第10讲 一次函数的图像和性质（讲练）-【上好课】2025年中考数学一轮复习讲练测（北京专用）

第三章 函数及其图像 第10讲 一次函数的图像与性质及应用（7分） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 01考情透视·目标导航 02知识导图·思维引航 03考点突破·考法探究 考点一 一次函数的图像和性质（高频考点） 考点二 一次函数与方程（组）﹑不等式（高频考点） 04题型精研·考向洞悉 命题点一 一次函数的图像和性质 ►题型01 一次函数的平移问题 ►题型02 据-次函数解析式判断其经过的象限 ►题型03 比较函数值大小 ►题型04 根据一次函数的增减性求参数 ►题型05 求一次函数解析式 ►题型06 一次函数与几何综合 命题点二 一次函数与方程（组），不等式 ►题型01 利用图像法解一元一次方程 ►题型02 根据两条直线的交点求不等式的解集 ►题型03 两直线的交点与二元一次方程组的解 05分层训练·巩固提升 基础巩固 能力提升 考点要求 新课标要求 考查频次 命题预测 一次函数的图像和性质 能画一次函数的图象，根据图象和表达式y=kx+b(k≠0)探索并理解k>0和k＜0时图象的变化情况； 会运用待定系数法确定一次函数的表达式. 5年3考 一次函数的图象与性质是中考数学中比较重要的一个考点，也是知识点牵涉比较多的考点.各地对一次函数的图象与性质的考察也主要集中在一次函数表达式与平移、图象的性质、图象与方程不等式的关系以及一次函数图象与几何图形面积等五个方面，年年考查，总分值为7分左右，也因为一次函数是一个结合型比较强的知识点，所以其图象和性质也是后续函数问题学习的一个基础.故考生在复习这块知识点时，需要特别熟记对应考点的方法规律. 一次函数与方程（组）﹑不等式 体会一次函数与二元一次方程的关系 5年3考 考点一 一次函数的图像和性质（高频考点） 一、一次函数的图象特征及性质 图象特征 正比例函数y=kx（k为常数，k≠0）必过点（0,0）、（1，k）. 一次函数y=kx+b（k，b是常数，k≠0）必过点（0，b）、（- ，0） 增减性 k>0 k<0 从左向右看图像呈上升趋势， y随x的增大而增大 从左向右看图像呈下降趋势， y随x的增大而减少 图象 b>0 b=0 b<0 b>0 b=0 b<0 经过象限 一、二、三 一、三 一、三、四 一、二、四 二、四 二、三、四 与y轴 交点位置 b＞0，交点在y轴正半轴上；b=0，交点在原点；b＜0，交点在y轴负半轴上 二、一次函数图象 图象关系 一次函数y=kx+b(k≠0)的图象可由正比例函数y=kx(k≠0)的图象平移得到： 当b>0时，向上平移b个单位长度； 当b<0时，向下平移|b|个单位长度 平移口诀：左加有减，上加下减 图象确定 因为一次函数的图象是一条直线，由两点确定一条直线可知画一次函数图象时，只要取两点即可， 1）画一次函数的图象，只需过图象上两点作直线即可，一般取(0，b)，(，0)两点； 2）画正比例函数的图象，只要取一个不同于原点的点即可. 三、k，b的符号与直线y=kx+b（k≠0）的关系 在直线y=kx+b（k≠0）中，令y=0，则x= ，即直线y=kx+b与x轴交于(,0) 令x=0，则y=b，即直线y=kx+b与y轴交于(0，b) 1）当> 0时，即k，b异号时，直线与x轴交于正半轴． 2）当= 0，即b=0时，直线经过原点． 3）当< 0，即k，b同号时，直线与x轴交于负半轴． 四、两个一次函数表达式（直线l1：y1=k1x＋b1与l2：y2=k2x＋b2）的位置关系： 1）当k1=k2，b1=b2时，两直线重合； 2) 当k1=k2，b1≠b2时，两直线平行； 3）当k1≠k2，b1=b2时，两直线交于y轴上的同一点（0，b）； 4）当k1k2=-1时，两直线垂直； 5）当k1≠k2时，两直线相交. 五、用待定系数法确定一次函数解析式 确定一次函数解析式的方法：1）依据题意中等量关系直接列出解析式；2）待定系数法. 用待定系数法求一次函数表达式的一般步骤： 1）设出函数的一般形式y=kx(k≠0)或y=kx+b(k≠0)； 2）根据已知条件(自变量与函数的对应值)代入表达式得到关于待定系数的方程或方程组； 3）解方程或方程组求出k，b的值； 4）将所求得的k，b的值代入到函数的一般形式中，从而得到一次函数解析式. 六、正比例函数与一次函数的联系与区别 正比例函数 一次函数 区别 一般形式 y=kx+b（k是常数，且k≠0） y=kx+b（k，b是常数，且k≠0） 图象 经过原点的一条直线 一条直线 k，b符号 的作用 k的符号决定其增减性， 同时决定直线所经过的象限 k的符号决定其增减性； b的符号决定直线与y轴的交点位置； k，b的符号共同决定直线在直角坐标系的位置 求解析式 的条件 只需要一对x，y的对应值 或一个点的坐标 需要两对x，y的对应值或两个点的坐标 联系 1）正比例函数是特殊的一次函数． 2）正比例函数图象与一次函数图象的画法一样，都是过两点画直线，但画一次函数的图象需取两个不同的点，而画正比例函数的图象只要取一个不同于原点的点即可． 3）一次函数y=kx+b（k≠0）的图象可以看作是正比例函数y=kx（k≠0）的图象沿y轴向上（b>0）或向下（b<0）平移|b|个单位长度得到的．由此可知直线y=kx+b（k≠0，b≠0）与直线y=kx（k≠0）平行． 4）一次函数与正比例函数有着共同的性质： ①当k>0时，y的值随x值的增大而增大； ②当k<0时，y的值随x值的增大而减小． 1. 正比例函数y= kx中，|k|越大，直线y= kx越靠近y轴；反之，|y|越小，直线y= kx越靠近x轴. 2. 判断一次函数的增减性，只看k的符号，与b无关. 3. 一次函数y= kx+b（k≠0）的自变量x的取值范围是全体实数而且图像是一条直线，因此没有最大值与最小值.但实际问题得到第一次函数解析式，自变量的取值范围一般受到限，学生做题时要注意具体问题具体分析. 4. 一次函数y= kx+b（k≠0）与x轴交于(, 0)，与y轴交于(0，b)，且这两个交点与坐标轴原点构成的三角形面积为s=. 考点二 一次函数与方程（组），不等式（高频考点） 一、一次函数与一元一次方程 思路：由于任何一个一元一次方程可以转化为ax+b=0(a、b为常数，a≠0）的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为0时，求自变量的值. 从“数”上看：方程ax+b = 0（a≠0）的解⇔函数y=ax+b（a≠0）中，y=0时对应的x的值 从“形”上看：方程ax+b = 0 (a≠0）的解⇔函数y=ax+b（a≠0）的图像与x轴交点的横坐标. 二、一次函数与二元一次方程组 思路：一般地，二元一次方程mx+ny=p（m、n、p是常数，且m≠0，n≠0）都能写成y=ax+b（a、b为常数，且a≠0）的形式.因此，一个二元一次方程对应一个一次函数，又因为一个一次函数对应一条直线，所以一个二元一次方程也对应一条直线，进一步可知，一个二元一次方程组对应两个一次函数，因而也对应两条直线. 从“数”的角度看：解二元一次方程组相当于考虑自变量为何值时，两个函数的值相等，以及这两个函数值是何值； 从“形”的角度看：解二元一次方程组相当于确定两条直线的交点坐标，一般地，如果一个二元一次方程组有唯一解，那么这个解就是方程组对应的两条直线的交点坐标. 二、一次函数与一元一次不等式 思路：关于x的一元一次不等式kx+b＞0(或＜0)的解集是以直线y=kx+b和x轴的交点为分界点，x轴上(下)方的图象所对应的x的取值范围. 从函数的角度看：解一元一次不等式就是寻求使一次函数y=ax+b（a≠0）的值大于（或小于）0的自变量的取值范围； 从函数图像的角度看：就是确定直线y=ax+b（a≠0）在x轴上（或下）方部分的横坐标满足的条件. 二元一次方程组的图解法的定义：画出两个一次函数的图像，找出它们的交点坐标，即得相应的二元一次方程组的解，这种解二元一次方程组的方法叫做二元一次方程组的图解法 命题点一 一次函数的图像和性质 ►题型01 一次函数的平移问题 1．下列函数的图象是由正比例函数的图象向左平移1个单位长度得到的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一次函数图象的平移问题，根据“上加下减，左加右减”的平移规律求解即可． 【详解】解：把正比例函数的图象向左平移1个单位长度得到的函数解析式为， 故选：B． 2．直线向上平移4个单位后得到的直线解析式为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一次函数图象与几何变换，熟知“上加下减”的平移规律是解题的关键． 根据解析式“上加下减”的平移规律是解题的关键． 【详解】将一次函数的图象向上平移4个单位，所得的函数解析式为 ， 即为． 