微专题05 新函数图像和性质问题-【上好课】2025年中考数学一轮复习讲练测（北京专用）

第三章 函数及其图像 微专题05 新函数图像和性质问题 一、单选题 1．已知二次函数，将该二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新函数的图象（如图所示），当直线与新图象有3个或4个交点时，m的取值范围是（　　） A． B． C． D． 2．函数（，）的图象（如图所示）是由函数（，）的图象x轴上方部分不变，下方部分沿x轴向上翻折而成，则下列结论：①；②；③；④将图象向上平移1个单位长度后与直线有3个交点，其中正确的是（   ）    A．①②④ B．①③ C．①② D．②③ 二、解答题 3．我们通过学习一次函数知道研究函数的一般路径是：通过生活实例抽象出函数模型，再用描点法画出函数图象，结合函数图象从分布、增减性和最值等方面研究函数的性质，最后和相关知识联系起来解决实际问题．请结合一次函数的学习经验探究函数的图象和性质． … 0 1 2 3 … y … 2.5 1.5 1 2 2.5 … (1)列表并写出表中、的值，其中_____、_____． (2)在下面的直角坐标系中画出该函数的图象： (3)观察（2）中的图象，写出关于该函数的两条结论： 结论1：_____； 结论2：_____． (4)写出方程的解，并说明此方程的解是如何得到的． 4．“水钟”是我国古代原始的计时工具，如图1，水从上面的多个贮水壶中慢慢流入下方的受水壶，受水壶中的浮子上竖直放置一根标尺（称为“漏箭”），漏箭上标有表示时间的刻度，随着漏水量的增加，受水壶中的浮子会均匀升高．某数学实践小组仿制了如图2所示的一个类似“水钟”的实验装置进行模拟实验，实验开始前圆柱容器中有一定高度的水． 表格记录了圆柱容器内水面高度（厘米）与时间（时）的一些变化情况： 时间（时） … 1 2 3 4 5 … 圆柱容器内水面高度（厘米） … 3 5 7 9 11 … (1)圆柱容器内水面的高度每小时上升________厘米，刚开始容器内水面的高度是________厘米； (2)请在如图所示的平面直角坐标系中描出表格的各点，作出与的函数图象，并判断容器内水面高度（厘米）与时间（时）符合一次函数关系吗？ (3)已知圆柱容器内壁深50厘米，实验小组早上8时开启装置进行计时实验，第二天早上8时水是否会溢出容器？请通过计算说明． 5．阅读下列材料，回答问题： 【提出问题】对任意的实数a、b而言，，即．易知当时，，即：，所以．若，则，所以． 【结论应用】若，则当 时，代数式有最小值为 ． 【问题解决】 （1）某公司为提高工作效率，购进了一批自动化生产设备，已知每台设备每天的运营成本包含以下三个部分：一是固定费用，共6400元；二是材料损耗费，每个零件损耗约为5元，三是设备折旧费（元），它与生产的零件个数x的函数关系式为0.0001x2，设该设备每天生产汽车零件x个．请写出该设备每生产一个零件的运营成本的表达式，且求出当x为多少时，该设备每生产一个零件的运营成本最低？最低是多少元？ （2）如图，在平面直角坐标系中，直线与坐标轴分别交于点A、B，点M为反比例函数 上的任意一点，过点M作轴于点C，轴于点D．求四边形面积的最小值． 6．学完一次函数后、小明同学通过列表、描点、连线的方法画函数图象，并利用函数图象研究函数的性质．由于在七年级学习了绝对值的意义：．请你帮助小明完成下列问题． (1)【探索】探究函数的图象与性质： 当时，，当时，； ①列表： …… 0 1 2 3 4 5 …… …… 5 3 1 1 3 5 …… ②请根据①中表格里的数据在给出的平面直角坐标系中描点，并画出的图象； ③多选题：结合图象，下列说法正确的有（　　） A．函数最小值是        B．时，值随值的增大而增大 C．当或时，    D．当时， (2)【拓展应用】若关于的方程有两个均大于1的实数解，结合图象求的取值范围，并直接写出此时的取值范围． 7．在同一平面直角坐标系中，函数的图象可以由函数的图象平移得到．依此想法，数学小组对反比例函数图象的平移进行探究． 【动手操作】 列表： … … … … 描点连线：在已画出函数的图象的坐标系中画出函数的图象． 【探究发现】 （1）将反比例函数的图象向 平移 个单位长度得到函数的图象． （2）上述探究方法运用的数学思想是 ． A．整体思想 B．类比思想 C．分类讨论思想 【应用延伸】 （1）将反比例函数的图象先 ，再 得到函数的图象． （2）函数图象的对称中心的坐标为 ． 8．