专题06 分式方程及其应用【七大题型】 -2025年中考数学一轮复习（全国通用版）

专题06 分式方程及其应用 1 分式方程的概念 含分式，且分母含有未知数的方程； 2 解分式方程的步骤 ① 能化简的先化简； ② 去分母，把方程两边同乘各分母的最简公分母（这里会产生增根）； ③ 解整式方程，得到整式方程的解； ④ 检验，把所得整式的解代入最简公分母中，如果最简公分母为，则元方程无解，这个解是原方程的增根；如果最简公分母不为，则是原方程的解. 3 列方程(组)解应用题基本步骤 （1）审题，分析题中各个量之间的关系； （2）设未知数，根据题意及各个量的关系设未知数； （3）列方程（组），根据题中各个量的关系列方程（组）； （4）解方程（组）； （5）答. 【题型1】 分式方程的解 【典题1】 已知分式方程的解为，则a的值为（    ） A．2 B．3 C．7 D．13 【巩固练习】 1.下列分式方程中，解为的是（　　） A． B． C． D． 2.已知关于的分式方程的解为，则的值为（   ） A．4 B．3 C．0 D． 3.已知关于x的分式方程的解为，则常数a的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【题型2】由分式方程无解或存在增根求参数 【典题1】 若关于x的分式方程有增根，则m的值是（    ） A． B． C．1 D．2 【巩固练习】 1.关于x的方程有增根，则k的值为（   ） A．2 B． C． D．6 2.已知关于的分式方程无解，则的值为 （　 　） A． B． C． D． 3.若分式方程 有增根，则k的值是（     ） A． B．3 C．6 D．9 4.若关于的方程无解,则的值为（    ） A． B． C．或 D．或 【题型3】由分式方程的解的取值范围求参数 【典题1】已知关于的分式方程 的解是非负数，则的取值范围是（　　） A． B． C．或 D．或 【巩固练习】 1.若关于x的分式方程的解为正数，则m的取值范围是（    ） A． B．且 C． D．且 2.若关于x的方程 的解为正数，则m的取值范围是（    ） A． B． C． 且 D． 且 3.已知关于x的分式方程的解为负数，则k的取值范围是（　　） A．且 B．且 C．且 D．且 【题型4】 解分式方程 【典题1】 （2023·上海崇明·三模）解分式方程： 【巩固练习】 1.（2023·海南海口·模拟预测）若分式与的值相等，则x的值为（   ） A．7 B． C．5 D． 2.（2024·江苏南通·中考真题）（1）计算：； （2）解方程． 3.（2023·湖北·中考真题）（1）计算：； （2）解分式方程：． 【题型5】分式方程的应用之行程问题 【典题1】（2024·湖南岳阳·模拟预测）2022年12月26日上午，常益长高铁正式开通运营， 自此，三湘大地形成高铁大环线，串起湖南“金色”大通道．若从常德市到长沙市乘坐高速列车的路程为150千米，乘坐普通列车的路程为168千米，高速列车的平均速度是普通列车的平均速度的2.5倍，且高速列车的乘车时间比普通列车的乘车时间缩短了1.8小时．问高速列车的平均速度是多少千米/时？ 【巩固练习】 1.（2024·云南红河·模拟预测）为了促进粤港澳大湾区城市群的互联互通，国家将在珠江口东西两岸的深圳市和中山市修建一条集“桥、岛、隧、水下互通”于一体的工程，计划于2024年建成通车，届时深圳与中山将进入“半小时生活圈”．现在从深圳到中山的全程约为126km，建成通车后全程约为28km，平均速度将提高原来的，时间将少用90min，则原来的平均速度是（    ） A．63km/h B．60km/h C．72km/h D．80km/h 2.（2023·江苏苏州·模拟预测）甲，乙二人分别从相距千米的两地以相同的速度同时相向而行，相遇后，二人继续前进，乙的速度不变，甲每小时比原来多走千米，结果甲到达地后乙还需分钟才能到达地，求乙每小时走多少千米？（    ） A． B．或 C． D． 3.（2024·贵州毕节·一模）某校组织学生去郭永怀纪念馆进行研学活动．纪念馆距学校120千米，部分学生乘坐大型客车先行，出发12分钟后，另一部分学生乘坐小型客车前往，结果同时到达．已知小型客车的速度是大型客车速度的1.2倍，求大型客车的速度． 4.（2024·贵州黔东南·一模）贵州有“桥梁博物馆”的美誉．世界第一高桥—北盘江大桥位于中国云南省和贵州省的交界处，桥面到江面的垂直距离为米，全长约为1341米．在大桥建成未营运之前，甲、乙两名工程师从桥的一端走到另一端，甲工程师步行先走12分钟后，乙工程师骑自行车出发，结果他们同时到达．