章节综合训练三 函数及其图像（测试）-【上好课】2025年中考数学一轮复习讲练测（北京专用）

章节综合训练三 函数及其图像 （考试时间：100分钟 试卷满分：120分） 1． 选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1．下列描述，能确定具体位置的是（   ） A．神光山附近 B．教室第2排 C．北偏东 D．东经，北纬 【答案】D 【分析】本题考查了坐标确定位置．根据坐标确定需要两个数据，逐项判断即可得到答案． 【详解】解：A、神光山附近，不能确定具体位置，故本选项不符合题意； B、教室第排，不能确定具体位置，本选项不符合题意； C、北偏东，不能确定具体位置，故本选项不符合题意； D、东经，北纬，能确定具体位置，故本选项符合题意； 故选：D． 2．若反比例函数的图象经过，则这个函数的图象一定过（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了已反比例函数图象经过某点，利用代入法求系数，再根据函数解析式分析是否经过所给的点. 通过已知条件求出，即函数解析式为，然后将选项逐个代入验证即可得. 【详解】解：由题意将代入得，解得， 故反比例函数解析式为， 将每个选项代入函数解析式可得，只有选项A的符合， 故选：A. 3．在平面直角坐标系内，将抛物线先向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度后得到的新抛物线的顶点坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数图象与几何变换，二次函数的性质，先根据函数图象平移的法则得出平移后的抛物线解析式，再求出其顶点坐标即可，熟知“上加下减，左加右减”的法则是解题的关键， 【详解】解：∵将抛物线先向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度后得到的新抛物线的解析式是， ∴顶点坐标是， 故选：C． 4．若点在反比例函数的图象上，则的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是反比例函数的性质，根据反比例函数的增减性判断即可． 【详解】解：∵， ∴在每一象限内，y随x的增大而增大， ∵点在反比例函数的图象上， ∴， ∴， 故选：D． 5．若将直线向下平移m个单位长度，使其经过点，则m的值为（   ） A．3 B． C．6 D． 【答案】C 【分析】此题考查了一次函数图象与几何变换，要注意求直线平移后的解析式时k的值不变，只有b发生变化． 上下平移时k值不变，b值是上加下减，依此求解即可． 【详解】解：将直线向下平移m个单位长度，得到新的解析式， 其经过点， ， ， 故答案为：C． 6．如图，直线与直线相交于点P，则方程组的解是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一次函数与二元一次方程组，解题关键是掌握一次函数与方程的关系．由图象得出两条直线的交点即可求出方程组的解． 【详解】解：∵直线与直线相交于点， 方程组的解是， 故选：D． 7．已知抛物线上有点，当时，则P点纵坐标b的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的性质，解题的关键是得到抛物线的顶点式及熟练掌握y与x的变化关系．根据抛物线解析式得到顶点坐标，结合函数性质求解即可． 【详解】解：∵， ∴其顶点坐标为． ∵，且， ∴抛物线开口向下， ∴． 故选C． 8．如图在平面直角坐标系中，点、点在反比例函数的图象上．过点作．轴于点，点作轴于点，若，且的面积为12，则的值是（   ） A．12 B．16 C．18 D．24 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，图象点的坐标特征．延长交于点E，已知，表示出各点坐标，根据的面积为12，列出方程，求出k． 【详解】解：延长交于点E． ∵，点A、点B在反比例函数的图象上， ∴． ∴， ∵的面积为，的面积为，的面积为， ∴， 解得，， ∵函数图象在第一象限，，负数舍去， ∴． 故选：B． 9．如图，已知抛物线过点与轴交点的横坐标分别为，，且，，则下列结论：①；②方程有两个不相等的实数根；③；④．其中正确的结论有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，熟练的利用数形结合的方法是解题的关键． 根据图象信息逐个判断即可． 【详解】解：①由图象可得，当时，，故①正确； ②由图象可得，直线与抛物线有两个交点，则方程有两个不相等的实数根，即有两个不相等的实数根，故②正确； ③∵抛物线开口向上， ∴， ∵抛物线过点与轴交点的横坐标分别为，， ∴对称轴为直线， ∵，， ∴， ∴，则， ∴， 故③错误； ④抛物线过点， ∴， ∵当时，，即， 当时，， ∴，即， 解得， 故④正确； 综上所述，正确的结论有①②④共3个， 故选：C． 10．【新考法】 利用数形结合解决问题 如图，在中，，，，为的中点，是边上一个动点，连接，过点作，交边于点．设的长为，的面积为，，则与的函数图象大致为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出，则，，，过点作于，过点作于，延长到，使，连接，，则，，设，则，，，证和全等得，再利用勾股定理得，，再证，进而求得，，根据列出函数关系式，进而根据函数的解析式及题目中的选项即可得出答案． 【详解】解：在中，，，， 由勾股定理得：， 为的中点， ， 又，， 过点作于，过点作于，延长到，使，连接，，如图： 在中，，， ， ， 设，则， 在中，， ， ， 在和中， ， ， ， 在中，，， 由勾股定理得：， 在中，，， 由勾股定理得：， ，， 为线段的垂直平分线， ， ， ， ， ，， ， 而， ， 即， 整理得：， ， ， 当时，，当时，，顶点坐标为， 该函数图象是抛物线，与轴交于点，顶点为，且过点， 故选：A． 【点睛】此题主要考查了动点问题的函数图象，垂直平分线的判定和性质，全等三角形的判定和性质，二次函数的图象与性质，勾股定理，解直角三角形，掌握以上知识点是解答本题的关键． 二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分） 11．抛物线的对称轴是 ． 【答案】直线 【分析】此题主要考查了二次函数的性质，将原二次函数解析式化为顶点式是解题关键．把抛物线解析式化为顶点式，即可求得答案． 【详解】解：， 抛物线的对称轴是直线． 故答案为：直线． 12．已知反比例函数的图象经过点，则k的值是 ． 【答案】6 【分析】本题考查了求反比例函数解析式，熟练掌握反比例函数图象上点的坐标特征是解题的关键． 将图象上点的坐标代入函数表达式即可求出k的值． 【详解】解：反比例函数的图象经过点， ， ， 故答案为：6． 13．若函数的图象与轴有两个公共点，则的范围是 ． 【答案】且 【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数（a，b，c是常数，）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．分和两种情况讨论，然后根据二次函数的定义和判别式的意义得到且，进而求解即可． 【详解】解：当时，，此时是一次函数，与x轴有一个公共点； 当时，是二次函数， ∵函数与x轴有两个公共点， ∴， ∴． 故答案为：且． 14．飞机着陆后滑行的距离s（单位：m）关于滑行的时间t（单位：s）的函数解析式是，则飞机着陆后至停下滑行的距离为 m． 【答案】600 【分析】要求飞机从着陆至停下来共滑，即求出函数的最大值即可． 本题主要考查了二次函数的应用，掌握二次函数求最值的方法，即公式法或配方法是解题关键． 【详解】解：， 所以当时，该函数有最大值600． 故答案为：600． 【新考法】 数学与实际生活 15．一种玻璃水杯的截面如图①所示，其左右轮廓线，为某一抛物线的一部分，杯口，杯底，且，杯深，如图②若盛有部分水的水杯倾斜（即），水面正好经过点B，则此时点P到杯口的距离为 ． 【答案】 【分析】先以的中点为原点建立平面直角坐标系，然后求解轮廓线、所在抛物线的解析式，再求解直线的解析式，最后求解抛物线与直线的交点的坐标即可． 