第06讲 导数与函数的单调性（七大题型+思维导图+知识梳理+课后作业）（寒假预习讲义）-2026年高二数学寒假预科讲义（人教A版）

第06讲 导数与函数的单调性 【人教A版】 模块一 函数的单调性 1．函数单调性和导数的关系 (1)函数的单调性与导函数f'(x)的正负之间的关系 ①单调递增：在某个区间(a,b)上，如果f'(x)>0，那么函数y=f(x)在区间(a, b) 上单调递增； ②单调递减：在某个区间(a,b)上，如果f'(x)<0，那么函数y=f(x)在区间(a,b)上单调递减. ③如果在某个区间(a,b)内恒有f'(x)=0，那么函数y=f(x)在这个区间上是一个常数函数. (2)函数值变化快慢与导数的关系 一般地，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么在这个范围内函数值变化得快，这时， 函数的图象就比较“陡峭”(向上或向下)；如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较小，那么在这个范围内函数值变化得慢，函数的图象就“平缓”一些. 常见的对应情况如下表所示. 图象 f'(x)变化规律 f'(x)>0 且越来越大 f'(x)>0 且越来越小 f'(x)<0 且越来越小 f'(x)<0 且越来越大 函数值变化规律 函数值增加 得越来越快 函数值增加 得越来越慢 函数值减小 得越来越快 函数值减小 得越来越慢 2．确定函数单调区间的步骤： (1)确定函数f(x)的定义域； (2)求f'(x)； (3)解不等式f'(x)>0，解集在定义域内的部分为单调递增区间； (4)解不等式f'(x)<0，解集在定义域内的部分为单调递减区间. 3．根据函数单调性求参数的一般思路： (1)利用集合间的包含关系处理：y=f(x)在(a,b)上单调，则区间(a,b)是相应单调区间的子集. (2)f(x)为增(减)函数的充要条件是对任意的x∈(a,b)都有f'(x)≥0(f'(x)≤0)，且在(a,b)内的任一非空子区间上，f'(x)不恒为零，应注意此时式子中的等号不能省略，否则会漏解. (3)函数在某个区间上存在单调区间可转化为不等式有解问题. 4．导数中函数单调性的应用 (1)比较大小：利用导数比较大小，其关键在于利用题目条件构造辅助函数，把比较大小的问题转化为先利用导数研究函数的单调性，进而根据单调性比较大小. (2)解不等式：与抽象函数有关的不等式，要充分挖掘条件关系，恰当构造函数；题目中若存在f(x)与f'(x)的不等关系时，常构造含f(x)与另一函数的积(或商)的函数，与题设形成解题链条，利用导数研究新函数的单调性，从而求解不等式. 【题型1 判断不含参函数的单调性】 【例1】（24-25高二下·安徽亳州·期末）下列函数在区间上单调递减的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】先求出导函数，在给定的区间判断导数的正负，从而判断函数的单调性，逐项排除可得答案. 【解答过程】A选项：，时， 所以恒成立，则在区间上单调递增，A错误； B选项：，时， 所以恒成立，则在区间上单调递增，B错误； C选项，， 当时，，所以，是单调递增函数，C错误； D选项，， 时，则恒成立， 所以在区间上单调递减，D正确. 故选：D. 【变式1.1】（24-25高二下·安徽合肥·期末）函数在下面哪个区间上单调递增（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】先求出导函数，再一一分析各选项范围内导数正负情况即可得解. 【解答过程】由题得， 对于A，当时，当时， 所以函数在上单调递减，在上单调递增，故A不符合； 对于B，当时，当时， 所以函数在上单调递增，在上单调递减，故B不符合； 对于C，当时，所以函数在上单调递减，故C不符合； 对于D，当时，所以函数在上单调递增，故D符合； 故选：D. 【变式1.2】（24-25高二下·全国·课后作业）利用导数判断下列函数的单调性： (1)； (2)． 【答案】(1)在上单调递增 (2)在上单调递减 【解题思路】求导后，根据导函数的正负即可确定的单调性. 【解答过程】（1）的定义域为，， 令，则当时，， 则，即恒成立， 在上单调递增. （2），当时，，则， 在上单调递减. 【变式1.3】（24-25高二下·河北石家庄·月考）已知函数. (1)求的解析式； (2)判断在上的单调性. 【答案】(1) (2)在上的单调递减. 【解题思路】（1）先对求导，再将代入到函数可求出，进而求出的解析式； （2）先对求导，当时，，，所以恒成立，即可得出答案. 【解答过程】（1）因为，所以， 则，所以， 所以. （2）， 当时，，， 所以恒成立， 所以在上的单调递减. 