已知骑自行车的速度是步行速度的3倍，求甲工程师步行的速度和乙工程师骑自行车的速度． 【题型6】分式方程的应用之工程问题 【典题1】 （2024·湖南·模拟预测）某国产新能源汽车在国内国际市场销售屡创佳绩，体现了中国制造的“大国风范”．为进一步提升市场占有率，决定增加产量600万台．自2020年初开始实施后，实际每年产量是原计划的1.2倍，照此进度预计可提前2年完成任务． (1)原计划每年产量为多少万台？ (2)为更快实现目标，该品牌决定加快生产速度，要求从2023年初后续不超过5年完成，那么实际平均每年产量至少还要增加多少万台？ 【巩固练习】 1.（2024·广东深圳·模拟预测）畅达绿脊蓝湾美城，趣享山海户外天堂．从2022年，深圳市政府工作报告明确提出，打造“鹏城万里”多层次户外休闲步道体系建设，全面进入建设“超1000公里远足径郊野径体系”的实施阶段．需要铺设一段全长为1000公里的绿道，为了尽量减少施工对城市交通所造成的影响，实际施工时每天的工效比原计划增加，结果提前30天完成这一任务．设原计划每天铺设x公里绿道，则根据题意，下列方程中正确的是（　　） A． B． C． D． 2.（2024·重庆·中考真题）某工程队承接了老旧小区改造工程中1000平方米的外墙粉刷任务，选派甲、乙两人分别用、两种外墙漆各完成总粉刷任务的一半．据测算需要、两种外墙漆各300千克，购买外墙漆总费用为15000元，已知种外墙漆每千克的价格比种外墙漆每千克的价格多2元． (1)求、两种外墙漆每千克的价格各是多少元？ (2)已知乙每小时粉刷外墙面积是甲每小时粉刷外墙面积的，乙完成粉刷任务所需时间比甲完成粉刷任务所需时间多5小时．问甲每小时粉刷外墙的面积是多少平方米？ 3.（2024·内蒙古赤峰·中考真题）一段高速公路需要修复，现有甲、乙两个工程队参与施工，已知乙队平均每天修复公路比甲队平均每天修复公路多3千米，且甲队单独修复60千米公路所需要的时间与乙队单独修复90千米公路所需要的时间相等． (1)求甲、乙两队平均每天修复公路分别是多少千米； (2)为了保证交通安全，两队不能同时施工，要求甲队的工作时间不少于乙队工作时间的2倍，那么15天的工期，两队最多能修复公路多少千米？ 【题型7】 分式方程的应用之销售问题 【典题1】 （2024·四川眉山·中考真题）眉山是“三苏”故里，文化底蕴深厚．近年来眉山市旅游产业蓬勃发展，促进了文创产品的销售，某商店用元购进的款文创产品和用元购进的款文创产品数量相同．每件款文创产品进价比款文创产品进价多元． (1)求，两款文创产品每件的进价各是多少元？ (2)已知，文创产品每件售价为元，款文创产品每件售价为元，根据市场需求，商店计划再用不超过元的总费用购进这两款文创产品共件进行销售，问：怎样进货才能使销售完后获得的利润最大，最大利润是多少元？ 【巩固练习】 1.（2024·重庆·中考真题）为促进新质生产力的发展，某企业决定投入一笔资金对现有甲、乙两类共30条生产线的设备进行更新换代． (1)为鼓励企业进行生产线的设备更新，某市出台了相应的补贴政策．根据相关政策，更新1条甲类生产线的设备可获得3万元的补贴，更新1条乙类生产线的设备可获得2万元的补贴．这样更新完这30条生产线的设备，该企业可获得70万元的补贴．该企业甲、乙两类生产线各有多少条？ (2)经测算，购买更新1条甲类生产线的设备比购买更新1条乙类生产线的设备需多投入5万元，用200万元购买更新甲类生产线的设备数量和用180万元购买更新乙类生产线的设备数量相同，那么该企业在获得70万元的补贴后，还需投入多少资金更新生产线的设备？ 2.（2024·重庆南岸·模拟预测）某校为举办周年校庆活动，特定制了系列文创产品，其中花费了13000元购进纪念画册和骨瓷杯若干，已知骨瓷杯总费用比纪念画册总费用的3倍还多1000元． (1)求纪念画册和骨瓷杯的总费用各是多少元？ (2)若每本纪念画册的进价比每个骨瓷杯的进价多，而骨瓷杯数量比纪念画册数量多400个．求每本纪念画册和每个骨瓷杯的进价各是多少元？ 3.（2024·四川内江·中考真题）端午节吃粽子是中华民族的传统习俗．市场上猪肉粽的进价比豆沙粽的进价每盒多20元，某商家用5000元购进的猪肉粽盒数与3000元购进的豆沙粽盒数相同．在销售中，该商家发现猪肉粽每盒售价52元时，可售出180盒；每盒售价提高1元时，少售出10盒． (1)求这两种粽子的进价； (2)设猪肉粽每盒售价元，表示该商家销售猪肉粽的利润（单位：元），求关于的函数表达式并求出的最大值． 4.（2024·山东青岛·中考真题）为培养学生的创新意识，提高学生的动手能力，某校计划购买一批航空、航海模型．