专题07 一元二次方程及其应用【十大题型】 -2025年中考数学一轮复习（全国通用版）

专题07 一元二次方程及其应用 1 一元二次方程 1.1 概念 只含有一个未知数，且未知数的最高次数是的整式方程. 一般形式：，其中、、分别叫做二次项、一次项、常数项，、、分别称为二次项系数、一次项系数、常数项. 1.2一元二次方程的解 使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是这个一元二次的解，也称为根. 1.3 一元二次方程的解法 （1）直接开平方法 形如的方程，可直接开平方求解. （2）配方法 利用完全平方公式进行配方；当一元二次方程的二次项系数为，一次项系数为偶数时，使用配方法较容易. （3）公式法 一元二次方程的求根公式为. （4）因式分解法 把一元二次方程化为的形式，可用因式分解法.常见因式分解的方法是提取公因式、公式法、十字相乘法等. （5）换元法 2 一元二次方程根的判别式 一般地，式子叫做一元二次方程根的判别式，通常用希腊字母表示，即. （1）当时，原方程有两个不相等的实数根； （1）当时，原方程有两个相等的实数根； （1）当时，原方程没有实数根. 3 一元二次方程的根与系数的关系 一元二次方程有实数根，，则，. 4一元二次方程与实际问题 4.1列一元二次方程解应用题的解题步骤 ①审题；②设未知数；③列一元二次方程；④解一元二次方程；⑤检验根是否有意义；⑥作答. 4.2 常见应用题 ① 平均增长率问题 公式，表示基数，表示平均增长率（降低率），表示变化次数，表示次变化后的量。 ② 利润问题 单利润=售价-成本，总利润=单利润*件数，利润率=利润/成本. ③ 传播问题 ④ 握手、比赛问题 个人之间相互握手的次数是； 支球队相互进行主客场比赛，总场数为场. ⑤ 几何问题 【题型1】 一元二次方程的解 【典题1】 （2024·四川凉山·中考真题）若关于的一元二次方程的一个根是，则的值为（    ） A．2 B． C．2或 D． 【巩固练习】 1.（2024·广东中山·模拟预测）如果是方程的一个根，则的值为（   ） A．3 B．2 C． D． 2.（2024·河北唐山·模拟预测）若是方程的根，则的值为（　　） A．2021 B．2023 C．2025 D．2029 3.（2023·北京东城·模拟预测）如果是关于的一元二次方程的一个根，那么关于的一元二次方程的解为（    ） A． B． C． D． 【题型2】一元二次方程的根的情况 【典题1】 （2022·辽宁抚顺·模拟预测）关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（　　） A． B．且 C． D．且 【巩固练习】 1.（2024·山东济南·中考真题）若关于的方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2.（2024·上海·模拟预测）关于x的方程的根的情况是（    ） A．有两个不相等实数根 B．有两个相等实数根 C．无实数根 D．由于不知道m的值，无法确定 3.若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（   ） A． B． C． D．且 4.（2024·安徽六安·模拟预测）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，设此方程的一个实数根为，令，则（    ） A． B． C． D． 5.（2024·安徽池州·模拟预测）对于一个函数上的一个点，若自变量m与对应函数值n互为相反数，我们称m为这个函数的“反自变量”．如果二次函数有两个相异的反自变量，，且，则b的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【题型3】一元二次方程的根与系数的关系 【典题1】（2024·四川遂宁·中考真题）已知关于的一元二次方程． (1)求证：无论取何值，方程都有两个不相等的实数根； (2)如果方程的两个实数根为，且，求的值． 【典题2】（2024·四川内江·中考真题）已知关于的一元二次方程（为常数）有两个不相等的实数根和． (1)填空：________，________； (2)求，； (3)已知，求的值． 【巩固练习】 1.（2023·广东清远·二模）对于一元二次方程，下列说法不正确的是（    ） A．根的判别式 B．两根之和为 C．两根之积为 D．方程的解， 2.（2024·贵州铜仁·一模）已知关于x的方程的两实数根为，，若，则的值为（    ） A．1 B． C．3 D．5 3.（2024·四川乐山·中考真题）若关于x的一元二次方程两根为、，且，则p的值为（     ） A． B． C． D．6 4.（2024·湖北武汉·模拟预测）已知a，b分别为方程的两个不相等的实数根，则值为（   ） A． B． C．2 D．4 5.（2024·湖北武汉·模拟预测）已知方程的两根分别为，，则的值为（    ） A．1 B． C．2024 D． 6.（2024·山东烟台·中考真题）若一元二次方程的两根为m，n，则的值为 ． 7.（2023·浙江宁波·模拟预测）已知实数，满足，．且，则 的值为 ． 8.（2023·河南商丘·模拟预测）已知关于的方程． (1)求证：无论为何值，方程总有两个不相等的实数根； (2)若该方程的两个实数根恰好为斜边为的直角三角形的两直角边长，求的值． 9.（2024·广东汕头·二模）如果关于的一元二次方程有两个实数根，，且，那么称这样的方程为“邻近根方程”，例如，一元二次方程的两个根是，，，则方程是“邻近根方程”． (1)判断方程是否是“邻近根方程”； (2)若关于的方程，是常数）是“邻近根方程”，求的最大值． 【题型4】解一元二次方程 【典题1】）按指定的方法解下列方程： (1)（直接开平方法）； (2)（配方法）； (3)（公式法）； (4)（因式分解法）． 【巩固练习】 1.（2024·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）解方程： 2.（2022·辽宁抚顺·模拟预测）（1）解方程： （2）解方程： 【题型5】 一元二次方程的应用之传播问题 【典题1】 （2023·安徽合肥·三模）如果不防范，病毒的传播速度往往很快，有一种病毒人感染后，经过两轮传播，共有人感染． (1)平均每人每轮感染多少人？ (2)第二轮传播后，人们加强防范，使病毒的传播力度减少到原来的，这样第三轮传播后感染的人数只是第二轮传播后感染人数的倍，求的值． 【巩固练习】 1.（2023·安徽六安·三模）春季是传染病多发季节．2023年3月，我国某地甲型流感病毒传播速度非常快，开始有1人被感染，经过两轮传播后，就有256人患了甲型流感．若每轮传染的速度相同，求每轮每人传染的人数． 2.（2023·广东阳江·一模）自年月以来，甲流便肆虐横行，成为当前主流流行疾病．某一小区有位住户不小心感染了甲流，由于甲流传播感染非常快，小区经过两轮传染后共有人患了甲流． (1)每轮感染中平均一个人传染几人？ (2)如果按照这样的传播速度，经过三轮传染后累计是否超过人患了甲流？ 【题型6】一元二次方程的应用之数字问题 【典题1】 （2023·山东枣庄·模拟预测）第十四届国际数学教育大会会徽的主题图案有着丰富的数学元素，展现了我国古代数学的文化魅力，其右下方的“卦”是用我国古代的计数符号写出的八进制数八进制是以作为进位基数的数字系统，有共个基本数字，八进制数换算成十进制数是，表示的举办年份． (1)请把八进制数换算成十进制数； (2)小华设计了一个进制数，换算成十进制数是，求的值（为正整数）． 【巩固练习】 1.（2024·山西朔州·三模）“五一国际劳动节”是世界上多个国家的全国性节日，中国中央人民政府政务院于年月作出决定，将5月1日确定为“劳动节”．如图是年5月的月历表，用一个方框在表中圈出六个数（如图所示），若圈出的六个数中，最小的数与最大的数的乘积为，求这个最小的数（请用方程知识解答）． 2.（2019·河北张家口·二模）发现：四个连续的整数的积加上是一个整数的平方． 验证：(1)的结果是哪个数的平方？ (2)设四个连续的整数分别为，试证明他们的积加上是一个整数的平方； 延伸：(3)有三个连续的整数，前两个整数的平方和等于第三个数的平方，试求出这三个整数分别是多少． 【题型7】一元二次方程的应用之销售问题 【典题1】（2023·辽宁丹东·中考真题）某品牌大米远近闻名，深受广大消费者喜爱，某超市每天购进一批成本价为每千克4元的该大米，以不低于成本价且不超过每千克7元的价格销售．当每千克售价为5元时，每天售出大米；当每千克售价为6元时，每天售出大米，通过分析销售数据发现：每天销售大米的数量与每千克售价（元）满足一次函数关系． (1)请直接写出y与x的函数关系式； (2)超市将该大米每千克售价定为多少元时，每天销售该大米的利润可达到1800元？ (3)当每千克售价定为多少元时，每天获利最大？最大利润为多少？ 【巩固练习】 1.（2024·辽宁·中考真题）某商场出售一种商品，经市场调查发现，日销售量（件）与每件售价（元）满足一次函数关系，部分数据如下表所示： 每件售价/元 日销售量/件 (1)求与之间的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）； (2)该商品日销售额能否达到元？如果能，求出每件售价：如果不能，请说明理由． 2.（2024·山东烟台·中考真题）每年5月的第三个星期日为全国助残日，今年的主题是“科技助残，共享美好生活”，康宁公司新研发了一批便携式轮椅计划在该月销售，根据市场调查，每辆轮椅盈利200元时，每天可售出60辆；单价每降低10元，每天可多售出4辆．公司决定在成本不变的情况下降价销售，但每辆轮椅的利润不低于180元，设每辆轮椅降价x元，每天的销售利润为y元． (1)求y与x的函数关系式；每辆轮椅降价多少元时，每天的销售利润最大？最大利润为多少元？ (2)全国助残日当天，公司共获得销售利润12160元，请问这天售出了多少辆轮椅？ 【题型8】 一元二次方程的应用之工程问题 【典题1】 （2022·重庆·一模）甲、乙两工程队共同承建某高速铁路桥梁工程，桥梁总长5000米．甲，乙分别从桥梁两端向中间施工．计划每天各施工5米，因地质情况不同，两支队伍每合格完成1米桥梁施工所需成本不一样．甲每合格完成1米桥梁施工成本为10万元，乙每合格完成1米桥梁施工成本为12万． (1)若工程结算时，乙总施工成本不低于甲总施工成本的，求甲最多施工多少米． (2)实际施工开始后，因地质情况及实际条件比预估更复杂，甲乙两队每日完成量和成本都发生变化，甲每合格完成1米隧道施工成本增加a万元时，则每天可多挖米．乙在施工成本不变的情况下，比计划每天少挖米．若最终每天实际总成本在少于150万的情况下比计划多万元．求a的值． 【巩固练习】 1.（2023·重庆开州·一模）某工程队采用A，B两种设备同时对长度为3600米的公路进行施工改造．原计划A型设备每小时铺设路面比B型设备的2倍多30米，则30小时恰好完成改造任务． (1)求A型设备每小时铺设的路面长度； (2)通过勘察，此工程的实际施工里程比最初的3600米多了750米．在实际施工中，B型设备在铺路效率不变的情况下，时间比原计划增加了小时，同时，A型设备的铺路速度比原计划每小时下降了3m米，而使用时间增加了m小时，求m的值． 2.（2022·重庆·一模）某公司主营铁路建设施工． (1)原计划今年一季度施工里程包括平地施工，隧道施工和桥梁施工共146千米，其中平地施工106千米，隧道施工至少是桥梁施工的9倍，那么，原计划今年一季度，桥梁施工最多是多少千米？ (2)到今年3月底，施工里程刚好按原计划完成，且桥梁施工的里程数正好是原计划的最大值，已知一季度平地施工，隧道施工和桥梁施工每千米的成本之比1：3：10，总成本为254亿元，预计二季度平地施工里程会减少7a千米，隧道施工里程会减少2a千米，桥梁施工里程会增加a千米，其中平地施工，隧道施工每千米的成本与一季度持平，桥梁施工每千米的成本将会增加a亿元，若二季度总成本与一季度相同，求a的值． 【题型9】一元二次方程的应用之图表信息问题 【典题1】 （2019·河北唐山·二模）在日历上，我们可以发现其中某些数满足一定的规律，如图是2019年1月份的日历．我们任意选择其中所示的菱形框部分，将每个菱形框部分中去掉中间位置的数之后，相对的两对数分别相乘，再相减，例如：，．不难发现，结果都是48． （1）请证明发现的规律； （2）若用一个如图所示菱形框，再框出5个数字，其中最小数与最大数的积为435，求出这5个数中的最大数；    （3）嘉琪说：她用一个如图所示菱形框，框出5个数字，其中最小数与最大数的积是95，直接判断他的说法是否正确（不必叙述理由）． 【巩固练习】 1.（2020·山西临汾·模拟预测）在日历上，我们可以发现其中某些数满足一定的规律，如图是2019年1月份的日历．我们任意选择其中所示的菱形框部分将每个菱形框部分中去掉中间位置的数之后，相对的两对数分别相乘，再相减，例如：，．不难发现，结果都是48． （1）请证明发现的规律； （2）若用一个如图所示菱形框，再框出5个数字，其中最小数与最大数的积为435，求出这5个数的最大数； （3）小明说：他用一个如图所示菱形框，框出5个数字，其中最小数与最大数的积是120．直接判断他的说法是否正确．（不必叙述理由） 【题型10】一元二次方程的应用之动态几何问题 【典题1】（2022·广东湛江·三模）在中，，，，现有动点从点出发，沿向点方向运动，动点从点出发，沿线段也向点方向运动，如果点的速度是，点的速度是，它们同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，就停止运动．设运动时间为秒．    (1)求为多少秒时，的面积为为 (2)当为多少时，以点为顶点的三角形与相似. 【巩固练习】 1.（2023·贵州黔东南·一模）如图，在中，， ， ，点由点出发以的速度向终点匀速移动，同时点由点出发以/的速度向终点匀速移动，当一个点到达终点时另一个点也随之停止移动． (1)当点移动时间为秒时，的面积为多少？ (2)点移动多少秒时，的面积为？ (3)在点、的运动过程中，的面积是否会达到？为什么？ 2.（2023·河北廊坊·三模）在矩形中，，，点从点出发沿边以的速度向点移动（点可以与点重合），同时，点从点出发沿以的速度向点移动（点可以与点重合），其中一点到达终点时，另一点随之停止运动．设运动时间为秒．    (1)如图1，几秒后，的长度等于? (2)如图1，几秒后，的面积等于四边形面积的? (3)若以为圆心，为半径作．如图2，若与四边形的边有三个公共点，则的取值范围为_____．（直接写出结果，不需说明理由） 2 / 2 多反思总结多交流的学习才高效！ 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题07 一元二次方程及其应用 1 一元二次方程 1.1 概念 只含有一个未知数，且未知数的最高次数是的整式方程. 一般形式：，其中、、分别叫做二次项、一次项、常数项，、、分别称为二次项系数、一次项系数、常数项. 1.2一元二次方程的解 使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是这个一元二次的解，也称为根. 1.3 一元二次方程的解法 （1）直接开平方法 形如的方程，可直接开平方求解. （2）配方法 利用完全平方公式进行配方；当一元二次方程的二次项系数为，一次项系数为偶数时，使用配方法较容易. （3）公式法 一元二次方程的求根公式为. （4）因式分解法 把一元二次方程化为的形式，可用因式分解法.常见因式分解的方法是提取公因式、公式法、十字相乘法等. （5）换元法 2 一元二次方程根的判别式 一般地，式子叫做一元二次方程根的判别式，通常用希腊字母表示，即. （1）当时，原方程有两个不相等的实数根； （1）当时，原方程有两个相等的实数根； （1）当时，原方程没有实数根. 3 一元二次方程的根与系数的关系 一元二次方程有实数根，，则，. 4一元二次方程与实际问题 4.1列一元二次方程解应用题的解题步骤 ①审题；②设未知数；③列一元二次方程；④解一元二次方程；⑤检验根是否有意义；⑥作答. 4.2 常见应用题 ① 平均增长率问题 公式，表示基数，表示平均增长率（降低率），表示变化次数，表示次变化后的量。 ② 利润问题 单利润=售价-成本，总利润=单利润*件数，利润率=利润/成本. ③ 传播问题 ④ 握手、比赛问题 个人之间相互握手的次数是； 支球队相互进行主客场比赛，总场数为场. ⑤ 几何问题 【题型1】 一元二次方程的解 【典题1】 （2024·四川凉山·中考真题）若关于的一元二次方程的一个根是，则的值为（    ） A．2 B． C．2或 D． 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程的定义和一元二次方程的解，二次项系数不为．由一元二次方程的定义，可知；一根是，代入可得，即可求答案． 【详解】解：是关于的一元二次方程， ，即 由一个根，代入， 可得，解之得； 由得； 故选A 【巩固练习】 1.（2024·广东中山·模拟预测）如果是方程的一个根，则的值为（   ） A．3 B．2 C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解，将代入方程，求解即可． 【详解】解：根据题意得：， ， 故选：C． 2.（2024·河北唐山·模拟预测）若是方程的根，则的值为（　　） A．2021 B．2023 C．2025 D．2029 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程的解（使方程左右两边相等的未知数的值），根据题意可得，从而可得，然后代入式子中进行计算即可．掌握方程解的定义是解题的关键．也考查了求代数式的值． 【详解】解：∵是方程的根， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 3.（2023·北京东城·模拟预测）如果是关于的一元二次方程的一个根，那么关于的一元二次方程的解为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了一元二次方程的解，因式分解法解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握以上知识点．将代入得到，然后结合得到或，然后求解即可． 【详解】解：∵是关于的方程的根， ∴，得， ， 或或或， 解得或． 故选：A． 【题型2】一元二次方程的根的情况 【典题1】 （2022·辽宁抚顺·模拟预测）关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（　　） A． B．且 C． D．且 【答案】D 【分析】此题考查了一元二次方程的根的判别式求参数，正确掌握一元二次方程的根与判别式的关系是解题的关键．根据一元二次方程有实数根得到且，即可求出答案． 【详解】解：∵一元二次方程有实数根， ∴，且， 解得且， 故选：D． 【巩固练习】 1.（2024·山东济南·中考真题）若关于的方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：①，方程有两个不相等的实数根，②，方程有两个相等的实数根，③，方程没有实数根，由题意得出，计算即可得出答案． 【详解】解：∵关于的方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得：， 故选：B． 2.（2024·上海·模拟预测）关于x的方程的根的情况是（    ） A．有两个不相等实数根 B．有两个相等实数根 C．无实数根 D．由于不知道m的值，无法确定 【答案】A 【分析】本题考查根的判别式，对于一元二次方程，当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．根据根的判别式即可求出答案． 【详解】解：， ∴方程有两个不相等实数根， 故选A． 3.若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（   ） A． B． C． D．且 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的定义和一元二次方程根的判别式．根据一元二次方程根的判别式，即可求解． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴，且， 解得：且， 即k的取值范围是且． 故选：D 4.（2024·安徽六安·模拟预测）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，设此方程的一个实数根为，令，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了根的判别式及一元二次方程的解，解答本题的关键是掌握一元二次方程判别式与方程根的关系．先根据得出的取值范围，根据是方程的一个实数根，可得，整体代入，可得的取值范围． 【详解】解：一元二次方程有两个不相等的实数根， ， ， 是方程的一个实数根， ， ， ， ， ， 故选：A． 5.（2024·安徽池州·模拟预测）对于一个函数上的一个点，若自变量m与对应函数值n互为相反数，我们称m为这个函数的“反自变量”．如果二次函数有两个相异的反自变量，，且，则b的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题是新定义题，考查了二次函数的性质，一元二次方程的根的情况．根据题意可得，再利用，为该方程的两个不等实根，且，即可求出答案． 【详解】由题意知，，为二次函数上的两个相异的反自变量， 则， ， 即， ，为该方程的两个不等实根，且， ， ， 故选：A． 【题型3】一元二次方程的根与系数的关系 【典题1】（2024·四川遂宁·中考真题）已知关于的一元二次方程． (1)求证：无论取何值，方程都有两个不相等的实数根； (2)如果方程的两个实数根为，且，求的值． 【答案】(1)证明见解析； (2)或． 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，解一元二次方程，掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键． （1）根据根的判别式证明恒成立即可； （2）由题意可得，，，进行变形后代入即可求解． 【详解】（1）证明：， ∵无论取何值，，恒成立， ∴无论取何值，方程都有两个不相等的实数根． （2）解：∵是方程的两个实数根， ∴，， ∴， 解得：或． 【典题2】（2024·四川内江·中考真题）已知关于的一元二次方程（为常数）有两个不相等的实数根和． (1)填空：________，________； (2)求，； (3)已知，求的值． 【答案】(1)，； (2)，； (3)． 【分析】本题考查了一元二次方程根和系数的关系，根的判别式，掌握一元二次方程根和系数的关系是解题的关键． （）利用根和系数的关系即可求解； （）变形为，再把根和系数的关系代入计算即可求解，由一元二次方程根的定义可得，即得，进而可得； （）把方程变形为，再把根和系数的关系代入得，可得或，再根据根的判别式进行判断即可求解． 【详解】（1）解：由根与系数的关系得，，， 故答案为：，； （2）解：∵，， ∴， ∵关于的一元二次方程（为常数）有两个不相等的实数根和， ∴， ∴， ∴； （3）解：由根与系数的关系得，，， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得或， ∴一元二次方程为或， 当时，，不合题意，舍去； 当时，，符合题意； ∴． 【巩固练习】 1.（2023·广东清远·二模）对于一元二次方程，下列说法不正确的是（    ） A．根的判别式 B．两根之和为 C．两根之积为 D．方程的解， 【答案】D 【分析】此题主要考查了一元二次方程．熟练掌握一元二次方程根的判别式，一元二次方程根与系数的关系，解一元二次方程，是解本题的关键． 由已知方程，写出根的判别式，根据根与系数的关系求出两根之和与两根之积，解一元二次方程，逐一判断，即得． 【详解】解：A、∵一元二次方程根的判别式为， ， ∴A正确； B、设一元二次方程的两根分别为， 则， ∴B正确； C、设一元二次方程的两根分别为， 则， ∴C正确； D、解方程， ， ∴， ∴， ∴D不正确． 故选：D． 2.（2024·贵州铜仁·一模）已知关于x的方程的两实数根为，，若，则的值为（    ） A．1 B． C．3 D．5 【答案】D 【分析】本题主要考查了根与系数的关系的知识．根据根与系数的关系，得出和，再代入等式求得即可． 【详解】解：关于的方程的两实数根为，， ，， ， ， ， ． 故选：D． 3.（2024·四川乐山·中考真题）若关于x的一元二次方程两根为、，且，则p的值为（     ） A． B． C． D．6 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系：若方程的两实数根为，则 ． 根据一元二次方程根与系数的关系得到，然后通分， ，从而得到关于p的方程，解方程即可． 【详解】解：， ， 而， ， ， 故选：A． 4.（2024·湖北武汉·模拟预测）已知a，b分别为方程的两个不相等的实数根，则值为（   ） A． B． C．2 D．4 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，分式的求值，完全平方公式，先由根与系数的关系得到，再根据分式的混合计算法则求出所求式子的化简结果，最后利用整体代入法求解即可． 【详解】解：∵a，b分别为方程的两个不相等的实数根， ∴， ∴ ， 故选：B． 5.（2024·湖北武汉·模拟预测）已知方程的两根分别为，，则的值为（    ） A．1 B． C．2024 D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程解的定义及根与系数的关系． 根据一元二次方程解的定义及根与系数的关系可得，，再代入通分计算即可求解． 【详解】解：∵方程的两根分别为，， ∴，， ∴， ∴ ． 故选B． 6.（2024·山东烟台·中考真题）若一元二次方程的两根为m，n，则的值为 ． 【答案】6 【分析】本题考查了根与系数的关系及利用完全平方公式求解，若是一元二次方程的两根时，，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题关键． 根据根与系数的关系得，，再把变形为，然后利用整体代入的方法计算，再利用完全平方公式求解即可． 【详解】解：∵一元二次方程的两个根为，， ∴， ∴ 故答案为：6． 7.（2023·浙江宁波·模拟预测）已知实数，满足，．且，则 的值为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了根与系数的关系．把变形为，则可以把、看作方程的两根，根据根与系数的关系得到，，然后利用，所以变形为，再利用整体代入的方法计算． 【详解】解：， ， ， ， 、可看作方程的两根， ，， ， ． 故答案为：． 8.