精品解析：四川省泸州市叙永县第一中学校2024-2025学年八年级上学期1月期末数学试题

泸州市叙永县第一中学校2024-2025学年初二上期期末考试数学试题 注意事项： 1.全卷满分120分，考试时间120分钟． 2.考生作答时，选择题用2B铅笔将答案填涂在答题卡对应题目标号的位置上，其余各题用0.5毫米黑色墨迹签字笔将答案写在答题卡上：在本试卷和草稿纸上答题无效． 第Ⅰ卷（选择题） 一、选择题（本题有12个小题,每小题3分，满分36分） 1. 以下依次是回收、绿色包装、节水、低碳四个标志，其中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 4月的字库山绽放着美丽的玫瑰花，玫瑰花粉的直径约为，用科学记数法可表示为（ ） A. B. C. D. 3. 下列长度的三条线段能组成三角形的是（ ） A. 2，3，6 B. 4，4，8 C. 5，10，6 D. 12，5，6 4. 下列运算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，是等边三角形，点在边上，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，已知，下列条件能使的是（　　） A. B. C. D. 7. 如图，将Rt△ABC沿着点B到点C的方向平移到△DEF的位置，已知，，，则图中阴影部分的面积为（ ） A. 12 B. 15 C. 18 D. 24 8. 如果把分式中的和都扩大10倍，那么分式的值（ ） A. 扩大10倍 B. 缩小10倍 C. 扩大2倍 D. 不变 9. 下列四个从左到右的变形中，是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，中，，平分，过点作于，测得，，则的周长是（ ） A. 30 B. 24 C. 18 D. 12 11. 若关于的方程的解为非负整数，则符合条件的正整数的个数为（ ） A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个 12. 如图，在和中，，，，，连接交于点H，连接，下列结论：①；②；③平分；④平分；⑤直线平分线段．其中正确的结论有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 第Ⅱ卷（非选择题） 二、填空题（共12分） 13. 在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标是_____． 14. 因式分解：__________． 15. 已知：，则______． 16. 如图，在等边中，，是延长线上一点，且，是上一点，且，则的长为_____． 三、解答题（共72分） 17. 计算：． 18. 化简：. 19. 已知：如图，，，．求证：． 20. 如图，的顶点均在正方形网格图的格点上，且网格中每个小正方形的边长都是1． （1）画出在网格图中关于直线对称的图形； （2）在直线上找一点，使得（要求在直线上标出点的位置）； （3）连接、，计算四边形的面积． 21. 先化简，再求值：，其中． 22. 如图，是等边三角形，D、E分别是边、上的点，且，且、交于点G，且，垂足为F． （1）求证：； （2）若，求DG的长度． 23. 某玩具商店用2500元购进一批儿童玩具，上市后很快脱销，接着又用4500元购进第二批这种玩具，所购数量是第一批数量的1.5倍，但每套进价多了10元． （1）求第一批玩具每套的进价是多少元？ （2）如果这两批玩具每套售价相同，且全部售完后，商店想要获得不低于1750元的利润，那么每套售价至少是多少元？ 24. 阅读材料：形如的式子叫做完全平方式，有些多项式虽然不是完全平方式，但可以通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法．配方法在因式分解、代数最值等问题中都有广泛的应用． （一）用配方法因式分解：． 解：原式 （二）用配方法求代数式的最小值． 解：原式 ∵，∴，∴的最小值为． （1）若代数式是完全平方式，则常数k的值为______； （2）因式分解：______； （3）用配方法求代数式的最小值； 拓展应用： （4）若实数a，b满足，则的最小值为______． 25. 已知在中，，过点C引一条射线，D是上一点． 【问题解决】 （1）如图1，若，射线在内部，，求证：． 小明的做法是：在上取一点E，使得，再通过已知条件，求得的度数．请你帮助小明写出证明过程； 【类比探究】 （2）如图2，已知，当射线在内，求的度数． 【变式迁移】 （3）如图3，已知，当射线在下方，的度数会变化时？若改变，请求出的度数，若不变，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 泸州市叙永县第一中学校2024-2025学年初二上期期末考试数学试题 注意事项： 1.全卷满分120分，考试时间120分钟． 2.考生作答时，选择题用2B铅笔将答案填涂在答题卡对应题目标号的位置上，其余各题用0.5毫米黑色墨迹签字笔将答案写在答题卡上：在本试卷和草稿纸上答题无效． 第Ⅰ卷（选择题） 一、选择题（本题有12个小题,每小题3分，满分36分） 1. 以下依次是回收、绿色包装、节水、低碳四个标志，其中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是轴对称图形的概念，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，也可以说这个图形关于这条直线（成轴）对称．据此解答即可． 【详解】解：选项A、B、D均不能找到这样的一个直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形， 选项C能找到这样的一个直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形， 故选：C． 2. 4月的字库山绽放着美丽的玫瑰花，玫瑰花粉的直径约为，用科学记数法可表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，确定与的值是解题的关键，绝对值小于的数也可以利用科学记数法表示，一般形式为指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定． 根据科学记数法的表示方法进行表示即可． 【详解】解：， 故选：B． 3. 下列长度的三条线段能组成三角形的是（ ） A. 2，3，6 B. 4，4，8 C. 5，10，6 D. 12，5，6 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查了三角形的三边关系，关键是掌握三角形的三边关系定理． 根据在三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，由两较小边之和与较大边比较就可以判断． 【详解】解：A、∵，∴不能组成三角形，故此选项不符合题意； B、∵，∴不能组成三角形，故此选项不符合题意； C、∵，∴能组成三角形，故此选项符合题意； D、∵，∴不能组成三角形，故此选项不符合题意； 故选：C． 4. 下列运算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查整式的运算，根据合并同类项法则、积的乘方运算法则、完全平方公式和同底数幂的除法运算法则逐项判断即可解答． 【详解】解：A、和不是同类项，不能加减，故原计算错误，不符合题意； B、，计算正确，符合题意； C、，故原计算错误，不符合题意； D、，故原计算错误，不符合题意； 故选：B． 5. 如图，是等边三角形，点在边上，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的性质，三角形外角定理，熟练掌握等边三角形性质及外角定理是解题的关键利用等边三角形的性质及三角形外角定理计算即可 【详解】∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， 故选： 6. 如图，已知，下列条件能使的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据全等三角形的判定定理逐个判断即可． 【详解】解：，，添加， 可利用证明， 其他条件无法证明， 故选：C． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定定理，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键，注意：全等三角形的判定定理有，，，，两直角三角形全等还有． 7. 如图，将Rt△ABC沿着点B到点C的方向平移到△DEF的位置，已知，，，则图中阴影部分的面积为（ ） A. 12 B. 15 C. 18 D. 24 【答案】B 【解析】 【分析】根据平移的性质得到△ABC≌△DEF，BE=CF=3，DE=AB=6，则HE=4，利用面积的和差得到阴影部分的面积=S梯形ABEH，然后根据梯形的面积公式计算即可． 【详解】解：∵直角三角形ABC沿着点B到点C的方向平移到三角形DEF的位置， ∴△ABC≌△DEF，BE=CF=3，DE=AB=6， ∴HE=DE-DH=6-2=4， ∵S△ABC=S△DEF， ∴阴影部分的面积=S梯形ABEH=×（4+6）×3=15． 故选B． 【点睛】本题考查了全等三角形性质，平移的性质：把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同；新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点．连接各组对应点的线段平行且相等． 8. 如果把分式中的和都扩大10倍，那么分式的值（ ） A. 扩大10倍 B. 缩小10倍 C. 扩大2倍 D. 不变 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查分式的基本性质．x、y的值都扩大10倍，相当于分子、分母都扩大10倍，根据分式的基本性质，进行判断即可． 【详解】解：由题意，得： ， 故选：A 9. 下列四个从左到右的变形中，是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查因式分解的定义，正确理解因式分解的定义是解题的关键．因式分解就是把多项式转化成几个整式的积的形式，根据定义即可作出判断． 【详解】解：A．为多项式乘法，不符合题意； B．，结果不是整式的积的形式，不是因式分解，不符合题意； C．，符合因式分解的定义，符合题意； D．，结果中存在分式，不是整式的积的形式，不符合题意． 故选C． 10. 