精品解析： 辽宁省实验中学2024-2025学年八年级上学期期末数学试卷

2024-2025学年辽宁省实验中学八年级（上）期末数学试卷 一.选择题（每题3分，共30分） 1. 下列各数中，是无理数的是（ ） A. B. C. D. 0 2. 下列四组数中，是勾股数一组是（　　） A. 3、5、7 B. 、、 C. 5、12、13 D. 0.3、0.4、0.5 3. 在平面直角坐标系中，点（3，5）关于y轴对称的点的坐标是（ 　　）． A. （－3，0 ） B. （－3，5 ） C. （－3，－5） D. （3，－5） 4. 计算的结果是（ ） A. B. C. D. 5. 已知一次函数，则该函数的图像大致是（ ） A. B. C. D. 6. 下列命题中，是真命题的是（ ） A. 两直线平行，同旁内角相等 B. 内错角相等，两直线平行 C. 直角三角形的两锐角互补 D. 三角形的一个外角大于任何一个内角 7. 如图，在中，，点B，C在数轴上对应的数分别是0，长为半径画弧，交数轴的负半轴于点D，则与点D对应的数为（　　） A. 1 B. C. D. 8. 下表记录了甲、乙、丙三名跳高运动员最近10次选拔赛成绩的平均数与方差： 甲 乙 丙 平均数（） 186 186 186 方差 根据表中数据，要从中选择一名发挥稳定的运动员参加比赛，应该选择（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 无法选择 9. 实数的值在（　　） A. 0和1之间 B. 1和2之间 C. 2和3之间 D. 3和4之间 10. 明代数学家程大位所著《算法统宗》里有这样一个问题：隔壁听得客分银，不知人数不知银，七两分之多四两，九两分之少半斤．其大意为：有一群人分银子，如果每人分七两，则剩余四两；如果每人分九两，则还差八两．设有人，分两银，根据题意列二元一次方程组正确的是（ ） A. B. C D. 二.填空题（每题3分，共15分） 11. 的算术平方根是______． 12. 已知直线经过点和点，则_____（填“”或“”或“”）． 13. 如图，一次函数与的图像相交于点，则关于x、y的二元一次方程组的解是________． 14. 如图，某港口P位于东西方向的海岸线上．“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，“远航”号以每小时12 n mile的速度沿北偏东方向航行，“海天”号以每小时16 n mile的速度沿北偏西方向航行．2小时后，“远航”号、“海天”号分别位于M，N处，则此时“远航”号与“海天”号的距离为______n mile． 三.解答题（16题10分，17题6分，18题，19题每题8分，20题10分，21题9分，22题，23题每题12分，共75分） 15 （1）计算：； （2）解方程组：． 16. 在平面直角坐标系xOy中，△ABC的位置如图所示，每个小方格的边长为1． （1）分别写出以下顶点的坐标：A（ 　 　，　 ）；B（ 　 ，　 ）； （2）作△ABC关于y轴对称的△A1B1C1（点A，B，C的对应点分别为A1，B1，C1）； （3）求△ABC的面积． 17. 如图，，，，． （1）直线与有怎样的位置关系？并证明你的结论； （2）若，求的度数． 18. 为增强学生的社会实践能力，促进学生全面发展，某校计划建立小记者站，有20名学生报名参加选拔．报名的学生需参加采访、写作、摄影三项测试，每项测试均由七位评委打分（满分100分），取平均分作为该项的测试成绩，再将采访、写作、摄影三项的测试成绩按的比例计算出每人的总评成绩． 小悦、小涵的三项测试成绩和总评成绩如下表，这20名学生的总评成绩频数直方图（每组含最小值，不含最大值）如下图 选手 测试成绩/分 总评成绩/分 采访 写作 摄影 小悦 83 72 80 78 小涵 86 84 ▲ ▲ （1）在摄影测试中，七位评委给小涵打出的分数如下：67，72，68，69，74，69，71．这组数据的中位数是__________分，众数是__________分，平均数是__________分； （2）请你计算小涵的总评成绩； （3）学校决定根据总评成绩择优选拔12名小记者．试分析小悦、小涵能否入选，并说明理由． 19. 某冬奥会纪念品专卖店计划同时购进型和型两种吉祥物．据了解，8只型吉祥物和10只型吉祥物的进价共2000元；10只型吉祥物和20只型吉祥物的进价共3100元． （1）求型和型两种吉祥物每只进价分别是多少元． （2）该专卖店计划恰好用4500元购进型和型两种吉祥物（两种均购买），问专卖店共有几种采购方案？ 20. 甲、乙两车分别从相距上海松江站和佘山森林公园同时匀速相向而行．甲车出发后，由于交通管制，停止了，再出发时速度比原来减少，并安全到达终点．甲、乙两车距上海松江站的路程（单位：）与两车行驶时间（单位：）的图象如图所示． （1）填空：_________； （2）求乙车距上海松江站的路程与两车行驶时间的函数关系式，并直接写出自变量的取值范围； （3）_________时，甲、乙两车相遇． 21. 【概念呈现】：当一个凸四边形的一条对角线把原四边形分成两个三角形．若其中有一个三角形是等腰直角三角形，则把这条对角线叫做这个四边形的“等腰直角线”，把这个四边形叫做“等腰直角四边形”，若其中一个三角形是等腰直角三角形，另一个三角形是等腰三角形，把这个四边形叫做“真等腰直角四边形”． （1）【概念理解】：如图①，若，则四边形 （填“是”或“不是”）真等腰直角四边形； （2）【性质应用】：如果四边形是真等腰直角四边形，且，对角线是这个四边形的真等腰直角线，当时， ； （3）【深度理解】：如图②，四边形与四边形都是等腰直角四边形，，对角线分别是这两个四边形的等腰直角线，试猜想并说明与的数量关系； （4）【拓展提高】：已知：四边形是等腰直角四边形，对角线是这个四边形的等腰直角线，且，若，请直接写出的长． 22. 如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，直线过点，与轴交于点． （1）点的坐标是______；直线的函数表达式______； （2）若点是直线上一动点，且，求点的坐标； （3）点在第二象限，当时，动点从点出发，先运动到点，再从点运动到点后停止运动．点的运动速度始终为每秒1个单位长度，运动的总时间为（秒），请求出的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年辽宁省实验中学八年级（上）期末数学试卷 一.选择题（每题3分，共30分） 1. 下列各数中，是无理数的是（ ） A. B. C. D. 0 【答案】B 【解析】 【分析】根据无理数定义解答即可． 【详解】解：，，0是有理数； 是无理数． 故选：B． 【点睛】本题考查的是无理数，熟知无限不循环小数叫做无理数是解题的关键． 2. 下列四组数中，是勾股数的一组是（　　） A. 3、5、7 B. 、、 C. 5、12、13 D. 0.3、0.4、0.5 【答案】C 【解析】 【分析】欲求证是否为勾股数，这里给出三边的长，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可． 【详解】解：A、因为72≠32+52，所以它们不是勾股数，故本选项错误； B、因为、、都不是整数，所以它们不是勾股数，故本选项错误； C、因为132＝52+122，所以它们是勾股数，故本选项正确； D、因为0.3、0.4、0.5都不是整数，所以它们不是勾股数，故本选项错误． 故选：C． 【点睛】本题考查勾股数．解题关键是熟练掌握和运用勾股定理的逆定理：已知△ABC的三边满足a2+b2=c2，则△ABC是直角三角形． 3. 在平面直角坐标系中，点（3，5）关于y轴对称的点的坐标是（ 　　）． A. （－3，0 ） B. （－3，5 ） C. （－3，－5） D. （3，－5） 【答案】B 【解析】 【分析】按照纵坐标不变，横坐标变为相反数的要求计算即可． 【详解】∵点（3，5）关于y轴对称， ∴对称点的坐标为（－3，5 ）， 故选B． 【点睛】本题考查了坐标系中关于y轴的对称问题，熟练掌握对称的特点和计算的方式是解题的关键． 4. 计算的结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用同底数幂的乘法的法则，幂的乘方的法则进行运算即可． 【详解】解： ． 故选： D． 【点睛】本题主要考查幂的乘方，同底数幂的乘法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握． 5. 已知一次函数，则该函数的图像大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据一次函数的性质，，函数值随的增大而增大，即可得到结论． 【详解】∵一次函数，， ， ∴函数经过第一，二，三象限． 故选：A． 【点睛】本题考查的是一次函数的图象，一次函数的性质，熟练掌握一次函数的性质是解答此题的关键． 6. 下列命题中，是真命题的是（ ） A. 两直线平行，同旁内角相等 B. 内错角相等，两直线平行 C. 直角三角形的两锐角互补 D. 三角形的一个外角大于任何一个内角 【答案】B 【解析】 【分析】利用三角形的性质、平行线的性质和判定进行判断即可． 【详解】解：两直线平行，同旁内角互补，故A是假命题； 内错角相等，两直线平行，故B是真命题； 直角三角形的两锐角互余，故C是假命题； 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角，故D是假命题； 故答案为B． 【点睛】本题考查的是命题的真假判断，熟练准确掌握基础知识是解答本题的关键． 7. 如图，在中，，点B，C在数轴上对应的数分别是0，长为半径画弧，交数轴的负半轴于点D，则与点D对应的数为（　　） A. 1 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查勾股定理、实数与数轴，熟知实数与数轴上点是一一对应关系是解题的关键．先利用勾股定理求得，进而根据数轴可求得． 【详解】解：在中，，， ∴， ∵点B对应的数是0， ∴与点D对应的数为， 故选：D． 8. 下表记录了甲、乙、丙三名跳高运动员最近10次选拔赛成绩的平均数与方差： 甲 乙 丙 平均数（） 186 186 186 方差 根据表中数据，要从中选择一名发挥稳定的运动员参加比赛，应该选择（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 无法选择 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查方差，根据方差的意义求解即可． 【详解】解：由表格知，甲的方差最小， 所以要从中选择一名发挥稳定的运动员参加比赛，应该选择甲， 故选：A． 9. 实数值在（　　） A. 0和1之间 B. 1和2之间 C. 2和3之间 D. 3和4之间 【答案】D 【解析】 【详解】解：因为， 则， 故处在3和4之间， 故选D． 10. 明代数学家程大位所著的《算法统宗》里有这样一个问题：隔壁听得客分银，不知人数不知银，七两分之多四两，九两分之少半斤．其大意为：有一群人分银子，如果每人分七两，则剩余四两；如果每人分九两，则还差八两．设有人，分两银，根据题意列二元一次方程组正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，等量关系式：七人分银数量两总数量，九人分银数量两总数量，列出方程组，即可求解；找出等量关系式是解题的关键． 【详解】解：由题意得 ， 故选：A． 二.填空题（每题3分，共15分） 11. 的算术平方根是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了求一个数的算术平方根，先计算，再求的算术平方根，即可求解． 【详解】解： 5的算术平方根是. 故答案为：. 12. 已知直线经过点和点，则_____（填“”或“”或“”）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一次函数的性质，熟知一次函数的性质是解答的关键．根据得到函数y随x的增大而减小，进而求解即可． 【详解】解：∵在函数中，， ∴函数y随x的增大而减小， ∵直线经过点和点，， ∴， 故答案为：． 13. 如图，一次函数与的图像相交于点，则关于x、y的二元一次方程组的解是________． 【答案】 【解析】 【分析】先利用确定P点坐标，然后根据方程组的解就是两个相应的一次函数图像的交点坐标进行判断． 本题考查了一次函数与二元一次方程（组）的关系，熟练掌握“方程组的解就是两个相应的一次函数图像的交点坐标”是解题的关键． 【详解】把代入， 得， 解得， 所以P点坐标为， 所以关于x、y的二元一次方程组的解是． 故答案为． 14. 如图，某港口P位于东西方向的海岸线上．“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，“远航”号以每小时12 n mile的速度沿北偏东方向航行，“海天”号以每小时16 n mile的速度沿北偏西方向航行．2小时后，“远航”号、“海天”号分别位于M，N处，则此时“远航”号与“海天”号的距离为______n mile． 【答案】40 【解析】 【分析】根据题意可得：海里，海里，，从而可得，然后在中，利用勾股定理进行计算即可解答． 【详解】解：如图： 由题意得：海里，海里，， ， 在中， ， ∴此时“远航”号与“海天”号的距离为40n mile, 故答案为：40． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，准确熟练地进行计算是解题的关键． 三.解答题（16题10分，17题6分，18题，19题每题8分，20题10分，21题9分，22题，23题每题12分，共75分） 15. （1）计算：； （2）解方程组：． 【答案】（1）（2） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算以及二元一次方程组： （1）先运算乘法以及化简二次根式，得，合并同类二次根式，即可作答． （2）运用加减消元法，即可作答． 【详解】解：（1） ； （2） 得，解得 把代入，得 ∴ 则 16. 在平面直角坐标系xOy中，△ABC的位置如图所示，每个小方格的边长为1． （1）分别写出以下顶点的坐标：A（ 　 　，　 ）；B（ 　 ，　 ）； （2）作△ABC关于y轴对称的△A1B1C1（点A，B，C的对应点分别为A1，B1，C1）； （3）求△ABC的面积． 【答案】（1）（3，0），（-4，3）； （2）见解析； （3）10 【解析】 【分析】（1）根据点在直角坐标系中的位置直接得到坐标； （2）根据轴对称的性质得到点A1，B1，C1，顺次连线即可得到△A1B1C1； （3）利用割补法计算． 【小问1详解】 解：A（3，0），B（-4，3）， 故答案为：（3，0），（-4，3）； 【小问2详解】 解：如图，△A1B1C1即为所求； 【小问3详解】 解：△ABC的面积=． 【点睛】此题考查了确定坐标系中的点坐标，画轴对称图形，计算网格中三角形的面积，正确掌握轴对称的性质是解题的关键． 17. 如图，，，，． （1）直线与有怎样的位置关系？并证明你的结论； （2）若，求的度数． 【答案】（1），证明见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，三角形内角和定理以及外角的性质，解题的关键是： （1）利用三角形外角的性质求出，进而求出，结合，推出，即可推出； （2）利用三角形内角和定理求解即可． 【小问1详解】 解：，理由如下： 如图，延长交于点P， ∵，，， ∴， ∴， 又， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵，， ∴． 18. 为增强学生的社会实践能力，促进学生全面发展，某校计划建立小记者站，有20名学生报名参加选拔．报名的学生需参加采访、写作、摄影三项测试，每项测试均由七位评委打分（满分100分），取平均分作为该项的测试成绩，再将采访、写作、摄影三项的测试成绩按的比例计算出每人的总评成绩． 小悦、小涵的三项测试成绩和总评成绩如下表，这20名学生的总评成绩频数直方图（每组含最小值，不含最大值）如下图 选手 测试成绩/分 总评成绩/分 采访 写作 摄影 小悦 83 72 80 78 小涵 86 84 ▲ ▲ （1）在摄影测试中，七位评委给小涵打出的分数如下：67，72，68，69，74，69，71．这组数据的中位数是__________分，众数是__________分，平均数是__________分； （2）请你计算小涵的总评成绩； （3）学校决定根据总评成绩择优选拔12名小记者．试分析小悦、小涵能否入选，并说明理由． 【答案】（1）69，69，70 （2）82分 （3）小涵能入选，小悦不一定能入选，见解析 【解析】 【分析】（1）从小到大排序，找出中位数、众数即可，算出平均数． （2）将采访、写作、摄影三项的测试成绩按的比例计算出的总评成绩即可． （3）小涵和小悦的总评成绩分别是82分，78分，学校要选拔12名小记者，小涵的成绩在前12名，因此小涵一定能入选；小悦的成绩不一定在前12名，因此小悦不一定能入选． 【小问1详解】 从小到大排序， 67，68，69，69，71，72， 74， ∴中位数是69， 众数是69， 平均数： 69，69，70 【小问2详解】 解：（分）． 答：小涵的总评成绩为82分． 【小问3详解】 结论：小涵能入选，小悦不一定能入选 理由：由频数直方图可得，总评成绩不低于80分的学生有10名，总评成绩不低于70分且小宁80分的学生有6名．小涵和小悦的总评成绩分别是82分，78分，学校要选拔12名小记者，小涵的成绩在前12名，因此小涵一定能入选；小悦的成绩不一定在前12名，因此小悦不一定能入选． 【点睛】此题考查了中位数、众数、平均数，解题关键是熟悉相关概念． 19. 某冬奥会纪念品专卖店计划同时购进型和型两种吉祥物．据了解，8只型吉祥物和10只型吉祥物的进价共2000元；10只型吉祥物和20只型吉祥物的进价共3100元． （1）求型和型两种吉祥物每只进价分别是多少元． （2）该专卖店计划恰好用4500元购进型和型两种吉祥物（两种均购买），问专卖店共有几种采购方案？ 【答案】（1）型吉祥物每只进价150元，型两种吉祥物每只进价80元 （2）3种方案 【解析】 【分析】（1）设型吉祥物每只进价x元，型两种吉祥物每只进价y元，根据“8只型吉祥物和10只型吉祥物的进价共2000元；10只型吉祥物和20只型吉祥物的进价共3100元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设购进m只型吉祥物，n只型吉祥物，根据“恰好用4500元购进型和型两种吉祥物（两种均购买）”列出二元一次方程，求出正整数解即可得到结论． 【小问1详解】 解：设型吉祥物每只进价x元，型两种吉祥物每只进价y元， 依题意得：， 解得：， ∴型吉祥物每只进价150元，型两种吉祥物每只进价80元； 【小问2详解】 设购进m只型吉祥物，n只型吉祥物， 依题意得：， ∴， 又∵m，n均为正整数， ∴或或， ∴该公司共有3种购买方案， 方案1：购进22只型吉祥物，15只型吉祥物； 方案2：购进14只型吉祥物，30只型吉祥物； 方案3：购进6只型吉祥物，45只型吉祥物． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程． 20. 甲、乙两车分别从相距的上海松江站和佘山森林公园同时匀速相向而行．甲车出发后，由于交通管制，停止了，再出发时速度比原来减少，并安全到达终点．甲、乙两车距上海松江站的路程（单位：）与两车行驶时间（单位：）的图象如图所示． （1）填空：_________； （2）求乙车距上海松江站的路程与两车行驶时间的函数关系式，并直接写出自变量的取值范围； （3）_________时，甲、乙两车相遇． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数的图象和性质，解题的关键是掌握用待定系数法求解函数表达式的方法和步骤，能够从函数图象获取需要数据． （1）根据题意可得从到a之间，甲车停车两分钟，即可进行解答； （2）由图可知，乙车距上海松江站的路程y与两车行驶时间x的函数图象经过，用待定系数法求解即可； （3）先求出甲车停车前的速度，再根据甲乙两车相遇时，距离上海松江站路程相等，列出方程求出相遇时间，即可求解． 【小问1详解】 解：， ∴， 故答案为：． 【小问2详解】 解：设乙车距上海松江站的路程与两车行驶时间的函数关系式为、为常数，且． 将坐标和，分别代入， 得， 解得， 乙车距上海松江站的路程与两车行驶时间的函数关系式为； 【小问3详解】 解：设甲车出发内的速度为，则再出发时速度为， 根据题意，得， 解得， 当时，甲车距上海松江站的路程与两车行驶时间的函数关系式为， 当甲、乙两车相遇时，得， 解得， 时，甲、乙两车相遇． 故答案为：． 21. 【概念呈现】：当一个凸四边形的一条对角线把原四边形分成两个三角形．若其中有一个三角形是等腰直角三角形，则把这条对角线叫做这个四边形的“等腰直角线”，把这个四边形叫做“等腰直角四边形”，若其中一个三角形是等腰直角三角形，另一个三角形是等腰三角形，把这个四边形叫做“真等腰直角四边形”． （1）【概念理解】：如图①，若，则四边形 （填“是”或“不是”）真等腰直角四边形； （2）【性质应用】：如果四边形是真等腰直角四边形，且，对角线是这个四边形的真等腰直角线，当时， ； （3）【深度理解】：如图②，四边形与四边形都是等腰直角四边形，，对角线分别是这两个四边形的等腰直角线，试猜想并说明与的数量关系； （4）【拓展提高】：已知：四边形是等腰直角四边形，对角线是这个四边形的等腰直角线，且，若，请直接写出的长． 【答案】（1）是 （2）4或2 （3） （4） 【解析】 【分析】对于（1），根据勾股定理证明，根据定义解答即可； 对于（2），由题意可得是等腰三角形，当时，根据勾股定理求出；当时，根据勾股定理求出； 对于（3），根据“边角边”证明，可得答案； 对于（4），构造等腰直角三角形，利用（3）中的全等三角形的性质得，再根据勾股定理得出答案． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴是等腰直角三角形． ∵是等腰三角形， ∴四边形是真等腰直角四边形． 故答案为：是； 小问2详解】 解：∵对角线是这个四边形的真等腰直角线，且， ∴是等腰三角形． 当时，根据勾股定理，得； 当时，根据勾股定理，得． 所以或2． 故答案为4或2； 【小问3详解】 解：． 由题意可知和都是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问4详解】 解：. 由题意知，是等腰直角三角形，如图，作，，连接， 由（3）可知， ∴． ∵，是等腰直角三角形， ∴． ∵， ∴． 根据勾股定理，得， ∴． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，勾股定理，新定义的理解，作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 22. 如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，直线过点，与轴交于点． （1）点的坐标是______；直线的函数表达式______； （2）若点是直线上一动点，且，求点的坐标； （3）点在第二象限，当时，动点从点出发，先运动到点，再从点运动到点后停止运动．点的运动速度始终为每秒1个单位长度，运动的总时间为（秒），请求出的最小值． 【答案】（1）； （2）P点的坐标为或 （3）t的最小值为 【解析】 【分析】（1）先根据直线过点A，求出点A坐标，再利用待定系数法求直线的函数表达式即可； （2）设点P坐标为，先求出点C坐标，再求出的面积，表示出 的面积，根据，列方程求解即可； （3）根据点M在第二象限，当，可知点M在线段(不含端点)上运动，作点B关于线段的对称点，连接，，，交线段点M，连接，则的最小值即为的长，求出的长度，进一步可得t的最小值． 【小问1详解】 解：点A在y轴上，直线过点A， 点A坐标为， 将点和点代入直线， 得，解得， 直线的函数表达式为， 故答案为：，； 【小问2详解】 设点P坐标为， 直线过点A，与x轴交于点C， 令，得， 点C坐标为， 点，点， ，，， ， ， ，解得或， P点的坐标为或； 【小问3详解】 点M在第二象限，当时，如图： M在过点且平行于的线段(不含端点)上， 直线的函数表达式为， ， ， ， 作点B关于线段的对称点，连接，，，交线段点M，连接，则的最小值即为的长， ，，， ， ， ， ， 点N的运动速度始终为每秒1个单位长度， 运动的总时间为（秒）， t的最小值为． 【点睛】本题是一次函数的综合题，考查了待定系数法求解析式，轴对称的性质，三角形面积，勾股定理等知识，本题综合性较强，灵活运用所学知识是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $