第35讲 导数大题必刷33题（最新模考好题）-【寒假自学课】2025年高二数学寒假提升精品讲义（人教A版2019）

第35讲 导数大题必刷33题 【题型一：单调性问题（含参）】 1．（2024·四川内江·模拟预测）已知函数. (1)若，求函数在区间上的最值； (2)讨论函数的单调性. 2．（2024·黑龙江齐齐哈尔·一模）已知函数． (1)当时，若，求的极值点和极值、最值点和最值； (2)讨论在上的单调性． 3．（2024·湖北黄冈·一模）已知函数 (1)若曲线在点处的切线方程为，求a和b的值； (2)讨论的单调性. 4．（2024·湖北·一模）已知函数. (1)若，求的极值点； (2)讨论的单调性. 5．（2024·湖北武汉·模拟预测）已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)讨论的单调区间. 【题型二：极值、最值问题】 6．（2024·黑龙江双鸭山·模拟预测）已知函数. (1)若的图象在点处的切线与直线垂直，求的值; (2)讨论的单调性与极值. 7．（24-25高三上·贵州·阶段练习）函数． (1)求在点处的切线方程； (2)若存在，使得成立，求的取值范围． 8．（2025·宁夏内蒙古·模拟预测）已知函数. (1)设，求曲线的斜率为2的切线方程； (2)若是的极小值点，求b的取值范围. 9．（24-25高三上·江西·阶段练习）已知函数. (1)讨论的单调性； (2)若，求的取值范围. 10．（19-20高二下·江苏徐州·期中）已知函数. (1)若在其定义域内单调递增，求实数的取值范围； (2)若，且有两个极值点，，其中，求的取值范围. 11．（2024·四川眉山·一模）已知函数. (1)当时，求的零点个数； (2)设，函数. （i）判断的单调性； （ii）若，求的最小值. 【题型三：零点（方程的根）问题】 12．（23-24高三上·河南·期末）已知函数． (1)若，求曲线在点处的切线方程； (2)若，研究函数在上的单调性和零点个数． 13．（2024·河北邯郸·模拟预测）已知函数． (1)当时，求在点处的切线方程； (2)若有两个不同的零点，求实数a的取值范围． 14．（2024·四川·一模）设 (1)若，求的单调区间． (2)讨论的零点数量． 15．（2024·江西景德镇·一模）已知函数，其中. (1)已知,若在定义域内单调递增,求的最小值； (2)求证：存在常数使得,并求出的值； (3)在（2）的条件下,若方程存在三个根,,,且,求的取值范围. 16．（2024·四川宜宾·一模）已知函数. (1)当时，判断的单调性； (2)若函数恰有两个极值点. （i）求实数的取值范围； （ii）证明：的所有零点之和大于3. 【题型四：恒成立、有解问题】 17．（24-25高三上·河北邯郸·阶段练习）已知函数. (1)当时，求的图象在点处的切线方程； (2)若，时，求实数a的取值范围. 18．（23-24高三上·河南·阶段练习）已知函数． (1)当时，求函数的单调区间； (2)若，不等式在上存在实数解，求实数的取值范围． 19．（2024·四川德阳·模拟预测）已知函数. (1)若曲线在点处的切线为，求实数的值； (2)已知函数，且对于任意，，求实数的取值范围. 20．（2024·四川乐山·三模）已知函数 (1)讨论的单调性； (2)令，若存在，使得成立，求整数的最小值． 21．（2024·湖南娄底·一模）已知函数，其中为自然对数的底数. (1)求函数的单调区间； (2)证明：； (3)设，若存在实数使得，求的最大值. 22．（2024·河南许昌·模拟预测）已知. (1)讨论的单调性； (2)若，求的取值范围. 【题型五：不等式及其证明问题】 23．（2024·湖北武汉·模拟预测）已知. (1)求并写出的表达式； (2)证明：. 24．（24-25高三上·湖南永州·期末）已知函数，且的极值点为． (1)求； (2)证明：； 25．（2024·陕西咸阳·模拟预测）已知函数， (1)若恒成立，求实数的取值范围； (2)证明： 26．（2024·广东河源·模拟预测）已知函数，为的导函数． (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)若的两个极值点分别， （i）求实数的取值范围； （ii）证明：． 27．（2024·甘肃白银·一模）已知函数. (1)若曲线在处的切线的斜率为3，求. (2)已知恰有两个零点. ①求的取值范围； ②证明：. 【题型六：极值点偏移问题】 28．（2024·河南·模拟预测）已知函数． (1)讨论函数f(x)的单调性； (2)当时，若，求证： 29．（2024·湖北武汉·模拟预测）已知． (1)当时，讨论函数的极值点个数； (2)若存在，，使，求证：． 30．（2024·全国·模拟预测）已知函数. (1)若时，恒成立，求实数的取值范围； (2)当实数取第（1）问中的最小值时，若方程有两个不相等的实数根，，请比较，，2这三个数的大小，并说明理由. 【题型七：新定义问题】 31．（2024·河南·三模）设函数的导函数为的导函数为的导函数为.若，且，则为曲线的拐点. (1)判断曲线是否有拐点，并说明理由； (2)已知函数，若为曲线的一个拐点，求的单调区间与极值. 32．（2024·贵州贵阳·一模）英国数学家泰勒发现了如下公式：其中为自然对数的底数，.以上公式称为泰勒公式.设，根据以上信息，并结合高中所学的数学知识，解决如下问题. (1)证明：； (2)设，证明：； (3)设，若是的极小值点，求实数的取值范围. 33．（2024·湖北黄冈·二模）第二十五届中国国际高新技术成果交易会（简称“高交会”）在深圳闭幕.会展展出了国产全球首架电动垂直起降载人飞碟.观察它的外观造型，我们会被其优美的曲线折服.现代产品外观特别讲究线条感，为此我们需要刻画曲线的弯曲程度.考察如图所示的光滑曲线上的曲线段，其弧长为，当动点从沿曲线段运动到点时，点的切线也随着转动到点的切线，记这两条切线之间的夹角为（它等于的倾斜角与的倾斜角之差）.显然，当弧长固定时，夹角越大，曲线的弯曲程度就越大；当夹角固定时，弧长越小则弯曲程度越大，因此可以定义为曲线段的平均曲率；显然当越接近，即越小，就越能精确刻画曲线在点处的弯曲程度，因此定义（若极限存在）为曲线在点处的曲率.（其中，分别表示在点处的一阶､二阶导数） (1)已知抛物线的焦点到准线的距离为3，则在该抛物线上点处的曲率是多少？ (2)若函数，不等式对于恒成立，求的取值范围； (3)若动点的切线沿曲线运动至点处的切线，点的切线与轴的交点为.若，，是数列的前项和，证明. ( 5 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第35讲 导数大题必刷33题 【题型一：单调性问题（含参）】 1．（2024·四川内江·模拟预测）已知函数. (1)若，求函数在区间上的最值； (2)讨论函数的单调性. 【答案】(1)最小值为，最大值为 (2)答案见解析 【分析】（1）求出函数的导函数，由求出的值，再求出函数的单调性，求出区间端点函数值与极值，即可得解； （2）求出函数的定义域与导函数，分、、三种情况讨论，分别求出函数的单调区间. 【详解】（1）因为，所以， 则，解得， 所以，则， 所以当时，当时， 所以在上单调递减，在上单调递增， 又，，， 所以函数在区间上的最小值为，最大值为； （2）函数的定义域为且， 若时，当时，当时， 所以在上单调递增，在上单调递减； 若时，则当或时，当时， 所以在，上单调递增，在上单调递减； 若时，则当或时，当时， 所以在，上单调递减，在上单调递增； 综上可得：当时在上单调递增，在上单调递减； 当时在，上单调递增，在上单调递减； 当时在，上单调递减，在上单调递增. 2．（2024·黑龙江齐齐哈尔·一模）已知函数． (1)当时，若，求的极值点和极值、最值点和最值； (2)讨论在上的单调性． 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 【分析】（1）利用导数的性质，结合极值点、极值、最值点、最值的定义进行求解即可； （2）利用导数，并分类讨论参数a研究函数单调性. 【详解】（1）当时，， 令，解得，或，而，所以，或， 令，解得， 所以函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 因此是函数的极大值点，极大值为； 是函数的极小值点，极小值为； 因为，， 所以函数在时，是函数的最大值点，最大值为，最小值点为，最小值为； （2）由， 当时，在上，，因此函数单调递增； 当时，令，解得，或， 若时，即时， 在上，，因此函数单调递增， 在上，，因此函数单调递减； 若时，即时， 在上，，因此函数单调递增， 综上所述： 当时，在上函数单调递增， 当时，在上函数单调递增，在上函数单调递减； 3．（2024·湖北黄冈·一模）已知函数 (1)若曲线在点处的切线方程为，求a和b的值； (2)讨论的单调性. 【答案】(1)， (2)答案见解析 【分析】（1）先对函数求导，结合导数的几何意义与斜率关系即可求解； （2）结合导数与单调性关系对的范围进行分类讨论即可求解． 【详解】（1），则． 曲线在点处的切线方程为， 则，解得， 由，解得， （2），函数定义域为， 则， 令，解得或， 若，则当时，，单调递减，当时，，单调递增， 若，则当时，，单调递减，当和时，，单调递增， 若，则在上恒成立，单调递增， 若，则当时，，单调递减，当和时，，单调递增， 综上所述，当时，的单调递增区间为，单调递减区间为， 当时，的单调递增区间为和，单调递减区间为， 当时，的单调递增区间为，无单调递减区间， 当时，的单调递增区间为和，单调递减区间为． 4．（2024·湖北·一模）已知函数. (1)若，求的极值点； (2)讨论的单调性. 【答案】(1)极小值点为1，无极大值点. (2)答案见解析 【分析】（1）利用导数，可得当时，单调递减；当时，单调递增，则得答案； （2）由，则讨论的解的情况，进而讨论出的单调区间. 【详解】（1）因为，所以， 则， 令，解得或（舍）， 当时，单调递减； 当时，单调递增， 故的极小值点为1，无极大值点. （2）由，则， 令， 若，即， 则方程无解或有两个相等的实数解， 此时恒成立，则的单调递增区间为，无单调递减区间. 若，即， 则方程的解为， 若，即，则， 当时，，当时，， 则的单调递增区间为和，单调递减区间为. 若，即，则， 当时，，当时，， 则的单调递增区间为，单调递减区间为. 综上， 当时，的单调递增区间为，无单调递减区间； 当时，的单调递增区间为和，单调递减区间为； 当时，的单调递减区间为，单调递增区间为. 