如图，中，，平分，过点作于，测得，，则的周长是（ ） A. 30 B. 24 C. 18 D. 12 【答案】B 【解析】 【分析】由中，，，平分，根据角平分线的性质定理得到，即可求出的周长． 【详解】解：∵在中，， ∴ ∵，平分， ∴， ∵，， ∴的周长， 故选B． 【点睛】此题考查了角平分线的性质定理，此题比较简单，注意角平分线的性质定理：角平分线上的点到角的两边的距离相等． 11. 若关于的方程的解为非负整数，则符合条件的正整数的个数为（ ） A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查分式方程，熟练掌握分式方程的解法是解题的关键；根据分式的方程的解法及题意可进行求解． 【详解】解： 去分母得：， 移项、合并同类项得：， ∵该方程的解为非负整数， ∴且， 解得：且， ∴符合条件的正整数有2、3、4，共3个； 故选A． 12. 如图，在和中，，，，，连接交于点H，连接，下列结论：①；②；③平分；④平分；⑤直线平分线段．其中正确的结论有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】B 【解析】 【分析】证明，则，可判断①的正误；由三角形的外角性质得：，则，可判断②的正误；如图，作于G，于M，证明，则，可得平分；进而可判断④的正误；假设平分，则，证明，则，与矛盾，可判断③的正误；根据题意，无法求证直线平分线段，进而可判断⑤的正误． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴，即， ∵，，， ∴， ∴，①正确，故符合题意； 由三角形的外角性质得：， ∴，②正确，故符合题意； 如图，作于G，于M， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴平分；④正确，故符合题意； 假设平分，则， ∴， ∵平分， ∴， ∵，，，∴， ∴，与矛盾，③错误，故不符合题意； 根据题意，无法求证直线平分线段，⑤错误，故不符合题意； 正确的个数有3个； 故选：B． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的判定，三角形内角和定理，三角形外角的性质等知识．熟练掌握等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的判定，三角形内角和定理，三角形外角的性质是解题的关键． 第Ⅱ卷（非选择题） 二、填空题（共12分） 13. 在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标是_____． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查坐标系中关于对称轴对称的点的坐标特点：关于x轴对称时，横坐标相等，纵坐标互为相反数；关于y轴对称时，横坐标互为相反数，纵坐标相等．根据坐标系中关于对称轴对称的点的坐标特点解答． 【详解】解：根据坐标系中关于对称轴对称的点的坐标特点可知：点关于y轴对称的点的坐标为， 故答案为：． 14. 因式分解：__________． 【答案】 【解析】 【分析】先提取公因式，再利用平方差公式完成二次分解即可． 【详解】解：． 15. 已知：，则______． 【答案】10 【解析】 【分析】本题考查幂的运算，逆用同底数幂的乘法，以及幂的乘方法则，进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴； 故答案为：10． 16. 如图，在等边中，，是延长线上一点，且，是上一点，且，则的长为_____． 【答案】3 【解析】 【分析】过点作于，先根据含的直角三角形的性质求出，再根据等腰三角形的三线合一性质求出，即可得出．本题考查了等边三角形的性质、等腰三角形的性质以及含的直角三角形的性质等知识；熟练掌握等边三角形的性质和直角三角形的性质是解题的关键． 【详解】解：过点作于；如图所示： 则， 是等边三角形， ，， ， ， ， ， ，， ， ； 故答案为：3． 三、解答题（共72分） 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】先将二次根式，0次幂，负整数幂，绝对值化简，再进行计算即可． 【详解】解：原式 ． 【点睛】本题主要考查了实数的混合运算，解题的关键是熟练掌握二次根式，0次幂，负整数幂，绝对值化简的方法，以及实数混合运算的运算顺序和运算法则． 18. 化简：. 【答案】-3y2 【解析】 【分析】利用多项式乘以多项式、单项式乘以多项式计算以后，再合并即可． 【详解】解： =x2+3xy-xy-3y2-x2-2xy =-3y2． 【点睛】本题考查了整式的混合运算，能正确根据整式的运算法则进行化简是解此题的关键． 19. 已知：如图，，，．求证：． 【答案】 证明：∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形全等的判定与性质．运用定理证明直角三角形全等即可． 【详解】略． 20. 如图，的顶点均在正方形网格图的格点上，且网格中每个小正方形的边长都是1． （1）画出在网格图中关于直线对称的图形； （2）在直线上找一点，使得（要求在直线上标出点的位置）； （3）连接、，计算四边形的面积． 【答案】（1）△如图所示； （2）如图所示， （3）． 