2025届全国二卷辽吉黑高三数学高考预测卷（三）

2025届高考预测卷（三） 数学 注意事项： 1.答题前，考生先将自己的姓名､班级､考场号/座位号填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓名､准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上. 2.选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案的标号：非选择题答案使用0.5毫米黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整，笔迹清楚. 3.请按照题号在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效. 4.保持卷面及答题卡清洁，不折叠，不破损，不准使用涂改液､修正带､刮纸刀. 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【详解】因为， ， 所以， 故选：A 2．已知复数在复平面内对应的点在直线上，则（    ） A．1 B． C． D． 【详解】因为， 所以该复数在复平面内对应的点的坐标为， 所以，解得. 故选：D. 3．函数的部分图象是（    ） A．   B．   C．   D．   【详解】函数的定义域为， ，故为偶函数， 则其图象关于轴对称，排除A； 又，排除C，D. 故选：B 4．如图，在平行四边形中，点满足，点为的中点，则（    ）    A． B． C． D． 【详解】因为，所以. 因为点为的中点，所以， 所以. 故选：B. 5．已知为坐标原点，点在双曲线上，点分别在的两条渐近线上，且，，若与的面积之积为，则的离心率为（    ） A． B．2 C．或 D．2或 【详解】设点到渐近线，的距离分别为， 因为在上，所以，即， 则， 又，，所以与的面积之积为： ， 即有， 所以或， 所以的离心率为或. 故选：C. 6．中国体育代表团在2024年巴黎奥运会上取得了40枚金牌的辉煌成绩.某视频自媒体平台选出关注度比较高的等10名金牌获得者，再从中选出6名，准备连续6天分别向观众介绍，且每天只介绍1名，则必须介绍且在前3天介绍，至少选2名进行介绍的所有方法种数为（    ） A．720 B．1680 C．4320 D．5040 【详解】由题可得选中的6名金牌获得者中必须有，且至少有2名被选中， 则除外剩下的4名金牌获得者的选取情况种数为， 又必须在前3天介绍，所以符合条件的方法种数为. 故选：D. 7．已知函数在上存在单调递减区间，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【详解】由题意得， 要使在上存在单调递减区间，只需存在区间，使得当时，， 当时，，显然不存在满足条件的区间； 当时，的解集为，因为， 所以要使在上存在单调递减区间，则，解得； 当时，的解集为，因为， 所以要使在上存在单调递减区间，则，解得. 综上，的取值范围为. 故选：A. 8．已知数列满足对任意正整数恒有，且，，则的前30项的和为（    ） A． B． C． D． 【详解】由，得， 令，，得，可得， 所以，得， 所以是首项为2，公比为2的等比数列， 故，，所以， 所以的前30项的和为. 故选：D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．2024年10月央行再次下调人民币存款利率，存款利率下调是为了刺激经济增长､促进投资和消费而采取的一种货币政策.下表为某银行近年来几个时间发布的人民币一年定期存款利率： 时间 2018年4月 2019年4月 2020年4月 2021年6月 2022年9月 2024年7月 2024年10月 利率 1.35 1.50 1.75 1.75 1.55 1.35 1.10 关于表中的7个数据，下列结论正确的是（    ） A．极差为0.25 B．平均数不大于1.5 C．分位数与分位数相等 D．中位数为1.75 【详解】把这7个数据按照从小到大的顺序排列：，，，，，，. 选项A：极差为，A错误. 选项B：平均数为，B正确. 选项C：，， 故分位数与分位数都是1.35，C正确. 选项D：中位数为第四个数即，D错误. 故选：BC. 10．已知函数的图象关于点对称，当时，.若，则下列说法正确的是（    ） A．的图象关于直线对称 B．存在实数，使得直线与的图象相切 C．在上的值域为 D．若在上有3个不同的实数根，则 【详解】因为的图象关于点对称，且当时，， 所以，得， 又，所以，故. 选项A：因为，所以的图象关于直线对称，故A正确. 选项B：因为， 所以对任意实数，直线与的图象不相切，故B错误. 选项C：当时，， 当时，， 所以在上的值域为，故C正确. 选项D：由题得， 当时，，故， 作出在上的大致图象如图所示， 由在上有3个不同的实数根， 数形结合可得，，所以，故D正确. 故选：ACD 11．已知为坐标原点，抛物线的焦点为，过的动直线与交于点，点，在的准线上，且轴，则下列说法正确的是（    ） A．的最小值为22 B．三点共线 C．存在点，使得到直线的距离相等 D．若，则 【详解】选项A：设，，的方程为， 与联立并化简得， 所以，，则， 所以， 当且仅当即，时取等号，故A错误； 选项B：连接， 则直线的斜率，直线的斜率， 所以，所以三点共线，故B正确； 选项C：当点的坐标为时， ， 直线关于轴对称，此时点到直线的距离相等，故C正确； 选项D：设， 若，易得，此时，，满足题意. 若，由，得，即， 则， 所以.故D正确. 故选：BCD 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知，，则 . 【详解】因为，所以， 因为，所以， 所以，， 所以. 故答案为：. 13．已知函数不是常数函数，的定义域为，且，写出一个满足条件的函数 . 【详解】由的定义域为及，得函数是偶函数， 再由，设（且）， 显然（且）满足题意， 所以满足条件的一个函数. 故答案为： 14．有一个儿童玩具，外部是一个透明的塑料大球，内部是8个半径均为1的小球（球壁厚度均忽略不计），其中两两相切，两两相切，两两相切，两两相切，两两相切，且，均与球相切，则球的半径为 . 【详解】连接，，，，，， 由题可得三棱锥是棱长为2的正四面体， 连接，，，，，，，，，，，， 因为两两相切，两两相切，两两相切， 两两相切，所以三棱锥､三棱锥､ 三棱锥､三棱锥分别是以三棱锥的四个面为底面， 且棱长均为2的正四面体，又均与球相切， 所以三棱锥的外接球球心就是大球的球心. 作出三棱锥和三棱锥的示意图如图所示， 连接，则球的半径为. 易得正四面体的高， 到平面的距离即三棱锥内切球的半径， 易得，得，则，所以球的半径为. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．已知的内角的对边分别为，且. (1)求； (2)若，求周长的最大值. 【详解】（1）解法一，由正弦定理得， 又， 所以，即. 因为，所以， 所以. 解法二，由余弦定理得， 整理得， 所以. （2）解法一，设的外接圆半径为， 由及正弦定理得， 所以. 由（1）知，所以， 所以. 由余弦定理得，即， 所以， 所以，当且仅当时取等号. 所以周长的最大值为. 解法二，设的外接圆半径为， 由及正弦定理得， 所以. 由（1）知，所以. 所以 ， 其中为第一象限角，且， 所以当时，取得最大值， 故周长的最大值为. 16．如图，在三棱柱中，底面为边长为2的正三角形，，点为的中点. (1)若，证明：； (2)若，平面与平面所成二面角的正弦值为，求. 【详解】（1）法一：如图，连接， 因为，，点为的中点，所以，， 因为，平面， 所以平面. 因为平面，所以. 易知，所以， 所以四边形是矩形. 因为，， 所以，所以， 所以， 所以. （2） 法一：设，以为坐标原点，直线分别为轴，轴，过点与平面垂直的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 所以，，，，， 故，. 设平面的法向量为， 则，即， 取，得. 易知平面的一个法向量为. 设平面与平面所成的二面角为， 因为，所以， 则，得， 所以. 法二：过作的平行线，则为平面与平面的交线. 由（1）知平面，因为平面，所以平面平面. 作平面于点，则在上，，作于点， 连接，又平面，所以平面，又因为平面，所以， 则为平面与平面所成锐二面角的平面角. 设，则，，点到的距离为，则. 因为平面与平面所成二面角的正弦值为， 所以，则， 即，得， 故. 17．已知直线与椭圆只有1个公共点. (1)求的标准方程； (2)若直线与在第一象限内交于点是上与不重合的两点，直线关于对称，证明：直线的斜率为定值. 【详解】（1）因为点在上，所以. 因为点在直线上，所以. 由，消去并整理得， 由，得. 