第04讲 一元一次不等式 单元综合检测（重点）-【帮课堂】2024-2025学年七年级数学下册同步学与练（沪教版2024）

第04讲 一元一次不等式 单元综合检测（重点） 一、单选题 1．在下列数学表达式中∶⑤．不等式的个数是（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 2．如果a＞b，那么下列不等式一定成立的是（　　） A．a﹣b＜0 B．﹣a＞﹣b C．a＜b D．2a＞2b 3．3是下列哪个不等式的解（    ） A． B． C． D． 4．在数轴上表示不等式﹣1≤x＜3，正确的是（　　） A． B． C． D． 5．如图，三人分别坐在质地均匀且到中心点O距离相等的跷跷板上，则表示三人体重A，B，C的大小关系正确的是（   ） A． B． C． D． 6．在解不等式的过程中，出现错误的一步是(      ) 去分母，得① 去括号，得② 移项，得③ ∴④ A．① B．② C．③ D．④ 7．不等式的最大整数解为（    ） A． B． C． D． 8．若关于x的方程的解是非正数，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 9．学校需要购进一批羽毛球拍和羽毛球，学校的预算经费是3300元，已知一副羽毛球拍的单价是90元，一盒羽毛球的单价是20元，购买30副羽毛球拍后，最多还能购买多少盒羽毛球？设还能购买x盒羽毛球，则下列不等式中正确的是（   ） A． B． C． D． 10．若关于x的一元一次不等式组的解集为x＞1，则a的取值范围是（　　） A．a>1 B．a≤1 C．a<1 D．a≥1 二、填空题 11．若是关于的一元一次不等式，则 ． 12．不等式组的解集为 ． 13．若不等式（m﹣3）x＞m﹣3，两边同除以（m﹣3），得x＞1，则m的取值范围为 ． 14．代数式的值不小于代数式的值，则的取值范围是 ． 15．请在空格里填上合适的内容：下列判断中，①若，则；②若，则；③若，则；④若，则；⑤若，则．正确的有 ．（填序号） 16．将一筐橘子分给若干个儿童，如果每人分4个橘子，则剩下9个橘子；如果每人分7个橘子，则最后一个儿童分得的橘子数将少于3个，由以上可推出，共有 个儿童，分 个橘子． 17．若不等式组无解，则a的取值范围是 ． 18．已知关于的方程组，其中给出下列命题：①是方程组的解；②当时，的值互为相反数；③当时，方程组的解也是方程的解；④若，则．其中正确命题的序号是 ． 三、解答题 19．用不等式表示： (1)a与2的和是正数． (2)x与y的差小于3． (3)x，y两数和的平方不小于4． (4)x的一半与y的2倍的和是非负数． 20．解不等式（组）： (1) (2) 21．（1）解不等式，并把解集在数轴上表示出来． （2）解下列不等式组，并写出它的所有整数解． 22．解不等式：． 去分母，得． (1)“去分母”这一步的变形依据是_______（填“A”或“B”）． A．不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变． B．不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变． (2)请完成上述解不等式的余下步骤． 23．一次智力测验，有20道选择题，评分标准为：对一题给5分，错一题扣2分，不答题不给分也不扣分，小明有一道题未答，则他至少要答对几道题，总分才不会低于70分？ 24．（1）如果，那么 ；如果，那么 ；如果，那么 ． （2）请利用（1）中的方法比较下列整式的大小：①和②和 25．小明早上七点骑自行车从家出发，以每小时18千米的速度到距家7千米的学校上课，行至距学校1千米的地方时，自行车突然发生故障，小明只得改为步行前往学校，如果他想在7点30分赶到学校，那么他每小时步行的速度至少是多少千米？ 26．已知关于、的方程组 (1)若此方程组的解也是方程的解，求常数的值． (2)若方程组的解为正数，为负数，求的取值范围． (3)在（2）的条件下，设，求的取值范围． 27．某市为了提升菜篮子工程质量，计划用大、中型车辆共辆调拨不超过吨蔬菜和吨肉制品补充当地市场．已知一辆大型车可运蔬菜吨和肉制品吨；一辆中型车可运蔬菜吨和肉制品吨． （1）符合题意的运输方案有几种？请你帮助设计出来； （2）若一辆大型车的运费是元，一辆中型车的运费为元，试说明中哪种运输方案费用最低？最低费用是多少元？ 28．【定义】若一元一次方程的解在一元一次不等式组的解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“子方程”．例如：的解为的解集为，不难发现在的范围内，所以是的“子方程”． 【问题解决】（1）在方程①，②，③中，不等式组的“子方程”是______（填序号）； （2）若关于的方程是不等式组的“子方程”，求的取值范围； （3）若方程是关于的不等式组的“子方程”，直接写出的取值范围． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第04讲 一元一次不等式 单元综合检测（重点） 一、单选题 1．在下列数学表达式中∶⑤．不等式的个数是（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】由不等号，，，，连接的式子叫不等式．本题考查了不等式的定义，熟练掌握不等式的定义是解题的关键． 【解析】解：不等式有：①；②；④；⑤； ∴共有4个． 故选：C． 2．如果a＞b，那么下列不等式一定成立的是（　　） A．a﹣b＜0 B．﹣a＞﹣b C．a＜b D．2a＞2b 【答案】D 【解析】根据不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变，不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．主要考查了不等式的基本性质．“0”是很特殊的一个数，因此，解答不等式的问题时，应密切关注“0”存在与否，以防掉进“0”的陷阱．不等式的基本性质：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变，不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．易得D. 故选D. 3．3是下列哪个不等式的解（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查解一元一次不等式，将选项中的不等式解出，即可判断3为哪个不等式的解．熟练掌握一元一次不等式的解法是解题的关键． 【解析】A、，解得：，故该选项不符合题意； B、，解得：，故该选项符合题意； C、，解得：，故该选项不符合题意； D、，解得：，故该选项不符合题意； 故选：A． 4．在数轴上表示不等式﹣1≤x＜3，正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】把不等式组的解集在数轴上表示出来即可． 【解析】解：∵﹣1≤x＜3， ∴在数轴上表示为： 故选：D． 【点睛】本题考查了在数轴上表示不等式的解集，熟知“小于向左，大于向右”的法则是解题的关键． 5．如图，三人分别坐在质地均匀且到中心点O距离相等的跷跷板上，则表示三人体重A，B，C的大小关系正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了不等式的性质和应用，根据图示，可得，据此判断出三人体重A，B，C的大小关系即可． 【解析】解：根据图示，可得， ∴． 故选：C． 6．在解不等式的过程中，出现错误的一步是(      ) 去分母，得① 去括号，得② 移项，得③ ∴④ A．① B．② C．③ D．④ 【答案】D 【分析】本题考查了一元一次不等式的解法，熟练掌握解一元一次不等式的步骤是解答本题的关键．去括号时，不要漏乘没有分母的项；系数化为1时，如果未知数的系数是负数，则不等号的方向要改变，如果系数是正数，则不等号的方不变．按照去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤逐项分析即可． 【解析】解：， 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：， ∴出现错误的一步是④． 故选：D． 7．不等式的最大整数解为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查解不等式的方法步骤，熟练掌握解不等式的方法步骤是解题关键．先将不等式进行求解，然后根据解集即可得出最大整数解． 【解析】解： 移项，合并同类项得： 系数化为1得： ∴不等式的最大整数解是， 故选：C． 8．若关于x的方程的解是非正数，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了解一元一次方程和解一元一次不等式，熟练掌握解方程和不等式的方法是解题的关键．先解一元一次方程，再根据题意构建一元一次不等式，最后解不等式即可． 【解析】∵， ∴， ∵关于x的方程的解是非正数， ∴， 解得， 故选：D． 9．学校需要购进一批羽毛球拍和羽毛球，学校的预算经费是3300元，已知一副羽毛球拍的单价是90元，一盒羽毛球的单价是20元，购买30副羽毛球拍后，最多还能购买多少盒羽毛球？设还能购买x盒羽毛球，则下列不等式中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，读懂题意，正确列出不等式是解题的关键． 根据羽毛球的单价和个数，一盒羽毛球的单价和个数，以及总经费即可列出不等式． 【解析】解：根据题意得，． 故选：B． 10．若关于x的一元一次不等式组的解集为x＞1，则a的取值范围是（　　） A．