5．（2024·湖北武汉·模拟预测）已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)讨论的单调区间. 【答案】(1) (2)答案见详解 【分析】（1）求导，可得，，结合导数的几何意义求切线方程； （2）求导可得，分类讨论的符号以及与0的大小关系，利用导数判断原函数的单调区间. 【详解】（1）当时，则，， 可得，， 即切点坐标为，切线斜率为， 所以切线方程为，即. （2）由题意可知：的定义域为，且， （i）若，则， 令，解得；令，解得； 可知在内单调递减，在内单调递增； （ⅱ）若，令，解得或， ①当，即时， 令，解得或；令，解得； 可知在内单调递减，在内单调递增； ②当，即时，则，可知在内单调递增； ③当，即时， 令，解得或；令，解得； 可知在内单调递减，在内单调递增； 综上所述：若，的单调递减区间为，单调递增区间为； 若，的单调递减区间为，单调递增区间为； 若，的单调递增区间为，无单调递减区间； 若，的单调递减区间为，单调递增区间为. 【题型二：极值、最值问题】 6．（2024·黑龙江双鸭山·模拟预测）已知函数. (1)若的图象在点处的切线与直线垂直，求的值; (2)讨论的单调性与极值. 【答案】(1) (2)答案见解析. 【分析】（1）求导，根据直线垂直可得，即可求解， （2）求导，对进行讨论，判断导函数的正负，即可得函数的单调性和极值. 【详解】（1）由题得，的定义域为. .         的图象在点处的切线与直线l:垂直， ，         解得. （2）由（1）知. ①当时，恒成立. 在上为减函数，此时无极值;             ②当时，由，得，由，得，         在上单调递减，在上单调递增， 故的极小值为，无极大值.         综上可得，当时，在上为减函数，无极值; 当时，在上单调递减，在上单调递增. 的极小值为，无极大值. 7．（24-25高三上·贵州·阶段练习）函数． (1)求在点处的切线方程； (2)若存在，使得成立，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求出函数的导函数，根据导数的几何意义计算可得； （2）求出函数的导函数，令，，利用导数说明函数的单调性，从而得到的单调性，求出，即可得解. 【详解】（1）因为， 所以， 则，又， 所以在处的切线方程为； （2）因为，， 令，，则， 因为在上单调递增，，， 所以，使得， 当，，单调递减， 当，，单调递增， ，， 所以，使得， 当，，单调递减， 当，，单调递增， 又，，所以， 所以，即的取值范围为． 8．（2025·宁夏内蒙古·模拟预测）已知函数. (1)设，求曲线的斜率为2的切线方程； (2)若是的极小值点，求b的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由切线斜率为2，结合导数知识可得切线过点，然后可得切线方程； （2）由是的极小值点，可得，然后据此讨论的单调性，分析得在时的极值情况，从而得解. 【详解】（1）当时，，其中， 则，令， 化简得，解得（负值舍去）， 又此时，则切线方程过点，结合切线方程斜率为2， 则切线方程为，即. （2）由题可得定义域为，， 因是的极小值点，则， 则， 若，令，令， 则在上单调递增，在上单调递减， 得是的极大值点，不满足题意； 若，令，令， 则在上单调递增，在上单调递减， 得是的极大值点，不满足题意； 若，则，在上单调递减，无极值，不满足题意； 若，令，令， 则在上单调递增，在上单调递减， 得是的极小值点，满足题意； 综上，是的极小值点时，. 9．（24-25高三上·江西·阶段练习）已知函数. (1)讨论的单调性； (2)若，求的取值范围. 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）分类讨论、两种情况下，利用导数研究函数的单调性即可； （2）由题意将原不等式转化为，则，利用导数研究的单调性可得，再次利用导数研究的性质即可求解. 【详解】（1）， 当时，在上是减函数. 当时，是增函数.令，解得. 当时，； 当 所以在上单调递减，在上单调递增. 综上，当时，在上是减函数； 当时，在上单调递减，在上单调递增. （2），即. 令函数，则，所以， 因为在上单调递增， 所以，即. 令函数，则. 当时，；当. 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以. 故的取值范围为. 10．（19-20高二下·江苏徐州·期中）已知函数. (1)若在其定义域内单调递增，求实数的取值范围； (2)若，且有两个极值点，，其中，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意结合导数与函数单调性的关系可转化条件为在上恒成立，利用基本不等式求得的最小值即可得解； （2）由题意结合函数极值点的概念可得，，进而可得，转化条件为，令（），利用导数求得函数的值域即可得解. 【详解】（1）的定义域为， ∵在上单调递增， ∴在上恒成立，即在上恒成立， 又，当且仅当时等号成立， ∴； （2）由题意， ∵有两个极值点， ∴为方程的两个不相等的实数根， 由韦达定理得，， ∵，∴， 又，解得， ∴ ， 设（）， 则， ∴在上单调递减， 又，， ∴， 即的取值范围为. 【点睛】关键点点睛：（2）问中，由题意结合函数极值点的概念可得，，进而可得，转化条件为，令（），利用导数求得函数的值域即可得解. 11．（2024·四川眉山·一模）已知函数. (1)当时，求的零点个数； (2)设，函数. （i）判断的单调性； （ii）若，求的最小值. 【答案】(1)2个 (2)（i）在上单调递增，在和上单调递减；（ii） 【分析】（1）求出函数导数，判断函数单调性，结合零点存在定理即可得结论； （2）（i）求导，利用导数的正负即可判断函数单调性；（ii）利用得到是关于的方程的两个不同的实根，从而得到，，即，从而表示出，构造函数求解，即可得答案. 【详解】（1）由题可知，则， 令，可得， 当时，在单调递减， 当时，在单调递增， ， 又，， 即在和内各有一个零点， 有2个不同的零点. （2）（i）由题可知， 则， 令，可得或， 当时，，当时，， 在上单调递增，在和上单调递减. （ii）由，可得，是关于的方程的两个不同的实根， 故，，即. 故 ， 设， 当时，， 为上的增函数， 的最小值为， 故的最小值为. 【点睛】关键点睛：解答本题的关键是求最小值时，要利用得到，是关于的方程的两个不同的实根，从而得到，，即，从而表示出，构造函数求解. 【题型三：零点（方程的根）问题】 12．（23-24高三上·河南·期末）已知函数． (1)若，求曲线在点处的切线方程； (2)若，研究函数在上的单调性和零点个数． 【答案】(1) (2)在上单调递增；1 【分析】（1）当时，求出，，从而可求出切线方程. （2）当时，利用导数求出在上单调递增．又，从而可求解. 【详解】（1）当时，， 则，则，， 所以曲线在点处的切线方程为． （2）当时，，则， 当时，，，，则， 故在上单调递增． 又因为，所以在上的零点个数为． 13．（2024·河北邯郸·模拟预测）已知函数． (1)当时，求在点处的切线方程； (2)若有两个不同的零点，求实数a的取值范围． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）利用导数的几何意义求切线方程即可； （2）讨论或两种情况，并结合导数研究零点，最后根据零点个数确定参数范围. 【详解】（1）当时，， 则， 所以， 所以在点处的切线方程为， 即． （2）令可得或，对两个方程分别讨论， ①设，则， 所以在单调递增，且， 所以存在唯一的零点，使，即， ②令，即， 设，可得， 则在上单调递增，又且时，， 当时，存在唯一的零点，使，即， 若时，得，则，可得，故， 所以且时，有两个不同的零点； 综上，实数的取值范围为． 14．（2024·四川·一模）设 (1)若，求的单调区间． (2)讨论的零点数量． 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 【分析】（1）利用导数研究函数的单调性即可； （2）利用导数研究函数的单调性，进而可以研究函数的零点. 【详解】（1）当时，. 注意到，从而的正负只和有关，从而可作出下表： + 0 — 0 + 从而的单调递增区间是，单调递减区间是. （2）当时注意到恒成立，从而没有零点. 当时，注意到所求可以化为的解的数量. 设，，则，从而可以作下图： 0 + + + 0 — — 0 0 0 1 — — 0 + + + 0 0 当时，，注意到， 注意到，当且仅当时等号成立， 则， 从而单调递增，零点若有则至多有一个， 注意到设时有，，从而， 设时有，从而， 从而在上必然有一个零点.从而总是有一个零点. 当时，我们考虑，注意到，从而可作出下表： 1 0 — 0 + + + 1 从而其在之间有一个零点，设其为，从而考虑， 其在上的正负性和一样，从而先单调减少后单调递增， 其极小值点就是最小值点，在处取到. 注意到，从而此处， 从而当时，的最小值比0大，此时没有零点； 当时，的最小值恰好就是0，从而只有一个零点； 当时，在处小于0， 在时， 从而在上有一个零点. 设，则， 所以函数在上单调递减， 则，即， 当时，， 从而在时， 从而在上有一个零点， 从而此时共有两个零点. 综上所述，当时，没有零点； 当或者时，有一个零点； 当时，有两个零点. 【点睛】方法点睛：函数的零点问题，常常转化为函数与函数的交点问题，方程的根的问题，进而结合导数分析单调性，进而求解. 15．（2024·江西景德镇·一模）已知函数，其中. (1)已知,若在定义域内单调递增,求的最小值； (2)求证：存在常数使得,并求出的值； (3)在（2）的条件下,若方程存在三个根,,,且,求的取值范围. 【答案】(1) (2)证明见解析， (3) 【分析】（1）依题意在上恒成立,只需即可； （2）由代入并化简可得,对照系数即可求解； （3）构造函数,则由,得,观察得到，由此判断,,∴必在上存在唯一零点,利用导数研究的单调性,进而可以研究函数的零点. 【详解】（1）的定义域为,依题意可知当时,恒成立， 即,因为,当且仅当,即时等号成立, 故,解得,即的最小值为． （2）， ∵，∴，解得． 所以存在常数使得，此时． （3）构造函数， 则方程存在三个根,即函数函数存在三个零点． ∵,∴． 令,得,于是为的一个零点． 若存在零点,且, 由可知必存在相应的零点，且． ∴必在上存在唯一零点． 若恒成立,即成立,解得， 此时在上单调递增，无零点； 若,则, 令,则, ∴在上单调递增,故在上存在零点, 当时,,单调递减,当时,,单调递增． ∵,即，解得， ∴，即． 综上所述，的取值范围是． 【点睛】关键点点睛：本题关键点在于由发现，进而判断必在上存在唯一零点，然后利用导数研究的单调性，进而可研究其零点. 16．（2024·四川宜宾·一模）已知函数. (1)当时，判断的单调性； (2)若函数恰有两个极值点. （i）求实数的取值范围； （ii）证明：的所有零点之和大于3. 【答案】(1)在单调递增，在单调递减， (2)①，②证明见解析 【分析】（1）求导，由导函数的正负求解； （2）求导，构造函数，对分类讨论，即可解①，根据的单调性可得在和上各有一个零点，即可根据可得函数的三个零点为，利用基本不等式即可求解②. 【详解】（1）时，，定义域为，则， 令，解得，，解得， 故在单调递增，在单调递减， （2）①， 则， 记，则， ， 令，解得，，解得， 故在单调递减，在单调递增，， 若，则在单调递增，此时无极值点，不符合， 当，则， 当因此在有一个实数根， 现证明： 设， 则当时，单调递减，当时，单调递增，故当，故当且仅当时取等号， 故，所以 ， 所以在上有一个实数根，故恰有两个极值点，符合题意， 故 ②由①知，且在单调递增，在单调递减， 由于， 当当 所以在和上各有一个零点， 结合可知共有3个零点， ， 若，则， 故的三个零点可以表示为， 故， 由于，故等号取不到，因此 因此的零点之和大于3，得证. 【点睛】方法点睛： 1. 导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理． 2.利用导数解决含参函数的单调性问题时，一般将其转化为不等式恒成立问题，解题过程中要注意分类讨论和数形结合思想的应用. 3.证明不等式，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效. 【题型四：恒成立、有解问题】 17．（24-25高三上·河北邯郸·阶段练习）已知函数. (1)当时，求的图象在点处的切线方程； (2)若，时，求实数a的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，由导数的几何意义代入计算，即可得到结果； （2）根据题意，求导可得，然后分与讨论，代入计算，即可得到结果. 【详解】（1），， ，， 所以的图象在点处的切线方程为，即. （2），则， 当时，，即在上单调递增. 当时，，与题意不符. 当时，，，在上单调递增； ，，在上单调递减. 当时，取得最大值，且为. 由题意可得，解得. 即实数的取值范围为. 18．（23-24高三上·河南·阶段练习）已知函数． (1)当时，求函数的单调区间； (2)若，不等式在上存在实数解，求实数的取值范围． 【答案】(1)单调增区间为，单调减区间为 (2) 【分析】（1）根据导函数的正负判断函数的递增递减区间即得； （2）通过代入不等式整理成在上存在实数解问题，故可转化成求函数在得最小值问题，计算即得. 【详解】（1）当时，， ∴，由，得，由，得， 所以函数的单调增区间为，单调减区间为； （2）原条件等价于：在上存在实数解． 化为在上存在实数解， 令，                    则， ∴在上，，得，故在上单调递增， ∴的最小值为， ∴时，不等式在上存在实数解． 19．（2024·四川德阳·模拟预测）已知函数. (1)若曲线在点处的切线为，求实数的值； (2)已知函数，且对于任意，，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用导数的几何意义可得，可求，进而求得切点，利用切点在直线上，可求的值； （2）由题意可得，令，则，求导，可得，分类讨论可求得实数的取值范围. 【详解】（1）由，可得，， 又曲线在点处的切线为，所以， 解得，所以，所以，所以切点为， 又切点在直线上，所以，解得； （2），由对于任意，，所以， 令，则， 求导可得， 当时，，显然不满足题意， 当时，， 若，，函数在上单调递减， 若，，函数在上单调递增， 所以，所以， 所以，解得， 当时，， 若，，函数在上单调递减， 若，，函数在上单调递增， 所以，所以， 所以，解得， 综上所述：实数的取值范围为. 20．（2024·四川乐山·三模）已知函数 (1)讨论的单调性； (2)令，若存在，使得成立，求整数的最小值． 【答案】(1)答案见解析； (2)5. 【分析】（1）先对求导，再根据导数与函数单调性的关系即可求解； （2）问题转化为，存在，使成立， 构造函数，然后结合存在性问题与最值关系进行求解. 【详解】（1）由题意定义域为，． 当时，，在上单调递增． 当时，由，得 当时，，所以在上单调递增． 当时，，所以在上单调递减． 综上所述，当时，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减． （2）由题知， 又，化简得：， 问题等价于：存在，使成立． 设，则 设， ，当时，，在上单调递增． 又，， 在上存在唯一零点． 设零点，则，即． ，；， 因此在单调递减，在单调递增， ． ， 又，的最小值为5． 【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种转化方法： 一是，利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用； 二是，函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极（最）值问题处理． 21．（2024·湖南娄底·一模）已知函数，其中为自然对数的底数. (1)求函数的单调区间； (2)证明：； (3)设，若存在实数使得，求的最大值. 【答案】(1)增区间为，减区间为； (2)证明见解析； (3). 【分析】（1）求出，判断导数正负得到函数的单调区间； （2）利用分析法转化要证结论，要证，即证，令，即证，利用导数判断单调性，求出最大值即可得证； （3），分别讨论当时和时是否存在使得，即可求解. 【详解】（1）的定义域为， 所以当时，；当时，. 所以的增区间为，减区间为. （2）要证，即证，令，即证， ，令，则，所以在上单调递减，又， 当时，；当时，. 在上单调递增，在上单调递减， ，所以，即得证. （3）当时，，即存在满足题意； 当时，由（2）知， ， 此时恒成立，不满足题意； 综上，所以的最大值为. 22．（2024·河南许昌·模拟预测）已知. (1)讨论的单调性； (2)若，求的取值范围. 【答案】(1)答案见解析 (2). 【分析】（1）求导得，分，两种情况，求方程的解，分析的符号，进而可得的单调性． （2）化简不等式，证明，函数有唯一零点，由此证明，证明时，满足条件，时不满足条件即可. 【详解】（1）由题意知定义域为， 且. 令， ①当时，，所以在上单调递增. ②当时，，记的两根为， 则，且. 当时，在上单调递增， 当时，在上单调递减. 综上所述：当时，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减. （2），化简得. 设，则， 当时，，函数在上单调递增， 当时，，函数在上单调递减， 又，所以，当且仅当取等号， 令，因为在上单调递增， 所以在上单调递增. 又因为， 所以存在唯一，使得①， 所以，当且仅当时取等号. ①当时，成立. ②当时，由①知. 所以与恒成立矛盾，不符合题意. 综上. 【点睛】方法点睛：对于恒成立问题，常用到以下两个结论：若有最值. （1）恒成立⇔；（2）恒成立⇔. 【题型五：不等式及其证明问题】 23．（2024·湖北武汉·模拟预测）已知. (1)求并写出的表达式； (2)证明：. 【答案】(1)， (2)证明见解析 【分析】（1）直接求导并令可得，再代入原表达式即可； （2）构造函数并用导数证明，然后利用即可. 【详解】（1）由有，取得到，解得. 将代入可得. （2）设，则，故当时，当时. 所以在上递减，在上递增，故. 从而. 【点睛】关键点点睛：本题的关键在于使用导数判断单调性，属于常规题. 24．（24-25高三上·湖南永州·期末）已知函数，且的极值点为． (1)求； (2)证明：； 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）由导数确定单调性得极值点； （2）由（1）不等式转化为，引入函数令，由导数求得最小值后可证． 【详解】（1）由，则， 所以当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以为的极大值点，即． （2）由（1）知，， 要证，只需证，即， 令，则， 当时，单调递减； 当时，单调递增， 所以，即，所以． 25．（2024·陕西咸阳·模拟预测）已知函数， (1)若恒成立，求实数的取值范围； (2)证明： 【答案】(1)； (2)证明见解析. 【分析】（1）由不等式恒成立，分离参数构造函数，再求出函数的最大值即得. （2）由（1）得，，再利用不等式的性质推理即得. 【详解】（1）函数的定义域为，，令， 依题意，，恒成立， 求导得，由，得；由，得， 则函数在上单调递增，在上单调递减，， 所以. （2）由（1）知，，即，当且仅当时取等号， 则当时，，，…，， 因此， 所以原不等式成立. 26．（2024·广东河源·模拟预测）已知函数，为的导函数． (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)若的两个极值点分别， （i）求实数的取值范围； （ii）证明：． 【答案】(1)； (2)（i）；（ii）证明见解析. 【分析】（1）把代入，求出，再利用导数的几何意义求出切线方程. （2）（i）由是方程的两根，构造函数，利用直线与的图象有两个交点，利用导数求出范围；（i）确定的范围，利用导数证明当时，恒成立，再结合（1）中切线方程推理得证. 【详解】（1）当时，，则，， 求导得，则， 所以曲线在处的切线方程为. （2）（i），依题意，是方程的两根， 即，， 令，则， 当时，，当时，， 所以函数在上单调递减，在上单调递增，则， 而当时，，且，方程有两根，即直线与函数的图象有两个交点， 则，所以实数的取值范围为. （ii）由（i）不妨设， 由图象知，当时，直线恒在曲线的下方． 下面证明：令，求导得， 设，求导得， 当时，，当时，， 函数在上递减，在上递增， 当时，，且，因此在上恒成立， 则函数在上单调递减，，于是， 设在切线上，则，， 又，则，即， 要证，需证，即证， 由（i）知，则，又，因此， 所以． 【点睛】关键点点睛：第2问，证明不等式的关键是证明当时，直线恒在曲线的下方. 27．（2024·甘肃白银·一模）已知函数. (1)若曲线在处的切线的斜率为3，求. (2)已知恰有两个零点. ①求的取值范围； ②证明：. 【答案】(1) (2)①，②证明见解析 【分析】（1）由导数的几何意义求解即可； （2）①法一：令，得，将题意转化为的图象有两个交点，令，求出的单调性和值域，即可得出答案；法二：对求导，求出的单调性和值域，使得，即可得出答案. ②将题意转化为证明，设，证得可得，又，即可证明. 【详解】（1）解：由题意得. 因为曲线在处的切线的斜率为3， 所以，得. （2）①法一：解：令，得.令，则. 当时，单调递增； 当时，单调递减.故. 当趋近正无穷时，趋近，又， 所以，即的取值范围为. 法二：由题意得. 若，则单调递减，所以在上不可能有两个零点. 若，则当时，单调递减， 当时，单调递增， 所以，得. 当趋近时，趋近正无穷；当趋近正无穷时，趋近正无穷；. 故的取值范围为. ②证明：由①可得，则 两式相加得. 由，得. 要证，只需证. 设，则. 当时，单调递减， 当时，单调递增，则，即. 因为，所以，即. 又，所以，所以， 从而得证. 【点睛】关键点睛：利用导数证明不不等式，常用方法有如下几种： 方法一：等价转化是证明不等式成立的常见方法，其中利用函数的对称性定义，构造对称差函数是解决极值点偏移问题的基本处理策略； 方法二：比值代换是一种将双变量问题化为单变量问题的有效途径，构造函数利用函数的单调性证明的不等式即可，例如对数平均不等式的证明； 方法三：利用不等式的性质对原不等式作等价转换后，利用导数证明相关的式子成立，本题欲证的关键在于对不等式作等价转换；因为，转换为：不等式的证明. 【题型六：极值点偏移问题】 28．（2024·河南·模拟预测）已知函数． (1)讨论函数f(x)的单调性； (2)当时，若，求证： 【答案】(1)答案见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）先求定义域，再求导，分与两种情况，由导函数的正负求出函数的单调性； （2）先结合（1）中函数单调性得到，构造，求导得到其单调性，从而证明出，得到结论. 【详解】（1）的定义域为， 因为， 当时，， 所以在上单调递增； 当时，令得，令得， 所以在上单调递增，在上单调递减； 综上，当时，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减． （2）当时，，定义域为， ，所以在上单调递增，在上单调递减， 又因为，所以， 设， 则在上恒成立， 所以在上单调递增， 所以， 即， 又因为，，所以， 又因为在上单调递减， 所以，即． 【点睛】极值点偏移问题，通常会构造差函数来进行求解，若等式中含有参数，则消去参数，由于两个变量的地位相同，将特征不等式变形，如常常利用进行变形，可构造关于的函数，利用导函数再进行求解. 29．（2024·湖北武汉·模拟预测）已知． (1)当时，讨论函数的极值点个数； (2)若存在，，使，求证：． 【答案】(1)函数的极值点有且仅有一个 (2)证明见解析 【分析】（1）对函数进行求导，然后分和两种情况对函数的单调性进行研究，即可得到答案； （2）由可得（*），通过证明单调递增，（*）转化为，接着证明成立，即可求解 【详解】（1）当时，，则， 当时，， 故在上单调递增，不存在极值点； 当时，令，则总成立， 故函数即在上单调递增， 且，，所以存在，使得， 所以当时，，单调递减；当时，，单调递增； 故在上存在唯一极值点， 综上，当时，函数的极值点有且仅有一个． （2）由知， 整理得，（*）， 不妨令，则，故在上单调递增， 当时，有，即， 那么， 因此，（*）即转化为， 接下来证明，等价于证明， 不妨令（）， 建构新函数，，则在上单调递减， 所以，故即得证， 由不等式的传递性知，即． 【点睛】思路点睛：应用对数平均不等式证明极值点偏移： ①由题中等式中产生对数； ②将所得含对数的等式进行变形得到； ③利用对数平均不等式来证明相应的问题. 30．（2024·全国·模拟预测）已知函数. (1)若时，恒成立，求实数的取值范围； (2)当实数取第（1）问中的最小值时，若方程有两个不相等的实数根，，请比较，，2这三个数的大小，并说明理由. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据给定条件，变形不等式，分离参数构造函数，并求出函数的最大值即得. （2）由（1）求出函数并变形，换元构造函数，利用导数结合极值点偏移推理即得. 【详解】（1）当时，不等式， 令，依题意，恒成立， 求导得，当时，，当时，， 于是函数在上单调递增，在上单调递减，， 所以. （2）由（1）知，，此时函数， 令，，则， 由方程有两个不相等的实数根，得方程有两个不相等的实数根， ，要比较，，2这三个数的大小，只需比较，2， 这三个数的大小，即比较这三个数的大小， ，当时，，当时，， 则函数在上单调递增，在上单调递减，显然，，而， 由方程有两个不相等的实数根，不妨设，则， 令函数，显然， 求导得，函数在上单调递增， 于是，即，而，在上单调递减， 因此，即有，则， 令函数，， 求导得，函数在上单调递减， ，即，而，在上单调递减， 因此，即有，则，有，于是， 从而，所以. 【点睛】思路点睛：涉及函数的双零点问题，不管待证的是两个变量的不等式，还是导函数的值的不等式，都是把双变量的等式或不等式转化为一元变量问题求解，途径都是构造一元函数. 【题型七：新定义问题】 31．（2024·河南·三模）设函数的导函数为的导函数为的导函数为.若，且，则为曲线的拐点. (1)判断曲线是否有拐点，并说明理由； (2)已知函数，若为曲线的一个拐点，求的单调区间与极值. 【答案】(1)没有拐点，理由见解析 (2)单调递增区间为；单调递减区间为，极大值为2，极小值为. 【分析】（1）根据题意，求得，结合新定义，即可得到答案； （2）求得，得到，列出方程求得，得到，求得的单调性，进而求得函数的极值. 【详解】（1）解：由函数，可得， 由，得，又由，得，所以曲线没有拐点. （2）解：由函数， 可得， 因为为曲线的一个拐点，所以， 所以，解得，经检验，当时，， 所以. 当或时，，则的单调递增区间为； 当时，，且不恒成立，则的单调递减区间为， 故当时，取得极大值，且极大值为； 当时，取得极小值，且极小值为. 32．（2024·贵州贵阳·一模）英国数学家泰勒发现了如下公式：其中为自然对数的底数，.以上公式称为泰勒公式.设，根据以上信息，并结合高中所学的数学知识，解决如下问题. (1)证明：； (2)设，证明：； (3)设，若是的极小值点，求实数的取值范围. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）首先设，利用导数判断函数的单调性，转化为求函数的最值问题； （2）首先由泰勒公式，由和，再求得和的解析式，即可证明； （3）分和两种情况讨论，求出在附近的单调区间，即可求解. 【详解】（1）设，则. 当时，：当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增. 因此，，即. （2）由泰勒公式知，① 于是，② 由①②得 所以 即. （3），则 ，设， 由基本不等式知，，当且仅当时等号成立. 所以当时，，所以在上单调递增. 又因为是奇函数，且， 所以当时，；当时，. 所以在上单调递减，在上单调递增. 因此，是的极小值点. 下面证明：当时，不是的极小值点. 当时，， 又因为是上的偶函数，且在上单调递增, 所以当时，. 因此，在上单调递减. 又因为是奇函数，且， 所以当时，；当时，. 所以在上单调递增，在上单调递减. 因此，是的极大值点，不是的极小值点. 综上，实数的取值范围是. 【点睛】关键点点睛：第三问是本题的难点，关键是分和两种情况，利用导数判断附近的单调性. 33．（2024·湖北黄冈·二模）第二十五届中国国际高新技术成果交易会（简称“高交会”）在深圳闭幕.会展展出了国产全球首架电动垂直起降载人飞碟.观察它的外观造型，我们会被其优美的曲线折服.现代产品外观特别讲究线条感，为此我们需要刻画曲线的弯曲程度.考察如图所示的光滑曲线上的曲线段，其弧长为，当动点从沿曲线段运动到点时，点的切线也随着转动到点的切线，记这两条切线之间的夹角为（它等于的倾斜角与的倾斜角之差）.显然，当弧长固定时，夹角越大，曲线的弯曲程度就越大；当夹角固定时，弧长越小则弯曲程度越大，因此可以定义为曲线段的平均曲率；显然当越接近，即越小，就越能精确刻画曲线在点处的弯曲程度，因此定义（若极限存在）为曲线在点处的曲率.（其中，分别表示在点处的一阶､二阶导数） (1)已知抛物线的焦点到准线的距离为3，则在该抛物线上点处的曲率是多少？ (2)若函数，不等式对于恒成立，求的取值范围； (3)若动点的切线沿曲线运动至点处的切线，点的切线与轴的交点为.若，，是数列的前项和，证明. 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）首先根据已知条件求出的值，再分别求出函数的一阶导数和二阶导数，代入公式求解即可； （2）根据的奇偶性和单调性得到，根据，的奇偶性和得到在处三角函数的曲率不大于曲线的曲率，代入公式求解即可； （3）首先求出在处的切线方程，进而得到与之间的关系，构造函数得到数列是等比数列，根据的通项公式得到和，适当放缩得到，进而得到. 【详解】（1）抛物线的焦点到准线的距离为3，， 即抛物线方程为，即，则，， 又抛物线在点处的曲率，则， 即在该抛物线上点处的曲率为； （2）， 在上为奇函数，又在上为减函数. 对于恒成立等价于对于恒成立. 又因为两个函数都是偶函数， 记，，则曲线恒在曲线上方， ，，又因为， 所以在处三角函数的曲率不大于曲线的曲率，即， 又因为，， ，，所以，解得：， 因此，的取值范围为； （3）由题可得， 所以曲线在点处的切线方程是， 即， 令，得，即， 显然，， 由，知，同理， 故，从而， 设，即，所以数列是等比数列， 故，即，从而， 所以，， ， 当时，显然； 当时，， ， 综上，. 【点睛】关键点点睛：本题的关键点之一在于理解所给新定义平均曲率，利用新定义解决函数恒成立问题；关键点之二在于新定义平均曲率与数列结合，通过切线方程转化为数列相邻项之间的关系，再构造新数列求出通项公式，最后适当放缩求数列的前项和. 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