（2023·河南商丘·模拟预测）已知关于的方程． (1)求证：无论为何值，方程总有两个不相等的实数根； (2)若该方程的两个实数根恰好为斜边为的直角三角形的两直角边长，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了根与系数的关系，根的判别式及解一元二次方程，熟练掌握根与系数的关系，根的判别式及解一元二次方程的方法进行求解是解决本题的关键． （1）根据题意可得，，，，即可算出，化简得，根据非负数的性质即可得出答案； （2）记直角三角形的两直角边为、，由、的长是该方程的两个实数根，可得，，再由是直角三角形，可得，即，再列出方程并解一元二次方程即可得出答案． 【详解】（1）证明：，，， ， ， ， 即， 无论为何值，方程总有两个不相等的实数根； （2）解：记直角三角形的两直角边为、 、的长是该方程的两个实数根， ，， 是直角三角形， ， ， 即， 整理，得， 解得，（舍去） 的值是 9.（2024·广东汕头·二模）如果关于的一元二次方程有两个实数根，，且，那么称这样的方程为“邻近根方程”，例如，一元二次方程的两个根是，，，则方程是“邻近根方程”． (1)判断方程是否是“邻近根方程”； (2)若关于的方程，是常数）是“邻近根方程”，求的最大值． 【答案】(1)是“邻近根方程” (2)当时，有最大值，最大值为48． 【分析】本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，．也考查了配方法的应用． （1）先利用求根公式得到，，再计算出，从而可判断方程是“邻近根方程”； （2）设一元二次方程两个实数根，，则利用根与系数的关系得，，再利用得到，所以，从而得到，所以，然后根据配方法结合二次函数的性质解决问题即可． 【详解】（1） ， ， ，， ， 方程是“邻近根方程”； （2）设一元二次方程两个实数根，， 根据根与系数的关系得，， ， ， ， 即， ， ， 当时，有最大值，最大值为48． 【题型4】解一元二次方程 【典题1】）按指定的方法解下列方程： (1)（直接开平方法）； (2)（配方法）； (3)（公式法）； (4)（因式分解法）． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了解一元二次方程，解此题的关键是能根据方程的特点选择适当的方法解一元二次方程． （1）移项，整理，利用直接开平方法求得方程的解即可； （2）利用配方法解方程求得答案； （3）利用公式法，首先求出判别式的值，继而求得答案； （4）利用因式分解法求得方程的解即可． 【详解】（1）解：， 整理得， ， 解得； （2）解：， ， ， ， ， ， 解得； （3）解：， ， ， 解得； （4）解：， ， ， 解得． 【巩固练习】 1.（2024·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）解方程： 【答案】 【分析】此题考查了配方法解一元二次方程，把原式变形配方为，开平方即可求出方程的解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 解得． 2.（2022·辽宁抚顺·模拟预测）（1）解方程： （2）解方程： 【答案】（1），；（2）， 【分析】本题主要考查解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解答本题的关键． （1）利用解一元二次方程---公式法进行计算即可解答； （2）利用解一元二次方程---配方法进行计算即可解答． 【详解】解：（1）， ， ∵ ， ∴， ∴，； （2）， ， ， ， ， ， 或， ∴， 【题型5】 一元二次方程的应用之传播问题 【典题1】 （2023·安徽合肥·三模）如果不防范，病毒的传播速度往往很快，有一种病毒人感染后，经过两轮传播，共有人感染． (1)平均每人每轮感染多少人？ (2)第二轮传播后，人们加强防范，使病毒的传播力度减少到原来的，这样第三轮传播后感染的人数只是第二轮传播后感染人数的倍，求的值． 【答案】(1)人 (2) 【分析】（1）设平均每人每轮感染人，开始是个人，则第一轮感染人，第二轮感染人，根据经过两轮传播，共有人感染，得出关于的方程，解方程即可得出结果； （2）由第二轮传播后，病毒的传播力度减少到原来的可知，第三轮的传染人数为，根据第三轮传播后感染的人数只是第二轮传播后感染人数的倍列出关于的方程求解即可． 【详解】（1）.解：设平均每人每轮感染人， 根据题意得，， 解得，（舍去）， 答：平均每人每轮感染人； （2）依题意得：， 解得， 答：的值为． 【点睛】本题考查了一元二次方程的实际应用，读懂题意找出等量关系列方程求解是解答本题的关键． 【巩固练习】 1.（2023·安徽六安·三模）春季是传染病多发季节．2023年3月，我国某地甲型流感病毒传播速度非常快，开始有1人被感染，经过两轮传播后，就有256人患了甲型流感．若每轮传染的速度相同，求每轮每人传染的人数． 【答案】每轮每人传染的人数为15人 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，根据题意列出方程并解答是解题关键．设每人每轮传染的人数为x人，则第一轮传染后有人患病，第二轮传染后有人患病，据此列出方程求解即可 【详解】解：设每人每轮传染的人数为x人， 由题意得，， 解得或（舍去）， ∴每轮每人传染的人数为15人． 2.（2023·广东阳江·一模）自年月以来，甲流便肆虐横行，成为当前主流流行疾病．某一小区有位住户不小心感染了甲流，由于甲流传播感染非常快，小区经过两轮传染后共有人患了甲流． (1)每轮感染中平均一个人传染几人？ (2)如果按照这样的传播速度，经过三轮传染后累计是否超过人患了甲流？ 【答案】(1)人 (2)不超过 【分析】（1）设每轮感染中平均一个人传染人，根据题意列方程解方程即可； （2）根据（1）可知每轮感染中平均一个人传染人，进而得到三轮后患病总人数为即可解答． 【详解】（1）解：设每轮感染中平均一个人传染人． 根据题意得， 解得，或， ∵， ∴， 答：每轮感染中平均一个人传染人； （2）解：根据题意可得： 第三轮的患病人数为， ∵， ∴经过三轮传染后累计患甲流的人数不会超过人， 答：经过三轮传染后累计患甲流的人数不超过人； 【点睛】本题考查了一元二次方程与实际问题，读懂题意明确数量关系是解题的关键． 【题型6】一元二次方程的应用之数字问题 【典题1】 （2023·山东枣庄·模拟预测）第十四届国际数学教育大会会徽的主题图案有着丰富的数学元素，展现了我国古代数学的文化魅力，其右下方的“卦”是用我国古代的计数符号写出的八进制数八进制是以作为进位基数的数字系统，有共个基本数字，八进制数换算成十进制数是，表示的举办年份． (1)请把八进制数换算成十进制数； (2)小华设计了一个进制数，换算成十进制数是，求的值（为正整数）． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查有理数的混合运算，解题关键是根据题意找到进制转化的方法． （1）根据题意，从个位数字起，将八进制的每一位数分别乘以，，，，再把所得的结果相加即可； （2）根据进制数和十进制数的计算方法得到关于的方程，解方程即可． 