【题型2 判断含参函数的单调性】 【例2】（2025高二·天津·专题练习）已知函数（，为自然对数的底数）. (1)若函数在点处的切线的斜率为，求实数的值； (2)当时，讨论函数的单调性； 【答案】(1)2 (2)答案见解析 【解题思路】（1）由，，求导，利用，解得； （2）求导，令，解得或0， 对分类讨论，利用导数研究出函数的单调性； 【解答过程】（1）由于，， ， 因为函数在点处的切线的斜率为， 所以，解得：； （2）依题意知，， 令，解得：或0， 当时，令得或，令得， 所以函数在，上单调递增，在上单调递减， 当时，令，得，令得或， 所以函数在，上单调递减，在上单调递增. 综上，当时，在，上单调递增，在上单调递减， 当时，在，上单调递减，在上单调递增. 【变式2.1】（25-26高三上·重庆·月考）已知函数. (1)讨论函数的单调性； (2)令，若函数的图象与相切，求的值. 【答案】(1)答案见解析 (2) 【解题思路】（1）求出导函数，按照和分类讨论判断的单调性即可； （2）由题意，求出导函数，设切点坐标为，利用列式求解即可. 【解答过程】（1）， ①当时，在上恒成立，所以在上单调递增； ②当时，，， 所以在上单调递减，在上单调递增. 故当时， 在上单调递增； 当时， 在上单调递减，在上单调递增. （2），设切点坐标为， 则，消去得， 因为在上单调递增， 所以在上单调递增， 又，所以，所以，解得. 【变式2.2】（25-26高三上·甘肃·月考）已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)讨论的单调性． 【答案】(1) (2)答案见解析 【解题思路】（1）将代入，利用导数的几何意义求解即可； （2）求导得，分和求解即可. 【解答过程】（1）当时，，． ，． 曲线在点处的切线方程为． （2）． 当时，，是增函数． 当时，令，解得． 当时，；当，． 所以在上单调递减，在上单调递增． 综上，当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增． 【变式2.3】（24-25高二下·四川资阳·月考）已知函数． (1)当时，求的单调区间； (2)讨论的单调性． 【答案】(1)函数单调递减区间为，单调递增区间为 (2)答案见解析 【解题思路】（1）利用求导并因式分解，再结合定义域，即可由导数的正负确定函数的单调区间； （2）利用求导，再通过对参数的分类讨论，来决定导数的正负，从而确定函数的单调区间. 【解答过程】（1）由，可得， 因为定义域，所以由，解得， ，解得， 即在上单调递减，在上单调递增． （2）由函数的定义域为，且， 若，令，解得， 当时，，当时，， 所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为． 若，令，解得或， ①若，即时， 当时，，当时，， 所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为． ②若，即时， 当时，，当时，，当时，， 所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为． ③若，即时，可得且等号不恒成立， 所以函数的单调递增区间为． ④若，即时，当时，，当时，，当时，， 所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为． 综上，当时，的单调递减区间为，单调递增区间为； 当时，的单调递减区间为，单调递增区间为； 当时，的单调递增区间为； 当时，的单调递减区间为，单调递增区间为． 【题型3 利用导数求函数的单调区间】 【例3】（24-25高二下·福建泉州·月考）函数的单调减区间为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】求导，令导数小于零求解． 【解答过程】函数的定义域为， ， 由得，所以的单调减区间为. 故选：D. 【变式3.1】（24-25高二下·福建莆田·期末）函数的单调递减区间为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】求导，即可求解. 【解答过程】由，得， 令，解得， 所以函数的单调递减区间为. 故选：B. 【变式3.2】（24-25高二下·广东深圳·期末）函数的单调递增区间是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】求出导函数，在定义域内解不等式可得单调递增区间. 【解答过程】因为，，所以对函数求导得：， 令，即，，， 解得， 因此函数的单调递增区间为． 故选：B. 【变式3.3】（24-25高二下·河北·期中）函数的单调递减区间为（    ） A． B． C．和 D．和 【答案】C 【解题思路】利用导数为负来判断递减区间，并注意分母不为0，即可作出判断. 【解答过程】由题意得，令，得且， 故函数的单调递减区间是和. 故选：C. 【题型4 由函数的单调性求参数】 【例4】（24-25高二上·浙江宁波·期中）若函数在上单调递增，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】求出导函数，根据单调性把问题转化为不等式恒成立，利用函数单调性求出最值即可 【解答过程】由，得， 又在上单调递增， 所以在上恒成立，即在上恒成立， 即在上恒成立，只需求出的最小值即可， 又在单调递减，所以，则， 所以，故. 故选：D. 【变式4.1】（24-25高二下·新疆·期末）若函数在上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】由题意得在上恒成立，再次转化为在上恒成立，从而可求出的取值范围. 【解答过程】由，得， 因为函数在上单调递增， 所以在上恒成立， 即在上恒成立，所以， 即的取值范围为. 故选：C. 【变式4.2】（24-25高二下·吉林长春·月考）已知函数 在上存在单调递减区间，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】对函数求导并根据其单调区间得出不等式，求得相应最小值可得结果. 【解答过程】由题意可知， 因为函数在上存在单调递减区间， 则在上有解，可得，所以． 令，则， 显然，可知函数单调递增，则， 即，所以实数的取值范围是． 故选：C. 【变式4.3】（24-25高二上·云南曲靖·月考）已知函数f(x)，满足在定义域内单调递减，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】由已知可得在上恒成立，利用给定单调性建立不等式并分离参数，构造函数并求出最小值，即可得出实数a的取值范围. 【解答过程】函数的定义域为，求导得. 由在定义域内单调递减，得在上恒成立， 即在上恒成立，而 因此当时，取得最小值，则， 因此实数a的取值范围是. 故选：D. 【题型5 函数与导函数图象之间的关系】 【例5】（24-25高二上·江苏南京·期末）若定义在上的函数的图象如图所示，则函数的增区间为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】由的图象，分类讨论，求得的符号，得到函数的递增区间，即可求解. 【解答过程】由函数的图象，可得： 当时，可得，所以，单调递减； 当时，可得，所以，单调递增； 当时，可得，所以，单调递减， 所以函数的单调递增区间为. 故选：B. 【变式5.1】（2025高三·全国·专题练习）设函数在定义域内可导，的图象如图所示，则导函数的图象可能是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据原函数图象，利用原函数递增；原函数递减可判断结果． 【解答过程】由原函数图象可得， 当时，原函数单调递增，导函数恒为正值； 当时，函数在上是先减后增再减，其导数值的符号为负、正、负； 结合选项可得，只有A选项满足. 故选：A． 【变式5.2】（24-25高二下·广东·月考）设函数的导函数为，若的图象如图所示，则的单调递减区间为（    ）    A．和 B． C．和 D．和 【答案】A 【解题思路】根据导数正负与单调性关系，结合图像逐个判断. 【解答过程】根据的图象可知，当时，， 当时，， 所以在内单调递减，在内单调递增， 故BCD错误，A正确. 故选：A. 【变式5.3】（24-25高二下·陕西西安·期中）函数的大致图象如图所示，设的导函数为，则的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据图像判断的正负及通过的单调性判断的正负，即可求解. 【解答过程】由函数的图象可知，当和时，； 当时，； 又由图可知当时，函数单调递增，则； 当时，函数单调递减，则， 所以的解集为． 故选：C. 【题型6 函数单调性的应用——比较大小】 【例6】（24-25高二下·宁夏·期中）已知，（为自然对数的底数），，则，，的大小关系为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】令，利用导函数求出的单调性进而比较大小即可. 【解答过程】令，则， 令解得，所以当时，，单调递增，当时，，单调递减， 因为，，， 而，所以，即， 故选：B. 【变式6.1】（24-25高二下·湖北孝感·月考）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】通过构造函数并利用导数判断函数单调性，结合单调性比较大小. 【解答过程】，，. 设，，则， 因此在内单调递增，而，所以在内. 故，进而，即. 设，，则，因此在内单调递增，而，所以在内. 故，进而，即. 故. 故选：A. 【变式6.2】（24-25高二下·广西河池·月考）已知，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】通过构造函数，利用函数的单调性来比较、、的大小. 【解答过程】设，对其求导，可得. 令，即，因为恒成立，所以，解得. 当时，，，函数单调递增； 当时，，，函数单调递减. 已知，，. 因为，且在上单调递增，在上单调递减，所以，. 又因为，，且在上单调递减，，所以，即. 综上可得，即. 、、的大小关系为. 故选：A. 【变式6.3】（24-25高三上·江西南昌·期中）已知则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】构造函数以及，利用导数求解单调性，即可比较以及. 【解答过程】由题得， 构造函数，则， 所以在上单调递减，所以， 所以，即，所以. 构造函数，则， 所以在上单调递增，所以， 所以，即，所以. 综上，. 故选：B. 【题型7 函数单调性的应用——解不等式】 【例7】（24-25高二下·广东东莞·期中）定义在上的奇函数，其导函数为，，当时，，则使得成立的的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】构造，利用导数结合奇偶性判断其单调性，再将合理转化并分类讨论，求解的取值范围即可. 【解答过程】设，则， 由于当时，， 则当时，，在单调递减， 又为奇函数，， 则，则函数为偶函数， 由偶函数性质可得函数在上单调递增，又，则， 当时，由，可得，即，解得； 当时，由，可得，即，解得； 综上，不等式的解集为，故D正确. 故选：D． 【变式7.1】（2025高二上·全国·专题练习）奇函数和偶函数的定义域均为，当时，，则不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】构造函数，根据函数的奇偶性和导数情况得出该函数的单调性，再结合即可分析求解. 【解答过程】令, 则， 所以为奇函数，故. 因为当时，， 所以当时，， 故在上单调递增. 因为为奇函数，所以在上也单调递增. 又， 所以当时， 当时， 所以不等式的解集为. 故选：A. 【变式7.2】（24-25高二下·浙江杭州·期末）已知函数的定义域为，，若对任意，都有，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据给定条件，构造函数，利用导数确定单调性即可求解不等式. 【解答过程】即，即 令， 则， 依题意，，即， 因此，，可得在上单调递减， 又因为， 所以等价于，由单调性可得，即. 故选：B. 【变式7.3】（24-25高二下·天津南开·期末）已知函数与其导函数的定义域均为，且，则，不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】构造函数，通过求导结合条件分析的单调性，由可得，将所求不等式转化为，利用单调性可得答案. 【解答过程】令，则， 因为， 所以当时，，，在上为增函数， 当时，，，在上为减函数， 因为，所以， 所以，故， 因为等价于，等价于， 所以，故，即不等式的解集是. 故选：B. 一、单选题 1．（2025高二·全国·专题练习）函数的单调增区间为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据函数的导数大于0可得增区间. 【解答过程】因为，. 则， 由，解得，此时单调递增. 故选：B. 2．（2025·黑龙江齐齐哈尔·二模）函数在上单调递增的必要不充分条件为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】由函数在上单调递增，则在上恒成立，再根据二次函数恒成立的等价条件求解即可. 【解答过程】由函数在上单调递增，得在上恒成立， 则，解得， 因此A是充分条件，B是充要条件，C是既不充分也不必要条件，D是必要不充分条件. 故选：D. 3．（24-25高二下·江苏南通·月考）已知函数的导函数的图象如图所示，则该函数的图象可能是（    ）    A．   B．   C．   D．   【答案】B 【解题思路】根据导函数的正负确定原函数的单调性，即可结合图形求解. 【解答过程】由的图象可知：当和时，，故在单调递减， 当和时，，故在，单调递增， 故B正确， 故选：B. 4．（24-25高二下·湖北孝感·月考）若函数在定义域内的一个子区间上不是单调函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】求出定义域，得到，求导，得到函数单调性，极值情况，时，，满足要求，时，需满足在内，从而得到不等式，求出答案. 【解答过程】函数的定义域为，故需满足，故， ， ，解得，，解得， 故在上单调递减，在上单调递增， 故时，函数取得极小值. 当时，，函数在上单调递减，在上单调递增，满足题意； 当时，函数在其定义域的一个子区间内不是单调函数， 在内， 即，即，即， 此时，综上. 故选：B. 5．（25-26高二上·江苏南京·月考）已知，，，则、、的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】构造函数，利用导数分析函数的单调性，可得出，，，结合函数的单调性可得出、、的大小关系. 【解答过程】根据式子结构，构造函数，则， 令，则，令，得， 因此在单调递增，在单调递减， 而，，， 因为，所以，即 故选：D. 6．（24-25高二下·山东济南·期末）定义在上的函数的导函数为，若，则的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据给定条件，构造函数并利用导数确定单调性，再求解不等式即得. 【解答过程】令函数，求导得，而， 则，函数在上单调递增，又，则， 不等式，解得， 所以所求解集为. 故选：D. 7．（25-26高三上·湖南永州·开学考试）函数在下列区间上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】先求出，再分析各项中的的符号，进而即可得到答案． 【解答过程】由，则， 对于选项A，当时，，此时， 当时，，此时， 所以该函数在区间上单调递减，在区间上单调递增， 所以该函数在区间上不是单调递增，故A错误； 对于选项B，当时，，此时， 所以该函数在区间上单调递增，故B正确； 对于选项C，当时，，此时， 当时，，此时， 所以该函数在区间上单调递增，在区间上单调递减， 所以该函数在区间上不是单调递增，故C错误； 对于选项D，当时，，此时， 所以该函数在区间上单调递减，故D错误． 故选：B． 8．（24-25高二下·湖南衡阳·期末）定义在上的函数的导函数为，且满足，，，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据题意，可得，单调递增，，单调递减，所以，，，，从而对各个选项分别进行求解即可. 【解答过程】根据题意，定义在上的函数的导函数满足， 所以，， 令，，则，， 所以单调递增，单调递减， 又，， 所以，，，， 因为单调递增，单调递减， 所以，， 又，所以，故A错误； 同理，，， 所以，故B错误； ，所以，故C正确； ，， 所以，故D错误. 故选：C. 二、多选题 9．（2025高二·全国·专题练习）（多选）已知函数，则其单调递减区间可以为（   ） A． B． C． D． 【答案】CD 【解题思路】先求函数定义域，求导，令导数小于，得到函数递减区间，看选项是否符合即可. 【解答过程】函数的定义域为， 对求导得：，令得且, 即函数在和内单调递减. 对A、B、C、D选项，只有C、D选项符合条件， 故选：CD. 10．（24-25高二下·四川资阳·月考）已知函数存在单调递减区间，则实数的取值可以是（ ） A．-1 B．1 C．-2 D．2 【答案】BD 【解题思路】先对函数进行求导，再根据导数小于零有解来确定的取值范围即可. 【解答过程】的定义域为，， 函数存在单调递减区间， 在上有解，即在上有解， 令， 故，结合选项可知，B ， D正确；A ， C错误. 故选：BD. 11．（24-25高二下·云南玉溪·期末）已知定义在上的函数，其导函数为，满足，为自然对数的底数，则（   ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【解题思路】由题意构建函数，根据导数与函数单调性的关系，可得答案. 【解答过程】令，由题可知在上可导，， 当时，，在上单调递增； 由，得，故A不正确； 由，得，故B正确； 由，得，故C正确； 由，得，故D正确， 故选：BCD. 三、填空题 12．（25-26高二上·上海·月考）已知函数，则的单调增区间为 . 【答案】 【解题思路】求出函数的定义域，利用导数求出函数的单调增区间. 【解答过程】由，得. 所以函数的定义域为. . 因为，所以不等式恒成立. 因为，所以恒成立，所以是增函数. 所以的单调增区间是. 故答案为：. 13．（25-26高二上·云南玉溪·月考）已知函数在上单调递减，则实数a的最小整数是 . 【答案】5 【解题思路】由题意在上恒成立，再参变分离求导分析单调性求解最值即可. 【解答过程】由题意得的定义域为. 在上恒成立，即在上恒成立. 设，则 ，. 当时，， 所以在上单调递增，所以，所以， 即实数a的最小整数是5. 故答案为：5. 14．（25-26高三上·山西大同·月考）已知函数是定义域为的奇函数，是的导函数，，当时，，则不等式的解集为 ． 【答案】 【解题思路】构造函数并求导，结合已知条件得出在上的单调性，利用奇函数的定义得出为偶函数，从而得出在上的单调性，利用，得出，最后结合函数奇偶性和单调性讨论得出的解集． 【解答过程】令，则， 已知当时，，， ，故在上单调递增． 是定义域为的奇函数， ， ， 是定义域上的偶函数， 在定义域上单调递减． ，， 当时，，，则； 当时，，，则； 当时，，，则； 当时，，，则． 不等式的解集为． 故答案为：． 四、解答题 15．（25-26高二上·湖南长沙·月考）已知函数在点处的切线与直线垂直. (1)求实数的值； (2)求的单调区间. 【答案】(1) (2)的递增区间为、，递减区间为 【解题思路】（1）求导，根据两直线垂直得到切线斜率，由导数几何意义得到方程，求出； （2）求定义域，求导，得到不等式，求出单调区间. 【解答过程】（1）， 则， 由题意可得， 解得. （2）由，故，定义域， 则，， 由0得到，1. 故当时，，当时，，当时，， 故的递增区间为、，的递减区间为. 16．（24-25高二下·贵州六盘水·期末）设函数. (1)求的定义域，并证明：； (2)讨论的单调性，并比较与的大小. 【答案】(1)；证明见解析； (2)函数在区间上单调递减；在区间上单调递增； 【解题思路】（1）根据分式对数式的要求可求函数的定义域，把代入解析式化简即可证明； （2）先求导根据导数的正负去求函数的单调性，利用单调性及去比较大小. 【解答过程】（1）因为中，中，综合可得得定义域为， ； （2）因为，所以 令，即，所以，故， 当时，，，，所以， 当时，，，，所以， 所以函数在区间上单调递减；在区间上单调递增； 因为，且在区间上单调递增； 所以，又因为，所以， 所以. 17．（25-26高三上·河北石家庄·月考）已知函数. (1)若在上单调递减，求实数的取值范围； (2)若在上存在单调递减区间，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）函数在上单调递减，转化为恒成立，进而用分离参数法求出实数a的取值范围； （2）由在上存在单调递减区间，得到有解，用分离参数法求出实数a的取值范围． 【解答过程】（1），， ∵在上单调递减， ∴当时，恒成立，即恒成立， ∵，时， ∴当，即时，取最大值， ∴，又， ∴实数a的取值范围是． （2）∵在上存在单调递减区间， ∴当时，有解，即有解， ∵，时， ∴当，即时，取最小值， ∴，又， ∴实数a的取值范围是． 18．（24-25高二下·云南玉溪·期中）已知函数的图象在处的切线与直线平行，其中为常数. (1)求的值； (2)求不等式的解集. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据题意，在处的切线的斜率等于，据此求解； （2）利用导数判断的单调性，进而利用单调性解不等式. 【解答过程】（1）， 在处的切线与直线平行， ， （2）函数的定义域为， 和都大于0，可得 又 所以在上单调递减                又  所以，解得：或 因此原不等式的解集为． 19．（25-26高二上·江苏南通·月考）已知函数，. (1)若曲线在处的切线与直线垂直，求的值； (2)讨论的单调性. 【答案】(1) (2)答案见解析 【解题思路】（1）利用导数的几何意义得，再结合条件得，即可求解； （2）由，分和两种情况，利用导数与函数的单调性间的关系，即可求解. 【解答过程】（1）因为，则， 又曲线在处的切线与直线垂直，则，解得. （2）易知，又， 当时，恒成立，在上单调递增， 当时，令，得到（舍）或， 当时，，当时，， 所以在区间上单调递减，在区间上单调递增， 综上所述，当时，在上单调递增； 当时，在区间上单调递减，在区间上单调递增. 第 1 页 共 23 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第06讲 导数与函数的单调性 【人教A版】 模块一 函数的单调性 1．函数单调性和导数的关系 (1)函数的单调性与导函数f'(x)的正负之间的关系 ①单调递增：在某个区间(a,b)上，如果f'(x)>0，那么函数y=f(x)在区间(a, b) 上单调递增； ②单调递减：在某个区间(a,b)上，如果f'(x)<0，那么函数y=f(x)在区间(a,b)上单调递减. ③如果在某个区间(a,b)内恒有f'(x)=0，那么函数y=f(x)在这个区间上是一个常数函数. (2)函数值变化快慢与导数的关系 一般地，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么在这个范围内函数值变化得快，这时， 函数的图象就比较“陡峭”(向上或向下)；如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较小，那么在这个范围内函数值变化得慢，函数的图象就“平缓”一些. 常见的对应情况如下表所示. 图象 f'(x)变化规律 f'(x)>0 且越来越大 f'(x)>0 且越来越小 f'(x)<0 且越来越小 f'(x)<0 且越来越大 函数值变化规律 函数值增加 得越来越快 函数值增加 得越来越慢 函数值减小 得越来越快 函数值减小 得越来越慢 2．确定函数单调区间的步骤： (1)确定函数f(x)的定义域； (2)求f'(x)； (3)解不等式f'(x)>0，解集在定义域内的部分为单调递增区间； (4)解不等式f'(x)<0，解集在定义域内的部分为单调递减区间. 3．根据函数单调性求参数的一般思路： (1)利用集合间的包含关系处理：y=f(x)在(a,b)上单调，则区间(a,b)是相应单调区间的子集. (2)f(x)为增(减)函数的充要条件是对任意的x∈(a,b)都有f'(x)≥0(f'(x)≤0)，且在(a,b)内的任一非空子区间上，f'(x)不恒为零，应注意此时式子中的等号不能省略，否则会漏解. (3)函数在某个区间上存在单调区间可转化为不等式有解问题. 4．导数中函数单调性的应用 (1)比较大小：利用导数比较大小，其关键在于利用题目条件构造辅助函数，把比较大小的问题转化为先利用导数研究函数的单调性，进而根据单调性比较大小. (2)解不等式：与抽象函数有关的不等式，要充分挖掘条件关系，恰当构造函数；题目中若存在f(x)与f'(x)的不等关系时，常构造含f(x)与另一函数的积(或商)的函数，与题设形成解题链条，利用导数研究新函数的单调性，从而求解不等式. 【题型1 判断不含参函数的单调性】 【例1】（24-25高二下·安徽亳州·期末）下列函数在区间上单调递减的是（   ） A． B． C． D． 【变式1.1】（24-25高二下·安徽合肥·期末）函数在下面哪个区间上单调递增（   ） A． B． C． D． 【变式1.2】（24-25高二下·全国·课后作业）利用导数判断下列函数的单调性： (1)； (2)． 【变式1.3】（24-25高二下·河北石家庄·月考）已知函数. (1)求的解析式； (2)判断在上的单调性. 【题型2 判断含参函数的单调性】 【例2】（2025高二·天津·专题练习）已知函数（，为自然对数的底数）. (1)若函数在点处的切线的斜率为，求实数的值； (2)当时，讨论函数的单调性； 【变式2.1】（25-26高三上·重庆·月考）已知函数. (1)讨论函数的单调性； (2)令，若函数的图象与相切，求的值. 【变式2.2】（25-26高三上·甘肃·月考）已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)讨论的单调性． 【变式2.3】（24-25高二下·四川资阳·月考）已知函数． (1)当时，求的单调区间； (2)讨论的单调性． 【题型3 利用导数求函数的单调区间】 【例3】（24-25高二下·福建泉州·月考）函数的单调减区间为（   ） A． B． C． D． 【变式3.1】（24-25高二下·福建莆田·期末）函数的单调递减区间为（   ） A． B． C． D． 【变式3.2】（24-25高二下·广东深圳·期末）函数的单调递增区间是（   ） A． B． C． D． 【变式3.3】（24-25高二下·河北·期中）函数的单调递减区间为（    ） A． B． C．和 D．和 【题型4 由函数的单调性求参数】 【例4】（24-25高二上·浙江宁波·期中）若函数在上单调递增，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【变式4.1】（24-25高二下·新疆·期末）若函数在上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式4.2】（24-25高二下·吉林长春·月考）已知函数 在上存在单调递减区间，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式4.3】（24-25高二上·云南曲靖·月考）已知函数f(x)，满足在定义域内单调递减，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【题型5 函数与导函数图象之间的关系】 【例5】（24-25高二上·江苏南京·期末）若定义在上的函数的图象如图所示，则函数的增区间为（   ） A． B． C． D． 【变式5.1】（2025高三·全国·专题练习）设函数在定义域内可导，的图象如图所示，则导函数的图象可能是（ ） A． B． C． D． 【变式5.2】（24-25高二下·广东·月考）设函数的导函数为，若的图象如图所示，则的单调递减区间为（    ）    A．和 B． C．和 D．和 【变式5.3】（24-25高二下·陕西西安·期中）函数的大致图象如图所示，设的导函数为，则的解集为（   ） A． B． C． D． 【题型6 函数单调性的应用——比较大小】 【例6】（24-25高二下·宁夏·期中）已知，（为自然对数的底数），，则，，的大小关系为（ ） A． B． C． D． 【变式6.1】（24-25高二下·湖北孝感·月考）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【变式6.2】（24-25高二下·广西河池·月考）已知，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【变式6.3】（24-25高三上·江西南昌·期中）已知则（ ） A． B． C． D． 【题型7 函数单调性的应用——解不等式】 【例7】（24-25高二下·广东东莞·期中）定义在上的奇函数，其导函数为，，当时，，则使得成立的的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式7.1】（2025高二上·全国·专题练习）奇函数和偶函数的定义域均为，当时，，则不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 【变式7.2】（24-25高二下·浙江杭州·期末）已知函数的定义域为，，若对任意，都有，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【变式7.3】（24-25高二下·天津南开·期末）已知函数与其导函数的定义域均为，且，则，不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 一、单选题 1．（2025高二·全国·专题练习）函数的单调增区间为（   ） A． B． C． D． 2．（2025·黑龙江齐齐哈尔·二模）函数在上单调递增的必要不充分条件为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高二下·江苏南通·月考）已知函数的导函数的图象如图所示，则该函数的图象可能是（    ）    A．   B．   C．   D．   4．（24-25高二下·湖北孝感·月考）若函数在定义域内的一个子区间上不是单调函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高二上·江苏南京·月考）已知，，，则、、的大小关系为（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高二下·山东济南·期末）定义在上的函数的导函数为，若，则的解集为（   ） A． B． C． D． 7．（25-26高三上·湖南永州·开学考试）函数在下列区间上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 8．（24-25高二下·湖南衡阳·期末）定义在上的函数的导函数为，且满足，，，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（2025高二·全国·专题练习）（多选）已知函数，则其单调递减区间可以为（   ） A． B． C． D． 10．（24-25高二下·四川资阳·月考）已知函数存在单调递减区间，则实数的取值可以是（ ） A．-1 B．1 C．-2 D．2 11．（24-25高二下·云南玉溪·期末）已知定义在上的函数，其导函数为，满足，为自然对数的底数，则（   ） A． B． C． D． 三、填空题 12．（25-26高二上·上海·月考）已知函数，则的单调增区间为 . 13．（25-26高二上·云南玉溪·月考）已知函数在上单调递减，则实数a的最小整数是 . 14．（25-26高三上·山西大同·月考）已知函数是定义域为的奇函数，是的导函数，，当时，，则不等式的解集为 ． 四、解答题 15．（25-26高二上·湖南长沙·月考）已知函数在点处的切线与直线垂直. (1)求实数的值； (2)求的单调区间. 16．（24-25高二下·贵州六盘水·期末）设函数. (1)求的定义域，并证明：； (2)讨论的单调性，并比较与的大小. 17．（25-26高三上·河北石家庄·月考）已知函数. (1)若在上单调递减，求实数的取值范围； (2)若在上存在单调递减区间，求实数的取值范围. 18．（24-25高二下·云南玉溪·期中）已知函数的图象在处的切线与直线平行，其中为常数. (1)求的值； (2)求不等式的解集. 19．（25-26高二上·江苏南通·月考）已知函数，. (1)若曲线在处的切线与直线垂直，求的值； (2)讨论的单调性. 第 1 页 共 23 页 学科网（北京）股份有限公司 $