【解析】 【分析】（1）根据网格结构找出点、、关于直线的对称点、、的位置，然后顺次连接即可； （2）根据线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等，过中点作交直线于点，点即为所求； （3）根据列式计算即可得解． 【详解】解：（1）略 （2）过中点作交直线于点，此时； （3）． 【点睛】本题考查了利用轴对称变换作图，线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等的性质，熟练掌握网格结构准确找出对应点的位置是解题的关键． 21. 先化简，再求值：，其中． 【答案】 【解析】 【分析】先把分子、分母能分解因式的分解因式，再把除法转化为乘法，约分后再代入求值即可． 【详解】解： 当 上式 【点睛】本题考查的是分式的除法运算，掌握把除法转化为乘法是解题的关键． 22. 如图，是等边三角形，D、E分别是边、上的点，且，且、交于点G，且，垂足为F． （1）求证：； （2）若，求DG的长度． 【答案】（1） 证明：∵是等边三角形， ∴，， ∵ ∴ ∴ 在与中，， ∴≌， ∴； （2）2 【解析】 【分析】（1）证明≌，即可得到； （2）利用由（1）知，求出，又，即，得到，根据在直角三角形中，所对的直角边等于斜边的一半，可求出的长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴ ∵，即， ∴， ∴在中，， ∵， ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质定理与判定定理、等边三角形的性质，含的直角三角形的性质，解决本题的关键是证明三角形全等，找到对应角相等． 23. 某玩具商店用2500元购进一批儿童玩具，上市后很快脱销，接着又用4500元购进第二批这种玩具，所购数量是第一批数量的1.5倍，但每套进价多了10元． （1）求第一批玩具每套的进价是多少元？ （2）如果这两批玩具每套售价相同，且全部售完后，商店想要获得不低于1750元的利润，那么每套售价至少是多少元？ 【答案】（1）第一批玩具每套的进价是50元 （2）每套售价至少是70元 【解析】 【分析】（1）设第一批玩具每套的进价是x元，由题意：某玩具商店用2500元购进一批儿童玩具，接着又用4500元购进第二批这种玩具，所购数量是第一批数量的1.5倍，但每套进价多了10元．列出分式方程，解方程即可； （2）设每套售价是y元，由题意：这两批玩具每套售价相同，且全部售完后，商店想要获得不低于1750元利润，列出一元一次不等式，解不等式即可． 【小问1详解】 解：设第一批玩具每套的进价是x元， 根据题意可得：， 解得：x＝50， 经检验，x＝50是分式方程的解，且符合题意． 答：第一批玩具每套的进价是50元． 【小问2详解】 解：设每套售价是y元，2500÷50＝50（套），50×1.5＝75（套）， 由题意得：50y＋75y−2500−4500≥1750， 解得：y≥70， 答：每套售价至少是70元． 【点睛】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找出数量关系，正确列出一元一次不等式． 24. 阅读材料：形如的式子叫做完全平方式，有些多项式虽然不是完全平方式，但可以通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法．配方法在因式分解、代数最值等问题中都有广泛的应用． （一）用配方法因式分解：． 解：原式 （二）用配方法求代数式的最小值． 解：原式 ∵，∴，∴的最小值为． （1）若代数式是完全平方式，则常数k的值为______； （2）因式分解：______； （3）用配方法求代数式的最小值； 拓展应用： （4）若实数a，b满足，则的最小值为______． 【答案】（1）25 （2） （3）4 （4）3 【解析】 【分析】（1）利用完全平方公式即可得； （2）利用配方法把配凑成，由此即可得； （3）将配凑成，利用完全平方公式求解即可得； （4）根据配方可得，从而可得，由此即可得． 【小问1详解】 解：∵代数式是完全平方式， ， ， ， 故答案为：25． 【小问2详解】 解： ， 故答案为：． 【小问3详解】 解： ， ， ， 的最小值为4． 【小问4详解】 解： ， ， ， ， 的最小值为3． 【点睛】本题考查了完全平方公式、利用配方法因式分解，熟练掌握配方法是解题关键． 25. 已知在中，，过点C引一条射线，D是上一点． 【问题解决】 （1）如图1，若，射线在内部，，求证：． 小明的做法是：在上取一点E，使得，再通过已知条件，求得的度数．请你帮助小明写出证明过程； 【类比探究】 （2）如图2，已知，当射线在内，求的度数． 【变式迁移】 （3）如图3，已知，当射线在下方，的度数会变化时？若改变，请求出的度数，若不变，请说明理由． 【答案】 （1）证明：如图1，在上取一点E，使， ， 是等边三角形， ， ，， 是等边三角形， ， ， ， 即， 在和中， ， ， ； （2）；（3）会变化，； 【解析】 【分析】（1）根据等边三角形的判定与性质证明，进而得出答案； （2）在上取一点使，然后证明，进而得出答案； （3）在延长线上取一点使，同理证明，进而得出答案； 【详解】（1）略 （2）证明：在上取一点E，， ， ，， ，， ， ， ， 即， 在和中， ， ； （3）的度数会变化，理由如下： 在延长线上取一点E，使得， ， 同理①的方法可证：， ， ； 【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $