辽宁省沈阳市于洪区2024-2025学年八年级上学期期末数学试卷

2024-2025学年辽宁省沈阳市于洪区八年级（上）期末数学试卷 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．（3分）一个正方体包装盒的体积为10，则它的棱长为（　　） A． B． C． D．1000 2．（3分）A地在地球上的位置如图所示，则A地的位置是（　　） A．东经130°，北纬50° B．东经130°，北纬60° C．东经150°，北纬50° D．东经40°，北纬50° 3．（3分）若二次根式有意义，则x的值不可以是（　　） A．3 B．2 C．1 D．0 4．（3分）生活中常见的探照灯、汽车大灯等灯具都与抛物线有关．如图，从光源P点照射到抛物线上的光线PA，PB等反射以后沿着与EPF平行的方向射出，若∠CAP＝45°，∠APB＝100°，则∠DBP的度数为（　　） A．45° B．50° C．55° D．无法确定 5．（3分）下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 6．（3分）某物体在力F的作用下，沿力的方向移动的距离为s，力对物体所做的功W与s的对应关系如图所示，则下列结论正确的是（　　） A．W＝s B．W＝20s C．W＝8s D．s＝ 7．（3分）下列命题是真命题的是（　　） A．相等的角是对顶角 B．三角形的一个外角大于这个三角形的任何一个内角 C．三角形任意两边之和大于第三边 D．两条直线被第三条直线所截，内错角相等 8．（3分）如图是一次函数y＝kx+b的图象，下列说法正确的是（　　） A．y随x增大而增大 B．图象经过第三象限 C．k＜0，b＞0 D．当x＜0时，y＜0 9．（3分）甲、乙两种商品原来的单价和为300元．因市场变化，甲商品降价5%，乙商品提价20%，调价后，两种商品的单价和比原来的单价和提高了10%．设甲种商品原来的单价是x元，乙种商品原来的单价是y元，可列出的方程组是（　　） A． B． C． D． 10．（3分）如图，已知AG平分∠BAC，CG平分∠ACD，∠1+∠2＝90°，则下列结论不一定成立的是（　　） A．AF⊥CE B．AC∥BD C．∠E+∠F＝90° D．∠ABE+∠CDF＝180° 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11．（3分）一个正数的两个平方根分别是3与a+2，则a的值为 　 　． 12．（3分）某鞋店在一周内销售了30双鞋，各种尺码的销售量如图： 尺码（cm） 22 22.5 23 23.5 24 24.5 25 销量（双） 3 4 5 11 3 3 1 该鞋店下一周进鞋最多的尺码应是 　 　cm． 13．（3分）如图，二元一次方程组的解是 　 　． 14．（3分）在《算法统宗》中有一道“荡秋千”的问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地．送行二步与人齐，五尺人高曾记．仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉．良工高士素好奇，算出索长有几．”此问题可理解为：如图，有一架秋千，当它静止时，踏板离地距离AB长度为1尺．将它往前水平推送10尺，即A'C＝10尺，则此时秋千的踏板离地距离A'D就和身高5尺的人一样高．若运动过程中秋千的绳索始终拉得很直，则绳索OA长为 　 　尺． 15．（3分）动点H以每秒1cm的速度沿图1中的长方形ABCD的边按从A﹣B﹣C﹣D的路径匀速运动，△ADH的面积S（cm2）与时间t（s）的关系如图2，已知AD＝4cm，则m＝　 　cm2． 三、解答题（本题共8小题，共75分.解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16．（10分）（1）计算： （1）； （2）解方程组： 17．（8分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣2，4），B（﹣4，1），C（﹣1，2） （1）将△ABC的三个顶点的横坐标分别乘﹣1，纵坐标保持不变，画出所得三个顶点并依次连接起来，记作△A1B1C1（点A，B，C的对应点分别为A1，B1，C1）； （2）△ABC与（1）所得△A1B1C1的位置关系　 　； （3）在y轴上找一点P，使得BP+CP最小，请直接写出点P的坐标． 