我们定义：如果一个矩形的周长和面积相等，称这个矩形为“完美矩形”，如果一个矩形B周长和面积都是A矩形的n倍，那么我们就称矩形B是矩形A的“n倍契合矩形”． 【概念辨析】 （1）①边长为4的正方形______（填“是”或“不是”）“完美矩形”； ②矩形A的周长是12，面积是8，它的“2倍契合矩形”的周长______，面积为______； 【深入探究】 （2）问题：长为3，宽为2的矩形是否存在“2倍契合矩形”？ 我们可以从函数的观点来研究“2倍契合矩形”，设“2倍契合矩形”的长和宽分别为x，y（，），依题意，，则，，在图1的平面直角坐标系中作出了一次函数和反比例函数的图象来研究，有交点就意味着存在“2倍契合矩形”． 那么长为3，宽为2的矩形是否存在“2倍契合矩形”？若存在，请求出它的长，若不存在，请说明理由； （3）①如果长为x，宽为y（，）的矩形是一个“完美矩形”，求y与x的函数关系式，并在图2的平面直角坐标系中直接画出函数图象； ②观察图象，直接写出周长为20的“完美矩形”的长． 9．《九章算术》中记载，浮箭漏（如图①）出现于汉武帝时期，它由供水壶和箭壶组成，箭壶内装有箭尺，水匀速地从供水壶流到箭壶，箭壶中的水位逐渐上升，箭尺匀速上浮，可通过读取箭尺读数计算时间.某学校科技研究小组仿制了一套浮箭漏，并从函数角度进行了如下实验探究.研究小组每2h记录一次箭尺读数（箭尺最大读数为），得到如表： 供水时间x（h） 0 2 4 6 8 箭尺读数y（） 6 18 30 42 54 (1)如图②，建立平面直角坐标系，横轴表示供水时间，纵轴表示箭尺读数，描出以表格中数据为坐标的各点，并连线； (2)观察描出各点的分布规律，可以知道它是我们学过的_______函数，请结合表格数据，求出该函数解析式； (3)应用上述得到的规律计算：如果本次实验记录的开始时间是上午，那么当箭尺读数为时是什么时候？ 10．数学活动课上，王老师与同学们用实验的方法探究函数关系： 【实验操作】如图1，平面直角坐标系中，点A的坐标是，在x轴上任取一点M，连接，作线段的的垂直平分线，过点M作x轴的垂线，记，的交点为P，设点P的坐标为，探究y与x的函数关系． 【归纳猜想】在x轴上多次改变点M的位置，测量线段与的长度，在表格中记录数据如下： 线段长 … 线段长 … 如果，在网格坐标系中描出点，用描点法画出函数图象； 【总结结论】根据图象猜想线段与的长之间的函数关系，由此得出点P的坐标满足的函数关系： （1）猜想关于的函数解析式，请直接写出结论，并写出的取值范围； （2）在图1中利用几何推理证明（1）中的结论． 11．如何拟定运动员拍照记录的方案？ 素材1 图1是单板滑雪运动员从大跳台滑雪场地滑出的场景，图2是跳台滑雪场地的横截面示意图．垂直于水平底面，点D到A之间的滑道呈抛物线型．已知，，且点B处于跳台滑道的最低处． 素材2 如图3，某运动员从点A滑出后的路径满足以下条件： ①运动员滑出路径与D、A之间的抛物线形状相同． ②该运动员在底面上方竖直距离处达到最高点P． ③落点Q在底面下方竖直距离． 素材3 高速摄像机能高度还原运动员的精彩瞬间，如图4，有一台摄像机M进行跟踪拍摄： ①它与点B位于同一高度，且与点B距离； ②运动过程需在摄像头视角范围内才能记录，记摄像头的俯角为α； ③在平面直角坐标系中，设射线的解析式为，其比 例系数k和俯角α的函数关系如图5所示．    问题解决 任务1 确定D、A之间滑道的形状 在图2中建立适当的平面直角坐标系，求滑道所在抛物线的函数表达式． 任务2 确定运动员达到最高点的位置 在同一平面直角坐标系中，求运动员到达最高处时与点A的水平距离． 任务3 确定拍摄俯角α 若要求运动员的落点Q必须在摄像机M的视角范围内，则俯角α至少多少度（精确到个位）？ 12．已知函数的图象如图所示，请根据函数图象回答下列问题． (1)方程的解为______； (2)方程有四个不同的实数根，则的取值范围为______； (3)若函数的图象与直线有三个交点，求的值． 13．小爱学习了二次函数后，对函数进行了探究，在经过列表、描点、连线的步骤后，得到如图所示的函数图象，请根据该函数图象回答下列问题： (1)观察探究： 写出该函数的一条性质：________； 方程的解为________； 若方程有四个实数根，则的取值范围是________． (2)延伸思考： 函数的图象经过怎样的平移可得到函数的图象？请写出平移的过程． 14．如图，在长方形中，，，点从点以每秒个单位长度的速度沿方向运动，点从点以每秒个单位长度的速度沿方向运动，当点到达终点时，点也随之停止运动，连接，．