第15讲 复数的概念（思维导图+2知识点+5考点+过关检测）-【寒假自学课】2025年高一数学寒假提升精品讲义（苏教版2019）

第15讲 复数的概念 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1．了解引进复数的必要性，理解并掌握虚数单位i； 2．理解复数的概念及复数的代数表示； 3．掌握复数的分类及复数相等的充要条件． 知识点1 复数的相关概念 1、定义：形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中i叫做虚数单位，实部是，虚部是. 2、虚数单位：把平方等于－1的数用符号i表示，规定i2＝－1，我们把i叫作虚数单位． 3、表示方法：复数通常用字母z表示，代数形式为z＝a＋bi(a，b∈R)． 4、复数集：①定义：全体复数所成的集合．②表示：通常用大写字母C表示． 【注意】复数概念说明： （1）复数集是最大的数集，任何一个数都可以写成a＋bi(a，b∈R)的形式，其中0＝0＋0i. （2）复数的实部是a，虚部是实数b而非bi. （3）复数z＝a＋bi只有在a，b∈R时才是复数的代数形式，否则不是代数形式． 知识点2 复数的分类与复数相等 1、复数的分类 对于复数a＋bi，当且仅当b＝0时，它是实数；当且仅当a＝b＝0时，它是实数0； 当b≠0时，叫做虚数；当a＝0且b≠0时，叫做纯虚数． 这样，复数z＝a＋bi可以分类如下： 【注意】复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系，可用右图表示． 2、复数相等 在复数集C＝中任取两个数a＋bi，c＋di(a，b，c，d∈R)，我们规定：两个复数相等的充要条件是实部与虚部分别相等． 考点一：复数的相关概念辨析 例1．下列命题正确的个数是（    ） ①；②若，且，则； ③若，则；④两个虚数不能比较大小. A．1 B．2 C．0 D．3 【变式1-1】（23-24高一下·上海·月考）已知，语句中至少有一个为虚数，语句为虚数．则是的（    ）条件． A．充要 B．充分不必要 C．必要不充分 D．既不充分也不必要 【变式1-2】（多选）下列说法不正确的是（    ） A．如果两个复数的实部的差与虚部的差都等于0，那么这两个复数相等 B．是纯虚数(a∈R) C．如果复数(x，y∈R)是实数，那么 D．复数(a，b∈R)不是实数 【变式1-3】（23-24高一下·江苏泰州·期中）对于复数，则下列结论中错误的是（    ） A．若，则为纯虚数 B．若，则 C．若，则为实数 D．若，则不是复数 考点二：求复数的实部与虚部 例2.（23-24高一下·浙江台州·期末）已知复数，则的实部为（    ） A．-2 B．-1 C．1 D．2 【变式2-1】（23-24高一下·江苏苏州·期中）若复数满足(是虚数单位），则的虚部是（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（23-24高一下·重庆·期末）复数的虚部是（    ） A． B．1 C． D． 【变式2-3】（23-24高一下·云南·期中）设，则的实部与虚部之和为（    ） A． B．2 C．1 D． 考点三：复数的分类及应用 例3.（23-24高一下·四川凉山·期末）若复数是实数，则（    ） A．1 B． C． D． 【变式3-1】（23-24高一下·安徽芜湖·期中）若复数是实数，则等于（    ） A．1 B． C． D．不存在 【变式3-2】（23-24高一下·河北唐山·期中）如果复数是纯虚数，，是虚数单位，则（    ） A． B． C．或 D．且 【变式3-3】（23-24高一下·吉林·期中）已知复数是纯虚数，则 . 考点四：复数相等及简单应用 例4.（23-24高一下·新疆·期中）已知，则 ． 【变式4-1】（23-24高一下·安徽·月考）已知，其中，i为虚数单位.则实数 ， . 【变式4-2】（23-24高一下·福建泉州·期中）已知，，且，则，的值分别为（    ） A．1， B．4，1 C．，1 D．1，3 【变式4-3】（23-24高一下·湖南·期末）已知x，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 考点五：复数的综合应用 例5.（23-24高一下·山东聊城·期中）已知复数，（，），（），若，则的取值范围为 ． 【变式5-1】（23-24高一下·山东临沂·期中）已知复数，其中为虚数单位，并且，求实数的取值范围． 【变式5-2】（22-23高一下·河南·月考）若复数，，且，求的取值范围． 【变式5-3】已知，为的一个内角．若不论为何值，总存在使得是实数，求实数的取值范围． 一、单选题 1．（23-24高一下·江苏扬州·期中）复数，则复数的虚部是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·广东湛江·期末）以的虚部为实部，以的实部为虚部的新复数是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一下·天津滨海新·期末）若复数（是虚数单位）是纯虚数，则实数（    ） A． B．0 C．1 D．2 4．（23-24高一下·安徽合肥·期末）已知，（为虚数单位），则等于（    ） A．－1 B．1 C．－4 D．3 5．（23-24高一下·江苏镇江·期中）已知复数的实部与虚部互为相反数，则的取值不可能为（    ） A． B． C． D． 6．（22-23高一下·安徽安庆·期末）已知a，b均为实数，复数：，其中i为虚数单位，若，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 7．（23-24高一下·湖南株洲·期中）下列复数是纯虚数的为（    ） A． B． C． D． 8．（23-24高一下·四川达州·期中）下列四种说法不正确的是（ ） A．如果实数，那么是纯虚数． B．实数是复数． C．如果，那么是纯虚数． D．任何数的偶数次幂都不小于零． 三、填空题 9．（2024高一·全国·专题练习）若为实数，复数，则 ． 10．（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·期中）复数是纯虚数，则实数的值为 . 四、解答题 11．（23-24高一下·江苏扬州·月考）已知复数．（其中i为虚数单位，m为实数） (1)若z为纯虚数，求m的值； (2)若，求m的值． 12．（23-24高一下·甘肃定西·期末）已知复数． (1)若复数是纯虚数，求实数的值； (2)当非零复数的实部和虚部互为相反数时，求实数的值． ( 5 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第15讲 复数的概念 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1．了解引进复数的必要性，理解并掌握虚数单位i； 2．理解复数的概念及复数的代数表示； 3．掌握复数的分类及复数相等的充要条件． 知识点1 复数的相关概念 1、定义：形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中i叫做虚数单位，实部是，虚部是. 2、虚数单位：把平方等于－1的数用符号i表示，规定i2＝－1，我们把i叫作虚数单位． 3、表示方法：复数通常用字母z表示，代数形式为z＝a＋bi(a，b∈R)． 4、复数集：①定义：全体复数所成的集合．②表示：通常用大写字母C表示． 【注意】复数概念说明： （1）复数集是最大的数集，任何一个数都可以写成a＋bi(a，b∈R)的形式，其中0＝0＋0i. （2）复数的实部是a，虚部是实数b而非bi. （3）复数z＝a＋bi只有在a，b∈R时才是复数的代数形式，否则不是代数形式． 知识点2 复数的分类与复数相等 1、复数的分类 对于复数a＋bi，当且仅当b＝0时，它是实数；当且仅当a＝b＝0时，它是实数0； 当b≠0时，叫做虚数；当a＝0且b≠0时，叫做纯虚数． 这样，复数z＝a＋bi可以分类如下： 【注意】复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系，可用右图表示． 2、复数相等 在复数集C＝中任取两个数a＋bi，c＋di(a，b，c，d∈R)，我们规定：两个复数相等的充要条件是实部与虚部分别相等． 考点一：复数的相关概念辨析 例1．下列命题正确的个数是（    ） ①；②若，且，则； ③若，则；④两个虚数不能比较大小. A．1 B．2 C．0 D．3 【答案】B 【解析】对于①，因为，所以，故①正确； 对于②，两个虚数不能比较大小，故②错误； 对于③，当，时，成立，故③错误；④正确.故选：B 【变式1-1】（23-24高一下·上海·月考）已知，语句中至少有一个为虚数，语句为虚数．则是的（    ）条件． A．充要 B．充分不必要 C．必要不充分 D．既不充分也不必要 【答案】C 【解析】若、皆是实数，则一定不是虚数，因此当是虚数时， 则“、中至少有一个数是虚数”成立，即必要性成立； 当、中至少有一个数是虚数，不一定是虚数，如，即充分性不成立， 故选：C. 【变式1-2】（多选）下列说法不正确的是（    ） A．如果两个复数的实部的差与虚部的差都等于0，那么这两个复数相等 B．是纯虚数(a∈R) C．如果复数(x，y∈R)是实数，那么 D．复数(a，b∈R)不是实数 【答案】BCD 【解析】对于A，两个复数相等的充要条件是这两个复数的实部与虚部分别相等， 即它们的实部的差与虚部的差都等于0，故A正确； 对于B，当时，是实数0，故B不正确； 对于C，若复数是实数，则，，故C不正确； 对于D，当时，复是实数，故D不正确．故选：BCD． 【变式1-3】（23-24高一下·江苏泰州·期中）对于复数，则下列结论中错误的是（    ） A．若，则为纯虚数 B．若，则 C．若，则为实数 D．若，则不是复数 【答案】ABD 【解析】A.当时，为实数，故错误； B.若，则，故错误； C.若，则为实数，故正确； D.若，则是实数，故错误；故选：ABD 考点二：求复数的实部与虚部 例2.（23-24高一下·浙江台州·期末）已知复数，则的实部为（    ） A．-2 B．-1 C．1 D．2 【答案】B 【解析】复数的实部为.故选：B. 【变式2-1】（23-24高一下·江苏苏州·期中）若复数满足(是虚数单位），则的虚部是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】z的虚部是.故选：B. 【变式2-2】（23-24高一下·重庆·期末）复数的虚部是（    ） A． B．1 C． D． 【答案】B 【解析】复数的虚部是.故选：B. 【变式2-3】（23-24高一下·云南·期中）设，则的实部与虚部之和为（    ） A． B．2 C．1 D． 【答案】C 【解析】的实部为，虚部为2，所以实部与虚部之和为1，故选：C． 考点三：复数的分类及应用 例3.（23-24高一下·四川凉山·期末）若复数是实数，则（    ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【解析】根据题意可得其虚部为，解得.故选：C 【变式3-1】（23-24高一下·安徽芜湖·期中）若复数是实数，则等于（    ） A．1 B． C． D．不存在 【答案】A 【解析】因为是实数， 所以，解得，故选：A 【变式3-2】（23-24高一下·河北唐山·期中）如果复数是纯虚数，，是虚数单位，则（    ） A． B． C．或 D．且 【答案】B 【解析】是纯虚数， 则，解得．故选：B． 【变式3-3】（23-24高一下·吉林·期中）已知复数是纯虚数，则 . 【答案】4 【解析】复数是纯虚数， 则，解得. 故答案为：4. 考点四：复数相等及简单应用 例4.（23-24高一下·新疆·期中）已知，则 ． 【答案】1 【解析】由，得，解得． 故答案为：1． 【变式4-1】（23-24高一下·安徽·月考）已知，其中，i为虚数单位.则实数 ， . 【答案】1 【解析】由题意，得，解得， 故答案为：1；-1 【变式4-2】（23-24高一下·福建泉州·期中）已知，，且，则，的值分别为（    ） A．1， B．4，1 C．，1 D．1，3 【答案】C 【解析】因为，，且，则，，解得.故选：C 【变式4-3】（23-24高一下·湖南·期末）已知x，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】当时，显然成立，所以是的充分条件； 当时，， 则是的不必要条件；故选：A. 考点五：复数的综合应用 例5.（23-24高一下·山东聊城·期中）已知复数，（，），（），若，则的取值范围为 ． 【答案】 【解析】复数，，，， 则，化简整理可得，， 当时，取得最小值为1， 当时，取得最大值为5， 故的取值范围为． 故答案为：． 【变式5-1】（23-24高一下·山东临沂·期中）已知复数，其中为虚数单位，并且，求实数的取值范围． 【答案】 【解析】因为，可得, 所以, 可得, 即, 当, 所以. 【变式5-2】（22-23高一下·河南·月考）若复数，，且，求的取值范围． 【答案】 【解析】由可得 得， 因为， 所以， 当时，； 当时，． 综上，的取值范围为． 【变式5-3】已知，为的一个内角．若不论为何值，总存在使得是实数，求实数的取值范围． 【答案】. 【解析】∵是实数，，，∴，即恒成立． 又，，， ∴，∴， ∴当时，不论为何值，总存在使得是实数， 故的取值范围为. 一、单选题 1．（23-24高一下·江苏扬州·期中）复数，则复数的虚部是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，所以虚部为.故选：C 2．（23-24高一下·广东湛江·期末）以的虚部为实部，以的实部为虚部的新复数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】复数的虚部为，又， 则的实部为，所以新复数为.故选：C 3．（23-24高一下·天津滨海新·期末）若复数（是虚数单位）是纯虚数，则实数（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】A 【解析】若复数（是虚数单位）是纯虚数， 则，解得.故选：A. 4．（23-24高一下·安徽合肥·期末）已知，（为虚数单位），则等于（    ） A．－1 B．1 C．－4 D．3 【答案】C 【解析】由题意可得：，所以.故选：C 5．（23-24高一下·江苏镇江·期中）已知复数的实部与虚部互为相反数，则的取值不可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意，可知， 所以，解得或， 因为，所以或或.故选：D 6．（22-23高一下·安徽安庆·期末）已知a，b均为实数，复数：，其中i为虚数单位，若，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题，所以为实数，即， 则有，解得，即a的取值范围为.故选：A 二、多选题 7．（23-24高一下·湖南株洲·期中）下列复数是纯虚数的为（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【解析】由纯虚数的定义得纯虚数实部为0，虚部不为0， 而A，C实部不为0，B，D实部为0且虚部不为0， 故，是纯虚数，故B，D正确.故选：BD 8．（23-24高一下·四川达州·期中）下列四种说法不正确的是（ ） A．如果实数，那么是纯虚数． B．实数是复数． C．如果，那么是纯虚数． D．任何数的偶数次幂都不小于零． 【答案】ACD 【解析】对A，当时，则是实数，故A错误； 对B，根据复数定义可知，故B正确； 对C，，那么是实数，故C错误； 对D，根据虚数，故D错误.故选：ACD 三、填空题 9．（2024高一·全国·专题练习）若为实数，复数，则 ． 【答案】2 【解析】由只能是实数才能比较大小，得为实数， 因此，解得，所以. 10．（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·期中）复数是纯虚数，则实数的值为 . 【答案】1 【解析】若复数是纯虚数， 则，解得， 所以实数的值为1. 四、解答题 11．（23-24高一下·江苏扬州·月考）已知复数．（其中i为虚数单位，m为实数） (1)若z为纯虚数，求m的值； (2)若，求m的值． 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）若z为纯虚数，则且所以 （2）若，则且所以 12．（23-24高一下·甘肃定西·期末）已知复数． (1)若复数是纯虚数，求实数的值； (2)当非零复数的实部和虚部互为相反数时，求实数的值． 【答案】(1)；(2)． 【解析】（1）由复数是纯虚数，得，解得； （2）由复数的实部和虚部互为相反数，得， 化简得，解出或， 当时，不符合题意，（舍去），而满足， 所以实数的值为． ( 5 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$