专题05 一次方程(组)及其应用【十大题型】 - 2025年中考数学一轮复习（全国通用版）

专题05 一次方程(组)及其应用 1 一元一次方程 1.1 概念 只含有一个未知数且未知数的指数是的方程叫做一元一次方程. 一般形式：. 注意：未知数在分母中是，它的次数不能看成是，如不是一元一次方程. 1.2 一元一次方程的解 方程的解：能使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解. 1.3 解一元一次方程的一般步骤 去分母、去括号、移项、合并同类项、未知数的系数化为. 2 等式的性质 （1）等式两边都加上或减去同一数或整式，所得结果仍是等式； （2）等式两边都乘或除以同一数不等于的数，所得结果仍是等式. 3 二元一次方程 3.1 概念 含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是的整式方程叫做二元一次方程. 3.2 二元一次方程的解 一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解. 3.3 二元一次方程组 含有两个未知数的两个二元一次方程所组成的一组方程，叫做二元一次方程组。 3.4 二元一次方程组的解 二元一次方程组的各个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解. 3.5 二元一次方程组的解法 解二元一次方程组的方法主要是通过消去一个未知数，把二元一次方程组的转化为一元一次方程，则可通过该方程先求出一个未知数，再求另一未知数。 将未知数的个数由多到少、逐一解决的思想，叫做消元思想. 具体解法有代入消元法和加减消元法. 4 实际问题中的常见类型 题型 涉及公式 等量关系 注意事项 和差倍分问题 -- -- 弄清“倍数”及“多少”的关系 等积变形问题 各种图形的面积， 体积公式 变形前后的面积或体积不变 分清半径、直径及各边长 相遇问题 路程 速度 时间 速度=路程 时间 时间=路程 速度 两者路程之和为相距的距离 注意始发时间和地点 追及问题 两者路程之差为相距的距离 比例分配问题 -- 全部数量=各种成分的数量之和 灵活设未知数 工程问题 工作量工作效率工作时间 工作时间 两个或多个对象所完成的工作量的和等于总工作量 一般把总工作量设为 1 销售问题 利润 实际售价一进价 利润率 找出利润或利润率之间的关系 打几折就是按百分之几十出售 数字问题 分别为一个两位数的个位上的数字与十位上的数字则这个两位数可表示为 数的大小与表示数的各字母之间的关系 一般间接设未知数 5 列方程(组)解应用题基本步骤 （1）审题，分析题中各个量之间的关系； （2）设未知数，根据题意及各个量的关系设未知数； （3）列方程（组），根据题中各个量的关系列方程（组）； （4）解方程（组）； （5）答. 【题型1】 等式的性质 【典题1】 （多选）（2024·山东潍坊·模拟预测）已知等式，则下列等式中成立的是（      ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】根据等式的性质逐个判断即可．本题考查了等式的性质，能熟记等式的性质是解此题的关键，注意：等式的性质1：等式的两边都加（或减）同一个数或式子，等式仍成立；等式的性质2：等式的两边都乘同一个数或式子，等式仍成立，等式的两边都除以同一个不等于0的数或式子，等式仍成立． 【详解】解：A．， 等式两边都乘，得，故本选项不符合题意； B．， 等式两边都减去5，得，故本选项符合题意； C．， 等式两边都除以3，得，故本选项不符合题意； D．， 等式两边都加1，得，故本选项符合题意 故选：BD． 【巩固练习】 1.（2024·贵州·中考真题）小红学习了等式的性质后，在甲、乙两台天平的左右两边分别放入“■”“●”“▲”三种物体，如图所示，天平都保持平衡．若设“■”与“●”的质量分别为x，y，则下列关系式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查等式的性质，设“▲”的质量为a，根据题意列出等式，，然后化简代入即可解题． 【详解】解：设“▲”的质量为a， 由甲图可得，即， 由乙图可得，即， ∴， 故选C． 2.（2023·广东佛山·模拟预测）下面各式的变形正确（   ） A．由5，得 B．由，得 C．由，得 D．由，得 【答案】C 【分析】本题主要考查了等式的性质．解题的关键是掌握等式的性质：、等式的两边同时加上或减去同一个数或式子，等式仍成立；、等式的两边同时乘以或除以同一个不为的数或字母，等式仍成立． 根据等式的性质对各选项进行分析判断后利用排除法求解． 【详解】解：解：A、由5，得，原变形正确，故此选项符合题意； B、由，得，原变形错误，故此选项不符合题意； C、由，得，原变形正确，故此选项符合题意； D、由，得，原变形错误，故此选项不符合题意． 故选：C 3.（2024·安徽·模拟预测）已知实数a、b、c满足，则下列命题为假命题的是（    ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 【答案】C 【分析】本题考查了真假命题的判断，完全平方公式的应用，等式的性质． 根据得出，结合等式的性质，即可判断A；结合完全平方公式，即可判断B、D；根据等式的性质，即可判断C． 【详解】解：A、∵，， ∴， ∴，即，故A为真命题，不符合题意； B、∵， ∴， ∵， ∴，则，故B为真命题，不符合题意； C、当时， ∵， ∴，则， 当时，b为任意实数， 当时，，解得，故C为假命题，符合题意； D、∵，， ∴， 整理得：， ∴，解得：，故D为真命题，不符合题意； 故选：C． 【题型2】一元一次方程的解 【典题1】 （2024·四川雅安·三模）已知是关于x的一元一次方程的解，则的值是 ． 【答案】2024 【分析】本题考查了方程的解和求代数式的值，先将代入一元一次方程，得出，再将原式整理成，代入得出，最后整体代入求值即可． 【详解】解：∵是关于x的一元一次方程的解， ∴， 整理得， ∴ ． 故答案为：2024． 