【详解】（1） ． 故答案为：； （2）依题意有：， 解得，负值舍去． 故的值是． 【巩固练习】 1.（2024·山西朔州·三模）“五一国际劳动节”是世界上多个国家的全国性节日，中国中央人民政府政务院于年月作出决定，将5月1日确定为“劳动节”．如图是年5月的月历表，用一个方框在表中圈出六个数（如图所示），若圈出的六个数中，最小的数与最大的数的乘积为，求这个最小的数（请用方程知识解答）． 【答案】8 【分析】本题考查了一元二次方程的应用．熟练掌握一元二次方程的应用是解题的关键． 设这个最小的数为x，则最大的数为．依题意得，计算求出满足要求的解即可． 【详解】解：设这个最小的数为x，则最大的数为． 依题意得． 解得，（不合题意，舍去）． ∴这个最小的数为8． 2.（2019·河北张家口·二模）发现：四个连续的整数的积加上是一个整数的平方． 验证：(1)的结果是哪个数的平方？ (2)设四个连续的整数分别为，试证明他们的积加上是一个整数的平方； 延伸：(3)有三个连续的整数，前两个整数的平方和等于第三个数的平方，试求出这三个整数分别是多少． 【答案】(1)3×4×5×6＋1的结果是19的平方；(2)见解析；(3)这三个连续的整数分别是3、4、5或-1、0、1 【分析】(1)按照有理数的乘法计算出结果，即可判断是19的平方； (2)设出四个连续整数，根据题意得到式子，对式子进行转化，利用完全平方公式得到一个整数的平方； (3)设中间的整数是x，则另外两个整数分别为x-1、x+1，根据“前两个整数的平方和等于第三个数的平方”，列出方程求解即可． 【详解】(1)3×4×5×6＋1=361=192， 即3×4×5×6＋1的结果是19的平方； (2)设这四个连续整数依次为：n-1，n，n+1，n+2，则 (n-1)n(n+1)(n+2)+1， =[(n-1)(n+2)][n(n+1)]+1 =(n2+n-2)(n2+n)+1 =(n2+n)2-2(n2+n)+1 =(n2+n-1)2． 故四个连续整数的积加上1是一个整数的平方； (3)设中间的整数是x，则第一个是x-1，第三个是x+1，根据题意得 (x-1)2+x2=(x+1)2 解之得x1=4，x2=0， 则x-1=3，x+1=5， 或x-1=-1，x+1=1，x=0， 答：这三个整数分别是3、4、5或-1、0、1． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，因式分解的应用；利用完全平方公式得到一个整数的平方是正确解答本题的关键． 【题型7】一元二次方程的应用之销售问题 【典题1】（2023·辽宁丹东·中考真题）某品牌大米远近闻名，深受广大消费者喜爱，某超市每天购进一批成本价为每千克4元的该大米，以不低于成本价且不超过每千克7元的价格销售．当每千克售价为5元时，每天售出大米；当每千克售价为6元时，每天售出大米，通过分析销售数据发现：每天销售大米的数量与每千克售价（元）满足一次函数关系． (1)请直接写出y与x的函数关系式； (2)超市将该大米每千克售价定为多少元时，每天销售该大米的利润可达到1800元？ (3)当每千克售价定为多少元时，每天获利最大？最大利润为多少？ 【答案】(1) (2)6元 (3)当每千克售价定为7元时，每天获利最大，最大利润为2550元 【分析】（1）根据题意可得，该函数经过点，y与x的函数关系式为，将代入，求出k和b的值，即可得出y与x的函数关系式； （2）根据总利润=每千克利润×销售量，列出方程求解即可； （3）设利润为w，根据总利润=每千克利润×销售量，列出w关于x的函数表达式，再根据二次函数的性质， 即可解答． 【详解】（1）解∶ 根据题意可得，该函数经过点， 设y与x的函数关系式为， 将代入得： ，解得：， ∴y与x的函数关系式为， （2）解；根据题意可得：， ∴， 整理得：， 解得：， ∵售价不低于成本价且不超过每千克7元， ∴每千克售价定为6元时，利润可达到1800元； （3）解：设利润为w， ， ∵，函数开口向下， ∴当时，w随x的增大而增大， ∵， ∴当时，w有最大值，此时， ∴当每千克售价定为7元时，每天获利最大，最大利润为2550元． 【点睛】本题主要考查了求一次函数解析式，一元二次方程的实际应用，二次函数的实际应用，解题的关键是熟练掌握用待定系数法求解函数解析式的方法和步骤，正确理解题意，根据题意找出等量关系，列出方程和函数关系式，熟练掌握二次函数的性质． 【巩固练习】 1.（2024·辽宁·中考真题）某商场出售一种商品，经市场调查发现，日销售量（件）与每件售价（元）满足一次函数关系，部分数据如下表所示： 每件售价/元 日销售量/件 (1)求与之间的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）； (2)该商品日销售额能否达到元？如果能，求出每件售价：如果不能，请说明理由． 【答案】(1)； (2)该商品日销售额不能达到元，理由见解析。 【分析】本题考查了一次函数的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）利用待定系数法求出与之间的函数表达式；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程． （1）根据表格中的数据，利用待定系数法即可求出与之间的函数表达式； （2）利用销售额每件售价销售量，即可得出关于的一元二次方程，利用根与系数的关系求解即可． 【详解】（1）解：设与之间的函数表达式为， 将，代入得 ， 解得， 与之间的函数表达式为； （2）解：该商品日销售额不能达到元，理由如下： 依题意得， 整理得， ∴， ∴该商品日销售额不能达到元． 2.（2024·山东烟台·中考真题）每年5月的第三个星期日为全国助残日，今年的主题是“科技助残，共享美好生活”，康宁公司新研发了一批便携式轮椅计划在该月销售，根据市场调查，每辆轮椅盈利200元时，每天可售出60辆；单价每降低10元，每天可多售出4辆．公司决定在成本不变的情况下降价销售，但每辆轮椅的利润不低于180元，设每辆轮椅降价x元，每天的销售利润为y元． (1)求y与x的函数关系式；每辆轮椅降价多少元时，每天的销售利润最大？最大利润为多少元？ (2)全国助残日当天，公司共获得销售利润12160元，请问这天售出了多少辆轮椅？ 【答案】(1)，每辆轮椅降价20元时，每天的利润最大，为元 (2)这天售出了64辆轮椅 【分析】本题考查二次函数的实际应用，正确的列出函数关系式，是解题的关键： （1）根据总利润等于单件利润乘以销量，列出二次函数关系式，再根据二次函数的性质求最值即可； （2）令，得到关于的一元二次方程，进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意，得：； ∵每辆轮椅的利润不低于180元， ∴， ∴， ∵， ∴当时，随的增大而增大， ∴当时，每天的利润最大，为元； 答：每辆轮椅降价20元时，每天的利润最大，为元； （2）当时，， 解得：（不合题意，舍去）； ∴（辆）； 答：这天售出了64辆轮椅． 