第13讲 二次函数的应用（讲练）-【上好课】2025年中考数学一轮复习讲练测（北京专用）

第三章 函数及其图像 第13讲 二次函数的应用（7分） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 01考情透视·目标导航 02知识导图·思维引航 03考点突破·考法探究 考点 二次函数的应用 （高频考点） 04题型精研·考向洞悉 命题点 二次函数的应用 ►题型01 图形问题 ►题型02 图形运动问题 ►题型03拱桥问题 ►题型04销售问题 ►题型05投球问题 ►题型06喷水问题 ►题型07增长率问题 ►题型08其他问题 05分层训练·巩固提升 基础巩固 能力提升 0 考点要求 新课标要求 考查频次 命题预测 二次函数的应用 能用二次函数解决实际问题 10年3考 二次函数的应用在中考中较为常见，其中，二次函数在实际生活中的应用多为小题，出题率不高，一般需要根据题意自行建议二次函数模型; 而利用二次函数图象解决实际问题和最值问题则多为解答题，此类问题需要多注意题意的理解，而且一般计算数据较大，还需根据实际情况判断所求结果是否有合适，需要考生在做题过程中更为细心对待。 考点 二次函数的应用（高频考点） 用二次函数解决实际问题的一般步骤： 1.审：仔细审题，理清题意； 2.设：找出题中的变量和常量，分析它们之间的关系，与图形相关的问题要结合图形具体分析，设出适当的未知数； 3.列：用二次函数表示出变量和常量之间的关系，建立二次函数模型，写出二次函数的解析式； 4.解：依据已知条件，借助二次函数的解析式、图象和性质等求解实际问题； 5.检：检验结果，进行合理取舍，得出符合实际意义的结论. 【注意】二次函数在实际问题中的应用通常是在一定的取值范围内，一定要注意是否包含顶点坐标，如果顶点坐标不在取值范围内，应按照对称轴一侧的增减性探讨问题结论． 利用二次函数解决利润最值的方法：巧设未知数，根据利润公式列出函数关系式，再利用二次函数的最值解决利润最大问题是否存在最大利润问题。 利用二次函数解决拱桥/隧道/拱门类问题的方法：先建立适当的平面直角坐标系，再根据题意找出已知点的坐标，并求出抛物线解析式，最后根据图象信息解决实际问题。 利用二次函数解决面积最值的方法：先找好自变量，再利用相关的图形面积公式，列出函数关系式，最后利用函数的最值解决面积最值问题。 【注意】自变量的取决范围。 利用二次函数解决动点问题的方法：首先要明确动点在哪条直线或抛物线上运动，运动速度是多少，结合直线或抛物线的表达式设出动点的坐标或表示出与动点有关的线段长度，最后结合题干中与动点有关的条件进行计算． 利用二次函数解决存在性问题的方法：一般先假设该点存在，根据该点所在的直线或抛物线的表达式，设出该点的坐标；然后用该点的坐标表示出与该点有关的线段长或其他点的坐标等；最后结合题干中其他条件列出等式，求出该点的坐标，然后判别该点坐标是否符合题意，若符合题意，则该点存在，否则该点不存在． 命题点 二次函数的应用 ►题型01 图形问题 1．数学活动课上，老师提出问题：如图1，有一张长，宽的长方形纸板，在纸板的四个角裁去四个相同的小正方形，然后把四边折起来，做成一个无盖的盒子，问小正方形的边长为多少时，盒子的体积最大．    下面是探究过程，请补充完整： (1)设小正方形的边长为，体积为，根据长方体的体积公式得到和的关系式为______； (2)确定自变量的取值范围是______； (3)列出与的几组对应值． … 1 … … 1.3 2.2 2.7 3.0 2.8 2.5 1.5 0.9 … （说明：表格中相关数值均精确到0.1） (4)为观察与之间的关系，建立坐标系（图2），以为横坐标，为纵坐标，描出表中数据对应的点，并用平滑的曲线连接它们； (5)结合画出的函数图象，解决问题：要使得长方体盒子的体积最大，小正方形的边长约为______．（精确到0.1） 2．学校新建的体育器材室的一面外墙如图1所示，它的轮廓由抛物线和矩形构成．数学兴趣小组要为器材室设计一个矩形标牌，要求矩形的顶点E，H在抛物线上，顶点F，G在矩形的边上．为了设计面积最大的矩形，兴趣小组对矩形的面积与它的一边的长之间的关系进行研究．    具体研究过程如下，请补充完整． (1)建立模型： 以的中点为坐标原点，建立如图2所示的平面直角坐标系，通过研究发现，抛物线满足函数关系．设矩形的面积为，的长为，则另一边的长为_______m（用含a的代数式表示），得到S与a的关系式为：_________； (2)探究函数： 列出S与a的几组对应值： … 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 … … 0.49 0.94 1.29 1.50 1.52 1.31 0.82 … 在下面的平面直角坐标系中，描出表中各组数值对应的点，并画出该函数的图象；    (3)解决问题： 结合函数图象得到，的长约为__________m时，矩形面积最大． 3．为了节省材料，某水产养殖户利用水库的岸堤（岸堤足够长）为一边，用总长为的围网在水库中围成了如图所示的三块矩形区域，而且这三块矩形区域的面积相等设的长度为，矩形区域的面积为 (1)是否存在的值，使得矩形的面积是； (2)为何值时，有最大值？最大值是多少？ 4．如图，用的篙色围成一个边靠墙的矩形场地，墙长．垂直于墙的边长为．围成的矩形场地的面积为． (1)求与的函数关系式，并写出自变量的取值范围； (2)求这个矩形场地面积的最大值． ►题型02 图形运动问题 5．如图，在中，，，点分别为的中点，点P从A点向D点运动，点Q在上，且，连接，过点Q作交AB与点F，设点P运动的路程为x，的面积为，则能反映y与x之间关系的图象是（　　） A．B． C． D． 6．如图，动点P在线段上（不与点A，B重合），分别以为直径作半圆，记图中所示的阴影部分面积为y，线段的长为x．当点P从点A移动到点B时，y随x的变化而变化，则表示y与x之间关系的图象大致是（   ） A． B． C． D． 7．如图，正方形的边长为2，点E是上一动点（点E与点A，B不重合），点F在延长线上，，以，为边作矩形．设的长为x，矩形的面积为y，则y与x满足的函数关系的图像是（    ） A． B． C． D． 8．如图，在等腰直角△ABC中，∠B＝90°，AB＝BC＝4．动点P以每秒2个单位长度的速度沿射线AB运动，过点P作PF⊥AC于点F，以AF，AP为邻边作▱FAPG；▱FAPG与等腰直角△ABC的重叠部分面积为y（平方单位），y＞0，点F与点C重合时运动停止，设点P的运动时间为x秒． (1)直接写出点G落在BC边上时x的值． (2)求y与x的函数关系式． (3)直接写出点G与△ABC各顶点的连线平分△ABC面积时x的值． ►题型03拱桥问题 1．某公园有一座漂亮的五孔桥，如图所示建立平面直角坐标系，主桥洞与两组副桥洞分别位于轴的两侧成轴对称摆放，每个桥洞的形状近似的可以看作抛物线，主桥洞上，与近似满足函数关系．经测量在主桥洞上得到与的几组数据：    (米) (米) 根据以上数据回答下列问题： (1)求主桥洞的函数表达式； (2)若的表达式：，的表达式：，求五个桥洞的总跨度的长． 2．赛龙舟是中国端午节的习俗之一，也是一项广受欢迎的民俗体育运动．某地计划进行一场划龙舟比赛，图1是比赛途中经过的一座拱桥，图2是该桥露出水面的主桥拱的示意图，可看作抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，桥拱上的点到水面的竖直高度y（单位：）与到点O的水平距离x（单位：）近似满足函数关系，据调查，龙舟最高处距离水面，为保障安全，通过拱桥时龙舟最高处到桥拱的竖直距离至少． (1)水面的宽度_______； (2)要设计通过拱桥的龙舟赛道方案，若每条龙舟赛道宽度为，求最多可设计龙舟赛道的数量． 3．如图1，某公园在入园处搭建了一道“气球拱门”，拱门两端落在地面上．若将拱门看作抛物线的一部分，建立如图2所示的平面直角坐标系．拱门上的点距地面的竖直高度（单位：）与水平距离（单位：）近似满足函数关系． (1)拱门上的点的水平距离与竖直高度的几组数据如下： 水平距离 2 3 6 8 10 12 竖直高度 4 5.4 7.2 6.4 4 0 根据上述数据，直接写出“门高”（拱门的最高点到地面的距离），并求出拱门上的点满足的函数关系． (2)一段时间后，公园重新维修拱门．新拱门上的点距地面的竖直高度（单位：）与水平距离（单位：）近似满足函数关系，若记“原拱门”的跨度（跨度为拱门底部两个端点间的距离）为，“新拱门”的跨度为，则__________填“”、“”或“”）． 4．如图是某抛物线形拱桥的截面图．某数学小组对这座拱桥很感兴趣，他们利用测量工具测出水面AB的宽为8米．设AB上的点E到点A的距离米，点E到拱桥顶面的垂直距离米． 通过取点、测量，数学小组的同学得到了x与y的几组值，如下表： x（米） 0 1 2 3 4 5 6 7 8 y（米） 0 1.75 3 3.75 4 3.75 3 1.75 0 (1)拱桥顶面离水面AB的最大高度为______米； (2)请你帮助该数学小组建立平面直角坐标系，描出上表中各对对应值为坐标的点，并用平滑的曲线连接； (3)测量后的某一天，由于降雨原因，水面比测量时上升1米．现有一游船（截面为矩形）宽度为4米，船顶到水面的高度为2米．要求游船从拱桥下面通过时，船顶到拱桥顶面的距离应大于0.5米．结合所画图象，请判断该游船是否能安全通过：______（填写“能”或“不能”）． ►题型04销售问题 1．某商场销售一批进价为10元/件的日用品，经调查发现，每月销售件数y（件）与销售价格x（元/件）之间的关系如图所示，每月销售该商品获得的利润为W（元）．      (1)分别求出y与x，W与x的函数解析式； (2)当商场每月销售该商品的利润为4000元时，求该商品的定价； (3)为了获得最大的利润，该商品的销售价应定为多少？最大利润是多少？ 2．某水果店销售某种水果，由历年市场行情可知，从第月至第月，这种水果每千克售价（元）与销售时间第月之间存在如图（一条线段）所示的变化趋势，每千克成本（元）与销售时间第月之间存在如图（一段抛物线）所示的变化趋势． (1)分别求函数和的表达式； (2)销售这种水果，第几月每千克所获得利润最大？最大利润是多少？ 3．为指导菜农生产和销售某种蔬菜，小明进行了如下调查，得到某种蔬菜的售价x（元/千克）与相应需求量p（千克）以及供给量q（千克）的数据，如下表： 售价x（元/千克） … 2.5 3 3.5 4 … 需求量p（千克） … 7.75 7.2 6.55 5.8 … 供给量q（千克） … 1.5 2 2.5 3 (1)观察表中的数据，小明发现：供给量q（千克）与售价x（元/千克）之间满足______函数关系（横线上填“一次”、“二次”或“反比例”），它的函数表达式为______； (2)为了研究这种蔬菜的需求量p（千克）与售价x（元/千克）之间的关系，小明在坐标系中，以售价为横坐标、相应需求量为纵坐标描出下列四个点，将其用平滑曲线连线，如图．通过再图观察，小明发现这种蔬菜的需求量p（千克）与售价x（元/千克）之间满足二次函数关系，并进一步确定它的函数表达式满足的形式，请求出p关于x关于的函数表达式． (3)为使这种蔬菜供需平衡（即供给量与需求量相等），售价应定为多少？ ►题型05投球问题 1．某兴趣小组在老师们的带领下自制一种小球发射器，已知该发射器的小球出口C离地竖直高度OC=1.6米．如图，小球在最大档位和最小档位的力度发射出去的路线可以抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象，矩形为移动的接球盒，其中米，米，最小档位发射的抛物线可以看作由最大档位发射的抛物线向左平移得到，最大档位抛物线最高点D离出球口的水平距离为2米，高出出球口0.4米． (1)求最大档位时小球射出的抛物线的函数表达式，并求出小球射出的最大射程OA； (2)最小档位发射的抛物线可以看作由最大档位发射的抛物线向左平移个单位长度而得到； (3)要使接球盒能接住所有档位射出的小球（即射出的小球都能落入水平移动的接球盒中），请直接写出接球盒距发射器的水平距离的取值范围． 2．甲，乙两名同学进行羽毛球比赛，羽毛球发出后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分．如图建立平面直角坐标系，羽毛球从点的正上方发出，飞行过程中羽毛球的竖直高度（单位：）与水平距离（单位：）之间近似满足函数关系． 比赛中，甲同学连续进行了两次发球． (1)甲同学第一次发球时，羽毛球的水平距离与竖直高度的七组对应数据如下： 水平距离 0 1 2 3 4 5 6 竖直高度 1 2.75 4 4.75 5 4.75 4 根据以上数据，回答下列问题： ①当羽毛球飞行到最高点时，水平距离是_____； ②在水平距离处，放置一个高的球网，羽毛球_____（填“是”或“否”）可以过网； ③求出满足的函数关系； (2)甲同学第二次发球时，羽毛球的竖直高度与水平距离之间近似满足函数关系．乙同学在两次接球中，都是原地起跳后使得球拍达到最大高度时刚好接到球，记乙同学第一次接球的起跳点的水平距离为，第二次接球的起跳点的水平距离为，则_____（填“＞”“＜”或“＝”）． 3．某航模小组研制了一种航模飞机，为了测试航模飞机的性能，飞机从水平放置的圆柱形发射台的上底面中心处起飞，其飞行轨迹是一条抛物线．以发射台的下底面中心为坐标原点，过原点的水平线为轴，所在直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系．若发射台的高度为，测得当飞行的水平距离为时，飞机的飞行高度为；当飞行的水平距离为时，飞机的飞行高度为． (1)求抛物线的解析式． (2)求飞机飞行的最大高度及最远距离． (3)由于发射台可以上下升降，保证其他起飞条件不变的前提下，抛物线随着起飞点的上下平移而上下平移．如图，在水平线轴上设置回收区域，，，要使飞机恰好降落到内（包括端点，），直接写出发射台的高度的取值范围． ►题型06喷水问题 1．某广场建了一座圆形音乐喷水池，在池中心竖直安装一根水管，安装在水管顶端A处的圆形喷头向四周喷水，且各个方向喷出的抛物线形水柱形状相同．如图1，以池中心O点为坐标原点，水平方向为x轴，所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系．x轴上的点C，D为水柱的落水点，若落地直径，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为处达到最高． (1)求图1中右边抛物线的解析式； (2)计划在图1中的线段上的点B处竖立一座雕像，雕像高，若想雕像不碰到水柱，请求出线段的取值范围； (3)圆形水池的直径为，喷水造型会随着音乐节奏起伏而变化，从而产生一组不同的抛物线（如图2），若右侧抛物线顶点始终在直线上，当喷出的抛物线水柱最大高度为时，水柱会喷到圆形水池之外吗？请说明理由． 2．某公园在人工湖里安装一个喷泉，在湖心处竖直安装一根水管，在水管的顶端安一个喷水头，若记水柱上某一位置与水管的水平距离为d米，与湖面的垂直高度为h米. d（米） 0 1 2 3 4 h（米） 0.5 1.25 1.5 1.25 0.5 根据上述信息，解决以下问题： (1)在如下网格中建立适当的平面直角坐标系，并根据表中所给数据画出表示h与d函数关系的图象； (2)若水柱最高点距离湖面的高度为m米，则m＝ ； (3)现公园想通过喷泉设立新的游玩项目，准备通过只调节水管露出湖面的高度，使得游船能从水柱下方通过．如图2所示，为避免游船被喷泉淋到，要求游船从水柱下方中间通过时，顶棚上任意一点到水柱的竖直距离均不小于0.5米．已知游船顶棚宽度为3米，顶棚到湖面的高度为2米，那么公园应将水管露出湖面的高度（喷水头忽略不计）至少调节到多少米才能符合要求？请通过计算说明理由（结果保留一位小数）． ►题型07增长率问题 1．进入夏季后，某电器商场为减少库存，对电热取暖器连续进行两次降价．若设平均每次降价的百分率是x，降价后的价格为y元，原价为a元，则y与x之间的函数关系式为（    ） A． B． C． D． 2．某厂今年一月份新产品的研发资金为10万元，以后每月新产品的研发资金与上月相比增长率都是x，则该厂今年一季度新产品的研发资金（元）关于x的函数关系式为（     ） A． B． C． D． 3．根据福建省统计局数据，福建省年的地区生产总值为亿元，年的地区生产总值为亿元．设这两年福建省地区生产总值的年平均增长率为x，根据题意可列方程（　　） A． B． C． D． ►题型08其他问题练 1．如图1，灌溉车为公路绿化带草坪浇水，图2是灌溉车浇水操作时的截面图．现将灌溉车喷出水的上、下边缘线近似地看作平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象．已知喷水口H离地竖直高度为，草坪水平宽度，竖直高度忽略不计.上边缘抛物线最高点A离喷水口的水平距离为，高出喷水口，下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到的，设灌溉车到草坪的距离为d（单位：m）． (1)求上边缘抛物线的函数解析式，并求喷出水的最大射程的长； (2)下边缘抛物线落地点B的坐标为______； (3)要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个草坪，d的取值范围为______． 2．我们常见的炒菜锅和锅盖都是抛物线面，经过锅心和盖心的纵断面是两段抛物线组合而成封闭图形，不妨简称为“锅线”，锅口直径为，锅盖高（锅口直径与锅盖直径视为相同），建立直角坐标系如图①所示，如果把锅纵断面的抛物线记为，把锅盖纵断面的抛物线记为    (1)求锅深的长； (2)如果炒菜时锅的水位高度是，求此时水面的直径； (3)如果将一个底面直径为，高度为的圆柱形器皿放入炒菜锅内蒸食物，锅盖能否正常盖上？请说明理由． 3．如图是某跳台滑雪场的横截面示意图，一名运动员经过助滑、起跳从地面上点O的正上方4米处的A点滑出，滑出后的路径形状可以看作是抛物线的一部分，通过测量运动员第一次滑下时，在距所在直线水平距离为d米的地点，运动员距离地面高度为h米．获得如下数据： 水平距离d/米 0 2 4 6 8 垂直高度h/米 4 8 8    请解决以下问题： (1)在网格中建立适当的平面直角坐标系，根据已知数据描点，并用平滑的曲线连接；    (2)结合表中所给数据或所画图象，直接写出运动员滑行过程中距离地面的最大高度为_____米； (3)求h 关 于d 的函数表达式； (4)运动员第二次滑下时路径形状可表示为：，当第一次和第二次距离所在直线的水平距离分别为、，且时能成功完成空中动作，则该运动员_________（填写“能”或“不能”）完成空中动作． 4．科研人员为了研究弹射器的某项性能，利用无人机测量小钢球竖直向上运动的相关数据．无人机上升到距离地面处开始计时，此时，在地面用弹射器（高度不计）竖直向上弹射一个小钢球（忽略空气阻力）．记无人机和小钢球距离地面的高度分别为，（单位：），科研人员收集了，随时间x （单位：s）变化的数据，并分别绘制在平面直角坐标系中，如图所示． (1)根据，随的变化规律，从 ① ；② （）；③ 中，选择适当的函数模型，分别求出，满足的函数关系式； (2)当时，小钢球和无人机的高度差最大是 ． 基础巩固 1．一个球从地面竖直向上弹起时的速度为10米/秒，经过（秒）时球距离地面的高度（米）适用公式，那么球弹起后又回到地面所花的时间（秒）是（    ） A．5 B．10 C．1 D．2 2．某种商品的价格是元，准备进行两次降价．如果每次降价的百分率都是，经过两次降价后的价格（单位：元）随每次降价的百分率的变化而变化，则关于的函数解析式是（    ） A． B． C． D． 3．如图，用绳子围成周长为的矩形，记矩形的一边长为，矩形的面积为．当x在一定范围内变化时，S随x的变化而变化，则S与x满足的函数表达式为（    ） A． B． C． D． 4．使用家用燃气灶烧开同一壶水所需的燃气量y（单位：m3）与旋钮的旋转角度x（单位：度）（0°＜x≤90°）近似满足函数关系y＝ax2+bx+c（a≠0）．如图记录了某种家用节能燃气灶烧开同一壶水的旋钮的旋转角度x与燃气量y的三组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出此燃气灶烧开一壶水最节省燃气的旋钮的旋转角度约为（　　） A．33° B．36° C．42° D．49° 5．一位篮球运动员跳起投篮，篮球运行的高度y（米）关于篮球运动的水平距离x（米）的函数解析式是y=﹣（x﹣2.5）2+3.5．已知篮圈中心到地面的距离3.05米，如果篮球运行高度达到最高点之后能准确投入篮圈，那么篮球运行的水平距离为（ ） A．1米 B．2米 C．4米 D．5米 6．某校羽毛球社团使用发球机辅助训练，如图所示，将发球机放置在点处，羽毛球发射的初始位置的高为，．若羽毛球从点发射后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分，羽毛球在飞行过程中，在与点的水平距离为的点处的正上方达到最高点，且高度为．在与点的水平距离为的点处落地，则的值是 ． 7．如图，在期末体育测试中，小朱掷出的实心球的飞行高度y（米）与水平距离x（米）之间的关系可以近似的看成抛物线，则小朱本次投掷实心球的成绩为 米． 8．市中心广场有各种音乐喷泉，其中一个喷泉管喷出的抛物线形水柱在与喷泉管的水平距离为处达到最高，高度为，在如图所示的平面直角坐标系中，这个喷泉管喷出的抛物线形水柱的函数关系式是 ． 9．用一根长为20cm的铁丝围成一个长方形，若该长方形的一边长为xcm，面积为ycm2，则y与x之间的关系式为 ． 10．如图，小李推铅球，如果铅球运行时离地面的高度y(米)关于水平距离x(米)的函数表达式为y＝－x2＋x＋，那么铅球运动过程中最高点离地面的距离为 米． 11．如图，一块矩形土地由篱笆围着，并且由一条与边平行的篱笆分开．已知篱笆的总长为（篱笆的厚度忽略不计），当 m时，矩形土地的面积最大．    12．中国跳水队在第三十二届夏季奥林匹克运动会上获得7金5银12枚奖牌的好成绩．某跳水运动员从起跳至人水的运动路线可以看作是抛物线的一部分．如图所示，该运动员起跳点A距离水面10m，运动过程中的最高点B距池边2.5m，入水点C距池边4m，根据上述信息，可推断出点B距离水面 m． 13．“兔飞猛进”谐音成语“突飞猛进”．在自然界中，野兔善于奔跑跳跃，“兔飞猛进”名副其实．野兔跳跃时的空中运动路线可以看作是抛物线的一部分．建立如图所示的平面直角坐标系．通过对某只野兔一次跳跃中水平距离x（单位：m）与竖直高度y（单位：m）进行的测量，得到以下数据：根据数据，回答下列问题： 水平距离 0 0.4 1 1.4 2 2.4 2.8 竖直高度 0 0.48 0.9 0.98 0.8 0.48 0 (1)①野兔本次跳跃的最远水平距离为 m，最大竖直高度为 m； ②求满足条件的抛物线的解析式； (2)已知野兔在高速奔跑时，某次跳跃的最远水平距离为，最大竖直高度为．若在野兔起跳点前方处有高为的篱笆，则野兔此次跳跃能否跃过篱笆？请说明理由． 14．一年一度的红窗汇，是课程学习成果的展示、交流、分享和变现的平台，是十一系的学子们期待的盛会．某社团设计了一款文创产品，想要在红窗汇售卖，为了解同学们的购买意向，社团成员提前进行了市场调研．经过统计，该产品的制作成本为每件30元，当售价定为每件50元时，预计可以销售80件，售价每下降1元，预计可多销售5件． 设该产品的售价下降x元，预计销售利润为y元． (1)求y与x的函数关系式（不必写出x的取值范围）； (2)该产品的售价定为多少元时，预计可获得最大利润？最大利润是多少元？ 15．原地正面掷实心球是北京市初中学业水平考试体育现场考试的选考项目之一，实心球被掷出后的运动路线可以看作是抛物线的一部分，如图所示，建立平面直角坐标系，实心球从出手到落地的过程中，它的竖直高度(单位：)与水平距离(单位：)近似满足函数关系． 小明训练时，实心球的水平距离与竖直高度的几组数据如下： 水平距离/m 竖直高度/m 1.8 2.43 2.88 3.15 3.24 3.15 根据上述数据，解决下列问题： (1)直接写出实心球竖直高度的最大值是______； (2)求出满足的函数关系； (3)求实心球从出手到落地点的水平距离． 16．我们常见的炒菜锅和锅盖都是抛物线面，经过锅心和盖心的纵断面是两段抛物线组合而成的封闭图形，不妨简称为“锅线”，锅口直径为，锅深，锅盖高（锅口直径与锅盖直径视为相同），建立直角坐标系如图①所示，如果把锅纵断面的抛物线记为，把锅盖纵断面的抛物线记为． (1)求和的解析式； (2)如果炒菜时锅的水位高度是，求此时水面的直径（结果保留根号）； (3)如果将一个底面直径为，高度为的圆柱形器皿竖直放入炒菜锅内蒸食物，锅盖能否正常盖上？请说明理由． 能力提升 1．如图，等腰（）的直角边与正方形的边长均为，且与在同一条直线上，开始时点与点重合，让沿直线向右平移，直到点与点重合为止．设的长为，与正方形重合部分（图中阴影部分）的面积为，则与之间的函数的图象大致是（    ） A． B． C． D． 2．如图1，在平行四边形ABCD中，，，动点P从点A出发，以每秒1个单位的速度沿线段AB运动到点B停止，同时动点Q从点B出发，以每秒4个单位的速度沿折线运动到点D停止．图2是点P、Q运动时，的面积S与运动时间t函数关系的图象，则a的值是（    ） A． B． C．6 D．12 3．图是一个瓷碗，图是其截面图，碗体呈抛物线状（碗体厚度不计），碗口宽，此时面汤最大深度． （1）当面汤的深度为时，汤面的直径长为 ； （2）如图，把瓷碗绕点缓缓倾斜倒出部分面汤，当时停止，此时碗中液面宽度 ． 4．根据以下素材，探索完成任务： 如何确定灌溉方案 素材1 图1是一种自动旋转农业灌溉摇臂喷枪，点P为喷水口，喷水的区域覆盖了整个圆面，图2喷出的水柱形成的图象是以水平方向为x轴，喷枪底座中心为原点建立平面直角坐标系，水柱喷出的外围路径可以近似抛物线和的一部分，量得 素材2 现有一块四边形农田，它的四个顶点C、D、E、F恰好都在上，如图3，，如果喷水口上升时，水柱喷出的形状与原来相同，现要求喷水的区域覆盖整块四边形农田． 问题解决 任务1 确定喷枪的高度 求的长 任务2 拟定方案1 一种高为的农作物，为了能灌溉到所有农作物的顶端，求该农作物种植的最大半径． 任务3 拟定方案2 要使喷水的区域覆盖整块四边形农田，喷水口应至少上升多少米． 5．根据下列素材，完成相应任务 仓储品装容的优化设计 素材1 如图1是某个仓库，图2是其横截面的示意图，已知墙体米，米，水平距离米，其顶部的轮廓为抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系后它可以近似地用函数 表示 素材2 图3是棱长为的立方体仓储品，将四件一样的仓储品如图4所示叠放在处，．当叉车要取货物时，需要将其向上抬升，沿水平方向移动1米后取出． 素材3 如图5，为保证能够用叉车安全顺利地搬运和放置仓储品进出仓库，需设计三条宽度为2米的过道，以及在过道之间设计两块宽度不少于2米的仓储区域． 要求： ①靠近过道的仓储品需从就近过道搬运，其余可从左或右搬运． ②尽可能多的装容仓储品． 问题解决 任务1 确定顶部形状 求仓库离地的最大距离． 任务2 确定摆放高度 当米时，试分别判断叉车能否从左边或右边取出？请说明理由． 任务3 设计最优方案 已知该仓库的长为50米，请你根据素材和要求设计：仓储区 米， 米，仓库最大仓储品容量为 件． $$第三章 函数及其图像 第13讲 二次函数的应用（7分） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 01考情透视·目标导航 02知识导图·思维引航 03考点突破·考法探究 考点 二次函数的应用 （高频考点） 04题型精研·考向洞悉 命题点 二次函数的应用 ►题型01 图形问题 ►题型02 图形运动问题 ►题型03拱桥问题 ►题型04销售问题 ►题型05投球问题 ►题型06喷水问题 ►题型07增长率问题 ►题型08其他问题 05分层训练·巩固提升 基础巩固 能力提升 0 考点要求 新课标要求 考查频次 命题预测 二次函数的应用 能用二次函数解决实际问题 10年3考 二次函数的应用在中考中较为常见，其中，二次函数在实际生活中的应用多为小题，出题率不高，一般需要根据题意自行建议二次函数模型; 而利用二次函数图象解决实际问题和最值问题则多为解答题，此类问题需要多注意题意的理解，而且一般计算数据较大，还需根据实际情况判断所求结果是否有合适，需要考生在做题过程中更为细心对待。 考点 二次函数的应用（高频考点） 用二次函数解决实际问题的一般步骤： 1.审：仔细审题，理清题意； 2.设：找出题中的变量和常量，分析它们之间的关系，与图形相关的问题要结合图形具体分析，设出适当的未知数； 3.列：用二次函数表示出变量和常量之间的关系，建立二次函数模型，写出二次函数的解析式； 4.解：依据已知条件，借助二次函数的解析式、图象和性质等求解实际问题； 5.检：检验结果，进行合理取舍，得出符合实际意义的结论. 【注意】二次函数在实际问题中的应用通常是在一定的取值范围内，一定要注意是否包含顶点坐标，如果顶点坐标不在取值范围内，应按照对称轴一侧的增减性探讨问题结论． 利用二次函数解决利润最值的方法：巧设未知数，根据利润公式列出函数关系式，再利用二次函数的最值解决利润最大问题是否存在最大利润问题。 利用二次函数解决拱桥/隧道/拱门类问题的方法：先建立适当的平面直角坐标系，再根据题意找出已知点的坐标，并求出抛物线解析式，最后根据图象信息解决实际问题。 利用二次函数解决面积最值的方法：先找好自变量，再利用相关的图形面积公式，列出函数关系式，最后利用函数的最值解决面积最值问题。 【注意】自变量的取决范围。 利用二次函数解决动点问题的方法：首先要明确动点在哪条直线或抛物线上运动，运动速度是多少，结合直线或抛物线的表达式设出动点的坐标或表示出与动点有关的线段长度，最后结合题干中与动点有关的条件进行计算． 利用二次函数解决存在性问题的方法：一般先假设该点存在，根据该点所在的直线或抛物线的表达式，设出该点的坐标；然后用该点的坐标表示出与该点有关的线段长或其他点的坐标等；最后结合题干中其他条件列出等式，求出该点的坐标，然后判别该点坐标是否符合题意，若符合题意，则该点存在，否则该点不存在． 命题点 二次函数的应用 ►题型01 图形问题 1．数学活动课上，老师提出问题：如图1，有一张长，宽的长方形纸板，在纸板的四个角裁去四个相同的小正方形，然后把四边折起来，做成一个无盖的盒子，问小正方形的边长为多少时，盒子的体积最大．    下面是探究过程，请补充完整： (1)设小正方形的边长为，体积为，根据长方体的体积公式得到和的关系式为______； (2)确定自变量的取值范围是______； (3)列出与的几组对应值． … 1 … … 1.3 2.2 2.7 3.0 2.8 2.5 1.5 0.9 … （说明：表格中相关数值均精确到0.1） (4)为观察与之间的关系，建立坐标系（图2），以为横坐标，为纵坐标，描出表中数据对应的点，并用平滑的曲线连接它们； (5)结合画出的函数图象，解决问题：要使得长方体盒子的体积最大，小正方形的边长约为______．（精确到0.1） 【答案】(1) (2) (3)3，2 (4)见解析 (5)0.6 【分析】（1）根据长方体的体积公式长宽高，进行计算即可得到答案； （2）根据盒子的长宽高为正数列出不等式组，求解即可得到答案； （3）分别计算出当时，当时，的值即可得到答案； （4）描点、连线，即可画出图象； （5）根据图象即可得到答案． 【详解】（1）解：根据题意得： ， 和的关系式为：， 故答案为：； （2）解：根据题意得： ， 解得：， 自变量的取值范围是， 故答案为：； （3）解：当时，， 当时，， 故答案为：3，2； （4）解：画出图象如图所示： ； （5）解：由图可得：当时，盒子的体积最大，最大值约为， 故答案为：0.6． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，求函数关系式、自变量的取值范围、画函数图象，解答此题的关键是采用数形结合的思想解题． 2．学校新建的体育器材室的一面外墙如图1所示，它的轮廓由抛物线和矩形构成．数学兴趣小组要为器材室设计一个矩形标牌，要求矩形的顶点E，H在抛物线上，顶点F，G在矩形的边上．为了设计面积最大的矩形，兴趣小组对矩形的面积与它的一边的长之间的关系进行研究．    具体研究过程如下，请补充完整． (1)建立模型： 以的中点为坐标原点，建立如图2所示的平面直角坐标系，通过研究发现，抛物线满足函数关系．设矩形的面积为，的长为，则另一边的长为_______m（用含a的代数式表示），得到S与a的关系式为：_________； (2)探究函数： 列出S与a的几组对应值： … 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 … … 0.49 0.94 1.29 1.50 1.52 1.31 0.82 … 在下面的平面直角坐标系中，描出表中各组数值对应的点，并画出该函数的图象；    (3)解决问题： 结合函数图象得到，的长约为__________m时，矩形面积最大． 【答案】(1)； (2)图象见解析 (3) 【分析】（1）把代入即可求出，然后利用矩形面积公式即可求出S与a的关系式； （2）在平面直角坐标系中，描出表中各组数值对应的点，并画出该函数的图象即可； （3）根据图象的顶点坐标即可得出答案． 【详解】（1）∵， ∴． 当时，， ∴． ∴． 故答案是；． （2）正确画出该函数的图象，如下图：    （3）结合函数图象可得到，时，取得最大值， ∴的长约为时，矩形面积最大． 故答案是． 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 3．为了节省材料，某水产养殖户利用水库的岸堤（岸堤足够长）为一边，用总长为的围网在水库中围成了如图所示的三块矩形区域，而且这三块矩形区域的面积相等设的长度为，矩形区域的面积为 (1)是否存在的值，使得矩形的面积是； (2)为何值时，有最大值？最大值是多少？ 【答案】(1)不存在的值，使得矩形的面积是； (2)当时，有最大值，最大值是 【分析】（1）设，由题意得，进而得，即可得到与的函数关系式，将数据代入即可判断； （2）将（1）中函数关系式进行变形即可判断； 【详解】（1）解：设，由题意得：， ∵， ∴， 由题意可得：， ∴， ∴， ∴， 令得：， 化简得：， ∵， ∴方程无解， 答：不存在的值，使得矩形的面积是． （2）， ∴当时，有最大值，最大值是． 【点睛】本题主要考查二次函数的应用，根据题意正确列出二次函数关系式是解题的关键． 4．如图，用的篙色围成一个边靠墙的矩形场地，墙长．垂直于墙的边长为．围成的矩形场地的面积为． (1)求与的函数关系式，并写出自变量的取值范围； (2)求这个矩形场地面积的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据矩形的面积求得函数关系式，根据墙长，求得的范围； （2）利用配方法和二次函数的性质求得最大面积． 【详解】（1）解：∵垂直于墙的边长为，平行于墙的边长为， ∴， 根据题意得：， 解得， ∴与之间的函数关系式为； （2）∵， ∵，， ∴当时，最大，最大值为， 答：这个矩形场地面积的最大值为． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，配方法的应用，根据题列出函数关系是解题的关键． ►题型02 图形运动问题 5．如图，在中，，，点分别为的中点，点P从A点向D点运动，点Q在上，且，连接，过点Q作交AB与点F，设点P运动的路程为x，的面积为，则能反映y与x之间关系的图象是（　　） A．B． C． D． 【答案】C 【分析】过点作于点，延长交的延长线于点，利用矩形的判定与性质可得；设，利用相似三角形的判定与性质求得，进而求得，的长，利用求得与之间关系，再利用二次函数的性质和的取值范围解答即可得出结论． 【详解】解：过点作于点，延长交的延长线于点，如图， 点、分别为，的中点， ，， ， ， ， 四边形为矩形， ． ，， ． ， ， ． 为等腰直角三角形， ． 设， 由题意得：，则， ， ， ． ， ， ， ． ， ， ， ， 解得：， ． ． ， ， ， 抛物线的开口方向向上，顶点为 由题意：的取值范围为：， 当时，，当时，， 与的函数图象是以点和为端点的抛物线上的一部分， 故选：． 【点睛】本题主要考查了动点问题函数的图象，矩形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，三角形中位线定理，二次函数的图象与性质，求得与之间函数关系式是解题的关键． 6．如图，动点P在线段上（不与点A，B重合），分别以为直径作半圆，记图中所示的阴影部分面积为y，线段的长为x．当点P从点A移动到点B时，y随x的变化而变化，则表示y与x之间关系的图象大致是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】假设，则，然后根据求出y关于x的函数关系式即可得到答案． 【详解】解：假设，则， ∴ ， 故选C． 【点睛】本题主要考查了二次函数在几何图形中的应用，正确求出y关于x的函数关系式是解题的关键． 7．如图，正方形的边长为2，点E是上一动点（点E与点A，B不重合），点F在延长线上，，以，为边作矩形．设的长为x，矩形的面积为y，则y与x满足的函数关系的图像是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】延长、相交与点，然后用含的式子表示面积，得到关于的函数解析式，根据图像即可判断． 【详解】解：如图，延长、相交与点， 则四边形为矩形，， 所以 这个函数的图像为抛物线，开口向下，只有C答案符合题意， 故选C． 【点睛】本题考查了二次函数的图像，根据矩形的性质通过数形结合建立函数模型是求解的关键． 8．如图，在等腰直角△ABC中，∠B＝90°，AB＝BC＝4．动点P以每秒2个单位长度的速度沿射线AB运动，过点P作PF⊥AC于点F，以AF，AP为邻边作▱FAPG；▱FAPG与等腰直角△ABC的重叠部分面积为y（平方单位），y＞0，点F与点C重合时运动停止，设点P的运动时间为x秒． (1)直接写出点G落在BC边上时x的值． (2)求y与x的函数关系式． (3)直接写出点G与△ABC各顶点的连线平分△ABC面积时x的值． 【答案】(1)； (2)； (3)或1 【分析】（1）当点G在BC上时，则AP+BP＝AB，根据等腰直角三角形的性质和平行四边形的性质，用含x的式子表示AP、BP的长，再列方程求出x的值； （2）当0＜x≤，y等于平行四边形FAPG的面积，当＜x≤2时，y等于平行四边形FAPG的面积减去一个等腰直角三角形的面积，当2＜x≤4时，y等于△ABC的面积减去一个等腰直角三角形的面积，按这三种情况分别求出y关于x的函数关系式； （3）有两种情况，即当点G落在AB边的中线上和点G落在AC边的中线上时，直线GC或直线GB平分△ABC的面积，列方程求出相应的x的值即可． 【详解】（1）解：解：如图1，点G在BC上， ∵∠B＝90°，AB＝BC， ∴∠A＝∠C＝45°， ∵PF⊥AC， ∴∠AFP＝90°， ∴∠A＝∠APF＝45°， ∴AF＝PF； ∵四边形FAPG是平行四边形， ∴PGAC，AF＝PG， ∴AF＝PG＝PF，∠BPG＝∠A＝45°，∠BGP＝∠C＝45°， ∵PA＝2x， ∴AF＝PG＝PF＝AP•sin45°＝2x•＝x， ∴PB＝BG＝PG•sin45°＝x•＝x， ∵PA+PB＝AB＝4， ∴2x+x＝4， 解得，x＝． （2）解：解：∵∠B＝90°，AB＝BC＝4， ∴AC＝， 当点F与点C重合时，则x＝，解得，x＝4， 当点P与点B重合时，则2x＝4，解得x＝2． 当0＜x≤时，如图2， y＝S平行四边形FAPG＝AF•PF＝x•x， 即y＝2x2； 当＜x≤2时，如图3，PG交BC于点M，FG交BC于点N，作PQ⊥FG于点Q， ∵∠BMP＝∠C＝45°＝∠BPG， ∴MB＝PB＝4﹣2x； ∵∠FPG＝∠AFP＝90°，PG＝PF，FG＝AP＝2x， ∴FQ＝GQ， ∴PQ＝FG＝×2x＝x； ∵FGAB， ∴∠BPQ＝∠PQF＝90°， ∴∠B＝∠BPQ＝∠PQN＝90°， ∴四边形BPQN是矩形， ∴BN＝PQ＝x， ∵∠G＝∠A＝45°，∠NMG＝∠C＝45°， ∴∠G＝∠NMG， ∴GN＝MN＝x﹣（4﹣2x）＝3x﹣4， ∴y＝S平行四边形FAPG﹣S△NMG＝2x2﹣（3x﹣4）2， 即y＝﹣x2+12x﹣8； 当2＜x≤4时，如图4， ∵∠CFN＝∠A＝∠C＝45°， ∴FN＝CN＝4﹣x， ∵∠CNF＝∠ABC＝90°， y＝S△ABC﹣S△NCF＝×4×4﹣（4﹣x）2， 即y＝﹣x2+4x． 综上所述， （3）解：如图5，点G在△ABC的中线CK上，则直线CG平分△ABC的面积， ∵PGAC， ∴△PKG∽△AKC， ∴ ， ∵AK＝ ， ∴PK＝2﹣2x， ∴， 解得，x＝ ； 如图6，点G在△ABC的中线BL上，则直线BG平分△ABC的面积， ∵BL⊥AC， ∴∠FPG＝∠PFL＝∠FLG＝90°， ∴四边形PFLG是矩形， ∴FL＝PG＝AF＝x， ∵AL＝AC＝×4＝2 ∴x+x＝2， 解得，x＝1， 综上所述，x的值为或1． 【点睛】此题重点考查等腰直角三角形的判定与性质、平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理以及图形动点题的求解等知识与方法，还涉及数形结合、分类讨论等数学思想的运用，此题难度较大，属于考试压轴题． ►题型03拱桥问题 1．某公园有一座漂亮的五孔桥，如图所示建立平面直角坐标系，主桥洞与两组副桥洞分别位于轴的两侧成轴对称摆放，每个桥洞的形状近似的可以看作抛物线，主桥洞上，与近似满足函数关系．经测量在主桥洞上得到与的几组数据：    (米) (米) 根据以上数据回答下列问题： (1)求主桥洞的函数表达式； (2)若的表达式：，的表达式：，求五个桥洞的总跨度的长． 【答案】(1) (2)五个桥洞的总跨度的长为米 【分析】（1）由表可知，抛物线的顶点坐标为，设抛物线的解析式为待定系数法求二次函数解析式即可求解； （2）根据二次函数的平移，分别令，，，求得每个桥洞的跨度即可求解． 【详解】（1）由表可知，抛物线的顶点坐标为 ∴抛物线的解析式为 ∵抛物线过点．解得 （2）令， 解得：， ； ∵的表达式：，的表达式： 由题意抛物线与抛物线上之间的部分重合， 即将向下移动 当时， 解得：， ； 由题意抛物线与抛物线上之间的部分重合， 即将向下移动， 当时， 解得：， ∴ ∴五个桥洞的总跨度的长为米．    【点睛】本题考查的是二次函数的实际应用，画二次函数的图像，理解题意，灵活的运用抛物线的对称性解题是关键． 2．赛龙舟是中国端午节的习俗之一，也是一项广受欢迎的民俗体育运动．某地计划进行一场划龙舟比赛，图1是比赛途中经过的一座拱桥，图2是该桥露出水面的主桥拱的示意图，可看作抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，桥拱上的点到水面的竖直高度y（单位：）与到点O的水平距离x（单位：）近似满足函数关系，据调查，龙舟最高处距离水面，为保障安全，通过拱桥时龙舟最高处到桥拱的竖直距离至少． (1)水面的宽度_______； (2)要设计通过拱桥的龙舟赛道方案，若每条龙舟赛道宽度为，求最多可设计龙舟赛道的数量． 【答案】(1) (2)4条． 【分析】（1）求出抛物线与x轴的交点坐标即可得到答案； （2）求出当时，x的值，即可求出可设计赛道的宽度，再根据每条龙舟赛道宽度为即可得到答案． 【详解】（1）解：令，则， ∴， 解得或， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：令，得， ∴ 解得，． 可设计赛道的宽度为， ∵每条龙舟赛道宽度为， 最多可设计赛道4条． 【点睛】本题主要考查了二次函数的实际应用，正确理解题意是解题的关键． 3．如图1，某公园在入园处搭建了一道“气球拱门”，拱门两端落在地面上．若将拱门看作抛物线的一部分，建立如图2所示的平面直角坐标系．拱门上的点距地面的竖直高度（单位：）与水平距离（单位：）近似满足函数关系． (1)拱门上的点的水平距离与竖直高度的几组数据如下： 水平距离 2 3 6 8 10 12 竖直高度 4 5.4 7.2 6.4 4 0 根据上述数据，直接写出“门高”（拱门的最高点到地面的距离），并求出拱门上的点满足的函数关系． (2)一段时间后，公园重新维修拱门．新拱门上的点距地面的竖直高度（单位：）与水平距离（单位：）近似满足函数关系，若记“原拱门”的跨度（跨度为拱门底部两个端点间的距离）为，“新拱门”的跨度为，则__________填“”、“”或“”）． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由表格得当时，，当时，，从而可求顶点坐标，即可求解； （2）由表格可以直接求出，由可求出，进行比较即可． 【详解】（1）解：由表格得： ， 顶点坐标为， ， ， 解得：， ． （2）解：由表格得 当时，， 原拱门中：（）； 新拱门中： 当时， 解得：，， （）， ， ． 故答案：． 【点睛】本题考查了二次函数的实际应用，理解函数中自变量和应变量的实际意义是解题的关键． 4．如图是某抛物线形拱桥的截面图．某数学小组对这座拱桥很感兴趣，他们利用测量工具测出水面AB的宽为8米．设AB上的点E到点A的距离米，点E到拱桥顶面的垂直距离米． 通过取点、测量，数学小组的同学得到了x与y的几组值，如下表： x（米） 0 1 2 3 4 5 6 7 8 y（米） 0 1.75 3 3.75 4 3.75 3 1.75 0 (1)拱桥顶面离水面AB的最大高度为______米； (2)请你帮助该数学小组建立平面直角坐标系，描出上表中各对对应值为坐标的点，并用平滑的曲线连接； (3)测量后的某一天，由于降雨原因，水面比测量时上升1米．现有一游船（截面为矩形）宽度为4米，船顶到水面的高度为2米．要求游船从拱桥下面通过时，船顶到拱桥顶面的距离应大于0.5米．结合所画图象，请判断该游船是否能安全通过：______（填写“能”或“不能”）． 【答案】(1)4 (2)见解析 (3)不能，理由见解析 【分析】（1）根据表格数据即可求解； （2）根据描点法画二次函数解析式； （3）根据题意求得船顶到拱桥顶面的距离即可求解． 【详解】（1）由表格可知当时，， 拱桥顶面离水面AB的最大高度为4米． （2）以为原点，所在直线为轴，建立坐标系如图， （3）不能，理由如下， 根据表格可知对称轴为，顶点坐标为，设抛物线解析式为，将代入得 ， 解得， 抛物线解析式为， 根据题意时，， ， 游船不能安全通过． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，描点法画二次函数图象，掌握二次函数图象与性质是解题的关键． ►题型04销售问题 1．某商场销售一批进价为10元/件的日用品，经调查发现，每月销售件数y（件）与销售价格x（元/件）之间的关系如图所示，每月销售该商品获得的利润为W（元）．      (1)分别求出y与x，W与x的函数解析式； (2)当商场每月销售该商品的利润为4000元时，求该商品的定价； (3)为了获得最大的利润，该商品的销售价应定为多少？最大利润是多少？ 【答案】(1)， (2)20元/件或30元/件 (3)商品的销售价定为25元/件时利润最大，最大利润是4500元 【分析】本题考查了二次函数的应用，一次函数，以及一元二次方程的应用． （1）设出一次函数解析式，将分别代入解析式，求出k、b的值即可确定y与x之间的解析式；求出每件利润，乘以总数量即可得到利润的函数关系式； （2）令可得一元二次方程，求解即可； （3）将问题转化为二次函数最大值的问题解答． 【详解】（1）解：由题意可设，     则 解得， 所以． 所以，， 即． （2）解：由题意可得，． 解得． 答：该商品的定价是20元/件或30元/件． （3）解：因为，由二次函数图象性质可知，W有最大值． 当时， （元）． 答：商品的销售价定为25元/件时利润最大，最大利润是4500元． 2．某水果店销售某种水果，由历年市场行情可知，从第月至第月，这种水果每千克售价（元）与销售时间第月之间存在如图（一条线段）所示的变化趋势，每千克成本（元）与销售时间第月之间存在如图（一段抛物线）所示的变化趋势． (1)分别求函数和的表达式； (2)销售这种水果，第几月每千克所获得利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1)； (2)销售这种水果，第4个月每千克所获得利润最大，最大利润是元/千克 【分析】（1）用待定系数法求解即可； （2）设第月每千克所获得的利润为（元，根据题意构造二次函数，用二次函数的最值思想求解即可． 【详解】（1）解：由题意设， 将，代入，得： ，解得， ； 设， 将代入，得： ， 解得， ， 函数和的表达式分别为，； （2）解：设第月每千克所获得的利润为（元，由题意得： ， 当时，有最大值，． 销售这种水果，第4个月每千克所获得利润最大，最大利润是元/千克． 【点睛】本题考查了待定系数法确定函数的解析式，二次函数的最值，熟练掌握待定系数法，灵活构造二次函数是解题的关键． 3．为指导菜农生产和销售某种蔬菜，小明进行了如下调查，得到某种蔬菜的售价x（元/千克）与相应需求量p（千克）以及供给量q（千克）的数据，如下表： 售价x（元/千克） … 2.5 3 3.5 4 … 需求量p（千克） … 7.75 7.2 6.55 5.8 … 供给量q（千克） … 1.5 2 2.5 3 (1)观察表中的数据，小明发现：供给量q（千克）与售价x（元/千克）之间满足______函数关系（横线上填“一次”、“二次”或“反比例”），它的函数表达式为______； (2)为了研究这种蔬菜的需求量p（千克）与售价x（元/千克）之间的关系，小明在坐标系中，以售价为横坐标、相应需求量为纵坐标描出下列四个点，将其用平滑曲线连线，如图．通过再图观察，小明发现这种蔬菜的需求量p（千克）与售价x（元/千克）之间满足二次函数关系，并进一步确定它的函数表达式满足的形式，请求出p关于x关于的函数表达式． (3)为使这种蔬菜供需平衡（即供给量与需求量相等），售价应定为多少？ 【答案】(1)一次函数， (2) (3)为使这种蔬菜供需平衡（即供给量与需求量相等），售价应定为5元． 【分析】（1）根据供给量q（千克）与售价x（元/千克）之间的数量关系可得到答案； （2）利用待定系数法求出函数表达式即可； （3）根据供给量与需求量相等得到，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：观察表中的数据，可发现供给量q（千克）与售价x（元/千克）之间满足一次函数关系，它的函数表达式是， 故答案为：一次函数， （2）由表格可知当时，，当时，， ∴ 解得， ∴p关于x关于的函数表达式是． （3）当蔬菜供需平衡（即供给量与需求量相等）时，， 即， 解得（不合题意，舍去）， ∴为使这种蔬菜供需平衡（即供给量与需求量相等），售价应定为5元． 【点睛】此题考查了一次函数和二次函数的综合应用，还考查了待定系数法、解一元二次方程等知识，根据题意得到函数解析式是解题的关键． ►题型05投球问题 1．某兴趣小组在老师们的带领下自制一种小球发射器，已知该发射器的小球出口C离地竖直高度OC=1.6米．如图，小球在最大档位和最小档位的力度发射出去的路线可以抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象，矩形为移动的接球盒，其中米，米，最小档位发射的抛物线可以看作由最大档位发射的抛物线向左平移得到，最大档位抛物线最高点D离出球口的水平距离为2米，高出出球口0.4米． (1)求最大档位时小球射出的抛物线的函数表达式，并求出小球射出的最大射程OA； (2)最小档位发射的抛物线可以看作由最大档位发射的抛物线向左平移个单位长度而得到； (3)要使接球盒能接住所有档位射出的小球（即射出的小球都能落入水平移动的接球盒中），请直接写出接球盒距发射器的水平距离的取值范围． 【答案】(1),小球最大射程为米 (2)4 (3) 【分析】本题考查二次函数的实际应用，掌握待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，二次函数与方程的关系等知识，读懂题意，建立二次函数模型是解题的关键． （1）由顶点得，设，再根据抛物线过点，可得的值，从而解决问题； （2）由对称轴知点的对称点为，则最小档位的抛物线是由最大档位的抛物线向左平移得到的，即可得出结论； （3）根据，令解方程求出的值，再根据最小档位的抛物线是由最大档位的抛物线向左平移得到的，求出的取值范围． 【详解】（1）解：由题意得，， 设抛物线解析式为． 抛物线经过点， ， 解得， 最大档位时射出小球的抛物线的函数解析式为； 当时，则， ，（舍去）， 小球最大射程为米； （2）解：抛物线的函数解析式为， 对称轴为直线， 点的对称点为， 最小档位时射出的抛物线是由最大时的抛物线向左平移4米得到的， 故答案为：4； （3）解：， 令，则． 解得，（舍， 要使接球盒能接住小球． 由（2）知，最小档位抛物线是由最大档位抛物线向左平移4米得到的， ， 即接球盒距发射器的水平距离的取值范围为． 2．甲，乙两名同学进行羽毛球比赛，羽毛球发出后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分．如图建立平面直角坐标系，羽毛球从点的正上方发出，飞行过程中羽毛球的竖直高度（单位：）与水平距离（单位：）之间近似满足函数关系． 比赛中，甲同学连续进行了两次发球． (1)甲同学第一次发球时，羽毛球的水平距离与竖直高度的七组对应数据如下： 水平距离 0 1 2 3 4 5 6 竖直高度 1 2.75 4 4.75 5 4.75 4 根据以上数据，回答下列问题： ①当羽毛球飞行到最高点时，水平距离是_____； ②在水平距离处，放置一个高的球网，羽毛球_____（填“是”或“否”）可以过网； ③求出满足的函数关系； (2)甲同学第二次发球时，羽毛球的竖直高度与水平距离之间近似满足函数关系．乙同学在两次接球中，都是原地起跳后使得球拍达到最大高度时刚好接到球，记乙同学第一次接球的起跳点的水平距离为，第二次接球的起跳点的水平距离为，则_____（填“＞”“＜”或“＝”）． 【答案】(1)①4；②是；③ (2) 【分析】本题考查了二次函数在实际生活中的应用．解题的关键是熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征，用待定系数法求出函数解析式． （1）①由表中数据直接可以得出结论； ②由表中数据直接可以得出结论； ③用待定系数法求函数解析式； （2）把分别代入（1）、（2）解析式求出和即可． 【详解】（1）解：①由表格中数据知，当和时，， 对称轴为，顶点坐标为， 当羽毛球飞行到最高点时，水平距离是， 故答案为：4； ②当时，， 羽毛球是可以过网， 故答案为：是； ③，， ， 把，代入解析式得，， 解得， ； （2）解：在第一次接球中，当时， 则， 解得，， 接球时球越过球网， ， 在第二次接球中，当时， 则， 解得，， 接球时球越过球网， ， ． 故答案为：． 3．某航模小组研制了一种航模飞机，为了测试航模飞机的性能，飞机从水平放置的圆柱形发射台的上底面中心处起飞，其飞行轨迹是一条抛物线．以发射台的下底面中心为坐标原点，过原点的水平线为轴，所在直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系．若发射台的高度为，测得当飞行的水平距离为时，飞机的飞行高度为；当飞行的水平距离为时，飞机的飞行高度为． (1)求抛物线的解析式． (2)求飞机飞行的最大高度及最远距离． (3)由于发射台可以上下升降，保证其他起飞条件不变的前提下，抛物线随着起飞点的上下平移而上下平移．如图，在水平线轴上设置回收区域，，，要使飞机恰好降落到内（包括端点，），直接写出发射台的高度的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，能用待定系数法求出二次函数表达式及将一般式化成顶点式是解决本题的关键． （1）设抛物线表达式为：，将，代入求解即可； （2）将（1）中抛物线配成顶点式即可求出最大高度，再求出函数值为0时自变量的值即可得到最远飞行距离； （3）设平移后的抛物线为：，将，代入求出对应的k即可得到答案． 【详解】（1）解：设抛物线的解析式为， 将，代入中得，解得 ∴抛物线的解析式为． （2）解：∵， ∴抛物线的顶点坐标为， ∴飞机飞行的最大高度为． 当时，，解得，（舍去）， ∴飞机飞行的最远距离为． （3）解：∵，， ∴，． 设平移后的抛物线的解析式为， 将代入得，解得， 将代入，得，解得， ∴，即． ►题型06喷水问题 1．某广场建了一座圆形音乐喷水池，在池中心竖直安装一根水管，安装在水管顶端A处的圆形喷头向四周喷水，且各个方向喷出的抛物线形水柱形状相同．如图1，以池中心O点为坐标原点，水平方向为x轴，所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系．x轴上的点C，D为水柱的落水点，若落地直径，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为处达到最高． (1)求图1中右边抛物线的解析式； (2)计划在图1中的线段上的点B处竖立一座雕像，雕像高，若想雕像不碰到水柱，请求出线段的取值范围； (3)圆形水池的直径为，喷水造型会随着音乐节奏起伏而变化，从而产生一组不同的抛物线（如图2），若右侧抛物线顶点始终在直线上，当喷出的抛物线水柱最大高度为时，水柱会喷到圆形水池之外吗？请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)水柱会落在圆形水池外，理由见解析 【分析】本题考查的知识点是待定系数法求解析式、二次函数的实际应用，解题关键是理解题意求出正确的二次函数解析式． （1）求出点和顶点坐标为，设顶点式，利用待定系数法解答即可； （2）将代入即可求得线段的取值范围； （3）求出点坐标，由题意设右侧喷出的最高抛物线解析式为，求出坐标解析式后可求抛物线喷出的最远距离，即可判断水柱是否会喷到圆形水池之外． 【详解】（1）解： ， ， ， ∵喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为处达到最高． ∴顶点坐标为， 设右侧抛物线的解析式为：， 把代入得到，， 解得， ∴图1中右边抛物线的解析式为； （2）解：当时，， 解得（不合题意，舍去） ∴线段的取值范围为； （3）解：水柱会落在圆形水池外，理由如下： 当时，， ∴点A的坐标为， 把代入 ， ， 当右侧喷出的抛物线最大高度为时， 设抛物线的解析式为：， 又上述抛物线过点，则 则， ， 当时，， ， ，（舍去）， 水柱会落在圆形水池之外． 2．某公园在人工湖里安装一个喷泉，在湖心处竖直安装一根水管，在水管的顶端安一个喷水头，若记水柱上某一位置与水管的水平距离为d米，与湖面的垂直高度为h米. d（米） 0 1 2 3 4 h（米） 0.5 1.25 1.5 1.25 0.5 根据上述信息，解决以下问题： (1)在如下网格中建立适当的平面直角坐标系，并根据表中所给数据画出表示h与d函数关系的图象； (2)若水柱最高点距离湖面的高度为m米，则m＝ ； (3)现公园想通过喷泉设立新的游玩项目，准备通过只调节水管露出湖面的高度，使得游船能从水柱下方通过．如图2所示，为避免游船被喷泉淋到，要求游船从水柱下方中间通过时，顶棚上任意一点到水柱的竖直距离均不小于0.5米．已知游船顶棚宽度为3米，顶棚到湖面的高度为2米，那么公园应将水管露出湖面的高度（喷水头忽略不计）至少调节到多少米才能符合要求？请通过计算说明理由（结果保留一位小数）． 【答案】(1)见详解 (2)1.5 (3)2.1米 【分析】本题属于二次函数的应用，主要考查待定函数求函数解析式，二次函数图象的平移，解题的关键在于掌握由二次函数的图象建立二次函数模型． （1）建立坐标系，描点．用平滑的曲线连接即可； （2）观察图象即可得出结论； （3）根据二次函数图象的性质求出最高点的高度，设二次函数的顶点式，求解原抛物线的解析式；设出二次函数图象平移后的解析式，根据题意求解即可． 【详解】（1）解：以喷泉与湖面的交点为原点，喷泉所在的直线为纵轴建立平面直角坐标系，如图1所示： （2）根据题意可知，该抛物线的对称轴为，此时最高， 即， 故答案为：1.5． （3）根据图象可设二次函数的解析式为：， 将代入，得， 抛物线的解析式为：， 设调节后的水管喷出的抛物线的解析式为：， 由题意可知，当横坐标为时，纵坐标的值大于， ， 解得， 水管高度至少向上调节1.6米， （米， 公园应将水管露出湖面的高度（喷水头忽略不计）至少调节到2.1米才能符合要求． ►题型07增长率问题 1．进入夏季后，某电器商场为减少库存，对电热取暖器连续进行两次降价．若设平均每次降价的百分率是x，降价后的价格为y元，原价为a元，则y与x之间的函数关系式为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设平均每次降价的百分率是x，，第一次降价后的价格为，第二次降价的价格为，根据题意列出函数关系式即可求解． 【详解】解：设平均每次降价的百分率是x，，降价后的价格为y元，原价为a元，则y与x之间的函数关系式为， 故选：D． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，根据题意列出函数关系式是解题的关键． 2．某厂今年一月份新产品的研发资金为10万元，以后每月新产品的研发资金与上月相比增长率都是x，则该厂今年一季度新产品的研发资金（元）关于x的函数关系式为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了根据实际问题列二次函数关系式，根据各数量之间的关系，找出y关于x的函数关系式是解题的关键． 根据该厂今年一月份新产品的研发资金及以后每月新产品的研发资金与上月相比的增长率，可得出该厂今年二月份、三月份新产品的研发资金，将该厂今年一、二、三月份新产品的研发资金相加，即可得出y关于x的函数关系式． 【详解】解：∵该厂今年一月份新产品的研发资金为10万元，以后每月新产品的研发资金与上月相比增长率都是x， 该厂今年二月份新产品的研发资金为万元，三月份新产品的研发资金为万元． 根据题意得：， 故选：B． 3．根据福建省统计局数据，福建省年的地区生产总值为亿元，年的地区生产总值为亿元．设这两年福建省地区生产总值的年平均增长率为x，根据题意可列方程（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设这两年福建省地区生产总值的年平均增长率为x，根据题意列出一元二次方程即可求解． 【详解】设这两年福建省地区生产总值的年平均增长率为x，根据题意可列方程 ， 故选：B． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出一元二次方程是解题的关键． ►题型08其他问题练 1．如图1，灌溉车为公路绿化带草坪浇水，图2是灌溉车浇水操作时的截面图．现将灌溉车喷出水的上、下边缘线近似地看作平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象．已知喷水口H离地竖直高度为，草坪水平宽度，竖直高度忽略不计.上边缘抛物线最高点A离喷水口的水平距离为，高出喷水口，下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到的，设灌溉车到草坪的距离为d（单位：m）． (1)求上边缘抛物线的函数解析式，并求喷出水的最大射程的长； (2)下边缘抛物线落地点B的坐标为______； (3)要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个草坪，d的取值范围为______． 【答案】(1)喷出水的最大射程为 (2) (3) 【分析】本题是二次函数的实际应用，主要考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，二次函数与方程的关系等知识，读懂题意，建立二次函数模型是解题的关键． （1）由顶点得，设，再根据抛物线过点，可得a的值，从而解决问题； （2）由对称轴知点的对称点为，则下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到的，可得点B的坐标； （3）根据点坐标以及草坪宽度可得结论． 【详解】（1）解：由题意得是上边缘抛物线的顶点， 设， 又∵抛物线过点， ∴ ∴， ∴上边缘抛物线的函数解析式为， 当时，， 解得（舍去）， ∴喷出水的最大射程为； （2）解：∵对称轴为直线， ∴点的对称点为， ∴下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到的， ∴点B的坐标为， 故答案为：； （3）解：∵， ， ，， ，， ， ∴要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个草坪，d的取值范围为， 故答案为：． 2．我们常见的炒菜锅和锅盖都是抛物线面，经过锅心和盖心的纵断面是两段抛物线组合而成封闭图形，不妨简称为“锅线”，锅口直径为，锅盖高（锅口直径与锅盖直径视为相同），建立直角坐标系如图①所示，如果把锅纵断面的抛物线记为，把锅盖纵断面的抛物线记为    (1)求锅深的长； (2)如果炒菜时锅的水位高度是，求此时水面的直径； (3)如果将一个底面直径为，高度为的圆柱形器皿放入炒菜锅内蒸食物，锅盖能否正常盖上？请说明理由． 【答案】(1) (2)水面的直径为 (3)锅盖不能正常盖上，理由见解析 【分析】考查了二次函数的综合应用； （1）令的解析式中，得出，即可求解； （2）炒菜锅里的水位高度为，即，列方程求得x的值即可得答案； （3）底面直径为、高度为圆柱形器皿能否放入锅内，需判断当时，、中的值的差与比较大小，从而可得答案． 【详解】（1）解：∵抛物线； 当时， ∴， ∴ （2）当炒菜锅里的水位高度为时，，即， 解得：， ∴此时水面的直径为． （3）锅盖不能正常盖上，理由如下： 当时，抛物线， 抛物线， 而， ∴锅盖不能正常盖上． 3．如图是某跳台滑雪场的横截面示意图，一名运动员经过助滑、起跳从地面上点O的正上方4米处的A点滑出，滑出后的路径形状可以看作是抛物线的一部分，通过测量运动员第一次滑下时，在距所在直线水平距离为d米的地点，运动员距离地面高度为h米．获得如下数据： 水平距离d/米 0 2 4 6 8 垂直高度h/米 4 8 8    请解决以下问题： (1)在网格中建立适当的平面直角坐标系，根据已知数据描点，并用平滑的曲线连接；    (2)结合表中所给数据或所画图象，直接写出运动员滑行过程中距离地面的最大高度为_____米； (3)求h 关 于d 的函数表达式； (4)运动员第二次滑下时路径形状可表示为：，当第一次和第二次距离所在直线的水平距离分别为、，且时能成功完成空中动作，则该运动员_________（填写“能”或“不能”）完成空中动作． 【答案】(1)见详解 (2) (3) (4)能 【分析】（1）用描点法还画出抛物线图象即可； （2）根据表中数据或者图象找出抛物线的对称轴即可得到最大值； （3）用待定系数法求解二次函数解析式即可； （4）令，求解，，然后作差看是否符合定义即可． 本题主要考查了二次函数的图象，掌握函数图象的画法、二次函数的性质是本题解题的关键． 【详解】（1）解：①建立如图所示的平面直角坐标系， ②根据表中数据描点， 水平距离米 0 2 4 6 8 垂直高度米 4 8 8 ③用平滑的曲线连接， 所画图象如图所示：    （2）解：观察图象可得：运动员滑行过程中距离地面的最大高度为米， 故答案为：； （3）解：由图象可得，顶点， 设二次函数的关系式为， 把代入得：， 解得：， ； （4）解：能，理由见详解 令，即， 解得：， 令，即， 解得：， ， ， ， 该运动员能完成空中动作． 故答案为：能． 4．科研人员为了研究弹射器的某项性能，利用无人机测量小钢球竖直向上运动的相关数据．无人机上升到距离地面处开始计时，此时，在地面用弹射器（高度不计）竖直向上弹射一个小钢球（忽略空气阻力）．记无人机和小钢球距离地面的高度分别为，（单位：），科研人员收集了，随时间x （单位：s）变化的数据，并分别绘制在平面直角坐标系中，如图所示． (1)根据，随的变化规律，从 ① ；② （）；③ 中，选择适当的函数模型，分别求出，满足的函数关系式； (2)当时，小钢球和无人机的高度差最大是 ． 【答案】(1)；； (2)． 【分析】（）利用待定系数法即可求出解析式， （）由题意得，再根据二次函数求最值即可； 本题考查了二次函数和一次函数的应用，熟练掌握函数图象及性质是解题的关键． 【详解】（1）设关于的函数关系式为， 将点，的坐标代入得 ， 解得， ∴关于的函数关系式为 设关于的函数关系式为 将点，，坐标代入，得 解得 ， ∴关于的函数关系式为； （2）由（）得，， ∴， ∴当时，小钢球和无人机的高度差最大是 ， 故答案为：． 基础巩固 1．一个球从地面竖直向上弹起时的速度为10米/秒，经过（秒）时球距离地面的高度（米）适用公式，那么球弹起后又回到地面所花的时间（秒）是（    ） A．5 B．10 C．1 D．2 【答案】D 【分析】根据球弹起后又回到地面时，得到，解方程即可得到答案． 【详解】解：球弹起后又回到地面时，即， 解得（不合题意，舍去），， ∴球弹起后又回到地面所花的时间（秒）是2， 故选：D 【点睛】此题考查了求二次函数自变量的值，读懂题意，得到方程是解题的关键． 2．某种商品的价格是元，准备进行两次降价．如果每次降价的百分率都是，经过两次降价后的价格（单位：元）随每次降价的百分率的变化而变化，则关于的函数解析式是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意利用增长率公式表示出与的函数解析式进而判断即可. 【详解】解：根据题意得y=2（1-x）2， 所以y与x之间的函数解析式为y=2（1-x）2． 故选：B. 【点睛】本题考查根据实际问题列二次函数关系式，注意掌握根据实际问题确定二次函数关系式关键是读懂题意，建立二次函数的数学模型来解决问题．需要注意的是实例中的函数图象要根据自变量的取值范围来确定． 3．如图，用绳子围成周长为的矩形，记矩形的一边长为，矩形的面积为．当x在一定范围内变化时，S随x的变化而变化，则S与x满足的函数表达式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】矩形的周长为2（x+y）＝10，可用x来表示y，代入S＝xy中，化简即可得到S关于x的函数关系式． 【详解】解：由题意得， 2（x+y）＝10， ∴x+y＝5， ∴y＝5﹣x， ∵S＝xy ＝x（5﹣x） ∴矩形面积满足的函数关系为S＝x（5﹣x）， 由题意可知自变量的取值范围为， 故选：A． 【点睛】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，理清题中的数量关系并熟练掌握二次函数的解析式形式是解题的关键． 4．使用家用燃气灶烧开同一壶水所需的燃气量y（单位：m3）与旋钮的旋转角度x（单位：度）（0°＜x≤90°）近似满足函数关系y＝ax2+bx+c（a≠0）．如图记录了某种家用节能燃气灶烧开同一壶水的旋钮的旋转角度x与燃气量y的三组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出此燃气灶烧开一壶水最节省燃气的旋钮的旋转角度约为（　　） A．33° B．36° C．42° D．49° 【答案】C 【分析】据题意和二次函数的性质，可以确定出对称x的取值范围，从而可以解答本题． 【详解】解：由图象可知，物线开口向上， 该函数的对称轴x＞且x＜54， ∴36＜x＜54， 即对称轴位于直线x＝36与直线x＝54之间且靠近直线x＝36， 故选：C． 【点睛】本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 5．一位篮球运动员跳起投篮，篮球运行的高度y（米）关于篮球运动的水平距离x（米）的函数解析式是y=﹣（x﹣2.5）2+3.5．已知篮圈中心到地面的距离3.05米，如果篮球运行高度达到最高点之后能准确投入篮圈，那么篮球运行的水平距离为（ ） A．1米 B．2米 C．4米 D．5米 【答案】C 【详解】试题分析：令y=3.05得：﹣（x﹣2.5）2+3.5=3.05，解得：x=4或x=1.5（舍去）． 所以运行的水平距离为4米．故选C． 考点：二次函数的应用． 6．某校羽毛球社团使用发球机辅助训练，如图所示，将发球机放置在点处，羽毛球发射的初始位置的高为，．若羽毛球从点发射后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分，羽毛球在飞行过程中，在与点的水平距离为的点处的正上方达到最高点，且高度为．在与点的水平距离为的点处落地，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了实际问题与二次函数（投球问题），待定系数法求二次函数解析式，的图象与性质等知识点，熟练掌握待定系数法求二次函数解析式是解题的关键． 由题意可知抛物线的顶点坐标为，设抛物线的函数解析式为，将，代入即可求出函数解析式，于是得解． 【详解】解：如图，以点为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系， 由题意可知，羽毛球飞行的水平距离为时，达到最高，高度为，故抛物线的顶点的坐标为， 由题意可得：,, 设抛物线的函数解析式为， 代入点,，得： ， 解得：， 故抛物线的函数解析式为， 故答案为：． 7．如图，在期末体育测试中，小朱掷出的实心球的飞行高度y（米）与水平距离x（米）之间的关系可以近似的看成抛物线，则小朱本次投掷实心球的成绩为 米． 【答案】8 【分析】本题考查二次函数的实际应用，求出抛物线与轴的交点坐标，即可得出结果． 【详解】解：∵， ∴当时，， 解得：或（舍去）； 故小朱本次投掷实心球的成绩为8米； 故答案为：8． 8．市中心广场有各种音乐喷泉，其中一个喷泉管喷出的抛物线形水柱在与喷泉管的水平距离为处达到最高，高度为，在如图所示的平面直角坐标系中，这个喷泉管喷出的抛物线形水柱的函数关系式是 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了二次函数在实际问题中的应用，解题的关键是正确理解题意，然后根据题目隐含的条件得到待定系数所需要的点的坐标解决问题． 根据二次函数的图象，喷水管喷水的最大高度为，此时喷水水平距离为，由此得到顶点坐标为，所以设抛物线的解析式为，而抛物线还经过，由此可确定抛物线的解析式． 【详解】解：喷水管喷水的最大高度为，此时喷水水平距离为， 顶点坐标为， 设抛物线的解析式为， 而抛物线还经过， ， ， 抛物线的解析式为：， 故答案为：． 9．用一根长为20cm的铁丝围成一个长方形，若该长方形的一边长为xcm，面积为ycm2，则y与x之间的关系式为 ． 【答案】y＝﹣x2+10x 【分析】根据长方形的面积=长×宽，即可解答． 【详解】解：由题意知：y=x•（）=x（10-x）=-x2+10x． 故答案为y=-x2+10x． 【点睛】此题主要考查利用二次函数解决实际问题，解决本题的关键是熟记长方形的面积=长×宽． 10．如图，小李推铅球，如果铅球运行时离地面的高度y(米)关于水平距离x(米)的函数表达式为y＝－x2＋x＋，那么铅球运动过程中最高点离地面的距离为 米． 【答案】2 【分析】直接利用公式法求出函数的最值即可得出最高点离地面的距离. 【详解】解:∵函数解析式为: y＝－x2＋x＋， ∴y最值===2. 故答案为:2. 【点睛】此题主要考查了二次函数的应用,属于简单题,正确记忆最值公式是解题关键. 11．如图，一块矩形土地由篱笆围着，并且由一条与边平行的篱笆分开．已知篱笆的总长为（篱笆的厚度忽略不计），当 m时，矩形土地的面积最大．    【答案】50 【分析】设，求出的长度关系，然后求出四边形的面积关系式，利用二次函数的性质即可求解． 【详解】解：设，则， 所以四边形的面积为， ∵，开口向下， ∴当时，S取得最大值为3750平方米， 故答案为：50． 【点睛】本题考查了二次函数函数的实际应用，涉及到二次函数的性质，属于基础题． 12．中国跳水队在第三十二届夏季奥林匹克运动会上获得7金5银12枚奖牌的好成绩．某跳水运动员从起跳至人水的运动路线可以看作是抛物线的一部分．如图所示，该运动员起跳点A距离水面10m，运动过程中的最高点B距池边2.5m，入水点C距池边4m，根据上述信息，可推断出点B距离水面 m． 【答案】 【分析】如图建立平面直角坐标系，求出抛物线解析式，再求顶点坐标即可． 【详解】解：建立平面直角坐标系如图： 根据题意可知，点A的坐标为（3，10），点C的坐标为（5，0），抛物线的对称轴为直线x=3.5， 设抛物线的解析式为y＝ax2+bx+c，把上面信息代入得， ， 解得，， 抛物线解析式为：， 把代入得，； 故答案为： 【点睛】本题考查了二次函数的应用，解题关键是建立平面直角坐标系，求出二次函数解析式，利用二次函数解析式的性质求解． 13．“兔飞猛进”谐音成语“突飞猛进”．在自然界中，野兔善于奔跑跳跃，“兔飞猛进”名副其实．野兔跳跃时的空中运动路线可以看作是抛物线的一部分．建立如图所示的平面直角坐标系．通过对某只野兔一次跳跃中水平距离x（单位：m）与竖直高度y（单位：m）进行的测量，得到以下数据：根据数据，回答下列问题： 水平距离 0 0.4 1 1.4 2 2.4 2.8 竖直高度 0 0.48 0.9 0.98 0.8 0.48 0 (1)①野兔本次跳跃的最远水平距离为 m，最大竖直高度为 m； ②求满足条件的抛物线的解析式； (2)已知野兔在高速奔跑时，某次跳跃的最远水平距离为，最大竖直高度为．若在野兔起跳点前方处有高为的篱笆，则野兔此次跳跃能否跃过篱笆？请说明理由． 【答案】(1)①2.8；②0.98 (2)野兔此次跳跃能跃过篱笆． 【分析】本题考查二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出函数关系式． （1）①根据表中数据得出结论； ②设出抛物线解析式的顶点式，用待定系数法求出函数解析式即可； （2）先根据兔子跳跃的最远水平距离为m，最大竖直高度为m，求出函数解析式，再把代入解析式求出与0.8比较即可． 【详解】（1）解：①由，和，可知， 野兔本次跳跃的最远水平距离为（米， 对称轴为直线， 当时，有最大值0.98， 野兔本次跳跃的最大竖直高度为0.98米， 故答案为：2.8，0.98； ②设抛物线的解析式为， 把，代入得， ， 解得， 抛物线的解析式为； （2）解：设野兔在某次跳跃时抛物线的解析式为， 根据题意得：， 解得， 野兔在某次跳跃时抛物线的解析式为， 当时，， ， 野兔此次跳跃能跃过篱笆． 14．一年一度的红窗汇，是课程学习成果的展示、交流、分享和变现的平台，是十一系的学子们期待的盛会．某社团设计了一款文创产品，想要在红窗汇售卖，为了解同学们的购买意向，社团成员提前进行了市场调研．经过统计，该产品的制作成本为每件30元，当售价定为每件50元时，预计可以销售80件，售价每下降1元，预计可多销售5件． 设该产品的售价下降x元，预计销售利润为y元． (1)求y与x的函数关系式（不必写出x的取值范围）； (2)该产品的售价定为多少元时，预计可获得最大利润？最大利润是多少元？ 【答案】(1) (2)该产品的售价为48元时，可获得最大利润，最大利润为1620元 【分析】本题主要考查二次函数的应用，熟练掌握二次函数的应用是解题是解题的关键； （1）由题意可得销售量为件，然后可得函数解析式； （2）根据（1）中函数解析式及二次函数的性质可进行求解． 【详解】（1）解：由题意得： ， ∴y与x的函数关系式为； （2）解：由（1）可知： ， ∵， ∴当时，即售价为元时，可获得最大利润，最大利润为1620元； 答：该产品的售价为48元时，可获得最大利润，最大利润为1620元． 15．原地正面掷实心球是北京市初中学业水平考试体育现场考试的选考项目之一，实心球被掷出后的运动路线可以看作是抛物线的一部分，如图所示，建立平面直角坐标系，实心球从出手到落地的过程中，它的竖直高度(单位：)与水平距离(单位：)近似满足函数关系． 小明训练时，实心球的水平距离与竖直高度的几组数据如下： 水平距离/m 竖直高度/m 1.8 2.43 2.88 3.15 3.24 3.15 根据上述数据，解决下列问题： (1)直接写出实心球竖直高度的最大值是______； (2)求出满足的函数关系； (3)求实心球从出手到落地点的水平距离． 【答案】(1)； (2)； (3)10米； 【分析】（1）利用抛物线的对称性求得对称轴，再根据开口方向即可解答； （2）由表格数据得出顶点坐标，再将代入计算求值即可； （3）在函数关系中令，解一元二次方程方程即可； 【详解】（1）解：由表格数据可得当和时，其函数值相同， ∴二次函数的对称轴为， ∵函数的开口方向向下， ∴函数顶点坐标为， ∴实心球竖直高度的最大值是； 故答案为： （2）解：∵抛物线的顶点坐标为， ∴设抛物线的表达式为， 将点代入，得， 解得， ∴ 抛物线的表达式为； （3）解：令， 则 ， 解得：，（不符合题意舍去）， 答：实心球从出手到落地点的水平距离为10米． 【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，掌握其顶点式中为其顶点坐标是解题关键． 16．我们常见的炒菜锅和锅盖都是抛物线面，经过锅心和盖心的纵断面是两段抛物线组合而成的封闭图形，不妨简称为“锅线”，锅口直径为，锅深，锅盖高（锅口直径与锅盖直径视为相同），建立直角坐标系如图①所示，如果把锅纵断面的抛物线记为，把锅盖纵断面的抛物线记为． (1)求和的解析式； (2)如果炒菜时锅的水位高度是，求此时水面的直径（结果保留根号）； (3)如果将一个底面直径为，高度为的圆柱形器皿竖直放入炒菜锅内蒸食物，锅盖能否正常盖上？请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)锅盖不能正常盖上，理由见解析 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，解答本题的关键是找准等量关系，列出二次函数解析式． （1）已知、、、四点坐标，利用待定系数法即可确定两函数的解析式； （2）炒菜锅里的水位高度为，即，列方程求得的值即可得答案； （3）底面直径为、高度为圆柱形器皿能否放入锅内，需判断当时，、中的值的差与比较大小，从而可得答案． 【详解】（1）解：由于抛物线、都过点、， 设、的解析式为：，； 抛物线还经过， 则有：，解得：， 即：抛物线； 抛物线还经过， 则有：，解得： 即：抛物线； （2）解：当炒菜锅里的水位高度为时，，即， 解得：， 此时水面的直径为； （3）解：锅盖不能正常盖上， 理由如下：当时，抛物线， 抛物线， 而， 锅盖不能正常盖上． 能力提升 1．如图，等腰（）的直角边与正方形的边长均为，且与在同一条直线上，开始时点与点重合，让沿直线向右平移，直到点与点重合为止．设的长为，与正方形重合部分（图中阴影部分）的面积为，则与之间的函数的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据点的位置对分类讨论，分别画出对应的图形，根据等腰直角三角形的性质、梯形面积公式和三角形的面积公式计算即可． 【详解】解：由题意可知：当点到点时，；当点到点时，； 当时，如下图所示，此时阴影部分为梯形，设与交于点 ∵四边形是正方形， ∴， ∴ ∵， ，是等腰直角三角形， ∴， ∴为等腰直角三角形 ∴ ∴； 当，如下图所示，此时阴影部分为三角形，设与交于点 ∵四边形是正方形， ∴， ∵， ，是等腰直角三角形， ∴， ∴为等腰直角三角形 ∴ ∴． 综上所述： 结合图像可得只有项符合题意， 故选：． 【点睛】此题考查的是求实际问题中的函数关系式，二次函数的图像及性质，掌握正方形的性质、等腰直角三角形的性质、梯形面积公式、三角形的面积公式和分类讨论的数学思想是解决此题的关键． 2．如图1，在平行四边形ABCD中，，，动点P从点A出发，以每秒1个单位的速度沿线段AB运动到点B停止，同时动点Q从点B出发，以每秒4个单位的速度沿折线运动到点D停止．图2是点P、Q运动时，的面积S与运动时间t函数关系的图象，则a的值是（    ） A． B． C．6 D．12 【答案】B 【分析】根据题意计算得；再结合题意，得当动点Q在上时，的面积S随运动时间t变化呈现二次函数关系；当动点Q在上时，的面积S随运动时间t变化呈现一次函数关系，从而得a对应动点Q和点C重合；通过计算，即可得到答案． 【详解】解：∵动点P从点A出发，以每秒1个单位的速度沿线段AB运动到点B停止，一共用6秒钟， ∴AB=1×6=6， ∵， ∵四边形ABCD为平行四边形， ∴AB=CD=6， 当动点Q在上时，的面积S随运动时间t变化呈现二次函数关系， 当动点Q在上时，的面积S随运动时间t变化呈现一次函数关系， ∴a对应动点Q和点C重合，如图： ∵动点Q以每秒4个单位的速度从点B出发， ∴， ∴， ∴， ∴， 如图，过点C作，交于点E ， ∴， ∴，即． 故选：B． 【点睛】本题考查了平行四边形、函数图像，二次函数、一次函数、三角函数,与三角形高有关的计算等知识；解题的关键是熟练掌握二次函数、一次函数、三角函数的性质，从而完成求解． 3．图是一个瓷碗，图是其截面图，碗体呈抛物线状（碗体厚度不计），碗口宽，此时面汤最大深度． （1）当面汤的深度为时，汤面的直径长为 ； （2）如图，把瓷碗绕点缓缓倾斜倒出部分面汤，当时停止，此时碗中液面宽度 ． 【答案】 【分析】（）设点的坐标为，则抛物线的表达式为则点的坐标为： ，点再用待定系数法即可求解； （）确定直线的表达式为，求出，进而求解； 本题考查了二次函数 ，一次函数 以及直角三角形在实际生活中的应用，建立合适的直角坐标系和待定系数法求解析式是解题的关键． 【详解】（）以为原点，直线为轴，直线为轴，建立平面直角坐标系，如图： 设点的坐标为：，则抛物线的表达式为， 则点的坐标为，点， 将点的坐标代入抛物线表达式得： ， 解得：， 即抛物线的表达式为：， ∴， 故答案为：； （）将瓷碗绕点缓缓倾斜倒出部分面汤，当时停止， ∴所以旋转前与水平方向的夹角为， 设直线的解析式为， 将点的坐标代入上式的：直线的表达式为：， 联立并整理得：， 则，， 则， 则， 由的表达式知，其和轴的夹角为，则， 故答案为：． 4．根据以下素材，探索完成任务： 如何确定灌溉方案 素材1 图1是一种自动旋转农业灌溉摇臂喷枪，点P为喷水口，喷水的区域覆盖了整个圆面，图2喷出的水柱形成的图象是以水平方向为x轴，喷枪底座中心为原点建立平面直角坐标系，水柱喷出的外围路径可以近似抛物线和的一部分，量得 素材2 现有一块四边形农田，它的四个顶点C、D、E、F恰好都在上，如图3，，如果喷水口上升时，水柱喷出的形状与原来相同，现要求喷水的区域覆盖整块四边形农田． 问题解决 任务1 确定喷枪的高度 求的长 任务2 拟定方案1 一种高为的农作物，为了能灌溉到所有农作物的顶端，求该农作物种植的最大半径． 任务3 拟定方案2 要使喷水的区域覆盖整块四边形农田，喷水口应至少上升多少米． 【答案】任务1：；任务2：最大半径为；任务3：喷水口应至少上开米 【分析】任务1：把点坐标代入求出值可得点坐标，即可得答案； 任务2：把代入求出的值即可得答案； 任务3：连接，，过作于，根据垂径定理及圆周角定理可得，设，则，利用勾股定理确定出半径为，把代入求出值，进而可得答案． 【详解】解：任务1：， ， 由题意可得：右侧抛物线为：， 将代入得：， ∴的长为； 任务2：当时， ∴， 解得∶（不合题意，舍去） 最大半径为； 任务3：连接，，过作于， 则， ， ， 又， ， 在中，设，则， 即， 解得（不合题意，舍去） 覆盖四边形农田的圆半径为， 把代入得： 解得：， ， 喷水口应至少上开米． 【点睛】本题考查了二次函数解析式的确定，抛物线与轴的交点坐标，圆周角定理、勾股定理相关计算，熟练掌握二次函数的性质及垂径定理，理解题意，确定喷枪放置的位置是解题的关键． 5．根据下列素材，完成相应任务 仓储品装容的优化设计 素材1 如图1是某个仓库，图2是其横截面的示意图，已知墙体米，米，水平距离米，其顶部的轮廓为抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系后它可以近似地用函数 表示 素材2 图3是棱长为的立方体仓储品，将四件一样的仓储品如图4所示叠放在处，．当叉车要取货物时，需要将其向上抬升，沿水平方向移动1米后取出． 素材3 如图5，为保证能够用叉车安全顺利地搬运和放置仓储品进出仓库，需设计三条宽度为2米的过道，以及在过道之间设计两块宽度不少于2米的仓储区域． 要求： ①靠近过道的仓储品需从就近过道搬运，其余可从左或右搬运． ②尽可能多的装容仓储品． 问题解决 任务1 确定顶部形状 求仓库离地的最大距离． 任务2 确定摆放高度 当米时，试分别判断叉车能否从左边或右边取出？请说明理由． 任务3 设计最优方案 已知该仓库的长为50米，请你根据素材和要求设计：仓储区 米， 米，仓库最大仓储品容量为 件． 【答案】任务1：仓库离地的最大距离为6.35；任务2：可以从右边取出，理由见解析；任务3：2，4，1520 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用—几何问题；二次函数的实际应用—拱桥问题： 任务一：利用已知条件可得到点A，B的坐标，再把A、B两点的坐标代入二次函数解析式中可得到关于b，c的方程组，解方程组求出b，c的值，可得到函数解析式，再利用二次函数的性质，可求出y的最大值． 任务二：分别将代入函数解析式，分别求出对应的y的值，再比较大小，可作出判断． 任务三：为求仓储区面积最大，故反面则为过道区尽可能小，结合函数对称性及整数位置对应函数值进行高度判断，找出最小的过道布置即可 【详解】解：任务1：∵米，米，水平距离米，其顶部的轮廓为抛物线的一部分 ， ∴点，点， ∵点A，B在函数上， ∴解得：， 所以函数解析式为， ∵抛物线的开口向下， ∴当时． ∴仓库离地的最大距离为6.35． 任务二：∵ ．当叉车要取货物时，需要将其向上抬升，沿水平方向移动1米后取出，； 当时，， ∴无法从左边取出， 当时，， 当时，， ∴可以从右边取出； 任务3：为使得仓储区越大，过道区所占平面应尽可能小，即三块2米的过道，尽可能布设在较小的区域内， 记表示不超过y的最大整数． 由（1）得：， 可计算整数格大致高度，如下， x 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 4.33 5 5.53 5.93 6.2 6.33 6.33 6.2 5.93 5.53 5 在时，由对称可知，结合计算与对称性， 当时与时其对应y值相同，即仓库高度相同；考虑到需要上抬货物10厘米， ∴有，时，层高为4；或时，层高为5；时，层高为6； 故最少的过道占地为： ①第一块过道，即时，根据题意，此时必然是仓储区， 故至少剩余， ②为了尽量增加存储，为过道时，存储量最大，层高为6，层高为5； ③由题意，第为三块过道， 故最后仓储区剩余空间最大，其仓储平面区域为放8件，放18件，放5件． 综上所述，仓储区容量为：(件) 故设计要求为：，最大容量为1550件． 故答案为：2，4，1500 $$