故答案为：． 3．在平面直角坐标系中，一次函数的图象由函数的图象平移得到，且经过点，该一次函数的表达式为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一次函数的平移以及待定系数法求一次函数解析式，根据平移的性质可得出，由一次函数的图象经过点，用待定系数即可求出一次函数解析式． 【详解】解：∵一次函数的图象由函数的图象平移得到， ∴k值不变，， ∴一次函数为：， ∵一次函数的图象经过点， ∴， ∴一次函数的表达式为：， 故答案为：． ►题型02 据-次函数解析式判断其经过的象限 1．如图1是变量y与变量x的函数关系的图象，图2是变量z与变量y的函数关系的图象，则z与x的函数关系的图象可能是（  ） A．B．C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一次函数图象与其系数的关系，根据图1和图2可设，，进而可得，据此可得答案． 【详解】解：由图1可知，y是x的一次函数，则可设， 由图2可知，z是y的正比例函数，则可设， ∴， ∵， ∴符合题意的图象只有C中的函数图象， 故选：C． 2．在平面直角坐标系中，函数的图象经过（ ） A．第一、二、三象限 B．第一、二、四象限 C．第一、三、四象限 D．第二、三、四象限 【答案】A 【详解】【分析】一次函数y=kx+b的图象经过第几象限，取决于k和b．当k＞0，b＞O时，图象过一、二、三象限，据此作答即可． 【详解】∵一次函数y=3x+1的k=3＞0，b=1＞0， ∴图象过第一、二、三象限， 故选A． 【点睛】一次函数y=kx+b的图象经过第几象限，取决于x的系数和常数项. 3．图1是变量y与变量x的函数关系的图象，图2是变量z与变量y的函数关系的图象，则z与x的函数关系的图象可能是（  ）    A．  B．  C．   D．   【答案】B 【分析】设两个直线关系式，再表示出z，x之间的关系式，即可得出图象． 【详解】解：根据图像可知y与x是一次函数，z和y是正比例函数，设关系式为，， ∴，， ∴， ∴，可知z与x是一次函数，且图象经过一，二，四象限； ∴图像B符合题意． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了函数图像的判断，表示出各函数关系式是解题的关键． ►题型03 比较函数值大小 1．已知点，在一次函数的图象上，则m n（填“>”“=”或“<”）. 【答案】 【分析】先由函数的解析式求得一次函数的增减性，然后即可得到m与n的大小关系． 【详解】解：∵中的系数， ∴一次函数的y随x的增大而增大， ∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了一次函数的性质，解题的关键是熟知由自变量系数确定一次函数的增减性，然后比较m与n的大小． 2．已知点，都在一次函数的图象上，那么与的大小关系是 （填“”，“”“”） 【答案】 【分析】根据一次函数解析式得出，得出随着的增大而减小，根据，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴随着的增大而减小， ∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，熟知一次函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键． ►题型04 根据一次函数的增减性求参数 1．若点，在一次函数（m是常数）的图象上，则，的大小关系是 ．（填“>”“＝”或“<”） 【答案】> 【分析】由k＝−2＜0，利用一次函数的性质可得出y随x的增大而减小，结合1＜2，即可得出x1＞x2． 【详解】解：∵k＝−2＜0， ∴y随x的增大而减小， 又∵点A（x1，1），B（x2，2）在一次函数y＝−2x＋m（m是常数）的图象上，且1＜2， ∴x1＞x2． 故答案为：＞． 【点睛】本题考查了一次函数的性质，牢记“k＞0，y随x的增大而增大；k＜0，y随x的增大而减小”是解题的关键． 2．在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点，，且，则k的取值范围是 ． 【答案】 【分析】先求得一次函数的增减性，即可得出． 【详解】解：∵一次函数的图象经过点，，且， ∴一次函数随x的增大而减小， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，熟知一次函数的性质是解题的关键． 3．已知一次函数为常数)，当x＜2时，y＞0，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】根据x＜2时，y＞0，得出图象2m-1＜0，，从而得出m的取值范围． 【详解】当y=0时，， 解得， ∵x＜2时，y＞0， ∴2m-1＜0，， 解得， 故答案为：． 【点睛】本题考查了一次函数的性质以及一元一次不等式组的解集，熟知一次函数y=kx+b（k≠0）中，当k＜0时，y随x增大而减小是解题的关键． ►题型05 求一次函数解析式 1．若一次函数的图象过点（0，2），且函数y随自变量x的增大而增大，请写出一个符合要求的一次函数表达式： ． 【答案】y=x+2． 【详解】设一次函数的解析式为y=kx+b， 把（0，2）代入得b=2， ∴y=kx+2， ∵函数y随自变量x的增大而增大， ∴k＞0，∴k可取1， 此时一次函数解析式为y=x+2. 2．对于一次函数，下表中给出3组自变量和相应的函数值． 则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及待定系数法求一次函数解析式．根据自变量和相应的函数值，利用待定系数法可求出一次函数解析式，分别代入及，求出b，k，即可得出结论． 【详解】解：把代入得， 解得， ∴， 把代入得：， ， ∴， 把代入得， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 3．如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的顶点，将直线沿x轴水平向右平行移动．当直线l将平行四边形的面积平分时，此时其解析式为 ． 【答案】 【分析】设平移后的直线方程为；把的中点坐标代入进行解答即可． 【详解】解：∵直线l将的面积平分， ∴直线l经过对角线的交点， ∵的顶点， ∴对角线的交点为， 设平移后的直线方程为， 把代入，得， 解得 ， 则平移后的直线l解析式为：； 故答案为：． 【点睛】本题考查了一次函数图象的几何变换．平行四边形的性质，直线平移时k的值不变，只有b发生变化是解题的关键． 4．一次函数的图像过二、四象限，且与轴的夹角为，若其经过点，则一次函数解析式为 ． 【答案】/ 【分析】首先根据题意得到，然后将代入求解即可． 【详解】∵一次函数的图像过二、四象限，且与轴的夹角为， ∴， ∵经过点， ∴，解得， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了一次函数解析式的求解方法，根据题意求出k的值是解题的关键． ►题型06 一次函数与几何综合 1．在平面直角坐标系中，⊙O的半径为1，A，B为⊙O外两点，AB=1．给出如下定义：平移线段AB，得到⊙O的弦（分别为点A，B的对应点），线段长度的最小值称为线段AB到⊙O的“平移距离”． （1）如图，平移线段AB到⊙O的长度为1的弦和，则这两条弦的位置关系是 ；在点中，连接点A与点 的线段的长度等于线段AB到⊙O的“平移距离”； （2）若点A，B都在直线上，记线段AB到⊙O的“平移距离”为，求的最小值； （3）若点A的坐标为，记线段AB到⊙O的“平移距离”为，直接写出的取值范围． 【答案】（1）平行，P3；（2）；（3） 【分析】（1）根据圆的性质及“平移距离”的定义填空即可； （2）过点O作OE⊥AB于点E，交弦CD于点F，分别求出OE、OF的长，由得到的最小值； （3）线段AB的位置变换，可以看作是以点A为圆心，半径为1的圆，只需在⊙O内找到与之平行，且长度为1的弦即可．平移距离的最大值即点A，B点的位置，由此得出的取值范围． 【详解】解：（1）平行；P3； （2）如图，线段AB在直线上，平移之后与圆相交，得到的弦为CD，CD∥AB，过点O作OE⊥AB于点E，交弦CD于点F，OF⊥CD，令，直线与x轴交点为（-2，0），直线与x轴夹角为60°，∴． 由垂径定理得：， ∴； （3）线段AB的位置变换，可以看作是以点A为圆心，半径为1的圆，只需在⊙O内找到与之平行，且长度为1的弦即可； 点A到O的距离为． 如图，平移距离的最小值即点A到⊙O的最小值：； 平移距离的最大值线段是下图AB的情况，即当A1,A2关于OA对称，且A1B2⊥A1A2且A1B2=1时.∠B2A2A1=60°，则∠OA2A1=30°, ∵OA2=1,∴OM=, A2M=, ∴MA=3,AA2= , ∴的取值范围为：． 【点睛】本题考查圆的基本性质及与一次函数的综合运用，熟练掌握圆的基本性质、点与圆的位置关系、直线与圆的位置关系是解题的关键． 2．平面直角坐标系中，已知线段，为线段上一点不与点、重合，以为圆心，长为半径画，以为顶点作，，若角的两边一边与相切，另一边与相交，则称线段与关于点关联． (1)若点为线段的中点，线段与关于点关联，则满足条件的值可以是________①②③④． (2)半径为，是上一点，，是轴上一点，线段与关于点关联，直接写出的取值范围； (3)半径为，点是上一点，点，，线段与关于点关联，若在直线上存在满足条件的点，直接写出的取值范围． 【答案】(1)①② (2)或 (3) 【分析】（1）由点P为线段的中点得,根据锐角三角函数可求出，从而，进而可得答案； （2）根据题意，点与点重合，，当点B在y轴的正半轴时和，当点B在y轴的负半轴时两种情况求解即可； （3）依题意当，则点就是线段的中点，但是点是在圆上运动的，点只能是从中点的右侧的范围满足题意的根据中位线的性质可得中点始终在以 为圆心半径为的上运动，始终在线段 扫得区域，进而上下平移，与相切，即可求解． 【详解】（1）如图， 由新定义知与相切， ∴. ∵点P为线段的中点， ∴, ∴, ∴, ∵与相交， ∴, ∴①②符合题意. 故答案为：①②； （2）如图，当点在轴的正半轴时， 线段与关于点关联， ， 当与相切与点时，连接，则 ， 四边形是矩形， ， 四边形是正方形， ， 当点与点重合时，， ； 当点在轴的负半轴时，如图， 同理可求. 综上可知，或 （3）在上任取一点，在上任取一点，以为圆心，为半径作，过点分别作的切线， ∵要使线段与关于点关联， ∴ 即 ∴ 取 中点则点在线段上不包括端点 、. 随着 在 上运动取 中点 , ∴中点始终在以 为圆心,半径为的上运动， ∴始终在线段 扫得区域, ∴当与相切时, 如图所示，取点，则 ∴是等腰直角三角形， ∴ ∴ ∵b过点, 代入解得： 当过点时, ∴. 【点睛】本题考查含的直角三角形三边关系，圆周角定理，勾股定理，等腰直角三角形性质，切线性质，一次函数图像性质等知识点，熟悉相关图形的性质是解决问题的关键． 3．在平面直角坐标系中，对于点，，，给出如下定义：若点以点为中心逆时针旋转后，能与点重合，则称点为线段的“完美等直点”．      (1)如图1，当，，时，线段的“完美等直点”坐标是______； (2)如图2，当，时，若直线上的一点，满足是线段的“完美等直点”，求点的坐标及的值； (3)当时，若点在以为圆心，为半径的圆上，点为线段的“完美等直点”，直接写出点的横坐标的取值范围． 【答案】(1) (2)点坐标为； (3) 【分析】（1）根据“完美等值点”的定理，可得，则是等腰直角三角形，四边形是正方形，由此即可求解； （2）当，时，，设，根据题意可证，根据全等三角形的性质即可求解； （3）根据分类讨论，当时，根据正方形的判定和性质可得点的横坐标；当时，根据“完美等值点”的概念及计算方法即可求解． 【详解】（1）解：当，，时，，， ∴，, 如图所示， ∵点绕“完美等直点”逆时针旋转， ∴，则是等腰直角三角形， ∴点的中点坐标为 ∴，且， ∴旋转中心点在线段的垂直平分线上， ∵， ∴点于点重合， ∴点以点为中心逆时针旋转后， ∴线段的“完美等直点”坐标是， 故答案为：； （2）解：当，时，， ∵直线上的一点，满足是线段的“完美等直点”， ∴设，， 如图所示，过点作轴于点，作轴于点， 在中，， ∴， ∵轴， ∴，且，， ∴， ∴，， ∵， ∴， 解得，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴，即； （3）解：如图所示，当时，，点在圆上，圆心坐标为，半径为， ∴， ∴点横坐标的取值范围为：，纵坐标的取值范围为：， 由（1）的推理可得，线段的中点坐标为，过点作线段的垂直平分线， ∴根据“完美等值点”的定义，旋转的性质可得，中心对称点在线段的垂直平分线线上，且， ∴，，即是等腰直角三角形， ∴由（1）中证明可得四边形是正方形， ∴， ∴的横坐标为； 当点三点共线时，线段的长度值最大，如图所示，以点作矩形， ∵，，， ∴， ∴，， ∵， ∴，即点的横坐标大于； 当时，，如图所示，作轴于点， ∴，，， ∴，则， ∴，即， ∵是的垂直平分线， ∴的横坐标为； 综上所述，的横坐标的取值范围为：． 【点睛】本题主要考查平面直角坐标中图形的变换规律，理解“完美等值点”的定义，掌握等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，图形运动的规律，分类讨论思想，图形结合思想是解题的关键． 4．在平面直角坐标系中，一次函数的图象由函数的图象平移得到，且经过点，与过点且平行于x轴的直线交于点． (1)求该函数的解析式及点的坐标； (2)当时，对于的每一个值，函数的值大于的值且小于，直接写出的取值范围． 【答案】(1)，点的坐标为 (2) 【分析】本题考查一次函数图像与几何变化及待定系数法求一次函数解析式，数形结合方法解题是解题关键． （1）根据一次函数平移的性质可得，再利用待定系数法可得该函数的解析式；把代入所求解析式即可得出点的坐标； （2）求出直线过点、时的值，结合图像即可得答案． 【详解】（1）解：∵一次函数的图象由函数的图象平移得到， ∴， ∵一次函数的图象过点， ∴， 解得：， ∴该函数的解析式为， ∵一次函数的图象与过点且平行于x轴的直线交于点， ∴把代入得：， 解得：， ∴点的坐标为． （2）如图所示： 把代入得， 解得：， 把代入得， 解得：， ∵时，对于的每一个值，函数的值大于的值且小于， ∴的取值范围为． 命题点二 一次函数与方程（组），不等式 ►题型01 利用图像法解一元一次方程 1．如图，直线与x轴交于点，则当时，x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，，即x轴下方的部分，读图易得答案． 【详解】由函数图象可知时． 故选：C． 【点睛】本题考查一次函数的图象和性质，掌握数形结合的方法以及与不等式的关系式解决问题的关键． 2．在平面直角坐标系中，一次函数的图象由函数的图象平移得到，且经过点． (1)求这个一次函数的解析式； (2)一次函数的图象与x轴交于点B，求 的面积． 【答案】(1)，详见解析 (2)的面积2，详见解析 【分析】本题主要考查了一次函数图象与几何变换，一次函数与系数的关系，三角形的面积等知识点， (1)先根据直线平移时k的值不变得出，再将点代入，求出b的值，即可得到一次函数的解析式； (2)求得B的坐标，然后根据三角形面积公式求得即可； 熟练掌握其性质，灵活利用数形结合是解决此题的关键． 【详解】（1）∵一次函数的图象由直线平移得到， ∴， ∵一次函数的图象经过点， ∴ ∴， ∴一次函数的解析式为； （2）如图，令，则， ∴， ∴， ∴的面积为2． 4 ►题型02 根据两条直线的交点求不等式的解集 1．在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点和点． (1)求这个一次函数的表达式； (2)当时，对于x的每一个值，函数的值小于一次函数的值，直接写出m的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查待定系数法求一次函数解析式，解题的关键是掌握一次函数的性质． （1）把和代入得：，解出的值可得答案； （2）当时，，把代入得，根据当时，对于的每一个值，函数的值小于一次函数的值，可知． 【详解】（1）解：把和代入得： ， 解得， ∴； （2）当时，， 把代入得：， 解得， ∵当时，对于的每一个值，函数的值小于一次函数的值， ∴直线(与直线的交点的横坐标不小于3， ． 2．在平面直角坐标xOy中，函数 的图象经过点和， 与过点且平行于x轴的直线交于点 C． (1)求该函数的解析式及点 C的坐标； (2)当 时，对于x的每一个值，函数 的值大于函数 的值且小于5，直接写出n的取值范围． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了一次函数的图象和性质，待定系数法的应用， （1）利用待定系数法可求出函数解析式，由题意知点C的纵坐标为4，代入函数解析式求出点C的横坐标即可； （2）当时，，当时，，根据题意可得，问题随之得解． 【详解】（1）解：把点，代入得：， 解得：， ∴该函数的解析式为， 由题意知：点C的纵坐标为4， 当时， 解得：， ∴； （2）解：由（1）知：当时，， 当时，， ∵当时，函数的值大于函数的值且小于5， ∴， 解得：． 3．在平面直角坐标系中，函数的图象经过点和，与过点且平行于轴的直线交于点． (1)求该函数的表达式及点的坐标； (2)当时，对于的每一个值，函数的值大于函数的值且小于，直接写出的取值范围． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题考查待定系数法求一次函数解析式，一次函数图象及性质，用数形结合思想考虑本题是解答本题的关键． （1）将两点代入函数解析式中即可求得函数解析式，再将代入解析式即可求出点坐标； （2）根据题意将代入求出的最小值，再根据题意将代入求出的最大值，即为本题答案． 【详解】（1）解：∵函数的图象经过点和， ∴将点和代入中， ，解得：， ∴该函数的表达式为：， ∵与过点且平行于轴的直线交于点， ∴将代入中，得， ∴； （2）解：∵当时，对于的每一个值，函数的值大于函数的值且小于， ， 通过图象可知，当的函数值小于时，即将代入中，， 当的函数值大于函数的值将代入中，， ∴的取值范围为：． 4．在平面直角坐标系中，一次函数的图象由函数的图象平移得到，且经过点(1，2)． （1）求这个一次函数的解析式； （2）当时，对于的每一个值，函数的值大于一次函数的值，直接写出的取值范围． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）根据一次函数由平移得到可得出k值，然后将点（1，2）代入可得b值即可求出解析式； （2）由题意可得临界值为当时，两条直线都过点（1，2），即可得出当时，都大于，根据，可得可取值2，可得出m的取值范围． 【详解】（1）∵一次函数由平移得到， ∴， 将点（1，2）代入可得， ∴一次函数的解析式为； （2）当时，函数的函数值都大于，即图象在上方，由下图可知： 临界值为当时，两条直线都过点（1，2）， ∴当时，都大于， 又∵， ∴可取值2，即， ∴的取值范围为． 【点睛】本题考查了求一次函数解析式，函数图像的平移，一次函数的图像，找出临界点是解题关键． ►题型03 两直线的交点与二元一次方程组的解 1．如图，两个一次函数图象的交点坐标为(2，4)，则关于x，y的方程组 的解为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据两函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解，即可求解． 【详解】解：关于x，y的方程组可化为， ∵两个一次函数图象的交点坐标为(2，4)， ∴方程组的解为． 故选：A 【点睛】本题主要考查了一次函数图象交点坐标与二元一次方程组的解得关系，熟练掌握两函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解是解题的关键． 2．若直线与直线的交点坐标为，则解为 的方程组是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了两直线的交点与二元一次方程组的解，判断是否是二元一次方程组的解，等式的性质等知识点，熟练掌握二元一次方程组的解的定义是解题的关键． 根据二元一次方程组的解的定义并利用不等式的性质即可得出答案． 【详解】解：直线与直线的交点坐标为， 是方程组的解， 即：是方程组的解， 故选：． 3．下表是一次函数 和的图象上一部分点的坐标： x … 0 1 2 3 … 2 5 x … 1 2 3 … 4 则方程组  的解为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了两直线的交点与二元一次方程组的解，用表格表示变量间的关系，判断是否是二元一次方程组的解等知识点，熟练掌握二元一次方程组的解的定义是解题的关键. 根据二元一次方程组的解的定义直接判断即可得出答案． 【详解】解：从表格中可以看出： 是二元一次方程组的两个方程的公共解，因此它也是二元一次方程组的解， 故选：． 基础巩固 1．已知地面温度是，如果从地面开始每升高，气温下降，那么气温t与高度的函数关系是（    ） A．正比例函数 B．反比例函数 C．二次函数 D．一次函数 【答案】D 【分析】本题考查了所学四种函数的识别，掌握各函数的特征是解题的关键，求出函数解析式，根据各函数概念进行判断即可． 【详解】解：由题意知，温度随高度的变化是均匀的，那么气温t与高度的函数关系是，这是一次函数关系； 故选：D． 2．已知函数的图象如图所示，则函数的图象大致是（   ） A．B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数与系数的关系：由于与轴交于，当时，在轴的正半轴上，直线与轴交于正半轴；当时，在轴的负半轴，直线与轴交于负半轴．，的图象在一、二、三象限；，的图象经过一、三、四象限；，的图象经过一、二、四象限；，的图象经过二、三、四象限．根据一次函数与系数的关系，由函数的图象位置可得，，然后根据系数的正负判断函数的图象位置． 【详解】解：函数的图象经过第一、三、四象限， ，， 函数的图象经过第一、二、三象限． 故选：A 3．在平面直角坐标系中，点，在函数的图象上，则（    ） A． B． C． D．以上都有可 【答案】A 【分析】本题考查一次函数图象与性质，涉及利用一次函数增减性比较函数值大小，先由确定一次函数的增减性，由增减性直接比较即可得到答案，熟记一次函数增减性是解决问题的关键． 【详解】解：一次函数的， 随的增大而减小， 点，在函数的图象上，， ， 故选：A． 4．已知直线和直线交于点，则关于的二元一次方程组的解是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的交点问题，根据一次函数的交点坐标即为以一次函数解析式所构成的方程组的解即可求解，掌握一次函数的交点坐标的意义是解题的关键． 【详解】解：∵直线和直线交于点， ∴关于的二元一次方程组的解为， 故答案为：． 5．如图，一次函数与的图象交于点P，则关于x的不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了根据两条直线的交点求不等式的解集，将不等式转化为函数图象的位置是解题关键．观察函数图象，写出直线在上方所对应的自变量的范围即可． 【详解】解：由题意得：不等式表示函数的图象在函数图象上方的部分， 由图可知：该不等式的解集为：， 故选：D． 6．已知一次函数，如果函数值随增大而减小，那么的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数图象与系数的关系．根据一次函数的增减性列出不等式，通过解该不等式即可求得的取值范围． 【详解】解：由题意得， 解得． 故选：A． 7．将一次函数的图象沿y轴向上平移4个单位长度，所得直线的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是一次函数图象的平移，熟练掌握“左加右减，上加下减”是解答本题的关键．根据平移的性质“左加右减，上加下减”，即可找出平移后的直线解析式． 【详解】解： 一次函数的图象沿y轴向上平移4个单位长度， 所得直线的解析式为． 故选A． 8．如图，一次函数的图象与x轴交于点，与的图象交于点，则下列说法正确的是（    ） A．关于x，y的方程组的解是 B．方程的解是 C．方程的解是 D．不等式的解集是 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式，一次函数与二元一次方程组，结合图象，逐一判断即可求解，利用数形结合思想解决问题是解题的关键． 【详解】解：A、两直线的交点坐标为， 关于x，y的方程组的解是，则正确，故符合题意； B、一次函数的图象与x轴交于点， 方程的解是，则错误，故不符合题意； C、两直线的交点坐标为， 方程的解是，则错误，故不符合题意； D、两直线的交点坐标为， 不等式的解集是，则错误，故不符合题意； 故选A． 9．在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，若直线与线段有公共点，则的值可以为 （写出一个即可）． 【答案】答案不唯一 【分析】由直线与线段AB有公共点，可得出点B在直线上或在直线右下方，利用一次函数图象上点的坐标特征，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围，在其内任取一数即可得出结论． 【详解】解：当y=2时，2=x-1 ∴x=3 ∵直线y=x-1与线段AB有公共点， ∴m≥3， 故答案为：答案不唯一 【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，用一次函数图象上点的坐标特征，找出关于m的一元一次不等式是解题的关键． 10．在平面直角坐标系中，将直线向下平移1个单位长度，得到直线，则 ． 【答案】2 【分析】本题考查了一次函数的图象与几何变换．根据“上加下减，左加右减”的规律进行解答即可． 【详解】解：将直线向下平移1个单位长度得， ∵， ∴，解得， 故答案为：2． 11．物理实验证实：在弹性限度内，某弹簧长度与所挂物体质量满足函数关系，下表是测量物体质量时，该弹簧长度与所挂物体质量的数量关系． x 0 1 5 y 15 17 25 （1）写出y与x的函数表达式： ； （2）当弹簧长度为时，则所挂物体质量为 ． 【答案】 3.5 【分析】本题主要考查了用待定系数法求一次函数解析式，以及求一次函数自变量． （1）把点代入，即可求出k的值． （2）把，代入，即可求出x的值． 【详解】解：（1）由表格可得，点都在函数的图象上， ∴， 解得， ∴y与x的函数表达式为， 故答案为：； （2）当时， 即， 解得：， 故答案为：3.5． 12．在平面直角坐标系中，一次函数经过点，． (1)求这个一次函数的解析式； (2)当时，对于x的每一个值，函数的值大于一次函数的值，直接写出m的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一次函数的应用，待定系数法求一次函数解析式，灵活掌握所学知识是解题关键． （1）用待定系数法求解即可； （2）根据题意，列出关于m的不等式，结合图象的性质即可求解． 【详解】（1）解：∵一次函数的图象过点，， ∴把代入得：， 解得：， ∴一次函数的解析式； （2）解：由（1）得：一次函数的解析式， 当时，， ∵当时，对于x的每一个值，函数的值大于一次函数的值， 把代入得：， ∴， 解得：． 当直线与平行时，，此时函数的值大于一次函数的值， ∴ 13．如图，一次函数的图像与x轴交于点A，与y轴交于点B，且经过点， (1)当时，求一次函数的解析式及点A的坐标； (2)当时，对于x的每一个值，函数的值大于一次函数的值，求k的取值范围． 【答案】(1)；点A的坐标为 (2) 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，利用函数图象解不等式，数学结合是解答本题的关键． （1）当时，把点C的坐标代入，即可求得的k值，得到一次函数表达式，再求出点A的坐标即可． （2）根据图象得到不等式，解不等式即可． 【详解】（1）解：∵ ∴把点C的坐标代入， 解得， ∴一次函数表达式为， 当时，， 解得， ∵一次函数的图象与x轴交于点A， ∴点A的坐标为． （2）作如图： ∵当时，对于x的每一个值，函数的值大于一次函数的值，结合函数图象可知， 当时，， 解得． ∴． 能力提升 1．如图，某小区有一块菱形绿地，其中．计划在绿地上建造一个矩形的休闲书吧，使点M，N，P，Q分别在边，，，上．记，，图中阴影部分的面积为．当x在一定范围内变化时，y和S都随x的变化而变化，则y与x，S与x满足的函数关系分别是（    ）    A．一次函数关系，反比例函数关系 B．二次函数关系，一次函数关系 C．一次函数关系，二次函数关系 D．反比例函数关系，二次函数关系 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的应用，菱形的性质，等边三角形的判定与性质，关键是对这些知识的掌握和运用． 设，根据菱形和矩形的性质，求出与、S与x的函数解析式，从而得出结论． 【详解】连接对角线，，交于点，如图：    根据菱形和矩形都是中心对称图形可得： ， ， ，， 是等边三角形， ， 设，则， 四边形是菱形，， ， ， ， ， ， ， 与满足一次函数关系； ，， 是等边三角形， ， ， ， ， 与满足二次函数关系； 故选：C． 2．三名工人加工同一种零件，他们在一天中的工作情况如图所示，其中的横、纵坐标分别为第名工人上午的工作时间和加工的零件数，点的横、纵坐标分别为第名工人下午的工作时间和加工的零件数，．若为第名工人在这一天中平均每小时加工的零件数，则关于，，大小关系的表述中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查函数的图象与性质，若为第名工人在这一天中平均每小时加工的零件数，取为中点，则，若连接原点，即可转化为过原点的直线的倾斜程度，数形结合即可得到答案．分析出的几何意义是解答问题的关键． 【详解】解：若为第名工人在这一天中平均每小时加工的零件数，为中点，则， 连接原点，即可转化为过原点的直线的倾斜程度，如图所示： 由过原点的直线的倾斜程度和直线与正半轴夹角大小有关， ， 关于，，大小关系是， 故选：B． 3．如图1是变量y与变量x的函数关系的图象，图2是变量z与变量y的函数关系的图象，则z与x的函数关系的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查函数的图象，一次函数的图象与性质，根据图象正确设出函数解析式，学会利用整体思想解决问题是解题关键． 由图1可设（k，b为常数，且，由图2可设（m为常数，），将代入得，再根据一次函数图象与系数之间的关系即可判断． 【详解】解：由图1可设（k，b为常数，且，由图2可设（m为常数，）， 将代入得：， 与的函数关系为一次函数关系， ，，， ，， 与的函数图象过一、二、四象限． 故选：D． 4．设备每年都需要检修，该设备使用年数n（单位：年，n为正整数且）与第1年至第n年该设备检修支出的费用总和y（单位：万元）满足关系式，下列结论正确的是（      ） A．从第2年起，每年的检修费用比上一年增加万元 B．从第2年起，每年的检修费用比上一年减少万元 C．第1年至第5年平均每年的检修费用为万元 D．第6年至第10年平均每年的检修费用为万元 【答案】D 【分析】本题根据设出连续三年总支出，再两两相减得到连续两年的差值即可知道连续两年的每年的检修费，再根据总支出得到平均每年检修费． 【详解】由题意得， 前n年支出总费用为万元， 前年支出总费用为：万元； 前年支出总费用为：万元； 易知，前n年和前年差值为万元，前年和年差值为万元， 故第二年起，每年检修费比上一年保持不变，故A , B错误； 第一到第五年总支出费用为万元， 故平均每年检修费用为万元， 故C错误． 年总支出为万元， 年总支出为万元， 所以年平均每年检测费用为万元，故D正确． 故选D． 【点睛】本题考查了一次函数的性质及基本不等式在实际生活中的应用，解题的关键是理解变量之间的关系． 5．某学校对教室采用药薰消毒法进行消毒．现测得不同时刻的与的数据如表： 时间分钟 含药量毫克 则下列图象中，能表示与的函数关系的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】直接利用表格中数据分别得出函数解析式，进而得出答案． 【详解】解：由表格中数据可得：，数据成比例增长，是正比例函数关系，设解析式为：， 则将 代入得：， 解得：， 故函数解析式为：， 由表格中数据可得：，数据成反比例递减，是反比例函数关系，设解析式为：， 则将代入得：， 故函数解析式为：． 故函数图象D正确． 故选：． 【点睛】此题主要考查了正比例函数与反比例函数的应用，正确得出函数关系式是解题关键． 6．如图，直线分别与x轴，y轴交于A，B两点．从点P（1，0）射出的光线经直线AB反射后又经直线OB反射回到P点，则光线第一次的反射点Q的坐标是 ． 【答案】 【分析】由题意知的点A（4，0），点B（0，4），也可知点P（1，0），设光线分别射在AB、OB上的Q、M处，由于光线从点P经两次反射后又回到P点，反射角等于入射角，则∠PQA=∠BQM；∠PMO=∠BMQ．由而求得的坐标．求出直线，由此能求出点Q的坐标． 【详解】解：∵直线分别与x轴，y轴交于A，B两点， ∴点A（4，0），点B（0，4）， 设光线分别射在AB、OB上的Q、M处，由于光线从点P经两次反射后又回到P点， 根据反射规律，则∠PQA=∠BQM；∠PMO=∠BMQ． ∵点P（1，0）， 作出点P关于OB的对称点，则， 作出点P关于AB的对称点，则： ∴共线， ∵， 即； ∴（4，3）， 设直线的解析式为,则有：， 解得：， ∴直线的解析式为， ， 解得：， ∴Q点的坐标为：． 故答案为：． 【点睛】本题考查了一次函数的综合题，主要利用物理中反射角等于入射角，正确画出图形，用待定系数法求出直线解析式来解． 7．若点P在函数的图象上，且到x轴的距离等于1，则点P的坐标是 ． 【答案】（-1，1）或（1，1） 【分析】根据点P到x轴的距离等于1可得y=1或y=-1，根据点P在函数的图象上，可得当y=1时，x=1或-1，当y=-1时，x无解，从而得出答案． 【详解】解：∵点P到x轴的距离等于1， ∴点P的纵坐标为1或-1， 即y=1或y=-1， ∵点P在函数的图象上， 当y=1时，x=1或-1， ∴点P(-1,1)或(1,1)， 当y=-1时，x无解， 综上所述，点P的坐标是(-1,1)或(1,1)． 故答案为(-1,1)或(1,1)． 【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征及解一元一次方程．点到x轴的距离等于该点的纵坐标的绝对值；点在函数解析式上，点的横纵坐标适合这个函数解析式． 8.如图，光源发出的一束光（y轴）上的点B的反射光线交x轴于点，再被平面镜（x轴），则直线的解析式为 ． 【答案】 【分析】根据反射定律，，设点，由，得到，得到直线的解析式，根据两直线平行k值相等，设直线的解析式为，将点代入，即可求解， 本题考查了待定系数法求一次函数解析式、正切定义，解题的关键是：设出点B坐标． 【详解】解：设点B的坐标为，过点B作轴的垂线，过点A作垂直于该直线的垂线相交于点D，作，垂足为E， 根据反射定律，， ∴， ∴，解得：， ∴， 设直线的解析式为，将点，代入得：解得：， ∴直线的解析式为：， ∵， ∴直线和解析式中的k值相等， 设直线的解析式为，将点代入得：解得：， ∴直线的解析式为：， 故答案为：． 9．如图，正比例函数与一次函数的图象交于点．下面四个结论：①；②，③不等式的解集是；④当时，．其中正确的是    【答案】④ 【分析】此题考查一次函数与一元一次不等式，关键是根据正比例函数和一次函数的性质判断．根据正比例函数和一次函数的图像与性质判断即可． 【详解】解：①因为正比例函数经过二、四象限，所以，①错误； ②一次函数经过一、二、三象限，所以，即②错误； ③由图象可得：不等式的解集是，③错误； ④当时，，④正确； 故答案为：④． 10．在平面直角坐标系中，函数与的图象交于点. (1)求，的值； (2)当时，对于的每一个值，函数的值既大于函数的值，也大于函数的值，直接写出的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式，一次函数图象平行的条件，利用数形结合的思想是解决本题的关键． （1）将代入先求出k，再将和k的值代入即可求出b； （2）根据数形结合的思想解决，将问题转化为当时，对于的每一个值，直线的图象在直线和直线的上方，画出临界状态图象分析即可． 【详解】（1）解：由题意，将代入得：， 解得：， 将，，代入函数中， 得：， 解得：， ∴； （2）解：∵， ∴两个一次函数的解析式分别为， 当时，对于的每一个值，函数的值既大于函数的值，也大于函数的值， 即当时，对于的每一个值，直线的图象在直线和直线的上方，则画出图象为： 由图象得：当直线与直线平行时符合题意或者当与x轴的夹角大于直线与直线平行时的夹角也符合题意， ∴当直线与直线平行时，， ∴当时，对于的每一个值，直线的图象在直线和直线的上方时，， ∴m的取值范围为． 11．如图， (1)【提出问题】将一次函数的图象沿着轴向下平移3个单位长度，所得图象对应的函数表达式为______； (2)【初步思考】将一次函数的图象沿着轴向左平移3个单位长度，求所得图象对应的函数表达式，数学活动小组发现，图象的平移就是点的平移，因此，只需要在图象上任取两点，，将它们沿着轴向左平移3个单位长度，得到点，的坐标分别为______，从而求出经过点，的直线对应的函数表达式为______； (3)【深度思考】已知一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点． ①将一次函数的图象关于轴对称，求所得图象对应的函数表达式； ②如图①，将直线绕点逆时针旋转，求所得图象对应的函数表达式； ③如图②，将直线绕点逆时针旋转，求所得图象对应的函数表达式． 【答案】(1) (2)，， (3)①；②；③ 【分析】（1）由函数图象的平移法则求解即可得到答案； （2）利用点的平移法则得到、，利用待定系数法确定一次函数表达式即可得到答案； （3）由对称性质、旋转性质，结合待定系数法确定一次函数表达式即可得到答案． 【详解】（1）解：利用平移规律得：将一次函数的图象沿着轴向下平移3个单位长度，所得到的图象对应的函数表达式为， 故答案为：； （2）解：，， 将它们沿着轴向左平移3个单位长度，得到点、点的坐标分别为、， 设直线的一次函数解析式为， ，解得， 过点、的直线对应的函数表达式为； （3）解：，当时，，即点；当时，，，即点， ①如图， 一次函数的图象关于轴对称，， ∴点A关于x轴的对称点， 设将一次函数的图象关于轴对称所得到的图象对应的函数表达式为， 将代入得，解得， 所得到的图象对应的函数表达式为； ②设点绕点逆时针旋转到点，过点作轴于点，如图， ，，， ， ， ， ，， ， ，， ， ， 设将直线绕点逆时针旋转所得到的图象对应的函数表达式为， ，解得， 所得到的图象对应的函数表达式为； ③过点作交所得到的图象于点，过点作轴于点，如图， 将直线绕点逆时针旋转， ， ，，， ， ， ， ，， ， ，， ， ， 设将直线绕点逆时针旋转，所得到的图象对应的函数表达式为， ，解得， 所得到的图象对应的函数表达式为． 【点睛】本题考查一次函数综合，涉及一次函数图象的平移、待定系数法确定一次函数表达式、点的对称、求一次函数图象关于坐标轴对称的函数图象表达式、旋转性质、求一次函数图象绕固定点旋转后的函数图象表达式等知识，熟练掌握一次函数图象与性质是解决问题的关键． 12．在平面直角坐标系中，对于图形M和图形N给出如下定义：如果图形M上存在点P、轴上存在点T，使得点P以点T为旋转中心，逆时针旋转得到的点Q在图形N上，那么称图形N是形M的“关联图形”． (1)如图，点，，，． ①在点B，C，D中，点A的“关联图形”是_____； ②若不是点A的“关联图形”，求的半径的取值范围； (2)已知点，，，的半径为1，以线段为对角线的正方形为，若是正方形的“关联图形”，直接写出的最小值和最大值． 【答案】(1)①，C②； (2)最小为，最大为． 【分析】（1）①根据“关联图形”的定义判断即可； ②根据关联图形的定义，判断出点旋转后的轨迹， 从而得到的半径范围 （2）根据关联图形的定义，求出点旋转后的轨迹，当与该轨迹有唯一交点时，取最小值； 根据关联图形的定义，求出点旋转后的轨迹，当与该轨迹有唯一交点时，取最大值； 【详解】（1）①点绕逆时针旋转得到点，A点绕逆时针旋转得到点C， 故答案为：，C； ②设点，那么点绕点逆时针旋转得到点，作轴交轴于点，作轴交轴于点，如图所示 由旋转可知，，， ， 坐标为 在上运动 设与轴的交点为，与轴交点为 当，，当时，， ， 以点为圆心，作圆，当与有为唯一交点时，半径为斜边上的高 当不是点的关联图形时， 故答案为：． （2）设点绕点逆时针旋转对应点为点，过点作轴交轴于点，连接，，如图所示 由旋转可知， ，， ， 点坐标为 所以在上运动 ， 与轴的夹角为 设在轴的交点为，那么点坐标为 当与有唯一交点时，最大 与相切 为等腰直角三角形且 故最大为； 设点绕点逆时针旋转对应点为点，过点作轴交轴于点，过点作轴交连接，，如图所示 同理可证， ， 的坐标是 在上运动 设与轴的交点为，当与该直线有唯一交点时，取最小值． 同理可证为等腰直角三角形，且 故最小值为． 【点睛】本题考查了线段的旋转，三角形全等的判定与性质，圆与直线的关系判断，圆的切线的性质与计算，一次函数， “关联图形”等知识点，熟练掌握以上知识点并根据画出正确的图形是解题的关键． $$第三章 函数及其图像 第10讲 一次函数的图像与性质及应用（7分） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 01考情透视·目标导航 02知识导图·思维引航 03考点突破·考法探究 考点一 一次函数的图像和性质（高频考点） 考点二 一次函数与方程（组）﹑不等式（高频考点） 04题型精研·考向洞悉 命题点一 一次函数的图像和性质 ►题型01 一次函数的平移问题 ►题型02 据-次函数解析式判断其经过的象限 ►题型03 比较函数值大小 ►题型04 根据一次函数的增减性求参数 ►题型05 求一次函数解析式 ►题型06 一次函数与几何综合 命题点二 一次函数与方程（组），不等式 ►题型01 利用图像法解一元一次方程 ►题型02 根据两条直线的交点求不等式的解集 ►题型03 两直线的交点与二元一次方程组的解 05分层训练·巩固提升 基础巩固 能力提升 0 考点要求 新课标要求 考查频次 命题预测 一次函数的图像和性质 能画一次函数的图象，根据图象和表达式y=kx+b(k≠0)探索并理解k>0和k＜0时图象的变化情况； 会运用待定系数法确定一次函数的表达式. 5年3考 一次函数的图象与性质是中考数学中比较重要的一个考点，也是知识点牵涉比较多的考点.各地对一次函数的图象与性质的考察也主要集中在一次函数表达式与平移、图象的性质、图象与方程不等式的关系以及一次函数图象与几何图形面积等五个方面，年年考查，总分值为7分左右，也因为一次函数是一个结合型比较强的知识点，所以其图象和性质也是后续函数问题学习的一个基础.故考生在复习这块知识点时，需要特别熟记对应考点的方法规律. 