【题型8】 一元二次方程的应用之工程问题 【典题1】 （2022·重庆·一模）甲、乙两工程队共同承建某高速铁路桥梁工程，桥梁总长5000米．甲，乙分别从桥梁两端向中间施工．计划每天各施工5米，因地质情况不同，两支队伍每合格完成1米桥梁施工所需成本不一样．甲每合格完成1米桥梁施工成本为10万元，乙每合格完成1米桥梁施工成本为12万． (1)若工程结算时，乙总施工成本不低于甲总施工成本的，求甲最多施工多少米． (2)实际施工开始后，因地质情况及实际条件比预估更复杂，甲乙两队每日完成量和成本都发生变化，甲每合格完成1米隧道施工成本增加a万元时，则每天可多挖米．乙在施工成本不变的情况下，比计划每天少挖米．若最终每天实际总成本在少于150万的情况下比计划多万元．求a的值． 【答案】(1)甲最多施工2500米 (2)a的值为6 【分析】（1）设甲工程队施工x米，则乙工程队施工（5000-x）米，由工程结算时乙总施工成本不低于甲总施工成本的，即可得出关于x的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论； （2）根据总成本=每米施工成本×每天施工的长度结合甲每合格完成1米隧道施工成本增加a万元时，则每天可多挖米．乙在施工成本不变的情况下，比计划每天少挖米，即可得出关于a的一元二次方程，解之即可得出结论． 【详解】（1）解：设甲工程队施工x米，则乙工程队施工（5000-x）米， 依题意，得：12（5000-x）≥×10x， 解得：x≤2500， 答：甲最多施工2500米． （2）依题意，得： ， 整理，得：， 解得：，， 当时，总成本为：（万元）， ∵， ∴不符合题意舍去； 当时，总成本为：（万元）， ∵， ∴符合题意； 答：a的值为6． 【点睛】本题主要考查了一元一次不等式的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程． 【巩固练习】 1.（2023·重庆开州·一模）某工程队采用A，B两种设备同时对长度为3600米的公路进行施工改造．原计划A型设备每小时铺设路面比B型设备的2倍多30米，则30小时恰好完成改造任务． (1)求A型设备每小时铺设的路面长度； (2)通过勘察，此工程的实际施工里程比最初的3600米多了750米．在实际施工中，B型设备在铺路效率不变的情况下，时间比原计划增加了小时，同时，A型设备的铺路速度比原计划每小时下降了3m米，而使用时间增加了m小时，求m的值． 【答案】(1)型设备每小时铺设的路面长度为90米 (2)的值为10 【分析】（1）设型设备每小时铺设路面米，则型设备每小时铺设路面米，根据题意列出方程求解即可； （2）根据“型设备铺设的路面长度型设备铺设的路面长度”列出方程，求解即可． 【详解】（1）解：设型设备每小时铺设路面米，则型设备每小时铺设路面米， 根据题意得， ， 解得：， 则， 答：型设备每小时铺设的路面长度为90米； （2）根据题意得， ， 整理得，， 解得：，（舍去）， ∴的值为10． 【点睛】本题主要考查一元一次方程、一元二次方程的应用，解题关键是读懂题意，找准等量关系并列出方程． 2.（2022·重庆·一模）某公司主营铁路建设施工． (1)原计划今年一季度施工里程包括平地施工，隧道施工和桥梁施工共146千米，其中平地施工106千米，隧道施工至少是桥梁施工的9倍，那么，原计划今年一季度，桥梁施工最多是多少千米？ (2)到今年3月底，施工里程刚好按原计划完成，且桥梁施工的里程数正好是原计划的最大值，已知一季度平地施工，隧道施工和桥梁施工每千米的成本之比1：3：10，总成本为254亿元，预计二季度平地施工里程会减少7a千米，隧道施工里程会减少2a千米，桥梁施工里程会增加a千米，其中平地施工，隧道施工每千米的成本与一季度持平，桥梁施工每千米的成本将会增加a亿元，若二季度总成本与一季度相同，求a的值． 【答案】(1)4； (2)2． 【分析】（1）设桥梁施工最多是m千米，则隧道施工为千米，利用隧道施工至少是桥梁施工的9倍，列不等式求解即可； （2）求出一季度平地施工，隧道施工和桥梁施工的里程数，设一季度平地施工，隧道施工和桥梁施工每千米的成本分别为x，3x，10x，利用总成本为254亿元，列方程求出x，找出二季度平地施工，隧道施工和桥梁施工的里程数及每千米的成本，利用二季度总成本与一季度相同，列方程求解即可． 【详解】（1）解：设桥梁施工最多是m千米，则隧道施工为千米， ∵隧道施工至少是桥梁施工的9倍， ∴， 解之得：， ∴桥梁施工最多是4千米． （2）解：由（1）可知一季度平地施工，隧道施工和桥梁施工分别为106千米，36千米和4千米， 设一季度平地施工，隧道施工和桥梁施工每千米的成本分别为x，3x，10x， ∵总成本为254亿元， ∴， 解之得：， 由题意可知：二季度平地施工里程为千米，隧道施工里程为千米，桥梁施工里程为千米；平地施工，隧道施工和桥梁施工每千米的成本分别为：1，3， ∵二季度总成本与一季度相同， ∴， 即， 解之得：（舍去）或， 故． 【点睛】本题考查一元一次不等式的应用，一元一次方程的应用和一元二次方程的应用．（1）的关键是根据各数量之间的关系，列出不等式求解即可；（2）的关键找出等量关系列出一元一次方程和一元二次方程求解． 【题型9】一元二次方程的应用之图表信息问题 【典题1】 （2019·河北唐山·二模）在日历上，我们可以发现其中某些数满足一定的规律，如图是2019年1月份的日历．我们任意选择其中所示的菱形框部分，将每个菱形框部分中去掉中间位置的数之后，相对的两对数分别相乘，再相减，例如：，．不难发现，结果都是48． （1）请证明发现的规律； （2）若用一个如图所示菱形框，再框出5个数字，其中最小数与最大数的积为435，求出这5个数中的最大数；    （3）嘉琪说：她用一个如图所示菱形框，框出5个数字，其中最小数与最大数的积是95，直接判断他的说法是否正确（不必叙述理由）． 【答案】（1）证明见解析；（2）这5个数中最大数为29．（3）嘉琪的说法不正确． 【分析】（1）、根据题目数据，设中间的数为a，则另外4个数可以用a的式子表示出来，即可列出算式进行证明； （2）、设最大数为x，列出方程组解答即可； （3）参考（2）问题思路，解出最大数，然后根据最大数所在位置即可判定． 【详解】（1）证明：设中间的数为a，则另外4个数分别为（a﹣7），（a﹣1），（a+1），（a+7）， ∴（a﹣1）（a+1）﹣（a﹣7）（a+7）， =a2﹣1﹣（a2﹣49）， =48． （2）解：设这5个数中最大数为x，则最小数为（x﹣14）， 依题意，得：x（x﹣14）＝435， 解得：x1＝29，x2＝﹣15（不合题意，舍去）． 答：设这5个数中最大数为29． （3）嘉琪的说法不正确． 设这5个数中最大数为y，则最小数为（y﹣14），依题意，得：y（y﹣14）=95，解得：y1＝19，y2＝﹣5（不合题意，舍去）．∵19在日历的最后一列，∴不符合题意，∴嘉琪的说法不正确． 【点睛】本题考查方程的应用问题，解题关键是准确的设未知数，然后列出方程解答． 【巩固练习】 1.（2020·山西临汾·模拟预测）在日历上，我们可以发现其中某些数满足一定的规律，如图是2019年1月份的日历．我们任意选择其中所示的菱形框部分将每个菱形框部分中去掉中间位置的数之后，相对的两对数分别相乘，再相减，例如：，．不难发现，结果都是48． （1）请证明发现的规律； （2）若用一个如图所示菱形框，再框出5个数字，其中最小数与最大数的积为435，求出这5个数的最大数； （3）小明说：他用一个如图所示菱形框，框出5个数字，其中最小数与最大数的积是120．直接判断他的说法是否正确．（不必叙述理由） 【答案】（1）见解析；（2）29；（3）他的说法不正确 【分析】（1）设中间的数为a，则另外4个数分别为（a−7），（a−1），（a＋1），（a＋7），利用（a−1）（a＋1）−（a−7）（a＋7）＝48可证出结论； （2）设这5个数中最大数为x，则最小数为（x−14），根据两数之积为435，可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； （3）设这5个数中最大数为y，则最小数为（y−14），根据两数之积为120，可得出关于y的一元二次方程，解之取其正值，由该值在第一列可得出小明的说法不正确． 【详解】（1）证明：设中间的数为， ∴ ． （2）解：设这五个数中最大数为， 由题意，得， 解方程，得，（不合题意，舍去）． 答：这5个数中最大的数是29． （3）他的说法不正确． 解：设这5个数中最大数为y，则最小数为（y−14）， 依题意，得：y（y−14）＝120， 解得：y1＝20，y2＝−6（不合题意，舍去）． ∵20在第一列， ∴不符合题意， ∴小明的说法不正确． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用及菱形的性质，以及规律型：数字的变化类，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 【题型10】一元二次方程的应用之动态几何问题 【典题1】（2022·广东湛江·三模）在中，，，，现有动点从点出发，沿向点方向运动，动点从点出发，沿线段也向点方向运动，如果点的速度是，点的速度是，它们同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，就停止运动．设运动时间为秒．    (1)求为多少秒时，的面积为为 (2)当为多少时，以点为顶点的三角形与相似. 【答案】(1)当为或秒时，的面积为为. (2)或时，以点、、为顶点的三角形与相似 【分析】（1）根据路程速度时间可知，，，再根据三角形的面积公式列方程即可解答； （2）根据根据路程速度时间可知，，，再根据相似三角形的性质列方程即可解答． 【详解】（1）解：设运动时间为t秒， ∵点P的速度是，点Q的速度是， ∴，， ∵， ∴， ∴的面积为， 即， 解得： ，, ∴当为或秒时，的面积为为； （2）解：设运动时间为秒， ∵点的速度是，点的速度是， ∴，， ∵， ∴， ①当时， ∴， 即， 解得； ②当时， ∴， 即， 解得． ∴或时，以点、、为顶点的三角形与相似． 【点睛】本题考查了三角形的面积公式，路程速度时间，相似三角形的性质，一元二次方程与几何图形，一元一次方程与几何图形，掌握相似三角形的性质是解题的关键． 【巩固练习】 1.（2023·贵州黔东南·一模）如图，在中，， ， ，点由点出发以的速度向终点匀速移动，同时点由点出发以/的速度向终点匀速移动，当一个点到达终点时另一个点也随之停止移动． (1)当点移动时间为秒时，的面积为多少？ (2)点移动多少秒时，的面积为？ (3)在点、的运动过程中，的面积是否会达到？为什么？ 【答案】(1) (2)秒或秒 (3)不会达到，理由见解析 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，三角形的面积公式，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． 由三角形的面积公式可求解； 设点移动经过秒，的面积为，列出方程可求解； 列出方程，由，可得的面积不会达到． 【详解】（1）解：当点移动时间为秒时，，， ∴， ∴的面积； （2）解：设点移动经过秒，的面积为，由题意可得∶ ， ∴或， 答∶点移动经过秒或秒，的面积为； （3）解：的面积不会达到．理由如下∶ 设点移动经过秒，的面积为，由题意可得∶ ， ， ∴， ∴方程无解， ∴的面积不会达到． 2.（2023·河北廊坊·三模）在矩形中，，，点从点出发沿边以的速度向点移动（点可以与点重合），同时，点从点出发沿以的速度向点移动（点可以与点重合），其中一点到达终点时，另一点随之停止运动．设运动时间为秒．    (1)如图1，几秒后，的长度等于? (2)如图1，几秒后，的面积等于四边形面积的? (3)若以为圆心，为半径作．如图2，若与四边形的边有三个公共点，则的取值范围为_____．（直接写出结果，不需说明理由） 【答案】(1)后的长度等于 (2)1秒或2秒后，的面积等于四边形面积的 (3) 【分析】（1）根据题意可得，则，由勾股定理可得，进行计算即可得到答案； （2）表示出，计算出，由的面积等于四边形面积的，可得，进行计算即可得到答案； （3）当时，如图，与四边形有两个公共点，如图，当经过点时，与四边形有两个公共点，则，由勾股定理可得，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：根据题意可得：， ， ， ， 解得：或（舍去）， 后的长度等于； （2）解：根据题意可得：， ，， ，， ， 的面积等于四边形面积的， ， 解得：或， 1秒或2秒后，的面积等于四边形面积的； （3）解：当时，如图，与四边形有两个公共点，   ， 如图，当经过点时，与四边形有两个公共点，则， ， 根据题意可得：， ，， ，， ，， ， 解得：（舍）或， 当时，与四边形的边有三个公共点， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质、勾股定理、三角形的面积公式、一元二次方程的应用、圆的基本性质等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点． 2 / 2 多反思总结多交流的学习才高效！ 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$