18．（8分）某校举办“学生讲堂”，八年级为了选出一位同学代表年级参赛，先后进行了笔试和面试．在笔试中，甲、乙、丙三位同学脱颖而出，他们的笔试成绩（满分100分）分别是95分，94分，88分．在面试中，十位评委对甲、乙、丙三位同学的表现进行打分，每位评委最高打10分，面试成绩等于十位评委打分之和．对甲、乙、丙三位同学的面试数据进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息． 信息一：评委给甲同学打分的条形统计图： 信息二：评委给乙、丙两位同学打分的折线统计图： 信息三：甲、乙、丙三位同学面试情况统计表： 同学 面试成绩 评委打分的中位数 评委打分的众数 甲 78 8 n 乙 86 9 10 丙 87 m 8 根据以上信息，回答下列问题： （1）填空：m＝ 　 　分，n＝ 　 　分； （2）在面试中，如果评委给某位同学的打分的方差越小，则认为评委对该同学面试的评价越一致．据此推断：甲、乙、丙三位同学中，评委对 　 　的评价更一致（填“甲”、“乙”或“丙”）； （3）按笔试成绩占40%，面试成绩占60%确定甲、乙、丙三位同学的综合成绩，综合成绩最高者将代表年级参赛，请你通过计算确定参赛同学． 19．（8分）随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．某公司计划购进一批新能源汽车，通过调查，将获取的相关数据整理如下表： 购买数量（单位：辆） 总费用（单位：万元） 甲型汽车 乙型汽车 2 1 60 3 4 115 （1）求甲、乙两种型号的汽车每辆分别为多少万元？ （2）若该公司计划正好用150万元购进甲、乙两种型号的汽车若干辆（两种型号汽车均购买），请直接写出该公司的购买方案． 20．（8分）小李同学探索的近似值的过程如下： ∵面积为86的正方形的边长是，且， ∴设，其中0＜x＜1，画出示意图，如图所示． 根据示意图，可得图中正方形的面积， 又∵S正方形＝86，∴81+2×9x+x2＝86． 当x2＜1时，可忽略x2，得81+18x≈86，解得x≈0.28，∴． （1）填空：的整数部分的值为　 　； （2）仿照上述方法，探究的近似值（结果精确到0.01） （答题要求：画出示意图，标明数据，并写出求解过程） 21．（8分）小明到某景区游玩，他从景区入口处步行到达小憩屋，休息片刻后继续前行，此时观光车从景区入口处出发，沿相同路线与小明先后到达观景点．如图折线OABC和线段DE分别表示小明和观光车离开景区入口的距离y（m）与小明步行时间x（min）之间的关系．根据图象解决下列问题： （1）观光车的行驶速度为 　 　m/min，点D的坐标为 　 　； （2）求线段BC对应的函数表达式； （3）当观光车到达观景点时，小明距观景点还有多远？ 22．（12分）在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D是BC边上一点，连接AD，过点B作AD的垂线，垂足为E． （1）如图1，求证：∠ABE＝∠CAD； （2）如图2，以BE为直角边作等腰直角△BEF（B，E，F三点按顺时针排列），∠BEF＝90°，连接BF，过点C作CG∥BF交直线AD于点G，猜想CG与AE的数量关系并证明； （3）若AB＝AC＝8，，求CG的长． 23．（13分）在平面直角坐标系中，对于图形M给出如下定义：将图形M上的一点P（a，b）变为点Q（a﹣b，a+b）（称点Q为点P的关联点．图形M上所有点按上述方法变化后得到的点组成的图形记为图形N，称图形N为图形M的关联图形． （1）点（1，﹣3）的关联点的坐标为　 　； （2）点A在直线y＝x+2上，点A的关联点B在直线y＝﹣3x+5，求点A的坐标； （3）如图1，若点E（a，b）在第一象限，且a＞b，点E的关联点F，判断△EOF的形状并证明； （4）已知t＞0，点A（t，0），B（t，t），C（0，t），若四边形OABC与其关联图形重合部分的面积为2，直线y＝mx+n（m≠0）经过点（4，5），且与该关联图形有交点、请直接写出t的最小值. 2024-2025学年辽宁省沈阳市于洪区八年级（上）期末数学试卷 参考答案与试题解析 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C C A C A C C C D B 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．