应的数，分别叫做点的横坐标、纵坐标，有序数对叫做点的坐标. 2 函数 2.1 常量与变量 数值发生变化的量为变量，数值始终不变的量为常量. 2.2 函数的概念 一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量与，并且对于的每一个确定的值，都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说是自变量，是的函数. 如果当时，那么叫做当自变量的值为时的函数值. 2.3 函数的解析式 用关于自变量的数学式子表示函数与自变量之间的关系，这种式子叫做函数的解析式. 2.4 函数的表示方法 函数的表示方法有解析式法、列表法和图像法. 2.5 函数的图像 （1）一般地，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图像. （2）描点法画函数图像的一般步骤如下 第一步，列表---表中给出一些自变量的值及其对应的函数值； 第二步，描点---在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出表格中数值对应的各点； 第三步，连线---按照横坐标由小到大的顺序，把所描出的各点用平滑曲线连接起来. （3）函数的性质 下图是某函数的图像， 当或时，会随着的增大而增大； 当时，会随着的增大而减小； 当时，取到最大值；当时，取到最小值. 【题型1】 点的坐标 【典题1】 在平面直角坐标系中，第四象限内的点P到x轴的距离是3，到y轴的距离是2，平行于x轴，，则点Q的坐标是（   ） A．或 B． C． D．或 【巩固练习】 1.（2020·山东滨州·中考真题）在平面直角坐标系的第二象限内有一点P，点P到x轴的距离为4，到y轴的距离为5，则点P的坐标是（    ） A． B． C． D． 2.（2023·内蒙古·中考真题）若实数，是一元二次方程的两个根，且，则点所在象限为（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3.（2023·四川广安·中考真题）已知a，b，c为常数，点在第四象限，则关于x的一元二次方程 的根的情况为（ ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．没有实数根 D．无法判定 4.（2024·内蒙古呼伦贝尔·中考真题）点在直线上，坐标是二元一次方程的解，则点的位置在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 5.（2024·贵州黔东南·一模）如图，正方形的边长为，以点为坐标原点建立平面直角坐标系，与轴交于点．若点恰好是的中点，则点的坐标为 . 【题型2】 图形变换与坐标 【典题1】 如图，在平面直角坐标系中，点的坐标是，若点的坐标为，将线段绕点顺时针旋转得到线段，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【巩固练习】 1. （2023·河南·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知三角形的顶点坐标分别为，，，将三角形平移得到三角，若点A，B的对应点坐标分别为，，则点的对应点的坐标是（    ） A． B． C． D． 2.（2023·山东青岛·一模）如图，已知三个顶点的坐标分别为，，，将向右平移3个单位，得到，点，，的对应点分别为，，，再将绕点顺时针旋转，得，点，，的对应点分别为、、则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 3.（2024·广东·模拟预测）如图，正方形、的两边、分别在轴．轴上，点在边上，以为中心，把旋转，则旋转后点的对应点的坐标是（   ） A． B． C．或 D．或 4.（2024·湖北武汉·中考真题）如图，小好同学用计算机软件绘制函数的图象，发现它关于点中心对称．若点，，，……，，都在函数图象上，这个点的横坐标从开始依次增加，则的值是（    ） A． B． C．0 D．1 【题型3】 探索点的坐标规律 【典题1】（2024·四川广安·中考真题）已知，直线与轴相交于点，以为边作等边三角形，点在第一象限内，过点作轴的平行线与直线交于点，与轴交于点，以为边作等边三角形（点在点的上方），以同样的方式依次作等边三角形，等边三角形，则点的横坐标为 ． 【巩固练习】 1.（2023·辽宁阜新·中考真题）如图，四边形是正方形，曲线叫作“正方形的渐开线”，其中，，，，…的圆心依次按O，A，B，循环．当时，点的坐标是(    )    A． B． C． D． 2.（2024·黑龙江绥化·中考真题）如图，已知，，，，，，，…，依此规律，则点的坐标为 ． 3.（2023·山东东营·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线l：与x轴交于点，以为边作正方形点在y轴上，延长交直线l于点，以为边作正方形，点在y轴上，以同样的方式依次作正方形，…，正方形，则点的横坐标是 ．    【题型4】 函数的概念辨析 【典题1】 （2024·上海·模拟预测）下列关于函数说法错误的个数为（    ） （1）已知反比例函数的图像在第一象限，则k的取值范围是且； （2）单曲线不是反比例函数 （3）只要满足且自变量k为不为0的常数的函数，就是反比例函数 （4）抛物线的解析式由顶点坐标和开口方向决定 （5）直线是常值函数，常值函数不是函数 （6）直线不是函数 A．1 B．2 C．3 D．4 【巩固练习】 1.（2024·江苏泰州·一模）下列图像不能反映y是x的函数的是（   ） A． B． C． D． 2.（2024·北京·模拟预测）图①中的摩天轮可抽象成一个圆，圆上一点离地面的高度有与旋转时间之间的关系如图②所示．下列说法正确的是（    ） A．变量不是的函数，摩天轮的直径是65米 B．变量不是的函数，摩天轮的直径是70米 C．变量是的函数，摩天轮的直径是65米 D．变量是的函数，摩天轮的直径是70米 3.（2023·浙江湖州·二模）运用你学习函数的经验，判断下列哪个函数的图象如图所示（    ） A． B． C． D． 4.（2024·江苏扬州·一模）下列关于函数的图像与性质叙述正确的是（    ） ①该函数图像关于轴对称；②该函数图像关于轴对称；③该函数随着的增大而增大；④该函数的最小值为． A．①③ B．②④ C．③④ D．②③④ 【题型5】 根据实际问题列函数解析式 【典题1】 （2024·广东佛山·三模）如图，弹簧秤不挂重时弹簧长为，每挂重物体，弹簧伸长，在弹性限度（挂重不超过）内，弹簧的长度与所挂重之间的关系式是（    ） A． B． C． D． 【巩固练习】 1.（2024·海南·中考真题）设直角三角形中一个锐角为x度（），另一个锐角为y度，则y与x的函数关系式为（    ） A． B． C． D． 2.（2024·广西·中考真题）激光测距仪L发出的激光束以的速度射向目标M，后测距仪L收到M反射回的激光束．则L到M的距离与时间的关系式为（    ） A． B． C． D． 3.（2024·浙江衢州·一模）某水文局测得一组关于降雨强度和产汇流历时的对应数据如下表（注：产汇流历时是北由降雨到产生径流所经历的时间），根据表中数据，可得关于的函数表达式近似为（） 降雨强度 4 6 8 10 12 14 产汇流历时 18.0 12.1 9.0 7.2 6.0 5.1 A． B． C． D． 4.（2024·辽宁沈阳·模拟预测）已知等腰三角形的周长是10，底边长y是腰长x的函数，则下列图象中，能刻画y与x之间的函数关系的是（    ） A．B．C． D． 【题型6】 函数图象的识别 【典题1】（2024·河北唐山·三模）如图1是一个圆底烧瓶，李老师在做化学实验时向空瓶内匀速加水至图2状态停止．记加水时长为，圆底烧瓶里水面的高度为，则与关系的图象大致是（   ）    A．  B．  C．  D．   【巩固练习】 1.（2024·广东江门·模拟预测）“漏壶”是一种古代计时器，在它内部盛一定量的水，水从壶下的小孔漏出．壶内壁有刻度，人们根据壶中水面的位置计算时间．用x表示漏水时间，y表示壶底到水面的高度．下列哪个图象适合表示y与x的对应关系？（不考虑水量变化对压力的影响）（    ）    A．  B．  C．  D．  2.（2024·山东东营·模拟预测）周日早晨，妈妈送张浩到离家的少年宫，用时20分钟．妈妈到了少年宫后直接返回家里，还是用了20分钟．张浩在少年宫玩了20分钟的乒乓球，然后张浩跑步回家，用了15分钟．如图中，正确描述张浩离家时间和离家距离关系的是(      ) A． B． C． D． 3.（2024·四川成都·模拟预测）把一个长方体铁块放在如图所示的圆柱形容器内，现按一定的速度向容器内均匀注水，后将容器内注满．那么容器内水面的高度h(单位：)与注水时间t(单位：s)之间的函数关系图象大致是（    ） A．B．C． D． 【题型7】 从函数图象中获取信息 【典题1】 （2024·黑龙江绥化·模拟预测）甲骑摩托车从A地去B地，乙开汽车从B地去A地，甲、乙两人同时出发，匀速行驶，乙的速度大于甲的速度，各自到达终点后停止，设甲、乙两人之间的距离为s（单位：千米），甲行驶的时间为t（单位：小时），s与t之间的函数关系如图所示． 下列结论： ①出发1小时时，甲、乙在途中相遇 ②出发小时时，乙比甲多行驶了60千米； ③出发3小时时，甲、乙同时到达终点； ④甲的速度是乙的速度的一半 其中结论正确的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【巩固练习】 1.（2024·江苏南通·中考真题）甲、乙两人沿相同路线由A地到B地匀速前进，两地之间的路程为．两人前进路程s（单位：）与甲的前进时间t（单位：h）之间的对应关系如图所示．根据图象信息，下列说法正确的是（    ）    A．甲比乙晚出发1h B．乙全程共用2h C．乙比甲早到B地3h D．甲的速度是 2.（2024·湖北武汉·模拟预测）周末，自行车骑行爱好者甲、乙相约沿同一路线从地出发前往地进行骑行训练，甲、乙分别以不同的速度骑行，乙比甲早出发分钟，乙骑行分钟后，甲以原速度的继续骑行，经过一段时间，甲先到达地．在此过程中，甲、乙两人相距的路程（单位：米）与乙骑行的时间（单位：分钟）之间的关系如图所示．以下说法中错误的是（    ） A．点指甲从开始出发 B．甲的原速度为 C．甲与乙相遇时，甲出发了分钟 D．乙比甲晚分钟到达地 3.（2024·湖北武汉·模拟预测）甲和乙两辆车从地同时出发，沿相同的路线匀速驶向地．在甲车行驶了2小时后，因发生故障停车进行维修．维修结束后，甲车继续以匀速驶向地，结果比乙车晚到了30分钟．甲、乙两车行驶的路程与离开地的时间的函数图象如图所示，当两车相距60km时，乙车所行驶的时间是（    ） A． B．或 C．或 D．或或 【题型8】动点问题的函数图象 【典题1】 （2024·安徽宣城·三模）如图，在四边形中，，，，，三个动点，，同时分别沿，，的方向以的速度匀速运动，运动过程中的面积与运动时间 的函数图象大致是（     ） A． B． C． D． 【巩固练习】 1.矩形中，．动点E从点C开始沿边向点B以的速度运动，同时动点F从点C出发沿边向点D以的速度运动至点D停止．如图可得到矩形，设运动时间为x（单位：），此时矩形去掉矩形后剩余部分的面积为y（单位：），则y与x之间的函数关系用图象表示大致是下图中的（　　） A．B．C．D． 2.（2024·四川广元·中考真题）如图①，在中，，点P从点A出发沿A→C→B以1的速度匀速运动至点B，图②是点P运动时，的面积随时间x（s）变化的函数图象，则该三角形的斜边的长为（    ） A．5 B．7 C． D． 3.（2024·湖南长沙·模拟预测）RobotMaster机甲大师挑战赛鼓励学生自主研发制作多种机器人参与团队竞技，其某场对抗赛的轨道可简化成下图，其中和均为半圆，点，，，依次在同一直线上，且．现有比赛双方的机器人（看成点）分别从，两点同时出发，沿着轨道以大小相同的速度匀速移动进行射击比赛，其路线分别为和．若移动时间为，两个机器人之间距离为．则与关系的图象大致是（   ） A． B． C． D． 4.（2024·湖南·二模）如图1，在矩形中，点M从点A出发，以固定的速度沿运动到点D停止，连接，设点M的运动距离为x，的长为y，y关于x的函数图象如图2所示，则当M为的中点时，的面积为（    ） A．5 B．8 C． D．12 【题型9】 几何动态问题中的函数 【典题1】（2024·辽宁·模拟预测）如图，在等腰中，，点D为中点，点E在上，以点D为直角顶点，为直角边构造等腰，其中交于G．设=y，，则y关于x的函数解析式为 （无需写出自变量的取值范围）． 【典题2】（2024·陕西西安·模拟预测）如图①，在四边形中，，，．动点P从点出发，沿的方向以每秒的速度匀速运动，在整个运动过程中，的面积S与运动时间的函数图象如图②所示． (1)__________； (2)求点P在段上运动时，的面积S与运动时间的函数表达式； (3)当的面积为时，求的值． 【巩固练习】 1.（2023·辽宁大连·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点是x 轴正半轴上一点，点A在y 轴上．连接，点C是的中点．将沿折叠得到（点D 不与点B 重合），连接．若，则 y 关于x 的函数解析式为 2.（2023·辽宁大连·一模）如图，在平面直角坐标系中，点C的坐标是，点A在x 轴上，过点A作x轴的垂线，与过点C垂直于y轴的直线交于点B，连接，作的垂直平分线交于点E，交于点D，连接．设点E的坐标为，当时，y关于x的函数解析式为 ． 3.（2023·重庆沙坪坝·模拟预测）如图，在正方形中，，动点F，E分别从点A，B出发，F点沿着运动，到达C点停止运动，点E沿着运动，到达D点停止运动，连接，已知F点的速度且，令，，运动时间为t，请回答下列问题： (1)请直接写出，与t之间的函数关系式以及对应的t的取值范围； (2)请写出函数的一条性质； (3)在直角坐标系中画出，的图象，并根据图形直接写出当时，t的取值范围． 2 / 2 多反思总结多交流的学习才高效！ 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题09 函数与平面直角坐标系 1平面直角坐标系 1.1平面直角坐标系 在平面内，两条互相垂直且有公共原点的数轴，组成平面直角坐标系。其中，水平的数轴叫做轴或横轴，取向右为正方向；铅直的数轴叫做轴或纵轴，取向上为正方向；轴和轴统称坐标轴。它们的公共原点称为直角坐标系的原点；建立了直角坐标系的平面，叫做坐标平面。 1.2 象限 为了便于描述坐标平面内点的位置，把坐标平面被轴和轴分割而成的四个部分，分别叫做第一象限、第二象限、第三象限、第四象限。 注意：轴和轴上的点不属于任何一个象限。 1.3 点的坐标 对于平面内任意一点，过点分别作轴、轴的垂线，垂直在轴、轴对应的数，分别叫做点的横坐标、纵坐标，有序数对叫做点的坐标. 2 函数 2.1 常量与变量 数值发生变化的量为变量，数值始终不变的量为常量. 2.2 函数的概念 一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量与，并且对于的每一个确定的值，都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说是自变量，是的函数. 如果当时，那么叫做当自变量的值为时的函数值. 2.3 函数的解析式 用关于自变量的数学式子表示函数与自变量之间的关系，这种式子叫做函数的解析式. 2.4 函数的表示方法 函数的表示方法有解析式法、列表法和图像法. 2.5 函数的图像 （1）一般地，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图像. （2）描点法画函数图像的一般步骤如下 第一步，列表---表中给出一些自变量的值及其对应的函数值； 第二步，描点---在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出表格中数值对应的各点； 第三步，连线---按照横坐标由小到大的顺序，把所描出的各点用平滑曲线连接起来. （3）函数的性质 下图是某函数的图像， 当或时，会随着的增大而增大； 当时，会随着的增大而减小； 当时，取到最大值；当时，取到最小值. 【题型1】 点的坐标 【典题1】 在平面直角坐标系中，第四象限内的点P到x轴的距离是3，到y轴的距离是2，平行于x轴，，则点Q的坐标是（   ） A．或 B． C． D．或 【答案】A 【分析】本题考查的是坐标与图形性质，熟知平行于x轴的直线上各点的纵坐标相等是解题的关键．先根据题意得出P点坐标，根据平行于x轴设出Q点的坐标，进而可得出结论． 【详解】解：∵第四象限内的点P到x轴的距离是3，到y轴的距离是2， ∴P， ∵平行于x轴， ∴设， ∵， ∴， ∴或， ∴Q或． 故选：A． 【巩固练习】 1.（2020·山东滨州·中考真题）在平面直角坐标系的第二象限内有一点P，点P到x轴的距离为4，到y轴的距离为5，则点P的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设点坐标为，根据第二象限点的横纵坐标的符号，求解即可． 【详解】解：设点坐标为， ∵点在第二象限内， ∴，， ∵点P到x轴的距离为4，到y轴的距离为5， ∴，， ∴，， 即点坐标为， 故选：D 【点睛】本题考查了点的坐标，熟记点到x轴的距离等于纵坐标的绝对值，到y轴的距离等于横坐标的绝对值是解题的关键． 2.（2023·内蒙古·中考真题）若实数，是一元二次方程的两个根，且，则点所在象限为（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】根据一元二次方程的解法求出，的值，根据各象限点的特征即可求得． 【详解】∵实数，是一元二次方程的两个根，且， ∴, ∴为， ∴在第二象限， 故选：B． 【点睛】此题考查了一元二次方程的解法以及各象限点的特征，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的解法． 3.（2023·四川广安·中考真题）已知a，b，c为常数，点在第四象限，则关于x的一元二次方程 的根的情况为（ ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．没有实数根 D．无法判定 【答案】B 【分析】根据点在第四象限得，可得，则方程的判别式，即可得． 【详解】解：∵点在第四象限， ∴， ∴， ∴方程的判别式， ∴方程有两个不相等的实数根， 故选：B． 【点睛】本题考查了点坐标的特征，根的判别式，解题的关键是掌握这些知识点． 4.（2024·内蒙古呼伦贝尔·中考真题）点在直线上，坐标是二元一次方程的解，则点的位置在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数图象上点的特征，解二元一次方程组等知识，联立方程组 ，求出点P的坐标即可判断． 【详解】解∶ 联立方程组， 解得， ∴P的坐标为， ∴点P在第四象限， 故选∶D． 5.（2024·贵州黔东南·一模）如图，正方形的边长为，以点为坐标原点建立平面直角坐标系，与轴交于点．若点恰好是的中点，则点的坐标为 . 【答案】 【分析】如图，过点作轴于点，根据是的中点，可得，在中，运用勾股定理可得，根据题意可得，由此可算出，，因为点在第四象限，由此即可求解． 【详解】解：如图，过点作轴于点， 是的中点，， ， 在中， ， ∵， ∴， ，即， ，， ， 点在第四象限， 点的坐标为． 【点睛】本题主要考查正方形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，坐标与图形的综合，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 【题型2】 图形变换与坐标 【典题1】 如图，在平面直角坐标系中，点的坐标是，若点的坐标为，将线段绕点顺时针旋转得到线段，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—旋转，全等三角形的性质与判定，分别过点A和点作x轴的垂线，垂足分别为C、D，则，，证明得到，则，据此可得答案． 【详解】解：如图所示， 分别过点A和点作x轴的垂线，垂足分别为C、D， ∴， ∵点的坐标是，若点的坐标为， ∴， ∴， 由旋转的性质可得， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 【巩固练习】 1. （2023·河南·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知三角形的顶点坐标分别为，，，将三角形平移得到三角，若点A，B的对应点坐标分别为，，则点的对应点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了坐标与图形的变化，利用平移变换中点的坐标的变化规律即可得． 【详解】解：∵三角形的顶点坐标分别为，， 将三角形平移得到三角形点A，B的对应点坐标分别为，， 可得，， ∴是将三角形向上平移2个单位长度，向左平移4个单位长度得到三角形． ∵， ∴点C的对应点的坐标是，即为． 故选：A． 2.（2023·山东青岛·一模）如图，已知三个顶点的坐标分别为，，，将向右平移3个单位，得到，点，，的对应点分别为，，，再将绕点顺时针旋转，得，点，，的对应点分别为、、则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查坐标与图形变化：旋转变化、平移变化，解题的关键是正确作出图形．利用平移变换，旋转变换的性质正确作出图形，可得结论． 【详解】解：如图，． 故选：B． 3.（2024·广东·模拟预测）如图，正方形、的两边、分别在轴．轴上，点在边上，以为中心，把旋转，则旋转后点的对应点的坐标是（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查了正方形性质，坐标与图形变换——旋转，求直角坐标系中点的坐标，做题时分两种情况，顺时针和逆时针旋转，作出相应图形进行计算即可．作出图形分类讨论是解答本题的关键． 【详解】解：顺时针旋转时，如下图： ， 正方形的边长为， ，， 四边形是正方形， ， 由旋转性质可得：，， 在x轴上， ； 逆时针旋转时，如下图： 由旋转性质可得：，，，， 在y轴上，轴， ， ， 综上，的坐标为或 故选：C． 4.（2024·湖北武汉·中考真题）如图，小好同学用计算机软件绘制函数的图象，发现它关于点中心对称．若点，，，……，，都在函数图象上，这个点的横坐标从开始依次增加，则的值是（    ） A． B． C．0 D．1 【答案】D 【分析】本题是坐标规律题，求函数值，中心对称的性质，根据题意得出，进而转化为求，根据题意可得，，即可求解． 【详解】解：∵这个点的横坐标从开始依次增加， ∴， ∴， ∴，而即， ∵， 当时，，即， ∵关于点中心对称的点为， 即当时，， ∴， 故选：D． 【题型3】 探索点的坐标规律 【典题1】（2024·四川广安·中考真题）已知，直线与轴相交于点，以为边作等边三角形，点在第一象限内，过点作轴的平行线与直线交于点，与轴交于点，以为边作等边三角形（点在点的上方），以同样的方式依次作等边三角形，等边三角形，则点的横坐标为 ． 【答案】 【分析】直线直线可知，点坐标为，可得，由于是等边三角形，可得点，把代入直线解析式即可求得的横坐标，可得，由于是等边三角形，可得点；同理，，发现规律即可得解，准确发现坐标与字母的序号之间的规律是解题的关键． 【详解】解：∵直线l：与x轴负半轴交于点， ∴点坐标为， ∴， 过，，作轴交x轴于点M，轴交于点D，交x轴于点N，    ∵为等边三角形， ∴ ∴， ∴ ∴， 当时，，解得：， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴当时，，解得：， ∴； 而， 同理可得：的横坐标为， ∴点的横坐标为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标的特征，勾股定理的应用，等边三角形的性质，特殊图形点的坐标的规律，掌握探究的方法是解本题的关键. 【巩固练习】 1.（2023·辽宁阜新·中考真题）如图，四边形是正方形，曲线叫作“正方形的渐开线”，其中，，，，…的圆心依次按O，A，B，循环．当时，点的坐标是(    )    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题得点的位置每4个一循环，经计算得出在第三象限，与，，，…符合同一规律，探究出，，，...的规律即可． 【详解】解：由图得，，… 点C的位置每4个一循环， ， ∴在第三象限，与，，，… 符合规律， ∴坐标为． 故选：A． 【点睛】本题考查了点的坐标的规律的探究，理解题意求出坐标是解题关键． 2.（2024·黑龙江绥化·中考真题）如图，已知，，，，，，，…，依此规律，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了点坐标的规律探究．解题的关键在于根据题意推导出一般性规律．根据题意可知个点坐标的纵坐标为一个循环，的坐标为，据此可求得的坐标． 【详解】解：∵，，，，，，，…，， ∴可知个点坐标的纵坐标为一个循环，的坐标为， ∵， ∴的坐标为． ∴的坐标为 故答案为：． 3.（2023·山东东营·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线l：与x轴交于点，以为边作正方形点在y轴上，延长交直线l于点，以为边作正方形，点在y轴上，以同样的方式依次作正方形，…，正方形，则点的横坐标是 ．    【答案】 【分析】分别求出点点的横坐标是，点的横坐标是，点的横坐标是，找到规律，得到答案见即可． 【详解】解：当，，解得， ∴点, ∵是正方形， ∴， ∴点， ∴点的横坐标是， 当时，，解得， ∴点， ∵是正方形， ∴， ∴点， 即点的横坐标是， 当时，，解得， ∴点， ∵是正方形， ∴， ∴点的横坐标是， …… 以此类推，则点的横坐标是 故答案为： 【点睛】此题是点的坐标规律题，考查了二次函数的图象和性质、正方形的性质等知识，数形结合是是解题的关键． 【题型4】 函数的概念辨析 【典题1】 （2024·上海·模拟预测）下列关于函数说法错误的个数为（    ） （1）已知反比例函数的图像在第一象限，则k的取值范围是且； （2）单曲线不是反比例函数 （3）只要满足且自变量k为不为0的常数的函数，就是反比例函数 （4）抛物线的解析式由顶点坐标和开口方向决定 （5）直线是常值函数，常值函数不是函数 （6）直线不是函数 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题主要考查了反比例函数的定义、函数的定义、二次函数图像的性质等知识点，理解相关定义成为解题的关键． 根据反比例函数的定义、函数的定义、二次函数图像的性质逐个判断即可． 【详解】解：（1）已知反比例函数的图像在第一象限，则k的取值范围是且，说法正确； （2）单曲线不是反比例函数，说法错误； （3）只要满足且自变量k为不为0的常数的函数，就是反比例函数，说法正确； （4）抛物线的解析式由顶点坐标和开口方向决定，说法错误； （5）直线是常值函数，常值函数是函数，说法错误； （6）直线不是函数，说法错误． 综上，正确的有2个正确． 故选B． 【巩固练习】 1.（2024·江苏泰州·一模）下列图像不能反映y是x的函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查函数的概念和图象，关键是根据当x取一值时，y有唯一与它对应的值判断． 根据函数的概念解答即可． 【详解】解：A、当x取一值时，y有唯一与它对应的值，y是x的函数，故本选项不符合题意； B、当x取一值时，y有唯一与它对应的值，y是x的函数，故本选项不符合题意； C、当x取一值时，y有两个值与其对应，y不是x的函数，故本选项符合题意； D、当x取一值时，y有唯一与它对应的值，y是x的函数，故本选项不符合题意． 故选：C． 2.（2024·北京·模拟预测）图①中的摩天轮可抽象成一个圆，圆上一点离地面的高度有与旋转时间之间的关系如图②所示．下列说法正确的是（    ） A．变量不是的函数，摩天轮的直径是65米 B．变量不是的函数，摩天轮的直径是70米 C．变量是的函数，摩天轮的直径是65米 D．变量是的函数，摩天轮的直径是70米 【答案】C 【分析】本题考查函数图象，常量和变量，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．根据函数的定义可以判断变量是的函数，）根据图象可以得到摩天轮的直径． 【详解】解：根据图象可得，变量y是x的函数，因为对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，所以变量y是x的函数； 由图象可得，摩天轮的直径为：． 故选C． 3.（2023·浙江湖州·二模）运用你学习函数的经验，判断下列哪个函数的图象如图所示（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查识别函数图象，解题的关键是根据图象得出该函数的性质．根据图象可知x无论取任何数y始终大于0，且在时有最大值，再逐项判断即可． 【详解】A．当时，，故与题干中图象不符，该选项不合题意； B．当时，无意义，故与题干中图象不符，该选项不合题意； C．当自变量x取其相反数时，，且当时，为最大值，与题干中图象相符，该选项符合题意； D．当时，无意义，故与题干中图象不符，该选项不合题意． 故选：C． 4.（2024·江苏扬州·一模）下列关于函数的图像与性质叙述正确的是（    ） ①该函数图像关于轴对称；②该函数图像关于轴对称；③该函数随着的增大而增大；④该函数的最小值为． A．①③ B．②④ C．③④ D．②③④ 【答案】C 【分析】本题主要考查二次根式的性质，解题个关键是熟知二次根式的性质，根据二次根式的性质即可求解． 【详解】该函数图象关于轴不对称，故①错误； 该函数图像关于轴不对称，故②错误； 该函数随着的增大而增大，故③正确； 该函数的最小值为，故④正确． 故选：C． 【题型5】 根据实际问题列函数解析式 【典题1】 （2024·广东佛山·三模）如图，弹簧秤不挂重时弹簧长为，每挂重物体，弹簧伸长，在弹性限度（挂重不超过）内，弹簧的长度与所挂重之间的关系式是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了列函数关系式，根据“每挂重物体，弹簧伸长”可得每挂重物体，弹簧伸长，由此可解． 【详解】解：由题意知，每挂重物体，弹簧伸长， 因此弹簧的长度与所挂重之间的关系式是， 故选D． 【巩固练习】 1.（2024·海南·中考真题）设直角三角形中一个锐角为x度（），另一个锐角为y度，则y与x的函数关系式为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了函数关系式．利用直角三角形的两锐角互余可得到y与x的关系式． 【详解】解：∵直角三角形中一个锐角的度数为x度，另一个锐角为y度， ∴． 故选：D． 2.（2024·广西·中考真题）激光测距仪L发出的激光束以的速度射向目标M，后测距仪L收到M反射回的激光束．则L到M的距离与时间的关系式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查列函数关系式，熟练掌握路程＝速度×时间是解题的关键．根据路程＝速度×时间列式即可． 【详解】解：， 故选：A． 3.（2024·浙江衢州·一模）某水文局测得一组关于降雨强度和产汇流历时的对应数据如下表（注：产汇流历时是北由降雨到产生径流所经历的时间），根据表中数据，可得关于的函数表达式近似为（） 降雨强度 4 6 8 10 12 14 产汇流历时 18.0 12.1 9.0 7.2 6.0 5.1 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查函数的关系式，通过表格中两个变量的对应值的变化关系，发现它们的乘积相等是正确解答的关键． 根据表格中两个变量的对应值，探索两个变量的乘积，进而得出两个变量的函数关系式． 【详解】解：由表格中两个变量的对应值可得， ， 所以与成反比例关系， 所以与的函数关系式为， 故选：A． 4.（2024·辽宁沈阳·模拟预测）已知等腰三角形的周长是10，底边长y是腰长x的函数，则下列图象中，能刻画y与x之间的函数关系的是（    ） A．B．C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数图象，三角形的三边关系，等腰三角形的性质；难点在于利用三角形的三边关系求自变量的取值范围． 先根据三角形的周长公式求出函数关系式，再根据三角形的任意两边之和大于第三边求出 x 的取值范围，即可得出答案． 【详解】解析  根据题意，得，即． ， ． 故答案：C． 【题型6】 函数图象的识别 【典题1】（2024·河北唐山·三模）如图1是一个圆底烧瓶，李老师在做化学实验时向空瓶内匀速加水至图2状态停止．记加水时长为，圆底烧瓶里水面的高度为，则与关系的图象大致是（   ）    A．  B．  C．  D．   【答案】B 【分析】本题考查函数的图象，根据空瓶的形状，随着加水时长的增加，水面的高度上升的快慢，即可求解． 【详解】解：根据空瓶的形状，随着加水时长的增加，单位时间内，圆底烧瓶里水面的高度上升先快后慢，再由慢变快，最后均匀上升， ∴选项B中图象符合题意， 故选：B． 【巩固练习】 1.（2024·广东江门·模拟预测）“漏壶”是一种古代计时器，在它内部盛一定量的水，水从壶下的小孔漏出．壶内壁有刻度，人们根据壶中水面的位置计算时间．用x表示漏水时间，y表示壶底到水面的高度．下列哪个图象适合表示y与x的对应关系？（不考虑水量变化对压力的影响）（    ）    A．  B．  C．  D． 【答案】C 【分析】本题考查函数图象，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．根据题意，可知y随的增大而减小，符合一次函数图象，从而可以解答本题． 【详解】解：∵不考虑水量变化对压力的影响，水从壶底小孔均匀漏出，x表示漏水时间，y表示壶底到水面的高度， ∴y随x的增大而匀速的减小，符合一次函数图象， ∴选项C图象适合表示y与x的对应关系． 故选：C． 2.（2024·山东东营·模拟预测）周日早晨，妈妈送张浩到离家的少年宫，用时20分钟．妈妈到了少年宫后直接返回家里，还是用了20分钟．张浩在少年宫玩了20分钟的乒乓球，然后张浩跑步回家，用了15分钟．如图中，正确描述张浩离家时间和离家距离关系的是(      ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了函数的图象，解答此题的关键是根据张浩去时用的时间，在少年宫玩了分钟的乒乓球的时间，返回的时间判断出折线的走势．依据题意，根据运动的路程与时间判断折线的走势，注意几个时间段：妈妈送张浩到离家的少年宫，用时分钟，张浩在少年宫玩了分钟的乒乓球，张浩跑步回家，用了分钟，据此判断即可． 【详解】解：根据题意，妈妈送张浩到离家的少年宫，用时分钟，张浩在少年宫玩了分钟的乒乓球，张浩跑步回家，用了分钟，总用时分钟． 在图象上表现为C． 故选：C． 3.（2024·四川成都·模拟预测）把一个长方体铁块放在如图所示的圆柱形容器内，现按一定的速度向容器内均匀注水，后将容器内注满．那么容器内水面的高度h(单位：)与注水时间t(单位：s)之间的函数关系图象大致是（    ） A．B．C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了用图象表示变量之间是关系，能够根据条件分析不同时间段的图像是什么形状是解答本题的关键．根据图像分析不同时间段的水面上升速度，进而可得出答案． 【详解】解：因为长方体铁块放置在圆柱形水槽容器内，向容器内按一定的速度均匀注水，60秒后将容器内注满，且长方体是均匀的，所以初期的图像应是直线，当水越过长方体后，注水需填充的体积变大，且此时水面上升的高度也是随时间均匀升高，因此此时的图像也是直线，但水面上升的速度比开始时要慢，因此四个选项中只有D选项符合题意． 故选：D． 【题型7】 从函数图象中获取信息 【典题1】 （2024·黑龙江绥化·模拟预测）甲骑摩托车从A地去B地，乙开汽车从B地去A地，甲、乙两人同时出发，匀速行驶，乙的速度大于甲的速度，各自到达终点后停止，设甲、乙两人之间的距离为s（单位：千米），甲行驶的时间为t（单位：小时），s与t之间的函数关系如图所示． 下列结论： ①出发1小时时，甲、乙在途中相遇 ②出发小时时，乙比甲多行驶了60千米； ③出发3小时时，甲、乙同时到达终点； ④甲的速度是乙的速度的一半 其中结论正确的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题主要考查了从函数图象获取信息，根据甲出发1小时后，甲、乙两人的距离为0可判断①；由函数图象可知，甲从A到B的时间为3小时，且A与B之间的距离为120千米，可求出甲的速度，进而求出乙的速度，据此可判断②③④． 【详解】解：由函数图象可知，甲出发1小时后，甲、乙两人的距离为0， ∴出发1小时时，甲、乙在途中相遇，故①正确； 由函数图象可知，甲从A到B的时间为3小时，且A与B之间的距离为120千米， ∴甲的速度为千米/小时， ∴乙的速度为千米/小时， ∴出发小时时，乙比甲多行驶了千米，甲的速度是乙的速度的一半，乙到达终点的时间是小时，故②④正确，故③错误； 故选：C． 【巩固练习】 1.（2024·江苏南通·中考真题）甲、乙两人沿相同路线由A地到B地匀速前进，两地之间的路程为．两人前进路程s（单位：）与甲的前进时间t（单位：h）之间的对应关系如图所示．根据图象信息，下列说法正确的是（    ）    A．甲比乙晚出发1h B．乙全程共用2h C．乙比甲早到B地3h D．甲的速度是 【答案】D 【分析】本题考查用函数图象表示变量之间的关系，从函数图形获取信息，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、乙比甲晚出发1h，原说法错误，不符合题意； B、乙全程共用，原说法错误，不符合题意； C、乙比甲早到B地，原说法错误，不符合题意； D、甲的速度是，原说法正确，符合题意； 故选D． 2.（2024·湖北武汉·模拟预测）周末，自行车骑行爱好者甲、乙相约沿同一路线从地出发前往地进行骑行训练，甲、乙分别以不同的速度骑行，乙比甲早出发分钟，乙骑行分钟后，甲以原速度的继续骑行，经过一段时间，甲先到达地．在此过程中，甲、乙两人相距的路程（单位：米）与乙骑行的时间（单位：分钟）之间的关系如图所示．以下说法中错误的是（    ） A．点指甲从开始出发 B．甲的原速度为 C．甲与乙相遇时，甲出发了分钟 D．乙比甲晚分钟到达地 【答案】D 【分析】本题考查了从函数图象中获取信息，根据函数图象逐一排除即可，从图象中获取信息得到与问题相关的速度，时间，路程是解题的关键． 【详解】、根据图象可知：点指甲从开始出发，此选项正确，不符合题意； 、根据题意乙的速度为，设甲的原速度为， ∴，解得：，此选项正确，不符合题意； 、∵乙骑行分钟后，甲以原速度的继续骑行， ∴此时甲的速度为， ∴， 则甲与乙相遇时，甲出发了（分钟）， 此选项正确，不符合题意； 、当时，甲到达地，此时乙距离地还有（米）， 需要（分钟）， ∴乙比甲晚分钟到达地，此选项错误，符合题意； 故选：． 3.（2024·湖北武汉·模拟预测）甲和乙两辆车从地同时出发，沿相同的路线匀速驶向地．在甲车行驶了2小时后，因发生故障停车进行维修．维修结束后，甲车继续以匀速驶向地，结果比乙车晚到了30分钟．甲、乙两车行驶的路程与离开地的时间的函数图象如图所示，当两车相距60km时，乙车所行驶的时间是（    ） A． B．或 C．或 D．或或 【答案】D 【分析】本题考查的是从函数图象中获取信息，利用待定系数法求解一次函数解析式，一元一次方程的应用，理解题意，明确坐标含义是解本题的关键．利用待定系数法求出甲车和乙车的解析式，根据两车相距60km建立方程求解即可． 【详解】解：当时，设甲车的解析式为， 把代入得：， 解得：， ∴， 由图象可知：当时，甲车的解析式为； 当时，设甲车的解析式为， 把 代入得：， 解得：， ∴， 设时，乙车的解析式为， 把代入得：， 解得：， ∴， 由图象可知：时，， ∵两车相距60km， ∴当时，， 解得：， 当时，， 解得：， 当时，， 解得：， 当时，， 解得：（不符合题意，舍去） 综上所述：两车相距60km时，乙车所行驶的时间是或或． 故选：D． 【题型8】动点问题的函数图象 【典题1】 （2024·安徽宣城·三模）如图，在四边形中，，，，，三个动点，，同时分别沿，，的方向以的速度匀速运动，运动过程中的面积与运动时间 的函数图象大致是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了动点函数图象，分别求出和时的函数解析式，进行判断即可. 【详解】解：当时，如图， ∵三个动点同速， ∴三个动点路程相同， ∴， ∵ ∴， ∴ 当时，如图， 此时 ∴， ∴， ∴ ∴结合两个函数判断B符合题意， 故选：B 【巩固练习】 1.矩形中，．动点E从点C开始沿边向点B以的速度运动，同时动点F从点C出发沿边向点D以的速度运动至点D停止．如图可得到矩形，设运动时间为x（单位：），此时矩形去掉矩形后剩余部分的面积为y（单位：），则y与x之间的函数关系用图象表示大致是下图中的（　　） A．B．C．D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数及其图象，一次函数及其图象的知识，根据题意写出其解析式是解题的关键．根据题意写出函数解析式，分情况讨论即可． 【详解】解：此题在读懂题意的基础上，分两种情况讨论： 当时，， 此时函数的图象为抛物线的一部分， 它的最高点为抛物线的顶点，最低点为； 当时，点E停留在B点处， 故，此时函数的图象为直线的一部分， 它的最上点可以为，它的最下点为． 结合四个选项的图象知选A项． 故选：A． 2.（2024·四川广元·中考真题）如图①，在中，，点P从点A出发沿A→C→B以1的速度匀速运动至点B，图②是点P运动时，的面积随时间x（s）变化的函数图象，则该三角形的斜边的长为（    ） A．5 B．7 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查根据函数图象获取信息，完全平方公式，勾股定理， 由图象可知，面积最大值为6，此时当点P运动到点C，得到，由图象可知， 根据勾股定理，结合完全平方公式即可求解． 【详解】解：由图象可知，面积最大值为6 由题意可得，当点P运动到点C时，的面积最大， ∴，即， 由图象可知，当时，，此时点P运动到点B， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：A 3.（2024·湖南长沙·模拟预测）RobotMaster机甲大师挑战赛鼓励学生自主研发制作多种机器人参与团队竞技，其某场对抗赛的轨道可简化成下图，其中和均为半圆，点，，，依次在同一直线上，且．现有比赛双方的机器人（看成点）分别从，两点同时出发，沿着轨道以大小相同的速度匀速移动进行射击比赛，其路线分别为和．若移动时间为，两个机器人之间距离为．则与关系的图象大致是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查动点函数图像，找到运动时的特殊点用排除法是关键． 设圆的半径为R，根据机器人移动时最开始的距离为，之后同时到达点A，C，两个机器人之间的距离y越来越小，当两个机器人分别沿和移动时，此时两个机器人之间的距离是直径，当机器人分别沿和移动时，此时两个机器人之间的距离越来越大． 【详解】解：由题意可得：机器人（看成点）分别从M，N两点同时出发， 设圆的半径为R， ∴两个机器人最初的距离是， ∵两个人机器人速度相同， ∴分别同时到达点A，C， ∴两个机器人之间的距离y越来越小，故排除A，C； 当两个机器人分别沿和移动时，此时两个机器人之间的距离是直径，保持不变， 当机器人分别沿和移动时，此时两个机器人之间的距离越来越大，故排除C， 故选：D． 4.（2024·湖南·二模）如图1，在矩形中，点M从点A出发，以固定的速度沿运动到点D停止，连接，设点M的运动距离为x，的长为y，y关于x的函数图象如图2所示，则当M为的中点时，的面积为（    ） A．5 B．8 C． D．12 【答案】D 【分析】本题考查了动点问题的函数图象，勾股定理，根据题意判断出转折点为点，由勾股定理求出 ，即可求解，熟练运用勾股定理是解题的关键． 【详解】解：点是从点出发的，为初始点，观察图象可知，时，，则，点从点沿向点移动的过程中，是不断增加的，而点从点沿向点移动的过程中，是不断減少的， 因此转折点为点，点运动到点时，即时，，此时，即． 在中，，由勾股定理，得， 解得：， ， 当为的中点时，， 的面积， 故选：D． 【题型9】 几何动态问题中的函数 【典题1】（2024·辽宁·模拟预测）如图，在等腰中，，点D为中点，点E在上，以点D为直角顶点，为直角边构造等腰，其中交于G．设=y，，则y关于x的函数解析式为 （无需写出自变量的取值范围）． 【答案】 【分析】延长至点H，使得，连接，证明，则得到，而，故． 【详解】解：延长至点H，使得，连接， 由题意得，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，函数解析式的建立等，熟练掌握知识点，正确构造“一线三等角”的相似是解题的关键． 【典题2】（2024·陕西西安·模拟预测）如图①，在四边形中，，，．动点P从点出发，沿的方向以每秒的速度匀速运动，在整个运动过程中，的面积S与运动时间的函数图象如图②所示． (1)__________； (2)求点P在段上运动时，的面积S与运动时间的函数表达式； (3)当的面积为时，求的值． 【答案】(1) (2) (3)或． 【分析】此题考查了一次函数的应用，矩形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质等知识，数形结合是解题的关键． （1）由图象利用路程等于速度乘时间即可得到答案； （2）利用矩形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质求出点F的坐标为，点E的坐标为，利用待定系数法即可求出答案； （3）先求出点G的坐标，利用待定系数法求出点P在段上运动时，的面积S与运动时间的函数表达式，再根据的面积为分别进行求解即可． 【详解】（1）解：从图②看，， 故答案为： （2）过点A作于点H， ∵， ∴是等腰三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴ ∴四边形是矩形， ∴， ， 由图象可知，当点P运动到点D时， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴当点P运动到点D时， ∴由图象可知点F的坐标为， 当点P运动到点A时，， 即点E的坐标为， 点P在段上运动时，设的面积S与运动时间的函数表达式为，则 ， 解得 ∴点P在段上运动时，设的面积S与运动时间的函数表达式为 （3）由（2）可知，，， ∴， ∴当点P运动到点C时，，即点G的坐标为， 点P在段上运动时，设的面积S与运动时间的函数表达式为，则 ， 解得 ∴点P在段上运动时，设的面积S与运动时间的函数表达式为 当的面积为时，即， 当点P在段上运动时，，解得， 点P在段上运动时，，解得， 即当的面积为时， 或． 【巩固练习】 1.（2023·辽宁大连·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点是x 轴正半轴上一点，点A在y 轴上．连接，点C是的中点．将沿折叠得到（点D 不与点B 重合），连接．若，则 y 关于x 的函数解析式为 【答案】 【分析】连接交于点M，延长交y轴于点N，由折叠得到，推出是的中位线，求出，证得垂直平分，利用面积法求出，再根据勾股定理求出，得到y 关于x 的函数解析式． 【详解】解：连接交于点M，延长交y轴于点N， ∵， ∴， 由折叠得， ∵C是的中点， ∴， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴垂直平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点D不与点B重合， ∴当点D与点B重合时，， 此时，，则， ∴， ∴当时，， 当时，， ∴． 故答案为． 【点睛】此题考查了三角形中位线定理，折叠的性质，勾股定理，求函数解析式，熟练掌握轴对称的性质得到是的中位线是解题的关键． 2.（2023·辽宁大连·一模）如图，在平面直角坐标系中，点C的坐标是，点A在x 轴上，过点A作x轴的垂线，与过点C垂直于y轴的直线交于点B，连接，作的垂直平分线交于点E，交于点D，连接．设点E的坐标为，当时，y关于x的函数解析式为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理，线段垂直平分线的性质，坐标与图形，解题的关键是掌握线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等．根据题意可得，根据勾股定理得到，即可进行解答． 【详解】解： 轴，轴， 四边形是矩形， ， ， 是的垂直平分线， ， 在中，， ，即， 时，y 关于x 的函数解析式为：， 故答案为：． 3.（2023·重庆沙坪坝·模拟预测）如图，在正方形中，，动点F，E分别从点A，B出发，F点沿着运动，到达C点停止运动，点E沿着运动，到达D点停止运动，连接，已知F点的速度且，令，，运动时间为t，请回答下列问题： (1)请直接写出，与t之间的函数关系式以及对应的t的取值范围； (2)请写出函数的一条性质； (3)在直角坐标系中画出，的图象，并根据图形直接写出当时，t的取值范围． 【答案】(1)， (2)当时，的值随t的增大而减小；时，的值随t的增大而增大； (3)图象见解析；或 【分析】（1）分类讨论：当F点在上运动时，此时，如图，连接，由正方形的性质结合题意证明，即得出，，，再由三角形的面积公式求解即可；当F点在上运动时，此时，如图，连接，由①同理证明，得出，，从而得出，再由三角形的面积公式求解即可； （2）根据一次函数的性质即可求解； （3）根据函数解析式画图，再结合图象即得出结果． 【详解】（1）解：当点F在边上时，此时，如图，连接， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ； 当点F在边上时，此时，如图，连接， 同理， ∴， ∴， ∴； ； 终上所述，，； （2）解：根据题意得：当时，的值随t的增大而减小；时，的值随t的增大而增大； （3）解：在平面直角坐标系内画出，的函数图象，如下： 联立得：，解得：， ∴与的交点坐标为， 观察图象得：当或时， 当时，t的取值范围或． 【点睛】本题考查正方形的性质，三角形全等的判定和性质，一次函数的应用，求两直线的交点坐标，利用图象法解不等式等知识．利用数形结合和分类讨论的思想是解题关键． 2 / 2 多反思总结多交流的学习才高效！ 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$