设点运动时间为秒，的面积为． (1)请直接写出关于的函数表达式，并注明自变量的取值范； (2)在给定的平面直角坐标系中画出函数的图象，并写出该函数的一条性质； (3)结合函数的图象，请直接写出该函数图象与直线有两个交点时的取值范围：． 15．如图1，在矩形中，，点Q为边上的中点．动点M从点A出发，沿折线以每秒1个单位长度的速度向点C运动，到点C时停止．设运动的时间为x秒，记线段所围成的图形的面积为． (1)请直接写出y关于x的函数表达式以及对应的x的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质； (3)函数与的图象有2个交点，请估计两个交点的横坐标的值并直接写出来（误差不超过0.2）． 16．探究函数性质时，我们经历了列表、描点、连线画出函数图象，观察分析图象特征，概括函数性质的过程．数学兴趣小组的同学们准备结合已有的学习函数的经验，画出函数的图象并探究该函数的性质， x 0 1 2 3 4 y … 3 6 a b (1)【图象初探】列表，写出表中的值：______，______；并观察表格中数据的特征，在所给的平面直角坐标系中补全该函数的图象． (2)【性质再探】观察函数图象，下列关于函数的结论正确的是_______． ①函数的图象关于y轴对称．②函数的图象不经过第三、四象限．③当时，函数有最大值，最大值为6．④在自变量的取值范围内，函数y的值随自变量x的增大而增大． (3)【学以致用】写出直线与函数有两个交点时，a的取值范围，并说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第三章 函数及其图像 微专题05 新函数图像和性质问题 一、单选题 1．已知二次函数，将该二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新函数的图象（如图所示），当直线与新图象有3个或4个交点时，m的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查二次函数的翻折、二次函数与一次函数的交点问题、二次函数与一元二次方程的关系，熟练掌握以上知识点，学会二次函数的翻折规律，善于转化二次函数与一元二次方程的关系是解题的关键．由题意容易求解抛物线与轴的交点分别为，，再利用函数翻折性质求得翻折部分解析式为，再求出直线经过点时m的值，以及与抛物线有唯一公共点时m的值，最后根据图象即可求解m的取值范围． 【详解】解：当时，，解得，，则，， 将该二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方， 翻折部分的解析式为， 当直线经过点时，，解得； 当直线与抛物线有唯一公共点时，方程有相等的实数根，即方程有相等的实数根， ， 解得：； 结合图象可知，当直线与新图象有3个或4个交点时，m的取值范围为． 故选：D． 2．函数（，）的图象（如图所示）是由函数（，）的图象x轴上方部分不变，下方部分沿x轴向上翻折而成，则下列结论：①；②；③；④将图象向上平移1个单位长度后与直线有3个交点，其中正确的是（   ）    A．①②④ B．①③ C．①② D．②③ 【答案】A 【分析】本题考查二次函数的图象与系数之间的关系．二次函数的平移，待定系数法求函数解析式，熟练掌握抛物线的对称性，利用数形结合的思想进行求解是解题的关键．①根据图象与轴的两个交点，求出对称轴，即可得到结论；②由的图象可知：与轴的交点为，根据翻折特点，即可解题；③根据对称轴，判断的符号，结合，的符号，即可得到的符号；④先求出图象的顶点坐标，得到平移后的顶点坐标，即可得出结论． 【详解】解：由图知，函数（，）的图象与轴交于，， 函数对称轴为直线， ， 则，，故①正确； 函数图象与轴交于， 由翻折性质可知，，故②正确； ，对称轴为直线， ， ， ，故③错误； 由图知，， 函数图象与轴交于， 过点， 即， 解得， 函数为， 即， 当时，， 即的顶点坐标为， 将图象向上平移1个单位长度后的顶点坐标为， 将图象向上平移1个单位长度后与直线有3个交点，故④正确． 综上所述，正确的有①②④， 故选：A． 二、解答题 3．我们通过学习一次函数知道研究函数的一般路径是：通过生活实例抽象出函数模型，再用描点法画出函数图象，结合函数图象从分布、增减性和最值等方面研究函数的性质，最后和相关知识联系起来解决实际问题．请结合一次函数的学习经验探究函数的图象和性质． … 0 1 2 3 … y … 2.5 1.5 1 2 2.5 … (1)列表并写出表中、的值，其中_____、_____． (2)在下面的直角坐标系中画出该函数的图象： (3)观察（2）中的图象，写出关于该函数的两条结论： 结论1：_____； 结论2：_____． (4)写出方程的解，并说明此方程的解是如何得到的． 【答案】(1)2、 (2)图见解析 (3)图象是轴对称图形；当时，随的增大而增大 (4)，过程见解析 【分析】本题主要考查了函数的图象与性质． （1）利用求函数值的方法解答即可； （2）利用描点法画函数图象即可； （3）根据图象写出两条结论即可； （4）根据和的图象交点即可求出答案． 【详解】（1）解：当时，， 当时，， 故答案为：， （2）如图，即为所求， （3）由图象可知，图象是轴对称图形；当时，随的增大而增大， 故答案为：图象是轴对称图形；当时，随的增大而增大 （4）如图，根据和的图象交点为，得到方程的解为， 4．“水钟”是我国古代原始的计时工具，如图1，水从上面的多个贮水壶中慢慢流入下方的受水壶，受水壶中的浮子上竖直放置一根标尺（称为“漏箭”），漏箭上标有表示时间的刻度，随着漏水量的增加，受水壶中的浮子会均匀升高．某数学实践小组仿制了如图2所示的一个类似“水钟”的实验装置进行模拟实验，实验开始前圆柱容器中有一定高度的水． 表格记录了圆柱容器内水面高度（厘米）与时间（时）的一些变化情况： 时间（时） … 1 2 3 4 5 … 圆柱容器内水面高度（厘米） … 3 5 7 9 11 … (1)圆柱容器内水面的高度每小时上升________厘米，刚开始容器内水面的高度是________厘米； (2)请在如图所示的平面直角坐标系中描出表格的各点，作出与的函数图象，并判断容器内水面高度（厘米）与时间（时）符合一次函数关系吗？ (3)已知圆柱容器内壁深50厘米，实验小组早上8时开启装置进行计时实验，第二天早上8时水是否会溢出容器？请通过计算说明． 【答案】(1)2，1 (2)作图见解析，符合 (3)水不会溢出容器 【分析】本题主要考查一次函数的应用，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题的关键； （1）根据表格数据即可求解； （2）根据题意描出各点，然后连线即可，从图象可知这些点在同一直线上，故符合题意一次函数关系； （3）求出函数解析式为，把代入求出的值，与圆柱容器内壁深50厘米比较即可． 【详解】（1）解：由表格可知每小时上升， ∴刚开始容器内水面的高度为， 故答案为：2，1； （2）解：如图： 从图象可知这些点在同一直线上，故符合题意一次函数关系； （3）解：设解析式为，当；， ∴， 解得：， ∴解析式为， ∵从早上8时到第二天早上8时经过了24小时， ∴， ∵， ∴水不会溢出． 5．阅读下列材料，回答问题： 【提出问题】对任意的实数a、b而言，，即．易知当时，，即：，所以．若，则，所以． 【结论应用】若，则当 时，代数式有最小值为 ． 【问题解决】 （1）某公司为提高工作效率，购进了一批自动化生产设备，已知每台设备每天的运营成本包含以下三个部分：一是固定费用，共6400元；二是材料损耗费，每个零件损耗约为5元，三是设备折旧费（元），它与生产的零件个数x的函数关系式为0.0001x2，设该设备每天生产汽车零件x个．请写出该设备每生产一个零件的运营成本的表达式，且求出当x为多少时，该设备每生产一个零件的运营成本最低？最低是多少元？ （2）如图，在平面直角坐标系中，直线与坐标轴分别交于点A、B，点M为反比例函数 上的任意一点，过点M作轴于点C，轴于点D．求四边形面积的最小值． 【答案】结论应用：，4；问题解决：（1）每生产一个零件的运营成本的表达式为，当x为8000时，该设备每生产一个零件的运营成本最低，最低是6.6元；（2）24 【分析】本题是反比例函数综合题，考查了完全平方公式，一次函数的性质，反比例函数的性质等知识，解决本题的关键是理解并运用阅读材料内容． 结论应用：利用材料的结论，可求解； 问题解决：（1）设设备每生产一个零件的运营成本为y元，由题意可得，即可求解； （2）先求出点A，点B坐标，设点点，，由可求，，由四边形面积，即可求解． 【详解】解：结论应用： 若，当，即时，代数式有最小值为， 故答案为：2，4； （1）设该设备每生产一个零件的运营成本为y元， 由题意可得：， ， ， 当时，即时， 有最小值为， 的最小值为6.6元， 答：当为时，该设备每生产一个零件的运营成本最低，最低是元； （2）直线与坐标轴分别交于点，， 点，点， 设点， ，点， ，， 四边形面积， ， ， 当时，即当时，有最小值为6， 四边形面积的最小值为． 6．学完一次函数后、小明同学通过列表、描点、连线的方法画函数图象，并利用函数图象研究函数的性质．由于在七年级学习了绝对值的意义：．请你帮助小明完成下列问题． (1)【探索】探究函数的图象与性质： 当时，，当时，； ①列表： …… 0 1 2 3 4 5 …… …… 5 3 1 1 3 5 …… ②请根据①中表格里的数据在给出的平面直角坐标系中描点，并画出的图象； ③多选题：结合图象，下列说法正确的有（　　） A．函数最小值是        B．时，值随值的增大而增大 C．当或时，    D．当时， (2)【拓展应用】若关于的方程有两个均大于1的实数解，结合图象求的取值范围，并直接写出此时的取值范围． 【答案】(1)②见解析，③ABC (2)，且 【分析】本题主要考查了画函数图象、一次函数与方程的关系等知识点，掌握数形结合思想是解题的关键． （1）②根据列表直接画出函数图象即可；③根据函数图象逐项分析即可； （2）先画出直线的图象，然后结合函数图象求解即可． 【详解】（1）解：②如图所示（实线部分），即为所求； ③由函数图象可得：函数的最小值为；当时，值随值的增大而增大；当或时，；当时，；故A、B、C正确，D错误，不符合题； 故答案为∶ ABC． （2）解：图中虚线为直线． 直线经过点时，方程有一根等于1， 另一根大于1，此时； 向下平移直线，它与的图象两个交点的横坐标都开始大于1， 当直线经过点时，方程只有一个解，此时， ， 此时，且． 7．在同一平面直角坐标系中，函数的图象可以由函数的图象平移得到．依此想法，数学小组对反比例函数图象的平移进行探究． 【动手操作】 列表： … … … … 描点连线：在已画出函数的图象的坐标系中画出函数的图象． 【探究发现】 （1）将反比例函数的图象向 平移 个单位长度得到函数的图象． （2）上述探究方法运用的数学思想是 ． A．整体思想 B．类比思想 C．分类讨论思想 【应用延伸】 （1）将反比例函数的图象先 ，再 得到函数的图象． （2）函数图象的对称中心的坐标为 ． 【答案】动手操作：见解析；探究发现：（1）左，；（2）B；应用延伸：（1）右平移个单位长度；向下平移个单位长度；（2） 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，解题的关键是掌握反比例函数的图象与性质． 动手操作：列表，描点、连线画出函数的图象即可； 探究发现：结合图象填空即可； 应用延伸：根据发现的规律填空即可． 【详解】解：动手操作 列表： … … … … 描点、连线画出函数图象如图示： 探究发现 （1）将反比例函数的图象向左平移 个单位长度得到函数的图象． 故答案为：左，； （2）上述探究方法运用的数学思想是B． 故答案为：B； 应用延伸 （1）将反比例函数的图象先右平移个单位长度，再向下平移个得到函数的图象． 故答案为：右平移个单位长度；向下平移个单位长度； （2）函数图象的对称中心的坐标为． 故答案为． 8．我们定义：如果一个矩形的周长和面积相等，称这个矩形为“完美矩形”，如果一个矩形B周长和面积都是A矩形的n倍，那么我们就称矩形B是矩形A的“n倍契合矩形”． 【概念辨析】 （1）①边长为4的正方形______（填“是”或“不是”）“完美矩形”； ②矩形A的周长是12，面积是8，它的“2倍契合矩形”的周长______，面积为______； 【深入探究】 （2）问题：长为3，宽为2的矩形是否存在“2倍契合矩形”？ 我们可以从函数的观点来研究“2倍契合矩形”，设“2倍契合矩形”的长和宽分别为x，y（，），依题意，，则，，在图1的平面直角坐标系中作出了一次函数和反比例函数的图象来研究，有交点就意味着存在“2倍契合矩形”． 那么长为3，宽为2的矩形是否存在“2倍契合矩形”？若存在，请求出它的长，若不存在，请说明理由； （3）①如果长为x，宽为y（，）的矩形是一个“完美矩形”，求y与x的函数关系式，并在图2的平面直角坐标系中直接画出函数图象； ②观察图象，直接写出周长为20的“完美矩形”的长． 【答案】（1）①是；②24，16；（2）存在，矩形的长为：；（3）①画出函数的图象见解答，函数的表达式为：；②7.2（答案不唯一）． 【分析】（1）由新定义即可求解； (2)从两个函数图象看，两个函数有交点，故存在“2倍契合矩形”，联立两个函数表达式得∶ ，即可求解； （3)①由新定义求出函数表达式，画出函数图象即可；②在①的图象中，函数的图象，得到两个函数交点即可． 