a>1 B．a≤1 C．a<1 D．a≥1 【答案】B 【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大可得答案． 【解析】解：解不等式2x-5＞x-4，得：x＞1， ∵不等式组的解集为x＞1， ∴a≤1， 故选：B． 【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 二、填空题 11．若是关于的一元一次不等式，则 ． 【答案】 【分析】本题考查一元一次不等式的定义，根据一元一次不等式的定义可得且，据此求解即可，掌握一元一次不等式的定义是解题的关键． 【解析】解：∵是关于的一元一次不等式， ∴且， 解得， 故答案为：． 12．不等式组的解集为 ． 【答案】 【分析】分别求出不等式组中两个不等式的解集，再求出其公共部分即可． 【解析】解：， 由①得，x＜7； 由②得，x≥； 根据小大大小中间找的原则，不等式组的解集为． 故答案为： 【点睛】此题主要考查了解一元一次不等式组，要遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了． 13．若不等式（m﹣3）x＞m﹣3，两边同除以（m﹣3），得x＞1，则m的取值范围为 ． 【答案】m>3 【分析】由不等式的基本性质知 ，据此可得答案． 【解析】解：若不等式 ，两边同除以 ，得 ， 则 ， 解得． 故答案为： ． 【点睛】本题考查了解一元一次不等式，解题的关键是掌握不等式的基本性质． 14．代数式的值不小于代数式的值，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据题意列出不等式，依据解不等式得基本步骤求解可得． 【解析】解：由题意得， 解得， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查解不等式，熟练掌握解一元一次不等式的基本步骤是解题的关键． 15．请在空格里填上合适的内容：下列判断中，①若，则；②若，则；③若，则；④若，则；⑤若，则．正确的有 ．（填序号） 【答案】①②⑤ 【分析】根据不等式的性质：两边同时乘以或除以一个正数，不等式的方向不改变；两边同时除以或乘以一个负数，不等式方向改变；两边同时加上或减去一个数，不等式仍然成立，进行逐一判断即可得到答案． 【解析】解：①若，则，则，此说法正确； ②若，则，此说法正确； ③若，当，时不能得到，此说法错误； ④若，当c=1时则，此说法错误； ⑤若，则，此说法正确． 故答案为：①②⑤ ． 【点睛】本题主要考查了不等式的性质，解题的关键在于能够熟练掌握不等式的性质． 16．将一筐橘子分给若干个儿童，如果每人分4个橘子，则剩下9个橘子；如果每人分7个橘子，则最后一个儿童分得的橘子数将少于3个，由以上可推出，共有 个儿童，分 个橘子． 【答案】 5 29 【分析】如果每人分4个橘子，则剩下9个橘子，可设有x个儿童，则橘子数有：4x+9；每人分7个橘子，则最后一个儿童分得的橘子数将少于3个，即橘子总数小于7（x-1）+3，就可以列出不等式，得出x的取值范围． 【解析】解：设共有x个儿童，则共有4x+9个橘子， , 解得＜x≤5， 所以共有5个儿童，4x+9=29个橘子， 故答案是：5，29． 【点睛】考查了一元一次不等式组的应用．要注意不等式两边同时除以一个负数不等号的方向要改变．正确理解“最后一个儿童分得的橘子数少于3个”这句话包含的不等关系是解决本题的关键． 17．若不等式组无解，则a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组．掌握求不等式组的解集的方法：同大取大，同小取小，大小小大中间跨，大大小小无处找．要求出a的值，首先分别求出这两个不等式解，最后根据不等式组无解的情况来确定a的值． 【解析】解： 解①式得：， 解②式得：， ∵若不等式组无解， ∴， 解得：． 故答案为：． 18．已知关于的方程组，其中给出下列命题：①是方程组的解；②当时，的值互为相反数；③当时，方程组的解也是方程的解；④若，则．其中正确命题的序号是 ． 【答案】②③④ 【分析】①将代入方程组求出a值即可；②将a=0代入方程组，求出x，y值即可判断；③将a=-1代入方程组，求出x，y值即可判断；④求出方程组的解，根据x，a的范围得到，再利用不等式的性质判断即可． 【解析】解：①将代入方程组得：， 解得：a=3，不在取值范围内，故错误； ②当a=0时，， 解得：，即x+y=0，即x，y互为相反数，故正确； ③当a=-1时，，， 解方程组得：，满足x+y=-4，故正确； ④解得：， ∵， ∴， 解得：， ∴， ∴，即，故正确； 故答案为：②③④． 【点睛】本题考查了解二元一次方程组，二元一次方程组的解，解不等式等知识点，属于基础知识，解题的关键是熟练掌握二元一次方程组的解法． 三、解答题 19．