第09讲 平面直角坐标系（讲练）-【上好课】2025年中考数学一轮复习讲练测（北京专用）

第三章 函数及其图像 第09讲 平面直角坐标系（2~7分） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 01考情透视·目标导航 02知识导图·思维引航 03考点突破·考法探究 考点一 平面直角坐标系中点的坐标（高频考点） 考点二 函数及其图像（高频考点） 04题型精研·考向洞悉 命题点一 平面直角坐标系中点的坐标 ►题型01 根据点坐标判断所在象限 命题点二 函数及其图像 ►题型01 自变量取值范围 ►题型02 从函数的图象获取信息 ►题型03 用描点法画函数图象 ►题型04 动点问题的函数图象 05分层训练·巩固提升 基础巩固 能力提升 考点要求 新课标要求 考查频次 命题预测 平面直角坐标系中点的坐标 理解平面直角坐标系的有关概念，能画出平面直角坐标系. 10年3考 该专题内容是初中代数最重要的部分，是代数的基础，非常重要，年年都会考，分值为7分左右.预计2025年北京中考还将出现，在解答题中出现的可能性较大． 函数及其图像 能结合图象对简单实际问题中的函数关系进行分析； 能确定简单实际问题中函数自变量的取值范围，会求函数值; 能用适当的函数表示法刻画简单实际问题中变量之间的关系理解函数值的意义; 结合对函数关系的分析，能对变量的变化情况进行初步讨论 10年10考 考点一 平面直角坐标系中的点坐标（高频考点） 有序数对概念：有顺序的两个数a与b组成的数对，叫做有序数对，记作（a ，b）. 相关概念 具体内容 平面直角坐标系 定义 在平面内画两条互相垂直并且原点重合的数轴，这样就建立了平面直角坐标系. 两轴 水平的数轴叫做x轴或横轴，通常取 向右 方向为正方向； 竖直的数轴叫做y轴或纵轴，通常取 向上 方向为正方向.（见图一） 原点 两坐标轴交点为平面直角坐标系原点. 坐标平面 坐标系所在的平面叫做坐标平面. 象限 x轴和y轴把平面直角坐标系分成四部分，每个部分称为象限. 按逆时针顺序依次叫第一象限、第二象限、第三象限、第四象限.（见图一） 点的坐标 对于坐标轴内任意一点A，过点A分别向x轴、y轴作垂线，垂足在x轴、y轴上的对应 的数a、b分别叫做点A的横坐标和纵坐标，有序数对A(a，b)叫做点A的坐标，记作 A(a，b). （见图二） 1. 有序数对（a，b）与（b，a）顺序不同，含义也不同. 2. 坐标轴上的点不属于任何象限. 3. 坐标平面内点的坐标是有序实数对，当a≠b时，（a，b）和（b，a）是两个不同点的坐标. 4. 坐标平面内的点可以用有序实数对来表示，反过来每一个有序实数对应着坐标平面内的一个点，即坐标平面内的点和有序实数对是一一对应的关系. 1．若0＜a＜1，则点M（a﹣1，a）在第（ ）象限． A．一 B．二 C．三 D．四 【答案】B 【详解】试题分析：∵0＜a＜1，∴﹣1＜a﹣1＜0，∴点M（a﹣1，a）第二象限． 故选B． 考点：点的坐标． 2．在平面直角坐标系中，点在第二象限，且k是整数，则k的值为 ． 【答案】1 【分析】由象限的横纵坐标的符号特征可列出不等关系，再根据k为整数即可求解． 【详解】解：由题意可知k满足且， 解得：， 又因为k为正数，则， 故答案为：1． 【点睛】本题考查点所在的象限、解一元一次不等式组，解答的关键是熟知点所在的象限符号特征：第一象限，第二象限，第三象限，第四象限． 3．已知点关于轴的对称点在第一象限则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了关于轴、轴对称的点的坐标，以及象各限内点的坐标的特点，先判断出点在第二象限是解题的关键．根据关于轴对称的点，横坐标互为相反数，纵坐标相同，先判断出点在第二象限，再列出不等式组并求解即可． 【详解】解：关于轴的对称点在第一象限， 点在第二象限， ， 解得不等式组的解集是， 故的取值范围为． 故答案为：． 考点二 函数及其图像（高频考点） 一、函数的相关概念： 变量：在一个变化过程中，数值发生变化的量称为变量. 常量：在一个变化过程中，数值始终不变的量称为常量. 函数的定义：一般的，在一个变化过程中，如果有两个变量x和y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就把x称为自变量，把y称为因变量，y是x的函数. 函数的取值范围：使函数有意义的自变量的全体取值，叫做自变量的取值范围. 确定函数取值范围的方法： 1）函数解析式为整式时，字母取值范围为全体实数； 2）函数解析式含有分式时，分式的分母不能为零； 3）函数解析式含有二次根式时，被开方数大于等于零； 4）函数解析式中含有指数为零的式子时，底数不能为零； 5）实际问题中函数取值范围要和实际情况相符合，使之有意义. 函数值概念：如果在自变量取值范围内给定一个值a，函数对应的值为b，那么b叫做当自变量取值为a时的函数值. 函数解析式：用来表示函数关系的数学式子叫做函数解析式或函数关系式. 函数图像上点的坐标与解析式之间的关系： 1）将点的坐标代入到解析式中，如解析式两边成立，则点在解析式上，反之，不在. 2）两个函数图形交点的坐标就是这两个解析式所组成的方程组的解. 二、函数的三种表示法及其优缺点 解析法：两个变量间的函数关系，有时可以用一个含有这两个变量及数字运算符号的等式表示，这种表示法叫做解析法. 列表法：把自变量x的一系列值和函数y的对应值列成一个表来表示函数关系，这种表示法叫做列表法. 图像法：用图像表示函数关系的方法叫做图像法. 优点 缺点 解析法 准确反映整个变化过程中自变量与函数的关系 求对应值是要经过比较复杂的计算，而且实 际问题中有的函数值不一定能用解析式表示 列表法 自变量和与它对应的函数值数据一目了然 所列对应数值个数有限，不容易看出自变量 与函数值的对应关系，有局限性 图像法 形象的把自变量和函数值的关系表示出来 图像中只能得到近似的数量关系 函数有意义时字母的取值范围一般从几个方面考虑： ①当函数解析式是整式时，字母可取全体实数； ②当函数解析式是分式时，考虑分式的分母不能为0； ③当函数解析式是二次根式时，被开方数为非负数． 命题点一 平面直角坐标系中的点坐标 ►题型01 判断点坐标所在象限 1．在平面直角坐标系内，若点在第二象限，那么的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了已知点所在的象限求参数范围，解一元一次不等式组，根据第二象限内的点横坐标为负，纵坐标为正得到，解不等式组即可得到答案． 【详解】解：∵在平面直角坐标系内，若点在第二象限， ∴， 解得， 故选：B． 2．以方程组的解为坐标的点在平面坐标系中的（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【分析】本题考查了二元一次方程组的解法及判断坐标点坐在象限，先求解方程组，再判断点在平面直角坐标系中的位置即可． 【详解】解： 由②代入①得：， 解得：， 把代入②式得：， ∴原方程组的解为：， ∵，， ∴点在第一象限， 故选：A． 3．若实数，是一元二次方程的两个根，且，则点所在象限为（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】根据一元二次方程的解法求出，的值，根据各象限点的特征即可求得． 【详解】∵实数，是一元二次方程的两个根，且， ∴, ∴为， ∴在第二象限， 故选：B． 【点睛】此题考查了一元二次方程的解法以及各象限点的特征，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的解法． 4．已知平面直角坐标系中的点P（a﹣3，2）在第二象限，则a的取值范围是 【答案】a＜3． 【分析】根据平面直角坐标系中第二象限内的点的横坐标小于0，纵坐标大于0，可得a﹣3＜0，求出a的取值范围即可． 【详解】解：∵平面直角坐标系中的点P（a﹣3，2）在第二象限， ∴a的取值范围是：a﹣3＜0， 解得：a＜3． 故答案为a＜3． 【点睛】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（﹣，+）；第三象限（﹣，﹣）；第四象限（+，﹣）． 命题点二 函数及其图像 ►题型01 自变量取值范围 1．在函数中，自变量x的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查二次根式的取值范围，熟练掌握二次根式的定义即可得到答案．根据即可得到答案． 【详解】解：依题意，， 解得． 故答案为：． 2．函数中自变量x的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】根据二次根式中被开方数大于等于0及分母不为0即可求解． 【详解】解：由题意可知：，解得：且， 故答案为：且． 【点睛】本题考查的是函数自变量的取值范围的确定，掌握二次根式的被开方数是非负数、分母不为0是解题的关键． 3．在函数中，自变量的取值范围是 ． 【答案】 【分析】在函数中，分母不为0，则x-3≠0，求出x的取值范围即可. 【详解】在函数中，分母不为0， 则，即， 故答案为：. 【点睛】本题是对分式有意义的考查，熟练掌握分母不为0是解决本题的关键. ►题型02 从函数的图象获取信息 1．下面的三个问题中都有两个变量： ①汽车从A地匀速行驶到B地，汽车的剩余路程y与行驶时间x； ②将水箱中的水匀速放出，直至放完，水箱中的剩余水量y与放水时间x； ③用长度一定的绳子围成一个矩形，矩形的面积y与一边长x，其中，变量y与变量x之间的函数关系可以利用如图所示的图象表示的是（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】A 【分析】由图象可知：当y最大时，x为0，当x最大时，y为零，即y随x的增大而减小，再结合题意即可判定． 【详解】解：①汽车从A地匀速行驶到B地，汽车的剩余路程y随行驶时间x的增大而减小，故①可以利用该图象表示； ②将水箱中的水匀速放出，直至放完，水箱中的剩余水量y随放水时间x的增大而减小，故②可以利用该图象表示； ③设绳子的长为L，一边长x，则另一边长为， 则矩形的面积为：， 故③不可以利用该图象表示； 故可以利用该图象表示的有：①②， 故选：A． 【点睛】本题考查了函数图象与函数的关系，采用数形结合的思想是解决本题的关键． 2．小苏和小林在如图所示的跑道上进行4×50米折返跑．在整个过程中，跑步者距起跑线的距离y（单位：m）与跑步时间t（单位：s）的对应关系如下图所示．下列叙述正确的是（　　） A．两人从起跑线同时出发，同时到达终点 B．小苏跑全程的平均速度大于小林跑全程的平均速度 C．小苏在跑最后100m的过程中，与小林相遇2次 D．小苏前15s跑过的路程小于小林前15s跑过的路程 【答案】D 【分析】通过函数图象可得，两人从起跑线同时出发，小林先到达终点，小苏后到达终点，小苏用的时间多，而路程相同，根据速度＝，根据行程问题的数量关系可以求出甲、乙的速度，所以小苏跑全程的平均速度小于小林跑全程的平均速度，根据图象小苏前15s跑过的路程小于小林前15s跑过的路程，两人相遇时，即实线与虚线相交的地方有两次，即可解答． 【详解】解：由函数图象可知：两人从起跑线同时出发，先后到达终点，小林先到达终点，故A错误； 根据图象两人从起跑线同时出发，小林先到达终点，小苏后到达终点，小苏用的时间多，而路程相同，根据速度＝，所以小苏跑全程的平均速度小于小林跑全程的平均速度，故B错误； 小林在跑最后100m的过程中，两人相遇时，即实线与虚线相交的地方，由图象可知1次，故C错误； 根据图象小苏前15s跑过的路程小于小林前15s跑过的路程，故D正确； 故选：D． 【点睛】本题主要考查了函数图象的读图能力，要能根据函数图象的性质和图象上的数据分析得出函数的类型和所需要的条件，结合实际意义得到正确的结论． 3．园林队在某公园进行绿化，中间休息了一段时间．已知绿化面积（单位：平方米）与工作时间（单位：小时）的函数关系的图象如图所示，则休息后园林队每小时绿化面积为 A．40平方米 B．50平方米 C．80平方米 D．100平方米 【答案】B 【详解】试题分析：根据图象可得，休息后园林队2小时绿化面积为160﹣60=100平方米，每小时绿化面积为100÷2=50（平方米）． 故选B． 考点：函数的图象． 4．在1－7月份，某种水果的每斤进价与出售价的信息如图所示，则出售该种水果每斤利润最大的月份是（    ） A．3月份 B．4月份 C．5月份 D．6月份 【答案】B 【详解】解：各月每斤利润：3月：7.5-5＝2.5（元）， 4月：6-3＝3（元）， 5月：4.5-2＝2.5（元）， 6月：3-1.2＝1.8（元）， 所以，4月利润最大， 故选B． ►题型03 用描点法画函数图象 1．有这样一个问题：探究函数的图象与性质． 小华根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究．下面是小华的探究过程，请补充完整∶ (1)函数的自变量x的取值范围是 ； (2)下表是y与x的几组对应值． x … -3 -2 -1 0 1 3 4 5 6 7 … y … 6 6 m … 求m的值； (3)如下图，在平面直角坐标系xOy中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点．根据描出的点，画出该函数的图象； (4)结合函数的图象，写出该函数的一条性质： ． 【答案】(1) (2) (3)见解析 (4)见解析 【分析】（1）使函数有意义，x-2≠0，即可得x≠2； （2）把x=7代入即可求得m的值； （3）根据所描出的点，用平滑的曲线画出图象即可； （4）观察图象，总结出规律即可，答案不唯一，如：函数图象关于直线x=2对称． 【详解】（1）解：由题意得， ∴， 故答案为：； （2）解：当x=7时，y=， ∴； （3）解：该函数的图象如下图所示： （4）解：由函数图像可得：函数图象关于直线x=2对称． 故答案为：函数图象关于直线x=2对称． 【点睛】本题主要考查了求自变量的取值范围，求函数的函数值，描点法画函数图象等等，正确理解题意是解题的关键． 2．小云有一个圆柱形水杯（记为1号杯），在科技活动中，小云用所学数学知识和人工智能软件设计了一个新水杯，并将其制作出来，新水杯（记为2号杯）示意图如下， 当1号杯和2号杯中都有mL水时，小云分别记录了1号杯的水面高度（单位：cm）和2号杯的水面高度（单位：cm），部分数据如下： /mL 0 40 100 200 300 400 500 /cm 0 2.5 5.0 7.5 10.0 12.5 /cm 0 2.8 4.8 7.2 8.9 10.5 11.8 (1)补全表格（结果保留小数点后一位）； (2)通过分析数据，发现可以用函数刻画与，与之间的关系.在给出的平面直角坐标系中，画出这两个函数的图象； (3)根据以上数据与函数图象，解决下列问题： ①当1号杯和2号杯中都有320mL水时，2号杯的水面高度与1号杯的水面高度的差约为___________cm（结果保留小数点后一位）； ②在①的条件下，将2号杯中的一都分水倒入1号杯中，当两个水杯的水面高度相同时，其水面高度约为___________cm（结果保留小数点后一位）． 【答案】(1)1.0 (2)见详解 (3)1.2，8.5 【分析】本题考查了函数的图像与性质，描点法画函数图像，求一次函数解析式，已知函数值求自变量，正确理解题意，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）设V与的函数关系式为：，由表格数据得：，则可求，代入即可求解； （2）画与之间的关系图象时，描点，连线即可，画与的关系图像时，由于是正比例函数，故只需描出两点即可； （3）①当时，，由图象可知高度差；②在左右两侧找到等距的体积所对应的高度相同，大致为． 【详解】（1）解：由题意得，设V与的函数关系式为：， 由表格数据得：， 解得：， ∴， ∴当时，， ∴； （2）解：如图所示，即为所画图像， （3）解：①当时，，由图象可知高度差， 故答案为：1.2； ②由图象可知当两个水杯的水面高度相同时，估算高度约为， 故答案为：． 3．某小组研究了清洗某种含污物品的节约用水策略．部分内容如下． 每次清洗1个单位质量的该种含污物品，清洗前的清洁度均为0.800要求清洗后的清洁度为0.990 方案一：采用一次清洗的方式． 结果：当用水量为19个单位质量时，清洗后测得的清洁度为0.990． 方案二：采用两次清洗的方式． 记第一次用水量为个单位质量，第二次用水量为个单位质量，总用水量为个单位质量，两次清洗后测得的清洁度为C．记录的部分实验数据如下： 11.0 9.0 9.0 7.0 5.5 4.5 3.5 3.0 3.0 2.0 1.0 0.8 1.0 1.3 1.9 2.6 3.2 4.3 4.0 5.0 7.1 11.5 11.8 10.0 10.3 8.9 8.1 7.7 7.8 7.0 8.0 9.1 12.5 C 0.990 0.989 0.990 0.990 0.990 0.990 0.990 0.988 0.990 0.990 0.990 对以上实验数据进行分析，补充完成以下内容． （Ⅰ）选出C是0.990的所有数据组，并划“√”； （Ⅱ）通过分析（Ⅰ）中选出的数据，发现可以用函数刻画第一次用水量和总用水量之间的关系，在平面直角坐标系中画出此函数的图象；    结果：结合实验数据，利用所画的函数图象可以推断，当第一次用水量约为______个单位质量（精确到个位）时，总用水量最小． 根据以上实验数据和结果，解决下列问题： （1）当采用两次清洗的方式并使总用水量最小时，与采用一次清洗的方式相比、可节水约______个单位质量（结果保留小数点后一位）； （2）当采用两次清洗的方式时，若第一次用水量为6个单位质量，总用水量为7.5个单位质量，则清洗后的清洁度C______0.990（填“>”“=”或“<”）． 【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）见解析，4；（1）11.3；（2）< 【分析】（Ⅰ）直接在表格中标记即可； （Ⅱ）根据表格中数据描点连线即可做出函数图象，再结合函数图象找到最低点，可得第一次用水量约为4个单位质量时，总用水量最小； （1）根据表格可得，用两次清洗的方式并使总用水量最小时，用水量为7.7个单位质量，计算即可； （2）根据表格可得当第一次用水量为6个单位质量，总用水量超过8个单位质量，则清洗后的清洁度能达到0.990，若总用水量为7.5个单位质量，则清洁度达不到0.990． 【详解】（Ⅰ）表格如下： 11.0 9.0 9.0 7.0 5.5 4.5 3.5 3.0 3.0 2.0 1.0 0.8 1.0 1.3 1.9 2.6 3.2 4.3 4.0 5.0 7.1 11.5 11.8 10.0 10.3 8.9 8.1 7.7 7.8 7.0 8.0 9.1 12.5 C 0.990 √ 0.989 0.990 √ 0.990 √ 0.990 √ 0.990 √ 0.990 √ 0.988 0.990 √ 0.990 √ 0.990 √ （Ⅱ）函数图象如下：    由图象可得，当第一次用水量约为4个单位质量（精确到个位）时，总用水量最小； （1）当采用两次清洗的方式并使总用水量最小时，用水量为7.7个单位质量， 19-7.7=11.3， 即可节水约11.3个单位质量； （2）由图可得，当第一次用水量为6个单位质量，总用水量超过8个单位质量，则清洗后的清洁度能达到0.990， 第一次用水量为6个单位质量，总用水量为7.5个单位质量，则清洗后的清洁度， 故答案为：<． 【点睛】本题考查了函数图象，根据数据描绘函数图象、从函数图象获取信息是解题的关键． 4．如图，P是与弦AB所围成的图形的外部的一定点，C是上一动点，连接PC交弦AB于点D． 小腾根据学习函数的经验，对线段PC，PD，AD的长度之间的关系进行了探究． 下面是小腾的探究过程，请补充完整： （1）对于点C在上的不同位置，画图、测量，得到了线段PC，PD，AD的长度 的几组值，如下表： 在PC，PD，AD的长度这三个量中，确定______的长度是自变量，______的长度和______的长度都是这个自变量的函数； （2）在同一平面直角坐标系xOy中，画出（1）中所确定的函数的图象； （3）结合函数图象，解决问题：当PC=2PD时，AD的长度约为______cm． 【答案】（1）AD， PC，PD；（2）如图所示，见解析；（3）2.29或3.98 【分析】（1）根据表格中的数据分析即可得出； （2）根据表格数据在坐标系中描点、连线即可， （3）根据图形观察结合表中数据即可得出 【详解】（1）AD， PC，PD； （2）如图所示， （3）2.29或3.98 【点睛】本题考查了函数和函数的图象，根据表格画出函数图象，得出相应的信息是解题的关键 ►题型04 动点问题的函数图象 1．已知点为某封闭图形边界上一定点，动点从点出发，沿其边界顺时针匀速运动一周．设点运动的时间为，线段的长为．表示与的函数关系的图象大致如右图所示，则该封闭图形可能是(      ) A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：分析题中所给函数图像， 段，随的增大而增大，长度与点的运动时间成正比． 段，逐渐减小，到达最小值时又逐渐增大，排除、选项， 段，逐渐减小直至为，排除选项． 故选． 【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，函数图象是典型的数形结合，图象应用信息广泛，通过看图获取信息，不仅可以解决生活中的实际问题，还可以提高分析问题、解决问题的能力．用图象解决问题时，要理清图象的含义即会识图． 2．如图，点P是以O为圆心，AB为直径的半圆上的动点，AB=2，设弦AP的长为x，△APO的面积为y，则下列图象中，能表示y与x的函数关系的图象大致是 A．B．C． D． 【答案】A 【详解】方法1（特殊位置法）： 当时，为等边三角形，此时，AP边上的高可求得为，则，故选A． 方法2（求函数解析式）： 设AP的中点为H，作，如图所示．若，则利用勾股定理可求，此时．代入特殊值，如令，则，故选A． 3．一个寻宝游戏的寻宝通道如图①所示，通道由在同一平面内的AB，BC，CA，OA， OB，OC组成．为记录寻宝者的行进路线，在BC的中点M处放置了一台定位仪器，设寻宝者行进的时间为x，寻宝者与定位仪器之间的距离为y，若寻宝者匀速行进，且表示y与x的函数关系的图像大致如图②所示，则寻宝者的行进路线可能为：    A．A→O→B B．B→A→C C．B→O→C D．C→B→O 【答案】C 【详解】此题考查动点函数问题，各项分别分析如下： A路线，A到O是减小，是直线型的，故错， B路线，在AB上是，开始减小，然后增大，但增大的时间比减小的时间要长，故不对； D路线中，应会出现距离为0的点，但图中没有故不对， 故选C. 考点：动点函数图象 4．如图，P是弧AB所对弦AB上一动点，过点P作PM⊥AB交AB于点M，连接MB，过点P作PN⊥MB于点N.已知AB =6cm，设A 、P两点间的距离为xcm，P、N两点间的距离为ycm.（当点P与点A或点B重合时，y的值为0） 小东根据学习函数的经验，对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究． 下面是小东的探究过程，请补充完整： （1）通过取点、画图、测量，得到了x与y的几组值，如下表： x/cm 0 1 2 3 4 5 6 y/cm 0 2.0 2.3 2.1 0.9 0 （说明：补全表格时相关数值保留一位小数） （2）建立平面直角坐标系，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象. （3）结合画出的函数图象，解决问题：当△PAN为等腰三角形时，AP的长度约为____________cm. 【答案】（1）1.6，（2）作图见解析，（3）2.2（答案不唯一） 【详解】试题分析：(1)通过画图画出大致图象，估算当AP=4时，PN≈1.6； （2）根据题意画出图象即可； （3）作y=x与（2）中的函数图象交点即可得. 试题解析：（1）由题意可大致画出图象，据此估计估算当AP=4时，PN≈1.6， 故答案为1.6； (2)如图所示： （3）.作y=x与函数图象交点即为所求.2.2(答案不唯一) 5．如图，是与弦所围成的图形的内部的一定点，是弦上一动点，连接并延长交于点，连接．已知，设，两点间的距离为 ，，两点间的距离为，，两点间的距离为．      小腾根据学习函数的经验，分别对函数，随自变量的变化而变化的规律进行了探究． 下面是小腾的探究过程，请补充完整： （1）按照下表中自变量的值进行取点、画图、测量，分别得到了，与的几组对应值； 0 1 2 3 4 5 6 （2）在同一平面直角坐标系中，描出补全后的表中各组数值所对应的点（，），（，），并画出函数，的图象；    （3）结合函数图象，解决问题：当为等腰三角形时，的长度约为____． 【答案】（1）3.00；（2）作图见解析；（3）或或． 【分析】（1）当时，即为圆的半径. （2）根据（1）中的图表，描点，连线即可. （3）根据等腰三角形的性质，结合函数图象进行回答即可. 【详解】解：（1） （2）如下图所示：    （3）或或． 如下图所示，函数图象的交点的横坐标即为所求．    【点睛】考查动点产生的函数图象问题，函数探究,圆的性质，等腰三角形的性质等，熟练掌握函数图象以及性质是解题的关键. 基础巩固 1．在平面直角坐标系中，点在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限；第二象限；第三象限；第四象限． 根据各象限内点的坐标特征解答即可． 【详解】解：点的横坐标大于0，纵坐标小于0， 故点所在的象限是第四象限． 故选：D． 2．若是第二象限内的点，且点到轴的距离是，到轴的距离是，则点的坐标是(   ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查直角坐标系的坐标特点，根据直角坐标系内的坐标特点即可求解． 【详解】点到轴的距离是， 纵坐标为， 点到轴的距离是， 横坐标为， 又是第二象限内的点， 故； 故选C． 3．中国象棋中的马沿“日”形对角线走，俗称马走日．三个棋子位置如图，若建立平面直角坐标系，使帅、相所在点的坐标分别为，，则马直接走到第一象限时所在点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了实际问题中用坐标表示位置，先根据帅、相所在点的坐标建立坐标系，再根据马的走棋规则求解即可． 【详解】解：根据题意可建立如下坐标系，根据马的走棋规则可知，马接走到第一象限时所在点的坐标是， 故选：C． 4．如图，购买一种苹果所付款金额y（元）与购买量x（千克），则一次购买3千克这种苹果比分三次每次购买1千克这种苹果可节省（　　） A．4元 B．3元 C．2元 D．1元 【答案】C 【分析】根据函数图象中的数据，可以得到和时的苹果单价，然后即可算出一次购买3千克这种苹果的花费和分三次每次购买1千克这种苹果的花费，再作差即可解答本题．本题考查从函数图象获取信息，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 【详解】解：由图象可得， 当时，每千克苹果的单价是（元）， 当时，每千克苹果的单价是（元）， 故一次购买3千克这种苹果需要花费：（元）， 分三次每次购买1千克这种苹果需要花费：（元）， （元）， 即一次购买3千克这种苹果比分三次每次购买1千克这种苹果可节省2元， 故选：C． 5．下列曲线中，能表示y是x的函数的是（    ） A．B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查函数的定义．熟练掌握函数的定义是解题的关键． 根据函数的定义：一个变化的过程中，有两个变量，因变量随着自变量的变化而变化，对于每一个确定的自变量，都有唯一确定的因变量与之对应，进行判断即可． 【详解】解：A、的值与的值一一对应，是函数，符合题意； B、部分的值对应多个的值，不是函数，不符合题意； C、部分的值对应多个的值，不是函数，不符合题意； D、部分的值对应多个的值，不是函数，不符合题意． 故选A． 6．某种型号的纸杯如图所示，若将个这种型号的杯子按图中的方式叠放在一起，叠在一起的杯子的总高度为．则与满足的函数关系可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了用字母表示数或数量关系，理解题目中的数量关系，掌握代数式的表示方法是解题的关键． 根据一个杯子的高度和杯沿的高度，可得，由此即可求解． 【详解】解：根据题意，1个杯子的高，1个杯子沿高为， ∴个杯子叠在一起的总高度为， 故选：D ． 7．如图所示，两个体积不等的圆柱形水杯，大小水杯口均朝上，现往大水杯中均匀注水，注水过程中小水杯始终在原来位置，设水面上升高度为h，注水时间为t，下列图象能正确反应注水高度随时间变化关系的是（    ） A．B．C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查函数的定义以及函数图象的识别．探究大水杯中水面上升高度h与注水时间t之间的函数关系，从而确定图象． 【详解】解：开始往大水杯中均匀注水，h的值由0逐渐增大，当水漫过小水杯向小水杯注水，此时h的值保持不变，小烧杯注满后，水再次进入大水杯中直至到大水杯顶部时，h的再次增大，但变化比开始时变慢． 观察四个图象，选项C符合题意． 故选：C． 8．2017年，部分国家及经济体在全球的创新综合排名、创新产出排名和创新效率排名情况如图所示，中国创新综合排名全球第22，创新效率排名全球第 ． 【答案】3 【分析】左边图中，根据中国创新综合排名全球第22，找出对应创新产出排名，再从右图进行分析即可. 【详解】详解：从左图可知，创新综合排名全球第22，对应创新产出排名全球第11；从右图可知，创新产出排名全球第11，对应创新效率排名全球第3． 故答案为3 【点睛】本题考查函数图象获取信息，读懂图象是解题的关键 9．如图，平面直角坐标系中，已知点坐标，点坐标，线段上的一点到两坐标轴距离相等．则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了坐标与图形性质，能根据题意得出点的横坐标与纵坐标相等是解题的关键．先由题意得点的横坐标与纵坐标相等，再由点P在线段上可得点的纵坐标为8，据此可解决问题． 【详解】解：线段上的一点到两坐标轴距离相等． 点的横坐标与纵坐标相等， ∵点A坐标，点B坐标，且点P在线段上， ∴点的纵坐标为8， ∴点P的坐标为． 故答案为：． 10．物理课上老师带领学生探究气体压强与气体体积的关系，他们在气缸内充入了一定量的气体，当保证温度不变时，记录气缸内的气体压强与气体体积（），数据如下： 气缸内的气体压强 240 200 160 120 96 80 气缸内气体体积（m3） 1 则用式子表示与之间的关系是 ． 【答案】 【分析】本题考查函数关系式，根据变量的变化规律写出变量之间的关系式是解题的关键 ，据表格中数据的变化规律解答即可． 【详解】解：∵ ∴与之间的关系是． 故答案为∶． 11．一辆车的电池有度电，该车行驶时每小时耗电度，则电池的剩余电量（度）与该车行驶时间（小时）之间的函数关系式为 ，自变量的取值范围 ． 【答案】 / 【分析】本题考查了列函数关系式，根据电池的剩余电量等于电池总电量减去消耗电量，即可列出函数关系式． 【详解】解：由题可知： 该车行驶时每1小时耗电20度， 电池的剩余电量y（度）与该车行驶时间x（小时）之间的函数关系式为： ， ∵ ∴ 解得： ∴ 故答案为：，． 12．数学兴趣小组的同学想要自制弹簧测力计，为此他们需要了解弹簧在弹性限度内的弹簧长度与拉力的关系，再根据实验数据制作弹簧测力计．经过实验测量，他们得到了6组拉力与弹簧长度之间的数据，如表所示： 弹簧受到的拉力(单位：) 0 5 10 15 20 25 弹簧的长度 (单位：) 6 8 10 12 14 16 (1)在平面直角坐标系中，描出以上述试验所得数据为坐标的各点并顺次连线； (2)结合表中数据，求出弹簧长度关于弹簧受到的拉力的函数表达式； (3)若弹簧的长度为，求此时弹簧受到的拉力的值． 【答案】(1)见解析 (2) (3)若弹簧的长度为，此时弹簧受到的拉力的值为 【分析】本题考查了画函数图象、一次函数的应用，正确求出一次函数解析式是解此题的关键． （1）先描点、再连线，即可得出函数图象； （2）利用待定系数法计算即可得出答案； （3）求出当时的的值即可． 【详解】（1）解：描点、连线如图所示： （2）解：设弹簧长度关于弹簧受到的拉力的函数表达式为， 将，代入函数解析式得：， 解得：， ∴弹簧长度关于弹簧受到的拉力的函数表达式为； （3）解：由题意得：当时，， 解得：， ∴若弹簧的长度为，此时弹簧受到的拉力的值为． 能力提升 1．线段，动点P以每秒1个单位长度的速度从点B出发，沿线段运动至点A，以线段为边作正方形，线段长为半径作圆，设点P的运动时间为t，正方形周长为y，的面积为S，则S与t，y与t满足的函数关系分别是（   ） A．一次函数关系，二次函数关系 B．正比例函数关系，二次函数关系 C．二次函数关系，一次函数关系 D．二次函数关系，正比例函数关系 【答案】C 【分析】本题主要考查了用关系式表示变量间的关系，二次函数的定义，一次函数的定义等知识点，根据题意可得出S与t，y与t的函数关系式，然后根据二次函数的定义和一次函数的定义即可得出答案． 【详解】解：根据题意可得：， ∴， ∴的面积，属于二次函数关系， 正方形周长，属于一次函数关系， 故选：C． 2．如图1，在平面直角坐标系中的四个点，恒过定点的直线，与四边形交于点M，N（点M和N可以重合）． 根据学习函数的经验，线段的长度l可以看做k的函数，绘制函数l的图象如图2．下列说法正确的是（    ） A．l是k的一次函数 B．函数l有最大值为3 C．当时，函数l随k的增大而增大 D．函数l的图象与横轴的一个交点是 【答案】D 【分析】本题考查了函数图像读取信息，一次函数的图像与性质，一次函数与坐标轴的交点，根据函数图像可以之间判断函数的增减性，是不是一次函数，最大值是否存在，然后再结合图1，判断函数的最值为直线时，当时，即时，函数与x轴有两个交点，可以求出即可作出判断． 【详解】解：A、由图2可知，l不是k的一次函数，不符合题意； B、由图2可知，当时，l有最大值， 当时，即直线， l有最大值为2，故本选项错误，不符合题意； C、由图2可知，当时，函数l随k的增大而减小，故本选项错误，不符合题意； D、当时，即时， 过，两点或过，两点， 当，过两点时，，函数l的图象与横轴的一个交点是，正确，故选项D符合题意， 故选：D． 3．把多个用电器连接在同一个插线板上，同时使用一段时间后，插线板的电源线会明显发热，存在安全隐患．数学兴趣小组对这种现象进行研究，得到时长一定时，插线板电源线中的电流I与使用电器的总功率P的函数图象（如图1），插线板电源线产生的热量Q与I的函数图象（如图2）．下列结论中错误的是（    ） A．当时， B．Q随I的增大而增大 C．I每增加1A，Q的增加量相同 D．P越大，插线板电源线产生的热量Q越多 【答案】C 【分析】本题考查了函数的图象，准确从图中获取信息，并逐项判定即可． 【详解】解∶根据图1知：当时，，故选项A正确，但不符合题意； 根据图2知：Q随I的增大而增大，故选项B正确，但不符合题意； 根据图2知：Q随I的增大而增大，但前小半段增加的幅度小，后面增加的幅度大，故选项C错误，符合题意； 根据图1知：I随P的增大而增大，又Q随I的增大而增大，则P越大，插线板电源线产生的热量Q越多，故选项D正确，但不符合题意； 故选：C． 4．如图，在平面直角坐标系中，，，为等腰直角三角形，且，则点C的坐标为 ． 【答案】或 【分析】本题考查等腰三角形的性质，三角形全等的判定及性质． 根据点C的不同位置分两种情况讨论，根据“一线三直角”模型构造三角形全等，利用全等三角形的性质即可解答． 【详解】解：分两种情况讨论： ①如图， 过点B作x轴的平行线，过点A，C分别向平行线作垂线，垂足分别为点D，E， ∴ ∵，， ∴，， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴； ②如图， 过点B作y轴的平行线，过点A，C分别向平行线作垂线，垂足分别为点D，E， ∴ ∵，， ∴，， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴； 综上所述，点C的坐标为或． 故答案为：或 5．一般来说，市面上某种水果出售量较多时，水果的价格就会降低．这时，将水果进行保鲜存储，等到价格上升之后再出售，可获得更高的出售收入．但是保鲜存储是有成本的，而且成本会随着时间的延长而增大，因此出售水果获得的收益要从出售价格中扣除保鲜存储成本．某水果公司的调研小组收集到去年一段时间内某种水果当日每千克的出售价格和保鲜存储成本的部分数据如下：设水果保鲜存储的时间为t天（），当日每千克水果出售价格为元，每千克水果保鲜存储成本为元． t 1 2 5 8 10 12 14 16 18 20 (1)根据表格中的数据，第8天每千克水果的收益为______元； (2)通过分析表格中的数据，发现，都可近似看作t的函数，在平面直角坐标系中，描出表中各组数值所对应的点，并用平滑曲线连接这些点； (3)结合函数图象，将水果保鲜存储第______天至第______天（结果取整数）时，出售每千克水果所获得的收益超过4元． 【答案】(1)； (2)见解析 (3)3，14 【分析】本题考查从函数图像获取信息； （1）由表格可得，第8天每千克水果的收益为 （2）在平面直角坐标系中描点，再用平滑曲线连接这些点即可； （3）根据每千克水果的收益为，由函数图象可得答案． 【详解】（1）解：由表格可得：第8天每千克水果出售价格为元，每千克水果保鲜存储成本为元 ∴第8天每千克水果的收益为 （2）解：如图， （3）解：每千克水果的收益为，由函数图象可得，将水果保鲜存储第3天至第14天时，出售每千克水果所获得的收益超过4元 6．定义：在平面直角坐标系中，当点在图形上，且点的横坐标和纵坐标相等时，则称点为图形的“和谐点”． (1)如图，矩形的顶点坐标分别是，，，，在点，，中，是矩形“和谐点”的是 ； (2)点是反比例函数图象上的一个“和谐点”，则该函数图象上的另一个“和谐点”的坐标是 ，直线的表达式是 ； (3)已知点，是抛物线上的“和谐点”，直接写出点，的坐标 ， ． 【答案】(1) (2)， (3)，或， 【分析】本题是二次函数的综合题，考查了一次函数，反比例函数，二次函数，理解坐标与图形性质，熟练掌握两点间的距离公式，理解新定义是解题的关键． （1）根据“和谐点”的定义判断这几个点是否在矩形的边上； （2）把代入求出解析式，再求于的交点即为； （3）根据“和谐点”的定义求出点，的坐标即可． 【详解】（1）解：矩形的顶点坐标分别是，，，， 当“和谐点”在或上时，“和谐点” 应满足且或， 当“和谐点”在或上时，“和谐点”应满足且或， 点是矩形的“和谐点”，点、不是矩形的“和谐点”， 故答案为： ； （2）解：点是反比例函数图象上的一个“和谐点”， 把代入得， ∴， “和谐点”的横坐标和纵坐标相等， “和谐点”都在的图象上，联立得：， 解得或， ， 直线的解析式为， 故答案为：，； （3）解：点，是抛物线上的“和谐点”， ， 即， 解得，， 当时，，当时，， ∴点，的坐标为，或，， 故答案为：，或，． 7．小平在学习过程中遇到一个函数． 下面是小平对其研究的过程，请补充完整： (1)函数的自变量的取值范围是________； (2)上表是与的几组对应值．其中的值为________； (3)①根据表格中的数据，在平面直角坐标系中，画出函数图象； ②写出此函数图象的增减性：________． ③过点作平行于轴的直线，结合图象解决问题：若直线与函数的图象有三个交点，则的取值范围是________． 【答案】(1) (2)4 (3)①见解析；②见解析；③ 【分析】本题主要考查函数图象与性质： （1）由分母不能为零，即可得出自变量的取值范围； （2）把代入则可求出的值； （3）①根据描点，连线画出函数图象； ②根据函数图象结合自变量的取值范围分析，即可求解； ③观察函数图象可知，在直线时即，直线与函数有2个交点，在时，有3个交点，故可得结论 【详解】（1）解：∵， ∴，即， 故答案为：； （2）解：当时，， 故答案为：4； （3）（3）①描点，连线得， ②当或时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小； ③观察函数图象可知，在直线时即，直线与函数有2个交点，在时，有3个交点， 故答案为：． 8．光合作用是指在光的照射下，植物将二氧化碳和水转化为有机物，并产生氧气的过程，呼吸作用指的是植物将有机物和氧气分解成二氧化碳和水以维持植物生命所必要的过程，光合作用产氧速率与呼吸作用耗氧速率差距越大越利于有机物的积累，植物生长越快，水果的品质越好．如果呼吸作用耗氧速率大于光合作用产氧速率，呼吸作用成为植物的主要活动，植物生长缓慢．下表是某农科院为了更好的指导果农种植草莓，在0℃至50℃气温，水资源及光照充分的条件下，对温度对光合作用和呼吸作用的影响进行研究的相关数据： 温度（℃） 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 光合作用产氧速率（） 0.02 0.18 0.30 0.40 0.58 0.82 1.42 0.90 0.40 0.02 呼吸作用耗氧速率（） 0.03 0.10 0.15 0.20 0.28 0.37 0.42 0.60 0.82 0.60 通过观察表格数据可以看出，若设温度为，光合作用产氧速率和呼吸作用耗氧速率都是这个自变量的函数． (1)建立平面直角坐标系，描出表中各组数值所对应的点，图中已经画出了呼吸作用耗氧速率的函数图象．请补全其余点，并画出光合作用产氧速率的函数图象； (2)结合函数图象，回答下列问题：（所有数据均精确到整数部分） ①最适合草莓生长的温度约为________℃； ②当的取值范围为________时，草莓生长缓慢． 【答案】(1)见解析 (2)①，② 【分析】本题考查了用描点法画函数图象，以及利用函数图象获取信息的能力. （1）描出表中各组数值所对应的点，顺次连成平滑的曲线即可得函数图象， （2）观察图象可知，①当温度在约时，草莓合作用产氧速率与呼吸作用耗氧速率差距最大，适合草莓生长， ②当温度超过时，呼吸作用耗氧速率大于光合作用产氧速率，草莓生长缓慢． 【详解】（1）解：如图： （2）①当温度在约时，草莓合作用产氧速率与呼吸作用耗氧速率差距最大，适合草莓生长， ②当温度超过时，即的取值范围为时，呼吸作用耗氧速率大于光合作用产氧速率，草莓生长缓慢． 故答案为：①，②. $$第三章 函数及其图像 第09讲 平面直角坐标系（2~7分） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 01考情透视·目标导航 02知识导图·思维引航 03考点突破·考法探究 考点一 平面直角坐标系中点的坐标（高频考点） 考点二 函数及其图像（高频考点） 04题型精研·考向洞悉 命题点一 平面直角坐标系中点的坐标 ►题型01 根据点坐标判断所在象限 命题点二 函数及其图像 ►题型01 自变量取值范围 ►题型02 从函数的图象获取信息 ►题型03 用描点法画函数图象 ►题型04 动点问题的函数图象 05分层训练·巩固提升 基础巩固 能力提升 考点要求 新课标要求 考查频次 命题预测 平面直角坐标系中点的坐标 理解平面直角坐标系的有关概念，能画出平面直角坐标系. 10年3考 该专题内容是初中代数最重要的部分，是代数的基础，非常重要，年年都会考，分值为7分左右.预计2025年北京中考还将出现，在解答题中出现的可能性较大． 函数及其图像 能结合图象对简单实际问题中的函数关系进行分析； 能确定简单实际问题中函数自变量的取值范围，会求函数值; 能用适当的函数表示法刻画简单实际问题中变量之间的关系理解函数值的意义; 结合对函数关系的分析，能对变量的变化情况进行初步讨论 10年10考 考点一 平面直角坐标系中的点坐标（高频考点） 有序数对概念：有顺序的两个数a与b组成的数对，叫做有序数对，记作（a ，b）. 相关概念 具体内容 平面直角坐标系 定义 在平面内画两条互相垂直并且原点重合的数轴，这样就建立了平面直角坐标系. 两轴 水平的数轴叫做x轴或横轴，通常取 向右 方向为正方向； 竖直的数轴叫做y轴或纵轴，通常取 向上 方向为正方向.（见图一） 原点 两坐标轴交点为平面直角坐标系原点. 坐标平面 坐标系所在的平面叫做坐标平面. 象限 x轴和y轴把平面直角坐标系分成四部分，每个部分称为象限. 按逆时针顺序依次叫第一象限、第二象限、第三象限、第四象限.（见图一） 点的坐标 对于坐标轴内任意一点A，过点A分别向x轴、y轴作垂线，垂足在x轴、y轴上的对应 的数a、b分别叫做点A的横坐标和纵坐标，有序数对A(a，b)叫做点A的坐标，记作 A(a，b). （见图二） 1. 有序数对（a，b）与（b，a）顺序不同，含义也不同. 2. 坐标轴上的点不属于任何象限. 3. 坐标平面内点的坐标是有序实数对，当a≠b时，（a，b）和（b，a）是两个不同点的坐标. 4. 坐标平面内的点可以用有序实数对来表示，反过来每一个有序实数对应着坐标平面内的一个点，即坐标平面内的点和有序实数对是一一对应的关系. 1．若0＜a＜1，则点M（a﹣1，a）在第（ ）象限． A．一 B．二 C．三 D．四 2．在平面直角坐标系中，点在第二象限，且k是整数，则k的值为 ． 3．已知点关于轴的对称点在第一象限则的取值范围是 ． 考点二 函数及其图像（高频考点） 一、函数的相关概念： 变量：在一个变化过程中，数值发生变化的量称为变量. 常量：在一个变化过程中，数值始终不变的量称为常量. 函数的定义：一般的，在一个变化过程中，如果有两个变量x和y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就把x称为自变量，把y称为因变量，y是x的函数. 函数的取值范围：使函数有意义的自变量的全体取值，叫做自变量的取值范围. 确定函数取值范围的方法： 1）函数解析式为整式时，字母取值范围为全体实数； 2）函数解析式含有分式时，分式的分母不能为零； 3）函数解析式含有二次根式时，被开方数大于等于零； 4）函数解析式中含有指数为零的式子时，底数不能为零； 5）实际问题中函数取值范围要和实际情况相符合，使之有意义. 函数值概念：如果在自变量取值范围内给定一个值a，函数对应的值为b，那么b叫做当自变量取值为a时的函数值. 函数解析式：用来表示函数关系的数学式子叫做函数解析式或函数关系式. 函数图像上点的坐标与解析式之间的关系： 1）将点的坐标代入到解析式中，如解析式两边成立，则点在解析式上，反之，不在. 2）两个函数图形交点的坐标就是这两个解析式所组成的方程组的解. 二、函数的三种表示法及其优缺点 解析法：两个变量间的函数关系，有时可以用一个含有这两个变量及数字运算符号的等式表示，这种表示法叫做解析法. 列表法：把自变量x的一系列值和函数y的对应值列成一个表来表示函数关系，这种表示法叫做列表法. 图像法：用图像表示函数关系的方法叫做图像法. 优点 缺点 解析法 准确反映整个变化过程中自变量与函数的关系 求对应值是要经过比较复杂的计算，而且实 际问题中有的函数值不一定能用解析式表示 列表法 自变量和与它对应的函数值数据一目了然 所列对应数值个数有限，不容易看出自变量 与函数值的对应关系，有局限性 图像法 形象的把自变量和函数值的关系表示出来 图像中只能得到近似的数量关系 函数有意义时字母的取值范围一般从几个方面考虑： ①当函数解析式是整式时，字母可取全体实数； ②当函数解析式是分式时，考虑分式的分母不能为0； ③当函数解析式是二次根式时，被开方数为非负数． 命题点一 平面直角坐标系中的点坐标 ►题型01 判断点坐标所在象限 1．在平面直角坐标系内，若点在第二象限，那么的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．以方程组的解为坐标的点在平面坐标系中的（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．若实数，是一元二次方程的两个根，且，则点所在象限为（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 4．已知平面直角坐标系中的点P（a﹣3，2）在第二象限，则a的取值范围是 命题点二 函数及其图像 ►题型01 自变量取值范围 1．在函数中，自变量x的取值范围是 ． 2．函数中自变量x的取值范围是 ． 3．在函数中，自变量的取值范围是 ． ►题型02 从函数的图象获取信息 1．下面的三个问题中都有两个变量： ①汽车从A地匀速行驶到B地，汽车的剩余路程y与行驶时间x； ②将水箱中的水匀速放出，直至放完，水箱中的剩余水量y与放水时间x； ③用长度一定的绳子围成一个矩形，矩形的面积y与一边长x，其中，变量y与变量x之间的函数关系可以利用如图所示的图象表示的是（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 2．小苏和小林在如图所示的跑道上进行4×50米折返跑．在整个过程中，跑步者距起跑线的距离y（单位：m）与跑步时间t（单位：s）的对应关系如下图所示．下列叙述正确的是（　　） A．两人从起跑线同时出发，同时到达终点 B．小苏跑全程的平均速度大于小林跑全程的平均速度 C．小苏在跑最后100m的过程中，与小林相遇2次 D．小苏前15s跑过的路程小于小林前15s跑过的路程 3．园林队在某公园进行绿化，中间休息了一段时间．已知绿化面积（单位：平方米）与工作时间（单位：小时）的函数关系的图象如图所示，则休息后园林队每小时绿化面积为 A．40平方米 B．50平方米 C．80平方米 D．100平方米 4．在1－7月份，某种水果的每斤进价与出售价的信息如图所示，则出售该种水果每斤利润最大的月份是（    ） A．3月份 B．4月份 C．5月份 D．6月份 ►题型03 用描点法画函数图象 1．有这样一个问题：探究函数的图象与性质． 小华根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究．下面是小华的探究过程，请补充完整∶ (1)函数的自变量x的取值范围是 ； (2)下表是y与x的几组对应值． x … -3 -2 -1 0 1 3 4 5 6 7 … y … 6 6 m … 求m的值； (3)如下图，在平面直角坐标系xOy中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点．根据描出的点，画出该函数的图象； (4)结合函数的图象，写出该函数的一条性质： ． 2．小云有一个圆柱形水杯（记为1号杯），在科技活动中，小云用所学数学知识和人工智能软件设计了一个新水杯，并将其制作出来，新水杯（记为2号杯）示意图如下， 当1号杯和2号杯中都有mL水时，小云分别记录了1号杯的水面高度（单位：cm）和2号杯的水面高度（单位：cm），部分数据如下： /mL 0 40 100 200 300 400 500 /cm 0 2.5 5.0 7.5 10.0 12.5 /cm 0 2.8 4.8 7.2 8.9 10.5 11.8 (1)补全表格（结果保留小数点后一位）； (2)通过分析数据，发现可以用函数刻画与，与之间的关系.在给出的平面直角坐标系中，画出这两个函数的图象； (3)根据以上数据与函数图象，解决下列问题： ①当1号杯和2号杯中都有320mL水时，2号杯的水面高度与1号杯的水面高度的差约为___________cm（结果保留小数点后一位）； ②在①的条件下，将2号杯中的一都分水倒入1号杯中，当两个水杯的水面高度相同时，其水面高度约为___________cm（结果保留小数点后一位）． 3．某小组研究了清洗某种含污物品的节约用水策略．部分内容如下． 每次清洗1个单位质量的该种含污物品，清洗前的清洁度均为0.800要求清洗后的清洁度为0.990 方案一：采用一次清洗的方式． 结果：当用水量为19个单位质量时，清洗后测得的清洁度为0.990． 方案二：采用两次清洗的方式． 记第一次用水量为个单位质量，第二次用水量为个单位质量，总用水量为个单位质量，两次清洗后测得的清洁度为C．记录的部分实验数据如下： 11.0 9.0 9.0 7.0 5.5 4.5 3.5 3.0 3.0 2.0 1.0 0.8 1.0 1.3 1.9 2.6 3.2 4.3 4.0 5.0 7.1 11.5 11.8 10.0 10.3 8.9 8.1 7.7 7.8 7.0 8.0 9.1 12.5 C 0.990 0.989 0.990 0.990 0.990 0.990 0.990 0.988 0.990 0.990 0.990 对以上实验数据进行分析，补充完成以下内容． （Ⅰ）选出C是0.990的所有数据组，并划“√”； （Ⅱ）通过分析（Ⅰ）中选出的数据，发现可以用函数刻画第一次用水量和总用水量之间的关系，在平面直角坐标系中画出此函数的图象；    结果：结合实验数据，利用所画的函数图象可以推断，当第一次用水量约为______个单位质量（精确到个位）时，总用水量最小． 根据以上实验数据和结果，解决下列问题： （1）当采用两次清洗的方式并使总用水量最小时，与采用一次清洗的方式相比、可节水约______个单位质量（结果保留小数点后一位）； （2）当采用两次清洗的方式时，若第一次用水量为6个单位质量，总用水量为7.5个单位质量，则清洗后的清洁度C______0.990（填“>”“=”或“<”）． 4．如图，P是与弦AB所围成的图形的外部的一定点，C是上一动点，连接PC交弦AB于点D． 小腾根据学习函数的经验，对线段PC，PD，AD的长度之间的关系进行了探究． 下面是小腾的探究过程，请补充完整： （1）对于点C在上的不同位置，画图、测量，得到了线段PC，PD，AD的长度 的几组值，如下表： 在PC，PD，AD的长度这三个量中，确定______的长度是自变量，______的长度和______的长度都是这个自变量的函数； （2）在同一平面直角坐标系xOy中，画出（1）中所确定的函数的图象； （3）结合函数图象，解决问题：当PC=2PD时，AD的长度约为______cm． ►题型04 动点问题的函数图象 1．已知点为某封闭图形边界上一定点，动点从点出发，沿其边界顺时针匀速运动一周．设点运动的时间为，线段的长为．表示与的函数关系的图象大致如右图所示，则该封闭图形可能是(      ) A．B． C． D． 2．如图，点P是以O为圆心，AB为直径的半圆上的动点，AB=2，设弦AP的长为x，△APO的面积为y，则下列图象中，能表示y与x的函数关系的图象大致是 A．B．C． D． 3．一个寻宝游戏的寻宝通道如图①所示，通道由在同一平面内的AB，BC，CA，OA， OB，OC组成．为记录寻宝者的行进路线，在BC的中点M处放置了一台定位仪器，设寻宝者行进的时间为x，寻宝者与定位仪器之间的距离为y，若寻宝者匀速行进，且表示y与x的函数关系的图像大致如图②所示，则寻宝者的行进路线可能为：    A．A→O→B B．B→A→C C．B→O→C D．C→B→O 4．如图，P是弧AB所对弦AB上一动点，过点P作PM⊥AB交AB于点M，连接MB，过点P作PN⊥MB于点N.已知AB =6cm，设A 、P两点间的距离为xcm，P、N两点间的距离为ycm.（当点P与点A或点B重合时，y的值为0） 小东根据学习函数的经验，对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究． 下面是小东的探究过程，请补充完整： （1）通过取点、画图、测量，得到了x与y的几组值，如下表： x/cm 0 1 2 3 4 5 6 y/cm 0 2.0 2.3 2.1 0.9 0 （说明：补全表格时相关数值保留一位小数） （2）建立平面直角坐标系，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象. （3）结合画出的函数图象，解决问题：当△PAN为等腰三角形时，AP的长度约为____________cm. 5．如图，是与弦所围成的图形的内部的一定点，是弦上一动点，连接并延长交于点，连接．已知，设，两点间的距离为 ，，两点间的距离为，，两点间的距离为．      小腾根据学习函数的经验，分别对函数，随自变量的变化而变化的规律进行了探究． 下面是小腾的探究过程，请补充完整： （1）按照下表中自变量的值进行取点、画图、测量，分别得到了，与的几组对应值； 0 1 2 3 4 5 6 （2）在同一平面直角坐标系中，描出补全后的表中各组数值所对应的点（，），（，），并画出函数，的图象；    （3）结合函数图象，解决问题：当为等腰三角形时，的长度约为____． 基础巩固 1．在平面直角坐标系中，点在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．若是第二象限内的点，且点到轴的距离是，到轴的距离是，则点的坐标是(   ) A． B． C． D． 3．中国象棋中的马沿“日”形对角线走，俗称马走日．三个棋子位置如图，若建立平面直角坐标系，使帅、相所在点的坐标分别为，，则马直接走到第一象限时所在点的坐标是（    ） A． B． C． D． 4．如图，购买一种苹果所付款金额y（元）与购买量x（千克），则一次购买3千克这种苹果比分三次每次购买1千克这种苹果可节省（　　） A．4元 B．3元 C．2元 D．1元 5．下列曲线中，能表示y是x的函数的是（    ） A．B． C． D． 6．某种型号的纸杯如图所示，若将个这种型号的杯子按图中的方式叠放在一起，叠在一起的杯子的总高度为．则与满足的函数关系可能是（    ） A． B． C． D． 7．如图所示，两个体积不等的圆柱形水杯，大小水杯口均朝上，现往大水杯中均匀注水，注水过程中小水杯始终在原来位置，设水面上升高度为h，注水时间为t，下列图象能正确反应注水高度随时间变化关系的是（    ） A．B．C． D． 8．2017年，部分国家及经济体在全球的创新综合排名、创新产出排名和创新效率排名情况如图所示，中国创新综合排名全球第22，创新效率排名全球第 ． 9．如图，平面直角坐标系中，已知点坐标，点坐标，线段上的一点到两坐标轴距离相等．则点的坐标为 ． 10．物理课上老师带领学生探究气体压强与气体体积的关系，他们在气缸内充入了一定量的气体，当保证温度不变时，记录气缸内的气体压强与气体体积（），数据如下： 气缸内的气体压强 240 200 160 120 96 80 气缸内气体体积（m3） 1 则用式子表示与之间的关系是 ． 11．一辆车的电池有度电，该车行驶时每小时耗电度，则电池的剩余电量（度）与该车行驶时间（小时）之间的函数关系式为 ，自变量的取值范围 ． 12．数学兴趣小组的同学想要自制弹簧测力计，为此他们需要了解弹簧在弹性限度内的弹簧长度与拉力的关系，再根据实验数据制作弹簧测力计．经过实验测量，他们得到了6组拉力与弹簧长度之间的数据，如表所示： 弹簧受到的拉力(单位：) 0 5 10 15 20 25 弹簧的长度 (单位：) 6 8 10 12 14 16 (1)在平面直角坐标系中，描出以上述试验所得数据为坐标的各点并顺次连线； (2)结合表中数据，求出弹簧长度关于弹簧受到的拉力的函数表达式； (3)若弹簧的长度为，求此时弹簧受到的拉力的值． 能力提升 1．线段，动点P以每秒1个单位长度的速度从点B出发，沿线段运动至点A，以线段为边作正方形，线段长为半径作圆，设点P的运动时间为t，正方形周长为y，的面积为S，则S与t，y与t满足的函数关系分别是（   ） A．一次函数关系，二次函数关系 B．正比例函数关系，二次函数关系 C．二次函数关系，一次函数关系 D．二次函数关系，正比例函数关系 2．如图1，在平面直角坐标系中的四个点，恒过定点的直线，与四边形交于点M，N（点M和N可以重合）． 根据学习函数的经验，线段的长度l可以看做k的函数，绘制函数l的图象如图2．下列说法正确的是（    ） A．l是k的一次函数 B．函数l有最大值为3 C．当时，函数l随k的增大而增大 D．函数l的图象与横轴的一个交点是 3．把多个用电器连接在同一个插线板上，同时使用一段时间后，插线板的电源线会明显发热，存在安全隐患．数学兴趣小组对这种现象进行研究，得到时长一定时，插线板电源线中的电流I与使用电器的总功率P的函数图象（如图1），插线板电源线产生的热量Q与I的函数图象（如图2）．下列结论中错误的是（    ） A．当时， B．Q随I的增大而增大 C．I每增加1A，Q的增加量相同 D．P越大，插线板电源线产生的热量Q越多 4．如图，在平面直角坐标系中，，，为等腰直角三角形，且，则点C的坐标为 ． 5．一般来说，市面上某种水果出售量较多时，水果的价格就会降低．这时，将水果进行保鲜存储，等到价格上升之后再出售，可获得更高的出售收入．但是保鲜存储是有成本的，而且成本会随着时间的延长而增大，因此出售水果获得的收益要从出售价格中扣除保鲜存储成本．某水果公司的调研小组收集到去年一段时间内某种水果当日每千克的出售价格和保鲜存储成本的部分数据如下：设水果保鲜存储的时间为t天（），当日每千克水果出售价格为元，每千克水果保鲜存储成本为元． t 1 2 5 8 10 12 14 16 18 20 (1)根据表格中的数据，第8天每千克水果的收益为______元； (2)通过分析表格中的数据，发现，都可近似看作t的函数，在平面直角坐标系中，描出表中各组数值所对应的点，并用平滑曲线连接这些点； (3)结合函数图象，将水果保鲜存储第______天至第______天（结果取整数）时，出售每千克水果所获得的收益超过4元． 6．定义：在平面直角坐标系中，当点在图形上，且点的横坐标和纵坐标相等时，则称点为图形的“和谐点”． (1)如图，矩形的顶点坐标分别是，，，，在点，，中，是矩形“和谐点”的是 ； (2)点是反比例函数图象上的一个“和谐点”，则该函数图象上的另一个“和谐点”的坐标是 ，直线的表达式是 ； (3)已知点，是抛物线上的“和谐点”，直接写出点，的坐标 ， ． 7．小平在学习过程中遇到一个函数． 下面是小平对其研究的过程，请补充完整： (1)函数的自变量的取值范围是________； (2)上表是与的几组对应值．其中的值为________； (3)①根据表格中的数据，在平面直角坐标系中，画出函数图象； ②写出此函数图象的增减性：________． ③过点作平行于轴的直线，结合图象解决问题：若直线与函数的图象有三个交点，则的取值范围是________． 8．光合作用是指在光的照射下，植物将二氧化碳和水转化为有机物，并产生氧气的过程，呼吸作用指的是植物将有机物和氧气分解成二氧化碳和水以维持植物生命所必要的过程，光合作用产氧速率与呼吸作用耗氧速率差距越大越利于有机物的积累，植物生长越快，水果的品质越好．如果呼吸作用耗氧速率大于光合作用产氧速率，呼吸作用成为植物的主要活动，植物生长缓慢．下表是某农科院为了更好的指导果农种植草莓，在0℃至50℃气温，水资源及光照充分的条件下，对温度对光合作用和呼吸作用的影响进行研究的相关数据： 温度（℃） 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 光合作用产氧速率（） 0.02 0.18 0.30 0.40 0.58 0.82 1.42 0.90 0.40 0.02 呼吸作用耗氧速率（） 0.03 0.10 0.15 0.20 0.28 0.37 0.42 0.60 0.82 0.60 通过观察表格数据可以看出，若设温度为，光合作用产氧速率和呼吸作用耗氧速率都是这个自变量的函数． (1)建立平面直角坐标系，描出表中各组数值所对应的点，图中已经画出了呼吸作用耗氧速率的函数图象．请补全其余点，并画出光合作用产氧速率的函数图象； (2)结合函数图象，回答下列问题：（所有数据均精确到整数部分） ①最适合草莓生长的温度约为________℃； ②当的取值范围为________时，草莓生长缓慢． $$