（3分）一个正方体包装盒的体积为10，则它的棱长为（　　） A． B． C． D．1000 【分析】根据正方体的体积公式计算即可． 【解答】解：一个正方体包装盒的体积为10，则它的棱长为， 故选：C． 【点评】本题考查了立方根，熟练掌握立方根的定义是解题的关键． 2．（3分）A地在地球上的位置如图所示，则A地的位置是（　　） A．东经130°，北纬50° B．东经130°，北纬60° C．东经150°，北纬50° D．东经40°，北纬50° 【分析】在平面内确定物体的位置需要东经与北纬的度数两个数据，确定点A在东经的哪一条线上，北纬的哪一条线上，即可写出A的位置． 【解答】解：A的位置时东经150°，北纬50°． 故选：C． 【点评】本题考查在平面内确定物体的位置，正确理解确定的条件是解题关键． 3．（3分）若二次根式有意义，则x的值不可以是（　　） A．3 B．2 C．1 D．0 【分析】根据二次根式有意义的条件得出2﹣x≥0，求出x≤2，再逐个判断即可． 【解答】解：要使二次根式有意义，必须2﹣x≥0， 解得：x≤2， ∵3＞2，2＝2，1＜2，0＜2， ∴只有选项A符合题意，选项B、选项C、选项D都不符合题意， 故选：A． 【点评】本题考查了二次根式有意义的条件，解一元一次不等式和有理数的大小比较，能熟记中a≥0是解此题的关键． 4．（3分）生活中常见的探照灯、汽车大灯等灯具都与抛物线有关．如图，从光源P点照射到抛物线上的光线PA，PB等反射以后沿着与EPF平行的方向射出，若∠CAP＝45°，∠APB＝100°，则∠DBP的度数为（　　） A．45° B．50° C．55° D．无法确定 【分析】根据两直线平行，内错角相等可得∠APE＝∠CAP＝45°，又因为∠APB＝100°，所以∠BPE＝55°，再根据BD∥EF，即可解得． 【解答】解：∵AC∥EF，∠CAP＝45°， ∴∠APE＝∠CAP＝45°， ∵∠APB＝100°， ∴∠BPE＝55°， ∵BD∥EF， ∴∠DBP＝∠BPE＝55°． 故选：C． 【点评】本题主要考查了平行线的性质，解决问题的关键是掌握：两直线平行，内错角相等． 5．（3分）下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 【分析】A．根据二次根式的乘法法则进行计算，然后判断即可； B．根据二次根式的性质进行计算，然后判断即可； C．根据立方根的定义进行计算，然后判断即可； D．先判断是不是同类二次根式，能否合并，然后判断即可． 【解答】解：A．∵，∴此选项的计算正确，故此选项符合题意； B．∵，∴此选项的计算不正确，故此选项不符合题意； C．∵，∴此选项的计算不正确，故此选项不符合题意； D．∵不是同类二次根式，并能合并，∴此选项的计算不正确，故此选项不符合题意； 故选：A． 【点评】本题主要考查了二次根式的性质与化简，解题关键是熟练掌握二次根式的性质和乘法法则． 6．（3分）某物体在力F的作用下，沿力的方向移动的距离为s，力对物体所做的功W与s的对应关系如图所示，则下列结论正确的是（　　） A．W＝s B．W＝20s C．W＝8s D．s＝ 【分析】两点确定一条直线解析式，设W与s的解析式为W＝Ks，把s＝20，W＝160代入上式，可得解析式． 【解答】解：设W与s的关系解析式为W＝Ks（K≠0）， 当s＝20时，W＝160， 把（20，160）代入上式得， 160＝20K， 解得K＝8， ∴W＝8s， 故选：C． 【点评】本题考查一次函数的应用，解本题关键理解题意和图象，掌握一次函数的性质和代入法求值． 7．（3分）下列命题是真命题的是（　　） A．相等的角是对顶角 B．三角形的一个外角大于这个三角形的任何一个内角 C．三角形任意两边之和大于第三边 D．两条直线被第三条直线所截，内错角相等 【分析】利用对顶角的定义、三角形的外角的性质、三角形的三边关系及平行线的性质分别判断后即可确定正确的选项． 【解答】解：A、相等的角不一定是对顶角，故原命题错误，是假命题，不符合题意； B、三角形的一个外角大于不相邻的任何一个内角，故原命题错误，是假命题，不符合题意； C、三角形的任意两边之和大于第三边，正确，是真命题，符合题意； D、两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等，故原命题错误，是假命题，不符合题意． 故选：C． 【点评】本题主要考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解有关的定义及定理，难度不大． 8．（3分）如图是一次函数y＝kx+b的图象，下列说法正确的是（　　） A．y随x增大而增大 B．图象经过第三象限 C．k＜0，b＞0 D．当x＜0时，y＜0 【分析】根据一次函数的图象：从左往右逐渐下降，与y轴交于正半轴，再逐项判断即可得． 【解答】解：A、由图象可得：y随x增大而减小，原说法错误，不符合题意； B、图象不经过第三象限，原说法错误，不符合题意； C、由图象可得y随x增大而减小，所以k＜0，函数图象与y轴的交点的纵坐标为b，则b＞0，原说法正确，符合题意； D、由图象可得，当x＜0时，y＞0，原说法错误，不符合题意． 故选：C． 【点评】本题考查的是一次函数的图象与性质，一次函数与坐标轴的交点坐标问题，能正确的识图是解本题的关键． 9．（3分）甲、乙两种商品原来的单价和为300元．因市场变化，甲商品降价5%，乙商品提价20%，调价后，两种商品的单价和比原来的单价和提高了10%．设甲种商品原来的单价是x元，乙种商品原来的单价是y元，可列出的方程组是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据调价前后甲、乙两种商品的单价和，即可列出关于x，y的二元一次方程组，此题得解． 【解答】解：∵甲、乙两种商品原来的单价和为300元， ∴x+y＝300； ∵甲商品降价5%，乙商品提价20%，调价后，两种商品的单价和比原来的单价和提高了10%， ∴（1﹣5%）x+（1+20%）y＝300×（1+10%）． ∴根据题意可列方程组． 故选：D． 【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 10．（3分）如图，已知AG平分∠BAC，CG平分∠ACD，∠1+∠2＝90°，则下列结论不一定成立的是（　　） A．AF⊥CE B．AC∥BD C．∠E+∠F＝90° D．∠ABE+∠CDF＝180° 【分析】根据角平分线的定义、三角形内角和定理以及平行线的判定与性质分别对各个选项进行判断即可． 【解答】解：∵AP平分∠BAC， ∴∠1＝∠GAC＝∠BAC， ∵CG平分∠ACD， ∴∠2＝∠GCA＝∠DCA， A、∵∠1+∠2＝90°， ∴∠GAC+∠GCA＝90°， ∴∠AGC＝180°﹣90°＝90°， ∴AF⊥CE，故选项A不符合题意； B、题中的条件不能证明AC∥BD，故选项B符合题意； C、∵∠EGF＝∠AGC＝90°， ∴∠E+∠F＝90°，故选项C不符合题意； D、∵∠1+∠2＝90°， ∴∠BAC+∠DCA＝180°， ∴AB∥CD， ∴∠ABE＝∠CDB， ∵∠CDB+∠CDF＝180°， ∴∠ABE+∠CDF＝180°，故选项D不符合题意； 故选：B． 【点评】此题主要考查了平行线的判定与性质、三角形内角和定理以及角平分线的定义等知识，熟练掌握平行线的判定与性质和直角三角形的性质是解题的关键． 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11．（3分）一个正数的两个平方根分别是3与a+2，则a的值为 　﹣5　． 【分析】根据“一个正数的两个平方根互为相反数”进行计算即可． 【解答】解：∵一个正数的两个平方根分别是3与a+2， ∴a+2＝﹣3， 解得a＝﹣5． 故答案为：﹣5． 【点评】本题考查平方根，掌握“一个正数的两个平方根互为相反数”是正确解答的关键． 12．（3分）某鞋店在一周内销售了30双鞋，各种尺码的销售量如图： 尺码（cm） 22 22.5 23 23.5 24 24.5 25 销量（双） 3 4 5 11 3 3 1 该鞋店下一周进鞋最多的尺码应是 　23.5　cm． 【分析】根据表格中的数据，可知23.5出现的次数最多，从而可以得到这组数据的众数． 【解答】解：由表格可知， 23.5出现的次数最多， ∴该鞋店下一周进鞋最多的尺码应是23.5cm． 故答案为：23.5． 【点评】本题考查众数的意义，熟练掌握众数的求法是解题的关键． 13．（3分）如图，二元一次方程组的解是 　　． 【分析】两个一次函数的交点坐标就是二元一次方程组的解，从而可得答案． 【解答】解：∵y＝ax+b和y＝kx的交点坐标是（﹣3，1）． ∴二元一次方程组的解是． 故答案为：． 【点评】本题考查二元一次方程组和一次函数的关系，理解两个一次函数的交点坐标就是二元一次方程组的解是解本题的关键． 14．（3分）在《算法统宗》中有一道“荡秋千”的问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地．送行二步与人齐，五尺人高曾记．仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉．良工高士素好奇，算出索长有几．”此问题可理解为：如图，有一架秋千，当它静止时，踏板离地距离AB长度为1尺．将它往前水平推送10尺，即A'C＝10尺，则此时秋千的踏板离地距离A'D就和身高5尺的人一样高．若运动过程中秋千的绳索始终拉得很直，则绳索OA长为 　14.5　尺． 【分析】设秋千的绳索长OA＝x尺，由题意知：OC＝x﹣（5﹣1）＝（x﹣4）尺，CA′＝10尺，OA′＝x尺，根据勾股定理列方程即可得出结论． 【解答】解：设秋千的绳索长为x尺， 由题意知：OC＝x﹣（5﹣1）＝（x﹣4）尺，CA′＝10尺，OA′＝x尺， 在Rt△OCA′中，OC2+CA′2＝CA′2， ∴（x﹣4）2+102＝x2， 解得：x＝14.5， 答：绳索OA长为14.5尺． 故答案为：14.5． 【点评】本题考查勾股定理的应用，理解题意能力，解题的关键是能构造出直角三角形，用勾股定理来解． 15．（3分）动点H以每秒1cm的速度沿图1中的长方形ABCD的边按从A﹣B﹣C﹣D的路径匀速运动，△ADH的面积S（cm2）与时间t（s）的关系如图2，已知AD＝4cm，则m＝　10　cm2． 【分析】由图2中点（14，0）及AD＝4cm，可得矩形另一边长的长度，进而根据纵坐标为m的点判断出动点H所在的位置，求得相应的△ADH的面积即为m的值． 【解答】解：观察图2可得：当点H运动到点D时，运动路程为AB+BC+CD，运动时间为14秒， ∵动点H以每秒1cm的速度运动， ∴AB+BC+CD＝14cm， ∵AD＝4cm，四边形ABCD是矩形， ∴BC＝4cm，AB＝CD， ∴AB＝DC＝5cm， ∴当点H运动到点B时，S＝m，如图： ∴AD•AB＝m， ∴m＝×4×5＝10． 故答案为：10． 【点评】本题考查动点问题的函数图象的相关知识．从图2中的各个关键点的坐标得到动点H所在的位置及矩形各个边的长度是解决本题的关键． 三、解答题（本题共8小题，共75分.解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16．（10分）（1）计算： （1）； （2）解方程组： 【分析】（1）利用平方差公式，二次根式的除法法则计算即可； （2）利用代入法解方程组即可． 【解答】解：（1）原式＝（）2﹣（）2+ ＝5﹣3+4 ＝2+4； （2）， 由①得y＝2x﹣4③， 把③代入②得4x+3（2x﹣4）＝18， 解得x＝3， 把x＝3代入③得y＝2， ∴． 【点评】本题考查二次根式的混合运算，平方差公式，二元一次方程组，解题的关键是掌握二次根式的混合运算法则． 17．（8分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣2，4），B（﹣4，1），C（﹣1，2） （1）将△ABC的三个顶点的横坐标分别乘﹣1，纵坐标保持不变，画出所得三个顶点并依次连接起来，记作△A1B1C1（点A，B，C的对应点分别为A1，B1，C1）； （2）△ABC与（1）所得△A1B1C1的位置关系　关于y轴对称　； （3）在y轴上找一点P，使得BP+CP最小，请直接写出点P的坐标． 【分析】（1）先写出A1、B1、C1的坐标，再描点得到△A1B1C1； （2）利用关于y轴对称的点的坐标特征进行判断； （3）过点B作y的对称点B′，连接B′C交y轴于点P，即为所求，然后求出B′C所在直线的表达式，将x＝0代入求解即可． 【解答】解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求； （2）△ABC与（1）所得△A1B1C1的位置关系是关于y轴对称； 故答案为：关于y轴对称； （3）如图所示，作点B关于y轴的对称点B′，连接CB′交y轴于P， 则此时BP+CP最小， ∵B（﹣4，1）， ∴B′（4，1）， 设直线B′C的解析式为y＝kx+b， ∴， 解得， ∴直线B′C的解析式为y＝﹣x+， 当x＝0时，y＝， ∴点P的坐标为（0，）． 