第10讲 一次函数的图象与性质（讲练）-【上好课】2025年中考数学一轮复习讲练测（湖南专用）

第三章 函数 第10讲 一次函数的图象与性质（5~10分） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 01考情透视·目标导航 02知识导图·思维引航 03考点突破·考法探究 考点一 一次函数的相关概念（高频考点） 考点二 一次函数的图象与性质（高频考点） 考点三 一次函数与方程（组）、不等式（高频考点） 04题型精研·考向洞悉 命题点一 一次函数的相关概念 ►题型01 根据一次函数的定义求参数值 ►题型02 求一次函数的自变量或函数值 命题点二 一次函数的图象与性质 ►题型01 判断一次函数图象 ►题型02 根据一次函数图象解析式判断象限 ►题型03已知函数经过的象限求参数的值或取值范围 ►题型04 一次函数与坐标轴交点问题 ►题型05 判断一次函数增减性 ►题型06 根据一次函数增减性判断参数取值范围 ►题型07 根据一次函数增减性判断自变量的变化情况 ►题型08 一次函数的平移问题 ►题型09 求一次函数解析式 ►题型10 一次函数的规律探究问题 ►题型11 一次函数的新定义问题 命题点三 一次函数与方程（组）、不等式 ►题型01 已知直线与坐标轴的交点求方程的解 ►题型02 由一元一次方程的解判断直线与x轴交点 ►题型03 利用图象法解一元一次方程 ►题型04 两直线的交点与二元一次方程组的解 ►题型05 图象法解二元一次方程组 ►题型06 求两直线与坐标轴围成的图形面积 ►题型07 由直线与坐标轴交点求不等式的解集 ►题型08 根据两条直线交点求不等式的解集 05分层训练·巩固提升 基础巩固 能力提升 01考情透视·目标导航 考点要求 新课标要求 考查频次 命题预测 一次函数的相关概念 · 结合具体情境体会一次函数的意义，能根据已知条件确定一次函数的表达式； 10年3考 一次函数的图象与性质是中考数学中比较重要的一个考点，也是知识点牵涉比较多的考点.各地对一次函数的图象与性质的考察也主要集中在一次函数表达式与平移、图象的性质、图象与方程不等式的关系以及一次函数图象与几何图形面积等五个方面，年年考查，总分值为5-10分左右，也因为一次函数是一个结合型比较强的知识点，所以其图象和性质也是后续函数问题学习的一个基础.故考生在复习这块知识点时，需要特别熟记对应考点的方法规律. 一次函数的图象与性质 · 解正比例函数； · 能画一次函数的图象，根据图象和表达式 y=kx+b(k≠0)探索并理解k>0和k＜0时图象的变化情况. · 会运用待定系数法确定一次函数的表达式. 10年6考 一次函数与方程（组）、不等式 · 体会一次函数与二元一次方程的关系. 10年8考 02知识导图·思维引航 03考点突破·考法探究 考点一 一次函数的相关概念 （高频考点） 正比例函数定义：一般地，形如y=kx（k为常数，k≠0）的函数，叫做正比例函数，k叫做比例系数. 一次函数定义：一般地，形如y=kx+b（k，b是常数，k≠0），那么y叫做x的一次函数. 当一次函数y=kx+b中b=0时，y=kx，所以说正比例函数是一种特殊的一次函数. 一次函数的一般形式：y=kx+b（k，b是常数，k≠0）. 1. 一次函数一般形式的特征：1）k≠0；2）x的次数为1；3）常数b可以取任意实数. 2. 正比例函数是一次函数，但是一次函数不一定是正比例函数. 3. 一次函数本身对自变量没有取值范围的要求，但是如果一次函数中的自变量x出现在分母，根号内，则需考虑以下情况： 1）整个分母不能等于0； 2）根号里的整个式子要大于或等于0. 4. 判断一个函数是不是一次函数，就是判断它是否能化成y=kx+b（k≠0）的形式. 1．（2024·甘肃兰州·模拟预测）若函数是正比例函数，且图象经过第一、三象限，则（　　） A．2 B． C． D．3 2．（2023·湖南长沙·校考一模）函数的图像经过点，则k的值为（　　） A．1 B． C． D． 考点二 一次函数的图象与性质 （高频考点） 一、一次函数的图象特征及性质 图象特征 正比例函数y=kx（k为常数，k≠0）必过点（0,0）、（1，k）. 一次函数y=kx+b（k，b是常数，k≠0）必过点（0，b）、（- ，0） 增减性 k>0 k<0 从左向右看图像呈上升趋势， y随x的增大而增大 从左向右看图像呈下降趋势， y随x的增大而减少 图象 b>0 b=0 b<0 b>0 b=0 b<0 经过象限 一、二、三 一、三 一、三、四 一、二、四 二、四 二、三、四 与y轴 交点位置 b＞0，交点在y轴正半轴上；b=0，交点在原点；b＜0，交点在y轴负半轴上 二、一次函数图象 图象关系 一次函数y=kx+b(k≠0)的图象可由正比例函数y=kx(k≠0)的图象平移得到： 当b>0时，向上平移b个单位长度； 当b<0时，向下平移|b|个单位长度 平移口诀：左加有减，上加下减 图象确定 因为一次函数的图象是一条直线，由两点确定一条直线可知画一次函数图象时，只要取两点即可， 1）画一次函数的图象，只需过图象上两点作直线即可，一般取(0，b)，(，0)两点； 2）画正比例函数的图象，只要取一个不同于原点的点即可. 三、k，b的符号与直线y=kx+b（k≠0）的关系 在直线y=kx+b（k≠0）中，令y=0，则x= ，即直线y=kx+b与x轴交于(,0) 令x=0，则y=b，即直线y=kx+b与y轴交于(0，b) 1）当> 0时，即k，b异号时，直线与x轴交于正半轴． 2）当= 0，即b=0时，直线经过原点． 3）当< 0，即k，b同号时，直线与x轴交于负半轴． 四、两个一次函数表达式（直线l1：y1=k1x＋b1与l2：y2=k2x＋b2）的位置关系： 1）当k1=k2，b1=b2时，两直线重合； 2) 当k1=k2，b1≠b2时，两直线平行； 3）当k1≠k2，b1=b2时，两直线交于y轴上的同一点（0，b）； 4）当k1k2=-1时，两直线垂直； 5）当k1≠k2时，两直线相交. 五、用待定系数法确定一次函数解析式 确定一次函数解析式的方法：1）依据题意中等量关系直接列出解析式；2）待定系数法. 用待定系数法求一次函数表达式的一般步骤： 1）设出函数的一般形式y=kx(k≠0)或y=kx+b(k≠0)； 2）根据已知条件(自变量与函数的对应值)代入表达式得到关于待定系数的方程或方程组； 3）解方程或方程组求出k，b的值； 4）将所求得的k，b的值代入到函数的一般形式中，从而得到一次函数解析式. 六、正比例函数与一次函数的联系与区别 正比例函数 一次函数 区别 一般形式 y=kx+b（k是常数，且k≠0） y=kx+b（k，b是常数，且k≠0） 图象 经过原点的一条直线 一条直线 k，b符号 的作用 k的符号决定其增减性， 同时决定直线所经过的象限 k的符号决定其增减性； b的符号决定直线与y轴的交点位置； k，b的符号共同决定直线在直角坐标系的位置 求解析式 的条件 只需要一对x，y的对应值 或一个点的坐标 需要两对x，y的对应值或两个点的坐标 联系 1）正比例函数是特殊的一次函数． 2）正比例函数图象与一次函数图象的画法一样，都是过两点画直线，但画一次函数的图象需取两个不同的点，而画正比例函数的图象只要取一个不同于原点的点即可． 3）一次函数y=kx+b（k≠0）的图象可以看作是正比例函数y=kx（k≠0）的图象沿y轴向上（b>0）或向下（b<0）平移|b|个单位长度得到的．由此可知直线y=kx+b（k≠0，b≠0）与直线y=kx（k≠0）平行． 4）一次函数与正比例函数有着共同的性质： ①当k>0时，y的值随x值的增大而增大； ②当k<0时，y的值随x值的增大而减小． 1. 正比例函数y= kx中，|k|越大，直线y= kx越靠近y轴；反之，|y|越小，直线y= kx越靠近x轴. 2. 判断一次函数的增减性，只看k的符号，与b无关. 3. 一次函数y= kx+b（k≠0）的自变量x的取值范围是全体实数而且图像是一条直线，因此没有最大值与最小值.但实际问题得到第一次函数解析式，自变量的取值范围一般受到限，学生做题时要注意具体问题具体分析. 4. 一次函数y= kx+b（k≠0）与x轴交于(, 0)，与y轴交于(0，b)，且这两个交点与坐标轴原点构成的三角形面积为s=. 1．（2024·湖南衡阳·模拟预测）对于一次函数，下列结论正确的是（   ） A．它的图象与轴交于点 B．随的增大而增大 C．当时， D．它的图象经过第一、二、三象限 2．（2024·广东广州·模拟预测）关于一次函数，下列说法正确的是（    ） A．图象过点 B．其图象可由的图象向下平移2个单位长度得到 C．随着的增大而增大 D．图象经过第一、二、四象限 3．（2024·辽宁·模拟预测）关于一次函数下列说法正确的是（    ） A．图象经过第一、三、四象限 B．图象与y轴交于点 C．y随x的增大而减小 D．当时， 考点三 一次函数与方程（组）、不等式 （高频考点） 一、一次函数与一元一次方程 思路：由于任何一个一元一次方程可以转化为ax+b=0(a、b为常数，a≠0）的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为0时，求自变量的值. 从“数”上看：方程ax+b = 0（a≠0）的解⇔函数y=ax+b（a≠0）中，y=0时对应的x的值 从“形”上看：方程ax+b = 0 (a≠0）的解⇔函数y=ax+b（a≠0）的图像与x轴交点的横坐标. 二、一次函数与二元一次方程组 思路：一般地，二元一次方程mx+ny=p（m、n、p是常数，且m≠0，n≠0）都能写成y=ax+b（a、b为常数，且a≠0）的形式.因此，一个二元一次方程对应一个一次函数，又因为一个一次函数对应一条直线，所以一个二元一次方程也对应一条直线，进一步可知，一个二元一次方程组对应两个一次函数，因而也对应两条直线. 从“数”的角度看：解二元一次方程组相当于考虑自变量为何值时，两个函数的值相等，以及这两个函数值是何值； 从“形”的角度看：解二元一次方程组相当于确定两条直线的交点坐标，一般地，如果一个二元一次方程组有唯一解，那么这个解就是方程组对应的两条直线的交点坐标. 二、一次函数与一元一次不等式 思路：关于x的一元一次不等式kx+b＞0(或＜0)的解集是以直线y=kx+b和x轴的交点为分界点，x轴上(下)方的图象所对应的x的取值范围. 从函数的角度看：解一元一次不等式就是寻求使一次函数y=ax+b（a≠0）的值大于（或小于）0的自变量的取值范围； 从函数图像的角度看：就是确定直线y=ax+b（a≠0）在x轴上（或下）方部分的横坐标满足的条件. 1） 二元一次方程组的图解法的定义：画出两个一次函数的图像，找出它们的交点坐标，即得相应的二元一次方程组的解，这种解二元一次方程组的方法叫做二元一次方程组的图解法 1．（2024·青海·中考真题）如图，一次函数的图象与x轴相交于点A，则点A关于y轴的对称点是（   ） A． B． C． D． 2．（2024·贵州遵义·三模）已知一次函数和的图象如图所示，有下列结论：①；②；③；④、是直线上不重合的两点，则．其中正确的是（    ） A．①④ B．①③ C．②④ D．②③ 3．（2024·陕西渭南·一模）如图，一次函数（为常数且）和的图象相交于点，根据图象可知关于的方程的解是（    ） A． B． C． D． 04题型精研·考向洞悉 命题点一 一次函数的相关概念 ►题型01 根据一次函数的定义求参数值 1．（（2024·广东·模拟预测）下列函数中，y是x的一次函数的是（    ） A． B． C． D． 2．（2023·安徽合肥·校考三模）已知点在一次函数上，且，则下列不等关系一定成立的是（    ） A． B． C． D． ►题型02 求一次函数的自变量或函数值 1．（2023·广东深圳·校联考模拟预测）若正比例函数，当时，，则下列各点在该函数图象上的是（    ） A． B． C． D． 2．（2024·湖北·模拟预测）已知直线的图象不经过第四象限，请任意写出一个符合条件的的值： ． 3．（2023·广东广州·统考一模）点在一次函数的图象上，则的值为（    ） A．13 B．1 C．5 D． 命题点二 一次函数的图象与性质 ►题型01 判断一次函数图象 1．（2024·安徽·模拟预测）已知与是一次函数．若，那么如图所示的个图中正确的是（ ） A． B． C． D． 2．（2023·浙江宁波·一模）如图所示，满足函数和的大致图象是（    ） A．①② B．②③ C．②④ D．①④ 3（2024·江苏南通·一模）在平面直角坐标系中，点，点，点在同一个函数图象上，则该图象可能是（    ） A．B． C． D． ►题型02 根据一次函数图象解析式判断象限 1．（2025·上海奉贤·一模）已知函数，其中常数、，那么这个函数的图象不经过的象限是（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2.（2023·陕西西安·西安市铁一中学校考二模）已知正比例函数中，随的增大而增大，则一次函数的图象所经过的象限是（    ） A．一、二、三 B．一、二、四 C．一、三、四 D．二、三、四 ►题型03 已知函数经过的象限求参数的值或取值范围 1．（2023·浙江杭州·统考一模）已知与成正比例，且当时，．若关于的函数图象经过二、三、四象限，则m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．（2023·安徽合肥·合肥市第四十五中学校考模拟预测）已知直线经过第一、二、三象限，且点在该直线上，设，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 对于y=kx+b与y轴交于(0,b)，当b>0时，(0,b)在y轴的正半轴上，直线与y轴交于正半轴；当b<0时，(0,b)在y轴的负半轴，直线与y轴交于负半轴；当k>0，b>0⇔y=kx+b的图象在一、二、三象限；k>0，b<0⇔y=kx+b的图象在一、三、四象限；k<0，b>0⇔y=kx+b的图象在一、二、四象限；k<0，b<0⇔y=kx+b的图象在二、三、四象限. ►题型04 一次函数与坐标轴交点问题 1．（2024·陕西西安·三模）若关于的方程的解是，则直线一定经过点（    ） A． B． C． D． 2.（2023·陕西西安·校考二模）在平面直角坐标系中，将函数的图象向右平移3个单位长度，则平移后的图象与轴的交点坐标为（    ） A． B． C． D． 3.（2024·广东·模拟预测）若关于x的方程的解是，则直线一定经过点（    ） A． B． C． D． ►题型05 判断一次函数增减性 1．（2023·湖南益阳·中考真题）关于一次函数，下列说法正确的是（    ） A．图象经过第一、三、四象限 B．图象与y轴交于点 C．函数值y随自变量x的增大而减小 D．当时， 2．（2024·湖南长沙·中考真题）对于一次函数，下列结论正确的是（    ） A．它的图象与y轴交于点 B．y随x的增大而减小 C．当时， D．它的图象经过第一、二、三象限 3．（2023·山东淄博·中考真题）下列函数图象中，能反映的值始终随值的增大而增大的是(    ) A．   B．   C．   D．   ►题型06 根据一次函数增减性判断参数取值范围 1．（2024·新疆·中考真题）若一次函数的函数值y随x的增大而增大，则k的值可以是（    ） A． B． C．0 D．1 对于一次函数y=kx+b(k≠0)来说，当k>0时，y随x的增大而增大，当k<0时，y随x的增大而减小，熟练掌握一次函数的增减性是解题的关键． ►题型07 根据一次函数增减性判断自变量的变化情况 1.（2023·江苏连云港·统考二模）一次函数的图像经过点，当时，x的取值范围是 ． 2．（2024·四川自贡·中考真题）一次函数的值随的增大而增大，请写出一个满足条件的的值 ． 3．（2023·辽宁盘锦·中考真题）关于x的一次函数，若y随x的增大而增大，且图象与y轴的交点在原点下方，则实数a的取值范围是 ． ►题型08 一次函数的平移问题 1.（2024·陕西·模拟预测）在同一平面直角坐标系中，直线向上平移个单位长度后，与直线的交点可能是（　　） A． B． C． D． 2．（2024·贵州贵阳·一模）已知一次函数、为常数，且图象经过点，将该一次函数图象向右平移1个单位后得到一次函数（，为常数）的图象，则下列关于一次函数的说法，正确的是（    ） A．该函数图象与轴交点的横坐标大于3 B．该函数图像有可能经过坐标原点 C．该函数图象与轴交于负半轴     D．该函数图像不一定经过第二象限 ►题型09 求一次函数解析式 1.（2024·湖北武汉·模拟预测）小华在画一次函数的图象时列出了如下表格： x … 0 1 2 y … 4 1 … 小勤看到后说有一个函数值求错了，这个错误的函数值是（   ） A．1 B． C． D． 2．（2024·山东潍坊·中考真题）请写出同时满足以下两个条件的一个函数： ． ①随着的增大而减小；②函数图象与轴正半轴相交． 3．（2024·江苏苏州·中考真题）直线与x轴交于点A，将直线绕点A逆时针旋转，得到直线，则直线对应的函数表达式是 ． 4．（2024·山西·中考真题）生物学研究表明，某种蛇在一定生长阶段，其体长是尾长的一次函数，部分数据如下表所示，则y与x之间的关系式为（　　） 尾长 6 8 10 体长 45.5 60.5 75.5 A． B． C． D． ►题型10 一次函数的规律探究问题 1．（2024·四川内江·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，轴，垂足为点，将绕点逆时针旋转到的位置，使点的对应点落在直线上，再将绕点逆时针旋转到的位置，使点的对应点也落在直线上，如此下去，……，若点的坐标为，则点的坐标为（    ）． A． B． C． D． 2．（2024·四川乐山·模拟预测）如图是直线在第一象限内的一部分，其上有一点，且．过作轴于，以为圆心，为半径作弧交于点，过作于，以为圆心，以为半径作弧交于点；过作于；……，如此重复下去．则： （1）的纵坐标是 ； （2）的纵坐标是 ． 3．（2024·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）如图，直线上有点，且，，，分别过点作直线的垂线，交y轴于点，依次连接，得到，，，…，，则的面积为 ．（用含有正整数n的式子表示） 4．（2024·山东东营·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，已知直线的表达式为，点的坐标为，以为圆心，为半径画弧，交直线于点，过点作直线的垂线交轴于点；以为圆心，为半径画弧，交直线于点，过点作直线的垂线交轴于点；以为圆心，为半径画弧，交直线于点，过点作直线的垂线交轴于点；……按照这样的规律进行下去，点的横坐标是 ． ►题型11 一次函数的新定义问题 1．（2024·北京·模拟预测）在平面直角坐标系中，对于点，若，则称点为“同号点”．下列函数的图象中不存在“同号点”的是（    ） A． B． C． D． 2．（2024·广东广州·二模）高斯函数也称取整函数，记作，表示不超过的最大整数．例如，．已知函数，若关于的方程有三个不同的实根，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 3.（2023·江苏苏州·统考一模）对某一个函数给出如下定义：若存在正数，函数值都满足，则称这个函数是有界函数．其中，的最小值称为这个函数的边界值．若函数（，且）中，的最大值是2，边界值小于3，则应满足的条件是 ． 4（2024·安徽阜阳·模拟预测）规定：表示不大于的最大整数，表示不小于的最小整数，表示最接近的整数（，为整数），例如：，，．则下列说法正确的是 ．（写出所有正确说法的序号） ①当时，； ②当时，； ③方程的解为； ④当时，函数的图象与正比例函数的图象有两个交点． 命题点三 一次函数与方程(组)、不等式 ►题型01 已知直线与坐标轴的交点求方程的解 1．（2023·陕西西安·西安市第六中学校考模拟预测）一次函数的图象与轴交于点，则关于的方程的解为（    ） A． B． C． D． 2．（2024·江苏扬州·中考真题）如图，已知一次函数的图象分别与x、y轴交于A、B两点，若，，则关于x的方程的解为 ． 3.（2024·湖北·模拟预测）直线与轴交于点，与轴交于点，则关于的方程的解为 ． ►题型02 由一元一次方程的解判断直线与x轴交点 1．（2024·河北沧州·模拟预测）对于题目：“如果函数与x轴有唯一公共点，求a的值．” 甲的解法如下：“函数与x轴有唯一公共点，可以令，则方程有两个相等的实数根，，解得，的值为“”，而乙说：“甲考虑的不完整，应该还有一种情况．”下列判断正确的是（    ） A．乙说得不对，a的值为2 B．甲求得结果不对，a的值为 C．乙说得对，a还有一个值为0 D．两个人都不对，a应有3个不同的值 2．（2023·浙江嘉兴·统考一模）在平面直角坐标系中，点是一个光源，木杆两端的坐标分别是，，则木杆在x轴上的投影的长是（    ） A．4 B． C． D．5 ►题型03 利用图象法解一元一次方程 1．（2024·陕西西安·二模）如图，已知直线（为常数，），则关于的方程的解是（    ） A． B． C．0 D． 2．如图，直线y＝kx+b(k≠0)经过点P(﹣3，2)，则关于x的方程kx+b＝2的解是（    ） A．x＝1 B．x＝2 C．x＝﹣3 D．无法确定 ►题型04 两直线的交点与二元一次方程组的解 1．（2023·陕西榆林·校考三模）在同一平面直角坐标系中，一次函数和的图象相交于点，则关于的方程组的解为（    ） A． B． C． D． 2．（2023·广东深圳·校考一模）在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象如图所示，则下列结论错误的是（　　）    A．随x的增大而减小 B． C．当时， D．关于x，y的方程组的解为 ►题型05 图象法解二元一次方程组 1．（2024·山东临沂·模拟预测）在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象如图所示．则下列结论中：①随的增大而增大；②；③．当时，；④关于，的方程组的解为，正确的有（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（2024·浙江杭州·二模）在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象如图所示，则（    ）      A．当时， B．当时，， C． D．关于，的方程组的解为 ►题型06 求两直线与坐标轴围成的图形面积 1．（2024·江苏南通·中考真题）平面直角坐标系中，已知，．直线（k，b为常数，且）经过点，并把分成两部分，其中靠近原点部分的面积为，则k的值为 ． 2．（2024·四川凉山·中考真题）如图，一次函数的图象经过两点，交轴于点，则的面积为 ． 3．（2024·河北·一模）如图，在平面直角坐标系中，直线：与y轴交于点A，直线与y轴，x轴交于点B，点C，与交于点，连接，已知的长为4． (1)求点D的坐标及直线的解析式； (2)求的面积； (3)若直线上有一点P使得的面积等于的面积，直接写出点P的坐标． 4．（2023·辽宁沈阳·二模）如图，在平面直角坐标系中，直线交轴于点，交轴于点，与直线交于点，点是轴正半轴上一动点，过点作轴的垂线，与直线，分别交于点，，设点的横坐标为． (1)求直线的函数表达式； (2)当的面积为时，求的值； (3)点为轴上一动点，当为等腰直角三角形时，请直接写出的值． 5．（2024·四川凉山·中考真题）如图，正比例函数与反比例函数的图象交于点． (1)求反比例函数的解析式； (2)把直线向上平移3个单位长度与的图象交于点，连接，求的面积． ►题型07 由直线与坐标轴交点求不等式的解集 1．（2023·陕西西安·交大附中分校校考模拟预测）如图，一次函数的图象过点，则不等式的解是（　　）    A． B． C． D． 2．（2023·陕西商洛·校考三模）如图，一次函数的图象与轴交于点，当时，自变量的取值范围是（    ）    A． B． C． D． 3．（2023·山东淄博·统考一模）已知函数的图象如图所示，则关于的不等式的解集是（ ） A． B． C． D． ►题型08 根据两条直线交点求不等式的解集 1．（2024·辽宁·模拟预测）一次函数与的图象如图所示，下列结论中，正确的有（    ） ①对于函数来说，y随x的增大而减小； ②函数的图象经过第一、二、四象限； ③ A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 2．（2024·内蒙古通辽·中考真题）如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数与（其中，，，，为常数）的图象分别为直线，．下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（2024·云南昆明·模拟预测）我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”，数形结合是解决数学问题的重要思想方法．为了了解关于x的不等式的解集，某同学绘制了与（m，n为常数，）的函数图象如图所示，通过观察图象发现，该不等式的解集在数轴上表示正确的是（  ） A． B． C． D． 4．（2024·广东深圳·模拟预测）在平面直角坐标系中，一次函数和的图象如图所示，则关于的一元一次不等式的解集是 ． 基础巩固 1．一个正比例函数的图象经过点和点，若点与点关于原点对称，则这个正比例函数的表达式为（   ） A． B． C． D． 2．若函数是关于的正比例函数，则（   ） A． B． C． D． 3．下列各选项中，两个变量与之间的关系是正比例函数关系的是（   ） A．直角三角形中一个锐角的度数（度）与另一个锐角的度数（度）之间的关系 B．正方体的表面积与它的棱长之间的关系 C．小红阅读一本420页的名著，未读的页数（页）与已读的页数（页）之间的关系 D．汽车以的速度匀速行驶，行驶路程与行驶时间之间的关系 4．如图，已知一次函数的图象与轴，轴分别交于点，点．有下列结论：①图象经过点；②关于的方程的解为；③当时，；④当时，．其中正确的是（   ）    A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②④ 5．如图，一次函数（为常数且）与的图象相交于点，且点的纵坐标为8，则关于的方程的解是（） A． B． C． D． 6．一次函数的图像一定经过点（    ） A． B． C． D． 7．如图，已知一次函数的图象与x轴，y轴分别交于点，点．有下列结论：①关于x的方程的解为；②关于x的方程的解为；③当时，；④当时，．其中正确的是（　　） A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②④ 8．一次函数和一次函数在同一个平面直角坐标系内的图象大致是下图中的（ ） A．B．C．D． 9．一次函数的图象如图所示，则下列正确的是（   ） A．， B．， C．， D．， 数，现给出以下结论： ①当时，的值随着值的增大而增大； ②将该函数图象向下平移2个单位长度后得到直线，则，； ③若点和均在该函数图象上，则； ④若该函数的图象与直线关于轴对称，则，． 其中正确的结论是（   ） A．①② B．②③ C．①④ D．①③④ 11．关于一次函数的图象，下列说法正确的是（     ） A．随的增大而增大 B．经过一、二、三象限 C．与轴的交点坐标为 D．可由向左平移个单位得到 12．下列关于的函数中，当时，函数值随的值增大而减小的是（    ） A． B． C． D． 13．对于一次函数，下列说法错误的是（    ） A．函数图象不经过第二象限 B．函数图象与轴交点的坐标是 C．函数图象向上平移2个单位长度得到函数的图象 D．若，两点在该函数图象上，则 14．已知点，，在下列某一函数图像上．且那么这个函数是（　　） A． B． C． D． 15．一次函数的图像经过点和点．那么的大小关系为（    ） A． B． C． D． 16．关于的一次函数的值随值的增大而减小，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 17．在同一平面直角坐标系中，，分别是与的图象上的点，且，关于原点成中心对称，则点的坐标是（   ） A． B． C． D． 18．一次函数与的图象如图，则下列结论：①；②关于x的方程的解是；③当时，；④当时，．其中正确的是（   ） A．①③ B．②④ C．①②③ D．①④ 19．如果正比例函数的图象经过点，那么k的值等于 ． 20．如果正比例函数的图象经过第二，四象限，那么 ． 21．一次函数的图象经过点，且不经过第四象限，则的取值范围是 ． 22．无论k取何值，关于x的一次函数的图象必经过定点 ． 23．已知关于的一次函数与． （1）当时，这两个函数图象的交点坐标是 ； （2）若这两个函数图象与轴围成的三角形的面积是，则 ． 24．已知点是函数上的两个点，则 （填“”，“”或“”） 25．如图，在平面直角坐标系中，直线交轴于点，交轴于点，点，，在直线上，点，，，在轴的正半轴上，若，，，依次均为等腰直角三角形，直角顶点都在轴上，则的顶点的坐标为 ． 26．在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象如图所示．则下列结论中：①随x的增大而增大；②；③当时，；④关于x，y的方程组的解为，⑤，正确的有 ．（填序号） 27．根据图中信息，解答下列问题． (1)求反比例函数的解析式和直线的解析式． (2)将直线向上平移3个单位长度可以得到直线，连接，求的面积． 28．在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，直线交于点． (1)求点、、的坐标； (2)在平面直角坐标系中有一点，求的面积与的函数关系式； (3)为直线上的动点，过点作轴的平行线，交直线于点，点在轴上，是否存在点，使为等腰直角三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 29．已知正比例函数的图象经过点． (1)求这个正比例函数的表达式； (2)若这个图象还经过点，求点的坐标． 能力提升 1．在平面直角坐标系中，已知、，直线与线段的延长线（交点不包括）相交．则实数的取值范围为（   ） A． B． C．或 D． 2．如图，直线与直线相交于点，直线与y轴交于点A，一动点C从点A出发，先沿平行于x轴的方向运动，到达直线上的点处后，改为垂直于x轴的方向运动，到达直线上的处后，再沿平行于x轴的方向运动，到达直线上的点处后，又改为垂直于x轴的方向运动，达到直线上的点处后，仍沿平行于x轴的方向运动…，照此规律运动，动点C依次经过点，则当动点C从A到达处时，运动的总路径的长为（   ） A． B． C． D． 3．如图，在平面直角坐标系中，已知，点P为线段上任意一点．在直线上取点E、使，延长到点F，使，分别取、中点M、N，连接，则的最小值是 ．    4．如图，一次函数的图象与轴、轴分别交于点和点，点的坐标为，点，分别是线段，上的动点，且，则的长为 ；当的值取最小值时，点的坐标为 ． 5．如图，在平面直角坐标系中，直线经过点，，与轴交于点，直线． (1)求直线的函数表达式； (2)若，将直线沿轴向上平移个单位长度，当平移后的直线经过点时，求的值； (3)①无论的值怎样变化，直线都过定点______； ②若当从0开始逐浙增大时，函数的值比直线对应函数的值先到达9，求的取值范围； (4)已知直线（直线上所有点的横坐标都为3），若直线（且），直线与直线围成的三角形的面积是4，直接写出的值． 6．如图，在平面直角坐标系中，直线，与x轴交于点A，与y轴交于点B，（直角三角形中的直角边等于斜边的一半），点P在x轴上运动，连接． (1)求a的值； (2)作A关于直线的对称点，若轴，求的面积； (3)将绕点P顺时针旋转得到，直线与直线交点为Q，当为等腰三角形时，求出P点坐标． $$第三章 函数 第10讲 一次函数的图象与性质（5~10分） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 01考情透视·目标导航 02知识导图·思维引航 03考点突破·考法探究 考点一 一次函数的相关概念（高频考点） 考点二 一次函数的图象与性质（高频考点） 考点三 一次函数与方程（组）、不等式（高频考点） 04题型精研·考向洞悉 命题点一 一次函数的相关概念 ►题型01 根据一次函数的定义求参数值 ►题型02 求一次函数的自变量或函数值 命题点二 一次函数的图象与性质 ►题型01 判断一次函数图象 ►题型02 根据一次函数图象解析式判断象限 ►题型03已知函数经过的象限求参数的值或取值范围 ►题型04 一次函数与坐标轴交点问题 ►题型05 判断一次函数增减性 ►题型06 根据一次函数增减性判断参数取值范围 ►题型07 根据一次函数增减性判断自变量的变化情况 ►题型08 一次函数的平移问题 ►题型09 求一次函数解析式 ►题型10 一次函数的规律探究问题 ►题型11 一次函数的新定义问题 命题点三 一次函数与方程（组）、不等式 ►题型01 已知直线与坐标轴的交点求方程的解 ►题型02 由一元一次方程的解判断直线与x轴交点 ►题型03 利用图象法解一元一次方程 ►题型04 两直线的交点与二元一次方程组的解 ►题型05 图象法解二元一次方程组 ►题型06 求两直线与坐标轴围成的图形面积 ►题型07 由直线与坐标轴交点求不等式的解集 ►题型08 根据两条直线交点求不等式的解集 05分层训练·巩固提升 基础巩固 能力提升 01考情透视·目标导航 考点要求 新课标要求 考查频次 命题预测 一次函数的相关概念 · 结合具体情境体会一次函数的意义，能根据已知条件确定一次函数的表达式； 10年3考 一次函数的图象与性质是中考数学中比较重要的一个考点，也是知识点牵涉比较多的考点.各地对一次函数的图象与性质的考察也主要集中在一次函数表达式与平移、图象的性质、图象与方程不等式的关系以及一次函数图象与几何图形面积等五个方面，年年考查，总分值为5-10分左右，也因为一次函数是一个结合型比较强的知识点，所以其图象和性质也是后续函数问题学习的一个基础.故考生在复习这块知识点时，需要特别熟记对应考点的方法规律. 一次函数的图象与性质 · 解正比例函数； · 能画一次函数的图象，根据图象和表达式 y=kx+b(k≠0)探索并理解k>0和k＜0时图象的变化情况. · 会运用待定系数法确定一次函数的表达式. 10年6考 一次函数与方程（组）、不等式 · 体会一次函数与二元一次方程的关系. 10年8考 02知识导图·思维引航 03考点突破·考法探究 考点一 一次函数的相关概念 （高频考点） 正比例函数定义：一般地，形如y=kx（k为常数，k≠0）的函数，叫做正比例函数，k叫做比例系数. 一次函数定义：一般地，形如y=kx+b（k，b是常数，k≠0），那么y叫做x的一次函数. 当一次函数y=kx+b中b=0时，y=kx，所以说正比例函数是一种特殊的一次函数. 一次函数的一般形式：y=kx+b（k，b是常数，k≠0）. 1. 一次函数一般形式的特征：1）k≠0；2）x的次数为1；3）常数b可以取任意实数. 2. 正比例函数是一次函数，但是一次函数不一定是正比例函数. 3. 一次函数本身对自变量没有取值范围的要求，但是如果一次函数中的自变量x出现在分母，根号内，则需考虑以下情况： 1）整个分母不能等于0； 2）根号里的整个式子要大于或等于0. 4. 判断一个函数是不是一次函数，就是判断它是否能化成y=kx+b（k≠0）的形式. 1．（2024·甘肃兰州·模拟预测）若函数是正比例函数，且图象经过第一、三象限，则（　　） A．2 B． C． D．3 【答案】A 【分析】本题考查正比例函数的定义和性质，根据形如的函数是正比例函数，以及当时，正比例函数的图象经过第一、三象限求解即可． 【详解】解：∵函数是正比例函数，且图象经过第一、三象限， ∴，且， 解得，且， ∴， 故选：A． 2．（2023·湖南长沙·校考一模）函数的图像经过点，则k的值为（　　） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】将图像上的点代入解析式求解即可． 【详解】一次函数的图像经过点， ， 解得． 故选B． 【点睛】本题考查函数图像的性质，图像上的点的横纵坐标符合解析式方程．将点的坐标代入解析式方程求解参数是解题的关键． 考点二 一次函数的图象与性质 （高频考点） 一、一次函数的图象特征及性质 图象特征 正比例函数y=kx（k为常数，k≠0）必过点（0,0）、（1，k）. 一次函数y=kx+b（k，b是常数，k≠0）必过点（0，b）、（- ，0） 增减性 k>0 k<0 从左向右看图像呈上升趋势， y随x的增大而增大 从左向右看图像呈下降趋势， y随x的增大而减少 图象 b>0 b=0 b<0 b>0 b=0 b<0 经过象限 一、二、三 一、三 一、三、四 一、二、四 二、四 二、三、四 与y轴 交点位置 b＞0，交点在y轴正半轴上；b=0，交点在原点；b＜0，交点在y轴负半轴上 二、一次函数图象 图象关系 一次函数y=kx+b(k≠0)的图象可由正比例函数y=kx(k≠0)的图象平移得到： 当b>0时，向上平移b个单位长度； 当b<0时，向下平移|b|个单位长度 平移口诀：左加有减，上加下减 图象确定 因为一次函数的图象是一条直线，由两点确定一条直线可知画一次函数图象时，只要取两点即可， 1）画一次函数的图象，只需过图象上两点作直线即可，一般取(0，b)，(，0)两点； 2）画正比例函数的图象，只要取一个不同于原点的点即可. 三、k，b的符号与直线y=kx+b（k≠0）的关系 在直线y=kx+b（k≠0）中，令y=0，则x= ，即直线y=kx+b与x轴交于(,0) 令x=0，则y=b，即直线y=kx+b与y轴交于(0，b) 1）当> 0时，即k，b异号时，直线与x轴交于正半轴． 2）当= 0，即b=0时，直线经过原点． 3）当< 0，即k，b同号时，直线与x轴交于负半轴． 四、两个一次函数表达式（直线l1：y1=k1x＋b1与l2：y2=k2x＋b2）的位置关系： 1）当k1=k2，b1=b2时，两直线重合； 2) 当k1=k2，b1≠b2时，两直线平行； 3）当k1≠k2，b1=b2时，两直线交于y轴上的同一点（0，b）； 4）当k1k2=-1时，两直线垂直； 5）当k1≠k2时，两直线相交. 五、用待定系数法确定一次函数解析式 确定一次函数解析式的方法：1）依据题意中等量关系直接列出解析式；2）待定系数法. 用待定系数法求一次函数表达式的一般步骤： 1）设出函数的一般形式y=kx(k≠0)或y=kx+b(k≠0)； 2）根据已知条件(自变量与函数的对应值)代入表达式得到关于待定系数的方程或方程组； 3）解方程或方程组求出k，b的值； 4）将所求得的k，b的值代入到函数的一般形式中，从而得到一次函数解析式. 六、正比例函数与一次函数的联系与区别 正比例函数 一次函数 区别 一般形式 y=kx+b（k是常数，且k≠0） y=kx+b（k，b是常数，且k≠0） 图象 经过原点的一条直线 一条直线 k，b符号 的作用 k的符号决定其增减性， 同时决定直线所经过的象限 k的符号决定其增减性； b的符号决定直线与y轴的交点位置； k，b的符号共同决定直线在直角坐标系的位置 求解析式 的条件 只需要一对x，y的对应值 或一个点的坐标 需要两对x，y的对应值或两个点的坐标 联系 1）正比例函数是特殊的一次函数． 2）正比例函数图象与一次函数图象的画法一样，都是过两点画直线，但画一次函数的图象需取两个不同的点，而画正比例函数的图象只要取一个不同于原点的点即可． 3）一次函数y=kx+b（k≠0）的图象可以看作是正比例函数y=kx（k≠0）的图象沿y轴向上（b>0）或向下（b<0）平移|b|个单位长度得到的．由此可知直线y=kx+b（k≠0，b≠0）与直线y=kx（k≠0）平行． 4）一次函数与正比例函数有着共同的性质： ①当k>0时，y的值随x值的增大而增大； ②当k<0时，y的值随x值的增大而减小． 1. 正比例函数y= kx中，|k|越大，直线y= kx越靠近y轴；反之，|y|越小，直线y= kx越靠近x轴. 2. 判断一次函数的增减性，只看k的符号，与b无关. 3. 一次函数y= kx+b（k≠0）的自变量x的取值范围是全体实数而且图像是一条直线，因此没有最大值与最小值.但实际问题得到第一次函数解析式，自变量的取值范围一般受到限，学生做题时要注意具体问题具体分析. 4. 一次函数y= kx+b（k≠0）与x轴交于(, 0)，与y轴交于(0，b)，且这两个交点与坐标轴原点构成的三角形面积为s=. 1．（2024·湖南衡阳·模拟预测）对于一次函数，下列结论正确的是（   ） A．它的图象与轴交于点 B．随的增大而增大 C．当时， D．它的图象经过第一、二、三象限 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数的图象性质，根据一次函数，且，得出随的增大而减小，令，得出一次函数与轴交于点，它的图象经过第一、二、四象限，当时，则，即可作答． 【详解】解：∵一次函数，且， ∴随的增大而减小，故B选项不符合题意； 令时，则，即一次函数与轴交于点， 故A选项符合题意； 则一次函数经过第一、二、四象限，故D选项不符合题意； ∵一次函数的随的增大而减小， ∴令时，则， ∴当时，则，故C选项不符合题意； 故选：A． 2．（2024·广东广州·模拟预测）关于一次函数，下列说法正确的是（    ） A．图象过点 B．其图象可由的图象向下平移2个单位长度得到 C．随着的增大而增大 D．图象经过第一、二、四象限 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、一次函数图象与几何变换，一次函数的性质以及一次函数图象与系数的关系，根据一次函数图象上点的坐标特征，平移的规律以及一次函数的性质逐个判断即可． 【详解】A、当时，， 一次函数的图象经过点，选项A错误，不符合题意； B、由的图象向下平移2个单位长度得到，故选项B错误，不合题意 C、， 随的增大而减小，选项C错误，不符合题意； D、，， 一次函数的图象经过第一、二、四象限，选项D正确，符合题意； 故选：D． 3．（2024·辽宁·模拟预测）关于一次函数下列说法正确的是（    ） A．图象经过第一、三、四象限 B．图象与y轴交于点 C．y随x的增大而减小 D．当时， 【答案】B 【分析】根据一次函数，得到图象分布在第一、三、二象限，与y轴交于点，于x轴交点坐标为，y随x的增大而增大，当时，，判断即可． 本题考查了一次函数的性质应用，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：∵一次函数， ∴图象分布在第一、三、二象限，与y轴交于点，于x轴交点坐标为，一次函数y随x的增大而增大，且当时，， 故A，C，D都错误，B正确． 故选：B． 考点三 一次函数与方程（组）、不等式 （高频考点） 一、一次函数与一元一次方程 思路：由于任何一个一元一次方程可以转化为ax+b=0(a、b为常数，a≠0）的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为0时，求自变量的值. 从“数”上看：方程ax+b = 0（a≠0）的解⇔函数y=ax+b（a≠0）中，y=0时对应的x的值 从“形”上看：方程ax+b = 0 (a≠0）的解⇔函数y=ax+b（a≠0）的图像与x轴交点的横坐标. 二、一次函数与二元一次方程组 思路：一般地，二元一次方程mx+ny=p（m、n、p是常数，且m≠0，n≠0）都能写成y=ax+b（a、b为常数，且a≠0）的形式.因此，一个二元一次方程对应一个一次函数，又因为一个一次函数对应一条直线，所以一个二元一次方程也对应一条直线，进一步可知，一个二元一次方程组对应两个一次函数，因而也对应两条直线. 从“数”的角度看：解二元一次方程组相当于考虑自变量为何值时，两个函数的值相等，以及这两个函数值是何值； 从“形”的角度看：解二元一次方程组相当于确定两条直线的交点坐标，一般地，如果一个二元一次方程组有唯一解，那么这个解就是方程组对应的两条直线的交点坐标. 二、一次函数与一元一次不等式 思路：关于x的一元一次不等式kx+b＞0(或＜0)的解集是以直线y=kx+b和x轴的交点为分界点，x轴上(下)方的图象所对应的x的取值范围. 从函数的角度看：解一元一次不等式就是寻求使一次函数y=ax+b（a≠0）的值大于（或小于）0的自变量的取值范围； 从函数图像的角度看：就是确定直线y=ax+b（a≠0）在x轴上（或下）方部分的横坐标满足的条件. 1） 二元一次方程组的图解法的定义：画出两个一次函数的图像，找出它们的交点坐标，即得相应的二元一次方程组的解，这种解二元一次方程组的方法叫做二元一次方程组的图解法 1．（2024·青海·中考真题）如图，一次函数的图象与x轴相交于点A，则点A关于y轴的对称点是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数与坐标轴的交点坐标，点的对称，属于简单题，求交点坐标是解题关键． 先求出点的坐标，再根据对称性求出对称点的坐标即可． 【详解】解：令，则， 解得：， 即点为， 则点A关于y轴的对称点是． 故选：A． 2．（2024·贵州遵义·三模）已知一次函数和的图象如图所示，有下列结论：①；②；③；④、是直线上不重合的两点，则．其中正确的是（    ） A．①④ B．①③ C．②④ D．②③ 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数的性质，一次函数与一元一次不等式的关系，解题关键是利用数形结合的思想解决问题．根据一次函数中的，与其图象间的关系，利用数形结合的思想以及一次函数与一元一次不等式的关系，可解决此题． 【详解】解：①的图象过第二、三、四象限， 观察图象可知，，． 所以． 故①正确． ②将分别代入和得， ，． 观察图象不难发现点在点的上方， 所以． 故②不正确． ③观察图象发现，与交点的横坐标为． 当时，两者的函数值相等． ， 故③正确． ④，是直线上不重合的两点， 由的图象可知，当时，，则． 当时，，则． 故④不正确． 故选：B． 3．（2024·陕西渭南·一模）如图，一次函数（为常数且）和的图象相交于点，根据图象可知关于的方程的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一次函数图象的交点问题，一次函数与一元一次方程．根据图象，两直线的交点的纵坐标为4，将其代入得即可． 【详解】解：由图象知，两直线的交点的纵坐标为4，将其代入得． 故选：A． 04题型精研·考向洞悉 命题点一 一次函数的相关概念 ►题型01 根据一次函数的定义求参数值 1．（（2024·广东·模拟预测）下列函数中，y是x的一次函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一次函数的定义，一般地，形如（k，b为常数，且）的函数称为一次函数，据此逐项判断即可． 【详解】解：A、是一次函数，符合题意； B、不是一次函数，不符合题意； C、不是一次函数，不符合题意； D、不是一次函数，不符合题意． 故选：A 2．（2023·安徽合肥·校考三模）已知点在一次函数上，且，则下列不等关系一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将点代入一次函数，根据可求出的取值范围，再根据不等式的性质即可求解. 【详解】解：将点代入一次函数， ， ， ， ， . ， . 不等式两边同时除以得. 故选：A. 【点睛】本题考查了一次函数与不等式性质的综合，解题的关键在于熟练掌握不等式的性质. ►题型02 求一次函数的自变量或函数值 1．（2023·广东深圳·校联考模拟预测）若正比例函数，当时，，则下列各点在该函数图象上的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】把，，代入函数解析式可求得k，再把选项中所给点的坐标代入进行判断即可． 【详解】解：∵当时，， ∴， ∴， 当时，，故点在函数图象上，不在函数图象上， 当时，，故点不在函数图象上， 当时，，故点不在函数图象上， 故选：A． 【点睛】本题主要考查一次函数图象上点的坐标特征，掌握函数图象上点的坐标满足函数解析式是解题的关键． 2．（2024·湖北·模拟预测）已知直线的图象不经过第四象限，请任意写出一个符合条件的的值： ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的图像，熟练掌握知识点是解题的关键． 由题意可知，该直线不经过第四象限，可知，即可求解； 【详解】解：由题意可知，， ∴的值可以为． 故答案为：（答案不唯一） 3．（2023·广东广州·统考一模）点在一次函数的图象上，则的值为（    ） A．13 B．1 C．5 D． 【答案】D 【分析】把代入计算即可． 【详解】∵点在一次函数的图象上， 即当时，， ∴， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了一次函数图像与点的坐标关系．当已知函数解析式时，求坐标中字母的值直接代入解析式求解即可． 命题点二 一次函数的图象与性质 ►题型01 判断一次函数图象 1．（2024·安徽·模拟预测）已知与是一次函数．若，那么如图所示的个图中正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一次函数的图象，其图象是直线，要求学生掌握通过函数的解析式，判断直线的位置及与坐标轴的交点． 联立方程，得出两直线的交点为，依次分析选项可得答案． 【详解】解：联立方程，可解得，故两直线的交点为， 选项中交点纵坐标是0，即，但根据图象可得，故选项不符合题意； 而选项中交点横坐标是负数，故选项不符合题意； 选项中交点横坐标是负数，选项不符合题意； 选项中交点横坐标是正数，纵坐标是正数，即，根据图象可得，故选项符合题意； 故选：． 2．（2023·浙江宁波·一模）如图所示，满足函数和的大致图象是（    ） A．①② B．②③ C．②④ D．①④ 【答案】B 【分析】本题主要考查了反比例函数的图象性质和一次函数的图象性质，关键是由的取值确定函数所在的象限． 分别根据一次函数与反比例函数图象的特点解答即可． 【详解】解：， 函数过点， 故不合题意； 当时，函数过第一、三、四象限，函数在一、三象限； 当时，函数过第一、二、四象限，函数在二、四象限； 故符合题意； 故选：． 3（2024·江苏南通·一模）在平面直角坐标系中，点，点，点在同一个函数图象上，则该图象可能是（    ） A．B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了函数的图象．由点，点，点在同一个函数图象上，可得与关于轴对称；当时，随的增大而增大，继而求得答案． 【详解】解：，点， 与关于轴对称， 即这个函数图象关于轴对称，故选项A不符合题意； ，点， 当时，随的增大而增大，故选项B符合题意，选项C、D不符合题意． 故选：B． ►题型02 根据一次函数图象解析式判断象限 1．（2025·上海奉贤·一模）已知函数，其中常数、，那么这个函数的图象不经过的象限是（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数的性质，由一次函数的解析式得出其图象经过一、二、三象限，不经过第四象限，从而得解，熟练掌握一次函数的性质是解此题的关键． 【详解】解：∵一次函数，其中常数、， ∴其图象经过一、二、三象限，不经过第四象限， 故选：D． 2.（2023·陕西西安·西安市铁一中学校考二模）已知正比例函数中，随的增大而增大，则一次函数的图象所经过的象限是（    ） A．一、二、三 B．一、二、四 C．一、三、四 D．二、三、四 【答案】B 【分析】根据题意以及正比例函数的性质，得出，进而即可求解． 【详解】解：∵正比例函数中，随的增大而增大， ∴， ∴一次函数的图象所经过的象限是一、二、四， 故选：B． 【点睛】本题考查了正比例函数的性质与一次函数的性质，得出是解题的关键． ►题型03 已知函数经过的象限求参数的值或取值范围 1．（2023·浙江杭州·统考一模）已知与成正比例，且当时，．若关于的函数图象经过二、三、四象限，则m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据正比例的性质列出解析式，根据一次函数经过的象限求得的范围，即可求解． 【详解】解：∵与成正比例， ∴， 即， 当时，， 即， ∴ ∵若关于的函数图象经过二、三、四象限， ∴ 解得： ∵ ∴ 即 解得： ， 故选：C． 【点睛】本题考查了待定系数法求解析式，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键． 2．（2023·安徽合肥·合肥市第四十五中学校考模拟预测）已知直线经过第一、二、三象限，且点在该直线上，设，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先利用一次函数图象上点的坐标特征得到，再利用一次函数与系数的关系得到，，则的范围为，接着用表示，然后根据一次函数的性质求的范围． 【详解】解：把代入得，， 因为直线经过第一、二、三象限， 所以，，即， 所以的范围为， 因为， 所以的范围为． 故选：B． 对于y=kx+b与y轴交于(0,b)，当b>0时，(0,b)在y轴的正半轴上，直线与y轴交于正半轴；当b<0时，(0,b)在y轴的负半轴，直线与y轴交于负半轴；当k>0，b>0⇔y=kx+b的图象在一、二、三象限；k>0，b<0⇔y=kx+b的图象在一、三、四象限；k<0，b>0⇔y=kx+b的图象在一、二、四象限；k<0，b<0⇔y=kx+b的图象在二、三、四象限. ►题型04 一次函数与坐标轴交点问题 1．（2024·陕西西安·三模）若关于的方程的解是，则直线一定经过点（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了一元二次方程解的定义，一次函数的性质等等，先把代入方程中得到，进而得到当时，，据此可得答案． 【详解】解：∵关于x的方程的解是， ∴， ∴， ∴直线解析式为， ∴当时，，即直线一定经过点， 故选：D． 2.（2023·陕西西安·校考二模）在平面直角坐标系中，将函数的图象向右平移3个单位长度，则平移后的图象与轴的交点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用一次函数图象的平移规律，左加右减，上加下减，得出即可． 【详解】解：将函数的图象向右平移3个单位长度，得到， 当时， 解得： ∴平移后的图象与轴的交点坐标为， 故选：B． 【点睛】本题考查了一次函数图象的平移，一次函数与坐标轴的交点问题，掌握平移规律是解题的关键． 3.（2024·广东·模拟预测）若关于x的方程的解是，则直线一定经过点（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查的是一次函数与一元一次方程的关系，掌握一次函数与一元一次方程的关系是解题的关键；根据方程可知当时， ，从而可判断直线经过点即可． 【详解】解：由方程的解可知：当时，，即当时，， 直线一定经过点， 故选：C． ►题型05 判断一次函数增减性 1．（2023·湖南益阳·中考真题）关于一次函数，下列说法正确的是（    ） A．图象经过第一、三、四象限 B．图象与y轴交于点 C．函数值y随自变量x的增大而减小 D．当时， 【答案】B 【分析】根据一次函数的性质判断即可． 【详解】解：由题意可得：， ∴一次函数经过一、二、三象限，函数值y随自变量x的增大而增大，故A、C错； 当时，， ∴图象与y轴交于点，故B正确； 当时，， ∵函数值y随自变量x的增大而增大， ∴当时，，故D错误； 故选：B． 【点睛】本题主要考查了一次函数的图象和性质，熟练掌握一次函数的图象和性质是解题的关键． 2．（2024·湖南长沙·中考真题）对于一次函数，下列结论正确的是（    ） A．它的图象与y轴交于点 B．y随x的增大而减小 C．当时， D．它的图象经过第一、二、三象限 【答案】A 【分析】本题考查一次函数的性质，根据一次函数的性质逐个判断即可得到答案． 【详解】解：A.当时，，即一次函数的图象与y轴交于点，说法正确； B.一次函数图象y随x的增大而增大，原说法错误； C.当时，，原说法错误； D.一次函数的图象经过第一、三、四象限，原说法错误； 故选A． 3．（2023·山东淄博·中考真题）下列函数图象中，能反映的值始终随值的增大而增大的是(    ) A．   B．   C．   D．   【答案】C 【分析】观察图象，由函数的性质可以解答． 【详解】解：由图可知： A、函数值具有对称性．在对称轴的左侧y的值随x值的增大而增大，对称轴的右侧y的值随x值的增大而减小，该选项不符合题意； B、增减性需要限定在各个象限内，该选项不符合题意； C、图象是函数y的值随x值的增大而增大，该选项符合题意； D、图象在原点左侧是函数y的值随x值的增大而减小，该选项不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数图象，一次函数图象，正比例函数图象，反比例函数图象，准确识图并理解函数的增减性的定义是解题的关键． ►题型06 根据一次函数增减性判断参数取值范围 1．（2024·新疆·中考真题）若一次函数的函数值y随x的增大而增大，则k的值可以是（    ） A． B． C．0 D．1 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数的性质，要知道，在直线中，当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小． 【详解】解：∵一次函数的函数值y随x的增大而增大， ∴， 而四个选项中，只有D符合题意， 故选：D． 对于一次函数y=kx+b(k≠0)来说，当k>0时，y随x的增大而增大，当k<0时，y随x的增大而减小，熟练掌握一次函数的增减性是解题的关键． ►题型07 根据一次函数增减性判断自变量的变化情况 1.（2023·江苏连云港·统考二模）一次函数的图像经过点，当时，x的取值范围是 ． 【答案】 【分析】将点的坐标代入解析式即可求得a的值，然后根据一次函数的性质即可得到结论． 【详解】解：由题意可得：，解得：， ∵， ∴y随x增大而增大， ∴当时，x的取值范围是； 故答案为：． 【点睛】本题考查了一次函数的性质，一次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是首先正确的确定次函数的解析式，难度不大． 2．（2024·四川自贡·中考真题）一次函数的值随的增大而增大，请写出一个满足条件的的值 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了一次函数的性质，根据一次函数)的值随的增大而增大，得出，写一个满足条件的的值即可，根据的正负性判断函数增减性是解题的关键． 【详解】解：∵的值随x的增大而增大， ∴， ∴， ∴的值可以为：， 故答案为：（答案不唯一）． 3．（2023·辽宁盘锦·中考真题）关于x的一次函数，若y随x的增大而增大，且图象与y轴的交点在原点下方，则实数a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】由一次函数性质得，，，求解即可． 【详解】解：∵y随x的增大而增大， ∴． ∴． 时， ∵图象与y轴的交点在原点下方， ∴． ∴． ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查一次函数的性质；掌握一次函数的性质是解题的关键． ►题型08 一次函数的平移问题 1.（2024·陕西·模拟预测）在同一平面直角坐标系中，直线向上平移个单位长度后，与直线的交点可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数图象的平移，正确求出平移后的直线解析式是解题的关键．先根据平移规律求出直线向上平移m个单位的直线解析式，再把各选项点坐标代入与，验证即可． 【详解】解：直线向上平移个单位后，得到， A．把代入得，， ∴交点不可能是，故A不合题意； B．把代入得，， ∴交点不可能是，故B不合题意； C．把代入得，， 把代入，求得， ∴交点可能是，故C符合题意； D．把代入得，， 把代入，求得， ∴交点不可能是，故D不合题意； 故选：C． 2．（2024·贵州贵阳·一模）已知一次函数、为常数，且图象经过点，将该一次函数图象向右平移1个单位后得到一次函数（，为常数）的图象，则下列关于一次函数的说法，正确的是（    ） A．该函数图象与轴交点的横坐标大于3 B．该函数图像有可能经过坐标原点 C．该函数图象与轴交于负半轴     D．该函数图像不一定经过第二象限 【答案】A 【分析】本题考查一次函数图象的平移以及一次函数的图象和性质，根据平移得到，，再根据一次函数的图象和性质，进行判断即可．掌握一次函数图象的平移规律，是解题的关键． 【详解】解：一次函数（、为常数，且图象经过点， ， ， ， ， 该一次函数向右平移1个单位后得到一次函数的图象， ，， 的图象过二、一、四象限，与轴交于正半轴， 一次函数（、为常数，且的图象经过点，平移后的直线过点， ， 随的增大而减小， 平移后的直线过点， 的函数图象与轴交点的横坐标大于3； 综上：选项C，B，D错误，选项A正确． 故选：A． ►题型09 求一次函数解析式 1.（2024·湖北武汉·模拟预测）小华在画一次函数的图象时列出了如下表格： x … 0 1 2 y … 4 1 … 小勤看到后说有一个函数值求错了，这个错误的函数值是（   ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了待定系数法求出一次函数解析式以及一次函数图象上点的坐标特征，根据点的坐标（任取两个），利用待定系数法求出一次函数解析式，再逐一验证其它三点坐标即可得出结论． 【详解】解：设该一次函数的解析式为（）， 将，代入得，， 解得：， ∴一次函数的解析式为． 当时，； 当时，； 当时，． 故选：B． 2．（2024·山东潍坊·中考真题）请写出同时满足以下两个条件的一个函数： ． ①随着的增大而减小；②函数图象与轴正半轴相交． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了一次函数的图象和性质，一次函数中的随着的增大而减小可得，再根据函数图象与轴正半轴相交可得，据此即可求解，掌握一次函数的图象和性质是解题的关键． 【详解】解：∵随着的增大而减小， ∴一次函数的比例系数， 又∵函数图象与轴正半轴相交， ∴， ∴同时满足以下两个条件的一次函数可以是， 故答案为：（答案不唯一）． 3．（2024·江苏苏州·中考真题）直线与x轴交于点A，将直线绕点A逆时针旋转，得到直线，则直线对应的函数表达式是 ． 【答案】 【分析】根据题意可求得与坐标轴的交点A和点B，可得，结合旋转得到，则，求得，即得点C坐标，利用待定系数法即可求得直线的解析式． 【详解】解：依题意画出旋转前的函数图象和旋转后的函数图象，如图所示∶    设与y轴的交点为点B， 令，得；令，即， ∴， ， ∴，， 即 ∵直线绕点A逆时针旋转，得到直线， ∴，， ∴， 则点， 设直线的解析式为，则 ，解得， 那么，直线的解析式为， 故答案为：． 4．（2024·山西·中考真题）生物学研究表明，某种蛇在一定生长阶段，其体长是尾长的一次函数，部分数据如下表所示，则y与x之间的关系式为（　　） 尾长 6 8 10 体长 45.5 60.5 75.5 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查用待定系数法求一次函数关系式，一次函数图象上点的坐标特征，根据题意可设，利用待定系数法求出k，b即得x、y之间的函数关系式． 【详解】解：∵蛇的体长是尾长的一次函数， 设， 把时，；时，代入得， 解得， ∴y与x之间的关系式为． 故选：A． ►题型10 一次函数的规律探究问题 1．（2024·四川内江·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，轴，垂足为点，将绕点逆时针旋转到的位置，使点的对应点落在直线上，再将绕点逆时针旋转到的位置，使点的对应点也落在直线上，如此下去，……，若点的坐标为，则点的坐标为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平面直角坐标系、一次函数、旋转的性质、勾股定理等知识点．找出点的坐标规律以及旋转过程中线段长度的关系是解题的关键． 通过求出点的坐标，、、的长度，再根据旋转的特点逐步推导出后续点的位置和坐标，然后结合图形求解即可． 【详解】 轴，点的坐标为， ，则点的纵坐标为3，代入， 得：，则点的坐标为． ，， ， 由旋转可知，，，， ，， ， ． 设点的坐标为， 则， 解得或（舍去），则， 点的坐标为． 故选C． 2．（2024·四川乐山·模拟预测）如图是直线在第一象限内的一部分，其上有一点，且．过作轴于，以为圆心，为半径作弧交于点，过作于，以为圆心，以为半径作弧交于点；过作于；……，如此重复下去．则： （1）的纵坐标是 ； （2）的纵坐标是 ． 【答案】 / 【分析】本题考查锐角三角函数，一次函数，勾股定理，圆的基本性质，勾股定理等知识，解题的关键是根据图形得到规律，进行解答，即可． 【详解】解：过点作交轴于点，过点作交轴于点，过点作交轴于点， ∵以为圆心，为半径作弧交于点，过作于，以为圆心，以为半径作弧交于点；过作于，……， ∴，，，……， ∵点在直线， ∴设， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 由题意得，以为圆心，，， 以为圆心，，， 以为圆心，，， 以为圆心，，， ， ∴以为圆心，，， ∴， ∴的纵坐标为；的纵坐标为． 故答案为：；． 3．（2024·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）如图，直线上有点，且，，，分别过点作直线的垂线，交y轴于点，依次连接，得到，，，…，，则的面积为 ．（用含有正整数n的式子表示） 【答案】 【分析】由直线的解析式可得出，结合可求出的值，再根据三角形的面积公式即可求出的面积． 【详解】如图，在直线上取一点M，作轴于点N，设， 则， ∵， ∴， ∴， ∵，，，， ∴设，则， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了一次函数图像上点的坐标特征，三角形的面积，解直角三角形以及规律型中数的变化规律，根据边的变化找出变化规律“”是解题的关键． 4．（2024·山东东营·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，已知直线的表达式为，点的坐标为，以为圆心，为半径画弧，交直线于点，过点作直线的垂线交轴于点；以为圆心，为半径画弧，交直线于点，过点作直线的垂线交轴于点；以为圆心，为半径画弧，交直线于点，过点作直线的垂线交轴于点；……按照这样的规律进行下去，点的横坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是一次函数性质应用，等腰直角三角形的判定与性质及点的坐标规律问题，作轴于点H，依次求出，找出规律即可解决． 【详解】解：作轴于点H， 均在直线上， ， ， ，， ， ， ， ， ， 同理，， ， 同理， ， 即点的横坐标是， 故答案为：． ►题型11 一次函数的新定义问题 1．（2024·北京·模拟预测）在平面直角坐标系中，对于点，若，则称点为“同号点”．下列函数的图象中不存在“同号点”的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一次函数的性质，二次函数的性质，反比例函数的性质等知识点，熟练掌握相关函数的性质是解题的关键． 由题意可知，图象经过第一和第三象限的函数都是满足条件的，由此判断即可． 【详解】解：由题意可知，图象经过第一和第三象限的函数都是满足条件的， 函数的图象在二四象限，不满足条件， 故选：． 2．（2024·广东广州·二模）高斯函数也称取整函数，记作，表示不超过的最大整数．例如，．已知函数，若关于的方程有三个不同的实根，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】本题考查了对高斯函数的理解，以及对方程的解和函数图象交点之间联系的理解，解题的关键在于利用数形结合的方式找出临界点．根据题意可得与有三个不同的交点，恒过点，画出函数图象，找出临界点，即可求出实数的取值范围． 【详解】解：关于的方程有三个不同的实根， 与有三个不同的交点， 有恒过点， 如下图： 当过点时，， 当过点时，， 当过点时，， 当过点时，， 关于的方程有三个不同的实根，则实数的取值范围是或 ． 故选：D． 3.（2023·江苏苏州·统考一模）对某一个函数给出如下定义：若存在正数，函数值都满足，则称这个函数是有界函数．其中，的最小值称为这个函数的边界值．若函数（，且）中，的最大值是2，边界值小于3，则应满足的条件是 ． 【答案】 【分析】根据可知函数的随的增大而增大，再根据函数增减性可知当时函数值为边界值，然后由边界值小于3列关于的不等式求解即可． 【详解】解： 函数的随的增大而增大 当时，函数的函数值为边界值， 边界值小于3 ，解得：． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了阅读理解、一次函数的增减性、解不等式等知识点，理解“边界值”的定义成为解答本题的关键． 4（2024·安徽阜阳·模拟预测）规定：表示不大于的最大整数，表示不小于的最小整数，表示最接近的整数（，为整数），例如：，，．则下列说法正确的是 ．（写出所有正确说法的序号） ①当时，； ②当时，； ③方程的解为； ④当时，函数的图象与正比例函数的图象有两个交点． 【答案】③ 【分析】本题考查了一次函数的交点及有理数的加法，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键．根据定义依次代入数据即可判断①②，当时，代入求解即可判断③，分时，当时，当时，，当时，当时，等集中情况求解判断④． 【详解】解：①当时， ，故①错误； ②当时， ，故②错误； ③当时， ，故③正确； ④∵时， ∴当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， ∵，则时，得；时，得；当时，， ∴当时，函数的图象与正比例函数的图象有三个交点，故④错误， 故答案为③． 命题点三 一次函数与方程(组)、不等式 ►题型01 已知直线与坐标轴的交点求方程的解 1．（2023·陕西西安·西安市第六中学校考模拟预测）一次函数的图象与轴交于点，则关于的方程的解为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据一次函数的图象与轴交于点，求出，然后解方程即可． 【详解】解：一次函数的图象与轴交于点， ， ， ， ． 故选：． 【点睛】本题主要考查了一次函数与一元一次方程之间的关系，正确求出是解题的关键． 2．（2024·江苏扬州·中考真题）如图，已知一次函数的图象分别与x、y轴交于A、B两点，若，，则关于x的方程的解为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次方程之间的关系，难度不大，认真分析题意即可． 根据一次函数与轴交点坐标可得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵一次函数的图象与轴交于点， ∴当时，，即时，， ∴关于的方程的解是． 故答案为：． 3.（2024·湖北·模拟预测）直线与轴交于点，与轴交于点，则关于的方程的解为 ． 【答案】2024 【分析】本题考查了根据一次函数与坐标轴的交点求一元一次方程的解，根据直线与轴交于点即可得出答案． 【详解】解：直线与轴交于点， 关于的方程的解为， 故答案为：2024． ►题型02 由一元一次方程的解判断直线与x轴交点 1．（2024·河北沧州·模拟预测）对于题目：“如果函数与x轴有唯一公共点，求a的值．” 甲的解法如下：“函数与x轴有唯一公共点，可以令，则方程有两个相等的实数根，，解得，的值为“”，而乙说：“甲考虑的不完整，应该还有一种情况．”下列判断正确的是（    ） A．乙说得不对，a的值为2 B．甲求得结果不对，a的值为 C．乙说得对，a还有一个值为0 D．两个人都不对，a应有3个不同的值 【答案】C 【分析】本题考查一次函数与坐标轴的交点问题，二次函数图象与坐标轴的交点问题，根据题意，分和，两种情况进行讨论求解，判断即可． 【详解】解：由题意，当时，即，此时函数为，当时，， ∴函数与x轴的交点为，有唯一公共点． 当时，即，此时函数为二次函数， 又函数与x轴有唯一公共点， ， ∴， 综上，或， 故乙说得对，a还有一个值为0； 故选：C 2．（2023·浙江嘉兴·统考一模）在平面直角坐标系中，点是一个光源，木杆两端的坐标分别是，，则木杆在x轴上的投影的长是（    ） A．4 B． C． D．5 【答案】B 【分析】根据题意画出图形，分别求得直线的解析式，进而即可求解． 【详解】解：如图所示， ∵， ， ， 设直线的解析式为：，直线的解析式为：， ∴ 解得：， ∴， 中，当时，，则, 中，当时，，则 ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查了中心投影，一次函数的应用，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键． ►题型03 利用图象法解一元一次方程 1．（2024·陕西西安·二模）如图，已知直线（为常数，），则关于的方程的解是（    ） A． B． C．0 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一次函数和一元一次方程的综合应用，正确解得直线函数解析式是解题关键．首先根据待定系数法解得直线解析式，再令，解得的值，即可获得答案． 【详解】解：由图像可知，直线经过点，， 将点，代入， 可得，解得， ∴该直线解析式为， 令，可得， 解得， ∴关于的方程的解是． 故选：A． 2．如图，直线y＝kx+b(k≠0)经过点P(﹣3，2)，则关于x的方程kx+b＝2的解是（    ） A．x＝1 B．x＝2 C．x＝﹣3 D．无法确定 【答案】C 【分析】根据题意，可知当x＝﹣3时，y＝kx+b＝2，根据图象即可求解． 【详解】解：根据题意，可知当x＝﹣3时，y＝kx+b＝2， ∴关于x的方程kx+b＝2的解是x＝﹣3． 故选：C． 【点睛】本题考查了一次函数与一元一次方程，结合图象解方程是解题的关键． ►题型04 两直线的交点与二元一次方程组的解 1．（2023·陕西榆林·校考三模）在同一平面直角坐标系中，一次函数和的图象相交于点，则关于的方程组的解为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】找到方程组的解与直线交点坐标的关系即可． 【详解】解：∵一次函数的图象经过点，∴， ∴一次函数和的图象相交于点， ∴关于的方程组的解为． 故选：D． 【点睛】本题考查了一次函数与二元一次方程组的关系，熟悉两者之间的关系并进行灵活转化是解题关键． 2．（2023·广东深圳·校考一模）在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象如图所示，则下列结论错误的是（　　）    A．随x的增大而减小 B． C．当时， D．关于x，y的方程组的解为 【答案】B 【分析】结合图象，根据一次函数的图象和性质，一次函数与二元一次方程组，一次函数与一元一次不等式．从函数图象中有效的获取信息进行判断即可． 【详解】解：A．由图象得随x的增大而减小，故选项正确； B．由图象可知，一次函数的图象与轴的交点在的图象与轴的交点的上方，即，故选项错误； C．由图象得：当时，，故选项正确； D．由图象可知，两条直线的交点为， ∴的解为：，故选项正确； 故选：B． 【点睛】本题考查一次函数的图象和性质，一次函数与二元一次方程组，一次函数与一元一次不等式．从函数图象中有效的获取信息，熟练掌握图象法解方程组和不等式，是解题的关键． ►题型05 图象法解二元一次方程组 1．（2024·山东临沂·模拟预测）在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象如图所示．则下列结论中：①随的增大而增大；②；③．当时，；④关于，的方程组的解为，正确的有（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据一次函数的性质，结合图象，逐一进行判断即可． 【详解】解：①、随的增大而增大，故选项①正确； ②．由图象可知，一次函数的图象与轴的交点在的图象与轴的交点的下方，即，故选项②正确； ③．由图象可知：当时，，故选项③错误； ④．由图象可知，两条直线的交点为， ∴关于，的方程组的解为；故选项④正确； 故正确的有①②④共三个， 故选：C． 【点睛】本题考查一次函数的图象和性质，一次函数与二元一次方程组，一次函数与一元一次不等式．从函数图象中有效的获取信息，熟练掌握图象法解方程组和不等式，是解题的关键． 2．（2024·浙江杭州·二模）在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象如图所示，则（    ）      A．当时， B．当时，， C． D．关于，的方程组的解为 【答案】C 【分析】本题考查一次函数与方程、不等式的关系，解题的关键是根据一次函数与方程、不等式的关系并利用数形结合思想进行分析即可． 【详解】解：A．由图象得：当时，，故此选项不符合题意； B．由图象得：当时，，，故此选项不符合题意； C．由图象得：一次函数与的图像交于点， ∴，， ∴， ∴，故此选项符合题意； D．由图象得：关于，的方程组的解为，故此选项不符合题意． 故选：C． ►题型06 求两直线与坐标轴围成的图形面积 1．（2024·江苏南通·中考真题）平面直角坐标系中，已知，．直线（k，b为常数，且）经过点，并把分成两部分，其中靠近原点部分的面积为，则k的值为 ． 【答案】/0.6 【分析】本题主要考查了一次函数的综合问题，根据题意画出图形，求待定系数法求出的解析式，再根据直线经过点，求出，联立两直线求出点D的坐标，再根据靠近原点部分的面积为为等量关系列出关于k的等式，求解即可得出答案． 【详解】解：根据题意画出图形如下， 设直线的解析式为：， 把，代入， 可得出：， 解得：， ∴直线的解析式为：， ∵直线经过点， ∴， ∴， ∴直线， 联立两直线方程：， 解得：， ∴ ∵，， ∴，， 根据题意有：， 即， ， 解得：, 故答案为：． 2．（2024·四川凉山·中考真题）如图，一次函数的图象经过两点，交轴于点，则的面积为 ． 【答案】9 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求一次函数解析式以及三角形的面积．根据点A，B的坐标，利用待定系数法可求出直线的解析式，得出点C的坐标及的长，再利用三角形的面积公式即可求出的面积． 【详解】解：将代入，得：， 解得：， ∴直线的解析式为． 当时，，解得：， ∴点C的坐标为，， ∴． 故答案为：9． 3．（2024·河北·一模）如图，在平面直角坐标系中，直线：与y轴交于点A，直线与y轴，x轴交于点B，点C，与交于点，连接，已知的长为4． (1)求点D的坐标及直线的解析式； (2)求的面积； (3)若直线上有一点P使得的面积等于的面积，直接写出点P的坐标． 【答案】(1)，直线的解析式为 (2) (3)或 【分析】本题主要考查了一次函数的性质及三角形面积的计算，解题的关键是数形结合． （1）把代入，即可求出坐标，再根据点和用待定系数法即可求出函数解析式； （2）先求出，再根据图象即可求解； （3）设，根据或即可求解； 【详解】（1）解：∵， ∴将点代入得， ∴； ∵的长为4， ∴， 设直线的解析式为， 将点和代入得： ， 解得：， 故直线的解析式为； （2）解：令，得， ， ； （3）解：根据题意得：， 设， 令，得， ， 如图： ， 解得：， 或， 解得：， 故或． 4．（2023·辽宁沈阳·二模）如图，在平面直角坐标系中，直线交轴于点，交轴于点，与直线交于点，点是轴正半轴上一动点，过点作轴的垂线，与直线，分别交于点，，设点的横坐标为． (1)求直线的函数表达式； (2)当的面积为时，求的值； (3)点为轴上一动点，当为等腰直角三角形时，请直接写出的值． 【答案】(1) (2)4或8 (3)或 【分析】本题考查了一次函数综合，涉及待定系数法确定函数表达式、平面直角坐标系中求三角形面积、等腰三角形性质、解含绝对值的方程等知识，掌握分类讨论思想，数形结合思想，及待定系数法是解题的关键． （1）根据待定系数法求解即可得到答案； （2）根据三角形的面积公式列方程求解即可得到答案； （3）分类讨论，结合图象，列方程求解． 【详解】（1）解：由直线交轴于点，则； 由直线与直线交于点，则，； ，解得， 直线 ； （2）解：过点作轴的垂线，与直线，分别交于点，，设点的横坐标为， 直线 ，直线 ， ，， ， 的面积为，解得或； 的值为4或8； （3）解：当，时，，解得（不合题意，舍去）或， 过作，且时，如图所示： ，解得（不合题意，舍去）或， 的值为或． 5．（2024·四川凉山·中考真题）如图，正比例函数与反比例函数的图象交于点． (1)求反比例函数的解析式； (2)把直线向上平移3个单位长度与的图象交于点，连接，求的面积． 【答案】(1) (2)6 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，待定系数法求函数解析式，一次函数的平移等知识，熟练掌握函数的平移法则是关键． （1）待定系数法求出反比例函数解析式即可； （2）先得到平移后直线解析式，联立方程组求出点坐标，根据平行线间的距离可得，代入数据计算即可． 【详解】（1）解：点在正比例函数图象上， ，解得， ， 在反比例函数图象上， ， 反比例函数解析式为． （2）解：把直线向上平移3个单位得到解析式为， 令，则， ∴记直线与轴交点坐标为，连接， 联立方程组， 解得，（舍去）， ， 由题意得：， ∴同底等高， ． ►题型07 由直线与坐标轴交点求不等式的解集 1．（2023·陕西西安·交大附中分校校考模拟预测）如图，一次函数的图象过点，则不等式的解是（　　）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】不等式的解就是图象上点的纵坐标大于3对应的自变量的取值范围，据此解答即可. 【详解】解：根据题意：因为一次函数的图象过点， 则不等式的解是； 故选：A. 【点睛】本题考查了一次函数和一元一次不等式，属于基础题型，掌握求解的方法是解题关键. 2．（2023·陕西商洛·校考三模）如图，一次函数的图象与轴交于点，当时，自变量的取值范围是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先由图象可知，当时，，从而求出，当时，，再结合函数图象得到结果． 【详解】解：当时，， 即， ， 当时，， 当时，自变量的取值范围是， 故选：B． 【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是利用数形结合的思想求解． 3．（2023·山东淄博·统考一模）已知函数的图象如图所示，则关于的不等式的解集是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由于可由向左平移3个单位长度而得到，此时由题意知，直线与x轴的交点横坐标为，结合函数图象即可求得不等式的解集． 【详解】解：由于可由向左平移3个单位长度而得到， ∵直线与x轴交点横坐标为2， ∴直线与x轴的交点横坐标为， ∴函数的图象如下 观察图象知，不等式的解集是， 故选：A． 【点睛】本题考查了函数图象的平移、利用函数图象求一元一次不等式的解集等知识，得到平移后的一次函数解析式及与x轴的交点坐标是关键． ►题型08 根据两条直线交点求不等式的解集 1．（2024·辽宁·模拟预测）一次函数与的图象如图所示，下列结论中，正确的有（    ） ①对于函数来说，y随x的增大而减小； ②函数的图象经过第一、二、四象限； ③ A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式，一次函数的图象与性质，利用数形结合是解题的关键． 【详解】解：由图象可知，对于函数来说，y随x的增大而增大；函数的图象经过第一、二、四象限，故①错误，②正确． 由图象可知，一次函数，的图象的交点横坐标为2． ∴， ∴，故③正确． 故答案：C． 2．（2024·内蒙古通辽·中考真题）如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数与（其中，，，，为常数）的图象分别为直线，．下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是一次函数的图象与性质，直接利用一次函数的图象经过的象限以及与轴的交点位置再判断即可． 【详解】解：由一次函数：的图象可得： ，， 由一次函数：的图象可得： ，， ∴，，，， 正确的结论是A，符合题意， 故选A． 3．（2024·云南昆明·模拟预测）我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”，数形结合是解决数学问题的重要思想方法．为了了解关于x的不等式的解集，某同学绘制了与（m，n为常数，）的函数图象如图所示，通过观察图象发现，该不等式的解集在数轴上表示正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集，能利用数形结合求出不等式的解集是解题的关键．直接根据一次函数的图象即可得出结论． 【详解】解：由一次函数的图象可知，当时，一次函数的图象在一次函数的图象的下方， ∴关于的不等式的解集是． 在数轴上表示的解集，只有选项C符合， 故选：C． 4．（2024·广东深圳·模拟预测）在平面直角坐标系中，一次函数和的图象如图所示，则关于的一元一次不等式的解集是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式，熟练掌握以上知识是解题的关键． 根据图象的位置关系和交点坐标写出直线在下方所对应的自变量的范围即可． 【详解】解：由，得到：． 根据图象可知：两函数的交点为， ∴关于的一元一次不等式的解集是， 即关于的一元一次不等式的解集是， 故答案为：． 基础巩固 1．一个正比例函数的图象经过点和点，若点与点关于原点对称，则这个正比例函数的表达式为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查正比例函数的图象，坐标与中心对称．根据关于原点对称的两个点的横纵坐标均互为相反数，求出N的坐标，进而利用待定系数法求出函数表达式即可． 【详解】解：∵点和点 关于原点对称， ∴， ∴， 设正比例函数解析式为， 则， ∴， ∴． 故选：A． 2．若函数是关于的正比例函数，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了正比例函数的定义，熟练掌握正比例函数的定义是解题的关键．根据正比例函数的定义进行判断即可． 【详解】 是关于的正比例函数， 且， 解得， 故选C． 3．下列各选项中，两个变量与之间的关系是正比例函数关系的是（   ） A．直角三角形中一个锐角的度数（度）与另一个锐角的度数（度）之间的关系 B．正方体的表面积与它的棱长之间的关系 C．小红阅读一本420页的名著，未读的页数（页）与已读的页数（页）之间的关系 D．汽车以的速度匀速行驶，行驶路程与行驶时间之间的关系 【答案】D 【分析】本题考查了正比例函数的定义“一般地，形如（是常数，且）的函数，叫做正比例函数”，熟记正比例函数的定义是解题关键．分别根据直角三角形的性质、正方体的表面积公式、路程与速度列出与的函数关系式，再根据正比例函数的定义逐项判断即可得． 【详解】解：A、直角三角形中一个锐角的度数（度）与另一个锐角的度数（度）之间的关系，则，不是正比例函数关系，此项不符合题意； B、正方体的表面积与它的棱长之间的关系，则，不是正比例函数关系，此项不符合题意； C、小红阅读一本420页的名著，未读的页数（页）与已读的页数（页）之间的关系，则，不是正比例函数关系，此项不符合题意； D、汽车以的速度匀速行驶，行驶路程与行驶时间之间的关系，则，是正比例函数关系，此项符合题意； 故选：D． 4．如图，已知一次函数的图象与轴，轴分别交于点，点．有下列结论：①图象经过点；②关于的方程的解为；③当时，；④当时，．其中正确的是（   ）    A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②④ 【答案】A 【分析】本题考查待定系数法求函数解析式，一次函数与一元一次方程，一次函数的图象及性质． 先用待定系数法求出该函数解析式，把点代入解析式，即可判断①；该函数图象过点，即当时，，即可判断②；由图象可得当时，对应的图象在x轴的下方，即可判断③；由图象可得当时，对应的图象在x轴的上方，即可判断④． 【详解】解：∵一次函数的图象与轴，轴分别交于点，点， ∴，解得， ∴该一次函数为， 把点代入函数，得成立， ∴函数图象经过点．故①正确； ∵该函数图象过点， ∴当时，， ∴关于的方程的解为．故②正确； ∵由图象可得当时，对应的图象在x轴的下方， ∴当时，．故③正确； ∵由图象可得当时，对应的图象在x轴的上方， ∴当时，．故④错误． 综上，正确的是①②③． 故选：A 5．如图，一次函数（为常数且）与的图象相交于点，且点的纵坐标为8，则关于的方程的解是（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数与一元一次方程，一次函数图象上点的坐标特征等知识点，题目具有一定的代表性，难度适中．把代入求出，根据数形结合，即可求出答案． 【详解】解：把代入得：， 解得， ∴， ∴关于的方程的解是 故选：D． 6．一次函数的图像一定经过点（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一次函数性质，将选项各点代入一次函数求解判断，即可解题． 【详解】解：A、当时，，一次函数的图像一定经过点，选项A不符合题意； B、当时，，一次函数的图像一定经过点，选项B不符合题意； C、当时，，一次函数的图像一定经过点，选项C不符合题意； D、当时，，一次函数的图像一定经过点，选项D符合题意； 故选：D． 7．如图，已知一次函数的图象与x轴，y轴分别交于点，点．有下列结论：①关于x的方程的解为；②关于x的方程的解为；③当时，；④当时，．其中正确的是（　　） A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②④ 【答案】A 【分析】本题主要考查了一次函数的图象与性质，一次函数与一元一次方程，一次函数与一元一次不等式等知识点，利用图象法确定一元一次方程的解和一元一次不等式的解集是解题的关键． 利用图象法确定一元一次方程的解和一元一次不等式的解集，逐项进行判断即可． 【详解】解：∵一次函数的图象与x轴，y轴分别交于点，点， ∴当时，，当时，， ∴关于x的方程的解为；关于x的方程的解为；故结论①、结论②正确； 由函数图象可知，当时，；当时，；故结论③正确，结论④错误； 综上，正确的结论有：， 故选：A． 8．一次函数和一次函数在同一个平面直角坐标系内的图象大致是下图中的（ ） A．B．C．D． 【答案】D 【分析】本题考查了根据一次函数解析式判断其经过的象限，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题的关键． 当时，由此可知一次函数和一次函数相交于点，据此即可得出答案． 【详解】解：一次函数和一次函数在同一个平面直角坐标系中， 当时，， 一次函数和一次函数相交于点， 故选：D． 9．一次函数的图象如图所示，则下列正确的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】本题考查的是一次函数的图象与系数的关系，先根据函数图象得出其经过的象限，再由一次函数图象与系数的关系即可得出结论． 【详解】解：∵一次函数的图象经过一、二、四象限， ∴，． 故选：C． 10．关于一次函数，现给出以下结论： ①当时，的值随着值的增大而增大； ②将该函数图象向下平移2个单位长度后得到直线，则，； ③若点和均在该函数图象上，则； ④若该函数的图象与直线关于轴对称，则，． 其中正确的结论是（   ） A．①② B．②③ C．①④ D．①③④ 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，平移的性质，对称的性质；由及一次函数的增减性质即可判断①；由一次函数平移的性质知，，从而可确定a与b的值，进而可判定②；把两点坐标代入函数式中，消去m即可得a与b的关系，进而可判定③；由对称知，是两对称直线的公共点，则可求得b；再在直线上取点，其对称点在上，则可求得a的值，从而可判定④，最后可确定正确选项． 【详解】解：当时，则，y的值随着x值的增大而增大，故①正确； 将该函数图象向下平移2个单位后得到直线，则， ∴，故②错误； 若点和均在该函数图象上，则有， 两式相减消去m，并整理得：，故③错误； 若该函数的图象与直线关于y轴对称，显然是两对称直线的公共点，则；在直线上取点，则它关于y轴的对称点在直线上，即，∴，故，，即④正确； ∴正确的有①④； 故选：C． 11．关于一次函数的图象，下列说法正确的是（     ） A．随的增大而增大 B．经过一、二、三象限 C．与轴的交点坐标为 D．可由向左平移个单位得到 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数的性质，一次函数与几何变换，一次函数图像上点的坐标特征，掌握以上知识点是解答本题的关键． 根据一次函数的性质，通过判断和的符号来判断所过的象限及函数图像的增减性；根据一次函数图像上点的坐标特征来判断一次函数与轴的交点坐标是否为；根据平移的规律判断是否可由向左平移个单位得到． 【详解】解：A、在一次函数中，因为，所以随着的增大而减小，故A选项错误； B、在一次函数中，因为，，所以一次函数的图像经过第一、二、四象限，故B选项错误； C、在一次函数中，当时，，所以一次函数与轴的交点坐标为，故C选项正确； D、将一次函数的图像向左平移个单位长度得的图像， 化简得：，故D选项错误； 故选：C． 12．下列关于的函数中，当时，函数值随的值增大而减小的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了二次函数和一次函数的图象和性质，掌握它们各自的图像与性质是解题的关键． 根据二次函数，一次函数，正比例函数的图象的性质解答即可． 【详解】解：A．∵二次函数中二次项系数为 ∴图象开口向上，对称轴为直线 ∴当时，y随x的增大而增大，故本选项错误； B．一次函数中一次项系数为， ∴y随x的增大而增大，故本选项错误； C．正比例函数中一次项系数为， ∴y随x的增大而增大，故本选项错误； D．∵二次函数中二次项系数为 ∴图象开口向下，对称轴为直线 ∴当时，y随x的增大而减小，故本选项正确； 故选：D． 13．对于一次函数，下列说法错误的是（    ） A．函数图象不经过第二象限 B．函数图象与轴交点的坐标是 C．函数图象向上平移2个单位长度得到函数的图象 D．若，两点在该函数图象上，则 【答案】D 【分析】本题主要考查了一次函数的图象和性质，一次函数的平移规律，与坐标轴交点求法．根据，，即可判断该函数经过的象限，即可判断A；把代入，求出与x轴交点坐标，即可判断B；根据一次函数平移规律“上加下减，左加右减”，即可判断C；根据得出该函数的增减性，即可判断D． 【详解】解：A、∵一次函数，， ∴该函数经过第一、三象限， ∵， ∴该函数经过第一、三、四象限，不经过第二象限，故选项A不符合题意； B、把代入得：， 解得：， ∴函数图象与轴的交点是，故选项B不符合题意； C、函数图象向上平移2个单位长度得到函数的图象， 故选项C不符合题意； D、∵， ∴y随x的增大而增大， ∵， ∴，故选项D符合题意； 故选：D． 14．已知点，，在下列某一函数图像上．且那么这个函数是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数的性质、反比例函数的性质、二次函数的性质，利用函数的增减性逐一判断，即可求解；掌握一次函数的性质、反比例函数的性质、二次函数的性质是解题的关键. 【详解】解：A.在上时，，故不符合题意； B.在上时，，故不符合题意； C.在上时，，故不符合题意； D.在上时，，故符合题意； 故选：D． 15．一次函数的图像经过点和点．那么的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数图象的性质，掌握一次函数图象的增减性是解题的关键． 根据题意，可得随的增大而减小，由此即可求解． 【详解】解：一次函数的图象中，， ∴随的增大而减小， ∵， ∴， 故选：C ． 16．关于的一次函数的值随值的增大而减小，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一次函数的图象和性质，解题的关键是掌握一次函数的图象和性质，一次函数，当时，一次函数随的增大而增大，当时，一次函数随的增大而减小，进行解答，即可． 【详解】解：∵关于的一次函数的值随值的增大而减小， ∴， ∴． 故选：C． 17．在同一平面直角坐标系中，，分别是与的图象上的点，且，关于原点成中心对称，则点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了关于原点对称的点的特征，求一次函数的函数值， 设点P的坐标，再根据中心对称表示点Q的坐标，然后代入关系式求出答案即可． 【详解】解：设点， ∵点P，Q关于原点对称， ∴点． ∵点在直线上， ∴， 解得， ∴， ∴点． 故选：C． 18．一次函数与的图象如图，则下列结论：①；②关于x的方程的解是；③当时，；④当时，．其中正确的是（   ） A．①③ B．②④ C．①②③ D．①④ 【答案】D 【分析】利用一次函数的性质对进行判断；利用一次函数的交点问题对进行判断；结合函数图象对进行判断． 【详解】解：∵直线经过第二、四象限， ∴， ∵直线与轴的交点在轴下方， ∴， ∴，故正确； ∵一次函数与的图象的交点的横坐标为， ∴关于的方程的解是，故错误； 当时，，故错误； 当时，函数， ∵一次函数与的图象的交点的横坐标为， ∴关于的方程的解是， ∴， ∴，故正确； 故选：D． 【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数的值大于或小于的自变量的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线在轴上或下方部分所有的点的横坐标所构成的集合． 19．如果正比例函数的图象经过点，那么k的值等于 ． 【答案】 【分析】本题考查求正比例函数解析式，根据待定系数法求正比例函数解析式即可． 【详解】解：∵图象经过点， ∴，解得：． 故答案为：． 20．如果正比例函数的图象经过第二，四象限，那么 ． 【答案】 【分析】本题考查了正比例函数的定义，正比例函数的性质，一元二次方程的解法，由正比例函数的性质列出，然后求解即可，熟练掌握正比例函数定义和正比例函数的性质是解题的关键． 【详解】解：由题意得：，即， 解得：， 故答案为：． 21．一次函数的图象经过点，且不经过第四象限，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质、解一元一次不等式组，由题意可得，推出，由一次函数不经过第四象限得出，求出，结合，求解即可． 【详解】解：∵一次函数的图象经过点， ∴， ∴， ∵一次函数的图象不经过第四象限， ∴，即， 解得：， ∵， ∴， ∴， ∴的取值范围是， 故答案为：． 22．无论k取何值，关于x的一次函数的图象必经过定点 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握一次函数的图象和性质是解题的关键． 将一次函数解析式化为关于k的一元一次方程，根据方程有无数解解答即可． 【详解】解：∵ ∴ ∵无论k取何值，一次函数的图象必过定点， ∴， 解得， ∴无论k取何值，一次函数的图象必过定点． 故答案为：． 23．已知关于的一次函数与． （1）当时，这两个函数图象的交点坐标是 ； （2）若这两个函数图象与轴围成的三角形的面积是，则 ． 【答案】 或 【分析】本题考查一次函数的图象和性质，解题的关键是掌握一次函数的图象和性质，进行解答，即可． （1）根据题意，，则，求出两直线的交点坐标，即可； （2）根据题意分别求出一次函数与轴交点为：，与轴交点为：，再根据两个函数，求出交点坐标，最后根据两个函数图象与轴围成的三角形的面积是，则，解出，即可． 【详解】解：（1）当时，， ∴， 解得：， ∴， 这两个函数图象的交点坐标为：； （2）一次函数与轴交点为：，与轴交点为：， ∵一次函数与相交， ∴， ， ∴， ∴， ∴一次函数与的交点坐标为， ∵两个函数图象与轴围成的三角形的面积是， ∴， 解得：或， 故答案为：（1）；（2）或． 24．已知点是函数上的两个点，则 （填“”，“”或“”） 【答案】 【分析】本题考查比较一次函数的函数值大小，根据一次函数的增减性，进行判断即可． 【详解】解：∵，， ∴随的增大而减小， ∵点在一次函数的图象上，且， ∴； 故答案为：． 25．如图，在平面直角坐标系中，直线交轴于点，交轴于点，点，，在直线上，点，，，在轴的正半轴上，若，，，依次均为等腰直角三角形，直角顶点都在轴上，则的顶点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的几何应用、等腰直角三角形的性质，先求出的坐标并归纳出规律是解题关键．先求出的坐标，探究规律后，即可根据规律解决问题． 【详解】解：由题意得：把代入直线， 得， 把代入直线得： ∴， 由等腰直角三角形的性质得：， 的横坐标为 则的横坐标为1，代入直线得，，即， 由等腰直角三角形的性质得， ， 即的横坐标为， 同理可得：的横坐标为， ∴的横坐标为（为正整数）， ∴的横坐标为：， 把代入，得：， ∴； 故答案为：． 26．在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象如图所示．则下列结论中：①随x的增大而增大；②；③当时，；④关于x，y的方程组的解为，⑤，正确的有 ．（填序号） 【答案】 【分析】根据一次函数的图象即可判断结论①；根据一次函数与轴的交点在一次函数的图象与轴的交点的下方即可判断结论②；由函数图象可知，当时，一次函数的图象位于一次函数的图象的下方，据此即可判断结论③；根据两个一次函数的交点坐标即可判断结论④；将两个一次函数的交点坐标代入函数解析式，即可判断结论⑤；综上，即可得出所有正确的结论． 【详解】解：由一次函数的图象可知，随的增大而增大，故结论①正确； ∵一次函数与轴的交点在一次函数的图象与轴的交点的下方， ∴，故结论②正确； 由函数图象可知，当时，一次函数的图象位于一次函数的图象的下方， ∴此时，故结论③错误； 由函数图象可知，两个一次函数的交点坐标为， ∴关于，的方程组，即方程组的解为，故结论④正确； 将点代入两个一次函数的解析式，得：， ∴，故结论⑤正确； 综上，正确的结论有：， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了判断一次函数的增减性，一次函数的图象，比较一次函数值的大小，两直线的交点与二元一次方程组的解等知识点，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题的关键． 27．根据图中信息，解答下列问题． (1)求反比例函数的解析式和直线的解析式． (2)将直线向上平移3个单位长度可以得到直线，连接，求的面积． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数综合，涉及待定系数法求函数解析，函数图像的交点问题，一次函数的平移． （1）运用待定系数法即可求解两个函数解析式； （2）先求平移后直线表达式为，再与反比例函数解析式联立求出，继而可求解三角形面积． 【详解】（1）解：由图可知， 设反比例函数解析式为：， ∴， 反比例函数的解析式：， 设直线的解析式为， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为：； （2）解：由题意得，直线表达式为：， 联立直线表达式和反比例函数解析式得：， 整理得：， 解得：或（舍）， ∴， ∴的面积：． 28．在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，直线交于点． (1)求点、、的坐标； (2)在平面直角坐标系中有一点，求的面积与的函数关系式； (3)为直线上的动点，过点作轴的平行线，交直线于点，点在轴上，是否存在点，使为等腰直角三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)M的坐标为或或或 【分析】本题考查了一次函数与坐标轴的交点问题，两直线交点问题，等腰直角三角形的性质； （1）根据直线与轴交于点，与轴交于点，分别令，求得的坐标，最后联立，解二元一次方程组即可； （2）分类讨论，当点P在点E下方时，即，得到；当点P在点E上方时，即，得到，代入即可求解； （3）分类讨论，若，，则有，得到，若或，则，得到，分别求解即可． 【详解】（1）解：∵直线与轴交于点，与轴交于点， 当时，； 当时， ∴ ∵直线交于点． ∴， 解得， ∴点； （2）解：由题意得点P在直线上，设直线与直线交于点E，交x轴于点F， 将代入得， ∴， ①当点P在点E下方时，即，如图： ； 当点P在点E上方时，即，如图： ， 综上所述：的面积S与m的函数关系式为：； （3）解：令直线为，直线为， ，则， ， ①如图1，若，， 过点Q作， ∴点G为中点， ∴， 则有， ， 或， ，或， ②如图2，图3，若或， 则， ， 或， ，或． 综上所述，M的坐标为或或或． 29．已知正比例函数的图象经过点． (1)求这个正比例函数的表达式； (2)若这个图象还经过点，求点的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】（）利用待定系数法解答即可； （）把点坐标代入（）所得函数解析式解答即可； 本题考查了用待定系数法求正比例函数解析式，一次函数的图象，掌握待定系数法是解题的关键． 【详解】（1）解：设这个正比例函数的表达式为， ∵正比例函数的图象经过点， ∴，即， ∴正比例函数的表达式为； （2）解：把代入，得， 解得， ∴点的坐标是． 能力提升 1．在平面直角坐标系中，已知、，直线与线段的延长线（交点不包括）相交．则实数的取值范围为（   ） A． B． C．或 D． 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数图象与系数的关系，先求出直线的解析式，找出两临界点即可得出答案，掌握一次函数的图象和性质是解题的关键． 【详解】解：设直线解析式为， ∵、， ∴， 解得， ∴直线解析式为， ∵直线过定点， 设直线的解析式为，把、代入得， ， 解得， ∴直线解析式为， 将直线绕点旋转，当直线与直线平行时，； 当直线过点时，； ∴的取值范围为， 故选：． 2．如图，直线与直线相交于点，直线与y轴交于点A，一动点C从点A出发，先沿平行于x轴的方向运动，到达直线上的点处后，改为垂直于x轴的方向运动，到达直线上的处后，再沿平行于x轴的方向运动，到达直线上的点处后，又改为垂直于x轴的方向运动，达到直线上的点处后，仍沿平行于x轴的方向运动…，照此规律运动，动点C依次经过点，则当动点C从A到达处时，运动的总路径的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由直线确定点，利用解析式确定，，计算得到，同理可证，由此可得，继而确定动点C从A到达处时，运动的总路径的长为，据此即可求解． 本题考查平行于坐标轴的直线上点的坐标特征、探究规律，正确分析出相关规律是本题解题关键． 【详解】解：由直线可知，根据题意， 当时，得， 解得， ∴， 当时，， ∴， ∴，， ∴， 当时，得， 解得， ∴， 当时，， ∴， ∴，， ∴， 由此可得，， ∴动点C从A到达处时，运动的总路径的长为， ∴动点C从A到达处时，运动的总路径的长为． 故答案为：C． 3．如图，在平面直角坐标系中，已知，点P为线段上任意一点．在直线上取点E、使，延长到点F，使，分别取、中点M、N，连接，则的最小值是 ．    【答案】 【分析】本题考查矩形的判定与性质、垂线段最短、用待定系数法求一次函数解析式、相似三角形的判定和性质．如图，连接、，设交于点J，连接，证明四边形是矩形，推出，求出的最小值即可求解． 【详解】解：连接、，设交于点J，连接， ∵，， ∴，， ∵，， ∴，， ∴，， ∴四边形是矩形， ∴， ∴当时，的值最小，此时的值最小，且， ∵点J在直线：上， 设， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴，即， 解得， ∴， ∴的最小值为，即的最小值为， 故答案为：． 4．如图，一次函数的图象与轴、轴分别交于点和点，点的坐标为，点，分别是线段，上的动点，且，则的长为 ；当的值取最小值时，点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与坐标轴的交点，勾股定理，待定系数法求解析式，两点之间线段最短，由一次函数的图象与轴、轴分别交于点和点，求出，，作轴于，使得，连接，，证明，则，由，当在上时，最小，在求出直线为，直线为，联立得，求出，然后由线段和差即可求解，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵一次函数的图象与轴、轴分别交于点和点， ∴令，则；令，则， ∴，， 又∵点的坐标为，， ∴，， ∴， 如图，作轴于，使得，连接，， ∴， ∴． ∵，， ∴， 又∵， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴当在上时，最小， 设直线解析式为， ∵，， ∴，解得：， ∴直线为， 同理可得：直线为， ∴联列方程组， ∴， ∴， ∴的纵坐标为：． ∴， 答案为：；． 5．如图，在平面直角坐标系中，直线经过点，，与轴交于点，直线． (1)求直线的函数表达式； (2)若，将直线沿轴向上平移个单位长度，当平移后的直线经过点时，求的值； (3)①无论的值怎样变化，直线都过定点______； ②若当从0开始逐浙增大时，函数的值比直线对应函数的值先到达9，求的取值范围； (4)已知直线（直线上所有点的横坐标都为3），若直线（且），直线与直线围成的三角形的面积是4，直接写出的值． 【答案】(1) (2) (3) ① ② (4)或 【分析】（1）用待定系数法即可求出直线的函数表达式； （2）先求出点C的坐标为，根据直线沿轴向上平移个单位长度后解析式为，且平移后的直线经过点，将点C代入函数解析式，即可求出n的值； （3）①把代入求出，即可得出答案；②把代入求出，把代入得出，据此即可求出的取值范围； （4）把代入得出，把代入得出，令，即可求出，再根据直线，直线与直线围成的三角形的面积为4，得出，据此即可求出的值． 【详解】（1）解：∵直线经过点，， ∴， 解得：， ∴直线的函数表达式为； （2）解：把代入，得： ， 解得：， ∴点C的坐标为， ∵， ∴直线， 将直线沿轴向上平移个单位长度后解析式为：， ∵平移后的直线经过点， ∴， 解得：； （3）解：①把代入，得： ， ∴无论的值怎样变化，直线都过定点， 故答案为：； ②∵当时，函数的函数值为1， 又∵当从0开始逐浙增大时，函数的值比直线对应函数的值先到达9， ∴此时函数的函数值随x的增大而增大， ∴此时， 把代入，得： ， 解得：， 把代入，得： ， ∴要使当从0开始逐浙增大时，函数的值比直线对应函数的值先到达9，必须使， 解得：； （4）解：把代入，得： ， 把代入，得： ， 令， 整理，得：， 解得：， ∵直线，直线与直线围成的三角形的面积为4， ∴， 解得：或． 【点睛】本题是一次函数综合题，主要考查了求一次函数解析式，一次函数图象平移问题，求一次函数自变量或函数值，判断一次函数的增减性，比较一次函数值的大小，求直线围成的图形面积，三角形的面积公式等知识点，熟练掌握相关知识点并能加以综合运用是解题的关键． 6．如图，在平面直角坐标系中，直线，与x轴交于点A，与y轴交于点B，（直角三角形中的直角边等于斜边的一半），点P在x轴上运动，连接． (1)求a的值； (2)作A关于直线的对称点，若轴，求的面积； (3)将绕点P顺时针旋转得到，直线与直线交点为Q，当为等腰三角形时，求出P点坐标． 【答案】(1) (2)的面积的面积为或 (3)点坐标为或或 【分析】（1）由待定系数法即可求解； （2）当在轴下方时，由，求出，即可求解；当在轴上方时，同理可解； （3）当时，，由，得到，即可求解；当时，，即可求解；当时，得到，即可求解． 【详解】（1）解：由直线的表达式知，， ， 则， ， ， 将点的坐标代入函数表达式得：， 解得：； （2）解：由（1）知，直线的表达式为：， 根据轴对称和题意可得， 设， 当在轴下方时， ∵轴， ， ∵， ， 解得：（舍去）或2， ， ， 当在轴上方时， ∵轴， ， ， ， 解得：或（舍）； ， ， 综上所述：的面积为或； （3）解：当时， ， ∴， ， ， 解得：， ； 当时，，此时点与点重合， ； 当时，过点作轴交于点， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 解得：或（舍）， ； 综上所述：点坐标为或或． 【点睛】本题考查一次函数的图象及性质、等腰三角形的性质、折叠的性质、勾股定理、等腰直角三角形的性质等知识点，熟练掌握一次函数的图象及性质，等腰三角形的性质，折叠的性质是解题的关键． $$