【详解】解：（1）①边长为4的正方形的周长和面积均为16，故该正方形为“完美矩形”， 故答案为∶是； ②由新定义知，矩形A的周长是12，面积是8，它的“2倍契合矩形”的周长24，面积为16． 故答案为∶ 24，16； （2）存在， 理由：从两个函数图象看，两个函数有交点，故存在“2倍契合矩形”， 联立两个函数表达式得∶ ， 解得∶ 或 (舍去)， 即矩形的长为：； （3）①画出函数的图象， 由题意得，矩形的周长为，面积为，则，即， 列表如下： 描点、连线，如下图所示： ②长为x，宽为的矩形是一个“完美矩形”的周长为20，则， 即， 在①的图象中，函数的图象，两个函数的交点为∶2.9和7.2(答案不唯一)，则周长为20的“完美矩形”的长7.2(答案不唯一)． 【点睛】本题考查了反比例函数综合题，认真阅读理解新定义“矩形B是矩形A的n倍契合矩形”，掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键． 9．《九章算术》中记载，浮箭漏（如图①）出现于汉武帝时期，它由供水壶和箭壶组成，箭壶内装有箭尺，水匀速地从供水壶流到箭壶，箭壶中的水位逐渐上升，箭尺匀速上浮，可通过读取箭尺读数计算时间.某学校科技研究小组仿制了一套浮箭漏，并从函数角度进行了如下实验探究.研究小组每2h记录一次箭尺读数（箭尺最大读数为），得到如表： 供水时间x（h） 0 2 4 6 8 箭尺读数y（） 6 18 30 42 54 (1)如图②，建立平面直角坐标系，横轴表示供水时间，纵轴表示箭尺读数，描出以表格中数据为坐标的各点，并连线； (2)观察描出各点的分布规律，可以知道它是我们学过的_______函数，请结合表格数据，求出该函数解析式； (3)应用上述得到的规律计算：如果本次实验记录的开始时间是上午，那么当箭尺读数为时是什么时候？ 【答案】(1)见解析 (2)一次， (3)下午 【分析】本题考查了一次函数的应用，正确理解题意，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）描点并连线即可； （2）根据画出的图象特征判断即可，运用待定系数法求出函数解析式； （3）将代入函数解析式，求出的值，并根据本次实验记录的开始时间计算当箭尺读数为时的时间即可． 【详解】（1）解：描点并连线如图所示： （2）解：观察描出各点的分布规律，可以知道它是我们学过的一次函数． 故答案为：一次． 设与之间的函数解析式为、为常数，且． 将，和，分别代入， 得， 解得， 与之间的函数解析式为． （3）解：当时，得， 解得， 上午经过12.5小时是，即下午． 答：当箭尺读数为时是下午． 10．数学活动课上，王老师与同学们用实验的方法探究函数关系： 【实验操作】如图1，平面直角坐标系中，点A的坐标是，在x轴上任取一点M，连接，作线段的的垂直平分线，过点M作x轴的垂线，记，的交点为P，设点P的坐标为，探究y与x的函数关系． 【归纳猜想】在x轴上多次改变点M的位置，测量线段与的长度，在表格中记录数据如下： 线段长 … 线段长 … 如果，在网格坐标系中描出点，用描点法画出函数图象； 【总结结论】根据图象猜想线段与的长之间的函数关系，由此得出点P的坐标满足的函数关系： （1）猜想关于的函数解析式，请直接写出结论，并写出的取值范围； （2）在图1中利用几何推理证明（1）中的结论． 【答案】归纳猜想：见详解；总结结论：（1）（2）证明见详解 【分析】本题考查待定系数法求二次函数解析式，勾股定理，熟练掌握待定系数法求二次函数解析式是解题的关键； 归纳猜想：根据描点法作图即可； 总结结论：（1）根据待定系数法求二次函数解析式即可求解； （2）连接，过点作与点，利用勾股定理证明即可求解； 【详解】解：归纳猜想：函数图像如图所示， （1）解：函数图像为抛物线的一部分，故与满足二次函数的关系， 函数解析式为：； 设解析式为：， 将，，代入， 可得：， 解得：， 函数解析式为：； （2）如图，连接，过点作与点， ， 四边形为矩形， ，， ， 为线段的垂直平分线， 在中，， ， ， 故与满足的关系式为：； 11．如何拟定运动员拍照记录的方案？ 素材1 图1是单板滑雪运动员从大跳台滑雪场地滑出的场景，图2是跳台滑雪场地的横截面示意图．垂直于水平底面，点D到A之间的滑道呈抛物线型．已知，，且点B处于跳台滑道的最低处． 素材2 如图3，某运动员从点A滑出后的路径满足以下条件： ①运动员滑出路径与D、A之间的抛物线形状相同． ②该运动员在底面上方竖直距离处达到最高点P． ③落点Q在底面下方竖直距离． 