【点评】本题是三角形的综合题，主要考查轴对称﹣最短路径问题，作图﹣轴对称变换，求一次函数解析式，掌握图形的旋转以及图形的中心对称是解决本题的关键， 18．（8分）某校举办“学生讲堂”，八年级为了选出一位同学代表年级参赛，先后进行了笔试和面试．在笔试中，甲、乙、丙三位同学脱颖而出，他们的笔试成绩（满分100分）分别是95分，94分，88分．在面试中，十位评委对甲、乙、丙三位同学的表现进行打分，每位评委最高打10分，面试成绩等于十位评委打分之和．对甲、乙、丙三位同学的面试数据进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息． 信息一：评委给甲同学打分的条形统计图： 信息二：评委给乙、丙两位同学打分的折线统计图： 信息三：甲、乙、丙三位同学面试情况统计表： 同学 面试成绩 评委打分的中位数 评委打分的众数 甲 78 8 n 乙 86 9 10 丙 87 m 8 根据以上信息，回答下列问题： （1）填空：m＝ 　8.5　分，n＝ 　8　分； （2）在面试中，如果评委给某位同学的打分的方差越小，则认为评委对该同学面试的评价越一致．据此推断：甲、乙、丙三位同学中，评委对 　丙　的评价更一致（填“甲”、“乙”或“丙”）； （3）按笔试成绩占40%，面试成绩占60%确定甲、乙、丙三位同学的综合成绩，综合成绩最高者将代表年级参赛，请你通过计算确定参赛同学． 【分析】（1）根据中位数和众数的定义可得答案； （2）根据方差的意义解答即可； （3）根据加权平均数公式计算即可． 【解答】解：（1）把丙的得分从小到大排列，排在中间的两个数分别是8，9，故中位数m＝＝8.5， 由条形统计图可知甲的得分（8分）的最多，故众数n＝8； 故答案为：8.5，8； （2）由题意可知，甲的数据在5和10之间波动，乙的数据在6和10之间波动，丙的数据在8和10之间波动，所以评委对丙同学的评价更一致； 故答案为：丙； （3）甲的综合成绩为：95×40%+78×60%＝84.8（分）， 乙的综合成绩为：94×40%+86×60%＝89.2（分）， 丙的综合成绩为：88×40%+87×60%＝87.4（分）， 89.2＞87.4＞84.8， 所以综合成绩最高的是乙． 故答案为：乙． 【点评】本题考查折线统计图，条形统计图，中位数、众数、方差以及加权平均数，理解中位数、方差的意义和计算方法是正确解答的前提． 19．（8分）随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．某公司计划购进一批新能源汽车，通过调查，将获取的相关数据整理如下表： 购买数量（单位：辆） 总费用（单位：万元） 甲型汽车 乙型汽车 2 1 60 3 4 115 （1）求甲、乙两种型号的汽车每辆分别为多少万元？ （2）若该公司计划正好用150万元购进甲、乙两种型号的汽车若干辆（两种型号汽车均购买），请直接写出该公司的购买方案． 【分析】（1）甲型汽车的单价是x万元，乙型汽车的单价是y万元，利用总价＝单价×数量，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设购买m辆甲型汽车，n辆乙型汽车，利用总价＝单价×数量，可列出关于m，n的二元一次方程，结合m，n均为正整数，即可得出各购买方案． 【解答】解：（1）设甲型汽车的单价是x万元，乙型汽车的单价是y万元， 根据题意得：， 解得：． 答：甲型汽车的单价是25万元，乙型汽车的单价是10万元； （2）设购买m辆甲型汽车，n辆乙型汽车， 根据题意得：25m+10n＝150， ∴m＝6﹣n， 又∵m，n均为正整数， ∴或， ∴该公司共有2种购买方案， 方案1：购买4辆甲型汽车，5辆乙型汽车； 方案2：购买2辆甲型汽车，10辆乙型汽车． 【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组（或二元一次方程）是解题的关键． 20．（8分）小李同学探索的近似值的过程如下： ∵面积为86的正方形的边长是，且， ∴设，其中0＜x＜1，画出示意图，如图所示． 根据示意图，可得图中正方形的面积， 又∵S正方形＝86，∴81+2×9x+x2＝86． 当x2＜1时，可忽略x2，得81+18x≈86，解得x≈0.28，∴． （1）填空：的整数部分的值为　12　； （2）仿照上述方法，探究的近似值（结果精确到0.01） （答题要求：画出示意图，标明数据，并写出求解过程） 【分析】（1）根据算术平方根的定义进行计算即可； （2）根据题目所提供的方法进行解答即可． 【解答】解：（1）∵144＜157＜169， ∴＜＜， 即12＜＜13， ∴的整数部分的值为12， 故答案为：12； （2）如图，图中正方形的面积S正方形＝144+2×12x+x2， 又∵S正方形＝157，∴144+2×12x+x2＝157． 当x2＜1时，可忽略x2，得144+24x≈157， 解得x≈0.54， ∴≈12.54． 【点评】本题考查估算无理数的大小，掌握算术平方根的定义是正确解答的关键． 21．（8分）小明到某景区游玩，他从景区入口处步行到达小憩屋，休息片刻后继续前行，此时观光车从景区入口处出发，沿相同路线与小明先后到达观景点．如图折线OABC和线段DE分别表示小明和观光车离开景区入口的距离y（m）与小明步行时间x（min）之间的关系．根据图象解决下列问题： （1）观光车的行驶速度为 　300　m/min，点D的坐标为 　（13，0）　； （2）求线段BC对应的函数表达式； （3）当观光车到达观景点时，小明距观景点还有多远？ 【分析】（1）根据速度＝路程÷时间求出观光车的行驶速度，再由时间＝路程÷速度求出观光车从景区入口到达观景点所用的时间，从而求出点D的坐标； （2）利用待定系数法解答并写出自变量x的取值范围即可； （3）将x＝23代入线段BC对应的函数表达式，求出对应y的值，即小明已走的路程，再根据“景区入口与观景点的距离﹣当观光车到达观景点时小明已走的路程”列式计算即可； 【解答】解：（1）观光车的行驶速度为（3000﹣1800）÷（23﹣19）＝300（m/min）， 3000÷300＝10（min）， 23﹣10＝13（min）， ∴点D的坐标为（13，0）． 故答案为：300，（13，0）． （2）设线段BC对应的函数表达式为y＝kx+b（k、b为常数，且k≠0）． 将坐标B（13，1200）和C（31，3000）分别代入y＝kx+b， 得， 解得， ∴线段BC对应的函数表达式为y＝100x﹣100（13≤x≤31）． （3）当x＝23时，y＝100×23﹣100＝2200， 3000﹣2200＝800（m）． 答：当观光车到达观景点时，小明距观景点还有800m． 【点评】本题考查一次函数的应用、函数的图象，掌握时间、速度、路程之间的关系是解题的关键． 22．（12分）在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D是BC边上一点，连接AD，过点B作AD的垂线，垂足为E． （1）如图1，求证：∠ABE＝∠CAD； （2）如图2，以BE为直角边作等腰直角△BEF（B，E，F三点按顺时针排列），∠BEF＝90°，连接BF，过点C作CG∥BF交直线AD于点G，猜想CG与AE的数量关系并证明； （3）若AB＝AC＝8，，求CG的长． 【分析】（1）由∠BAC＝90°，得到∠BAE+∠CAD＝90°，根据垂直的定义得到∠ADB＝90°，求得∠ABE+∠BAE＝90°，等量代换得到结论； （2）过C作CH⊥AF于H，得到∠AHC＝∠BEA＝90°，由（1）知，∠ABE＝∠CAH，根据全等三角形的性质得到AE＝CH，根据平行线的性质得到∠CGF＝∠F＝45°，推出△CHG是等腰直角三角形，得到CG＝CH，求得CG＝； （3）①根据等腰直角三角形的性质得到BC＝AB＝8，如图2，过A作AM⊥BC于M，求得AM＝BM＝CM＝＝，根据勾股定理得到DM＝＝2，求得BD＝BM+DM＝6，根据三角形的面积公式得到BE＝＝＝，根据勾股定理得到AE＝＝，求得CG＝＝；如图3，过C作CH⊥AF于H，过A作AM⊥BC于M，根据等腰直角三角形的性质得到AM＝BM＝CM＝＝，根据勾股定理得到DM＝＝2，求得CD＝CM+DM＝6，根据三角形的面积公式得到CH＝＝＝，求得CG＝CH＝． 【解答】（1）证明：∵∠BAC＝90°， ∴∠BAE+∠CAD＝90°， ∵BE⊥AD， ∴∠ADB＝90°， ∴∠ABE+∠BAE＝90°， ∴∠ABE＝∠CAD； （2）解：CG＝， 证明：过C作CH⊥AF于H， ∴∠AHC＝∠BEA＝90°， 由（1）知，∠ABE＝∠CAH， ∵AB＝AC， ∴△ABE≌△CAH（AAS）， ∴AE＝CH， 在等腰直角△BEF中，∵∠BEF＝90°， ∴∠F＝∠FBE＝45°， ∵CG∥BF， ∴∠CGF＝∠F＝45°， ∴△CHG是等腰直角三角形， ∴CG＝CH， ∴CG＝； （3）①∵∠BAC＝90°，AB＝AC＝8， ∴BC＝AB＝8， 如图2，过A作AM⊥BC于M， ∴AM＝BM＝CM＝＝， ∵AD＝2， ∴DM＝＝2， ∴BD＝BM+DM＝6， ， ∴∠AHC＝∠BEA＝90°， ∴BE＝＝＝， ∴AE＝＝， ∴CG＝＝； 如图3，过C作CH⊥AF于H，过A作AM⊥BC于M， ∴AM＝BM＝CM＝＝， ∵AD＝2， ∴DM＝＝2， ∴CD＝CM+DM＝6， ∴CH＝＝＝， ∴CG＝CH＝； 综上所述，CG的长为或． 【点评】本题是三角形的综合题，考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定和性质定理，平行线的性质，正确地作出辅助线是解题的关键． 23．（13分）在平面直角坐标系中，对于图形M给出如下定义：将图形M上的一点P（a，b）变为点Q（a﹣b，a+b）（称点Q为点P的关联点．图形M上所有点按上述方法变化后得到的点组成的图形记为图形N，称图形N为图形M的关联图形． （1）点（1，﹣3）的关联点的坐标为　（4，2）　； （2）点A在直线y＝x+2上，点A的关联点B在直线y＝﹣3x+5，求点A的坐标； （3）如图1，若点E（a，b）在第一象限，且a＞b，点E的关联点F，判断△EOF的形状并证明； （4）已知t＞0，点A（t，0），B（t，t），C（0，t），若四边形OABC与其关联图形重合部分的面积为2，直线y＝mx+n（m≠0）经过点（4，5），且与该关联图形有交点、请直接写出t的最小值. 【分析】（1）直接根据关联点的定义代入求解即可； （2）先根据点A所在直线解析式设出点A坐标，再根据关联点定义求出点B坐标，进而代入点B所在直线的解析式求解即可； （3）画出图形，根据图形很容易猜想为等腰直角三角形，则可作垂直，将坐标转化为线段长度，证全等，逆向证明三垂直即可得证； （4）先求出OABC各点的关联点，在坐标系中画出图形可发现重叠部分为等腰直角三角形OCA'，进而求出t值，继而发现当直线经过B'时，倾斜程度最小，即m值最小，代入B'坐标即可得解． 【解答】解：（1）根据关联点的定义可知：1﹣（﹣3）＝4，1+（﹣3）＝2， ∴点（1，﹣3）的关联点的坐标为（4，2）， 故答案为：（4，2）； （2）∵点A在直线y＝x+2上， ∴可设点A的坐标为（a，a+2）， 又∵a﹣（a﹣2）＝﹣2，a+a+2＝2a+2， ∴点A的关联点B的坐标为（﹣2，2a+2）， ∵点B在直线y＝﹣3x+5， ∴2a+2＝11， 解得a＝， ∴a+2＝， ∴点A的坐标为（，）； （3）△OEF为等腰直角三角形，证明如下： ∵a＞b， ∴点E和点F在坐标系中的位置如图所示， 过E作GH∥y轴，交x轴于点H，过F作FG⊥GH于点G，则∠G＝∠OHE＝90°， ∵E（a，b）， ∴F（a﹣b，a+b）， ∴OH＝a，EH＝b，FG＝a﹣（a﹣b）＝b，EG＝a+b﹣b＝a， ∴FG＝EH，EG＝OH， 在△FGE和△EHO中， ， ∴△FGE≌△EHO（SAS）， ∴EF＝EO，∠FEG＝∠EOH， ∵∠EOH+∠OEH＝90°， ∴∠FEG+∠OEH＝90°， ∴∠OEF＝90°， ∴△OEF为等腰直角三角形； （4）∵O（0，0），A（t，0），B（t，t），C（0，t）， ∴点O关联点O'（0，0），点A关联点A'（t，t），点B关联点B'（0，2t），点C关联点C'（﹣t，t）， 如图，在平面直角坐标系画出图形， 由图易知，重叠部分为等腰直角三角形OCA'， ∴S△OCA'＝OC•CA'＝t2＝2， 解得t＝2（负值舍去）， ∴A'（2，2），B'（0，4），C'（﹣2，2）， ∵直线y＝mx+n经过点（4，5）， ∴设直线y﹣5＝m（x﹣4）， 若直线与该关联图形有交点，则两个临界点为A'和B'， 很明显，当直线经过B'时，倾斜程度最小，即m值最小， 将B'（0，4）代入得4﹣5＝﹣4m， 解得m＝， 即m最小值为． 【点评】本题主要考查了坐标与图形、一次函数的点的坐标特征、全等三角形的判定和性质、新定义等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$