【详解】解：如图，以的中点为原点，所在直线为x轴，垂直的直线为y轴，建立平面直角坐标系， ∴，，，， 设轮廓线、所在抛物线的解析式为，记与轴的交点为， 把、代入抛物线解析式，得： ， 解得：， ∴轮廓线、所在抛物线的解析式为：， ∵， ， ， ∴， ∴， 设直线的解析式为， 把、代入直线的解析式，得： ， 解得：， ∴直线的解析式为：， 解方程组得：，， ∴， 此时点P到杯口的距离为， 故答案为：7． 【点睛】本题主要考查了二次函数的实际应用，待定系数法求二次函数解析式，解二元一次方程组，直角三角形的两个锐角互余，等角对等边，求一次函数解析式，因式分解法解一元二次方程等知识点，熟练掌握相关知识点并能加以综合运用是解题的关键． 16．如图1，在正方形中，动点从点出发，沿的方向运动，当点到达点时停止运动，将线段绕点逆时针方向旋转得到，连接，，设点的运动路程为，的面积为，图2表示的是关于的函数图象，已知点在的运动过程中，有最大值6，当点停止运动时，函数图象中的值为 ． 【答案】48 【分析】本题考查动点问题的函数图象．根据所给条件判断出正方形的边长是解决本题的关键．根据点在的运动过程中，得到与的二次函数关系，根据有最大值6，可得到正方形的边长；进而得到当运动到点时，的值． 【详解】解：设正方形的边长为，由旋转可得：点在的运动过程中，， ， ， 抛物线的开口方向向下，对称轴为：直线， 有最大值6， ， 解得：（取正值）， ， 当点停止运动时，点运动到点处，将线段绕点逆时针方向旋转得到，连接，，如图： ， 四边形是正方形， ， ， 点、、在同一条直线上， ． 故答案为：48． 三．解答题（共9小题，满分72分，其中17、18、19题每题6分，20题、21题每题7分，22题8分，23题9分，24题10分，25题13分） 17．已知二次函数． (1)求该二次函数的顶点坐标； (2)该二次函数的图象的开口向　，并判断点 　　该函数的图象上（填“在”或“不在” ）． 【答案】(1) (2)上；不在． 【分析】本题主要考查了二次函数的性质、二次函数的图象、二次函数图象上点的坐标特征，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键． （1）依据题意，由二次函数为，进而可以判断得解； （2）依据题意，由二次函数为，则，故该二次函数的图象的开口向上，又当时，，故点不在该函数的图象上，进而可以得解． 【详解】（1）解：由题意，二次函数为， 该二次函数的顶点坐标为． （2）由题意，二次函数为， ． 该二次函数的图象的开口向上． 又当时，， 点不在该函数的图象上． 故答案为：上；不在． 18．福鼎市贯岭镇是黄栀子之乡，今年黄栀子价格大涨，农民收益颇丰，某天一农户采收级、级黄栀子共斤，级黄栀子售价每斤元，级黄栀子售价每斤元． (1)求该农户全部售出这些黄栀子的收入（元）与采收的级黄栀子数量（斤）之间的函数关系式； (2)若当天全部售出这些黄栀子的总收入为元，求售出的级黄栀子的数量． 【答案】(1) (2)若收入元时，则售出的级黄栀子斤． 【分析】本题主要考查一次函数的实际应用： （1）依题意得，化简即可求得答案； （2）将代入一次函数即可求得答案． 【详解】（1）依题意，得 ， 即； （2）当时，可得 解得 ． 答：若收入元时，则售出的级黄栀子斤． 19．如图，某校劳动实践基地用总长为80m的栅栏，围成一块一边靠墙的矩形实验田，墙长为42m．栅栏在安装过程中不重叠、无损耗，设矩形实验田与墙垂直的一边长为（单位：m），与墙平行的一边长为（单位：m），面积为（单位：）． (1)实验田的面积能达到吗？如果能，求出的值；如果不能，请说明理由； (2)当的值是多少时，实验田的面积最大？最大面积是多少？ 【答案】(1)能， (2)， 【分析】本题主要考查了求二次函数的最大值，一元二次方程的应用， （1）先表示出y，再根据面积相等列出方程，求出解即可； （2）先求出二次函数关系式，再讨论最大值即可． 【详解】（1）解：与墙平行的一边长， 根据题意，， 整理得， 解得． ∵， ∴， ∴． 所以试验田的面积能达到，此时； （2）解：由（1），得， 即． ∵，， ∴抛物线开口向下，函数有最大值， 当时，． 20．某学校科技社团成员组装了一艘舰艇模型，并在一条笔直河道内进行往返航行测试，中途设置一个观测点．他们根据测试结果绘制了如图所示的函数图像，其中表示航行时间，表示舰艇模型离出发点的距离．已知水流的速度为． (1)根据图像回答：在段，舰艇模型是______水航行（填“顺”或“逆”）；该舰艇模型在静水中的航行速度为______： (2)该舰艇模型先后两次经过观测点的时间差为，求观察点离出发点的距离． 【答案】(1)顺， (2) 【分析】本题考查一元一次方程与实际问题，函数图像和性质，根据题意列方程是解题的关键； （1）设顺水速度为，逆水速度为，，，列方程即可求解； （2）设从点去程到终点用时，从终点返程到点用时，根据题意列方程即可求解； 【详解】（1）解：设顺水速度为，逆水速度为，舰艇模型在静水中的速度为，水流速度为， ，， ， 根据图像可知，从起点到终点，即，用时， 从终点到起点，即，用时， 路程相同，时间越短，速度越大， 可知，在段，舰艇模型是顺水航行， 设，， ， 解得：； 故该舰艇模型在静水中的航行速度为 ； 故答案为：顺， （2）解：设点距离出发点的距离为， 由（1）可知，， 去程用时，可以计算出起点与终点的距离为：， 点距离终点的路程为， 设从点去程到终点用时，从终点返程到点用时， ， ， ， ， 解得：， 观察点离出发点的距离为米； 21．【新考法】 新定义问题 【定义】若一个点的纵坐标是横坐标的3倍，则称这个点为“三倍点”，如：，，等都是“三倍点”． 【背景】已知二次函数（c为常数）， (1)若记“三倍点”D的横坐标为t，则点D的坐标可表示为______； (2)若该函数经过点，求出该函数图象上的“三倍点”坐标； (3)在的范围内，若二次函数的图象上至少存在一个“三倍点”，直接写出c的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了次函数的图象与性质、待定系数法求二次函数解析式、一元二次方程根的判别式的应用，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据“三倍点”的定义即可得解； （2）先利用待定系数法求出二次函数解析式，再将代入函数解析式计算即可得解； （3）由题意可得，“三倍点”所在的直线为，再将问题转化为在的范围内，二次函数与至少有一个交点，求解即可． 【详解】（1）解：由“三倍点”的定义可得，点D的坐标可表示为； （2）解：将代入得， 解得：， ∴， 将代入得， 解得：， ∴该函数图象上的“三倍点”坐标为； （3）解：由题意可得，“三倍点”所在的直线为， 在的范围内，二次函数的图象上至少存在一个“三倍点”，即在的范围内，二次函数与至少有一个交点， 令， 整理得：， 则， 解得：， 把代入得，代入得， ∴， 解得：， 把代入得，代入得， ∴， 解得：， 综上所述，的取值范围为． 【新考法】数学与实际生活——生活中的数学原理 22．2024年10月30日，神舟十九号载人飞船成功对接空间站天和核心舱，发射任务取得圆满成功．某商店为满足航空航天爱好者的需求，特购进了“中国空间站”模型，用来销售．已知这种模型的进价为每个80元，现在的售价为每个120元，每星期可卖出40个． 经市场调查发现如下信息： 信息一：每降价5元，每星期可多卖出10个． 信息二：由于货源紧缺，每星期最多能卖80个． 设该模型的售价为每个元，每星期可获得的销售利润为y元．    (1)求y与x的函数解析式，并求出自变量x的取值范围． (2)求销售该模型每星期可获得的最大利润． 【答案】(1)； (2)1800元 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，理解题意，正确表示出二次函数解析式是解题的关键． （1）利用公式：销售利润单个模型的利润销售量，表示出y与x的函数解析式，再结合“每星期最多能卖80个”，列出关于x的不等式，解不等式即可得出结论； （2）将二次函数解析式化为顶点式，再利用二次函数的性质求出最大值即可解答． 【详解】（1）解：设该模型的售价为每个元， 由题意得，每星期可卖出个， ， 由题意得，， 解得：， ， 与x的函数解析式为，自变量x的取值范围为． （2）解：， 当时，有最大值， 销售该模型每星期可获得的最大利润为1800元． 23．如图，一次函数的图像与反比例函数（）的图像交于，两点，与x轴交于点C． (1)求k，m，b的值； (2)观察图像，直接写出关于x的不等式（）的解集； (3)连接，，求的面积； (4)将一次函数的图像向下平移n（）个单位长度，若平移后的图像与反比例函数（）的图像只有一个交点，求n的值． 【答案】(1)，， (2) (3) (4) 【分析】本题考查反比例函数与一次函数交点问题，解题的关键是掌握待定系数法，函数图象交点坐标与方程组的解的关系等知识． （1）要求一次函数和反比例函数的表达式，可根据待定系数法求解； （2）要求不等式的解集，实质是求一次函数的图象在反比例函数图象上方时的取值范围，即可得出的取值范围； （3）要求的面积，根据分割法即可求解； （4）先求出平移后一次函数的表达式，再联立反比例函数的表达式，利用一元二次方程根的判别式即可求解． 【详解】（1）将的坐标代入，得，∴． 当时，，∴； 将的坐标代入，得； （2）不等式（）的解集为； （3）如图， 一次函数的表达式为． 当时，，∴点C的坐标为， ∴； （4）将一次函数的图像向下平移n（）个单位长度为，令，整理得． ∵平移后的一次函数的图像与反比例函数的图像只有一个交点， ∴，解得（舍去），，∴． 【新考法】 数学与实际生活——生活中的数学原理 24．根据背景素材，在两种解决方法里选择其中一种作答． 计算遮雨棚的高度 背 景 素 材 如图，只空油桶（每只油桶底面的直径均为）堆在一起，要给它们盖一个遮雨棚，遮雨棚起码要多高？（，结果精确到） 问题解决 解 决 方 法 一 如下图某小组同学通过测量不同层数的高度，完成了如下的表格： 油桶层数 1 2 3 4 遮雨棚高度 （1）根据表格内容，求出遮雨棚高度和层数的关系式： （2）当油桶层数是层时，这样遮雨棚高度是多少？ 解 决 方 法 二 如下图某小组同学根据油桶的摆放方式，绘制了如下截面图，、、三点都是对应圆的圆心， （1）判断的形状，并说明理由； （2）求出遮雨棚的高度. 【答案】解决方法一：（1）  （2）  解决方法二：（1）是等边三角形，理由见解析  （2）． 【分析】本题考查一次函数的应用和勾股定理的应用，等边三角形的判定和性质，掌握待定系数法求函数解析式是解题的关键． 解决方法一：（1）利用待定系数法求函数解析式即可； （2）把代入计算函数值即可； 解决方法二：（1）根据三边相等的三角形是等边三角形判定即可； （2）利用勾股定理计算即可． 【详解】解：解决方法一： （1）解：设遮雨棚高度和层数的关系式为，把，代入得： ，解得， ∴遮雨棚高度和层数的关系式为， （2）当时，， ∴遮雨棚的高度为； 解决方法二：（1）是等边三角形，理由为： ∵，，， ∴， ∴是等边三角形； （2）∵， ∴， ∴， ∴遮雨棚的高度为． 【新考法】 数学与实际生活——生活中的数学原理 25．中国瓷器是世界上最早最精美的陶瓷之一，也是中国文化的重要组成部分九（1）班同学在进行历史和数学跨学科项目式学习时，通过收集到的素材进行了方案探究和任务性学习： 【设计方案求碗里水面的宽度】 素材一： 图1是一个竖直放置在水平桌面MN上的瓷碗，图2是其截面图，瓷碗高度，碗口宽，，碗体呈抛物线状（碗体厚度不计），当碗中盛满水时的最大深度． 素材二： 如图3，把瓷碗绕点B缓缓倾斜，倒出碗中的部分水，当水面与碗口的夹角为时停止倾斜． 问题解决 问题1 如右图，以碗底的中点F为原点O，以为x轴，的中垂线为y轴，建立平面直角坐标系，求碗体的抛物线解析式； 问题2 根据图2位置，当把碗中的水喝掉一部分后，发现水面的最大深度为，求此时水面宽度的长； 问题3 如图3，当碗停止倾斜时，求此时碗里水面的宽度． 【答案】问题1∶ ；问题2：；问题3： 【分析】问题1：本题建立以碗底的中点F为原点O，以为x轴，的中垂线为y轴，建立平面直角坐标系，根据题干条件给出、、的坐标，再利用待定系数法求解即可． 问题2：本题通过液面高度确定液面的纵坐标，再利用解析式给出液面两端的横坐标，即可求解． 问题3：本题仍建立以为轴，的垂直平分线为轴建立直角坐标系，通过等腰三角形的判定可求出点的坐标，再利用待定系数法给出直线解析式，通过直线和抛物线求得交点的坐标，最后利用勾股定理求两点间距离，即可解题． 