第11讲 反比例函数的图像与性质及应用（讲练）-【上好课】2025年中考数学一轮复习讲练测（北京专用）

第三章 函数及其图像 第11讲 反比例函数的图像与性质及应用（2-7分） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 01考情透视·目标导航 02知识导图·思维引航 03考点突破·考法探究 考点一 反比例函数的图像和性质（高频考点） 考点二 反比例函数系数k的几何意义 考点三 一次函数与反比例的综合（高频考点） 04题型精研·考向洞悉 命题点一 反比例函数的图像和性质 ►题型01 反比例函数图象的对称性求点的坐标数 ►题型02 比较反比例函数值或自变量的大小 ►题型03 求反比例函数解析式 命题点二 反比例函数系数k的几何意义 ►题型01 已知比例系数求特殊图形的面积 ►题型02 根据图形面积求比例系数(解析式) 命题点三 一次函数与反比例的综合 ►题型01 一 次函数与反比例函数的交点问题 ►题型02 一次函数与反比例函数的几何综合 ►题型03 次函数与反比例函数的其他综合应用 05分层训练·巩固提升 基础巩固 能力提升 0 考点要求 新课标要求 考查频次 命题预测 反比例函数的图像和性质 能画反比例函数的图象，根据图象和表达式 ()探索并理解k>0和k<0时图象的变化情况. 能根据已知条件确定反比例函数的表达式； 理解与掌握反比例系数k的几何意义. 5年5考 反比例函数是非常重要的函数，年年都会考，总分值为2-7分左右，常考考点为: 反比例函数图象的性质k的几何意义、双曲线上点的坐标特征、反比例函数与一次函数的交点问题以及反比例函数的应用与综合题等.其中前三个考点多以选择、填空题的形式出题，后三个考点则是基础解答题以及压轴题的形式出题.在填空题中,对反比例函数点的坐标特征考察的比较多，而且难度逐渐增大，常结合其他规则几何图形的性质一起出题,多数题目的技巧性较强，复习中需多加强。 反比例函数与一次函数综合 掌握一次函数与反比例函数联立方程组求交点坐标 10年1考 考点一 反比例函数的图像和性质（高频考点） 一、反比例函数的图象与性质 图象特征 1）反比例函数的图象是双曲线，它有两个分支，它的图象与x轴、y轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远达不到坐标轴． 2）反比例函数的图象既是轴对称图形，又是中心对称图形，其对称轴为直线y=±x，对称中心为原点． 性质 表达 式 （为常数，） 图象 k>0 k<0 经过 象限 一、三象限（x、y同号） 二、四象限（x、y异号） 增减性 在每个象限内，y随x的增大而减小 在每个象限内，y随x的增大而增大 对称性 ①图象关于原点对称，即若（a，b）在双曲线的一支上，则（-a，-b）在双曲线的另一支上; ②图象关于直线 对称，即若（a，b）在双曲线的一支上，则（b，a）在双曲线的另一支上; ③图象关于直线对称，即若（a，b）在双曲线的一支上，则（-b，-a）在双曲线的另一支上. 即：反比例函数的图象关于直线y=±x成轴对称,关于原点成中心对称. 反比例函数解析式的确定方法 待定系数法求反比例函数解析式的一般步骤： 1）设反比例函数的解析式为（k为常数，k≠0）； 2）把已知的一对x，y的值带入解析式，得到一个关于待定系数k的方程； 3）解方程求出待定系数k； 4）将所求的k值代入所设解析式中. 【说明】由于在反比例函数中，只有一个待定系数，因此只需要一对对应值或图象上的一个点的坐标，即可求出k的值，从而确定其解析式． 1. 反比例函数的图象不是连续的，因此在描述反比例函数的增减性时，一定要有“在其每个象限内”这个前提．当k＞0时，在每一象限（第一、三象限）内y随x的增大而减小，但不能笼统地说当k＞0时，y随x的增大而减小．同样，当k＜0时，也不能笼统地说y随x的增大而增大． 2. 反比例函数图象的位置和函数的增减性，都是由常数k的符号决定的，反过来，由双曲线所在位置和函数的增减性，也可以推断出k的符号。 3. 双曲线是由两个分支组成的，一般不说两个分支经过第一、三象限（或第二、四象限），而说图象的两个分支分别在第一、三象限（或第二、四象限）． 1．在平面直角坐标系中，若函数的图象经过点和，则下列关系式中正确的是（   ） A． B． C． D． 2．如图，反比例函数的图象经过点，当时，的取值范围是(   ) A．或 B． C． D． 考点二 反比例系数k的几何意义 一、一点一垂线 【模型结论】反比例函数图象上一点关于坐标轴的垂线、与另一坐标轴上一点（含原点）围成的三角形面积为. 【拓展一】 【拓展二】 【拓展三】(前提：OA=AC) 结论：S△AOB=S△COD S△AOE=S四边形CEBD S△AOC= 二、一点两垂线 【模型结论】反比例函数图象上一点与坐标轴的两条垂线围成的矩形面积为. 【拓展一】 【拓展二】 【拓展三】 结论：S矩形ABOE=S矩形CDOF S矩形AEFG=S矩形CGBD S ▱ABCD= 三、两点一垂线 【模型结论一】反比例函数与正比例函数图象的交点及由交点向坐标轴所作垂线围成的三角形面积等于|k|， 结论：S△ABC =2S△ABO = 【模型结论二】反比例函数与一次函数图象的交点及坐标轴上任一点构成三角形的面积，等于坐标轴所分的两个三角形面积之和． 如左图，已知一次函数与反比例函数交于A、B两点，且一次函数与x轴交于点C， 则S△AOB=S△AOC+S△BOC=co•|yA|+co•|yB|=co(|yA|+|yB|) 如右图，已知一次函数与反比例函数交于A、B两点，且一次函数与y轴交于点C， 则S△AOB=S△AOC+S△BOC=co•|xA|+co•|xB|=co(|xA|+|xB|) 四、两点两垂线 【模型结论】反比例函数与正比例函数图象的交点及由交点向坐标轴所作两条垂线围成的图形面积等于2|k| 五、两点和原点 方法一：S△AOB＝S△COD－S△AOC－S△BOD．【分割】 方法二：作AE⊥x轴于点E，交OB于点M，BF⊥x轴于点F，而S△OAM＝S四边形MEFB，则S△AOB＝S直角梯形AEFB． 方法三：S△AOB＝S四边形COFD－S△AOC－S△BOF. 【补形】 方法四：S△AOB＝S△AOD－S△BOD＝OD•（|yA|-|yB|） 方法五：S△AOB＝S△BOC－S△AOC＝OC•（|xB|-|xA|） 【拓展】 方法一：当AD/AC(或BD/BF)＝m时，则S四边形OADB＝m|k|． 方法二：作AE⊥x轴于E，则S△OAB＝S直角梯形AEFB（类型一）． 六、两曲一平行 【模型讲解】两条双曲线上的两点的连线与一条（或两条）坐标轴平行，求这两点与原点或坐标轴上的点围成的图形面积，过这两点作坐标轴的垂线，结合k的几何意义求解． 类型一 两条双曲线的k值符号相同 结论：S阴影＝|k1|-|k2| S阴影＝|k1|-|k2| 结论：S阴影＝|k1|-|k2| S阴影＝|k1|-|k2|- S直角梯形AFDE 类型二 两条双曲线的k值符号相同 结论：S△AOB＝S△ACB＝(|k1|+|k2|) S阴影＝|k1|+|k2| 考点二 一次函数与反比例函数综合（高频考点） 1.涉及自变量取值范围 当一次函数与反比例函数相交时，联立两个解析式，构造方程组，然后求出交点坐标．针对y1>y2时自变量x的取值范围，只需观察一次函数的图象高于反比例函数图象的部分所对应的x的范围．例如，如下图，当y1>y2时，x的取值范围为x>xA或xB<x<0；同理，当y1<y2时，x的取值范围为0<x<xA或x<xB． 2.求一次函数与反比例函数的交点坐标 1）从图象上看，一次函数与反比例函数的交点由k值的符号来决定． ①k值同号，两个函数必有两个交点； ②k值异号，两个函数可无交点，可有一个交点，可有两个交点； 2）从计算上看，一次函数与反比例函数的交点主要取决于两函数所组成的方程组的解的情况． 1. 解题时，一定要灵活运用一次函数与反比例函数的知识，并结合图象分析、解答问题． 命题点一 反比例函数的图像和性质 ►题型01 反比例函数图象的对称性求点的坐标数 1．在平面直角坐标系中，若点是函数和的图象的一个交点，则这两个函数图象的另一个交点的坐标是 ． 2．如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线交于，两点，若点，的横坐标分别为，，则 ． 3．已知点A(1，2)，B在反比例函数的图象上，若OA=OB，则点B的坐标为 ． 4．在平面直角坐标系中，直线与双曲线交于A，B两点．若点A，B的纵坐标分别为，则的值为 ． ►题型02 比较反比例函数值或自变量的大小 1．若点，，在反比例函数图象上，则的大小关系是 ．（用＜符号表示） 2．已知点，都在反比例函数的图像上，则 （填“>”“=”或“<”）． 3．已知点，在反比例函数的图象上．若，写出一个满足条件的m的值 ． 4．在平面直角坐标系中，若反比例函数的图像经过点和．则的值为 ． ►题型03 求反比例函数解析式 1．如图，已知点，，点是线段上的整点（不与重合，且横、纵坐标都是整数），若双曲线（）经过点，写出一个符合条件的的值： ． 2．在平面直角坐标系xOy中，若反比例函数的图象经过点和点，则m的值为 ． 3．如图，，，双曲线经过线段的中点，则的值是 ． 命题点二 反比例函数系数k的几何意义 ►题型01 已知比例系数求特殊图形的面积 1．如图，在平面直角坐标系中，点O为原点，菱形的对角线在x轴上，顶点A在反比例函数的图象上，则菱形的面积为 ． 2．如图，正比例函数的图象和反比例函数的图象交于，两点，分别过点，作轴的垂线，垂足为点，，则△与的面积之和为 ． 3．如图所示，点，，在轴上，且，分别过点，，作轴的平行线，与反比例函数的图象分别交于点，，，分别过点，，作轴的平行线，分别于轴交于点，，，连接，，，那么图中阴影部分的面积之和为 ．    4．如图，点、是双曲线上的点，分别经过、两点向轴、轴作垂线段，若则 ． ►题型02 根据图形面积求比例系数(解析式) 1．如图，在矩形中，点O是坐标原点的图象上，点B在反比例函数， ，则 ． 2．在平面直角坐标系中，反比例函数的图象交直角梯形的边于点D，交边于点C，且D是边的中点，若四边形的面积为10， ． 命题点三 一次函数与反比例的综合 ►题型01 一 次函数与反比例函数的交点问题 1．直线与双曲线交于两点（A在第二象限），则的值为 ． 2．在平面直角坐标系中，直线与双曲线交于两点，则 ． ►题型02 一次函数与反比例函数的几何综合 1．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点．将点沿轴正方向平移个单位长度得到点为轴正半轴上的点，点的横坐标大于点的横坐标，连接的中点在反比例函数的图象上．      (1)求的值； (2)当为何值时，的值最大?最大值是多少? 2．在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于点． （1）求、的值； （2）点在反比例函数的图象上，且点的纵坐标为1． ①求点的坐标； ②若在直线上存在一点（点不与点重合），使得的面积不大于的面积，结合图象，直接写出点的横坐标的取值范围． 3．如图1，在平面直角坐标系中，直线AB与反比例函数的图象交于点A (1， 3)和点B (3， n)，与x轴交于点C，与y轴交于点D， (1)求反比例函数的表达式及n的值； (2)将△OCD沿直线AB翻折，点O落在第一象限内的点E处， EC与反比例函数的图象交于点F， ①请求出点F的坐标； ②在x轴上是否存在点P，使得△DPF是以DF为斜边的直角三角形?若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．    4．如图，在平面直角坐标系中，函数的图象与直线交于点．M是函数图象上一点，过M作x轴的平行线交直线于点N． （1）求k和p的值； （2）设点M的横坐标为m． ①求点N的坐标；（用含m的代数式表示） ②若的面积大于，结合图象直接写出m的取值范围． ►题型03 一次函数与反比例函数的其他综合应用 1．【背景】在一次物理实验中，小冉同学用一固定电压为的蓄电池，通过调节滑动变阻器来改变电流大小，完成控制灯泡L（灯丝的阻值）亮度的实验（如图），已知串联电路中，电流与电阻R、之间关系为，通过实验得出如下数据： R/Ω … 1 2 b 4 6 … I/A … a 3 2.4 2 1.5 … (1)______，______； (2)根据以上实验，构建出函数，结合表格信息，探究函数的图象与性质． ①在平面直角坐标系中画出对应函数的图象； ②随着自变量x的不断增大，函数值y的变化趋势是______； (3)结合（2）中函数图象分析，当时，的解集为______． 2．对于关于的一次函数，我们称函数为一次函数的级衍生函数（其中为常数）． 例如，的级衍生函数为：当时，；当时，． (1)如果的级衍生函数为， ①当时，______； ②当时，______． (2)如果的级衍生函数为，求双曲线与的图像的交点坐标； (3)如果以点为圆心，为半径的与的级衍生函数的图像有交点，直接写出的取值范围． 3．在平面直角坐标系中，反比例函数的图象过点． (1)求k的值； (2)一次函数的图象过，与的图象交于两点，两函数图象交点之间的部分组成的封闭图形称作图象“”，该图象内横纵坐标均为整数的点称为“区域点”（不含边界）； ①当一次函数图象过时，存在______个“区域点”； ②如果“区域点”的个数为3个，画出示意图，直接写出a的取值范围． 基础巩固 1．点，，是反比例函数图象上的三个点，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 2．对于反比例函数，下列结论中错误的是（   ） A．图象必经过点 B．y随x的增大而减小 C．图象在第二、四象限 D．若，则 3．反比例函数的图象如图所示，轴，若的面积为3，则k的值为（    ） A．3 B． C．6 D． 4．函数与函数在同一坐标系中的图像可能是（    ） A． B． C． D． 5．如图，⊙O的直径，和是它的两条切线，与相切于点E，并与，分别相交于D，C两点，设，，则y关于x的图象大致为（    ） A． B． C． D． 6．如图，双曲线（）经过矩形的边的中点，交于点．若梯形的面积为3，则双曲线的解析式为（    ） A． B． C． D． 7．已知点，B在反比例函数的图象上，请写出一个点B的坐标 ． 8．已知反比例函数的图象经过点，则的值为 ． 9．水池中有若干吨水，开一个出水口将全池水放光，所用时间（单位：）与出水速度（单位：）之间的关系如下表： 出水速度（） （） 用式子表示与的关系是 ． 10．如图，正比例函数与反比例函数的图象交于点A，若点A的坐标为，则关于x的不等式的解集是 ． 11．心理学家研究发现，一般情况下，一节课40分钟中，学生的注意力逐步增强，中间有一段时间学生的注意力保持较为理想的稳定状态，学生的注意力指标数y随时间x（分钟）的变化规律如图所示（其中分别为线段，为双曲线的一部分） 如果有一道数学综合题，需要讲19分钟，为了效果较好，要求学生的注意力指标数最低达到36，那么经过适当安排，老师可否在学生注意力达到较为理想的稳定状态下讲解完这道题目？ 你的结论是 （填写“可以”或“不可以”）， 理由是 （请通过你计算所得的数据说明理由）．    能力提升 1．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标是，点B是函数图象上的一个动点，过点B作BC⊥y轴交函数的图象于点C，点D在x轴上（D在A的左侧），且AD=BC，连接AB，CD．有如下四个结论： ①四边形ABCD可能是菱形； ②四边形ABCD可能是正方形； ③四边形ABCD的周长是定值； ④四边形ABCD的面积是定值． 所有正确结论的序号是（    ） A．①② B．③④ C．①③ D．①④ 2．如图，点A、C为反比例函数图象上的点，过点A、C分别作轴，轴，垂足分别为B、D连接、、，线段交于点E，点E恰好为的中点，当的面积为时，则k的值为（    ） A．2 B． C．4 D． 3．如图，在平面直角坐标系中，已知点A、B、C在双曲线上，轴于点D，轴于点E，点F在x轴上，且，则图中阴影部分的面积之和为 ．    4．如图，，两点在反比例函数的图象上．若将横、纵坐标都是整数的点称为整点，则线段，及反比例函数图象上，两点之间的部分围成的区域（不含边界）中，整点的坐标为 ． 5．如图，平面直角坐标系中，直线交坐标轴于点和点，反比例函数图象上的一点C到直线的距离的最小值为，则 ． 6．如图，在平面直角坐标系中，矩形的两边、分别在轴、轴的正半轴上，反比例函数与相交于点，与相交于点，若，且的面积是12，则的值为 ．    7．如图是8个台阶的示意图，每个台阶的高和宽分别是1和2，每个台阶凸出的角的顶点记作为的整数）函数的图象为曲线． （1）若过点，则 ； （2）若曲线使得这些点分布在它的两侧，每侧各4个点，则的整数值有 个． 8．已知Rt△ABC位于第二象限，点A（﹣1，1），AB＝BC＝2，且两条直角边AB、BC分别平行于x轴、y轴，写出一个函数y＝（k≠0），使它的图象与△ABC有两个公共点，这个函数的表达式为 ．    9．某同学为了研究函数的图象和应用，采用列表描图的方法进行探究，请你协助完成． 先列表如下： … 0 1 1．5 2 3 4 … … 4 0 … (1)直接写出表中、的值，并在平面直角坐标系中画出该函数的图象；    (2)结合图象，请直接写出不等式的解集______． 10．已知一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点，． (1)求一次函数的解析式； (2)过点A作直线，交y轴于点D，交第三象限内的反比例函数图象于点C，连接，如果，求线段的长． $$第三章 函数及其图像 第11讲 反比例函数的图像与性质及应用（2-7分） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 01考情透视·目标导航 02知识导图·思维引航 03考点突破·考法探究 考点一 反比例函数的图像和性质（高频考点） 考点二 反比例函数系数k的几何意义 考点三 一次函数与反比例的综合（高频考点） 04题型精研·考向洞悉 命题点一 反比例函数的图像和性质 ►题型01 反比例函数图象的对称性求点的坐标数 ►题型02 比较反比例函数值或自变量的大小 ►题型03 求反比例函数解析式 命题点二 反比例函数系数k的几何意义 ►题型01 已知比例系数求特殊图形的面积 ►题型02 根据图形面积求比例系数(解析式) 命题点三 一次函数与反比例的综合 ►题型01 一 次函数与反比例函数的交点问题 ►题型02 一次函数与反比例函数的几何综合 ►题型03 次函数与反比例函数的其他综合应用 05分层训练·巩固提升 基础巩固 能力提升 0 考点要求 新课标要求 考查频次 命题预测 反比例函数的图像和性质 能画反比例函数的图象，根据图象和表达式 ()探索并理解k>0和k<0时图象的变化情况. 能根据已知条件确定反比例函数的表达式； 理解与掌握反比例系数k的几何意义. 5年5考 反比例函数是非常重要的函数，年年都会考，总分值为2-7分左右，常考考点为: 反比例函数图象的性质k的几何意义、双曲线上点的坐标特征、反比例函数与一次函数的交点问题以及反比例函数的应用与综合题等.其中前三个考点多以选择、填空题的形式出题，后三个考点则是基础解答题以及压轴题的形式出题.在填空题中,对反比例函数点的坐标特征考察的比较多，而且难度逐渐增大，常结合其他规则几何图形的性质一起出题,多数题目的技巧性较强，复习中需多加强。 反比例函数与一次函数综合 掌握一次函数与反比例函数联立方程组求交点坐标 10年1考 考点一 反比例函数的图像和性质（高频考点） 一、反比例函数的图象与性质 图象特征 1）反比例函数的图象是双曲线，它有两个分支，它的图象与x轴、y轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远达不到坐标轴． 2）反比例函数的图象既是轴对称图形，又是中心对称图形，其对称轴为直线y=±x，对称中心为原点． 性质 表达 式 （为常数，） 图象 k>0 k<0 经过 象限 一、三象限（x、y同号） 二、四象限（x、y异号） 增减性 在每个象限内，y随x的增大而减小 在每个象限内，y随x的增大而增大 对称性 ①图象关于原点对称，即若（a，b）在双曲线的一支上，则（-a，-b）在双曲线的另一支上; ②图象关于直线 对称，即若（a，b）在双曲线的一支上，则（b，a）在双曲线的另一支上; ③图象关于直线对称，即若（a，b）在双曲线的一支上，则（-b，-a）在双曲线的另一支上. 即：反比例函数的图象关于直线y=±x成轴对称,关于原点成中心对称. 反比例函数解析式的确定方法 待定系数法求反比例函数解析式的一般步骤： 1）设反比例函数的解析式为（k为常数，k≠0）； 2）把已知的一对x，y的值带入解析式，得到一个关于待定系数k的方程； 3）解方程求出待定系数k； 4）将所求的k值代入所设解析式中. 【说明】由于在反比例函数中，只有一个待定系数，因此只需要一对对应值或图象上的一个点的坐标，即可求出k的值，从而确定其解析式． 1. 反比例函数的图象不是连续的，因此在描述反比例函数的增减性时，一定要有“在其每个象限内”这个前提．当k＞0时，在每一象限（第一、三象限）内y随x的增大而减小，但不能笼统地说当k＞0时，y随x的增大而减小．同样，当k＜0时，也不能笼统地说y随x的增大而增大． 2. 反比例函数图象的位置和函数的增减性，都是由常数k的符号决定的，反过来，由双曲线所在位置和函数的增减性，也可以推断出k的符号。 3. 双曲线是由两个分支组成的，一般不说两个分支经过第一、三象限（或第二、四象限），而说图象的两个分支分别在第一、三象限（或第二、四象限）． 1．在平面直角坐标系中，若函数的图象经过点和，则下列关系式中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查反比例函数的性质，反比例函数图像上点的坐标特征，解题关键是明确题意，利用反比例函数的性质或反比例函数图像上点的坐标特征解决问题． 结合题意，根据反比例函数的性质，可得反比例函数的图像经过一，三象限，且在每一象限内y随着x的增大而减小，再结合点和的坐标即可解答． 【详解】解：反比例函数， 反比例函数的图象经过第一、三象限，在第一象限中函数值随的增大而减小， 在点和中，， ，即， 故答案为：A． 2．如图，反比例函数的图象经过点，当时，的取值范围是(   ) A．或 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是反比例函数的性质，直接根据反比例函数的图象即可得出结论． 【详解】解：∵反比例函数的图象经过点， ∴当时，或． 故选：A． 考点二 反比例系数k的几何意义 一、一点一垂线 【模型结论】反比例函数图象上一点关于坐标轴的垂线、与另一坐标轴上一点（含原点）围成的三角形面积为. 【拓展一】 【拓展二】 【拓展三】(前提：OA=AC) 结论：S△AOB=S△COD S△AOE=S四边形CEBD S△AOC= 二、一点两垂线 【模型结论】反比例函数图象上一点与坐标轴的两条垂线围成的矩形面积为. 【拓展一】 【拓展二】 【拓展三】 结论：S矩形ABOE=S矩形CDOF S矩形AEFG=S矩形CGBD S ▱ABCD= 三、两点一垂线 【模型结论一】反比例函数与正比例函数图象的交点及由交点向坐标轴所作垂线围成的三角形面积等于|k|， 结论：S△ABC =2S△ABO = 【模型结论二】反比例函数与一次函数图象的交点及坐标轴上任一点构成三角形的面积，等于坐标轴所分的两个三角形面积之和． 如左图，已知一次函数与反比例函数交于A、B两点，且一次函数与x轴交于点C， 则S△AOB=S△AOC+S△BOC=co•|yA|+co•|yB|=co(|yA|+|yB|) 如右图，已知一次函数与反比例函数交于A、B两点，且一次函数与y轴交于点C， 则S△AOB=S△AOC+S△BOC=co•|xA|+co•|xB|=co(|xA|+|xB|) 四、两点两垂线 【模型结论】反比例函数与正比例函数图象的交点及由交点向坐标轴所作两条垂线围成的图形面积等于2|k| 五、两点和原点 方法一：S△AOB＝S△COD－S△AOC－S△BOD．【分割】 方法二：作AE⊥x轴于点E，交OB于点M，BF⊥x轴于点F，而S△OAM＝S四边形MEFB，则S△AOB＝S直角梯形AEFB． 方法三：S△AOB＝S四边形COFD－S△AOC－S△BOF. 【补形】 方法四：S△AOB＝S△AOD－S△BOD＝OD•（|yA|-|yB|） 方法五：S△AOB＝S△BOC－S△AOC＝OC•（|xB|-|xA|） 【拓展】 方法一：当AD/AC(或BD/BF)＝m时，则S四边形OADB＝m|k|． 方法二：作AE⊥x轴于E，则S△OAB＝S直角梯形AEFB（类型一）． 六、两曲一平行 【模型讲解】两条双曲线上的两点的连线与一条（或两条）坐标轴平行，求这两点与原点或坐标轴上的点围成的图形面积，过这两点作坐标轴的垂线，结合k的几何意义求解． 类型一 两条双曲线的k值符号相同 结论：S阴影＝|k1|-|k2| S阴影＝|k1|-|k2| 结论：S阴影＝|k1|-|k2| S阴影＝|k1|-|k2|- S直角梯形AFDE 类型二 两条双曲线的k值符号相同 结论：S△AOB＝S△ACB＝(|k1|+|k2|) S阴影＝|k1|+|k2| 考点二 一次函数与反比例函数综合（高频考点） 1.涉及自变量取值范围 当一次函数与反比例函数相交时，联立两个解析式，构造方程组，然后求出交点坐标．针对y1>y2时自变量x的取值范围，只需观察一次函数的图象高于反比例函数图象的部分所对应的x的范围．例如，如下图，当y1>y2时，x的取值范围为x>xA或xB<x<0；同理，当y1<y2时，x的取值范围为0<x<xA或x<xB． 2.求一次函数与反比例函数的交点坐标 1）从图象上看，一次函数与反比例函数的交点由k值的符号来决定． ①k值同号，两个函数必有两个交点； ②k值异号，两个函数可无交点，可有一个交点，可有两个交点； 2）从计算上看，一次函数与反比例函数的交点主要取决于两函数所组成的方程组的解的情况． 1. 解题时，一定要灵活运用一次函数与反比例函数的知识，并结合图象分析、解答问题． 命题点一 反比例函数的图像和性质 ►题型01 反比例函数图象的对称性求点的坐标数 1．在平面直角坐标系中，若点是函数和的图象的一个交点，则这两个函数图象的另一个交点的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了正比例函数与反比例函数的交点问题，根据正比例函数和反比例函数的图象的两个交点关于原点对称，即可得出答案． 【详解】解：∵正比例函数和反比例函数的图象的两个交点关于原点对称， ∴由一个交点的坐标是，可得另一个交点的坐标是， 故答案为：． 2．如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线交于，两点，若点，的横坐标分别为，，则 ． 【答案】0 【分析】根据反比例函数与正比例函数都是中心对称图形可得x1＝−x2，然后求解即可． 【详解】解：∵反比例函数与正比例函数都是中心对称图形， ∴x1＝−x2， ∴x1＋x2＝0， 故答案为：0． 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，熟练掌握反比例函数与正比例函数的中心对称性是解题的关键． 3．已知点A(1，2)，B在反比例函数的图象上，若OA=OB，则点B的坐标为 ． 【答案】（2，1） 【分析】根据点A，B关于y=x（y-x=0）的对称，求解即可 【详解】解：∵点A(1，2)，B在反比例函数的图象上，OA=OB， ∴点A，B关于直线y=x（y-x=0）的对称， 设点（1，2）关于直线y=x（y-x=0）的对称点设为（a，b） 由两点中点在直线y=x上及过两点的直线垂直直线y=x（斜率之积为-1） 可以得到：， 解得：a=2，b=1， ∴点B的坐标为（2,1） 故答案为：（2，1） 【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，利用已知条件得出：点A，B关于直线y=x（y-x=0）的对称是解题的关键． 4．在平面直角坐标系中，直线与双曲线交于A，B两点．若点A，B的纵坐标分别为，则的值为 ． 【答案】0 【分析】根据“正比例函数与反比例函数的交点关于原点对称”即可求解. 【详解】解：∵正比例函数和反比例函数均关于坐标原点O对称， ∴正比例函数和反比例函数的交点亦关于坐标原点中心对称， ∴， 故答案为：0. 【点睛】本题考查正比例函数和反比例函数的图像性质，根据正比例函数与反比例函数的交点关于原点对称这个特点即可解题. ►题型02 比较反比例函数值或自变量的大小 1．若点，，在反比例函数图象上，则的大小关系是 ．（用＜符号表示） 【答案】 【分析】本题考查反比例函数图象和性质，已知自变量值求函数值比较大小等．根据题意分别将点坐标中横坐标代入反比例函数解析式，求出的值，继而得到本题答案． 【详解】解：∵点，，在反比例函数图象上， ∴将，，分别代入中， 即：，，， ∴， 故答案为：． 2．已知点，都在反比例函数的图像上，则 （填“>”“=”或“<”）． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的图像与性质，熟练掌握本题反比例函数的增减性质是解题的关键．由反比例函数的性质：当时，的图像分别在第二、四象限，根据增减性即可求解； 【详解】解：， ∴的图像分别在第二、四象限， 点，都在反比例函数的图像上， 在每一个象限内，随的增大而增大， 即， 故答案为： 3．已知点，在反比例函数的图象上．若，写出一个满足条件的m的值 ． 【答案】4（答案不唯一） 【分析】本题考查反比例函数的图象和性质，熟练掌握反比例函数的性质是解题关键． 根据题意得在每个象限内，随的增大而减小，即可求解． 【详解】解：反比例函数， ∵， ∴在每个象限内y随x的增大而减小， ∵，，， ∴或， ∴满足条件的m的值可以为4， 故答案为：4（答案不唯一）． 4．在平面直角坐标系中，若反比例函数的图像经过点和．则的值为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式，以及反比例函数图像上点的特征，熟练掌握以上知识点是解题的关键．先由待定系数法求得，再把点代入反比例函数解析式即可． 【详解】反比例函数的图像经过点， ， ， 反比例函数， 该反比例函数还过， ， ， 故答案为． ►题型03 求反比例函数解析式 1．如图，已知点，，点是线段上的整点（不与重合，且横、纵坐标都是整数），若双曲线（）经过点，写出一个符合条件的的值： ． 【答案】或或（任选一个即可）． 【分析】本题考查了待定系数法求反比例函数解析式，由，可得轴，得到点的纵坐标为，再根据横坐标，横坐标为整数，求出点的坐标，即可求解，掌握反比例函数图象上点的坐标特征是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴轴， ∵点在线段上， ∴点的纵坐标为，且横坐标， ∵点的横坐标为整数， ∴或或， ∴点的坐标为或或， ∴的值为，，， 故答案为：或或（任选一个即可）． 2．在平面直角坐标系xOy中，若反比例函数的图象经过点和点，则m的值为 ． 【答案】 【分析】由反比例函数的图象及其性质将A、B点代入反比例函数即可求得m的值为． 【详解】解：∵反比例函数的图象经过点， ∴． ∵点在反比例函数的图象上， ∴， 解得：． 故答案为：． 【点睛】本题考查了反比例函数，明确图象上点的坐标和解析式的关系是解题的关键． 3．如图，，，双曲线经过线段的中点，则的值是 ． 【答案】1 【分析】由中点坐标公式可求出，再代入中，求出k的值即可． 【详解】解：∵点为线段的中点，且，， ∴点的坐标为． ∵双曲线经过点， ∴， 解得：　． 故答案为：1． 【点睛】本题考查中点坐标公式，反比例函数图象上点的坐标特征．掌握反比例函数图象上的点的坐标满足其解析式是解题关键． 命题点二 反比例函数系数k的几何意义 ►题型01 已知比例系数求特殊图形的面积 1．如图，在平面直角坐标系中，点O为原点，菱形的对角线在x轴上，顶点A在反比例函数的图象上，则菱形的面积为 ． 【答案】 【分析】连接交于D，由菱形的性质可知．根据反比例函数中k的几何意义，得出的面积，从而求出菱形的面积． 【详解】解：如图，连接交于D． ∵四边形是菱形， ∴． ∵点A在反比例函数的图象上， ∴的面积， ∴菱形的面积的面积． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查菱形的性质及反比例函数的比例系数k的几何意义．反比例函数图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S的关系，即． 2．如图，正比例函数的图象和反比例函数的图象交于，两点，分别过点，作轴的垂线，垂足为点，，则△与的面积之和为 ． 【答案】1 【分析】由关于原点成中心对称，反比例函数的系数的几何意义可得答案． 【详解】解： 正比例函数的图象和反比例函数的图象交于，两点， 关于原点成中心对称， ，垂足分别为 故答案为1． 【点睛】本题考查的是反比例函数的性质，反比例函数与正比例函数的交点关于原点成中心对称，反比例函数的系数的几何意义，掌握以上知识是解题的关键． 3．如图所示，点，，在轴上，且，分别过点，，作轴的平行线，与反比例函数的图象分别交于点，，，分别过点，，作轴的平行线，分别于轴交于点，，，连接，，，那么图中阴影部分的面积之和为 ．    【答案】． 【分析】根据三角形的面积和反比例函数的比例系数的关系可得，然后证出，设图中阴影部分的面积从左向右依次为，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方即可求出，然后求和即可． 【详解】解：根据题意可知    ∵轴 ∴ 设图中阴影部分的面积从左向右依次为 则， ∴ 同理 ∴图中阴影部分的面积分别是 ∴图中阴影部分的面积之和=． 故答案为：． 【点睛】此题考查的是三角形的面积和相似三角形的判定及性质，掌握三角形的面积和反比例函数的比例系数的关系和相似三角形的判定及性质是解决此题的关键． 4．如图，点、是双曲线上的点，分别经过、两点向轴、轴作垂线段，若则 ． 【答案】4 【详解】解：∵点A、B是双曲线上的点，分别经过A、B两点向x轴、y轴作垂线段， 则根据反比例函数的图象的性质得两个矩形的面积都等于|k|=3， ∴S1+S2=3+3-1×2=4． 故答案为：4 ►题型02 根据图形面积求比例系数(解析式) 1．如图，在矩形中，点O是坐标原点的图象上，点B在反比例函数， ，则 ． 【答案】 【分析】过A、B作轴于E，轴于F，利用三角函数、勾股定理解可得，结合矩形的性质可得，再证，推出，根据反比例函数k的几何意义可得，即可求解． 【详解】解：∵四边形为矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 过A、B作轴于E，轴于F，如图： ∵，且， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵反比例函数在第二象限， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查矩形的性质，锐角三角函数，勾股定理，相似三角形的判定和性质，反比例函数k的几何意义等，综合性强，有一定难度，熟练掌握反比例函数k的几何意义是解题的关键． 2．在平面直角坐标系中，反比例函数的图象交直角梯形的边于点D，交边于点C，且D是边的中点，若四边形的面积为10， ． 【答案】 【分析】本题主要考查了矩形的判定和性质，三角形面积的计算，反比例函数k值意义，连接，延长交x轴于点E，根据反比例函数k的意义，得出，D是边的中点，得出，求出，再得出，根据四边形的面积为12，列出关于k的方程，解方程即可得出答案． 【详解】解：连接，延长交x轴于点E，如图所示： ∵四边形为直角梯形， ∴， ∵， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， ∴轴， ∴， ∵D是边的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵反比例函数图象在第二象限， ∴， ∴． 故答案为：． 命题点三 一次函数与反比例的综合 ►题型01 一 次函数与反比例函数的交点问题 1．直线与双曲线交于两点（A在第二象限），则的值为 ． 【答案】10 【分析】本题为反比例函数与正比例函数的综合．根据反比例函数上点的坐标特征推出与与的关系，直线与双曲线交点的特征推出与与的关系是解答本题的关键． 先根据点是双曲线上的点可得出，再根据直线与双曲线交于点两点可得，再把此关系代入所求代数式进行计算即可． 【详解】解：∵点是双曲线上的点， ， ∵直线与双曲线交于点两点， 即两点关于原点对称． ， ， 故答案为：10． 2．在平面直角坐标系中，直线与双曲线交于两点，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，根据直线与双曲线交于两点，得出，，再解方程，即可作答． 【详解】解：∵直线与双曲线交于两点 ∴ 则， ∴ 整理得 ∴ 当时，则，此时； 当时，则，此时； 故答案为： ►题型02 一次函数与反比例函数的几何综合 1．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点．将点沿轴正方向平移个单位长度得到点为轴正半轴上的点，点的横坐标大于点的横坐标，连接的中点在反比例函数的图象上．      (1)求的值； (2)当为何值时，的值最大?最大值是多少? 【答案】(1)， (2)当时，取得最大值，最大值为 【分析】（1）把点代入，得出，把点代入，即可求得； （2）过点作轴的垂线，分别交轴于点，证明，得出，进而可得，根据平移的性质得出，，进而表示出，根据二次函数的性质即可求解． 【详解】（1）解：把点代入， ∴， 解得：； 把点代入，解得； （2）∵点横坐标大于点的横坐标， ∴点在点的右侧， 如图所示，过点作轴的垂线，分别交轴于点，    ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵将点沿轴正方向平移个单位长度得到点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴当时，取得最大值，最大值为． 【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数综合，二次函数的性质，全等三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识是解题的关键． 2．在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于点． （1）求、的值； （2）点在反比例函数的图象上，且点的纵坐标为1． ①求点的坐标； ②若在直线上存在一点（点不与点重合），使得的面积不大于的面积，结合图象，直接写出点的横坐标的取值范围． 【答案】（1）；（2）①；②且 【分析】（1）根据反比例函数解析式确定点A 的坐标，再根据点A的坐标确定一次函数解析式中k的值； （2）①根据反比例函数解析式确定点B 的坐标； ②画出函数图象，利用图象求解． 【详解】解：（1）把代入得 ∴， ∵直线过点 ∴ 解得； （2）①把代入得 ∴ ②如图：分点P在AB下方和上方，且 【点睛】本题考查待定系数法求一次函数与反比例函数，三角形面积的计算，本题比较综合，要善于结合图象解答． 3．如图1，在平面直角坐标系中，直线AB与反比例函数的图象交于点A (1， 3)和点B (3， n)，与x轴交于点C，与y轴交于点D， (1)求反比例函数的表达式及n的值； (2)将△OCD沿直线AB翻折，点O落在第一象限内的点E处， EC与反比例函数的图象交于点F， ①请求出点F的坐标； ②在x轴上是否存在点P，使得△DPF是以DF为斜边的直角三角形?若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．    【答案】（1）；（2）① ；②存在，或 【分析】（1）把A （1，3）代入得到反比例函数的表达式为y=，把B（3，n）代入y=即可得到结论； （2）①设直线AB的解析式为：y=kx+b，解方程组得到直线AB的解析式为y=-x+4，求得点C （4，0），点D（0，4），得到△COD是等腰直角三角形，推出四边形OCED是正方形，得到E（4，4），把x=4代入y=中即可得到结论； ②设点P（m，0），根据勾股定理得到DP2=m2+16，PF2=（4-m）2+（）2，FD2=16+（4-）2，列方程即可得到结论． 【详解】解：（1）∵直线AB与反比例函数y（x＞0）的图象交于点A （1，3）和点B（3，n）， ∴把A （1，3）代入y得，3， ∴k＝3， ∴反比例函数的表达式为y， 把B（3，n）代入y得，n1； （2）①设直线AB的解析式为：y＝kx+b， ∴， 解得：， ∴直线AB的解析式为：y＝﹣x+4， 当y＝0时，x＝4，当x＝0时，y＝4， ∴点C （4，0），点D（0，4）， ∴OC＝OD＝4， ∴△COD是等腰直角三角形， ∴∠ODC＝∠OCD＝45°， ∵将△OCD沿直线AB翻折， ∴四边形OCED是正方形， ∴DE＝CE＝4， ∴E（4，4）， 把x＝4代入y中得，y， ∴F（4，）； ②存在， 理由：设点P（m，0）， ∴DP2＝m2+16，PF2＝（4﹣m）2+（）2，FD2＝16+（4）2， ∵△DPF是以DF为斜边的直角三角形， ∴DP2+PF2＝FD2， 即m2+16+（4﹣m）2+（）2＝16+（4）2， 解得：m＝1或m＝3， 故在x轴上存在点P，使得△DPF是以DF为斜边的直角三角形，此时点P的坐标为 （1，0）或（3，0）． 【点睛】本题考查了反比例函数的综合题，待定系数法求函数的解析式，等腰直角三角形的判定和性质，正方形的判定和性质，勾股定理，正确的理解题意是解题的关键． 4．如图，在平面直角坐标系中，函数的图象与直线交于点．M是函数图象上一点，过M作x轴的平行线交直线于点N． （1）求k和p的值； （2）设点M的横坐标为m． ①求点N的坐标；（用含m的代数式表示） ②若的面积大于，结合图象直接写出m的取值范围． 【答案】（1），；（2）①；②或者． 【分析】（1）将点代入反比例函数的解析式可求出的值，从而可得点P坐标，再将其代入直线即可得出k的值； （2）①先根据反比例函数的解析式求出点M的纵坐标，从而可得点N的纵坐标，再将其代入直线的解析式可得点N的横坐标，从而可得出答案； ②分和两种情况，分别求出MN的长和MN边上的高，再根据三角形的面积公式列出不等式，求解即可得． 【详解】（1）依题意，点在函数的图象上 可得，则点 将代入直线，得 综上，，； （2）①由于M是函数图象上一点，且点M的横坐标为m 可得点M的纵坐标为 则点 又因为过M作x轴的平行线交直线于点N 则点N的纵坐标为 当时，，解得 则点N的坐标为； ②由题意得：且（因为当时，点M、N重合，不能构成） 因此，分以下两种情况： （ⅰ）当时，，边MN上的高为 则 解得 结合得： （ⅱ）当时，，边MN上的高为 则 解得（符合题设）或（不符题设，舍去） 综上，m的取值范围为或者． 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的综合、以及几何应用，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题关键． ►题型03 一次函数与反比例函数的其他综合应用 1．【背景】在一次物理实验中，小冉同学用一固定电压为的蓄电池，通过调节滑动变阻器来改变电流大小，完成控制灯泡L（灯丝的阻值）亮度的实验（如图），已知串联电路中，电流与电阻R、之间关系为，通过实验得出如下数据： R/Ω … 1 2 b 4 6 … I/A … a 3 2.4 2 1.5 … (1)______，______； (2)根据以上实验，构建出函数，结合表格信息，探究函数的图象与性质． ①在平面直角坐标系中画出对应函数的图象； ②随着自变量x的不断增大，函数值y的变化趋势是______； (3)结合（2）中函数图象分析，当时，的解集为______． 【答案】(1)4，3 (2)①见解析；②不断减小 (3)或． 【分析】本题考查了反比例函数的应用，解题的关键是：画出函数图象，应用数形结合的思想． （1）由已知列出方程，即可求解， （2）①用描点法，画出图象，②根据烦你里函数的图象性质，即可求解， （3）作函数的图象，根据图象，即可求解． 【详解】（1）根据题意得：，， ，， 故答案为：4，3， （2）①根据表格数据描点，在平面直角坐标系中函数的图象如图 ②由图象可知随着自变量的不断增大，函数值的不断减小， 故答案为：不断减小； （3）作函数的图象，如图2， 由函数图象可知， 当或时，， 即当时，的解集为：或， 故答案为：或． 2．对于关于的一次函数，我们称函数为一次函数的级衍生函数（其中为常数）． 例如，的级衍生函数为：当时，；当时，． (1)如果的级衍生函数为， ①当时，______； ②当时，______． (2)如果的级衍生函数为，求双曲线与的图像的交点坐标； (3)如果以点为圆心，为半径的与的级衍生函数的图像有交点，直接写出的取值范围． 【答案】(1)①4；② (2)和 (3)或 【分析】（1）根据定义可得，①当时，代入计算即可；②当时，分两种情况分别求解：当时和当时，再根据的取值范围作进一步判断； （2）根据定义可得再分两种情况分别建立联立方程组求解即可： （3）根据题意可得，如图，直线与轴于点，与轴于点，过点作于点，确定，，，，得到，，设沿轴正方向移动，再分两种情况进行讨论：①当时，如图，当点刚好在上时，过点作轴于点，连接；如图，当与直线相切时，设切点为，连接；②时，如图，当点刚好在上时，过点作轴于点，连接；如图，当与直线相切时，设切点为，连接，设直线交轴于点，可得结论． 【详解】（1）解：∵的级衍生函数为， ∴， ①当时，， 故答案为：； ②当时， 当时，得：，解得：， 当时，得：，解得：（舍去）， 故答案为：； （2）∵的级衍生函数为， ∴ 当时， 联立方程组， ∴， ∵， ∴方程无解，即方程组无解， 此时两个函数图像之间没有交点； 当时， 联立方程组， 解得：或， ∴双曲线与的图像的交点坐标是和； （3）∵的级衍生函数为， ∴ 如图，直线与轴于点，与轴于点， 当时，得：；当时，得：；当时，得：， ∴，，， 当时，得：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵以点为圆心，为半径的与的级衍生函数的图像有交点， 设沿轴正方向移动， ①当时， 如图，当点刚好在上时，过点作轴于点，连接， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴此时； 如图，当与直线相切时，设切点为，连接， ∴，， 在中，， ∴， ∴此时， ∴的取值范围是； ②时， 如图，当点刚好在上时，过点作轴于点，连接， ∴，，， ∴， ∴， ∴此时； 如图，当与直线相切时，设切点为，连接，设直线交轴于点， ∴，， 对于直线， 当时，得：；当时，得：， ∴，且在直线上， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴此时， ∴的取值范围是； 综上所述，的取值范围是或． 【点睛】本题考查函数的新定义，函数图像上点的坐标特征，一次函数与反比例函数图像的交点，点和圆的位置关系，切线的性质，等边对等角，解直角三角形等知识点，运用了分类讨论的思想．掌握函数图像交点坐标的确定方法，点和圆的位置关系，直线和圆的位置关系，解直角三角形是解题的关键． 3．在平面直角坐标系中，反比例函数的图象过点． (1)求k的值； (2)一次函数的图象过，与的图象交于两点，两函数图象交点之间的部分组成的封闭图形称作图象“”，该图象内横纵坐标均为整数的点称为“区域点”（不含边界）； ①当一次函数图象过时，存在______个“区域点”； ②如果“区域点”的个数为3个，画出示意图，直接写出a的取值范围． 【答案】(1) (2)①2个；②见解析， 【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题等知识点， （1）把代入中可得k的值； （2）①将代入可得：直线解析式为，画图可得结论；②画图计算边界时a的值，即可得解； 熟练掌握整点的定义，并利用数形结合的思想是解决此题的关键． 【详解】（1）∵反比例函数的图象过点， ∴； ∴k的值为1； （2）①一次函数的图象过，， ∴，解得， ∴直线l的解析式为， 画出图形，如图所示， 区域G内的整点有和共两个； 故存在2个“G区域点”； 故答案为：2； ②如图，直线l：过时，， 解得， 直线l：过时，， 解得， 观察图象可知：“G区域点”的个数为3个时，a的取值范围是． 基础巩固 1．点，，是反比例函数图象上的三个点，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是反比例函数的性质，对于反比例函数，当时，在各象限内，随的增大而减小；当时，在各象限内，随的增大而增大；根据反比例函数的增减性判断即可． 【详解】解：∵反比例函数中，， ∴反比例函数图象经过一三象限，在每一象限内，随的增大而减小， ∵， ∴，， ∴． 故选：B． 2．对于反比例函数，下列结论中错误的是（   ） A．图象必经过点 B．y随x的增大而减小 C．图象在第二、四象限 D．若，则 【答案】B 【分析】此题主要考查了反比例函数的性质，以及反比例函数图象上点的坐标特点，解题的关键是熟练掌握反比例函数的性质：反比例函数的图象是双曲线；当，双曲线两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小；当，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而增大． 【详解】解：A、当 时， ，即图象必经过，故本选项正确，不符合题意； B、因为 ，所以在每一象限内，随的增大而增大，故本选项错误，符合题意； C、因为 ，图象在第二、四象限，故本选项正确，不符合题意； D、若，图象位于第四象限内，随的增大而增大，此时，故本选项正确，不符合题意． 故选：B． 3．反比例函数的图象如图所示，轴，若的面积为3，则k的值为（    ） A．3 B． C．6 D． 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数的几何意义，掌握反比例函数的几何意义是解题的关键．根据反比例函数的几何意义即可求解． 【详解】解：如图所示，连接， ∵轴， ∴， ∴ ∴ ∵反比例函数图象在第二象限， ∴， ∴， 故选：D． 4．函数与函数在同一坐标系中的图像可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了反比例函数与一次函数的图像，先根据一次函数可知，直线经过点，故选项B、D不符合题意，然后由A、C选项可知，的符号，从而选出答案． 【详解】解：函数的图像经过点， 选项B、选项D不符合题意； 由A、C选项可知：， 反比例函数的图像在第一、三象限， 故选项A符合题意，选项C不符合题意； 故选：A． 5．如图，⊙O的直径，和是它的两条切线，与相切于点E，并与，分别相交于D，C两点，设，，则y关于x的图象大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】过D作交于F，由切线的性质可证四边形是矩形，，根据切线长定理得到，，则，在中根据勾股定理，就可以求出y与x的关系，再判断其函数图象即可． 【详解】解：过D作交于F， 与切于点A、B， ， 又， ， ∴四边形是矩形， ， ， ， 切于E，与切于点A、B， ，则， 在中， 由勾股定理得：， 整理为， ∴y与x的函数关系式是， y是x的反比例函数， 故选：． 【点睛】本题考查动点问题的函数图象，切线的性质，切线长定理，矩形的判定与性质以及勾股定理，求反比例函数的解析式，解题的关键是正确的作出辅助线，综合运用以上知识． 6．如图，双曲线（）经过矩形的边的中点，交于点．若梯形的面积为3，则双曲线的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 本题考查矩形的性质及用待定系数法求反比例函数的解析式，先根据矩形的特点设出、的坐标，根据矩形的面积求出点横纵坐标的积，由为的中点求出点的横纵坐标，再由待定系数法即可求出反比例函数的解析式． 【详解】 解：连接， 设，则，， 设， 和都在反比例函数图象上， ，， 即， 梯形的面积为3， ， ， ， ， ， ，解得， 函数解析式为： 故选：B． 7．已知点，B在反比例函数的图象上，请写出一个点B的坐标 ． 【答案】 【分析】本题考查考查了待定系数法求解反比例函数解析式和反比例函数的图象上的点的特征：点的横纵坐标满足函数解析式．把代入函数中可先求出k的值，那么就可求出函数解析式，再在此函数图象上取一个点（不同于A点）的横坐标，代入求出即可求解． 【详解】解：根据题意：， 解得：， 则反比例函数的解析式为， 当时，， 故点B的坐标可以是， 故答案为：（答案不唯一）． 8．已知反比例函数的图象经过点，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知图象上点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．直接把点代入反比例函数，求出的值即可． 【详解】解：反比例函数的图象经过点， ，解得． 故答案为：． 9．水池中有若干吨水，开一个出水口将全池水放光，所用时间（单位：）与出水速度（单位：）之间的关系如下表： 出水速度（） （） 用式子表示与的关系是 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数，根据表可得与成反比例函数关系，，据此即可求解，由表中数据得出与的函数关系是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴与成反比例函数关系，， ∴， 故答案为：． 10．如图，正比例函数与反比例函数的图象交于点A，若点A的坐标为，则关于x的不等式的解集是 ． 【答案】或 【分析】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，根据对称性求出点坐标，进而利用图象法求不等式的解集即可． 【详解】解：∵正比例函数与反比例函数的图象都关于原点对称， ∴点关于原点对称， ∵点A的坐标为， ∴点的坐标为， 由图象可知：的解集是或； 故答案为：或 11．心理学家研究发现，一般情况下，一节课40分钟中，学生的注意力逐步增强，中间有一段时间学生的注意力保持较为理想的稳定状态，学生的注意力指标数y随时间x（分钟）的变化规律如图所示（其中分别为线段，为双曲线的一部分） 如果有一道数学综合题，需要讲19分钟，为了效果较好，要求学生的注意力指标数最低达到36，那么经过适当安排，老师可否在学生注意力达到较为理想的稳定状态下讲解完这道题目？ 你的结论是 （填写“可以”或“不可以”）， 理由是 （请通过你计算所得的数据说明理由）．    【答案】可以，理由见解析 【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数的综合应用，分别求出直线和曲线的解析式，再分别求出注意力指数为36时的两个时间，再将两时间之差和19比较，大于19则能讲完，否则不能． 【详解】解：可以，理由如下： 设线段所在的直线的解析式为， 把代入中得，， ∴， ∴直线解析式为． 设C、D所在双曲线的解析式为， 把代入得，， ∴曲线的解析式为：； 令，则，解得， 令，则，解得， ∵， ∴经过适当安排，老师可以在学生注意力达到所需的状态下讲解完这道题目． 能力提升 1．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标是，点B是函数图象上的一个动点，过点B作BC⊥y轴交函数的图象于点C，点D在x轴上（D在A的左侧），且AD=BC，连接AB，CD．有如下四个结论： ①四边形ABCD可能是菱形； ②四边形ABCD可能是正方形； ③四边形ABCD的周长是定值； ④四边形ABCD的面积是定值． 所有正确结论的序号是（    ） A．①② B．③④ C．①③ D．①④ 【答案】D 【分析】根据题意可得四边形ABCD是平行四边形，设点，则，根据BC=AB，可得关于a的方程，有解，可得①正确；若四边形ABCD是正方形，则AB⊥x轴，AB⊥BC，BC=AB，可得到点B，C的坐标，从而得到AB≠BC，可得②错误；取a的不同的数值，可得③错误；根据平行四边的面积，可得平行四边的面积等于8，可得④正确，即可求解． 【详解】解：如图， ∵BC⊥y轴， ∴BC∥AD， ∵AD=BC， ∴四边形ABCD是平行四边形， 设点，则， ①若四边形ABCD是菱形，则BC=AB， ∴， ∵点A的坐标是， ∴， ∴，解得：，该方程有解， ∴四边形ABCD可能是菱形，故①正确； ②若四边形ABCD是正方形，则AB⊥x轴，AB⊥BC，BC=AB， ∵点A的坐标是， ∴点B的横坐标为5， ∵点B是函数图象上， ∴点B的纵坐标为， ∴ ∵BC⊥y轴， ∴点C的纵坐标为， ∵点C是函数的图象的一点， ∴点C的横坐标为， ∴此时， ∴四边形ABCD不可能是正方形，故②错误； ③若a=1时，点，则， ∴AD=BC=7，， ∴此时四边形ABCD的周长为， 若a=2时，点，则， ∴AD=BC=4，， ∴此时四边形ABCD的周长为， ∴四边形ABCD的周长不是定值，故③错误； ∵，， ∴AD=，点B到x轴的距离为a， ∴四边形ABCD的面积为， ∴四边形ABCD的面积是定值，故④正确； ∴正确的有①④． 故选：D 【点睛】本题主要考查了反比例函数的图象与性质，平行四边形的性质，菱形的判定，正方形的判定，平行四边形的周长、面积公式，利用数形结合思想解答是解题的关键． 2．如图，点A、C为反比例函数图象上的点，过点A、C分别作轴，轴，垂足分别为B、D连接、、，线段交于点E，点E恰好为的中点，当的面积为时，则k的值为（    ） A．2 B． C．4 D． 【答案】D 【分析】设点C的坐标为，则点E，A，根据三角形的面积公式求出k即可． 【详解】解：设点C的坐标为， ∵点E恰好为的中点， 则点E，A， ∴AE=，BD=， ∵S△AEC=， 解得：k=-4． 故选D． 【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，解题的关键是设出点C的坐标，利用点C的横坐标表示出A、E点的坐标． 3．如图，在平面直角坐标系中，已知点A、B、C在双曲线上，轴于点D，轴于点E，点F在x轴上，且，则图中阴影部分的面积之和为 ．    【答案】16 【分析】过A作垂直于x轴，交x轴于点G，由，利用三线合一得到G为的中点，根据等底同高得到三角形的面积等于三角形的面积，再由A，B及C三点都在反比例函数图象上，根据反比例的性质得到，及的面积都相等，都为，由反比例解析式中的k值代入，求出三个三角形的面积，问题随之得解． 【详解】解：过A作轴，交x轴于点G，如图所示：    ∵，， ∴G为的中点，即， ∴， 又∵A，B及C点都在反比例函数上，轴，轴， ∴， ∴， 则， 故答案为：16． 【点睛】本题考查反比例函数，掌握反比例函数的性质，运用反比例函数的性质来解答本题关键． 4．如图，，两点在反比例函数的图象上．若将横、纵坐标都是整数的点称为整点，则线段，及反比例函数图象上，两点之间的部分围成的区域（不含边界）中，整点的坐标为 ． 【答案】和 【分析】本题考查了一次函数和反比例函数的综合应用，求反比例函数和一次函数解析式，坐标与图形，熟练掌握一次函数和的反比例函数的图象与性质是解题的关键． 根据，两点在反比例函数的图象上．求出反比例函数解析式、点的坐标，根据点、、的坐标，分别求出直线、的解析式，根据坐标与图形，分析当时、当时，线段，及反比例函数图象上，两点之间的部分围成的区域（不含边界）中，整点的情况，得出答案即可． 【详解】解：∵，两点在反比例函数的图象上， ∴，反比例函数解析式为， ∴， ∴， ∵， ∴设直线解析式为， 把代入得：， 解得：， ∴直线解析式为， 设直线解析式为， 把代入得：， 解得：， ∴直线解析式为， ∵当时，，，， ∴整点在线段，及反比例函数图象上，两点之间的部分围成的区域（不含边界）中， ∵，当时，，， ∴整点在线段，及反比例函数图象上，两点之间的部分围成的区域（不含边界）中， 综上所述，线段，及反比例函数图象上，两点之间的部分围成的区域（不含边界）中，整点的坐标为和， 故答案为：和． 5．如图，平面直角坐标系中，直线交坐标轴于点和点，反比例函数图象上的一点C到直线的距离的最小值为，则 ． 【答案】 【分析】由待定系数法可得直线的表达式，设点，则点，得到，由勾股定理，得出，进而得到，即，然后利用完全平方公式，得出，即的最小值为，即可求解． 【详解】解：过点C作轴交于点H，作交于点D， 则， 设直线的表达式， 由点和点得，， 解得：， 直线的表达式， 设点，则点， ，， ， 点C在反比例函数的图象上， ， 和点， ，， 由勾股定理得：， ， ， ， ，， ， ， ，即的最小值为， ， 点C到直线的距离的最小值为， ， 解得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点，锐角三角函数，勾股定理，待定系数法求一次函数解析式等知识，利用数形结合的思想解决问题是是解题关键，综合性较强． 6．如图，在平面直角坐标系中，矩形的两边、分别在轴、轴的正半轴上，反比例函数与相交于点，与相交于点，若，且的面积是12，则的值为 ．    【答案】5 【分析】设点的坐标为，由可得，从而可得，根据，即可得到，从而即可得到答案． 【详解】解：四边形是矩形， ，， 设点的坐标为， ， ， 点，在反比例函数的图象上， ， ， ， ， ， 故答案为：5． 【点睛】本题主要考查了反比例函数的的值，解题的关键是根据进行计算． 7．如图是8个台阶的示意图，每个台阶的高和宽分别是1和2，每个台阶凸出的角的顶点记作为的整数）函数的图象为曲线． （1）若过点，则 ； （2）若曲线使得这些点分布在它的两侧，每侧各4个点，则的整数值有 个． 【答案】 -16 7 【分析】（1）由题意可求T1～T8这些点的坐标，将点T1的坐标代入解析式可求解； （2）由曲线L使得T1～T8这些点分布在它的两侧，每侧各4个点，可得T1，T2，T7，T8与T3，T4，T5，T6在曲线L的两侧，即可求解． 【详解】解：（1）每个台阶的高和宽分别是1和2， ，，，，，，，， 过点， ， 故答案为：； （2）若曲线过点，时，， 若曲线过点，时，， 若曲线过点，时，， 若曲线过点，时，， 曲线使得这些点分布在它的两侧，每侧各4个点， ， 整数，，，，，，共7个， 故答案为：7； 【点睛】本题考查了反比例函数的应用，点的规律变化，找出点的规律，正确求出各点的坐标是本题的关键． 8．已知Rt△ABC位于第二象限，点A（﹣1，1），AB＝BC＝2，且两条直角边AB、BC分别平行于x轴、y轴，写出一个函数y＝（k≠0），使它的图象与△ABC有两个公共点，这个函数的表达式为 ．    【答案】y＝﹣． 【分析】首先求得B和C的坐标，则所求的反比例函数的比例系数是负数，且绝对值在A、C三个点的坐标的乘积的绝对值之间，据此即可求解． 【详解】∵A（﹣1，1），AB＝BC＝2， ∴B的坐标是（﹣3，1），C的坐标是（﹣3，3）． 则这个函数的解析式可以是：y＝﹣．（答案不唯一）． 故答案是：y＝﹣． 【点睛】本题考查了求反比例函数的解析式，理解k的范围是解决本题的关键． 了待定系数法求函数解析式和相似三角形的判定与性质． 9．某同学为了研究函数的图象和应用，采用列表描图的方法进行探究，请你协助完成． 先列表如下： … 0 1 1．5 2 3 4 … … 4 0 … (1)直接写出表中、的值，并在平面直角坐标系中画出该函数的图象；    (2)结合图象，请直接写出不等式的解集______． 【答案】(1)，； (2) 【分析】（1）把与分别代入解析式可得答案；再在坐标系内描点画图即可； （2）在同一坐标系内画出的图象，再利用的图象在函数的图象上方即可． 【详解】（1）解：当时，， 当时，； 在坐标系内描点画图如下：    ． （2）如图，画直线的图象，    由函数图象可得：函数的交点坐标为：， ∴的解集是； 【点睛】本题考查的是求解函数的函数值，利用描点法画函数的图象，利用数形结合的方法求解不等式的解集，掌握描点法画函数的图象是解本题的关键． 10．已知一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点，． (1)求一次函数的解析式； (2)过点A作直线，交y轴于点D，交第三象限内的反比例函数图象于点C，连接，如果，求线段的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求出点A、B的坐标，再用待定系数法求出一次函数解析式； （2）过点A作轴于E，过点C作轴于F，得到，从而得到，由得到，进而得到点C的坐标，利用两点间的距离公式可得线段BC的长． 【详解】（1）∵反比例函数的图象过点， ， 解得， ，， ∵一次函数的图象过A点和B点， ∴， 解得， ∴一次函数的解析式为； （2）如图，过点A作轴于E，过点C作轴于F， ， ， ， ， ， ∴点C， ． 【点睛】本题考查待定系数法求函数解析式，通过相似求边长，两点间的距离公式．掌握数形结合的思想是解题的关键． $$