一次函数与方程（组）﹑不等式 体会一次函数与二元一次方程的关系 5年3考 考点一 一次函数的图像和性质（高频考点） 一、一次函数的图象特征及性质 图象特征 正比例函数y=kx（k为常数，k≠0）必过点（0,0）、（1，k）. 一次函数y=kx+b（k，b是常数，k≠0）必过点（0，b）、（- ，0） 增减性 k>0 k<0 从左向右看图像呈上升趋势， y随x的增大而增大 从左向右看图像呈下降趋势， y随x的增大而减少 图象 b>0 b=0 b<0 b>0 b=0 b<0 经过象限 一、二、三 一、三 一、三、四 一、二、四 二、四 二、三、四 与y轴 交点位置 b＞0，交点在y轴正半轴上；b=0，交点在原点；b＜0，交点在y轴负半轴上 二、一次函数图象 图象关系 一次函数y=kx+b(k≠0)的图象可由正比例函数y=kx(k≠0)的图象平移得到： 当b>0时，向上平移b个单位长度； 当b<0时，向下平移|b|个单位长度 平移口诀：左加有减，上加下减 图象确定 因为一次函数的图象是一条直线，由两点确定一条直线可知画一次函数图象时，只要取两点即可， 1）画一次函数的图象，只需过图象上两点作直线即可，一般取(0，b)，(，0)两点； 2）画正比例函数的图象，只要取一个不同于原点的点即可. 三、k，b的符号与直线y=kx+b（k≠0）的关系 在直线y=kx+b（k≠0）中，令y=0，则x= ，即直线y=kx+b与x轴交于(,0) 令x=0，则y=b，即直线y=kx+b与y轴交于(0，b) 1）当> 0时，即k，b异号时，直线与x轴交于正半轴． 2）当= 0，即b=0时，直线经过原点． 3）当< 0，即k，b同号时，直线与x轴交于负半轴． 四、两个一次函数表达式（直线l1：y1=k1x＋b1与l2：y2=k2x＋b2）的位置关系： 1）当k1=k2，b1=b2时，两直线重合； 2) 当k1=k2，b1≠b2时，两直线平行； 3）当k1≠k2，b1=b2时，两直线交于y轴上的同一点（0，b）； 4）当k1k2=-1时，两直线垂直； 5）当k1≠k2时，两直线相交. 五、用待定系数法确定一次函数解析式 确定一次函数解析式的方法：1）依据题意中等量关系直接列出解析式；2）待定系数法. 用待定系数法求一次函数表达式的一般步骤： 1）设出函数的一般形式y=kx(k≠0)或y=kx+b(k≠0)； 2）根据已知条件(自变量与函数的对应值)代入表达式得到关于待定系数的方程或方程组； 3）解方程或方程组求出k，b的值； 4）将所求得的k，b的值代入到函数的一般形式中，从而得到一次函数解析式. 六、正比例函数与一次函数的联系与区别 正比例函数 一次函数 区别 一般形式 y=kx+b（k是常数，且k≠0） y=kx+b（k，b是常数，且k≠0） 图象 经过原点的一条直线 一条直线 k，b符号 的作用 k的符号决定其增减性， 同时决定直线所经过的象限 k的符号决定其增减性； b的符号决定直线与y轴的交点位置； k，b的符号共同决定直线在直角坐标系的位置 求解析式 的条件 只需要一对x，y的对应值 或一个点的坐标 需要两对x，y的对应值或两个点的坐标 联系 1）正比例函数是特殊的一次函数． 2）正比例函数图象与一次函数图象的画法一样，都是过两点画直线，但画一次函数的图象需取两个不同的点，而画正比例函数的图象只要取一个不同于原点的点即可． 3）一次函数y=kx+b（k≠0）的图象可以看作是正比例函数y=kx（k≠0）的图象沿y轴向上（b>0）或向下（b<0）平移|b|个单位长度得到的．由此可知直线y=kx+b（k≠0，b≠0）与直线y=kx（k≠0）平行． 4）一次函数与正比例函数有着共同的性质： ①当k>0时，y的值随x值的增大而增大； ②当k<0时，y的值随x值的增大而减小． 1. 正比例函数y= kx中，|k|越大，直线y= kx越靠近y轴；反之，|y|越小，直线y= kx越靠近x轴. 2. 判断一次函数的增减性，只看k的符号，与b无关. 3. 一次函数y= kx+b（k≠0）的自变量x的取值范围是全体实数而且图像是一条直线，因此没有最大值与最小值.但实际问题得到第一次函数解析式，自变量的取值范围一般受到限，学生做题时要注意具体问题具体分析. 4. 一次函数y= kx+b（k≠0）与x轴交于(, 0)，与y轴交于(0，b)，且这两个交点与坐标轴原点构成的三角形面积为s=. 考点二 一次函数与方程（组），不等式（高频考点） 一、一次函数与一元一次方程 思路：由于任何一个一元一次方程可以转化为ax+b=0(a、b为常数，a≠0）的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为0时，求自变量的值. 从“数”上看：方程ax+b = 0（a≠0）的解⇔函数y=ax+b（a≠0）中，y=0时对应的x的值 从“形”上看：方程ax+b = 0 (a≠0）的解⇔函数y=ax+b（a≠0）的图像与x轴交点的横坐标. 二、一次函数与二元一次方程组 思路：一般地，二元一次方程mx+ny=p（m、n、p是常数，且m≠0，n≠0）都能写成y=ax+b（a、b为常数，且a≠0）的形式.因此，一个二元一次方程对应一个一次函数，又因为一个一次函数对应一条直线，所以一个二元一次方程也对应一条直线，进一步可知，一个二元一次方程组对应两个一次函数，因而也对应两条直线. 从“数”的角度看：解二元一次方程组相当于考虑自变量为何值时，两个函数的值相等，以及这两个函数值是何值； 从“形”的角度看：解二元一次方程组相当于确定两条直线的交点坐标，一般地，如果一个二元一次方程组有唯一解，那么这个解就是方程组对应的两条直线的交点坐标. 二、一次函数与一元一次不等式 思路：关于x的一元一次不等式kx+b＞0(或＜0)的解集是以直线y=kx+b和x轴的交点为分界点，x轴上(下)方的图象所对应的x的取值范围. 从函数的角度看：解一元一次不等式就是寻求使一次函数y=ax+b（a≠0）的值大于（或小于）0的自变量的取值范围； 从函数图像的角度看：就是确定直线y=ax+b（a≠0）在x轴上（或下）方部分的横坐标满足的条件. 二元一次方程组的图解法的定义：画出两个一次函数的图像，找出它们的交点坐标，即得相应的二元一次方程组的解，这种解二元一次方程组的方法叫做二元一次方程组的图解法 命题点一 一次函数的图像和性质 ►题型01 一次函数的平移问题 1．下列函数的图象是由正比例函数的图象向左平移1个单位长度得到的是（   ） A． B． C． D． 2．直线向上平移4个单位后得到的直线解析式为 ． 3．在平面直角坐标系中，一次函数的图象由函数的图象平移得到，且经过点，该一次函数的表达式为 ． ►题型02 据-次函数解析式判断其经过的象限 1．如图1是变量y与变量x的函数关系的图象，图2是变量z与变量y的函数关系的图象，则z与x的函数关系的图象可能是（  ） A．B．C． D． 2．在平面直角坐标系中，函数的图象经过（ ） A．第一、二、三象限 B．第一、二、四象限 C．第一、三、四象限 D．第二、三、四象限 3．图1是变量y与变量x的函数关系的图象，图2是变量z与变量y的函数关系的图象，则z与x的函数关系的图象可能是（  ）    A．  B．  C．   D．   ►题型03 比较函数值大小 1．已知点，在一次函数的图象上，则m n（填“>”“=”或“<”）. 2．已知点，都在一次函数的图象上，那么与的大小关系是 （填“”，“”“”） ►题型04 根据一次函数的增减性求参数 1．若点，在一次函数（m是常数）的图象上，则，的大小关系是 ．（填“>”“＝”或“<”） 2．在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点，，且，则k的取值范围是 ． 3．已知一次函数为常数)，当x＜2时，y＞0，则的取值范围为 ． ►题型05 求一次函数解析式 1．若一次函数的图象过点（0，2），且函数y随自变量x的增大而增大，请写出一个符合要求的一次函数表达式： ． 2．对于一次函数，下表中给出3组自变量和相应的函数值． 则的值为 ． 3．如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的顶点，将直线沿x轴水平向右平行移动．当直线l将平行四边形的面积平分时，此时其解析式为 ． 4．一次函数的图像过二、四象限，且与轴的夹角为，若其经过点，则一次函数解析式为 ． ►题型06 一次函数与几何综合 1．在平面直角坐标系中，⊙O的半径为1，A，B为⊙O外两点，AB=1．给出如下定义：平移线段AB，得到⊙O的弦（分别为点A，B的对应点），线段长度的最小值称为线段AB到⊙O的“平移距离”． （1）如图，平移线段AB到⊙O的长度为1的弦和，则这两条弦的位置关系是 ；在点中，连接点A与点 的线段的长度等于线段AB到⊙O的“平移距离”； （2）若点A，B都在直线上，记线段AB到⊙O的“平移距离”为，求的最小值； （3）若点A的坐标为，记线段AB到⊙O的“平移距离”为，直接写出的取值范围． 2．