由，得， 所以的标准方程为. （2）法一：由题意知直线的斜率存在，设直线的方程为，，， 联立方程得，得， 所以，得， ，. 由题得， 因为直线关于对称， 所以， 即 ， 整理得， 所以或. 当时，直线的方程为, 即,此时点与点或点重合，不满足题意， 故，且，即，且， 故直线的斜率为定值2. 法二：由题可得，直线的斜率均存在且均不为0， 设，，直线的方程为， 联立得，得， 所以，得， 所以，则， 所以， 故. 因为直线关于直线对称， 则，即, 故. 所以， 故直线的斜率为定值2. 18．超轻黏土是一种集艺术性､趣味性､创造性于一体的手工造型材料.某小学为了丰富校园文化生活，举行了超轻黏土制作比赛活动.本次活动是在各班中选拔表现突出的学生，以班级为单位参加比赛.班级选拔共有6节课，每节课完成情况相互独立.每节课学生需独自完成3个动物作品与3个植物作品，若评优作品不少于5个，则将该学生评为“优秀制作人”.最后4节课中，被评为“优秀制作人”的次数不少于3次的学生将代表班级参加比赛.已知小章前2节课制作的作品中，有5个动物作品与4个植物作品为评优作品. (1)从小章前2节课制作的作品中随机抽取3个动物作品与3个植物作品，求其中至少有5个作品为评优作品的概率. (2)若小章经过课后练习水平有所提高，最后4节课每节课动物作品与植物作品为评优作品的概率分别为，且，以最后4节课中小章被评为“优秀制作人”的次数的数学期望为依据，试预测小章是否能代表班级参加比赛. 【详解】（1）设“其中至少有5个作品为评优作品”为事件，由题可知，所有可能的情况为： ①动物作品有2个为评优作品，植物作品有3个为评优作品的概率为， ②动物作品有3个为评优作品，植物作品有2个为评优作品的概率为， ③动物作品有3个为评优作品，植物作品有3个为评优作品的概率为. 所以. （2）最后4节课中，每节课小章被评为“优秀制作人”的概率均为. 由， 得，即， 所以，， 所以，所以. 令，，， 则， 所以在上单调递减，所以. 易知，所以， 所以小章不能代表班级参加比赛. 19．已知为正常数，若函数满足对任意的，都有，则称为“倍等差函数”. (1)若是“2倍等差函数”，，求； (2)证明：不存在正常数，使得是“倍等差函数”； (3)若函数是“倍等差函数”且的图象是一条连续不断的曲线，证明：对任意的正数，方程在上有实根. 【详解】（1）因为是“2倍等差函数”，所以， 取，得， 因为，所以数列是首项为2，公差为2的等差数列， 所以， 所以. （2）假设存在正常数，使得是“倍等差函数”， 则，即，整理得. 设，则， 当时，，单调递增；当时，，单调递减. 所以，所以恒成立. 所以不存在正常数，使得， 即不存在正常数，使得是“倍等差函数”. （3）设，则的图象是一条连续不断的曲线， 所以问题可转化为在上有零点. 因为是“倍等差函数”，所以， 所以，即， 所以是“倍等差函数”. 当时，不满足，所以， 若，则1是的零点. 若，则对于， 取，得， 取，得， 所以， 所以当时，， 所以当时，在上有零点；当时，在上有零点. 若，则对于， 取，得， 取，得， 依此可得， 所以当时，， 所以当时，在上有零点；当时，在上有零点. 综上，在上有零点. 所以对于任意的正数，方程在上有实根. 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025届高考预测卷（三） 数学 注意事项： 1.答题前，考生先将自己的姓名､班级､考场号/座位号填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓名､准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上. 2.选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案的标号：非选择题答案使用0.5毫米黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整，笔迹清楚. 3.请按照题号在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效. 4.保持卷面及答题卡清洁，不折叠，不破损，不准使用涂改液､修正带､刮纸刀. 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合，则（    ） A． B． C． D． 2．已知复数在复平面内对应的点在直线上，则（    ） A．1 B． C． D． 3．函数的部分图象是（    ） A．   B．   C．   D．   4．如图，在平行四边形中，点满足，点为的中点，则（    ）    A． B． C． D． 5．已知为坐标原点，点在双曲线上，点分别在的两条渐近线上，且，，若与的面积之积为，则的离心率为（    ） A． B．2 C．或 D．2或 6．中国体育代表团在2024年巴黎奥运会上取得了40枚金牌的辉煌成绩.某视频自媒体平台选出关注度比较高的等10名金牌获得者，再从中选出6名，准备连续6天分别向观众介绍，且每天只介绍1名，则必须介绍且在前3天介绍，至少选2名进行介绍的所有方法种数为（    ） A．720 B．1680 C．4320 D．5040 7．已知函数在上存在单调递减区间，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 8．已知数列满足对任意正整数恒有，且，，则的前30项的和为（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．2024年10月央行再次下调人民币存款利率，存款利率下调是为了刺激经济增长､促进投资和消费而采取的一种货币政策.下表为某银行近年来几个时间发布的人民币一年定期存款利率： 时间 2018年4月 2019年4月 2020年4月 2021年6月 2022年9月 2024年7月 2024年10月 利率 1.35 1.50 1.75 1.75 1.55 1.35 1.10 关于表中的7个数据，下列结论正确的是（    ） A．极差为0.25 B．平均数不大于1.5 C．分位数与分位数相等 D．中位数为1.75 10．已知函数的图象关于点对称，当时，.若，则下列说法正确的是（    ） A．的图象关于直线对称 B．存在实数，使得直线与的图象相切 C．在上的值域为 D．若在上有3个不同的实数根，则 11．已知为坐标原点，抛物线的焦点为，过的动直线与交于点，点，在的准线上，且轴，则下列说法正确的是（    ） A．的最小值为22 B．三点共线 C．存在点，使得到直线的距离相等 D．若，则 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知双曲线与椭圆共焦点，且其虚轴长为2，则的标准方程为 . 13．已知函数不是常数函数，的定义域为，且，写出一个满足条件的函数 . 14．有一个儿童玩具，外部是一个透明的塑料大球，内部是8个半径均为1的小球（球壁厚度均忽略不计），其中两两相切，两两相切，两两相切，两两相切，两两相切，且，均与球相切，则球的半径为 . 已知函数在上有两个不同的零点，则 . 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．已知的内角的对边分别为，且. (1)求； (2)若，求周长的最大值. 16．如图，在三棱柱中，底面为边长为2的正三角形，，点为的中点. (1)若，证明：； (2)若，平面与平面所成二面角的正弦值为，求. 17．已知直线与椭圆只有1个公共点. (1)求的标准方程； (2)若直线与在第一象限内交于点是上与不重合的两点，直线关于对称，证明：直线的斜率为定值. 18．超轻黏土是一种集艺术性､趣味性､创造性于一体的手工造型材料.某小学为了丰富校园文化生活，举行了超轻黏土制作比赛活动.本次活动是在各班中选拔表现突出的学生，以班级为单位参加比赛.班级选拔共有6节课，每节课完成情况相互独立.每节课学生需独自完成3个动物作品与3个植物作品，若评优作品不少于5个，则将该学生评为“优秀制作人”.最后4节课中，被评为“优秀制作人”的次数不少于3次的学生将代表班级参加比赛.已知小章前2节课制作的作品中，有5个动物作品与4个植物作品为评优作品. (1)从小章前2节课制作的作品中随机抽取3个动物作品与3个植物作品，求其中至少有5个作品为评优作品的概率. (2)若小章经过课后练习水平有所提高，最后4节课每节课动物作品与植物作品为评优作品的概率分别为，且，以最后4节课中小章被评为“优秀制作人”的次数的数学期望为依据，试预测小章是否能代表班级参加比赛. 19．已知为正常数，若函数满足对任意的，都有，则称为“倍等差函数”. (1)若是“2倍等差函数”，，求； (2)证明：不存在正常数，使得是“倍等差函数”； (3)若函数是“倍等差函数”且的图象是一条连续不断的曲线，证明：对任意的正数，方程在上有实根. 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$