已知商场某品牌航空模型的单价比航海模型的单价多35元，用2000元购买航空模型的数量是用1800元购买航海模型数量的． (1)求航空和航海模型的单价； (2)学校采购时恰逢该商场“六一儿童节”促销：航空模型八折优惠．若购买航空、航海模型共120个，且航空模型数量不少于航海模型数量的，请问分别购买多少个航空和航海模型，学校花费最少？ 2 / 2 多反思总结多交流的学习才高效！ 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题06 分式方程及其应用 1 分式方程的概念 含分式，且分母含有未知数的方程； 2 解分式方程的步骤 ① 能化简的先化简； ② 去分母，把方程两边同乘各分母的最简公分母（这里会产生增根）； ③ 解整式方程，得到整式方程的解； ④ 检验，把所得整式的解代入最简公分母中，如果最简公分母为，则元方程无解，这个解是原方程的增根；如果最简公分母不为，则是原方程的解. 3 列方程(组)解应用题基本步骤 （1）审题，分析题中各个量之间的关系； （2）设未知数，根据题意及各个量的关系设未知数； （3）列方程（组），根据题中各个量的关系列方程（组）； （4）解方程（组）； （5）答. 【题型1】 分式方程的解 【典题1】 已知分式方程的解为，则a的值为（    ） A．2 B．3 C．7 D．13 【答案】C 【分析】本题考查了分式方程的解，将代入进行计算即可． 【详解】解：把代入得：， 解得：， 故选：C． 【巩固练习】 1.下列分式方程中，解为的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据方程解的意义，使方程左右两边相等的式子值叫方程的解，分别代入判断即可． 【详解】当时， A． 中，左边，右边，A不符合题意； B．中，，分母等于0，分式无意义，B不符合题意； C． 中，左边右边，C符合题意； D． 中，分母，D不符合题意． 故答案是：C 【点睛】本题考查了分式方程的解，解决本题的关键是正确理解分式方程解的意义，做题时要考虑分母是否为0的情况． 2.已知关于的分式方程的解为，则的值为（   ） A．4 B．3 C．0 D． 【答案】D 【分析】本题考查了分式方程的解，通过已知分式方程的解求未知数的知识．解题的关键是将x的值回代到原方程．将回代到方程中即可求出a值． 【详解】解：将代入方程， 得：， 解得， 故选：D． 3.已知关于x的分式方程的解为，则常数a的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】将代入方程即可求解． 【详解】解：将代入方程得： 即： 解得： 故选：C 【点睛】本题考查根据分式方程的解求参数．将方程的解代入原方程即可． 【题型2】由分式方程无解或存在增根求参数 【典题1】 若关于x的分式方程有增根，则m的值是（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】C 【分析】把分式方程的增根代入去分母后的整式方程即可． 【详解】解：， 去分母得：， 把增根代入可得： ， 解得：， 故选C． 【点睛】本题考查的是分式方程的增根问题，令分母为零可以得到增根，理解增根的产生原因是解本题的关键． 【巩固练习】 1.关于x的方程有增根，则k的值为（   ） A．2 B． C． D．6 【答案】A 【分析】本题考查了分式方程增根的应用，属于简单题，将分式方程化成整式方程再代入增根解题是关键． 根据方程有增根，先求出增根为，再将分式方程化成整式方程，将代入求值即可． 【详解】解：， 方程两边每一项同时乘得： 整理得： ∵方程有增根， ∴把代入方程得，． 故选A． 2.已知关于的分式方程无解，则的值为 （　 　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】去分母，把分式方程化为整式方程，把增根代入整式方程可得答案． 【详解】解： ， 方程的增根是 把代入得： 故选A． 【点睛】本题考查分式方程的增根问题，掌握把分式方程的增根代入去分母后的整式方程求未知系数的值是解题的关键． 3.若分式方程 有增根，则k的值是（     ） A． B．3 C．6 D．9 【答案】D 【分析】本题考查解分式方程，增根是分式方程化为整式方程后产生的使分式方程的分母为0的根．本题的增根是，把增根代入化为整式方程的方程即可求出的值． 【详解】解：方程两边都乘，得 ， 增根为 ． 故选：D． 4.若关于的方程无解,则的值为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查解分式方程的解,分式方程无解即最简公分母为0．分式方程去分母转化为整式方程,由分式方程无解确定出的值,代入整式方程计算即可求出的值． 【详解】解:∵无解, ∴去分母得:,解得, ∵当时,即,方程无解; ∵由分式方程无解,得,解得:, ∴把代入整式方程得:,解得:, ∴方程无解则的值为或． 故选:D． 【题型3】由分式方程的解的取值范围求参数 【典题1】已知关于的分式方程 的解是非负数，则的取值范围是（　　） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查了解分式方程，分式方程的解，解分式方程可得，即得，得到，又由得到，据此即可求解，正确求出分式方程的解是解题的关键． 【详解】解：分式方程去分母得，， 解得， ∵分式方程 的解是非负数， ∴， ∴， 又∵，即， ∴， ∴且， 故选：． 【巩固练习】 1.若关于x的分式方程的解为正数，则m的取值范围是（    ） A． B．且 C． D．且 【答案】B 【分析】此题考查了利用分式方程的解求参数的取值范围，正确求解分式方程并掌握分式的分母不等于零的性质是解题的关键．先求出分式方程的解，根据关于的分式方程的解为正数，分式有意义的条件，可得且，进而求解即可． 【详解】解： ， ， ， 关于的分式方程的解为正数， 且，即， 且， 且， 故选：． 2.若关于x的方程 的解为正数，则m的取值范围是（    ） A． B． C． 且 D． 且 【答案】D 【分析】本题主要考查解分式方程和一元一次不等式组，先解分式方程，根据分式方程的解为正数和分式方程无意义的情况即可求出 取值范围 【详解】解：， 去分母得，， 整理得，， 解得，， ∵分式方程的解为正数， ∴且， ∴且， 故选：D 3.已知关于x的分式方程的解为负数，则k的取值范围是（　　） A．且 B．且 C．且 D．且 【答案】D 【分析】此题考查了分式方程的解，以及解一元一次不等式，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 分式方程去分母转化为整式方程，表示出整式方程的解，由分式方程解为负数，确定出k的范围即可． 【详解】解：原方程 去分母得：， 整理得：， ∵有意义， ∴ ∴且， 解得且 当时，方程的解为正数； 当时，方程无解； ∴当，方程的解为负数， 解得：， 综上所述，此时k的范围为，且， 故选：D． 【题型4】 解分式方程 【典题1】 （2023·上海崇明·三模）解分式方程： 【答案】 【分析】本题考查了解分式方程，先化为整式方程，再解一元一次方程，然后对所求的方程的解进行检验即可得． 【详解】 去分母得， 解得 检验：将代入 ∴原方程的解为． 【巩固练习】 1.（2023·海南海口·模拟预测）若分式与的值相等，则x的值为（   ） A．7 B． C．5 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了分式方程的应用，根据题意得到方程，解出即可求解． 【详解】解：根据题意 则 ， 经检验，是分式方程的解， ∴分式与的值相等，则x的值为 故选：B． 2.（2024·江苏南通·中考真题）（1）计算：； （2）解方程． 【答案】（1）（2） 【分析】本题考查了单项式乘多项式，解分式方程，掌握运算法则是解题的关键． （1）根据单项式乘以多项式的运算法则进行计算即可得到答案； （2）根据解分式方程的步骤进行计算即可． 【详解】解：（1） ； （2） ， ， ∴ 检验，当时，， 所以，原分式方程的解为 3.（2023·湖北·中考真题）（1）计算：； （2）解分式方程：． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）根据多项式除以单项式及单项式乘以多项式可进行求解； （2）根据分式方程的解法可进行求解． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：两边乘以，得． 解得：． 检验，将代入． ∴是原分式方程的解． 【点睛】本题主要考查多项式除以单项式、单项式乘以多项式及分式方程的解法，熟练掌握各个运算是解题的关键． 【题型5】分式方程的应用之行程问题 【典题1】（2024·湖南岳阳·模拟预测）2022年12月26日上午，常益长高铁正式开通运营， 自此，三湘大地形成高铁大环线，串起湖南“金色”大通道．若从常德市到长沙市乘坐高速列车的路程为150千米，乘坐普通列车的路程为168千米，高速列车的平均速度是普通列车的平均速度的2.5倍，且高速列车的乘车时间比普通列车的乘车时间缩短了1.8小时．问高速列车的平均速度是多少千米/时？ 【答案】高速列车的平均速度是150千米/时 【分析】此题考查的是分式方程的应用，掌握用列表法分析等量关系并列方程是解决此题的关键. 设普通列车平均速度是每小时x千米，则高速列车的平均速度是每小时3x千米， 列表如下： 普通列车 高速列车 路程 168 150 速度 x 时间 然后再根据“高速列车的乘车时间比普通列车的乘车时间缩短了1.8小时”，列方程并解方程即可（注：分式方程要验根）. 【详解】解：设普通列车平均速度是每小时x千米，则高速列车的平均速度是每小时千米 由题意可知： 解得： 经检验：是原方程的解， ∴高速列车的平均速度是每小时千米. 答：高速列车的平均速度是每小时150千米. 【巩固练习】 1.（2024·云南红河·模拟预测）为了促进粤港澳大湾区城市群的互联互通，国家将在珠江口东西两岸的深圳市和中山市修建一条集“桥、岛、隧、水下互通”于一体的工程，计划于2024年建成通车，届时深圳与中山将进入“半小时生活圈”．现在从深圳到中山的全程约为126km，建成通车后全程约为28km，平均速度将提高原来的，时间将少用90min，则原来的平均速度是（    ） A．63km/h B．60km/h C．72km/h D．80km/h 【答案】C 【分析】本题考查了分式方程的应用，理解题意，正确列出分式方程是解题的关键；设原来的平均速度是，则现在的平均速度为，根据时间少用90min列出分式方程并求解即可． 【详解】解：设原来的平均速度是，则现在的平均速度为， 由题意得： 解得：， 经检验是原方程的解，且符合题意， 即原来的平均速度是， 故选：C． 2.（2023·江苏苏州·模拟预测）甲，乙二人分别从相距千米的两地以相同的速度同时相向而行，相遇后，二人继续前进，乙的速度不变，甲每小时比原来多走千米，结果甲到达地后乙还需分钟才能到达地，求乙每小时走多少千米？（    ） A． B．或 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查分式方程解实际应用题及解一元二次方程，设甲，乙相遇前甲每小时走x千米，相遇后甲每小时走千米，则乙每小时走x千米，根据甲乙相遇前的速度一样，可知甲乙相遇时，都是走了总路程的一半即10千米，甲到达地后乙还需分钟才能到达地，列出方程，求解即可，注意检验． 【详解】解：设甲，乙相遇前甲每小时走x千米，相遇后甲每小时走千米，则乙每小时走x千米，根据题意得：甲乙相遇前的速度一样，可知甲乙相遇时，都是走了总路程的一半即10千米， 则，即， 整理得：， 解得：或（舍去）， 当时，， 是原分式方程的解， 则乙每小时走4千米， 故选：C． 3.（2024·贵州毕节·一模）某校组织学生去郭永怀纪念馆进行研学活动．纪念馆距学校120千米，部分学生乘坐大型客车先行，出发12分钟后，另一部分学生乘坐小型客车前往，结果同时到达．已知小型客车的速度是大型客车速度的1.2倍，求大型客车的速度． 【答案】大型客车的速度为 【分析】此题考查了分式方程的应用，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键，此题的等量关系是快车与慢车所用时间差为12分钟，设大型客车的速度为，则小型客车的速度为，根据所用时间差为12分钟列方程解答． 【详解】解：设大型客车的速度为，则小型客车的速度为， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的根， 答：大型客车的速度为． 4.（2024·贵州黔东南·一模）贵州有“桥梁博物馆”的美誉．世界第一高桥—北盘江大桥位于中国云南省和贵州省的交界处，桥面到江面的垂直距离为米，全长约为1341米．在大桥建成未营运之前，甲、乙两名工程师从桥的一端走到另一端，甲工程师步行先走12分钟后，乙工程师骑自行车出发，结果他们同时到达．已知骑自行车的速度是步行速度的3倍，求甲工程师步行的速度和乙工程师骑自行车的速度． 【答案】甲工程师步行的速度为米/分；乙工程师骑自行车的速度为米/分 【分析】本题考查了分式方程的实际应用，设甲工程师步行的速度为每分钟米，则乙工程师骑自行车的速度为每分钟米，根据题意列出方程求解即可． 【详解】解：设甲工程师步行的速度为每分钟米，则乙工程师骑自行车的速度为每分钟米．根据题意， 得， 解得， 经检验是原分式方程的解， ． 答：甲工程师步行的速度为米/分；乙工程师骑自行车的速度为米/分． 【题型6】分式方程的应用之工程问题 【典题1】 （2024·湖南·模拟预测）某国产新能源汽车在国内国际市场销售屡创佳绩，体现了中国制造的“大国风范”．为进一步提升市场占有率，决定增加产量600万台．自2020年初开始实施后，实际每年产量是原计划的1.2倍，照此进度预计可提前2年完成任务． (1)原计划每年产量为多少万台？ (2)为更快实现目标，该品牌决定加快生产速度，要求从2023年初后续不超过5年完成，那么实际平均每年产量至少还要增加多少万台？ 【答案】(1)原计划每年产量为万台 (2)实际平均每年产量至少还要增加万台 【分析】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用，理解题意，正确列出分式方程和一元一次不等式是解此题的关键． （1）设原计划每年产量为万台，则实际每年产量就是万台，根据“预计可提前2年完成任务”列出分式方程，解分式方程即可得出答案； （2）由（1）可得，实际每年产量就是万台，设实际平均每年产量至少还要增加万台，根据“要求从2023年初后续不超过5年完成”列出一元一次不等式，解不等式即可得出答案． 【详解】（1）解：设原计划每年产量为万台，则实际每年产量就是万台， 由题意得：， 解得：， 经检验，是分式方程的解且符合题意， ∴原计划每年产量为万台； （2）解：由（1）可得，实际每年产量就是万台， 设实际平均每年产量至少还要增加万台， 由题意得：， 解得：， ∴实际平均每年产量至少还要增加万台． 【巩固练习】 1.（2024·广东深圳·模拟预测）畅达绿脊蓝湾美城，趣享山海户外天堂．从2022年，深圳市政府工作报告明确提出，打造“鹏城万里”多层次户外休闲步道体系建设，全面进入建设“超1000公里远足径郊野径体系”的实施阶段．需要铺设一段全长为1000公里的绿道，为了尽量减少施工对城市交通所造成的影响，实际施工时每天的工效比原计划增加，结果提前30天完成这一任务．设原计划每天铺设x公里绿道，则根据题意，下列方程中正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 根据实际及原计划工作效率间的关系，可得出实际每天铺设米管道，利用工作时间=工作总量÷工作效率，结合实际比原计划提前30天完成这一任务，即可得出关于x的分式方程，此题得解． 【详解】解：∵实际施工时每天的工效比原计划增加，且原计划每天铺设x米管道， ∴实际每天铺设米管道． 根据题意得： 故选：C． 2.（2024·重庆·中考真题）某工程队承接了老旧小区改造工程中1000平方米的外墙粉刷任务，选派甲、乙两人分别用、两种外墙漆各完成总粉刷任务的一半．据测算需要、两种外墙漆各300千克，购买外墙漆总费用为15000元，已知种外墙漆每千克的价格比种外墙漆每千克的价格多2元． (1)求、两种外墙漆每千克的价格各是多少元？ (2)已知乙每小时粉刷外墙面积是甲每小时粉刷外墙面积的，乙完成粉刷任务所需时间比甲完成粉刷任务所需时间多5小时．问甲每小时粉刷外墙的面积是多少平方米？ 【答案】(1)种外墙漆每千克的价格为元，则种外墙漆每千克的价格为元． (2)甲每小时粉刷外墙的面积是平方米． 【分析】本题考查的是分式方程的应用，一元一次方程的应用，理解题意建立方程是解本题的关键； （1）设种外墙漆每千克的价格为元，则种外墙漆每千克的价格为元，再根据总费用为15000元列方程求解即可； （2）设甲每小时粉刷外墙面积为平方米，则乙每小时粉刷外墙面积是平方米；利用乙完成粉刷任务所需时间比甲完成粉刷任务所需时间多5小时．从而建立分式方程求解即可． 【详解】（1）解：设种外墙漆每千克的价格为元，则种外墙漆每千克的价格为元， ∴， 解得：， ∴， 答：种外墙漆每千克的价格为元，种外墙漆每千克的价格为元． （2）设甲每小时粉刷外墙面积为平方米，则乙每小时粉刷外墙面积是平方米； ∴， 解得：， 经检验：是原方程的根且符合题意， 答：甲每小时粉刷外墙的面积是平方米． 3.（2024·内蒙古赤峰·中考真题）一段高速公路需要修复，现有甲、乙两个工程队参与施工，已知乙队平均每天修复公路比甲队平均每天修复公路多3千米，且甲队单独修复60千米公路所需要的时间与乙队单独修复90千米公路所需要的时间相等． (1)求甲、乙两队平均每天修复公路分别是多少千米； (2)为了保证交通安全，两队不能同时施工，要求甲队的工作时间不少于乙队工作时间的2倍，那么15天的工期，两队最多能修复公路多少千米？ 【答案】(1)甲队平均每天修复公路6千米，则乙队平均每天修复公路9千米； (2)15天的工期，两队最多能修复公路千米． 【分析】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用． （1）设甲队平均每天修复公路千米，则乙队平均每天修复公路千米，根据“甲队单独修复60千米公路所需要的时间与乙队单独修复90千米公路所需要的时间相等”列分式方程求解即可； （2）设甲队的工作时间为天，则乙队的工作时间为天，15天的工期，两队能修复公路千米，求得关于的一次函数，再利用“甲队的工作时间不少于乙队工作时间的2倍”求得的范围，利用一次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：设甲队平均每天修复公路千米，则乙队平均每天修复公路千米， 由题意得， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ， 答：甲队平均每天修复公路6千米，则乙队平均每天修复公路9千米； （2）解：设甲队的工作时间为天，则乙队的工作时间为天，15天的工期，两队能修复公路千米， 由题意得， ， 解得， ∵， ∴随的增加而减少， ∴当时，有最大值，最大值为， 答：15天的工期，两队最多能修复公路千米． 【题型7】 分式方程的应用之销售问题 【典题1】 （2024·四川眉山·中考真题）眉山是“三苏”故里，文化底蕴深厚．近年来眉山市旅游产业蓬勃发展，促进了文创产品的销售，某商店用元购进的款文创产品和用元购进的款文创产品数量相同．每件款文创产品进价比款文创产品进价多元． (1)求，两款文创产品每件的进价各是多少元？ (2)已知，文创产品每件售价为元，款文创产品每件售价为元，根据市场需求，商店计划再用不超过元的总费用购进这两款文创产品共件进行销售，问：怎样进货才能使销售完后获得的利润最大，最大利润是多少元？ 【答案】(1)款文创产品每件的进价元，文创产品每件的进价是元； (2)购进款文创产品件，购进款文创产品件，才能使销售完后获得的利润最大，最大利润是元． 【分析】（）设款文创产品每件的进价元，则文创产品每件的进价是元，根据题意，列出分式方程即可求解； （）设购进款文创产品件，则购进款文创产品件，总利润为，利用一次一次不等式求出的取值范围，再根据题意求出与的一次函数，根据一次函数的性质解答即可求解； 本题考查了分式方程的应用，一次函数的应用，根据题意，列出分式方程和一次函数解析式是解题的关键． 【详解】（1）解：设款文创产品每件的进价元，则文创产品每件的进价是元， 根据题意得，， 解得， 经检验，是原分式方程的解， ∴ 答：款文创产品每件的进价元，则文创产品每件的进价是元； （2）解：设购进款文创产品件，则购进款文创产品件，总利润为， 根据题意得，， 解得， 又由题意得，， ，随的增大而增大， 当时，利润最大， ∴购进款文创产品件，购进款文创产品件，获得的利润最大，， 答：购进款文创产品件，购进款文创产品件，才能使销售完后获得的利润最大，最大利润是元． 【巩固练习】 1.（2024·重庆·中考真题）为促进新质生产力的发展，某企业决定投入一笔资金对现有甲、乙两类共30条生产线的设备进行更新换代． (1)为鼓励企业进行生产线的设备更新，某市出台了相应的补贴政策．根据相关政策，更新1条甲类生产线的设备可获得3万元的补贴，更新1条乙类生产线的设备可获得2万元的补贴．这样更新完这30条生产线的设备，该企业可获得70万元的补贴．该企业甲、乙两类生产线各有多少条？ (2)经测算，购买更新1条甲类生产线的设备比购买更新1条乙类生产线的设备需多投入5万元，用200万元购买更新甲类生产线的设备数量和用180万元购买更新乙类生产线的设备数量相同，那么该企业在获得70万元的补贴后，还需投入多少资金更新生产线的设备？ 【答案】(1)该企业甲类生产线有10条，则乙类生产线各有20条； (2)需要更新设备费用为万元 【分析】本题考查的是一元一次方程的应用，分式方程的应用，理解题意，确定相等关系是解本题的关键． （1）设该企业甲类生产线有条，则乙类生产线各有条，再利用更新完这30条生产线的设备，该企业可获得70万元的补贴，再建立方程求解即可； （2）设购买更新1条甲类生产线的设备为万元，则购买更新1条乙类生产线的设备为万元，利用用200万元购买更新甲类生产线的设备数量和用180万元购买更新乙类生产线的设备数量相同，再建立分式方程，进一步求解． 【详解】（1）解：设该企业甲类生产线有条，则乙类生产线各有条，则 ， 解得：， 则； 答：该企业甲类生产线有10条，则乙类生产线各有20条； （2）解：设购买更新1条甲类生产线的设备为万元，则购买更新1条乙类生产线的设备为万元，则 ， 解得：， 经检验：是原方程的根，且符合题意； 则， 则还需要更新设备费用为（万元）； 2.（2024·重庆南岸·模拟预测）某校为举办周年校庆活动，特定制了系列文创产品，其中花费了13000元购进纪念画册和骨瓷杯若干，已知骨瓷杯总费用比纪念画册总费用的3倍还多1000元． (1)求纪念画册和骨瓷杯的总费用各是多少元？ (2)若每本纪念画册的进价比每个骨瓷杯的进价多，而骨瓷杯数量比纪念画册数量多400个．求每本纪念画册和每个骨瓷杯的进价各是多少元？ 【答案】(1)纪念画册的总费用为3000元，骨瓷杯的费用为10000元 (2)每本纪念画册的进价为30元，每个骨瓷杯的进价为20元 【分析】本题考查了一元一次方程和分式方程的实际应用． （1）设纪念画册的总费用为元，则骨瓷杯的费用为（）元，根据花费了13000元购进纪念画册和骨瓷杯，列出方程求解即可； （2）设每个骨瓷杯的进价为元，则每本纪念画册的进价为元，根据骨瓷杯数量比纪念画册数量多400个列出分式方程求解，检验即可． 【详解】（1）解：设纪念画册的总费用为元，则骨瓷杯的费用为（）元， 由题意： 解得： 元 答：纪念画册的总费用为3000元，骨瓷杯的费用为10000元． （2）解：设每个骨瓷杯的进价为元，则每本纪念画册的进价为元， 由题意：，解得 经检验，为所列方程的根且符合题意． 元 答：每本纪念画册的进价为30元，每个骨瓷杯的进价为20元． 3.（2024·四川内江·中考真题）端午节吃粽子是中华民族的传统习俗．市场上猪肉粽的进价比豆沙粽的进价每盒多20元，某商家用5000元购进的猪肉粽盒数与3000元购进的豆沙粽盒数相同．在销售中，该商家发现猪肉粽每盒售价52元时，可售出180盒；每盒售价提高1元时，少售出10盒． (1)求这两种粽子的进价； (2)设猪肉粽每盒售价元，表示该商家销售猪肉粽的利润（单位：元），求关于的函数表达式并求出的最大值． 【答案】(1)猪肉粽每盒50元，豆沙粽每盒30元 (2)或，当时，取得最大值为1000元 【分析】本题考查列分式方程解应用题和二次函数求最值，解决本题的关键是正确寻找本题的等量关系及二次函数配方求最值问题． （1）设豆沙粽每盒的进价为n元，则猪肉粽每盒的进价为元．根据“用5000元购进的猪肉粽盒数与3000元购进的豆沙粽盒数相同”即可列出方程，求解并检验即可； （2）根据题意可列出y关于x的函数解析式，再根据二次函数的性质即可解答． 【详解】（1）解：设豆沙粽每盒的进价为n元，则猪肉粽每盒的进价为元 由题意得： 解得： 经检验：是原方程的解且符合题意 ∴ 答：猪肉粽每盒50元，豆沙粽每盒30元． （2）解：设猪肉粽每盒售价元，表示该商家销售猪肉粽的利润（单位：元），则 ∵，， ∴当时，取得最大值为1000元． 4.（2024·山东青岛·中考真题）为培养学生的创新意识，提高学生的动手能力，某校计划购买一批航空、航海模型．已知商场某品牌航空模型的单价比航海模型的单价多35元，用2000元购买航空模型的数量是用1800元购买航海模型数量的． (1)求航空和航海模型的单价； (2)学校采购时恰逢该商场“六一儿童节”促销：航空模型八折优惠．若购买航空、航海模型共120个，且航空模型数量不少于航海模型数量的，请问分别购买多少个航空和航海模型，学校花费最少？ 【答案】(1)航空模型的单价为125元，则航海模型的单价为元； (2)当购买航空模型40个，购买航海模型80个时，学校花费最少 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，一次函数的实际应用，一元一次不等式的实际应用： （1）设航空模型的单价为x元，则航海模型的单价为元，根据用2000元购买航空模型的数量是用1800元购买航海模型数量的列出方程求解即可； （2）设购买航空模型m个，花费为y元，则购买航海模型个，先根据航空模型数量不少于航海模型数量的列出不等式求出m的取值范围，再列出y关于m的一次函数关系式，利用一次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：设航空模型的单价为x元，则航海模型的单价为元， 由题意得，， 解得， 检验，当时，， ∴是原方程的解，且符合题意， ∴， 答：航空模型的单价为125元，则航海模型的单价为元； （2）解：设购买航空模型m个，花费为y元，则购买航海模型个， 由题意得，， 解得， ， ∵， ∴y随m增大而增大， ∴当时，y有最小值，最小值为， 此时有， 答：当购买航空模型40个，购买航海模型80个时，学校花费最少． 2 / 2 多反思总结多交流的学习才高效！ 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$