【详解】问题1： 解：以碗底的中点F为原点O，以为x轴，的中垂线为y轴，建立平面直角坐标系，如图所示： ， ，， ， ， ， 设抛物线的解析式为， 将点代入解析式，有，解得， 抛物线解析式为． 问题2： 解：碗中液面高度（离桌面距离）为，， 这时液面的纵坐标为， 当时，有，解得，， 则液面宽度为．　 问题3： 解：以为轴，的垂直平分线为轴建立直角坐标系，倾斜后如图所示，记轴交于点，交于点， 由题知，，， 轴， 又， ∴， ， ， 设直线的解析式为， 则，解得， ， 联立方程组， 解得或， ， ． 【点睛】本题考查用待定系数法求函数解析式、等腰三角形的判定、勾股定理和求直线与抛物线的交点问题，解题的关键在于将实际数据变为直角坐标系中的数据，再利用函数的性质即可解题． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 章节综合训练三 函数及其图像 （考试时间：100分钟 试卷满分：120分） 1． 选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1．下列描述，能确定具体位置的是（   ） A．神光山附近 B．教室第2排 C．北偏东 D．东经，北纬 2．若反比例函数的图象经过，则这个函数的图象一定过（   ） A． B． C． D． 3．在平面直角坐标系内，将抛物线先向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度后得到的新抛物线的顶点坐标是（    ） A． B． C． D． 4．若点在反比例函数的图象上，则的大小关系是（   ） A． B． C． D． 5．若将直线向下平移m个单位长度，使其经过点，则m的值为（   ） A．3 B． C．6 D． 6．如图，直线与直线相交于点P，则方程组的解是（   ） A． B． C． D． 7．已知抛物线上有点，当时，则P点纵坐标b的取值范围为（   ） A． B． C． D． 8．如图在平面直角坐标系中，点、点在反比例函数的图象上．过点作．轴于点，点作轴于点，若，且的面积为12，则的值是（   ） A．12 B．16 C．18 D．24 9．如图，已知抛物线过点与轴交点的横坐标分别为，，且，，则下列结论：①；②方程有两个不相等的实数根；③；④．其中正确的结论有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 10．【新考法】 利用数形结合解决问题 如图，在中，，，，为的中点，是边上一个动点，连接，过点作，交边于点．设的长为，的面积为，，则与的函数图象大致为（   ） A．B．C．D． 二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分） 11．抛物线的对称轴是 ． 12．已知反比例函数的图象经过点，则k的值是 ． 13．若函数的图象与轴有两个公共点，则的范围是 ． 14．飞机着陆后滑行的距离s（单位：m）关于滑行的时间t（单位：s）的函数解析式是，则飞机着陆后至停下滑行的距离为 m． 【新考法】 数学与实际生活 15．一种玻璃水杯的截面如图①所示，其左右轮廓线，为某一抛物线的一部分，杯口，杯底，且，杯深，如图②若盛有部分水的水杯倾斜（即），水面正好经过点B，则此时点P到杯口的距离为 ． 16．如图1，在正方形中，动点从点出发，沿的方向运动，当点到达点时停止运动，将线段绕点逆时针方向旋转得到，连接，，设点的运动路程为，的面积为，图2表示的是关于的函数图象，已知点在的运动过程中，有最大值6，当点停止运动时，函数图象中的值为 ． 三．解答题（共9小题，满分72分，其中17、18、19题每题6分，20题、21题每题7分，22题8分，23题9分，24题10分，25题13分） 17．已知二次函数． (1)求该二次函数的顶点坐标； (2)该二次函数的图象的开口向　，并判断点 　　该函数的图象上（填“在”或“不在” ）． 18．福鼎市贯岭镇是黄栀子之乡，今年黄栀子价格大涨，农民收益颇丰，某天一农户采收级、级黄栀子共斤，级黄栀子售价每斤元，级黄栀子售价每斤元． (1)求该农户全部售出这些黄栀子的收入（元）与采收的级黄栀子数量（斤）之间的函数关系式； (2)若当天全部售出这些黄栀子的总收入为元，求售出的级黄栀子的数量． 19．如图，某校劳动实践基地用总长为80m的栅栏，围成一块一边靠墙的矩形实验田，墙长为42m．栅栏在安装过程中不重叠、无损耗，设矩形实验田与墙垂直的一边长为（单位：m），与墙平行的一边长为（单位：m），面积为（单位：）． (1)实验田的面积能达到吗？如果能，求出的值；如果不能，请说明理由； (2)当的值是多少时，实验田的面积最大？最大面积是多少？ 20．某学校科技社团成员组装了一艘舰艇模型，并在一条笔直河道内进行往返航行测试，中途设置一个观测点．他们根据测试结果绘制了如图所示的函数图像，其中表示航行时间，表示舰艇模型离出发点的距离．已知水流的速度为． (1)根据图像回答：在段，舰艇模型是______水航行（填“顺”或“逆”）；该舰艇模型在静水中的航行速度为______： (2)该舰艇模型先后两次经过观测点的时间差为，求观察点离出发点的距离． 21．【新考法】 新定义问题 【定义】若一个点的纵坐标是横坐标的3倍，则称这个点为“三倍点”，如：，，等都是“三倍点”． 【背景】已知二次函数（c为常数）， (1)若记“三倍点”D的横坐标为t，则点D的坐标可表示为______； (2)若该函数经过点，求出该函数图象上的“三倍点”坐标； (3)在的范围内，若二次函数的图象上至少存在一个“三倍点”，直接写出c的取值范围． 【新考法】数学与实际生活——生活中的数学原理 22．2024年10月30日，神舟十九号载人飞船成功对接空间站天和核心舱，发射任务取得圆满成功．某商店为满足航空航天爱好者的需求，特购进了“中国空间站”模型，用来销售．已知这种模型的进价为每个80元，现在的售价为每个120元，每星期可卖出40个． 经市场调查发现如下信息： 信息一：每降价5元，每星期可多卖出10个． 信息二：由于货源紧缺，每星期最多能卖80个． 设该模型的售价为每个元，每星期可获得的销售利润为y元．    (1)求y与x的函数解析式，并求出自变量x的取值范围． (2)求销售该模型每星期可获得的最大利润． 23．如图，一次函数的图像与反比例函数（）的图像交于，两点，与x轴交于点C． (1)求k，m，b的值； (2)观察图像，直接写出关于x的不等式（）的解集； (3)连接，，求的面积； (4)将一次函数的图像向下平移n（）个单位长度，若平移后的图像与反比例函数（）的图像只有一个交点，求n的值． 【新考法】 数学与实际生活——生活中的数学原理 24．根据背景素材，在两种解决方法里选择其中一种作答． 计算遮雨棚的高度 背 景 素 材 如图，只空油桶（每只油桶底面的直径均为）堆在一起，要给它们盖一个遮雨棚，遮雨棚起码要多高？（，结果精确到） 问题解决 解 决 方 法 一 如下图某小组同学通过测量不同层数的高度，完成了如下的表格： 油桶层数 1 2 3 4 遮雨棚高度 （1）根据表格内容，求出遮雨棚高度和层数的关系式： （2）当油桶层数是层时，这样遮雨棚高度是多少？ 解 决 方 法 二 如下图某小组同学根据油桶的摆放方式，绘制了如下截面图，、、三点都是对应圆的圆心， （1）判断的形状，并说明理由； （2）求出遮雨棚的高度. 【新考法】 数学与实际生活——生活中的数学原理 25．中国瓷器是世界上最早最精美的陶瓷之一，也是中国文化的重要组成部分九（1）班同学在进行历史和数学跨学科项目式学习时，通过收集到的素材进行了方案探究和任务性学习： 【设计方案求碗里水面的宽度】 素材一： 图1是一个竖直放置在水平桌面MN上的瓷碗，图2是其截面图，瓷碗高度，碗口宽，，碗体呈抛物线状（碗体厚度不计），当碗中盛满水时的最大深度． 素材二： 如图3，把瓷碗绕点B缓缓倾斜，倒出碗中的部分水，当水面与碗口的夹角为时停止倾斜． 问题解决 问题1 如右图，以碗底的中点F为原点O，以为x轴，的中垂线为y轴，建立平面直角坐标系，求碗体的抛物线解析式； 问题2 根据图2位置，当把碗中的水喝掉一部分后，发现水面的最大深度为，求此时水面宽度的长； 问题3 如图3，当碗停止倾斜时，求此时碗里水面的宽度． 学科网（北京）股份有限公司 $$