第12讲 二次函数的图像与性质（讲练）-【上好课】2025年中考数学一轮复习讲练测（北京专用）

第三章 函数及其图像 第12讲 二次函数的图像与性质（7分） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 01考情透视·目标导航 02知识导图·思维引航 03考点突破·考法探究 考点一 二次函数的图像和性质（高频考点） 考点二 二次函数的综合（高频考点） 04题型精研·考向洞悉 命题点一 二次函数的图像和性质 ►题型01 将二次函数的一般式化为顶点式 ►题型02 二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质 ►题型03二次函数的其他问题 命题点二 二次函数与方程，不等式 ►题型01 抛物线与坐标轴的交点问题 ►题型02 抛物线与不等式问题 05分层训练·巩固提升 基础巩固 能力提升 0 考点要求 新课标要求 考查频次 命题预测 二次函数的图像和性质 能画二次函数的图象，通过图象了解二次函数的性质，知道二次函数系数与图象形状和对称轴的关系. 会求二次函数的最大值或最小值，并能确定相应自变量的值，能解决相应的实际问题. 10年10考 二次函数作为初中三大函数中考点最多，出题最多，难度最大的函数，一直都是北京中考数学中最重要的考点，年年都会考查，总分值为7分，预计2025年北京中考还会考.而对于二次函数图象和性质的考察，也主要集中在二次函数的图象、图象与系数的关系、与方程及不等式的关系、图象上点的坐标特征等几大方面.题型变化较多，考生复习时需要熟练掌握相关知识，熟悉相关题型，认真对待该考点的复习. 二次函数与方程、不等式 知道二次函数和一元二次方程之间的关系，会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解. 5年2考 0 考点一 二次函数的图像和性质（高频考点） 一、二次函数的图象与性质 图象特征 二次函数的图象是一条关于某条直线对称的曲线，这条曲线叫抛物线，该直线叫做抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点叫做抛物线的顶点. 基本形式 y=ax2 y=ax2+k y=a(x-h)2 y=a(x-h)2+k y=ax2+bx+c 图象 a>0 a<0 对称轴 y轴 y轴 x=h x=h x= 顶点坐标 (0，0) (0，k) (h，0) (h，k) (，) 最值 a>0 开口向上，顶点是最低点，此时 y 有最小值； a<0 开口向下，顶点是最高点，此时y有最大值. 【小结】二次函数最小值(或最大值)为0（k或）. 增 减 性 a>0 在对称轴的左边y随x的增大而减小，在对称轴的右边y随x的增大而增大. a<0 在对称轴的左边y随x的增大而增大，在对称轴的右边y随x的增大而减小. 二、二次函数的图象变换 1）二次函数的平移变换 平移方式（n＞0) 一般式y=ax2+bx+c 顶点式y＝a(x–h) 2＋k 平移口诀 向左平移n个单位 y=a(x+n)2+b(x+n)+c y=a(x-h+n) 2+k 左加 向右平移n个单位 y=a(x-n)2+b(x-n)+c y=a(x-h-n)2+k 右减 向上平移n个单位 y=ax2+bx+c+n y=a(x-h)2+k+n 上加 向下平移n个单位 y=ax2+bx+c-n y=a(x-h)2+k-n 下减 2）二次函数图象的翻折与旋转 变换前 变换方式 变换后 口诀 y=a(x-h)²+k 绕顶点旋转180° y= -a(x-h)²+k a变号，h、k均不变 绕原点旋转180° y= -a(x+h)²-k a、h、k均变号 沿x轴翻折 y= -a(x-h)²-k a、k变号，h不变 沿y轴翻折 y= a(x+h)²+k a、h不变，h变号 三、二次函数的对称性问题 抛物线的对称性的应用，主要体现在： 1）求一个点关于对称轴对称的点的坐标； 2）已知抛物线上两个点关于对称轴对称，求其对称轴. 解此类题的主要根据：若抛物线上两个关于对称轴对称的点的坐标分别为(x1，y)，(x2，y)，则抛物线的对称轴可表示为直线x=. 解题技巧： 1.抛物线上两点若关于直线，则这两点的纵坐标相同，横坐标与x=的差的绝对值相等； 2若二次函数与x轴有两个交点，则这两个交点关于直线x=对称； 3二次函数y=ax2+bx+c与y=ax2-bx+c的图象关于y轴对称；二次函数y=ax2+bx+c与y=-ax2-bx-c的图象于x轴对称. 四、二次函数的最值问题 自变量取值范围 图象 最大值 最小值 全体实数 a>0 当x=时，二次函数取得最小值 a<0 当x=时，二次函数取得最大值 x1≤x≤x2 a>0 当x=x2时，二次函数取得最大值y2 当x=时，二次函数取得最小值 当x=x1时，二次函数取得最大值y1 当x=时，二次函数取得最小值 当x=x2时，二次函数取得最大值y2 当x=x1时，二次函数取得最小值y1 备注：自变量的取值为x1≤x≤x2时，且二次项系数a<0的最值情况请自行推导. 1. 抛物线的增减性问题，由a的正负和对称轴同时确定，单一的直接说，y随x 的增大而增大(或减小) 是不对的，必须附加一定的自变量x 取值范围. 2. 抛物线在平移的过程中，a的值不发生变化，变化的只是顶点的位置，且与平移方向有关. 3. 涉及抛物线的平移时，首先将表达式转化为顶点式y=a(x-h)2+k的形式，因为二次函数平移遵循“上加下减，左加右减”的原则，因此可以直接由解析式中常数的加或减求出变化后的解析式. 1．已知：抛物线 ． (1)求此抛物线与y轴的交点坐标及抛物线的对称轴； (2)已知点，在该抛物线上，且位于对称轴的同侧.若，求a的取值范围． 2．在平面直角坐标系中，，是抛物线上任意两点，设抛物线的对称轴为直线． (1)若点在该抛物线上，求t的值； (2)当时，对于，都有，求的取值范围． 考点二 二次函数与方程，不等式问题 一、二次函数与一元二次方程的关系 二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0），当y=0时，得到一元二次方程ax2＋bx＋c=0（a≠0）.一元二次方程的解就是二次函数的图象与 x 轴交点的横坐标. 因此，二次函数图象与x轴的交点情况决定一元二次方程根的情况. 与x轴交点个数 一元二次方程ax2+bx+c= 0的根 判别式Δ=b2-4ac 2个交点 有两个不相等的实数根 b2-4ac>0 1个交点 有一个不相等的实数根 b2-4ac=0 0个交点 没有实数根 b2-4ac<0 二次函数与不等式的关系: b2-4ac b2-4ac>0 b2-4ac=0 b2-4ac<0 图象 与x轴交点 2个交点 1个交点 0个交点 ax2＋bx＋c>0 的解集情况 x<x1或x>x2 x≠ 取任意实数 ax2＋bx＋c<0 的解集情况 x1<x<x2 无解 无解 1. 解一元二次方程实质上就是求当二次函数值为0时的自变量x的取值，反映在图象上就是求抛物线与x 轴交点的横坐标. 2. 若一元二次方程ax2＋bx＋c=0（a≠0）的两根为x1，x2(x1< x2)，则抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）与x 轴的交点为(x1，0)，(x2，0)，对称轴为直线. 3. 如果抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）与x轴交于M(x1,0),N(x2,0),则MN= . （原因：MN=| x1- x2|=） 1．在平面直角坐标系中，，是抛物线上任意两点．设抛物线的对称轴为直线． (1)若，，求的值； (2)若对于，，都有，求的取值范围． 2．在平面直角坐标系中，抛物线的对称轴为，点，，在抛物线上． (1)当时，直接写出m与n的大小关系； (2)若对于，都有，求t的取值范围． 命题点一 二次函数的图像和性质 ►题型01 将二次函数的一般式化为顶点式 1．将二次函数化为的形式，下列结果正确的是（　　） A．B． C． D． 2．抛物线y=2x2﹣3x+l的顶点坐标为（ ） A．（﹣，） B．（，﹣） C．（，） D．（﹣，﹣） 3．将二次函数化成的形式，结果为 ． 4．抛物线的顶点的坐标为 ． ►题型02 二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质 1．在平面直角坐标系中，已知抛物线. (1)当时，求抛物线的顶点坐标； (2)已知和是抛物线上的两点.若对于，，都有，求的取值范围. 2．在平面直角坐标系中，，是抛物线上任意两点，设抛物线的对称轴为． (1)若对于，有，求的值； (2)若对于，，都有，求的取值范围． 3．在平面直角坐标系中，点和点在抛物线上． （1）若，求该抛物线的对称轴； （2）已知点在该抛物线上．若，比较的大小，并说明理由． 4．在平面直角坐标系中，为抛物线上任意两点，其中． （1）若抛物线的对称轴为，当为何值时， （2）设抛物线的对称轴为．若对于，都有，求的取值范围． ►题型03 二次函数的其他问题 1．在平面直角坐标系xOy中，过点（0，2）且平行于x轴的直线，与直线y＝x－1交于点A，点A关于直线x＝1的对称点为B，抛物线C1：y＝x2＋bx＋c经过点A，B． （1）求点A，B的坐标； （2）求抛物线C1的表达式及顶点坐标； （3）若拋物线C2：y＝ax2（a≠0）与线段AB恰有一个公共点，结合函数的图象，求a的取值范围. 2．在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点A，将点A向右平移2个单位长度，得到点B，点B在抛物线上． （1）求点B的坐标（用含的式子表示）； （2）求抛物线的对称轴； （3）已知点，．若抛物线与线段PQ恰有一个公共点，结合函数图象，求的取值范围． 3．在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点，，抛物线经过点，将点向右平移5个单位长度，得到点． （1）求点的坐标； （2）求抛物线的对称轴； （3）若抛物线与线段恰有一个公共点，结合函数图象，求的取值范围． 命题点二 二次函数与方程，不等式 ►题型01 抛物线与坐标轴的交点问题 1．经过两点的抛物线（为自变量）与轴有交点，则线段长为（    ） A．10 B．12 C．13 D．15 2．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于，两点，并且过和，则点的坐标为 ． ►题型02 抛物线与不等式问题 1．如图，抛物线与直线交于，两点，则不等式的解集是 ． 2．二次函数y＝ax2+bx+c（0≤x≤3）的图象如图所示，则y的取值范围是 ． 3．在平面直角坐标系中，抛物线 ． (1)求抛物线与x轴的交点坐标及抛物线的对称轴(用含的式子表示)； (2)已知点，在该抛物线上，若，求的取值范围． 4．已知抛物线图象上部分点的横坐标与纵坐标的对应值，如下表： 0 1 2 3 0 3 4 3 0 (1)求此抛物线的解析式，并画出其图象； (2)结合图象，直接写出不等式的解集； (3)结合图象，直接写出当时，的取值范围． 5．在平面直角坐标系中，已知，，是抛物线上的三个点． (1)求该抛物线的对称轴； (2)若对于，，都有，求证：； (3)若对于，，都有，求的取值范围． 基础巩固 1．抛物线的对称轴是（   ） A． B． C． D． 2．将抛物线先向左平移2个单位，再向下平移1个单位长度，所得新抛物线的解析式为（    ） A． B． C． D． 3．已知点、在二次函数的图象上．若，则与的大小关系是（    ） A． B． C． D． 4．单板滑雪大跳台是北京冬奥会比赛项目之一，举办场地为首钢滑雪大跳台．运动员起跳后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分．从起跳到着陆的过程中，运动员起跳后的竖直高度（单位：m）与水平距离（单位：m）近似满足函数关系．如图记录了某运动员起跳后的与的三组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出该运动员起跳后飞行到最高点时，水平距离为（    ）． A．4m B．7m C．8m D．10m 5．已知二次函数的图象经过点．如果，那么m的取值范围是（   ） A． B． C．或 D． 6．抛物线的顶点坐标是 ． 7．将抛物线先向下平移1个单位长度，再向右平移2个单位长度后，得到的新抛物线解析式为 ． 8．将二次函数写成的形式为 ． 9．在平面直角坐标系中，抛物线的对称轴是直线． (1)直接写出抛物线与轴的交点坐标； (2)求抛物线的顶点坐标（用含的式子表示）； (3)若抛物线与轴相交于两点，且，求的取值范围． 能力提升 1．已知点，若抛物线与线段只有一个公共点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．平面直角坐标系中，已知二次函数（）的部分图象如图所示，对称轴为直线，给出下面四个结论：①；②； ③；④（m为实数）．上述结论中，所有正确结论的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．如图，在平面直角坐标系中，点在抛物线上，过点A作y轴的垂线，交抛物线于另一点B，点C、D在线段上，分别过点C、D作x轴的垂线交抛物线于E、F两点．当四边形为正方形时，线段的长为（    ） A．2 B． C． D． 4．已知抛物线与x轴交于两点，对称轴与抛物线交于点C，与x轴交于点，的半径为2，点G为上一动点，点P为的中点，则的最大值为 ． 5．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴只有一个交点，与平行于轴的直线交于A、B两点．若，则点到直线的距离为 ． 6．已知抛物线，．若抛物线与线段恰有一个公共点，则m的取值范围是 ． 7．下表记录了二次函数中两个变量x与y的5组对应值，其中． x … 1 3 … y … m 0 2 0 m … 根据表中信息，当时，直线与该二次函数图象有两个公共点，则k的取值范围是 ． 8．函数的图象如图所示，若直线与该图象只有一个交点，则的取值范围为 ． 9．在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，将点向右平移4个单位长度，得到点． (1)若，点在抛物线上，求抛物线的解析式及对称轴； (2)若抛物线与线段恰有一个公共点，结合函数图像，求的取值范围． 10．已知抛物线经过点． (1)用含a的式子表示c及抛物线的顶点坐标； (2)当时，所有x对应的函数值y都满足：，求a的取值范围． $$第三章 函数及其图像 第12讲 二次函数的图像与性质（7分） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 01考情透视·目标导航 02知识导图·思维引航 03考点突破·考法探究 考点一 二次函数的图像和性质（高频考点） 考点二 二次函数的综合（高频考点） 04题型精研·考向洞悉 命题点一 二次函数的图像和性质 ►题型01 将二次函数的一般式化为顶点式 ►题型02 二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质 ►题型03二次函数的其他问题 命题点二 二次函数与方程，不等式 ►题型01 抛物线与坐标轴的交点问题 ►题型02 抛物线与不等式问题 05分层训练·巩固提升 基础巩固 能力提升 考点要求 新课标要求 考查频次 命题预测 二次函数的图像和性质 能画二次函数的图象，通过图象了解二次函数的性质，知道二次函数系数与图象形状和对称轴的关系. 会求二次函数的最大值或最小值，并能确定相应自变量的值，能解决相应的实际问题. 10年10考 二次函数作为初中三大函数中考点最多，出题最多，难度最大的函数，一直都是北京中考数学中最重要的考点，年年都会考查，总分值为7分，预计2025年北京中考还会考.而对于二次函数图象和性质的考察，也主要集中在二次函数的图象、图象与系数的关系、与方程及不等式的关系、图象上点的坐标特征等几大方面.题型变化较多，考生复习时需要熟练掌握相关知识，熟悉相关题型，认真对待该考点的复习. 二次函数与方程、不等式 知道二次函数和一元二次方程之间的关系，会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解. 5年2考 考点一 二次函数的图像和性质（高频考点） 一、二次函数的图象与性质 图象特征 二次函数的图象是一条关于某条直线对称的曲线，这条曲线叫抛物线，该直线叫做抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点叫做抛物线的顶点. 基本形式 y=ax2 y=ax2+k y=a(x-h)2 y=a(x-h)2+k y=ax2+bx+c 图象 a>0 a<0 对称轴 y轴 y轴 x=h x=h x= 顶点坐标 (0，0) (0，k) (h，0) (h，k) (，) 最值 a>0 开口向上，顶点是最低点，此时 y 有最小值； a<0 开口向下，顶点是最高点，此时y有最大值. 【小结】二次函数最小值(或最大值)为0（k或）. 增 减 性 a>0 在对称轴的左边y随x的增大而减小，在对称轴的右边y随x的增大而增大. a<0 在对称轴的左边y随x的增大而增大，在对称轴的右边y随x的增大而减小. 二、二次函数的图象变换 1）二次函数的平移变换 平移方式（n＞0) 一般式y=ax2+bx+c 顶点式y＝a(x–h) 2＋k 平移口诀 向左平移n个单位 y=a(x+n)2+b(x+n)+c y=a(x-h+n) 2+k 左加 向右平移n个单位 y=a(x-n)2+b(x-n)+c y=a(x-h-n)2+k 右减 向上平移n个单位 y=ax2+bx+c+n y=a(x-h)2+k+n 上加 向下平移n个单位 y=ax2+bx+c-n y=a(x-h)2+k-n 下减 2）二次函数图象的翻折与旋转 变换前 变换方式 变换后 口诀 y=a(x-h)²+k 绕顶点旋转180° y= -a(x-h)²+k a变号，h、k均不变 绕原点旋转180° y= -a(x+h)²-k a、h、k均变号 沿x轴翻折 y= -a(x-h)²-k a、k变号，h不变 沿y轴翻折 y= a(x+h)²+k a、h不变，h变号 三、二次函数的对称性问题 抛物线的对称性的应用，主要体现在： 1）求一个点关于对称轴对称的点的坐标； 2）已知抛物线上两个点关于对称轴对称，求其对称轴. 解此类题的主要根据：若抛物线上两个关于对称轴对称的点的坐标分别为(x1，y)，(x2，y)，则抛物线的对称轴可表示为直线x=. 解题技巧： 1.抛物线上两点若关于直线，则这两点的纵坐标相同，横坐标与x=的差的绝对值相等； 2若二次函数与x轴有两个交点，则这两个交点关于直线x=对称； 3二次函数y=ax2+bx+c与y=ax2-bx+c的图象关于y轴对称；二次函数y=ax2+bx+c与y=-ax2-bx-c的图象于x轴对称. 四、二次函数的最值问题 自变量取值范围 图象 最大值 最小值 全体实数 a>0 当x=时，二次函数取得最小值 a<0 当x=时，二次函数取得最大值 x1≤x≤x2 a>0 当x=x2时，二次函数取得最大值y2 当x=时，二次函数取得最小值 当x=x1时，二次函数取得最大值y1 当x=时，二次函数取得最小值 当x=x2时，二次函数取得最大值y2 当x=x1时，二次函数取得最小值y1 备注：自变量的取值为x1≤x≤x2时，且二次项系数a<0的最值情况请自行推导. 1. 抛物线的增减性问题，由a的正负和对称轴同时确定，单一的直接说，y随x 的增大而增大(或减小) 是不对的，必须附加一定的自变量x 取值范围. 2. 抛物线在平移的过程中，a的值不发生变化，变化的只是顶点的位置，且与平移方向有关. 3. 涉及抛物线的平移时，首先将表达式转化为顶点式y=a(x-h)2+k的形式，因为二次函数平移遵循“上加下减，左加右减”的原则，因此可以直接由解析式中常数的加或减求出变化后的解析式. 1．已知：抛物线 ． (1)求此抛物线与y轴的交点坐标及抛物线的对称轴； (2)已知点，在该抛物线上，且位于对称轴的同侧.若，求a的取值范围． 【答案】(1)交点坐标：，对称轴：直线； (2)． 【分析】（1）根据抛物线与y轴的交点的定义及对称轴定义计算即可； （2）把，，代入函数表达式，再利用二次函数增减性判断即可． 【详解】（1）令可得 ∴与y轴交点坐标：， 对称轴为直线 （2）把，，代入函数表达式得： ①当A、B两点在对称轴右侧，即时， ， ， . ， ， . ， ②当A、B两点在对称轴左侧，即，时， ， ， ， ， . ， 综上所述， 【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质等知识点，能综合运用知识点进行计算是解此题的关键． 2．在平面直角坐标系中，，是抛物线上任意两点，设抛物线的对称轴为直线． (1)若点在该抛物线上，求t的值； (2)当时，对于，都有，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质： （1）利用待定系数法求出，再根据对称轴计算公式求解即可； （2）根据解析式可得当时，y随x增大而增大，当时，y随x增大而减小，且离对称轴越远函数值越大，据此分当时，当时，当时，当时，四种情况讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点， ∴， ∴， ∴抛物线对称轴为直线， ∴； （2）解：∵， ∴抛物线开口向上， ∴当时，y随x增大而增大，当时，y随x增大而减小，且离对称轴越远函数值越大； 当时， ∵， ∴此时满足； 当时， ∵， ∴点M到对称轴的距离小于点N到对称轴的距离， ∴此时满足； 当时，一定会有的值满足，即此时，不符合题意； 当时，若，且时，此时，不符合题意； 综上所述，； 考点二 二次函数与方程，不等式问题 一、二次函数与一元二次方程的关系 二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0），当y=0时，得到一元二次方程ax2＋bx＋c=0（a≠0）.一元二次方程的解就是二次函数的图象与 x 轴交点的横坐标. 因此，二次函数图象与x轴的交点情况决定一元二次方程根的情况. 与x轴交点个数 一元二次方程ax2+bx+c= 0的根 判别式Δ=b2-4ac 2个交点 有两个不相等的实数根 b2-4ac>0 1个交点 有一个不相等的实数根 b2-4ac=0 0个交点 没有实数根 b2-4ac<0 二次函数与不等式的关系: b2-4ac b2-4ac>0 b2-4ac=0 b2-4ac<0 图象 与x轴交点 2个交点 1个交点 0个交点 ax2＋bx＋c>0 的解集情况 x<x1或x>x2 x≠ 取任意实数 ax2＋bx＋c<0 的解集情况 x1<x<x2 无解 无解 1. 解一元二次方程实质上就是求当二次函数值为0时的自变量x的取值，反映在图象上就是求抛物线与x 轴交点的横坐标. 2. 若一元二次方程ax2＋bx＋c=0（a≠0）的两根为x1，x2(x1< x2)，则抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）与x 轴的交点为(x1，0)，(x2，0)，对称轴为直线. 3. 如果抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）与x轴交于M(x1,0),N(x2,0),则MN= . （原因：MN=| x1- x2|=） 1．在平面直角坐标系中，，是抛物线上任意两点．设抛物线的对称轴为直线． (1)若，，求的值； (2)若对于，，都有，求的取值范围． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质等知识， （1）将，代入解析式，得出即可得解； （2）分①当点在对称轴上或对称轴右侧时，②当点在对称轴上或对称轴左侧时两种情况讨论组成不等式组即可得解； 解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 【详解】（1） ，， ， ， ， （2） ， 抛物线开口向下， 抛物线的对称轴为，， 点在对称轴的右侧， ①当点在对称轴上或对称轴右侧时， 抛物线开口向下， 在对称轴右侧，随的增大而减小． 由， ， ， 解得， ， ②当点在对称轴上或对称轴左侧时， 设抛物线上的点关于的对称点为， ，解得， ， ， ， 在对称轴右侧，随的增大而减小， 由， ， ， 解得， ， 综上所述，的取值范围是或． 2．在平面直角坐标系中，抛物线的对称轴为，点，，在抛物线上． (1)当时，直接写出m与n的大小关系； (2)若对于，都有，求t的取值范围． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质．熟练掌握二次函数的图象与性质并分情况求解是解题的关键． （1）由，可知图象开口向上，且抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大，当时，对称轴为，，，由，可得； （2）分当，两种情况，作函数图象，根据抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大，确定关于的不等式，然后求出满足要求的解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴图象开口向上，则抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大， 当时，对称轴为，，， ∵， ∴； （2）解：当时，如图1， ∴在上，在上，在上， ∵对于，都有， ∴且，此时无解； 当时，如图2， ∴在上，在上， 当在上时， ∵对于，都有， ∴且， 解得，； 当在上时， ∵对于，都有， ∴且， 解得，； 综上所述，t的取值范围为或． 命题点一 二次函数的图像和性质 ►题型01 将二次函数的一般式化为顶点式 1．将二次函数化为的形式，下列结果正确的是（　　） A．B． C． D． 【答案】D 【分析】利用配方法整理即可得解． 【详解】解： 即． 故选：D． 【点睛】本题考查了利用配方法把二次函数的一般形式化为顶点式，熟练掌握和运用利用配方法把二次函数的一般形式化为顶点式的方法是解决本题的关键． 2．抛物线y=2x2﹣3x+l的顶点坐标为（ ） A．（﹣，） B．（，﹣） C．（，） D．（﹣，﹣） 【答案】B 【详解】试题分析：配方得：y=2x2﹣3x+1=2（x﹣）2﹣，∴抛物线顶点坐标为（，﹣）． 故选B． 考点：二次函数的性质． 3．将二次函数化成的形式，结果为 ． 【答案】 【分析】利用配方法整理即可得解． 【详解】解：， 故答案为：． 【点睛】本题考查二次函数的三种形式，正确运用配方法把二次函数的一般式化为顶点式是解题的关键． 4．抛物线的顶点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数的性质等知识点，直接将二次函数解析式化成顶点式，根据二次函数的性质进行解答即可，熟知二次函数的性质是解答此题的关键． 【详解】解：∵， ∴抛物线的顶点坐标是， 故答案为：． ►题型02 二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质 1．在平面直角坐标系中，已知抛物线. (1)当时，求抛物线的顶点坐标； (2)已知和是抛物线上的两点.若对于，，都有，求的取值范围. 【答案】(1)； (2)或 【分析】（）把代入，转化成顶点式即可求解； （）分 和两种情况，画出图形结合二次函数的性质即可求解； 本题考查了求二次函数的顶点式，二次函数的性质，运用分类讨论和数形结合思想解答是解题的关键． 【详解】（1）解：把代入得，， ∴抛物线的顶点坐标为； （2）解：分两种情况：抛物线的对称轴是直线； 当时，如图，此时， ∴， 又∵， ∴； 当时，如图，此时， 解得， 又∵， ∴； 综上，当或，都有． 2．在平面直角坐标系中，，是抛物线上任意两点，设抛物线的对称轴为． (1)若对于，有，求的值； (2)若对于，，都有，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据二次函数的性质求得对称轴即可求解； （2）根据题意可得离对称轴更近，，则与的中点在对称轴的右侧，根据对称性求得，进而根据，即可求解． 【详解】（1）解：∵对于，有， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵抛物线的对称轴为． ∴； （2）解：∵当，， ∴，， ∵，， ∴离对称轴更近，，则与的中点在对称轴的右侧， ∴， 即． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的对称性是解题的关键． 3．在平面直角坐标系中，点和点在抛物线上． （1）若，求该抛物线的对称轴； （2）已知点在该抛物线上．若，比较的大小，并说明理由． 【答案】（1）；（2），理由见解析 【分析】（1）由题意易得点和点，然后代入抛物线解析式进行求解，最后根据对称轴公式进行求解即可； （2）由题意可分当时和当时，然后根据二次函数的性质进行分类求解即可． 【详解】解：（1）当时，则有点和点，代入二次函数得： ，解得：， ∴抛物线解析式为， ∴抛物线的对称轴为； （2）由题意得：抛物线始终过定点，则由可得： ①当时，由抛物线始终过定点可得此时的抛物线开口向下，即，与矛盾； ②当时， ∵抛物线始终过定点， ∴此时抛物线的对称轴的范围为， ∵点在该抛物线上， ∴它们离抛物线对称轴的距离的范围分别为， ∵，开口向上， ∴由抛物线的性质可知离对称轴越近越小， ∴． 【点睛】本题主要考查二次函数的综合，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 4．在平面直角坐标系中，为抛物线上任意两点，其中． （1）若抛物线的对称轴为，当为何值时， （2）设抛物线的对称轴为．若对于，都有，求的取值范围． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）根据抛物线解析式得抛物线必过（0，c），因为，抛物线的对称轴为，可得点M，N关于对称，从而得到的值； （2）根据题意知，抛物线开口向上，对称轴为，分3种情况讨论，情况1：当都位于对称轴右侧时，情况2：当都位于对称轴左侧时，情况3：当位于对称轴两侧时，分别求出对应的t值，再进行总结即可． 【详解】解：（1）当x=0时，y=c， 即抛物线必过（0，c）， ∵，抛物线的对称轴为， ∴点M，N关于对称， 又∵， ∴，； （2）由题意知，a＞0， ∴抛物线开口向上 ∵抛物线的对称轴为， ∴情况1：当都位于对称轴右侧时，即当时，恒成立 情况2：当都位于对称轴左侧时，即＜时，恒不成立 情况3：当位于对称轴两侧时，即当 时，要使，必有，即 解得， ∴3≥2t， ∴ 综上所述，． 【点睛】本题考查了二次函数图象的性质．解题的关键是学会分类讨论的思想及数形结合思想． ►题型03 二次函数的其他问题 1．在平面直角坐标系xOy中，过点（0，2）且平行于x轴的直线，与直线y＝x－1交于点A，点A关于直线x＝1的对称点为B，抛物线C1：y＝x2＋bx＋c经过点A，B． （1）求点A，B的坐标； （2）求抛物线C1的表达式及顶点坐标； （3）若拋物线C2：y＝ax2（a≠0）与线段AB恰有一个公共点，结合函数的图象，求a的取值范围. 【答案】（1）A（3，2），B（－1，2）．（2），（1,-2）．（3） 【分析】（1）把y=2代入直线解析式即可求出A（3,2），根据对称的性质得出B（-1,2）； （2）把A，B两点的坐标代入C1：y＝x2＋bx＋c即可求出二次函数的解析式和顶点坐标； （3）把A，B的坐标分别代入C2：y＝ax2求出a的值即可得出结论． 【详解】（1）当y＝2，则2＝x－1，x＝3， ∴A（3，2）， ∵AB关于x＝1对称， ∴B（－1，2）． （2）把（3，2）（－1，2）代入得：，解得， 所以函数解析式为,其顶点坐标为（1,-2）． （3）如图，当C2过A点，B点时为临界， 代入A（3，2）则9a＝2， ， 代入B（－1，2）则a＝2 ∴． 2．在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点A，将点A向右平移2个单位长度，得到点B，点B在抛物线上． （1）求点B的坐标（用含的式子表示）； （2）求抛物线的对称轴； （3）已知点，．若抛物线与线段PQ恰有一个公共点，结合函数图象，求的取值范围． 【答案】（1）点B的坐标为；（2）对称轴为直线;（3）当时，抛物线与线段PQ恰有一个公共点. 【分析】（1）向右平移2个单位长度，得到点； （2）A与B关于对称轴x=1对称； （3））①a＞0时，当x=2时，，当时，x=0或x=2，所以函数与AB无交点；②a＜0时，当y=2时，，或当时，； 【详解】解：（1）∵抛物线与轴交于点A，∴令，得， ∴点A的坐标为，∵点A向右平移两个单位长度，得到点B， ∴点B的坐标为； （2）∵抛物线过点和点，由对称性可得，抛物线对称轴为 直线，故对称轴为直线 （3）∵对称轴x=1， ∴b-2a，， ①a＞0时， 当x=2时，，当x=0或x=2， ∴函数与AB无交点； ②a＜0时， 当y=2时，， 或当时，； ∴当时，抛物线与线段PQ恰有一个公共点； （3）①当时，则，分析图象可得：根据抛物线的对称性，抛物线不可能同时经过点A和点P；也不可能同时经过点B和点Q，所以，此时线段PQ与抛物线没有交点. ②当时，则. 分析图象可得：根据抛物线的对称性，抛物线不可能同时经过点A和点P；但当点Q在点B上方或与点B重合时，抛物线与线段PQ恰有一个公共点，此时即 综上所述，当时，抛物线与线段PQ恰有一个公共点. 【点睛】本题考查二次函数的图象及性质；熟练掌握二次函数图象上点的特征，数形结合讨论交点是解题的关键． 3．在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点，，抛物线经过点，将点向右平移5个单位长度，得到点． （1）求点的坐标； （2）求抛物线的对称轴； （3）若抛物线与线段恰有一个公共点，结合函数图象，求的取值范围． 【答案】（1）（5，4）；（2）x=1；（3）或或． 【详解】分析：（1）根据直线与轴、轴交于、．即可求出（，0），（0，4），根据点的平移即可求出点的坐标； （2）根据抛物线过（，），代入即可求得，根据抛物线的对称轴方程即可求出抛物线的对称轴； （3）分①当抛物线过点时．②当抛物线过点时．③当抛物线顶点在上时．三种情况进行讨论即可. 详解：（1）解：∵直线与轴、轴交于、． ∴（，0），（0，4） ∴（5，4） （2）解：抛物线过（，） ∴． ∴ ∴对称轴为． （3）解：①当抛物线过点时． ，解得． ②当抛物线过点时． ，解得． ③当抛物线顶点在上时． 此时顶点为（1，4） ∴，解得． ∴综上所述或或． 点睛：属于二次函数的综合题，考查了一次函数与坐标轴的交点，点的平移，抛物线对称轴，抛物线与线段交点问题，注意分类讨论思想在解题中的应用. 命题点二 二次函数与方程，不等式 ►题型01 抛物线与坐标轴的交点问题 1．经过两点的抛物线（为自变量）与轴有交点，则线段长为（    ） A．10 B．12 C．13 D．15 【答案】B 【分析】根据题意，求得对称轴，进而得出，求得抛物线解析式，根据抛物线与轴有交点得出，进而得出，则，求得的横坐标，即可求解． 【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线 ∵抛物线经过两点 ∴， 即， ∴， ∵抛物线与轴有交点， ∴， 即， 即，即， ∴，， ∴， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查了二次函数的对称性，与轴交点问题，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 2．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于，两点，并且过和，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查抛物线与轴的交点、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．根据点和在二次函数的图象上，可以得到该函数的对称轴，再根据二次函数的图象与轴交于，两点和二次函数的性质，即可得到点的横坐标，从而可以写出点的坐标． 【详解】解：点和在二次函数的图象上， 该函数图象的对称轴为直线， 二次函数的图象与轴交于，两点， 点的横坐标为：， 点的坐标为， 故答案为：． ►题型02 抛物线与不等式问题 1．如图，抛物线与直线交于，两点，则不等式的解集是 ． 【答案】 【分析】根据A、B两点的横坐标可得 −1<x<3 时， ax2+c<mx+n ，即可得出 ax2−mx+c<n 的解集． 【详解】∵抛物线与直线交于 A(−1，p) ， B(3，q) ，抛物线开口向上， ∴ −1<x<3 时， ax2+c<mx+n ， ∴ ax2−mx+c<n 的解集为 −1<x<3 ． 故答案为： −1<x<3 【点睛】本题考查二次函数与不等式，根据两函数图象的上下关系找出不等式的解集是解题关键． 2．二次函数y＝ax2+bx+c（0≤x≤3）的图象如图所示，则y的取值范围是 ． 【答案】﹣1≤y≤3 【分析】根据图象中的数据可以得到当0≤x≤3时，函数值y的取值范围． 【详解】解：由图象可知， 当0≤x≤3时，函数值y的取值范围﹣1≤y≤3． 故答案为：﹣1≤y≤3． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答． 3．在平面直角坐标系中，抛物线 ． (1)求抛物线与x轴的交点坐标及抛物线的对称轴(用含的式子表示)； (2)已知点，在该抛物线上，若，求的取值范围． 【答案】(1)；； (2)或． 【分析】（1）由，当时，可得；即可得到抛物线与x轴的交点坐标；再根据抛物线的对称轴公式即可确定对称轴； （2）由（1）可得抛物线与x轴交于点和，然后分和两种情况，分别根据抛物线列关于a的不等式组求解即可． 【详解】（1）解：， 当时，，解得 ，， 所以抛物线与x轴交于点和，抛物线的对称轴为直线． （2）解：抛物线与x轴交于点和 当，由， ∴ 或解得 或无解； 当，由， ∴ 或解得 或无解． 综上，或． 【点睛】本题主要考查了二次函数的图像与性质、二次函数与一元二次方程的关系等知识点，理解二次函数的图像与性质是解答本题的关键． 、 4．已知抛物线图象上部分点的横坐标与纵坐标的对应值，如下表： 0 1 2 3 0 3 4 3 0 (1)求此抛物线的解析式，并画出其图象； (2)结合图象，直接写出不等式的解集； (3)结合图象，直接写出当时，的取值范围． 【答案】(1)抛物线的解析式为，画图见详解 (2)或 (3) 【分析】本题考查了待定系数法求抛物线解析式，描点法画函数图像，根据图像求函数值范围，熟练掌握待定系数法和描点法画函数图像是解题关键． （1）根据表格点得出抛物线顶点，与轴交点，根据待定系数法即可求解；描点连线即可画图； （2）观察图象可得不等式的解集； （3）观察图象得出当时，的取值范围； 【详解】（1）解：根据表格点抛物线顶点，与轴交点， 设抛物线的顶点式为， ∴把)代入抛物线解析式得，， 解得：， 故抛物线解析式为， 描点画图如下： （2）解：不等式的解集，即为函数图象在函数下方时的取值范围， 观察图象可得函数和的交点为， 故不等式的解集为或； （3）解：当时，即当时， 观察图象可得． 5．在平面直角坐标系中，已知，，是抛物线上的三个点． (1)求该抛物线的对称轴； (2)若对于，，都有，求证：； (3)若对于，，都有，求的取值范围． 【答案】(1)抛物线的对称轴 (2)见解析 (3)或 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，熟悉掌握二次函数的对称性是解题的关键． （1）根据对称轴运算求解即可； （2）设点关于对称轴的对称点为，利用对称性得到的取值范围，利用二次函数的图象性质求解即可； （3）分类讨论点的位置，再根据二次函数的对称性和图象性质的关系得到不等式，解不等式即可． 【详解】（1）∵二次函数解析式为 ， ∴抛物线的对称轴． （2）证明：设点关于对称轴的对称点为， ∵抛物线的对称轴，， ∴， ∵点，在对称轴左侧，，且， 根据二次函数性质，时，随的增大而减小， ∴， ∵， ∴，， ∴当时，， 把代入函数解析式得． （3）∵抛物线的对称轴，， ∴点在对称轴右侧， ①当点在对称轴右侧时， ∵时，， 根据二次函数性质，时，随的增大而增大， ∴， ②当点在对称轴左侧时， 设点关于对称轴的对称点为， ∵， ∵，， ∴， 根据二次函数性质，时，随的增大而增大， ∴，则， 综上可知，或． 基础巩固 1．抛物线的对称轴是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质进行分析解答．根据题干中抛物线的顶点式，可以直接写出抛物线的对称轴． 【详解】解：∵抛物线 ∴对称轴是直线， 故选：C 2．将抛物线先向左平移2个单位，再向下平移1个单位长度，所得新抛物线的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是二次函数的图象与几何变换．根据“左加右减，上加下减”的法则进行解答即可． 【详解】解：把抛物线，先向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的抛物线解析式为：，即． 故选：C． 3．已知点、在二次函数的图象上．若，则与的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数解析式确定出抛物线的对称轴，再根据二次函数的增减性解答． 【详解】解：的对称轴为：直线， ∵， ∴时y随x的增大而减小， ∵， ∴． 故选：D． 【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，掌握二次函数的增减性，二次函数的对称轴是关键． 4．单板滑雪大跳台是北京冬奥会比赛项目之一，举办场地为首钢滑雪大跳台．运动员起跳后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分．从起跳到着陆的过程中，运动员起跳后的竖直高度（单位：m）与水平距离（单位：m）近似满足函数关系．如图记录了某运动员起跳后的与的三组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出该运动员起跳后飞行到最高点时，水平距离为（    ）． A．4m B．7m C．8m D．10m 【答案】C 【分析】将点分别代入函数解析式，求得系数的值；然后由抛物线的对称轴公式可以得到答案． 【详解】解：根据题意知，抛物线经过点， 则， 解得： ∴抛物线为 所以，该运动员起跳后飞行到最高点． 即该运动员起跳后飞行到最高点时，水平距离为． 故选：C． 【点睛】此题考查了二次函数的应用，根据题意建立二次函数的模型再利用二次函数的性质解决问题是解本题的关键． 5．已知二次函数的图象经过点．如果，那么m的取值范围是（   ） A． B． C．或 D． 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，求出图象与轴的交点坐标，利用数形结合的思想进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴抛物线的开口向上，当时，，解得：或， ∴当或时，， ∵二次函数的图象经过点，， ∴或； 故选C． 6．抛物线的顶点坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的性质，在中，对称轴为，顶点坐标为．直接利用顶点式的特点可写出顶点坐标． 【详解】解：抛物线的顶点坐标是． 故答案为：． 7．将抛物线先向下平移1个单位长度，再向右平移2个单位长度后，得到的新抛物线解析式为 ． 【答案】 【点睛】本题考查了二次函数的图象与几何变换，直接根据二次函数图象平移的法则“上加下减，左加右减”即可得出结论． 【详解】解：将抛物线先向下平移1个单位长度，再向右平移2个单位长度后，得到的新抛物线解析式为， 故答案为：． 8．将二次函数写成的形式为 ． 【答案】 【分析】根据题意利用配方法加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式，把一般式转化为顶点式即可． 【详解】解：． 故答案为：． 【点睛】本题考查二次函数的一般式化为顶点式，解题的关键是掌握配方法． 9．在平面直角坐标系中，抛物线的对称轴是直线． (1)直接写出抛物线与轴的交点坐标； (2)求抛物线的顶点坐标（用含的式子表示）； (3)若抛物线与轴相交于两点，且，求的取值范围． 【答案】(1)（0，1）； (2)（3，﹣9a+1）； (3)a 【分析】（1）根据y轴上点的坐标特征，即可求出答案； （2）根据抛物线的对称轴为直线x＝3，求出b＝﹣6a，进而得出抛物线解析式，最后将代入抛物线解析式求出顶点坐标的纵坐标，即可得出结论； （3）①当a＜0时，抛物线开口向下，不妨设点A在点B的左侧，由（1）知，抛物线与y轴的交点为（0，1），进而判断出xA＜0，xB＞6，得出AB＝|xB﹣xA|＞6，判断出此种情况不符合题意， ②当a＞0时，抛物线的开口向上，判断出在x轴上关于抛物线的对称轴x＝3对称且距离为4的两点的坐标为（1，0），（5，0），再由当x＝1时，得出a﹣6a+1≥0，求出a，再根据y顶点＝﹣9a+1＜0，即可得出答案． 【详解】（1）针对于抛物线y＝ax2+bx+1， 令x＝0，则y＝1， ∴抛物线与y轴的交点坐标为（0，1）； （2）∵抛物线y＝ax2+bx+1（a≠0）的对称轴是直线x＝3， ∴3， ∴b＝﹣6a， ∴抛物线的解析式为y＝ax2﹣6ax+1， 当x＝3时，y＝9a﹣18a+1＝﹣9a+1， ∴抛物线的顶点坐标为（3，﹣9a+1）； （3）①当a＜0时，抛物线开口向下，不妨设点A在点B的左侧， 由（1）知，抛物线y＝ax2+bx+1与y轴的交点为（0，1）， ∵抛物线y＝ax2+bx+1的对称轴为直线x＝3， ∴xA＜0，xB＞6， ∴AB＝|xB﹣xA|＞6， ∵AB≤4， ∴此种情况不符合题意， ②当a＞0时，抛物线的开口向上， 由（2）知，抛物线的解析式为y＝ax2﹣6ax+1， 在x轴上关于抛物线的对称轴x＝3对称且距离为4的两点的坐标为（1，0），（5，0）， ∵AB≤4， ∴当x＝1时，y＝ax2﹣6ax+1＝a﹣6a+1≥0， ∴a， ∵抛物线与x轴有两个交点， ∴y顶点＝﹣9a+1＜0， ∴a， ∴a． 【点睛】此题主要考查了二次函数的图像和性质，顶点坐标的求法，掌握二次函数的性质是解本题的关键． 能力提升 1．已知点，若抛物线与线段只有一个公共点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系，熟知二次函数的图象和性质及分类讨论思想是解题的关键． 由抛物线的表达式可得出抛物线的对称轴为y轴，与y轴的交点坐标为，再利用分类讨论的数学思想即可解答． 【详解】解：由题意可知：抛物线的对称轴为y轴， 当时，， 所以抛物线与y轴的交点坐标为， 当时，抛物线有最大值为0，则抛物线与线段没有交点； 当时， ∵抛物线与线段只有一个公共点， ∴当时，； 当时，，解得， ∴， 综上所述：． 故选：D． 2．平面直角坐标系中，已知二次函数（）的部分图象如图所示，对称轴为直线，给出下面四个结论：①；②； ③；④（m为实数）．上述结论中，所有正确结论的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系、二次函数的图象和性质等知识． ①由抛物线开口方向得到，对称轴在轴右侧，得到与异号，又抛物线与轴正半轴相交，得到，可得出，选项①错误；②把代入中得，所以②正确；③由时对应的函数值，可得出，当时，，即，得到，选项③正确；④由对称轴为直线，即时，有最小值，可得结论，即可得到④正确． 【详解】解：①∵抛物线开口向上， ∴， ∵抛物线的对称轴在轴右侧，即， ∴， ∵抛物线与轴交于负半轴， ∴， ∴，①错误； ②当时，， ∴， ∵， ∴， 把代入中得， 故②正确； ③当时，， ∴， 当时，， ∴， ∴， ∴ ∴，即，所以③正确； ④∵抛物线的对称轴为直线， ∴时，函数的最小值为， ∴对于任意的实数m,， 即，所以④正确． 综上可知，②③④正确， 故选：C． 3．如图，在平面直角坐标系中，点在抛物线上，过点A作y轴的垂线，交抛物线于另一点B，点C、D在线段上，分别过点C、D作x轴的垂线交抛物线于E、F两点．当四边形为正方形时，线段的长为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质、正方形的性质，熟练掌握二次函数的图象和性质以及正方形的性质是解题的关键．代入求得抛物线解析式为，设E点坐标为，进而表示出F、C点坐标，利用列出方程求解即可． 【详解】解：代入到抛物线，得， 解得：， 抛物线解析式为：， 设E点坐标为，由抛物线的对称性得F点坐标为， 轴， 点坐标为， 四边形为正方形， ， 即， 解得：（舍去）， ， ． 故选：D． 4．已知抛物线与x轴交于两点，对称轴与抛物线交于点C，与x轴交于点，的半径为2，点G为上一动点，点P为的中点，则的最大值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数由解析式求顶点坐标、交点坐标，三角形中位线的性质，圆外一点到圆周上一动点连线的最值问题，熟练掌握这些性质是解题的关键；根据题意，可求出点Ｂ和顶点Ｃ的坐标，利用三角形的中位线转化成求圆外一定点Ｂ到圆周上动点Ｇ连线的最大值问题，根据圆心到定点的距离加上圆的半径为距离的最大值，继而求解 【详解】解：如图，连接． 由题意得， ， 当的值最大时，的值最大， ， , , 当点G在的延长线上时，的值最大，最大值为， 的最大值为．　 故答案为：． 5．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴只有一个交点，与平行于轴的直线交于A、B两点．若，则点到直线的距离为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数与一元二次方程的关系，一元二次方程根的判别式，一元二次方程的根与系数的关系等知识．解题的关键是掌握以上知识点． 由题意知，，该方程有两个相等的实数根，则，设点M到直线l的距离为，则，，由题意知，，、是该方程的两个根，则，由，可得，即，，即，计算求解即可． 【详解】解：由题意知，当时，，该方程有两个相等的实数根， ∴， 设点M到直线l的距离为，则，， 当时，，、是该方程的两个根， ∴，， ∵， ∴，即， ∴，即， 解得，， ∴点M到直线l的距离为． 故答案为：． 6．已知抛物线，．若抛物线与线段恰有一个公共点，则m的取值范围是 ． 【答案】或或 【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系、二次函数的对称性、抛物线与线段交点个数等知识点，分情况画出图形成为解题的关键． 分抛物线经过点，抛物线经过点，抛物线的顶点在线段上，三种情况分别求出点m的值，然后再结合图形即可解答． 【详解】解：∵抛物线为， ∴如图：当抛物线经过点时，，解得：； 当抛物线经过点时，，解得：； 当抛物线的顶点在线段上时，，解得：； 结合图象可知，m的取值范围是或或． 故答案为：或或． 7．下表记录了二次函数中两个变量x与y的5组对应值，其中． x … 1 3 … y … m 0 2 0 m … 根据表中信息，当时，直线与该二次函数图象有两个公共点，则k的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查二次函数图象与性质，根据表中数据得出对称轴，进而得到抛物线与轴的交点坐标，利用交点式得到，从而得到二次函数解析式为，根据当时，直线与该二次函数图象有两个公共点，可得结论．掌握二次函数表达式的求法是解题的关键． 【详解】解：∵抛物线过点、， ∴抛物线的对称轴为， 又∵抛物线过点，， ∴， ∴抛物线与轴的交点为、， 设抛物线解析式为， 整理得： 又∵二次函数 ∴， 解得：， ∴二次函数解析式为， ∴当时，， 当时，， 当时，最大值， ∵当时，直线与该二次函数图象有两个公共点， ∴． 故答案为：． 8．函数的图象如图所示，若直线与该图象只有一个交点，则的取值范围为 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查二次函数和一次函数的图象和性质，由与平行可得当时，直线与原图象只有一个交点，将与直线联立方程组，使，此时只有一个交点．熟练掌握二次函数和一次函数的相关知识是解决本题的关键． 【详解】解：与平行， 当时，直线与原图象只有一个交点， 联立， ，即，， 只有一个交点， ， ， 的取值范围为：或． 9．在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，将点向右平移4个单位长度，得到点． (1)若，点在抛物线上，求抛物线的解析式及对称轴； (2)若抛物线与线段恰有一个公共点，结合函数图像，求的取值范围． 【答案】(1)，对称轴为直线 (2)或 【分析】（1）把，代入抛物线解析式求出抛物线解析式，进而求出对称轴即可； （2）分和两种情况，画出对应的函数图象，结合函数图象求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴抛物线解析式为， 把代入得：， 解得， ∴抛物线解析式为， ∴抛物线对称轴为直线； （2）解：∵抛物线与轴交于点， ∴， ∵将点向右平移4个单位长度，得到点， ∴； 当时，如图3-1所示， ∵抛物线与线段恰有一个公共点， ∴当时，， ∴， ∴； 当时，如图3-2所示， 由函数图象可知，对于任意的a都符合题意； 综上所述，或． 【点睛】本题主要考查了求二次函数解析式，二次函数与x轴的交点问题，利用数形结合的思想求解是解题的关键． 10．已知抛物线经过点． (1)用含a的式子表示c及抛物线的顶点坐标； (2)当时，所有x对应的函数值y都满足：，求a的取值范围． 【答案】(1)，顶点坐标为 (2)或 【分析】本题考查了二次函数的图象与系数的关系及二次函数的图象和性质，掌握利用二次函数的性质是解题的关键． （1）把点代入，可得，之间的关系，利用顶点公式可得顶点坐标； （2）分两种情况讨论，当时，当时，得出关于的不等式，解不等式即可． 【详解】（1）解：把点代入， 可得， ， ∴， 则抛物线的顶点横坐标为， 当时，， 抛物线的顶点坐标为． （2）解：由题意可知，当时，所有x对应的函数值y都满足：， ∴当时，时，， 时，， 而顶点纵坐标，如图， ∴； 当时，如图， 当时，，时，， ∴， 时，，即，解得； ∴， 综上，当时，所有对应的函数值都满足：，则或． $$