用不等式表示： (1)a与2的和是正数． (2)x与y的差小于3． (3)x，y两数和的平方不小于4． (4)x的一半与y的2倍的和是非负数． 【答案】(1)a+2＞0 (2)x-y＜3 (3)(x+y)2≥4 (4)x+2y≥0 【分析】结合不等式的定义以及题意列不等式即可． 【解析】（1）因为正数都大于0， 所以“a与2的和是正数”可表示为：a+2＞0 （2）“x与y的差小于3”可表示为：x-y＜3 （3）因为“不小于3”就是“大于或等于”， 所以“x，y两数和的平方不小于4”可表示为：(x+y)2≥4 （4）因为“非负数”就是“正数或0”， 所以“x的一半与y的2倍的和是非负数”可表示为：x+2y≥0 【点睛】本题考查了列不等式，用符号“＜”或“＞”表示大小关系的式子，叫做不等式． 如，像这样用符号“≠”表示不等关系的式子也是不等式．注意①常见的符号有“＞、＜、≠、≥、≤”，分别读作“大于、小于、不等于、大于或等于、小于或等于”． 其中“≥”又读作“不小于”，“≤”又读作“不大于”．②在不等式“”或“”中，a叫不等式的左边，b叫不等式的右边．③在列不等式时，一定要注意表示不等式关系的关键词，如：正数、非负数、不大于、至少等． 20．解不等式（组）： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组和解一元一次不等式，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． （1）不等式移项合并，把x系数化为1，即可求出解； （2）分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可． 【解析】（1）解： 解得； （2）解： 解不等式①得， 解不等式②得， ∴不等式组的解集为：． 21．（1）解不等式，并把解集在数轴上表示出来． （2）解下列不等式组，并写出它的所有整数解． 【答案】（1），在数轴上表示见解析；（2），所有整数解为1，2，3． 【分析】难题考查解一元一次不等式，解一元一次不等式组，在数轴上表示解集，求不等式组的整数解．掌握解一元一次不等式和一元一次不等式组的步骤是解题关键． （1）根据解一元一次不等式的步骤即可求解，再在数轴上表示即可； （2）分别解出每个不等式，再根据“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到”的原则确定其解集，最后找出其中的整数即可． 【解析】解：（1）， 去分母，得：， 移项，合并同类项，得：， 系数化为1，得：， 在数轴上表示解集如下． （2）， 解不等式①，得：， 解不等式②，得：， ∴原不等式组的解集为， ∴它的所有整数解为1，2，3． 22．解不等式：． 去分母，得． (1)“去分母”这一步的变形依据是_______（填“A”或“B”）． A．不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变． B．不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变． (2)请完成上述解不等式的余下步骤． 【答案】(1)A (2) 【分析】本题考查了解一元一次不等式、不等式的性质，熟练掌握一元一次不等式的解法是解题关键． （1）根据题干的解题过程，去分母这步骤，是不等式两边同时乘上，据此作答即可； （2）先去括号，再移项，合并同类项，系数化1，即可作答． 【解析】（1）解：依题意，去分母这步骤，是不等式两边同时乘上， 故答案为：A． （2）解：依题意，去括号得， 移项得， 合并同类项，得， 系数化1，得． 23．一次智力测验，有20道选择题，评分标准为：对一题给5分，错一题扣2分，不答题不给分也不扣分，小明有一道题未答，则他至少要答对几道题，总分才不会低于70分？ 【答案】小明至少要答对16道题，总分才不会低于70分 【分析】设小明答对x道题，则小明答错道题，根据总分答对题目数答错题目数，即可得出关于x的一元一次不等式，解之即可得出x的取值范围，再取最小的正整数解即可． 【解析】解：设小明答对x道题，则小明答错道题， 根据题意得：， 解得：． ∵x为正整数， ∴． 答：小明至少要答对16道题，总分才不会低于70分． 【点睛】本题考查了一元一次不等式的应用，根据总分答对题目数答错题目数，列出关于x的一元一次不等式是解题的关键． 24．（1）如果，那么 ；如果，那么 ；如果，那么 ． （2）请利用（1）中的方法比较下列整式的大小：①和②和 【答案】（1），，；（2）①；② 【分析】本题考查等式的性质以及不等式的性质，解题的关键是熟练运用等式的性质以及不等式的性质． （1）根据等式的性质以及不等式的性质即可求出答案． （2）根据（1）的大小比较方法即可求出答案． 【解析】解：（1）如果，那么； 如果，那么； 如果，那么． 故答案为：，，； （2）①， ∴． ②， ． 25．小明早上七点骑自行车从家出发，以每小时18千米的速度到距家7千米的学校上课，行至距学校1千米的地方时，自行车突然发生故障，小明只得改为步行前往学校，如果他想在7点30分赶到学校，那么他每小时步行的速度至少是多少千米？ 【答案】小明每小时步行的速度至少是6千米． 【分析】设小明步行的速度为x千米/时，利用路程=速度×时间，结合小明想在7点30分之前赶到学校，即可得出关于x的一元一次不等式，解之取其中的最小值即可得出结论． 【解析】解：设小明步行的速度为x千米/时， 依题意得：（7-1）+（-）x≥7， 解得：x≥6． 答：每小时步行的速度至少是6千米． 【点睛】本题考查了一元一次不等式的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键． 26．已知关于、的方程组 (1)若此方程组的解也是方程的解，求常数的值． (2)若方程组的解为正数，为负数，求的取值范围． (3)在（2）的条件下，设，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了解二元一次方程组和一元一次不等式，解决本题的关键是求出方程组的解集． （1）求出、满足方程组的解，再代入即可求出的值； （2）先求出的解，根据方程的解满足的解满足，得到不等式组，解不等式组就可以得出的范围； （3）由题意可得，再由，求出的取值范围，即可解答． 【解析】（1）解：关于、的方程组的解也是方程的解， 、满足方程组， 解得， 把代入得， ， 解得； （2）， ①②得， 所以，， ①②得， 所以，， 故方程组的解为， ， ， 解得； （3），， ， ， ， ． 27．某市为了提升菜篮子工程质量，计划用大、中型车辆共辆调拨不超过吨蔬菜和吨肉制品补充当地市场．已知一辆大型车可运蔬菜吨和肉制品吨；一辆中型车可运蔬菜吨和肉制品吨． （1）符合题意的运输方案有几种？请你帮助设计出来； （2）若一辆大型车的运费是元，一辆中型车的运费为元，试说明中哪种运输方案费用最低？最低费用是多少元？ 【答案】（1）符合题意的运输方案有种，方案：安排辆大型车，辆中型车；方案：安排辆大型车，辆中型车；方案：安排辆大型车，辆中型车；（2）方案1安排辆大型车，辆中型车所需费用最低，最低费用是元． 【分析】设安排辆大型车，则安排辆中型车，根据辆车调拨不超过吨蔬菜和吨肉制品补充当地市场，即可得出关于的一元一次不等式组，解之即可得出的取值范围，结合为整数即可得出各运输方案； 根据总运费＝单辆车所需费用租车辆车可分别求出三种租车方案所需费用，比较后即可得出结论． 【解析】解：（1）设安排辆大型车，则安排辆中型车， 依题意，得： 解得：． 为整数， ． 符合题意的运输方案有种，方案：安排辆大型车，辆中型车；方案：安排辆大型车，辆中型车；方案：安排辆大型车，辆中型车． 方案1所需费用为：（元）， 方案2所需费用为：（元）， 方案3所需费用为：（元）． ， 方案1安排辆大型车，辆中型车所需费用最低，最低费用是元． 答：（1）符合题意的运输方案有种，方案：安排辆大型车，辆中型车；方案：安排辆大型车，辆中型车；方案：安排辆大型车，辆中型车；（2）方案1安排辆大型车，辆中型车所需费用最低，最低费用是元． 【点睛】本题考查一元一次不等式组的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组是解题的关键． 28．【定义】若一元一次方程的解在一元一次不等式组的解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“子方程”．例如：的解为的解集为，不难发现在的范围内，所以是的“子方程”． 【问题解决】（1）在方程①，②，③中，不等式组的“子方程”是______（填序号）； （2）若关于的方程是不等式组的“子方程”，求的取值范围； （3）若方程是关于的不等式组的“子方程”，直接写出的取值范围． 【答案】（1）①②；（2）；（3） 【分析】（1）先分别求得各一元一次方程的解和不等式组的解集，再根据题中定义判断即可解答； （2）先求得方程和不等式组的解集，再根据定义得到关于k的不等式组，然后解不等式组即可求解； （3）先解方程，再求出不等式组的解集，然后根据定义求解即可． 【解析】（1）解：解方程得：， 解方程得：， 解方程得：， 解不等式组得：， 所以不等式组 的“子方程”是①②． （2）解不等式，得：， 解不等式，得：， 则不等式组的解集为， 解方程，得， 由题意，得， ∴， 解得：； （3）解方程，得：， 解不等式组得：， ∴不等式组得解集为， ∴在范围内， ∴， 解得：． 【点睛】本题考查解一元一次方程和一元一次不等式组，以及一元一次方程的解和一元一次不等式组的解集的关系，理解题中定义，正确得到满足条件的参数对应的不等式（组）是解答的关键． 15 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $$