第一章 三角形的证明（B卷单元培优卷）重庆市2024-2025学年八年级数学下学期阶段性达标检测卷（北师大版）

重庆市2024-2025学年八年级数学下学期 阶段性达标检测卷（北师大版） 第1章 三角形的证明（B卷单元培优卷） 分数：150分 时间：120分钟 1、 单选题（每小题4分，共10×4=40分） 1．下列命题中，属于假命题的是（   ） A．是有理数 B．等腰三角形的两个底角相等 C．对顶角相等 D．如果与互为倒数，那么 【答案】A 【分析】本题考查命题与定理，熟练掌握有理数的定义，等腰三角形的性质，对顶角的性质以及倒数的概念等知识是解题的关键． 根据有理数的定义，等腰三角形的性质，对顶角的性质以及倒数的概念进行分析判断． 【详解】解：A、是无限不循环小数，属于无理数，该命题是假命题，符合题意； B、等腰三角形的两个底角相等，该命题是真命题，不符合题意； C、对顶角相等，该命题是真命题，不符合题意； D、如果a与b互为倒数，那么，该命题是真命题，不符合题意； 故选：A． 2．下列四组线段中，可以构成直角三角形的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断．根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形判断即可． 【详解】A．，，不相等，不能构成直角三角形，故不符题意； B．，；不相等，不能构成直角三角形，故不符题意； C．，；相等，能构成直角三角形，故符题意； D．，，不相等，不能构成直角三角形，故不符题意． 故答案为：C 3．如图，在中，DE垂直平分BC，若，，则AD的长为（   ） A．8 B．6 C．4 D．2 【答案】C 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质．熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键．由线段垂直平分线的性质可知，垂直平分，则.利用这一性质和已知的和的长度，可以计算出的长度. 【详解】解：因为垂直平分，， 所以， 因为， 所以， 解得. 故选：C. 4．下列说法错误的是（    ） A．有一个角等于的等腰三角形是等边三角形 B．角平分线上的点到角两边的距离相等 C．等腰三角形三边都有“三线合一” D．线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等 【答案】C 【分析】本题主要考查了等边三角形的判定，三线合一定理，角平分线的性质，线段垂直平分线的性质，根据等边三角形的判定，三线合一定理，角平分线的性质，线段垂直平分线的性质逐一判断即可得到答案． 【详解】解：A、有一个角等于的等腰三角形是等边三角形，原说法正确，不符合题意； B、角平分线上的点到角两边的距离相等，原说法正确，不符合题意； C、等腰三角形底边有“三线合一”，腰上不一定有“三线合一”，原说法错误，符合题意； D、线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，原说法正确，不符合题意； 故选：C． 5．如图，在中，，，，则的长是（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【分析】本题主要考查含30度角直角三角形的性质，熟悉含30度角直角三角形的性质是解答本题的关键． 根据含30度角直角三角形的性质，可得，即可求出． 【详解】解：∵在中，，，， ∴， ∴． 故选：C． 6．如图，已知，于点N，若，则的大小是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了直角三角形的特征，平行线的性质；由直角三角形的两锐角互余得 ，由平行线的性质即可求解；掌握直角三角形的特征，平行线的性质是解题的关键． 【详解】解：如图， ，， ， ， ， 故选：C． 7．如图，在四边形中，，，，分别是，上的点，当的周长最小时，的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是轴对称-最短路线问题，涉及到平面内最短路线问题求法以及三角形的外角的性质和垂直平分线的性质等知识，据要使的周长最小，即利用点的对称，使三角形的三边在同一直线上，作出A关于和的对称点，，即可得出，进而得出即可得出答案． 【详解】解：作A关于和的对称点，，连接，交于E，交于F，则即为的周长最小值．作延长线， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， 故选：B． 8．如图，等腰中，腰上的高线为，的平分线为，，则为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，直角三角形的两锐角互余，角平分线的计算，熟练掌握知识点是解题的关键． 根据直角三角形两锐角互以及等边对等角得到，由角平分线得到，再根据角度和差计算即可． 【详解】解：∵腰上的高线为，， ∴， ∵等腰，， ∴， ∵的平分线为， ∴， ∴， 故选：B． 9．如图，在四边形中，与交于点O，其中，．下列结论：①；②垂直平分；③平分；④．其中正确结论的个数为（） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，垂直平分线的性质和判定．①由证明；②根据垂直平分线性质即可判断；③根据垂直平分线性质即可判断；④根据三角形面积公式得到四边形的面积四边形的面积即可判断． 【详解】在与中， ， ∴，故①正确； ，， 垂直平分，故②正确； ∵不一定等于，不一定等于， ∴不一定垂直平分 ∴不一定平分，故③错误； ∴四边形的面积，故④正确； 综上所述，①②④正确，共3个正确． 故选：C． 10．如图，中，的平分线交于点P，下列结论：①平分；②；③；④若点M、N分别为点P在、上的作垂线的垂足，则．其中正确的是（     ） A．只有①②③ B．只有①③④ C．只有②③④ D．只有①③ 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，过点P分别作的垂线段，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可以证明点P到的垂线段相等，再根据到角的两边距离相等的点在角的平分线上即可证明①正确；根据四边形的内角和等于可以证明②错误；根据①的结论先证明三角形全等，再根据全等三角形对应边相等即可证明③正确；利用三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和利用与写出关系式整理即可得到④正确． 【详解】解：如图，连接，过点P作，垂足为D， ∵平分，平分， ∴， ∴， ∴点P在的角平分线上（到角的两边距离相等的点在角的平分线上）， ∴平分， 故①正确； ∵， ∴， ∴， 很明显， ∴错误， 故②错误； ∵点M、N分别为点P在上的作垂线的垂足，的平分线交于点平分， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， 同理可得， ∴， ∴， 故④正确； ∵平分平分， ∴，， ∵， ∴， 故③题正确． 综上所述，①③④正确． 故选：B． 2、 填空题（每小题4分，共6×4=24分） 11．等边三角形的对称轴有 条． 【答案】3 【分析】本题考查了等边三角形的轴对称性，熟练掌握等边三角形的三线合一性质是解决此题的关键．根据轴对称图形的特点，结合等边三角形的性质特征，可知结果答案． 【详解】解：根据等边三角形特征：等边三角形的对称轴有3条，是底边中线所在直线， 故答案为：3． 12．在中，，，则 度． 【答案】52 【分析】利用直角三角形的两锐角互余即可得到答案. 【详解】解：在中，，， 则， 故答案为：52． 【点睛】本题考查的是三角形的内角和定理的应用,掌握“直角三角形中两锐角互余”是解本题的关键. 13．如图，在中，的垂直平分线交于点D，交于点E，若的周长，的周长，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查线段垂直平分线的性质；由线段垂直平分线的性质得，由的周长及的周长，得，，即可求得结果． 【详解】解：∵的垂直平分线交于点D， ∴， ∵的周长是， ∴， ∵的周长， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 14．如图，垂直于的平分线交于点D，交于点E，，若的面积为6， 则的面积为 ． 【答案】1 【分析】本题主要考查的是全等三角形的判定，掌握等高的两个三角形的面积比等于底边长度之比是解题的关键．先证明，从而可得到，然后先求得的面积，可得到的面积． 【详解】解∶平分， ． ， ． 在和中， ． ，的面积为6，， ． 又， 故答案为：1． 15．如图，点在的边上，，，，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，熟练掌握相关知识是解题的关键．由，可得，进而可证，得到，，推出，根据，求解作答即可． 【详解】解： ， ， 在和中， ， ， ，， ， ， 故答案为：． 16．如图， 在 中， ， 分别以为边向上作正方形， 已知的面积为6，则图中阴影部分面积之和是 ．    【答案】 【分析】利用勾股定理和正方形的面积公式可得，利用正方形的性质证明和，根据全等三角形的面积相等，从而得出，，再根据三个正方形面积的关系可得出，从而可得阴影面积之和． 【详解】解：如图，设，，，   ∵在中，， ∴， ∵四边形，四边形和四边形都是正方形， ∴，，， ∴， ∵四边形和四边形是正方形， ∴，，， ∴是直角三角形， 在和中， ， ∴ ∴， ∵四边形和四边形是正方形， ∴，， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， 又∵， ， ， ∴， ∴， ∴图中阴影部分面积之和为． 故答案为：． 3、 解答题(共9题，共86分,其中第17-18题每小题8分，第19-25题每小题10分) 17．如图，在中，，求的度数．    【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、三角形的内角和定理，根据等腰三角形的性质：等边对等角得出，再根据三角形的内角和定理即可求得． 【详解】解： ， ， ， ， ， 答：的度数为． 18．如图，四边形ABCD的四个顶点都在网格上，且每个小正方形的边长都为1． (1)BC＝ ，AD＝ ，连接BD，判断△ABD的形状为 ； (2)求四边形ABCD的面积． 【答案】(1)2；5；等腰直角三角形 (2) 【分析】（1）连接BD，根据网格图，结合勾股定理，即可求出BC，AD的长，又因为，得到△ABD为直角三角形；又BD=AD，所以△ABD为等腰直角三角形； （2）根据勾股定理的逆定理，可以证明△ABD为直角三角形；△BCD为直角三角形；所以四边形ABCD的面积等于△ABD加上△BCD的面积，即可求解； 【详解】（1）解：连接BD，由网格图，结合勾股定理可得： ， ， ∴， ， ∴BD=， ， ∴， ∴， ∴△ABD为直角三角形； 又因为：BD=AD=5， ∴△ABD为等腰直角三角形， 故答案为：2；5；等腰直角三角形． （2）由网格图，结合勾股定理可知： ， ， ∴， 所以△BCD为直角三角形， ∴四边形ABCD的面积=△ABD的面积+△BCD的面积， =． 【点睛】本题考查的是勾股定理，以及勾股定理的逆定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和等于斜边长的平方，是解答此题的关键． 19．如图：在中，． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理以及三角形的外角性质． （）根据等腰三角形的性质和三角形的外角性质解答即可； （）根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理以及外角的性质，得出数量关系解答即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴． 20．中，，的高与角平分线交于点． (1)求证； (2)求证：为等腰三角形． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】本题主要考查了直角三角形的性质，等腰三角形的判定，角平分线，理解相关知识是解答关键． （1）由，的高，利用同角的余角相等来求解； （2）由（1）得：，利用角平分线的性质，等角的余角相等，等腰三角形的判定来求解． 【详解】（1）证明：∵是的高， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． （2）证明：由（1）得：， ∵是的角平分线， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴为等腰三角形． 21．如图，已知，为边上一点， (1)请用尺规作图的方法在边上求作一点，使；（保留作图痕迹，不写作法） (2)已知，周长为24，求的周长． 【答案】(1)图见解析 (2)18 【分析】本题考查尺规作图—作垂线，中垂线的性质： （1）作的中垂线，交于点，即可； （2）根据中垂线的性质，得到的周长，进行求解即可． 【详解】（1）解：作的中垂线，交于点，则：， ∴； 故点即为所求； （2）∵，周长为24， ∴， ∵， ∴的周长． 22．如图，平分，，，垂足分别为点、． (1)求证：； (2)在图的条件下，如图，点、分别在、上，且，，，求的长． 【答案】(1)详见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质，角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键． （1）根据角平分线性质得到，利用证明，根据全等三角形的性质即可得解； （2）利用证明，根据全等三角形的性质得出，根据线段的和差求解即可． 【详解】（1）证明：∵平分，，， ∴， 在和中， ， ∴（）， ∴； （2）解：由（）得，， 在和中， ， ∴（）， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 23．如图，在中，E是边上的一点，连接，垂直平分，垂足为F，交于点D，连接． (1)求证：； (2)若的周长为18，的周长为6． ①求的长； ②若的面积为12，求点到的距离． 【答案】(1)证明见解析 (2)①6；②4 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质、三角形全等的判定与性质，熟练掌握三角形全等的判定与性质是解题关键． （1）先根据线段垂直平分线的性质可得，再证出，根据全等三角形的性质即可得证； （2）①先根据三角形的周长公式可得，再根据的周长为18可得，然后根据求解即可得； ②先根据全等三角形的性质可得的面积与的面积相等，再利用三角形的面积公式求解即可得． 【详解】（1）证明：∵垂直平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． （2）解：①∵的周长为6， ∴， ∵， ∴，即， ∵的周长为18， ∴， ∴， 又∵， ∴； ②如图，过点作于点， 由上可知，，， ∴的面积与的面积相等，即为12， ∴，即， ∴， 所以点到的距离为4． 24．我区某校校园有一块四边形的空地，如图所示，为了绿化环境，学校拟对空地进行美化施工，已知米，米，，米，米，学校欲在此空地上铺草坪． (1)求四边形的空地的面积； (2)已知草坪每平方米160元，试问用该草坪铺满这块空地共需花费多少元？ 【答案】(1)24 (2)3840 【分析】本题考查了勾股定理和勾股定理的逆定理的应用．熟练掌握勾股定理和勾股定理的逆定理是解题的关键； 连接，根据勾股定理求出，根据勾股定理的逆定理求出，求出区域的面积，即可求出答案． 【详解】（1）解：如图，连接， 在中，，米，米， 由勾股定理得米， ∵米，米， ，， ∴， ∴， 该区域面积 (平方米)， （2）用该草坪铺满这块空地共需花费元． 答：用该草坪铺满这块空地共需花费3840元． 25．已知：在中，，点D在边上，， (1)如图1，求证：平分； (2)如图2，点E在延长线上，且，过点E作于点F，交于点H．求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，过点C作交延长线于点G，若D为中点，，求的长． 【答案】(1)详见解析 (2)详见解析 (3) 【分析】此题考查了全等三角形的的判定和性质、勾股定理、等腰三角形的判定和性质等知识． （1）设，证明，在中，证明，则，即可得到结论； （2）证明，即可得到结论； （3）延长，相交于点I，过点A作于点J．证明，再证明，得到，证明，得到，，证明，则，设，则，得到，解得．则，得到，，，勾股定理求出，则，即可得到的长． 【详解】（1）证明：设， ∵ ∴ ∵ ∴在中，， ∴ ∴平分； （2）设， 在中，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）延长，相交于点I，过点A作于点J． ∵ ∴， ∴， ∵D为中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵ ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∵ D为中点， ∴， ∴, ∴， 解得． ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ 精选考题 才是刷题的捷径 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 重庆市2024-2025学年八年级数学下学期 阶段性达标检测卷（北师大版） 第1章 三角形的证明（B卷单元培优卷） 分数：150分 时间：120分钟 1、 单选题（每小题4分，共10×4=40分） 1．下列命题中，属于假命题的是（   ） A．是有理数 B．等腰三角形的两个底角相等 C．对顶角相等 D．如果与互为倒数，那么 2．下列四组线段中，可以构成直角三角形的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 3．如图，在中，DE垂直平分BC，若，，则AD的长为（   ） A．8 B．6 C．4 D．2 4．下列说法错误的是（    ） A．有一个角等于的等腰三角形是等边三角形 B．角平分线上的点到角两边的距离相等 C．等腰三角形三边都有“三线合一” D．线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等 5．如图，在中，，，，则的长是（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 6．如图，已知，于点N，若，则的大小是（   ） A． B． C． D． 7．如图，在四边形中，，，，分别是，上的点，当的周长最小时，的度数为（   ） A． B． C． D． 8．如图，等腰中，腰上的高线为，的平分线为，，则为（   ） A． B． C． D． 9．如图，在四边形中，与交于点O，其中，．下列结论：①；②垂直平分；③平分；④．其中正确结论的个数为（） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 10．如图，中，的平分线交于点P，下列结论：①平分；②；③；④若点M、N分别为点P在、上的作垂线的垂足，则．其中正确的是（     ） A．只有①②③ B．只有①③④ C．只有②③④ D．只有①③ 2、 填空题（每小题4分，共6×4=24分） 11．等边三角形的对称轴有 条． 12．在中，，，则 度． 13．如图，在中，的垂直平分线交于点D，交于点E，若的周长，的周长，则的长为 ． 14．如图，垂直于的平分线交于点D，交于点E，，若的面积为6， 则的面积为 ． 15．如图，点在的边上，，，，，则 ． 16．如图， 在 中， ， 分别以为边向上作正方形， 已知的面积为6，则图中阴影部分面积之和是 ．    3、 解答题(共9题，共86分,其中第17-18题每小题8分，第19-25题每小题10分) 17．如图，在中，，求的度数．    18．如图，四边形ABCD的四个顶点都在网格上，且每个小正方形的边长都为1． (1)BC＝ ，AD＝ ，连接BD，判断△ABD的形状为 ； (2)求四边形ABCD的面积． 19．如图：在中，． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数． 20．中，，的高与角平分线交于点． (1)求证； (2)求证：为等腰三角形． 21．如图，已知，为边上一点， (1)请用尺规作图的方法在边上求作一点，使；（保留作图痕迹，不写作法） (2)已知，周长为24，求的周长． 22．如图，平分，，，垂足分别为点、． (1)求证：； (2)在图的条件下，如图，点、分别在、上，且，，，求的长． 23．如图，在中，E是边上的一点，连接，垂直平分，垂足为F，交于点D，连接． (1)求证：； (2)若的周长为18，的周长为6． ①求的长； ②若的面积为12，求点到的距离． 24．我区某校校园有一块四边形的空地，如图所示，为了绿化环境，学校拟对空地进行美化施工，已知米，米，，米，米，学校欲在此空地上铺草坪． (1)求四边形的空地的面积； (2)已知草坪每平方米160元，试问用该草坪铺满这块空地共需花费多少元？ 25．已知：在中，，点D在边上，， (1)如图1，求证：平分； (2)如图2，点E在延长线上，且，过点E作于点F，交于点H．求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，过点C作交延长线于点G，若D为中点，，求的长． 精选考题 才是刷题的捷径 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$