专题08 不等式（组）及其应用【七大题型】 -2025年中考数学一轮复习（全国通用版）

专题08 不等式（组）及其应用 1 不等式 1.1 不等式的概念 像、、这样用符号“”或“”表示大小关系的式子，叫做不等式；像这样用符号“”表示不等关系的式子也是不等式. 1.2 不等式的解和解集 使不等式的未知数的值叫做不等式的解。 一般地，一个含有未知数的不等式的所有的解，组成这个不等式的解集。 1.3 不等式的性质 ① 性质1：不等式两边同时加（或减）同一个数（或式子），不等式的方向不变； 用字母表示：如果，那么. ② 性质2：不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等式的方向不变； 用字母表示：如果，，那么（或）. ③ 性质3：不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等式的方向改变。 用字母表示：如果，，那么（或）. 2 一元一次不等式 2.1 概念 类似一元一次方程，含有一个未知数，未知数的次数是的不等式，叫做一元一次不等式. 2.2 解一元一次不等式 一般地，解一元一次不等式的步骤 1 去分母；② 移项；③合并同类项；④系数化为. 3 一元一次不等式组 3.1 概念 类似方程组，把两个含同一未知数的一元一次不等式合起来，组成一个一元一次不等式组. 3.2 解一元一次不等式组 解一元一次不等式组的一般步骤： （1）求出不等式组中各个不等式的解集； （2） 利用数轴求出这些不等式的解集的公共部分，得到这个不等式的解集. 3.3 确定不等式组的解的口诀 大大取大，小小取小，小大大小取中间，大大小小无处找. 下表中， 不等式 图示 解集 无解 4 不等式（组）与实际问题 列不等式(组)解应用题基本步骤 （1）审题，分析题中各个量之间的关系； （2）设未知数，根据题意及各个量的关系设未知数； （3）列不等式（组），根据题中各个量的关系列不等式（组）； （4）解不等式（组）； （5）答. 【题型1】 不等式的基本性质 【典题1】 （2023·山东济南·中考真题）实数，在数轴上对应点的位置如图所示，则下列结论正确的是（　　　）    A． B． C． D． 【巩固练习】 1.（2023·江苏常州·模拟预测）若，则下列不等式中不一定成立的是（    ） A． B． C． D． 2.（2024·吉林长春·中考真题）不等关系在生活中广泛存在．如图，、分别表示两位同学的身高，表示台阶的高度．图中两人的对话体现的数学原理是（　　） A．若，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 3.（2023·北京·中考真题）已知，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 4.（2024·安徽·中考真题）已知实数a，b满足，，则下列判断正确的是（    ） A． B． C． D． 【题型2】 一元一次不等式及其解法 【典题1】 （2024·四川眉山·中考真题）解不等式：，把它的解集表示在数轴上． 【巩固练习】 1.（2024·陕西·中考真题）不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 2.（2023·江苏盐城·中考真题）解不等式，并把它的解集在数轴上表示出来.    【题型3】 一元一次不等式(组)及其解法 【典题1】（2023·江苏·中考真题）解不等式组，把解集在数轴上表示出来，并写出整数解．    【巩固练习】 1.（2024·内蒙古呼伦贝尔·中考真题）对于实数，定义运算“※”为，例如，则关于的不等式有且只有一个正整数解时，的取值范围是 ． 2.（2024·贵州毕节·三模）（1）计算：； （2）解不等式组：并把解集表示在所给的数轴上． 【题型4】 一元一次不等式组的整数解 【典题1】 若关于的不等式组有且只有2个整数解，且关于的方程的解是负整数，则符合条件的所有整数的和是（   ） A．33 B．28 C．27 D．22 【典题2】 2022·重庆·一模）已知关于的一元一次不等式组的解集为，且关于的分式方程的解为正整数，则所有满足条件的所有整数的和为（   ） A．2 B．5 C．6 D．9 【巩固练习】 1.不等式组的整数解的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2.关于x的一元一次不等式组只有4个整数解，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3.若关于x的不等式组恰有3个整数解，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4.若存在一个整数m，使得关于x，y的方程组的解满足，且让不等式只有两个整数解，则满足条件的所有整数m的和是（　　） A． B． C． D． 5.（2024·四川德阳·二模）若整数a使关于x的不等式组有且只有4个整数解，且使关于y的分式方程的解满足，则所有满足条件的整数a的值之和为（    ） A．15 B．11 C．10 D．18 【题型5】 根据不等式（组）的解集确定字母系数的值或取值范围 【典题1】 已知不等式组 的解集是，则的值等于（   ） A． B． C． D． 【巩固练习】 1.若不等式组的解集为，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2.若关于x的不等式组的解集为，则的值是（     ） A． B． C． D． 3.（2024·四川泸州·一模）已知不等式组的解集是，则（    ） A．2024 B．1 C．0 D． 4.（2024·湖北·模拟预测）若关于x的一元一次不等式组的解集是，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5.若关于的分式方程的解为正数，且关于的一元一次不等式组的解集为，则满足条件的整数的乘积是（    ）． A．24 B．0 C． D． 【题型6】 一元一次不等式组的新定义问题 【典题1】（山东枣庄·自主招生）定义一种新运算（其中，为实数），例如：，若关于的不等式组恰好有2个整数解，则实数的取值范围 ． 【巩固练习】 1.对于一个三位正整数n，如果n满足：它的百位数字、十位数字之和与个位数字的差等于6，那么称这个数n为“文德数”，例如：，因为，所以936是“文德数”；，因为，所以602不是“文德数”．若将一个“文德数”m的个位数的两倍放到百位，原来的百位数变成十位数，原来的十位数变成个位数，得到一个新的三位数s（例如：若，则），若也是一个“文德数”，则满足条件的所有的和为 ． 【题型7】一元一次不等式(组)的实际应用 【典题1】 （2023·湖南湘西·中考真题）2023年“地摊经济”成为社会关注的热门话题，“地摊经济”有着启动资金少、管理成本低等优点，特别是在受到疫情冲击后的经济恢复期，“地摊经济”更是成为许多创业者的首选，甲经营了某种品牌小电器生意，采购2台A种品牌小电器和3台B种品牌小电器，共需要90元；采购3台A种品牌小电器和1台B种品牌小电器，共需要65元销售一台A种品牌小电器获利3元，销售一台B种品牌小电器获利4元． (1)求购买1台A种品牌小电器和1台B种品牌小电器各需要多少元？ (2)甲用不小于2750元，但不超过2850元的资金一次性购进A、B两种品牌小电器共150台，求购进A种品牌小电器数量的取值范围． (3)在（2）的条件下，所购进的A、B两种品牌小电器全部销售完后获得的总利润不少于565元，请说明甲合理的采购方案有哪些？并计算哪种采购方案获得的利润最大，最大利润是多少？ 【巩固练习】 1.（2023·广东深圳·中考真题）某商场在世博会上购置A，B两种玩具，其中B玩具的单价比A玩具的单价贵25元，且购置2个B玩具与1个A玩具共花费200元． (1)求A，B玩具的单价； (2)若该商场要求购置B玩具的数量是A玩具数量的2倍，且购置玩具的总额不高于20000元，则该商场最多可以购置多少个A玩具？ 2.（2024·山东滨州·模拟预测）（1）小明带10元钱想买一盒饼干和一袋牛奶，可是售货员阿姨说：本来10 元钱够一盒饼干的，但再买一袋牛奶就不够了，今天是儿童节给你的饼干打9折，两样东西拿好，再找你8角钱，饼干的标价可是整数哦，请你帮小明算出牛奶和饼干的标价 （2）我国已成为全球最大的电动汽车市场，电动汽车在保障能源安全，改善空气质量等方面较传统汽车都有明显优势．经过对某款电动汽车和某款燃油车的对比调查发现，电动汽车平均每公里的充电费比燃油车平均每公里的加油费少0.6元．若充电费和加油费均为200元时，电动汽车可行驶的总路程是燃油车的4倍，求这款电动汽车平均每公里的充电费． 3.（2023·江苏盐城·中考真题）某校举行“二十大知识学习竞赛”活动，老师让班长小华到商店购买笔记本作为奖品．甲、乙两家商店每本硬面笔记本比软面笔记本都贵3元（单价均为整数）． (1)若班长小华在甲商店购买，他发现用240元购买硬面笔记本与用195元购买软面笔记本的数量相同，求甲商店硬面笔记本的单价． (2)若班长小华在乙商店购买硬面笔记本，乙商店给出了硬面笔记本的优惠条件（软面笔记本单价不变）：一次购买的数量少于30本，按原价售出；不少于30本按软面笔记本的单价售出．班长小华打算购买本硬面笔记本（为正整数），他发现再多购买5本的费用恰好与按原价购买的费用相同，求乙商店硬面笔记本的原价． 4.（2022·山东泰安·二模）决定购买A、B两种树苗对某路段道路进行绿化改造，已知购买A种树苗8棵，B种树苗3棵，需要950元．若购买A种树苗5棵，B种树苗6棵，则需要800元． (1)求购买A、B两种树苗每棵各需要多少元？ (2)考虑到绿化效果和资金周转，购进A种树苗不能少于50棵，且用于购买这两种树苗的资金不能超过7650元．若购进这两种树苗共100棵，若种好一棵A种树苗可获工钱30元，种好一棵B种树苗可获工钱20元，种好这100棵树苗，怎样购买所付的种植工钱最少？最少工钱是多少元？ 5.（2024·黑龙江大兴安岭地·中考真题）为了增强学生的体质，某学校倡导学生在大课间开展踢毽子活动，需购买甲、乙两种品牌毽子．已知购买甲种品牌毽子10个和乙种品牌毽子5个共需200元；购买甲种品牌毽子15个和乙种品牌毽子10个共需325元． (1)购买一个甲种品牌毽子和一个乙种品牌毽子各需要多少元？ (2)若购买甲乙两种品牌毽子共花费1000元，甲种品牌毽子数量不低于乙种品牌毽子数量的5倍且不超过乙种品牌毽子数量的16倍，则有几种购买方案？ (3)若商家每售出一个甲种品牌毽子利润是5元，每售出一个乙种品牌毽子利润是4元，在（2）的条件下，学校如何购买毽子商家获得利润最大？最大利润是多少元？ 2 / 2 多反思总结多交流的学习才高效！ 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题08 不等式（组）及其应用 1 不等式 1.1 不等式的概念 像、、这样用符号“”或“”表示大小关系的式子，叫做不等式；像这样用符号“”表示不等关系的式子也是不等式. 1.2 不等式的解和解集 使不等式的未知数的值叫做不等式的解。 一般地，一个含有未知数的不等式的所有的解，组成这个不等式的解集。 1.3 不等式的性质 ① 性质1：不等式两边同时加（或减）同一个数（或式子），不等式的方向不变； 用字母表示：如果，那么. ② 性质2：不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等式的方向不变； 用字母表示：如果，，那么（或）. ③ 性质3：不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等式的方向改变。 用字母表示：如果，，那么（或）. 2 一元一次不等式 2.1 概念 类似一元一次方程，含有一个未知数，未知数的次数是的不等式，叫做一元一次不等式. 2.2 解一元一次不等式 一般地，解一元一次不等式的步骤 1 去分母；② 移项；③合并同类项；④系数化为. 3 一元一次不等式组 3.1 概念 类似方程组，把两个含同一未知数的一元一次不等式合起来，组成一个一元一次不等式组. 3.2 解一元一次不等式组 解一元一次不等式组的一般步骤： （1）求出不等式组中各个不等式的解集； （2） 利用数轴求出这些不等式的解集的公共部分，得到这个不等式的解集. 3.3 确定不等式组的解的口诀 大大取大，小小取小，小大大小取中间，大大小小无处找. 下表中， 不等式 图示 解集 无解 4 不等式（组）与实际问题 列不等式(组)解应用题基本步骤 （1）审题，分析题中各个量之间的关系； （2）设未知数，根据题意及各个量的关系设未知数； （3）列不等式（组），根据题中各个量的关系列不等式（组）； （4）解不等式（组）； （5）答. 【题型1】 不等式的基本性质 【典题1】 （2023·山东济南·中考真题）实数，在数轴上对应点的位置如图所示，则下列结论正确的是（　　　）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意可得，然后根据数的乘法和加法法则以及不等式的性质进行判断即可. 【详解】解：由题意可得：，所以， ∴， 观察四个选项可知：只有选项D的结论是正确的； 故选：D. 【点睛】本题考查了实数与数轴以及不等式的性质，正确理解题意、得出是解题的关键. 【巩固练习】 1.（2023·江苏常州·模拟预测）若，则下列不等式中不一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了不等式的性质，应用不等式的性质应注意的问题：在不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数时，一定要改变不等号的方向．熟练掌握不等式的性质是解题的关键． 根据不等式的性质逐项求解即可． 【详解】解：∵， A、∴，选项正确，不符合题意；     B、若，则，选项错误，符合题意．     C、∴，选项正确，不符合题意；     D、∴，选项正确，不符合题意；     故选：B． 2.（2024·吉林长春·中考真题）不等关系在生活中广泛存在．如图，、分别表示两位同学的身高，表示台阶的高度．图中两人的对话体现的数学原理是（　　） A．若，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】A 【分析】本题主要考查不等式的性质，熟记不等式性质是解决问题的关键．根据不等式的性质即可解答． 【详解】解：由作图可知：，由右图可知：，即A选项符合题意． 故选：A． 3.（2023·北京·中考真题）已知，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由可得，则，根据不等式的性质求解即可． 【详解】解：得，则， ∴， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查了不等式的性质，注意：当不等式两边同时乘以一个负数，则不等式的符号需要改变． 4.（2024·安徽·中考真题）已知实数a，b满足，，则下列判断正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】题目主要考查不等式的性质和解一元一次不等式组，根据等量代换及不等式的性质依次判断即可得出结果，熟练掌握不等式的性质是解题关键 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴，选项B错误，不符合题意； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，选项A错误，不符合题意； ∵，， ∴，， ∴，选项C正确，符合题意； ∵，， ∴，， ∴，选项D错误，不符合题意； 故选：C 【题型2】 一元一次不等式及其解法 【典题1】 （2024·四川眉山·中考真题）解不等式：，把它的解集表示在数轴上． 【答案】，见解析 【分析】本题考查求不等式的解集，并在数轴上表示解集，去分母，去括号，移项，合并，系数化1，求出不等式的解集，然后在数轴上表示出解集即可. 【详解】解：， ， ， ， ， ， 其解集在数轴上表示如下： 【巩固练习】 1.（2024·陕西·中考真题）不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查解一元一次不等式．通过去括号，移项，合并同类项，未知数系数化为1，即可求解． 【详解】解：， 去括号得：， 移项合并得：， 解得：， 故选：D． 2.（2023·江苏盐城·中考真题）解不等式，并把它的解集在数轴上表示出来.    【答案】，数轴见详解 【分析】根据解一元一次不等式的步骤解答即可． 【详解】 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1：． 在数轴上可表示为： ． 【点睛】本题考查了解一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集的应用，能求出不等式的解集是解此题的关键，难度适中． 【题型3】 一元一次不等式(组)及其解法 【典题1】（2023·江苏·中考真题）解不等式组，把解集在数轴上表示出来，并写出整数解．    【答案】，整数解为：0，1，2 【分析】先分别求出两个不等式的解集，再写出不等式组的解集，进而即可得到答案． 【详解】解：， 由①得，， 由②得，， 故不等式组的解集为：， 在解集在数轴上表示出来为：    它的整数解为0，1，2． 【点睛】本题考查解一元一次不等式组，并把解集表示在数轴上，解题的关键是准确求出不等式的解集，注意不等式两边同除以一个负数不等号方向要发生改变． 【巩固练习】 1.（2024·内蒙古呼伦贝尔·中考真题）对于实数，定义运算“※”为，例如，则关于的不等式有且只有一个正整数解时，的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次不等式的整数解，解一元一次不等式组，根据新定义和正整数解列出关于的不等式组是解题的关键．根据新定义列出不等式，解关于的不等式，再由不等式的解集有且只有一个正整数解得出关于的不等式组求解可得． 【详解】解：根据题意可知， 解得： 有且只有一个正整数解 解不等式①，得： 解不等式②，得： 故答案为：． 2.（2024·贵州毕节·三模）（1）计算：； （2）解不等式组：并把解集表示在所给的数轴上． 【答案】（1）8；（2） 【分析】本题主要考查了实数混合运算，解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．需要注意的是：如果是表示大于或小于号的点要用空心圆圈，如果是表示大于等于或小于等于号的点要用实心圆点． （1）根据零指数幂和负整数指数幂运算法则，特殊角的三角形函数值，二次根式性质，进行计算即可； （2）先求出不等式的解集，再求出不等式组的解集，最后将解集表示在数轴上即可． 【详解】解：（1） ． （2）， 解不等式①，得， 解不等式②，得， 所以原不等式组的解集是：． 解集在数轴上表示： 【题型4】 一元一次不等式组的整数解 【典题1】 若关于的不等式组有且只有2个整数解，且关于的方程的解是负整数，则符合条件的所有整数的和是（   ） A．33 B．28 C．27 D．22 【答案】D 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，解一元一次方程．首先解不等式组，根据不等式组有且只有2个整数解得出关于a的不等式组，求出a的取值范围，再解方程，根据方程的解是负整数求出所有的a可能的值，进而得到符合条件的所有整数，求和即可得到答案． 【详解】解：解不等式得：， 解不等式得：， ∴， ∵关于的不等式组有且只有2个整数解， ∴， ∴， 解方程得：， ∵关于的方程的解是负整数， ∴或或或或或， ∴或或或或或， ∴符合条件的所有整数为和， ∵， ∴符合条件的所有整数的和是， 故选：D． 【典题2】 2022·重庆·一模）已知关于的一元一次不等式组的解集为，且关于的分式方程的解为正整数，则所有满足条件的所有整数的和为（   ） A．2 B．5 C．6 D．9 【答案】C 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，分式方程的解，利用不等式组的解为，确定的取值范围，解分式方程，当解为正整数时求得值，将符合条件的值相加即可得出结论． 【详解】解：不等式组的解集为， ． ． 关于的分式方程的解为． 是原分式方程的增根， ． ． 关于的分式方程的解为正整数， 为正整数． ，4，7． ， ，4． 所有满足条件的所有整数的和为：． 故选：C． 【巩固练习】 1.不等式组的整数解的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查解不等式组．根据题意解出不等式组即可找到整数解． 【详解】解：∵， ∴，即， 解得：， ∴不等式组的整数解有：， 故选：B． 2.关于x的一元一次不等式组只有4个整数解，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查解一元一次不等式组、一元一次不等式组的解集，熟练掌握解一元一次不等式组的方法是解题的关键．先求出不等式组的解集为，再根据这个不等式组只有4个整数解，确定，再进行求解即可． 【详解】解：， 由①得，， 由②得，， ∴不等式组的解集为， 又∵x的一元一次不等式组只有4个整数解， ∴整数解为：，，，； ∴， ∴， 故选：C． 3.若关于x的不等式组恰有3个整数解，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，根据不等式组解集的情况求参数的取值范围，正确求解不等式的解集是关键；先解不等式组，求得其解集，再根据解集恰有3个整数解，得关于a的不等式，从而求得a的取值范围． 【详解】解：解第一个不等式得：； 解第二个不等式得：； 由题意知，不等式组有解，则； 由于不等式组恰有3个整数角，则， 解得：； 故选：C． 4.若存在一个整数m，使得关于x，y的方程组的解满足，且让不等式只有两个整数解，则满足条件的所有整数m的和是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组、解不等式组，求不等式组的整数解等知识点．根据方程组的解的情况，以及不等式组的解集情况，求出的取值范围，再进行求解即可． 【详解】解：， ，得：， 解得， ，得：， 解得， ∵， ∴， 解得， 解不等式，得：， 解不等式，得：， ∵不等式组只有两个整数解， ∴， 解得， ∴， ∴符合条件的整数m的值的和为， 故选：B． 5.（2024·四川德阳·二模）若整数a使关于x的不等式组有且只有4个整数解，且使关于y的分式方程的解满足，则所有满足条件的整数a的值之和为（    ） A．15 B．11 C．10 D．18 【答案】B 【分析】本题主要考查了根据不等式组的解集情况求参数，根据分式方程的解的情况求参数，先解不等式组的两个不等式，再根据不等式组只有4个整数解得到，则，再解分式方程得到，根据，且，求出且，结合，可确定整数a的值，最后求和即可． 【详解】解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， 即根据题意有：不等式的解集为：， ∵该不等式组有且只有4个整数解， ∴不等式的整数解为：，0，1，2， ∴， 解得． 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， ∵，且， ∴，， ∴且， 又∵， 综上所述，， ∴符合题意的整数a有5和6， 所有满足条件的整数a的值之和为， 故选：B． 【题型5】 根据不等式（组）的解集确定字母系数的值或取值范围 【典题1】 已知不等式组 的解集是，则的值等于（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了解一元一次不等式组及一元一次不等式组的解，代数式求值，先解不等式组得到，再根据不等式组的解集为得，，据此即可求出的值，再把的值代入代数式计算即可求解，根据不等式组的解集求出的值是解题的关键． 【详解】解：解不等式得 ，， 解不等式得，， ∴不等式组的解集为， 又∵不等式组的解集为， ∴ ，， 解得，， ∴， 故选：． 【巩固练习】 1.若不等式组的解集为，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了解一元一次不等式组，关键是熟练掌握不等式解集的取法：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．先分别解出两个不等式，再根据不等式组的解集为确定a的取值范围即可． 【详解】解：， 解①得 解②得 ∵不等式组的解集为， ∴， ∴． 故选B． 2.若关于x的不等式组的解集为，则的值是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 分别求出每一个不等式的解集，根据不等式组的解集得到a、b的值，代入计算即可． 【详解】解：， 解①得：， 解②得：， ∵不等式组的解集为， ∴， 解得：， ∴． 故选：C． 3.（2024·四川泸州·一模）已知不等式组的解集是，则（    ） A．2024 B．1 C．0 D． 【答案】B 【分析】本题考查了根据一元一次不等式组的解集求参数，准确熟练地进行计算是解题的关键． 按照解一元一次不等式组的步骤进行计算，可得，再结合已知可得，，然后进行计算可求出，的值，最后代入式子中进行计算即可解答． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴原不等式组的解集为：， ∵不等式组的解集是， ∴，， ∴，， ∴． 故选：B． 4.（2024·湖北·模拟预测）若关于x的一元一次不等式组的解集是，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，求出第一个不等式的解集，根据口诀：“同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解”即可确定的范围． 【详解】解：解不等式得， 解不等式得， ∵解集是， ∴， 解得， 故选D． 5.若关于的分式方程的解为正数，且关于的一元一次不等式组的解集为，则满足条件的整数的乘积是（    ）． A．24 B．0 C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了分式方程的解，解分式方程，解一元一次不等式组，不等式的整数解．解分式方程求得分式方程的解，依据已知条件列出不等式得到的取值范围；解不等式组求得的取值范围，得到关于的不等式组，解不等式组并取的整数解后再相加，即可得出结论． 【详解】解：， 去分母得： ， 移项，合并同类项得： ， ． 分式方程有可能产生增根3， ， ． 关于的分式方程的解为正数， ， ． 关于的一元一次不等式组的解集为， ， ， 综上，的取值范围为且， 为整数， ，，，． 所有满足条件的整数的乘积是， 故选：A． 【题型6】 一元一次不等式组的新定义问题 【典题1】（山东枣庄·自主招生）定义一种新运算（其中，为实数），例如：，若关于的不等式组恰好有2个整数解，则实数的取值范围 ． 【答案】 【分析】本题考查由不等式组的整数解求参数，涉及新定义运算、不等式组的解法等知识，先解不等式组，再由整数解的情况，确定不等式组的解集，最后结合不等式组的整数解情况求出参数范围即可得到答案，熟练掌握不等式组的解法是解决问题的关键． 【详解】解：由定义可知，关于的不等式组中， ，即，解得； ，即，则分子分母同时乘以得，则，解得； 关于的不等式组恰好有2个整数解， ， ∴ 故答案为：． 【巩固练习】 1.对于一个三位正整数n，如果n满足：它的百位数字、十位数字之和与个位数字的差等于6，那么称这个数n为“文德数”，例如：，因为，所以936是“文德数”；，因为，所以602不是“文德数”．若将一个“文德数”m的个位数的两倍放到百位，原来的百位数变成十位数，原来的十位数变成个位数，得到一个新的三位数s（例如：若，则），若也是一个“文德数”，则满足条件的所有的和为 ． 【答案】996 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用、三元一次方程组的应用等知识点，掌握理解“文德数”的定义是解题关键．设的百位数字为，十位数字为，个位数字为，从而可得的百位数字为，十位数字为，个位数字为，再根据“文德数”的定义列出等式，将都用表示出来，然后根据求出的取值范围，最后根据为正整数进行分析即可得． 【详解】解：设的百位数字为，十位数字为，个位数字为， 则的百位数字为，十位数字为，个位数字为， 和都是“文德数”， ， 解得，， ， ， 解得， 又为正整数， 所有符合条件的取值为， 当时，，则， 当时，，则， 综上，满足条件的所有的和为：． 故答案为：． 【题型7】一元一次不等式(组)的实际应用 【典题1】 （2023·湖南湘西·中考真题）2023年“地摊经济”成为社会关注的热门话题，“地摊经济”有着启动资金少、管理成本低等优点，特别是在受到疫情冲击后的经济恢复期，“地摊经济”更是成为许多创业者的首选，甲经营了某种品牌小电器生意，采购2台A种品牌小电器和3台B种品牌小电器，共需要90元；采购3台A种品牌小电器和1台B种品牌小电器，共需要65元销售一台A种品牌小电器获利3元，销售一台B种品牌小电器获利4元． (1)求购买1台A种品牌小电器和1台B种品牌小电器各需要多少元？ (2)甲用不小于2750元，但不超过2850元的资金一次性购进A、B两种品牌小电器共150台，求购进A种品牌小电器数量的取值范围． (3)在（2）的条件下，所购进的A、B两种品牌小电器全部销售完后获得的总利润不少于565元，请说明甲合理的采购方案有哪些？并计算哪种采购方案获得的利润最大，最大利润是多少？ 【答案】(1)、型品牌小电器每台进价分别为15元、20元 (2) (3)型30台，型120台，最大利润是570元． 【分析】（1）列方程组即可求出两种风扇的进价， （2）列一元一次不等式组求出取值范围即可， （3）再求出利润和自变量之间的函数关系式，根据函数的增减性确定当自变量为何值时，利润最大，由关系式求出最大利润． 【详解】（1）设、型品牌小电器每台的进价分别为元、元，根据题意得： ，解得：， 答：、型品牌小电器每台进价分别为15元、20元． （2）设购进型品牌小电器台 由题意得：， 解得， 答：购进A种品牌小电器数量的取值范围． （3）设获利为元，由题意得：， ∵所购进的A、B两种品牌小电器全部销售完后获得的总利润不少于565元 ∴ 解得： ∴ 随的增大而减小， 当台时获利最大，最大元， 答：型30台，型120台，最大利润是570元． 【点睛】考查二元一次方程组的应用、一元一次不等式组解法和应用以及一次函数的图象和性质等知识，搞清这些知识之间的相互联系是解决问题的前提和必要条件． 【巩固练习】 1.（2023·广东深圳·中考真题）某商场在世博会上购置A，B两种玩具，其中B玩具的单价比A玩具的单价贵25元，且购置2个B玩具与1个A玩具共花费200元． (1)求A，B玩具的单价； (2)若该商场要求购置B玩具的数量是A玩具数量的2倍，且购置玩具的总额不高于20000元，则该商场最多可以购置多少个A玩具？ 【答案】(1)A、B玩具的单价分别为50元、75元； (2)最多购置100个A玩具． 【分析】（1）设A玩具的单价为x元每个，则B玩具的单价为元每个；根据“购置2个B玩具与1个A玩具共花费200元”列出方程即可求解； （2）设A玩具购置y个，则B玩具购置个，根据“购置玩具的总额不高于20000元”列出不等式即可得出答案． 【详解】（1）解：设A玩具的单价为x元，则B玩具的单价为元； 由题意得：； 解得：， 则B玩具单价为（元）； 答：A、B玩具的单价分别为50元、75元； （2）设A玩具购置y个，则B玩具购置个， 由题意可得：， 解得：， ∴最多购置100个A玩具． 【点睛】本题考查一元一次方程和一元一次不等式的应用，属于中考常规考题，解题的关键在于读懂题目，找准题目中的等量关系或不等关系． 2.（2024·山东滨州·模拟预测）（1）小明带10元钱想买一盒饼干和一袋牛奶，可是售货员阿姨说：本来10 元钱够一盒饼干的，但再买一袋牛奶就不够了，今天是儿童节给你的饼干打9折，两样东西拿好，再找你8角钱，饼干的标价可是整数哦，请你帮小明算出牛奶和饼干的标价 （2）我国已成为全球最大的电动汽车市场，电动汽车在保障能源安全，改善空气质量等方面较传统汽车都有明显优势．经过对某款电动汽车和某款燃油车的对比调查发现，电动汽车平均每公里的充电费比燃油车平均每公里的加油费少0.6元．若充电费和加油费均为200元时，电动汽车可行驶的总路程是燃油车的4倍，求这款电动汽车平均每公里的充电费． 【答案】（1）饼干的标价为9元，牛奶的标价为1.1元；（2）0.2元 【分析】本题考查分式方程的应用，一元一次不等式组的应用： （1）设饼干的标价为x元，则牛奶的标价为元，根据题意，列出不等式组，即可求解； （2）设这款电动汽车平均每公里的充电费为x元．根据题意，列出方程，即可求解． 【详解】解：（1）设饼干的标价为x元，则牛奶的标价为元，根据题意得： ， 解得：， ∵x为整数， ∴x取9， 此时 答：饼干的标价为9元，牛奶的标价为1.1元； （2）解：设这款电动汽车平均每公里的充电费为x元．根据题意得： ， 解得：， 经检验，是原方程的根，且符合题意． 答：这款电动汽车平均每公里的充电费为0.2元． 3.（2023·江苏盐城·中考真题）某校举行“二十大知识学习竞赛”活动，老师让班长小华到商店购买笔记本作为奖品．甲、乙两家商店每本硬面笔记本比软面笔记本都贵3元（单价均为整数）． (1)若班长小华在甲商店购买，他发现用240元购买硬面笔记本与用195元购买软面笔记本的数量相同，求甲商店硬面笔记本的单价． (2)若班长小华在乙商店购买硬面笔记本，乙商店给出了硬面笔记本的优惠条件（软面笔记本单价不变）：一次购买的数量少于30本，按原价售出；不少于30本按软面笔记本的单价售出．班长小华打算购买本硬面笔记本（为正整数），他发现再多购买5本的费用恰好与按原价购买的费用相同，求乙商店硬面笔记本的原价． 【答案】(1)甲商店硬面笔记本的单价为16元 (2)乙商店硬面笔记本的原价18元 【分析】（1）根据“硬面笔记本数量=软面笔记本数量”列出分式方程，求解检验即可； （2）设乙商店硬面笔记本的原价为a元，则软面笔记本的单价为元，由再多购买5本的费用恰好与按原价购买的费用相同可得，再根据且m，均为正整数，即可求解． 【详解】（1）解：设硬面笔记本的单价为x元，则软面笔记本的单价为元，根据题意得 ， 解得， 经检验，是原方程的根，且符合题意， 故甲商店硬面笔记本的单价为16元； （2）设乙商店硬面笔记本的原价为a元，则软面笔记本的单价为元， 由题意可得， 解得， 根据题意得， 解得， 为正整数， ，，，，，分别代入， 可得，，，，， 由单价均为整数可得， 故乙商店硬面笔记本的原价18元． 【点睛】本题考查了分式方程的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出相应方程． 4.（2022·山东泰安·二模）决定购买A、B两种树苗对某路段道路进行绿化改造，已知购买A种树苗8棵，B种树苗3棵，需要950元．若购买A种树苗5棵，B种树苗6棵，则需要800元． (1)求购买A、B两种树苗每棵各需要多少元？ (2)考虑到绿化效果和资金周转，购进A种树苗不能少于50棵，且用于购买这两种树苗的资金不能超过7650元．若购进这两种树苗共100棵，若种好一棵A种树苗可获工钱30元，种好一棵B种树苗可获工钱20元，种好这100棵树苗，怎样购买所付的种植工钱最少？最少工钱是多少元？ 【答案】(1)A100元，B50元 (2)购进A种树苗50棵，B种树苗50棵所付工钱最少，最少工钱为2500元 【分析】（1）设购买A种树苗每棵需x元，购买B种树苗每棵需y元，根据“购买A种树苗8棵，B种树苗3棵，需要950元；若购买A种树苗5棵，B种树苗6棵，则需要800元”列二元一次方程组求解可得； （2）设购进A种树苗m棵，则购进B种树苗（100−m）棵，根据“A种树苗不能少于48棵，且用于购买这两种树苗的资金不能超过7650元”列不等式组求解方案，再分别计算费用即可． 【详解】（1）设购买A种树苗每棵需x元，购买B种树苗每棵需y元， 根据题意，得：， 解得：． 答：购买A种树苗每棵需100元，购买B种树苗每棵需50元； （2）设购进A种树苗m棵，则购进B种树苗（100−m）棵， 根据题意，得：， 解得：50≤m≤53， 所以购买的方案有： 1、购进A种树苗50棵，B种树苗50棵，费用为50×30＋50×20＝2500元； 2、购进A种树苗51棵，B种树苗49棵，费用为51×30＋49×20＝2510元； 3、购进A种树苗52棵，B种树苗48棵，费用为52×30＋48×20＝2520元； 4、购进A种树苗53棵，B种树苗47棵，费用为53×30＋47×20＝2530元； 所以购进A种树苗50棵，B种树苗50棵所付工钱最少，最少工钱为2500元． 【点睛】本题主要考查一元一次不等式组、二元一次方程组的应用，解题的关键是仔细审题，找到题目蕴含的相等或不等关系得出方程组、不等式组． 5.（2024·黑龙江大兴安岭地·中考真题）为了增强学生的体质，某学校倡导学生在大课间开展踢毽子活动，需购买甲、乙两种品牌毽子．已知购买甲种品牌毽子10个和乙种品牌毽子5个共需200元；购买甲种品牌毽子15个和乙种品牌毽子10个共需325元． (1)购买一个甲种品牌毽子和一个乙种品牌毽子各需要多少元？ (2)若购买甲乙两种品牌毽子共花费1000元，甲种品牌毽子数量不低于乙种品牌毽子数量的5倍且不超过乙种品牌毽子数量的16倍，则有几种购买方案？ (3)若商家每售出一个甲种品牌毽子利润是5元，每售出一个乙种品牌毽子利润是4元，在（2）的条件下，学校如何购买毽子商家获得利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】(1)购买一个甲种品牌毽子需15元，购买一个乙种品牌毽子需10元 (2)共有3种购买方案 (3)学校购买甲种品牌毽子60个，购买乙种品牌毽子10个，商家获得利润最大，最大利润是340元 【分析】本题考查了二元一次方程组、一元一次不等式组以及一次函数的应用， （1）设购买一个甲种品牌毽子需a元，购买一个乙种品牌毽子需b元，根据题意列出二元一次方程组，问题得解； （2）设购买甲种品牌毽子x个，购买乙种品牌毽子个，根据题意列出一元一次不等式组，解不等式组即可求解； （3）设商家获得总利润为y元，即有一次函数，根据一次函数的性质即可求解． 【详解】（1）解：设购买一个甲种品牌毽子需a元，购买一个乙种品牌毽子需b元．由题意得：， 解得：， 答：购买一个甲种品牌毽子需15元，购买一个乙种品牌毽子需10元； （2）解：设购买甲种品牌毽子x个，购买乙种品牌毽子个． 由题意得：， 解得：， 和均为正整数， ，62，64， ，7，4， 共有3种购买方案． （3）设商家获得总利润为y元， ， ， ， 随x的增大而减小， 当时，， 答：学校购买甲种品牌毽子60个，购买乙种品牌毽子10个，商家获得利润最大，最大利润是340元． 2 / 2 多反思总结多交流的学习才高效！ 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$