平面直角坐标系中，已知线段，为线段上一点不与点、重合，以为圆心，长为半径画，以为顶点作，，若角的两边一边与相切，另一边与相交，则称线段与关于点关联． (1)若点为线段的中点，线段与关于点关联，则满足条件的值可以是________①②③④． (2)半径为，是上一点，，是轴上一点，线段与关于点关联，直接写出的取值范围； (3)半径为，点是上一点，点，，线段与关于点关联，若在直线上存在满足条件的点，直接写出的取值范围． 3．在平面直角坐标系中，对于点，，，给出如下定义：若点以点为中心逆时针旋转后，能与点重合，则称点为线段的“完美等直点”．      (1)如图1，当，，时，线段的“完美等直点”坐标是______； (2)如图2，当，时，若直线上的一点，满足是线段的“完美等直点”，求点的坐标及的值； (3)当时，若点在以为圆心，为半径的圆上，点为线段的“完美等直点”，直接写出点的横坐标的取值范围． 4．在平面直角坐标系中，一次函数的图象由函数的图象平移得到，且经过点，与过点且平行于x轴的直线交于点． (1)求该函数的解析式及点的坐标； (2)当时，对于的每一个值，函数的值大于的值且小于，直接写出的取值范围． 命题点二 一次函数与方程（组），不等式 ►题型01 利用图像法解一元一次方程 1．如图，直线与x轴交于点，则当时，x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．在平面直角坐标系中，一次函数的图象由函数的图象平移得到，且经过点． (1)求这个一次函数的解析式； (2)一次函数的图象与x轴交于点B，求 的面积． ►题型02 根据两条直线的交点求不等式的解集 1．在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点和点． (1)求这个一次函数的表达式； (2)当时，对于x的每一个值，函数的值小于一次函数的值，直接写出m的取值范围． 2．在平面直角坐标xOy中，函数 的图象经过点和， 与过点且平行于x轴的直线交于点 C． (1)求该函数的解析式及点 C的坐标； (2)当 时，对于x的每一个值，函数 的值大于函数 的值且小于5，直接写出n的取值范围． 3．在平面直角坐标系中，函数的图象经过点和，与过点且平行于轴的直线交于点． (1)求该函数的表达式及点的坐标； (2)当时，对于的每一个值，函数的值大于函数的值且小于，直接写出的取值范围． 4．在平面直角坐标系中，一次函数的图象由函数的图象平移得到，且经过点(1，2)． （1）求这个一次函数的解析式； （2）当时，对于的每一个值，函数的值大于一次函数的值，直接写出的取值范围． ►题型03 两直线的交点与二元一次方程组的解 1．如图，两个一次函数图象的交点坐标为(2，4)，则关于x，y的方程组 的解为（　　） A． B． C． D． 2．若直线与直线的交点坐标为，则解为 的方程组是（  ） A． B． C． D． 3．下表是一次函数 和的图象上一部分点的坐标： x … 0 1 2 3 … 2 5 x … 1 2 3 … 4 则方程组  的解为（   ） A． B． C． D． 基础巩固 1．已知地面温度是，如果从地面开始每升高，气温下降，那么气温t与高度的函数关系是（    ） A．正比例函数 B．反比例函数 C．二次函数 D．一次函数 2．已知函数的图象如图所示，则函数的图象大致是（   ） A．B． C． D． 3．在平面直角坐标系中，点，在函数的图象上，则（    ） A． B． C． D．以上都有可 4．已知直线和直线交于点，则关于的二元一次方程组的解是 ． 5．如图，一次函数与的图象交于点P，则关于x的不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 6．已知一次函数，如果函数值随增大而减小，那么的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．将一次函数的图象沿y轴向上平移4个单位长度，所得直线的解析式为（    ） A． B． C． D． 8．如图，一次函数的图象与x轴交于点，与的图象交于点，则下列说法正确的是（    ） A．关于x，y的方程组的解是 B．方程的解是 C．方程的解是 D．不等式的解集是 9．在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，若直线与线段有公共点，则的值可以为 （写出一个即可）． 10．在平面直角坐标系中，将直线向下平移1个单位长度，得到直线，则 ． 11．物理实验证实：在弹性限度内，某弹簧长度与所挂物体质量满足函数关系，下表是测量物体质量时，该弹簧长度与所挂物体质量的数量关系． x 0 1 5 y 15 17 25 （1）写出y与x的函数表达式： ； （2）当弹簧长度为时，则所挂物体质量为 ． 12．在平面直角坐标系中，一次函数经过点，． (1)求这个一次函数的解析式； (2)当时，对于x的每一个值，函数的值大于一次函数的值，直接写出m的取值范围． 13．如图，一次函数的图像与x轴交于点A，与y轴交于点B，且经过点， (1)当时，求一次函数的解析式及点A的坐标； (2)当时，对于x的每一个值，函数的值大于一次函数的值，求k的取值范围． 能力提升 1．如图，某小区有一块菱形绿地，其中．计划在绿地上建造一个矩形的休闲书吧，使点M，N，P，Q分别在边，，，上．记，，图中阴影部分的面积为．当x在一定范围内变化时，y和S都随x的变化而变化，则y与x，S与x满足的函数关系分别是（    ）    A．一次函数关系，反比例函数关系 B．二次函数关系，一次函数关系 C．一次函数关系，二次函数关系 D．反比例函数关系，二次函数关系 2．三名工人加工同一种零件，他们在一天中的工作情况如图所示，其中的横、纵坐标分别为第名工人上午的工作时间和加工的零件数，点的横、纵坐标分别为第名工人下午的工作时间和加工的零件数，．若为第名工人在这一天中平均每小时加工的零件数，则关于，，大小关系的表述中，正确的是（    ） A． B． C． D． 3．如图1是变量y与变量x的函数关系的图象，图2是变量z与变量y的函数关系的图象，则z与x的函数关系的图象可能是（   ） A．B．C．D． 4．设备每年都需要检修，该设备使用年数n（单位：年，n为正整数且）与第1年至第n年该设备检修支出的费用总和y（单位：万元）满足关系式，下列结论正确的是（      ） A．从第2年起，每年的检修费用比上一年增加万元 B．从第2年起，每年的检修费用比上一年减少万元 C．第1年至第5年平均每年的检修费用为万元 D．第6年至第10年平均每年的检修费用为万元 5．某学校对教室采用药薰消毒法进行消毒．现测得不同时刻的与的数据如表： 时间分钟 含药量毫克 则下列图象中，能表示与的函数关系的图象可能是（    ） A． B． C． D． 6．如图，直线分别与x轴，y轴交于A，B两点．从点P（1，0）射出的光线经直线AB反射后又经直线OB反射回到P点，则光线第一次的反射点Q的坐标是 ． 7．若点P在函数的图象上，且到x轴的距离等于1，则点P的坐标是 ． 8.如图，光源发出的一束光（y轴）上的点B的反射光线交x轴于点，再被平面镜（x轴），则直线的解析式为 ． 9．如图，正比例函数与一次函数的图象交于点．下面四个结论：①；②，③不等式的解集是；④当时，．其中正确的是    10．在平面直角坐标系中，函数与的图象交于点. (1)求，的值； (2)当时，对于的每一个值，函数的值既大于函数的值，也大于函数的值，直接写出的取值范围. 11．如图， (1)【提出问题】将一次函数的图象沿着轴向下平移3个单位长度，所得图象对应的函数表达式为______； (2)【初步思考】将一次函数的图象沿着轴向左平移3个单位长度，求所得图象对应的函数表达式，数学活动小组发现，图象的平移就是点的平移，因此，只需要在图象上任取两点，，将它们沿着轴向左平移3个单位长度，得到点，的坐标分别为______，从而求出经过点，的直线对应的函数表达式为______； (3)【深度思考】已知一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点． ①将一次函数的图象关于轴对称，求所得图象对应的函数表达式； ②如图①，将直线绕点逆时针旋转，求所得图象对应的函数表达式； ③如图②，将直线绕点逆时针旋转，求所得图象对应的函数表达式． 12．在平面直角坐标系中，对于图形M和图形N给出如下定义：如果图形M上存在点P、轴上存在点T，使得点P以点T为旋转中心，逆时针旋转得到的点Q在图形N上，那么称图形N是形M的“关联图形”． (1)如图，点，，，． ①在点B，C，D中，点A的“关联图形”是_____； ②若不是点A的“关联图形”，求的半径的取值范围； (2)已知点，，，的半径为1，以线段为对角线的正方形为，若是正方形的“关联图形”，直接写出的最小值和最大值． $$