【巩固练习】 1.（2024·广东河源·二模）若是关于x的方程的解，则的值是（    ） A． B．2 C．1 D．0 【答案】D 【分析】本题考查一元一次方程的解，将代入方程，求出的值，从而求出的值．掌握其解法是本题的关键． 【详解】解：将代入方程， 得， 解得， 则． 故选：D． 2.（2024·内蒙古·二模）若是关于的一元一次方程的解，则的值是 ． 【答案】6 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解，把代入关于x的一元一次方程得含有的等式，然后把所求含有的等式，整体代入所求代数式进行计算即可，解题关键是熟练掌握一元一次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值． 【详解】把代入关于x的一元一次方程得： ， ∴ ， 故答案为：6． 3.若不论k取什么数，关于x的方程（a、b是常数）的解总是，则的值是 ． 【答案】 【分析】此题考查了一元一次方程的解，掌握方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值是解题关键；将代入中，化简得到，由不论k取什么数，关于x的方程（a、b是常数）的解总是可知，k的值对方程没有影响，即可得到，求解即可； 【详解】不论k取什么数，关于x的方程（a、b是常数）的解总是， ， ， ， ， ， ， 【题型3】一元一次方程的解法 【典题1】解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的步骤是解此题的关键． （1）先去括号，再移项、合并同类项，最后系数化为1即可得出答案； （2）先去分母，再去括号、移项、合并同类项，最后系数化为1即可得出答案． 【详解】（1）解：去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：； （2）解：去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：． 【巩固练习】 1.（2024·甘肃陇南·三模）方程的解为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了解一元一次方程，按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为的步骤解方程即可，熟练掌握解一元一次方程的步骤是解题的关键． 【详解】解： ， ， ， ， ， 故选：． 2.解方程： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解一元一次方程． （1）根据去括号，移项，合并同类项，系数化为1求解即可； （2）根据去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1求解即可． 【详解】（1）解： 去括号，得 移项，得 合并同类项，得 系数化为1，得； （2）解： 去分母，可得： 去括号，可得： 移项，合并同类项，可得： 系数化为1，可得：． 【题型4】二元一次方程组的解法 【典题1】（2024·广西·模拟预测）解二元一次方程组： 【答案】 【分析】本题考查的是二元一次方程组的解法，把方程②化为，再利用代入消元法解方程组即可； 【详解】解：， 将②化为③， 将③代入①得 解得：， 将代入③得，， ∴二元一次方程组的解为； 【巩固练习】 1.（2023·云南临沧·三模）若是二元一次方程组的解，则为（　　） A．2 B． C．3 D． 【答案】C 【分析】本题主要考查二元一次方程组的求解，掌握加减消元法解二元一次方程组的方法是解题的关键． 根据题意，把的代入二元一次方程组，再根据加减消元法即可求解． 【详解】解：根据题意，把的值代入得， ①②得，， 把的值代入②得，， ∴， 故选：． 2.（2024·贵州毕节·三模）已知关于x，y的二元一次方程组的解也是方程的解，则k的值为（   ） A． B． C．2 D．无法计算 【答案】C 【分析】此题考查了解二元一次方程组，二元一次方程的解，方程组的解即为能使方程组中两方程都成立的未知数的值．把k看作已知数求出x与y，代入已知方程计算即可求出k的值． 【详解】解： 由①②得：， 解得：， 把代入①得：， 解得：， 把，代入， 得：， 解得：， 故选：C 3.（2024·四川攀枝花·模拟预测）解方程： ． 【答案】 【分析】利用加减消元法，即可解方程． 【详解】解： 由①得：③， ②③得，， 解得， ②③得，， 解得， 方程组的解是． 【题型5】 二元一次方程组的应用之工程问题 【典题1】 （2024·宁夏银川·二模）黄河是母亲河，为打造黄河的风光带，现有一段长为180米的河道整治任务由A、B两工程队先后接力完成．A工程队每天整治12米，B工程队每天整治8米，共用时20天． (1)根据题意，甲、乙两名同学分别列出尚不完整的方程组如下： 根据甲、乙两名同学所列的方程组，请你分别指出未知数x、y表示的意义，然后在方框内补全甲、乙两名同学所列的方程组： 甲：x表示________，y表示________；乙：x表示________，y表示________； (2)求A、B两工程队分别整治河道多少米．（写出完整的解答过程） 【答案】(1)A工程队用的时间，B工程队用的时间，A工程队整治河道的米数，B工程队整治河道的米数 (2)A工程队整治河道60米，B工程队整治河道120米 【分析】此题主要考查利用基本数量关系：A工程队用的时间工程队用的时间天，A工程队整治河道的米数工程队整治河道的米数米，运用不同设法列出不同的方程组解决实际问题． （1）此题蕴含两个基本数量关系：A工程队用的时间工程队用的时间天，A工程队整治河道的米数工程队整治河道的米数天，由此进行解答即可； （2）选择其中一个方程组解答解决问题． 【详解】（1）甲同学：设A工程队用的时间为x天，B工程队用的时间为y天，由此列出的方程组为 ； 乙同学：A工程队整治河道的米数为x米，B工程队整治河道的米数为y米，由此列出的方程组为 ； 故答案为： A工程队用的时间，B工程队用的时间，A工程队整治河道的米数，B工程队整治河道的米数； （2）选甲同学所列方程组解答如下： ， 得：， 解得， 把代入①得， 所以方程组的解为， A工程队整治河道的米数为：米， B工程队整治河道的米数为：米； 答：A工程队整治河道60米，B工程队整治河道120米． 【巩固练习】 1.绵阳中学为了进一步改善办学条件，决定计划拆除一部分旧校舍，建造新校舍．拆除旧校舍每平方米需80元，建造新校舍每平方米需要800元，计划在年内拆除旧校舍与建造新校舍共9000平方米，在实施中为扩大绿化面积，新建校舍只完成了计划的而拆除旧校舍则超过了计划的，结果恰好完成了原计划的拆、建总面积． (1)求原计划拆、建面积各是多少平方米？ (2)若绿化1平方米需要200元，那么把在实际的拆、建工程中节余的资金全部用来绿化，可绿化多少平方米？ 【答案】(1)原计划拆建各4500平方米 (2)1620平方米 【分析】本题考查了解二元一次方程组，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程组，再求解． （1）等量关系为：计划在年内拆除旧校舍面积计划建造新校舍面积平方米，计划建造新校舍面积计划拆除旧校舍面积平方米．依等量关系列方程，再求解． （2）先算出计划的资金总量和实际所用的资金总量，然后算出节余的钱，那么可求可绿化的面积． 【详解】（1）解：由题意可设拆旧舍x平方米，建新舍y平方米， 则，解得 答：原计划拆建各4500平方米． （2）计划资金元 实用资金 ∴节余资金： ∴可建绿化面积平方米 答：可绿化面积1620平方米． 2.（2024·安徽合肥·一模）某工程由甲、乙两个工程队施工，工程小组综合比较两工程队发现，甲工程队施工2天的费用比乙工程队施工3天的费用少0.3万元，甲、乙两工程队合作施工一天的费用为2.6万元．单独完成这项工程，甲工程队刚好如期完成，乙工程队要比规定日期多用5天，初步计算，若单独请甲工程队需付30万元． (1)请计算甲、乙工程队每天所需的施工费用各是多少万元? (2)为降低工程施工费用，甲、乙两工程队先合作施工若干天，再由乙工程队全部完成，求甲、乙两工程队合作施工多少天时，在不耽误工期的情况下，施工费用最低． 【答案】(1)甲工程队每天所需的施工费用为1.5万元，乙工程队每天所需的施工费用为 1.1万元 (2)甲、乙两工程队合作施工4天时，在不耽误工期的情况下，施工费用最低 【分析】本题考查了二元一次方程组应用，一元一次不等式的实际应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程组及不等式求解． （1）设甲工程队每天所需的施工费x万元，乙工程队每天所需的施工费y万元，依题甲工程队施工2天的费用比乙工程队施工3天的费用少0.3万元，甲、乙两工程队合作施工一天的费用为2.6万元列出方程组即可求解； （2）根据题得：单独完成这项工程，甲工程队刚好如期完成，甲工程队单独施工需20天，乙单独完成这项工程需天，设乙工程队施工a天，设甲、乙两工程队先合作施工a天，则乙工程队需单独施工天，根据甲乙合作的工作量加上乙单独完成的工作量大于等于总工作量，列出不等式，求解即可． 【详解】（1）解：设甲工程队每天所需的施工费x万元，乙工程队每天所需的施工费y万元， 依题意列方程得：， 解得：， 答：甲工程队每天所需的施工费用为1.5万元，乙工程队每天所需的施工费用为1.1万元； （2）解：根据题得：单独完成这项工程，甲工程队刚好如期完成，甲工程队单独施工需：（天），则工期为20天， 单独完成这项工程需20天，乙单独完成这项工程需天， 设甲、乙两工程队先合作施工a天，则乙工程队需单独施工天， 根据题意得：， 解得：， 则总费用为：， 当时，总费用最少，为（万元）， 答：甲、乙两工程队合作施工4天时，在不耽误工期的情况下，施工费用最低． 【题型6】二元一次方程组的应用之行程问题 【典题1】 （2024·广东梅州·一模）周末，小明和他的爸爸来到环形运动场进行跑步锻炼，绕环运动场一圈的路程为400米． (1)若两人同时同起点相向而跑，则经过36秒后首次相遇；若两人同时同起点同向而跑，则经过180秒后，爸爸首次从后面又追上小明，问小明和他的爸爸的速度各为多少？ (2)假设爸爸的速度是6米/秒，小明的速度是5米/秒，两人进行400米赛跑，同时同起点同向出发，等爸爸跑到半圈时，故意降速为4米/秒，按此继续比赛，小明能否在400米终点前追上爸爸，如果能，求追上时距离终点还有多少米；如果不能，请说明理由． 【答案】(1)小明的速度为，爸爸的速度为 (2)小明能在400米终点前追上爸爸，追上当时距离终点还有 【分析】本题是对二元一次方程组的应用，本题实际上可以理解为相遇问题和追及问题来解决． （1）设小明的速度为，爸爸的速度为，根据题意列二元一次方程组即可； （2）先求出爸爸跑到半圈所用时间为，再求此时小明所跑路程为，小明接下来追上爸爸所需时间，相比较即可． 【详解】（1）解：（1）设小明的速度为，爸爸的速度为， 则依题意得：，于是， ，得，即有：， ，得，即有：， 答：小明的速度为，爸爸的速度为． （2）（2）解：结论：小明能在400米终点前追上爸爸，且追上时距离终点还有． 理由：爸爸跑到半圈所用时间为， 此时小明所跑路程为， 爸爸和小明的距离， 因此小明接下来追上爸爸所需时间， 追上时，小明的爸爸总路程， 因此小明能在400米终点前追上爸爸． 追上当时距离终点还有． 【巩固练习】 1.（2023·黑龙江哈尔滨·一模）甲、乙两车分别从相距200千米的A、B两地相向而行，甲乙两车均保持匀速行驶，若甲车行驶2小时，乙车行驶3小时，两车恰好相遇：若甲车行驶4小时，乙车行驶1小时，两车也恰好相遇． (1)求甲乙两车的速度（单位：千米/小时）是多少． (2)若甲乙两车同时按原速度行驶了1小时，甲车发生故障不动了，为了保证乙车再经过不超过2小时与甲车相遇，乙车提高了速度，求乙车提速后的速度至少是每小时多少千米？ 【答案】(1)甲车的速度为，乙车的速度为 (2)乙车提速后的速度至少是每小时60千米 【分析】（1）设甲车的速度为，乙车的速度为，根据“若甲车行驶2小时，乙车行驶3小时，两车恰好相遇：若甲车行驶4小时，乙车行驶1小时，两车也恰好相遇”列出方程组，即可求解； （2）设乙车提速后的速度为，根据题意，列出不等式，即可求解． 【详解】（1）解：设甲车的速度为，乙车的速度为， 根据题意得，解得， 答：甲车的速度为，乙车的速度为； （2）解：设乙车提速后的速度为， 根据题意得， 解得， 答：乙车提速后的速度至少是每小时60千米． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，明确题意，准确列出方程组或不等式是解题的关键． 2.（2023·江苏南京·一模）如图①，古代行军中传令兵负责传送命令．如图②，一支长度为的队伍，排尾A处的传令兵从甲地和队伍沿同一直道同时出发．队伍以的速度行进，且队伍长度保持不变；出发时，传令兵接到命令，立即以的速度赶赴排头B，到达排头B后立即返回排尾A，再次接到命令，立即赶赴排头B……如此循环往复，且传令兵往返速度保持不变．行进过程中，传令兵离甲地的距离（单位：）与出发时间x（单位：）之间的函数关系部分图象如图③所示．    (1)______，______； (2)求线段所表示的与x之间的函数表达式； (3)在图③中，画出排头B离甲地的距离（单位：）与出发时间x之间的函数图象 【答案】(1)75；125 (2) (3)见解析 【分析】（1）由函数图象可知在第12分钟时传令兵到达排头B，此时传令兵比队伍多走600米，在第15分钟传令兵此时返回到排尾A，3分钟内队伍和传令兵的路程和为600米，由此建立方程组求解即可； （2）先求出M、N的坐标，再利用待定系数法求解即可； （3）（单位：）与出发时间x之间的函数图象过图中两个拐点（点M和与点M类似的那个点），由此画图即可． 【详解】（1）解：， 解得， 故答案为：75；125； （2）解：， ∴点M的坐标为， ， ∴点N的坐标为， 线段所表示的与x之间的函数表达式为， ∴， ∴， ∴段所表示的与x之间的函数表达式为； （3）解：与x之间的函数图象如图所示．    【点睛】本题主要考查了一次函数的实际应用，二元一次方程组的实际应用，正确读懂函数图象是解题的关键． 【题型7】二元一次方程组的应用之销售问题 【典题1】（2024·云南红河·模拟预测）云南昆明斗南花市，是亚洲最大的国际鲜花交易市场．2024年3月8日“妇女节”这一天，某花店店主去斗南花市批发玫瑰、康乃馨两种鲜花进行销售，进价，售价如下表： 康乃馨 玫瑰 进价（单位：元/枝） 1 2 售价（单位：元/枝） 3 5 已知这两种鲜花的进价总额为1300元，销售总额为3400元． (1)问该花店购进这两种鲜花的枝数分别是多少？ (2)为了促销，店主决定在利润不低于1600元的情况下，康乃馨按原价出售，玫瑰打折出售，问最多可打几折？ 【答案】(1)花店购进康乃馨枝，购进玫瑰枝； (2)玫瑰至多可以打8折． 【分析】本题考查二元一次方程组和一元一次不等式的应用． （1）设花店购进康乃馨枝，购进玫瑰枝，根据题意列二元一次方程组求解即可； （2）设玫瑰打折出售，根据利润=售价-进价，结合利润不低于1600元，即可得出关于x的一元一次不等式，解之即可得出结论 【详解】（1）解：设花店购进康乃馨枝，购进玫瑰枝， 由题意得， 解得， 答：花店购进康乃馨枝，购进玫瑰枝； （2）解：设玫瑰打折出售， 由题意得， 解得， 答：玫瑰至多可以打8折． 【巩固练习】 1.（2024·江西南昌·模拟预测）为培养学生的数学阅读习惯，激发学生学习数学的兴趣，某校计划购买甲、乙两种数学课外读物供学生阅读．已知购买1本甲种和1本乙种数学课外读物共需元，购买1本甲种和2本乙种数学课外读物共需元． (1)求甲、乙两种数学课外读物的单价； (2)该校计划购买甲、乙两种数学课外读物共本，总费用不超过元，那么至少可购买甲种数学课外读物多少本？ 【答案】(1)甲种数学课外读物的单价是元，乙种数学课外读物的单价是元 (2)至少可购买甲种数学课外读物本 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． （1）设甲种数学课外读物的单价是x元，乙种数学课外读物的单价是y元，根据题意可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设购买m本甲种数学课外读物，则购买本乙种数学课外读物，利用总价＝单价×数量，结合总价不超过元，可列出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最小值，即可得出结论． 【详解】（1）解：设甲种数学课外读物的单价是x元，乙种数学课外读物的单价是y元， 根据题意得： 解得：． 答：甲种数学课外读物的单价是元，乙种数学课外读物的单价是元 （2）解：设购买m本甲种数学课外读物，则购买本乙种数学课外读物， 根据题意得： 解得： ∴m的最小值为． 答：至少可购买甲种数学课外读物本． 【题型8】 二元一次方程组的应用之几何问题 【典题1】 （2024·广东潮州·一模）【综合实践】 主题：制作一个有盖长方体盒子． 操作：如图所示，矩形纸片中，，，剪掉阴影部分后，剩下的纸片可折成一个底面是正方形的有盖长方体盒子． 计算：求这个有盖长方体盒子的高和底面正方形的边长．    【答案】这个有盖长方体的高为，底面正方形的边长为 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是理解题意，设有盖长方体的高为，底面正方形的边长为，列二元一次方程组求解即可． 【详解】解：设有盖长方体的高为，底面正方形的边长为， 依题意得：， ，得：， 把代入②，得：， 解得：， ∴方程组的解为， 答：这个有盖长方体的高为，底面正方形的边长为． 【巩固练习】 1.（2024·北京门头沟·二模）如图，小明在拼图时，发现8个一样的小长方形恰好可以拼成一个边长为22的正方形，但是中间留了个洞，恰好是边长为2的小正方形，求每个小长方形的长和宽．    【答案】每个小长方形的长为10，宽为6 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，设小长方形的长和宽，根据1个长加上2个宽等于22，2个宽减去1个长等于2列出方程组，再求出解即可． 【详解】解：设小长方形的长为x，宽为y，根据题意可得 ， 解得：， ∴每个小长方形的长为10，宽为6． 2.（2021·河北石家庄·三模）如图1所示的是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形．然后用四块小长方形拼成如图2所示的正方形． （1）图2中的阴影正方形边长表示正确的序号为______． ①；②；③． （2）由图2可以直接写出，，之间的一个等量关系是______． （3）根据（2）中的结论，解决下列问题： ①，，求的值； ②将一根铁丝剪成两段，用这两段铁丝围成两个正方形，拼成如图3所示的形状（在同一水平线上，两正方形无重叠，铁丝的厚度忽略不计），若铁丝总长为．两个正方形的面积之差为，则阴影部分的面积为____． 【答案】（1）②；（2）；（3）①36；② 【分析】（1）观察图形即可得答案； （2）大正方形由一个小正方形与4个相同的长方形组成，因而有：大正方形的面积=小正方形的面积+4×一个小长方形的面积，从而可得等量关系； （3）①根据（2）的结论即可完成； ②设大正方形的边长为xcm，小正方形的边长为ycm，根据面积之差可得一个方程，再根据周长和为28cm可得另一个方程，解方程组即可，从而可得阴影部分的面积． 【详解】（1）由图2可知，图中的阴影正方形边长表示正确的序号为②． 故答案为：② （2）由图2可知：大正方形的面积为：，小正方形的面积为：，一个小长方形的面积为： ∵大正方形的面积=小正方形的面积+4×一个小长方形的面积 ∴ 故答案为： （3）①由（2）可得： ∴ ∵， ∴ ②设大正方形的边长为，小正方形的边长为 则 ∴ ∵两个正方形的面积之差为 ∴ ∴ ∴ ∴ 解得： ∴ 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了完全平方公式的几何背景，平方差公式的应用，二元一次方程组的应用，观察图形的特征找出关系式是解题的关键． 【题型9】二元一次方程组的应用之方案决策问题 【典题1】 随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．某汽车制造商开发了一款新能源汽车，计划一年生产安装360辆．由于抽调不出足够的熟练工来完成安装任务，工厂决定招聘部分新工人，他们经过培训后也能独立进行新能源汽车的安装．生产开始后，调研部门发现：1名熟练工和3名新工人每月可安装12辆新能源汽车；2名熟练工和5名新工人每月可以安装22辆新能源汽车． (1)每名熟练工和新工人每月分别可以安装多少辆新能源汽车？ (2)如果工厂招聘n（）名新工人，使得招聘的新工人和抽调的熟练工刚好能完成一年的安装任务，那么工厂有哪几种新工人的招聘方案？ (3)在（2）的条件下，工厂给安装新能源汽车的每名熟练工人每月发放4000元的工资，给每名新工人每月发2400元的工资，那么工厂应招聘多少名新工人，使新工人的数量多于熟练工，同时工厂每月支出的工资总额W（元）尽可能少？ 【答案】(1)每名熟练工每月可以安装6辆电动汽车，每名新工人每月可以安装2辆电动汽车 (2)工厂有3种新工人的招聘方案：①新工人8人，熟练工2人；②新工人6人，熟练工3人；③新工人3人，熟练工4人 (3)应招聘6名新工人 【分析】本题主要考查二元一次方程组和二元一次方程的应用，解题的关键是要能够理解题意，正确找到等量关系和不等关系，熟练解方程组和根据条件分析不等式中未知数的值． （1）设每名熟练工每月可以安装辆电动汽车，每名新工人每月可以安装辆电动汽车．根据“1名熟练工和3名新工人每月可安装12辆新能源汽车”和“2名熟练工和5名新工人每月可以安装22辆新能源汽车”列方程组求解． （2）设工厂有名熟练工．根据新工人和抽调的熟练工刚好能完成一年的安装任务，根据，都是正整数和，进行分析的值的情况； （3）根据总费用熟练工人的费用新工人的费用列出代数式，分别代入（2）中方案，计算比较即可得出结论． 【详解】（1）解：设每名熟练工每月可以安装辆电动汽车，每名新工人每月可以安装辆电动汽车． 根据题意得：， 解得：． 答：每名熟练工每月可以安装6辆电动汽车，每名新工人每月可以安装2辆电动汽车． （2）解：设工厂有名熟练工． 根据题意，得， ， ， 又，都是正整数，， 所以，6，3． 即工厂有3种新工人的招聘方案： ①，，即新工人8人，熟练工2人； ②，，即新工人6人，熟练工3人； ③，，即新工人3人，熟练工4人． （3）解：由（2）新工人的招聘方案：要使新工人的数量多于熟练工，则，或，； 根据题意得：． 当时，（元） 当时，（元） ， 当，时，即工厂应招聘6名新工人，使新工人的数量多于熟练工，同时工厂每月支出的工资总额（元）尽可能少． 【巩固练习】 1.“脐橙结硕果，香飘引客来”，赣南脐橙以其“外表光洁美观，肉质脆嫩，风味浓甜芳香”的特点饮誉中外．现欲将一批脐橙运往外地销售，若用2辆A型车和1辆B型车载满脐橙一次可运走；用1辆A型车和2辆B型车载满脐橙一次可运走，现有脐橙，计划同时租用 A 型车a 辆，B 型车b辆，一次运完，且恰好每辆车都载满脐橙． 根据以上信息，解答下列问题： (1)1 辆A 型车和1辆B 型车都载满脐橙一次可分别运送多少吨? (2)请你帮该物流公司设计租车方案； (3)若1辆A 型车需租金100元/次，1辆B型车需租金120元/次．请选出费用最少的租车方案，并求出最少租车费． 【答案】(1)1辆A 型车载满脐橙一次可运送，1 辆B 型车载满脐橙一次可运送 (2)一共有3种租车方案，方案一：租A型车1辆，B型车7辆；方案二：租A型车5辆，B 型车4辆；方案三：租A 型车 9辆，B 型车1辆 (3)最省钱的租车方案是方案一，即租A型车1辆，B型车7辆，最少租车费为940元 【分析】本题主要考查了二元一次方程组和二元一次方程的应用，解题的关键是根据等量关系，列出方程． （1）设1辆 A 型车载满脐橙一次可运送，1辆B 型车载满脐橙一次可运送，根据2辆A型车和1辆B型车载满脐橙一次可运走，用1辆A型车和2辆B型车载满脐橙一次可运走，列出方程组，解方程组即可； （2）根据1辆A 型车载满脐橙一次可运送，1 辆B 型车载满脐橙一次可运送，现有脐橙，列出二元一次方程，再求出二元一次方程的正整数解即可； （3）分别求出三种方案的租车费用，然后进行比较，即可得出答案． 【详解】（1）解：设1辆 A 型车载满脐橙一次可运送，1辆B 型车载满脐橙一次可运送，依题意得： 解得：， 答：1辆A 型车载满脐橙一次可运送，1 辆B 型车载满脐橙一次可运送； （2）解：依题意得：， ∵a，b均为正整数， ∴或或， ∴一共有3种租车方案： 方案一：租A型车1辆，B型车7辆； 方案二：租A型车5辆，B 型车4辆； 方案三：租A 型车 9辆，B 型车1辆． （3）解：方案一所需租金为：（元）； 方案二所需租金为：（元）； 方案三所需租金为： （元）； ∵， ∴最省钱的租车方案是方案一，即租A型车1辆，B型车7辆，最少租车费为940元． 【题型10】二元一次方程组的应用之开放型问题 【典题1】小红用110根长短相同的小木棍按照如图所示的方式,连续摆正方形或六边形,要求相邻的图形只有一条公共边. (1)小红首先用根小木棍摆出了个小正方形,请你用等式表示之间的关系： ； (2)小红用剩下的小木棍摆出了一些六边形,且没有木棍剩余.已知他摆出的正方形比六边形多4个,请你求出摆放的正方形和六边形各多少个? (3)小红重新用50根小木棍,摆出了排,共个小正方形.其中每排至少含有1个小正方形,每排含有的小正方形的个数可以不同.请你用等式表示之间的关系,并写出所有可能的取值. 【答案】（1）；（2）正方形有16个，六边形有12个；（3），，或 【分析】(1)摆1个正方形需要4根小木棍，摆2个正方形需要7根小木棍，摆3个正方形需要10根小木棍…每多一个正方形就多3根小木棍，则摆p个正方形需要4+3(p-1)=3p+1根小木棍，由此求得答案即可； (2)设连续摆放了六边形x个， 正方形y个，则连续摆放正方形共用小木棍(3y+1)根，六方形共用小木棍(5x+1)根，由题意列出方程组解决问题即可； (3)由(1)可知每排用的小木棍数比这排小正方形个数的3倍多1根，由此可得s、t间的关系，再根据s、t均为正整数进行讨论即可求得所有可能的取值. 【详解】(1)摆1个正方形需要4根小木棍，4=4+3×(1-1)， 摆2个正方形需要7根小木棍，4=4+3×(2-1)， 摆3个正方形需要10根小木棍，10=4+3×(3-1)， ……， 摆p个正方形需要m=4+3×(p-1)=3p+1根木棍， 故答案为； (2)设六边形有个，正方形有y个， 则， 解得， 所以正方形有16个，六边形有12个； (3)据题意，， 据题意，，且均为整数， 因此可能的取值为： ，，或. 【点睛】本题考查二元一次方程组的实际运用，找出连续摆放正方形共用小木棍的根数，六方形共用小木棍的根数是解决问题的关键． 【巩固练习】 1.如图，小强和小红一起搭积木，小强所搭的“小塔”的高度为23 cm，小红所搭的“小树”的高度为22 cm，设每块A型积木的高为x cm，每块B型积木的高为y cm，则x= ，y= ． 【答案】 4 5 【详解】解：根据小强搭的积木的高度=A的高度×2+B的高度×3，小红搭的积木的高度=A的高度×3+B的高度×2， 依两个等量关系列出方程组， 解得． 故答案为：4和5． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，解题关键是看清图形的意思，找出等量关系列方程组求解． 2.已知关于x，y的方程组 (1)请直接写出方程x＋2y－6＝0的所有正整数解； (2)若方程组的解满足x＋y＝0，求m的值； (3)无论实数m取何值时，方程x－2y＋mx＋5＝0总有一个固定的解，求出这个解． (4)若方程组的解中x恰为整数，m也为整数，求m的值． 【答案】（1）， （2）m=（3）（4） 【分析】（1）先对方程变形为x=6-2y，然后可带入数值求解； （2）把已知的x+y=0和方程x+2y-6=0组合成方程组，求解方程组的解，然后代入方程x-2y+mx+5=0即可求m的值； （3）方程整理后，根据无论m如何变化，二元一次方程组总有一个固定的解，列出方程组，解方程组即可； （4）先把m当做已知求出x、y的值，然后再根据整数解进行判断即可. 【详解】（1）                     （2）                    解得 把代入，解得m= （3） （4） ①+②得： 解得， ∵x恰为整数，m也为整数， ∴2+m=1或2+m=-1, 解得 2 / 2 多反思总结多交流的学习才高效！ 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 一次方程(组)及其应用 1 一元一次方程 1.1 概念 只含有一个未知数且未知数的指数是的方程叫做一元一次方程. 一般形式：. 注意：未知数在分母中是，它的次数不能看成是，如不是一元一次方程. 1.2 一元一次方程的解 方程的解：能使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解. 1.3 解一元一次方程的一般步骤 去分母、去括号、移项、合并同类项、未知数的系数化为. 2 等式的性质 （1）等式两边都加上或减去同一数或整式，所得结果仍是等式； （2）等式两边都乘或除以同一数不等于的数，所得结果仍是等式. 3 二元一次方程 3.1 概念 含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是的整式方程叫做二元一次方程. 3.2 二元一次方程的解 一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解. 3.3 二元一次方程组 含有两个未知数的两个二元一次方程所组成的一组方程，叫做二元一次方程组。 3.4 二元一次方程组的解 二元一次方程组的各个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解. 3.5 二元一次方程组的解法 解二元一次方程组的方法主要是通过消去一个未知数，把二元一次方程组的转化为一元一次方程，则可通过该方程先求出一个未知数，再求另一未知数。 将未知数的个数由多到少、逐一解决的思想，叫做消元思想. 具体解法有代入消元法和加减消元法. 4 实际问题中的常见类型 题型 涉及公式 等量关系 注意事项 和差倍分问题 -- -- 弄清“倍数”及“多少”的关系 等积变形问题 各种图形的面积， 体积公式 变形前后的面积或体积不变 分清半径、直径及各边长 相遇问题 路程 速度 时间 速度=路程 时间 时间=路程 速度 两者路程之和为相距的距离 注意始发时间和地点 追及问题 两者路程之差为相距的距离 比例分配问题 -- 全部数量=各种成分的数量之和 灵活设未知数 工程问题 工作量工作效率工作时间 工作时间 两个或多个对象所完成的工作量的和等于总工作量 一般把总工作量设为 1 销售问题 利润 实际售价一进价 利润率 找出利润或利润率之间的关系 打几折就是按百分之几十出售 数字问题 分别为一个两位数的个位上的数字与十位上的数字则这个两位数可表示为 数的大小与表示数的各字母之间的关系 一般间接设未知数 5 列方程(组)解应用题基本步骤 （1）审题，分析题中各个量之间的关系； （2）设未知数，根据题意及各个量的关系设未知数； （3）列方程（组），根据题中各个量的关系列方程（组）； （4）解方程（组）； （5）答. 【题型1】 等式的性质 【典题1】 （多选）（2024·山东潍坊·模拟预测）已知等式，则下列等式中成立的是（      ） A． B． C． D． 【巩固练习】 1.（2024·贵州·中考真题）小红学习了等式的性质后，在甲、乙两台天平的左右两边分别放入“■”“●”“▲”三种物体，如图所示，天平都保持平衡．若设“■”与“●”的质量分别为x，y，则下列关系式正确的是（    ） A． B． C． D． 2.（2023·广东佛山·模拟预测）下面各式的变形正确（   ） A．由5，得 B．由，得 C．由，得 D．由，得 3.（2024·安徽·模拟预测）已知实数a、b、c满足，则下列命题为假命题的是（    ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 【题型2】一元一次方程的解 【典题1】 （2024·四川雅安·三模）已知是关于x的一元一次方程的解，则的值是 ． 【巩固练习】 1.（2024·广东河源·二模）若是关于x的方程的解，则的值是（    ） A． B．2 C．1 D．0 2.（2024·内蒙古·二模）若是关于的一元一次方程的解，则的值是 ． 3.若不论k取什么数，关于x的方程（a、b是常数）的解总是，则的值是 ． 【题型3】一元一次方程的解法 【典题1】解方程： (1)； (2)． 【巩固练习】 1.（2024·甘肃陇南·三模）方程的解为（    ） A． B． C． D． 2.解方程： (1)； (2) 【题型4】二元一次方程组的解法 【典题1】（2024·广西·模拟预测）解二元一次方程组： 【巩固练习】 1.（2023·云南临沧·三模）若是二元一次方程组的解，则为（　　） A．2 B． C．3 D． 2.（2024·贵州毕节·三模）已知关于x，y的二元一次方程组的解也是方程的解，则k的值为（   ） A． B． C．2 D．无法计算 3.（2024·四川攀枝花·模拟预测）解方程：． 【题型5】 二元一次方程组的应用之工程问题 【典题1】 （2024·宁夏银川·二模）黄河是母亲河，为打造黄河的风光带，现有一段长为180米的河道整治任务由A、B两工程队先后接力完成．A工程队每天整治12米，B工程队每天整治8米，共用时20天． (1)根据题意，甲、乙两名同学分别列出尚不完整的方程组如下： 根据甲、乙两名同学所列的方程组，请你分别指出未知数x、y表示的意义，然后在方框内补全甲、乙两名同学所列的方程组： 甲：x表示________，y表示________；乙：x表示________，y表示________； (2)求A、B两工程队分别整治河道多少米．（写出完整的解答过程） 【巩固练习】 1.绵阳中学为了进一步改善办学条件，决定计划拆除一部分旧校舍，建造新校舍．拆除旧校舍每平方米需80元，建造新校舍每平方米需要800元，计划在年内拆除旧校舍与建造新校舍共9000平方米，在实施中为扩大绿化面积，新建校舍只完成了计划的而拆除旧校舍则超过了计划的，结果恰好完成了原计划的拆、建总面积． (1)求原计划拆、建面积各是多少平方米？ (2)若绿化1平方米需要200元，那么把在实际的拆、建工程中节余的资金全部用来绿化，可绿化多少平方米？ 2.（2024·安徽合肥·一模）某工程由甲、乙两个工程队施工，工程小组综合比较两工程队发现，甲工程队施工2天的费用比乙工程队施工3天的费用少0.3万元，甲、乙两工程队合作施工一天的费用为2.6万元．单独完成这项工程，甲工程队刚好如期完成，乙工程队要比规定日期多用5天，初步计算，若单独请甲工程队需付30万元． (1)请计算甲、乙工程队每天所需的施工费用各是多少万元? (2)为降低工程施工费用，甲、乙两工程队先合作施工若干天，再由乙工程队全部完成，求甲、乙两工程队合作施工多少天时，在不耽误工期的情况下，施工费用最低． 【题型6】二元一次方程组的应用之行程问题 【典题1】 （2024·广东梅州·一模）周末，小明和他的爸爸来到环形运动场进行跑步锻炼，绕环运动场一圈的路程为400米． (1)若两人同时同起点相向而跑，则经过36秒后首次相遇；若两人同时同起点同向而跑，则经过180秒后，爸爸首次从后面又追上小明，问小明和他的爸爸的速度各为多少？ (2)假设爸爸的速度是6米/秒，小明的速度是5米/秒，两人进行400米赛跑，同时同起点同向出发，等爸爸跑到半圈时，故意降速为4米/秒，按此继续比赛，小明能否在400米终点前追上爸爸，如果能，求追上时距离终点还有多少米；如果不能，请说明理由． 【巩固练习】 1.（2023·黑龙江哈尔滨·一模）甲、乙两车分别从相距200千米的A、B两地相向而行，甲乙两车均保持匀速行驶，若甲车行驶2小时，乙车行驶3小时，两车恰好相遇：若甲车行驶4小时，乙车行驶1小时，两车也恰好相遇． (1)求甲乙两车的速度（单位：千米/小时）是多少． (2)若甲乙两车同时按原速度行驶了1小时，甲车发生故障不动了，为了保证乙车再经过不超过2小时与甲车相遇，乙车提高了速度，求乙车提速后的速度至少是每小时多少千米？ 2.（2023·江苏南京·一模）如图①，古代行军中传令兵负责传送命令．如图②，一支长度为的队伍，排尾A处的传令兵从甲地和队伍沿同一直道同时出发．队伍以的速度行进，且队伍长度保持不变；出发时，传令兵接到命令，立即以的速度赶赴排头B，到达排头B后立即返回排尾A，再次接到命令，立即赶赴排头B……如此循环往复，且传令兵往返速度保持不变．行进过程中，传令兵离甲地的距离（单位：）与出发时间x（单位：）之间的函数关系部分图象如图③所示．    (1)______，______； (2)求线段所表示的与x之间的函数表达式； (3)在图③中，画出排头B离甲地的距离（单位：）与出发时间x之间的函数图象 【题型7】二元一次方程组的应用之销售问题 【典题1】（2024·云南红河·模拟预测）云南昆明斗南花市，是亚洲最大的国际鲜花交易市场．2024年3月8日“妇女节”这一天，某花店店主去斗南花市批发玫瑰、康乃馨两种鲜花进行销售，进价，售价如下表： 康乃馨 玫瑰 进价（单位：元/枝） 1 2 售价（单位：元/枝） 3 5 已知这两种鲜花的进价总额为1300元，销售总额为3400元． (1)问该花店购进这两种鲜花的枝数分别是多少？ (2)为了促销，店主决定在利润不低于1600元的情况下，康乃馨按原价出售，玫瑰打折出售，问最多可打几折？ 【巩固练习】 1.（2024·江西南昌·模拟预测）为培养学生的数学阅读习惯，激发学生学习数学的兴趣，某校计划购买甲、乙两种数学课外读物供学生阅读．已知购买1本甲种和1本乙种数学课外读物共需元，购买1本甲种和2本乙种数学课外读物共需元． (1)求甲、乙两种数学课外读物的单价； (2)该校计划购买甲、乙两种数学课外读物共本，总费用不超过元，那么至少可购买甲种数学课外读物多少本？ 【题型8】 二元一次方程组的应用之几何问题 【典题1】 （2024·广东潮州·一模）【综合实践】 主题：制作一个有盖长方体盒子． 操作：如图所示，矩形纸片中，，，剪掉阴影部分后，剩下的纸片可折成一个底面是正方形的有盖长方体盒子． 计算：求这个有盖长方体盒子的高和底面正方形的边长．    【巩固练习】 1.（2024·北京门头沟·二模）如图，小明在拼图时，发现8个一样的小长方形恰好可以拼成一个边长为22的正方形，但是中间留了个洞，恰好是边长为2的小正方形，求每个小长方形的长和宽．    2.（2021·河北石家庄·三模）如图1所示的是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形．然后用四块小长方形拼成如图2所示的正方形． （1）图2中的阴影正方形边长表示正确的序号为______． ①；②；③． （2）由图2可以直接写出，，之间的一个等量关系是______． （3）根据（2）中的结论，解决下列问题： ①，，求的值； ②将一根铁丝剪成两段，用这两段铁丝围成两个正方形，拼成如图3所示的形状（在同一水平线上，两正方形无重叠，铁丝的厚度忽略不计），若铁丝总长为．两个正方形的面积之差为，则阴影部分的面积为____． 【题型9】二元一次方程组的应用之方案决策问题 【典题1】 随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．某汽车制造商开发了一款新能源汽车，计划一年生产安装360辆．由于抽调不出足够的熟练工来完成安装任务，工厂决定招聘部分新工人，他们经过培训后也能独立进行新能源汽车的安装．生产开始后，调研部门发现：1名熟练工和3名新工人每月可安装12辆新能源汽车；2名熟练工和5名新工人每月可以安装22辆新能源汽车． (1)每名熟练工和新工人每月分别可以安装多少辆新能源汽车？ (2)如果工厂招聘n（）名新工人，使得招聘的新工人和抽调的熟练工刚好能完成一年的安装任务，那么工厂有哪几种新工人的招聘方案？ (3)在（2）的条件下，工厂给安装新能源汽车的每名熟练工人每月发放4000元的工资，给每名新工人每月发2400元的工资，那么工厂应招聘多少名新工人，使新工人的数量多于熟练工，同时工厂每月支出的工资总额W（元）尽可能少？ 【巩固练习】 1.“脐橙结硕果，香飘引客来”，赣南脐橙以其“外表光洁美观，肉质脆嫩，风味浓甜芳香”的特点饮誉中外．现欲将一批脐橙运往外地销售，若用2辆A型车和1辆B型车载满脐橙一次可运走；用1辆A型车和2辆B型车载满脐橙一次可运走，现有脐橙，计划同时租用 A 型车a 辆，B 型车b辆，一次运完，且恰好每辆车都载满脐橙． 根据以上信息，解答下列问题： (1)1 辆A 型车和1辆B 型车都载满脐橙一次可分别运送多少吨? (2)请你帮该物流公司设计租车方案； (3)若1辆A 型车需租金100元/次，1辆B型车需租金120元/次．请选出费用最少的租车方案，并求出最少租车费． 【题型10】二元一次方程组的应用之开放型问题 【典题1】小红用110根长短相同的小木棍按照如图所示的方式,连续摆正方形或六边形,要求相邻的图形只有一条公共边. (1)小红首先用根小木棍摆出了个小正方形,请你用等式表示之间的关系： ； (2)小红用剩下的小木棍摆出了一些六边形,且没有木棍剩余.已知他摆出的正方形比六边形多4个,请你求出摆放的正方形和六边形各多少个? (3)小红重新用50根小木棍,摆出了排,共个小正方形.其中每排至少含有1个小正方形,每排含有的小正方形的个数可以不同.请你用等式表示之间的关系,并写出所有可能的取值. 【巩固练习】 1.如图，小强和小红一起搭积木，小强所搭的“小塔”的高度为23 cm，小红所搭的“小树”的高度为22 cm，设每块A型积木的高为x cm，每块B型积木的高为y cm，则x= ，y= ． 2.已知关于x，y的方程组 (1)请直接写出方程x＋2y－6＝0的所有正整数解； (2)若方程组的解满足x＋y＝0，求m的值； (3)无论实数m取何值时，方程x－2y＋mx＋5＝0总有一个固定的解，求出这个解． (4)若方程组的解中x恰为整数，m也为整数，求m的值． 2 / 2 多反思总结多交流的学习才高效！ 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$