素材3 高速摄像机能高度还原运动员的精彩瞬间，如图4，有一台摄像机M进行跟踪拍摄： ①它与点B位于同一高度，且与点B距离； ②运动过程需在摄像头视角范围内才能记录，记摄像头的俯角为α； ③在平面直角坐标系中，设射线的解析式为，其比 例系数k和俯角α的函数关系如图5所示．    问题解决 任务1 确定D、A之间滑道的形状 在图2中建立适当的平面直角坐标系，求滑道所在抛物线的函数表达式． 任务2 确定运动员达到最高点的位置 在同一平面直角坐标系中，求运动员到达最高处时与点A的水平距离． 任务3 确定拍摄俯角α 若要求运动员的落点Q必须在摄像机M的视角范围内，则俯角α至少多少度（精确到个位）？ 【答案】（1）；（2）6米；（3）俯角α至少15度 【分析】本题考查了用待定系数法求函数的解析式、二次函数的图象和性质，一次函数，根据题意建立适当的平面直角坐标系是解题的关键． 任务1：建立平面直角坐标系，设滑道所在抛物线的函数表达式为，将点代入求解即可； 任务2：建立平面直角坐标系，根据题意得出运动员滑出路径抛物线的函数表达式为，再求出时的值，得到的长，即可得到答案； 任务3：如（2）建立平面直角坐标系，进而得出，，设与的函数解析式为，结合图象求出，设射线的解析式为，将，代入，求出的值即可． 【详解】解：任务1：如图，以点为原点，以所在的直线为轴建立平面直角坐标系， ，， ， 设滑道所在抛物线的函数表达式为， 则，解得：， 滑道所在抛物线的函数表达式为； 任务2：如图，以点所在的直线为轴，所在的直线为轴建立平面直角坐标系，则， 运动员滑出路径与D、A之间的抛物线形状相同， 运动员滑出路径抛物线的函数表达式为， 把代入得，， 解得，即， 运动员到达最高处时与点的水平距离为； 任务3：如（2）建立平面直角坐标系， 落点Q在底面下方竖直距离， 把代入，得， 解得：， , ，，， ， ， 设与的函数解析式为， 由图象可知，， 解得：， ， ， 设射线的解析式为，即， 把，代入得：， 解得：， 答：俯角α至少15度． 12．已知函数的图象如图所示，请根据函数图象回答下列问题． (1)方程的解为______； (2)方程有四个不同的实数根，则的取值范围为______； (3)若函数的图象与直线有三个交点，求的值． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题主要考查了二次函数图象与一元二次方程，二次函数图象和性质，数形结合是解题的关键． （1）根据图象即可求得； （2）求得直线经过点以及直线经过点时的的值即可； （3）求得直线经过点以及直线与函数相切时的的值即可． 【详解】（1）解：通过观察图象可得的解为， 故答案为：； （2）解：当时，直线与函数有三个交点，即有三个不同的实数根， 当 时，直线与函数有两个交点，即有两个不同的实数根， 当方程有四个不同的实数根时，， 故答案为：； （3）解：把点代入得，， 令，整理得， 则，解得， 当函数的图象与直线有三个交点时，的值为或． 13．小爱学习了二次函数后，对函数进行了探究，在经过列表、描点、连线的步骤后，得到如图所示的函数图象，请根据该函数图象回答下列问题： (1)观察探究： 写出该函数的一条性质：________； 方程的解为________； 若方程有四个实数根，则的取值范围是________． (2)延伸思考： 函数的图象经过怎样的平移可得到函数的图象？请写出平移的过程． 【答案】(1)函数图象关于轴对称（答案不唯一） ，，    (2)将函数的图象先向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度，可得到函数的图象 【分析】本题考查函数图象的性质，解题关键是掌握函数与方程及不等式的关系，掌握函数图象的平移规律． （1）由图象关于轴对称求解； 根据图象时的值求解； 将方程化为函数图象与直线的交点问题求解； （2）根据函数图象的平移规律“左加右减，上加下减”求解． 【详解】（1）解：由图象可得图象关于轴对称， 故答案为：由图象可得图象关于轴对称（答案不唯一）； 由图象可得，，时，， 故答案为：，，； 由图象可得时，图象与直线有个交点， 故答案为：； （2）解：将函数的图象先向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度，可得到函数 的图象． 14．如图，在长方形中，，，点从点以每秒个单位长度的速度沿方向运动，点从点以每秒个单位长度的速度沿方向运动，当点到达终点时，点也随之停止运动，连接，．设点运动时间为秒，的面积为． (1)请直接写出关于的函数表达式，并注明自变量的取值范； (2)在给定的平面直角坐标系中画出函数的图象，并写出该函数的一条性质； (3)结合函数的图象，请直接写出该函数图象与直线有两个交点时的取值范围：． 【答案】(1)关于的函数表达式为； (2)作图见解析，由图可得，当，随的增大而增大 (3)． 【分析】此题考查了动点问题，一次函数的图象及性质，二次函数的图象的性质及求一次函数， （1）分当时，点在上，点在上，和当时，点在上，点在上，两种情况，利用三角形的面积公式求解即可； （2）根据解析式可画出函数图象，并得到图象的性质； （3）观察函数图象即可求解． 【详解】（1）解：∵四边形是长方形， ∴，， 当时，点在上，点在上， ∵点从点以每秒个单位长度的速度沿方向运动，点从点以每秒个单位长度的速度沿方向运动， ∴，， ∴， ∴； 当时，点在上，点在上， ∵点从点以每秒个单位长度的速度沿方向运动，点从点以每秒个单位长度的速度沿方向运动， ∴，， ∴； ∴关于的函数表达式为； （2）解：函数的图象如图所示， 由图可得，当，随的增大而增大； （3）解：∵， ∴的顶点为，对称轴为，最大值为， 结合图象可得当直线在两条虚线之间（不包括最高点，包括最低点）时，与图象有两个交点， 当过时，，解得：； 当过时，，解得：； ∴结合函数图象，当函数与上述函数的图象有两个交点时的取值范围为． 15．如图1，在矩形中，，点Q为边上的中点．动点M从点A出发，沿折线以每秒1个单位长度的速度向点C运动，到点C时停止．设运动的时间为x秒，记线段所围成的图形的面积为． (1)请直接写出y关于x的函数表达式以及对应的x的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质； (3)函数与的图象有2个交点，请估计两个交点的横坐标的值并直接写出来（误差不超过0.2）． 【答案】(1) (2)图象见解析；当时，y随着x的增大而减小，当时，y随着x的增大而增大 (3)2.4和7 【分析】本题主要考查了一次函数与几何综合，由实际问题中抽象出一次函数，一次函数图象的画法与性质等知识点，采用数形结合的方法求解是解题的关键． （1）根据M的位置不同分类讨论，利用三角形的面积公式求解即可； （2）根据一次函数的画法，画出函数图象，进而可写出函数的性质； （3）采用数形结合的方法，画出函数与的图象，即可求解． 【详解】（1）解：当M在上时，， ∴， ∴， ∵， ∴； 当M在上时，， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：根据一次函数的画法，画出图象如图： ∴函数性质有（答案不唯一）：当时，y随着x的增大而减小，当时，y随着x的增大而增大； （3）解：如图： 估计两个交点的横坐标的值分别为2.4和7． 16．探究函数性质时，我们经历了列表、描点、连线画出函数图象，观察分析图象特征，概括函数性质的过程．数学兴趣小组的同学们准备结合已有的学习函数的经验，画出函数的图象并探究该函数的性质， x 0 1 2 3 4 y … 3 6 a b (1)【图象初探】列表，写出表中的值：______，______；并观察表格中数据的特征，在所给的平面直角坐标系中补全该函数的图象． (2)【性质再探】观察函数图象，下列关于函数的结论正确的是_______． ①函数的图象关于y轴对称．②函数的图象不经过第三、四象限．③当时，函数有最大值，最大值为6．④在自变量的取值范围内，函数y的值随自变量x的增大而增大． (3)【学以致用】写出直线与函数有两个交点时，a的取值范围，并说明理由． 【答案】(1)，，补全该函数的图象见解析 (2)①②③ (3)，理由见解析 【分析】本题考查了函数的图象，会画函数的图象和识别图象是解题的关键． （1）分别将，代入函数解析式求解即可，再根据表格中数据即可补全函数图象； （2）根据图象的增减性和最值及对称性求解； （3）仿照函数，作出图象，结合图象可知函数的函数值的取值范围为，进而结合图象即可求解． 【详解】（1）当时，，当时，， 即：，， 补全该函数的图象如下： 故答案为：，； （2）由表格中的数据知：图象关于轴对称，故①是正确的； ∵， ∴， ∴图象不经过三、四象限，故②是正确的； ∵， ∴， ∴的最大值为6； 由图象得，当时，随的增大而减小，故④是错误的； 故答案为：①②③； （3）类比函数，作出的图象如图所示， 由图象可知，函数的函数值的取值范围为， 结合图象可知，直线与函数有两个交点时，． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$