第05讲 一元一次不等式 单元综合检测（难点）-【帮课堂】2024-2025学年七年级数学下册同步学与练（沪教版2024）

第05讲 一元一次不等式 单元综合检测（难点） 一、单选题 1．下列不等式组：①；②；③；④；⑤，其中是一元一次不等式组的个数（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 2．若，则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 3．下列说法中，错误的是（ ） A．不等式m＜2的正整数解只有一个 B．-3是不等式3m-2＜0的一个解 C．不等式m＞2的整数解有无数个 D．不等式-2m＞4的解集是m＞-2 4．关于x的不等式的解集如图所示，则a的值是（    ） A．0 B．3 C． D． 5．若关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集是（  ） A． B． C． D． 6．随着网购的兴起，快递行业日渐繁荣，某物流公司计划调用甲、乙两种型号的物流辆，运送件种货物和件种货物，已知甲种物流货车每辆最多能载件种货物和件种货物，乙种物流货车每辆最多能载件种货物和件种货物．设安排甲种物流货车辆，你认为下列符合题意的不等式组是（    ） A． B． C． D． 7．已知关于x的不等式 的解都是不等式 的解，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．若不等式组无解，则不等式组的解集是（     ） A． B． C． D．无解 9．如图，按下面的程序进行运算，规定：程序运行到“判断结果是否大于28”为一次运算，若运算进行了3次才停止，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 10．已知关于x的不等式组，有以下说法： ①如果它的解集是1＜x≤4，那么a＝4； ②当a＝1时，它无解； ③如果它的整数解只有2，3，4，那么4≤a＜5； ④如果它有解，那么a≥2． 其中说法正确的个数为（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 11．若实数a使得关于x的分式方程有非负整数解，并且使关于y的一元一次不等式组有且仅有4个整数解，则符合条件的所有整数a的个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 12．非负数x，y满足，记，W的最大值为m，最小值n，则（    ） A．6 B．7 C．14 D．21 二、填空题 13．若关于x的不等式的解集为，则m的取值范围是 ． 14．若a>b>c，则不等式组的解集是 ． 15．若关于x的不等式组的解集是，则m的取值范围是 ． 16．当= 时，不等式永远成立． 17．已知x、y满足，且，设，那么k的取值范围是 ． 18．已知关于x的一元一次不等式的解集为，那么关于y的一元一次不等式的解集为 ． 19．若关于x的不等式组无解，且关于x的方程的解为正整数，则所有满足条件的整数a的和等于 ． 20．美林湖小区内有甲、乙两种出租用儿童电动汽车，租用一次甲种电动汽车前15分钟内收费15元，超过15分钟后每超过1分钟加收1元（不足1分钟都按1分钟收费）；乙种电动汽车前10分钟内收费5元，超过10分钟后每超过2分钟加收3元（不足2分钟都按2分钟收费）．（1）小明租用的是乙种电动小汽车一次用时15分钟需缴费 元；（2）如果小明租用了其中一种电动小汽车一次用时x分钟，那么当x满足 时单独租用甲种电动小汽车一次比乙种电动小汽车一次费用更少． 三、解答题 21．解不等式与不等式组： (1)解不等式：． (2)解不等式组： 22．解下列关于x的不等式（组）： (1) (2)． 23．求绝对值不等式的解集． 24．关于x的不等式组． (1)当时，解该不等式组； (2)当时，解该不等式组； (3)若该不等式组有解，但无整数解，则m的取值范围是多少？ 25．小杰到学校食堂买饭，看到两个窗口前面排队的人一样多（设为人，），就站在窗口队伍的后面．过了，他发现窗口每分钟有4人买了饭离开队伍，窗口每分钟有6人买了饭离开队伍，且窗口队伍后面每分钟增加5人．若此时小杰迅速从窗口队伍转移到窗口队伍后面重新排队，且到达窗口所花的时间比继续在窗口排队到达窗口所花的时间少，求的取值范围（不考虑其他因素）． 26．阅读理解： 求不等式的解集． 解：根据“同号两数相乘除，积为正”可得：①或②． 解①得；解②得． ∴不等式的解集为或． 请你仿照上述方法解决下列问题： (1)求不等式的解集． (2)求不等式的解集． 27．某研学基地为激发来研学学生参与活动的积极性，经常组织竞赛活动，并购买保温杯和台灯作为奖品奖励学生．该基地在某超市购买保温杯、台灯若干次，其中前两次购买时，均按标价购买；成为老顾客后，从第三次购买开始，保温杯、台灯同时以相同折扣数的打折价购买．前三次购买保温杯、台灯的数量及费用如下表所示： 购买保温杯的数量/个 购买台灯的数量/个 购买总费用/元 第一次购买 5 4 800 第二次购买 3 7 940 第三次购买 9 8 912 (1)求保温杯、台灯的标价； (2)某日，甲、乙两校师生同时来到该基地研学，基地为两校组织了一次陶泥制作比赛，并颁发奖品20个保温杯和10个台灯（均按打折价购买），甲、乙两校各获得15个奖品，甲校所获奖品的购买金额不低于800元，乙校所获奖品的购买金额不低于750元，求甲、乙两校分别获得保温杯和台灯各多少个？ 28．阅读下面材料： 关于x的不等式的所有解都满足，求a的取值范围．    解：∵，∴当时，，当时，． ∵x的不等式的所有解都满足， ∴． 根据材料，完成下列各题： (1)解关于x的不等式． (2)关于x不等式的所有解都满足不等式，求a的取值范围． (3)如果不等式组非负整数解的和为3，求a的取值范围． 29．若一个不等式（组）A有解且解集为，则称为A的解集中点，若A的解集中点是不等式（组）B的解，则称不等式（组）B对于不等式（组）A中点包含． （1）已知关于x的不等式组A：，以及不等式B：，那么不等式B对于不等式组A________（填“是”或“否”）中点包含； （2）已知关于x的不等式组Q：，以及不等式P：，若P对于不等式组Q中点包含，则a的取值范围是______． （3）关于x的不等式组S：，以及不等式组T：，若不等式组T对于不等式组S中点包含，求m需要满足何种条件？ 30．新定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“相依方程”，例如：方程的解为，而不等式组的解集为，不难发现在的范围内，所以方程是不等式组的“相依方程”． (1)在方程①：②；③中，不等式组的“相依方程”是______；（填序号） (2)若关于x的方程是不等式组的“相依方程”，求k的取值范围； (3)若关于x的方程是关于x的不等式组的“相依方程”，且此时不等式组有5个整数解，试求m的取值范围． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第05讲 一元一次不等式 单元综合检测（难点） 一、单选题 1．下列不等式组：①；②；③；④；⑤，其中是一元一次不等式组的个数（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】根据一元一次不等式组的定义判断即可． 【解析】解：①是一元一次不等式组； ②是一元一次不等式组； ③含有两个未知数，不是一元一次不等式组； ④是一元一次不等式组； ⑤，未知数是2次，不是一元一次不等式组， 其中是一元一次不等式组的有3个， 故选：B． 【点睛】本题考查一元一次不等式组的定义，根据共含有一个未知数，未知数的次数是1来判断． 2．若，则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了不等式的性质“性质1：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；性质2：不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；性质3：不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变”，熟练掌握不等式的性质是解题关键．根据不等式的性质逐项判断即可得． 【解析】解：A、由可得，则此项正确，不符合题意； B、由可得，则，则此项错误，符合题意； C、由可得，则此项正确，不符合题意； D、因为，所以由可得，则此项正确，不符合题意； 故选：B． 3．下列说法中，错误的是（ ） A．不等式m＜2的正整数解只有一个 B．-3是不等式3m-2＜0的一个解 C．不等式m＞2的整数解有无数个 D．不等式-2m＞4的解集是m＞-2 【答案】D 【分析】根据不等式的解及解不等式逐一判断可得． 【解析】解：A、不等式m＜2的正整数解只有一个，为m=1，此选项正确，不符合题意； B、由-3×3-2=-11＜0知-3是不等式3m-2＜0的一个解，此选项正确，不符合题意； C、不等式m＞2的整数解有无数个，此选项正确，不符合题意； D、不等式-2m＞4的解集是m＜-2，此选项错误，符合题意； 故选：D． 【点睛】此题考查了一元一次不等式的整数解，不等式的定义，熟练掌握各自的性质是解本题的关键． 4．关于x的不等式的解集如图所示，则a的值是（    ） A．0 B．3 C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查一元一次不等式，熟练掌握一元一次不等式是解题的关键．根据不等式解集求出参数即可． 【解析】解：解不等式为： 由题可知，不等式的解集为， 解得， 故选：B． 5．若关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先解出不等式，根据已知条件求出m，n的式子计算即可；； 【解析】解不等式得， ， ∵， ∴， 得到：， 解得：， 整理不等式， 得， 解得：． 故答案选B． 【点睛】本题主要考查了一元一次不等式的解法，准确计算是解题的关键． 6．随着网购的兴起，快递行业日渐繁荣，某物流公司计划调用甲、乙两种型号的物流辆，运送件种货物和件种货物，已知甲种物流货车每辆最多能载件种货物和件种货物，乙种物流货车每辆最多能载件种货物和件种货物．设安排甲种物流货车辆，你认为下列符合题意的不等式组是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据货车承载量要不低于360件A种货物及396件B种货物可列一元一次不等式组解决． 【解析】解：设安排甲种物流货车x辆，则需要乙种物流货车（15﹣x）辆． 由题意：， 故选：A． 【点睛】此题主要考查了一元一次不等式组的应用，分别表示出两种货车所载A种货物总件数和B种货物总件数是解题关键． 7．已知关于x的不等式 的解都是不等式 的解，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】考查不等式的解集，掌握一元一次不等式的求法是解题的关键． 先把a看作常数求出两个不等式的解集，再根据同大取大列出不等式求解即可． 【解析】解：解不等式 得，， 解不等式 得，， 关于x的不等式 的解都是不等式 的解， ， 解得：， 故选：； 8．若不等式组无解，则不等式组的解集是（     ） A． B． C． D．无解 【答案】C 【分析】根据不等式组无解，得出a＞b，进一步得出3-a＜3-b，即可求出不等式组的解集． 【解析】解：∵不等式组无解， ∴a＞b， ∴-a＜-b， ∴3-a＜3-b， ∴不等式组的解集是． 故选：C 【点睛】本题考查了求不等式组的方法，可以借助口诀“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解了”求解集．解题的关键是根据已知得到a＞b，进而得出3-a＜3-b． 9．如图，按下面的程序进行运算，规定：程序运行到“判断结果是否大于28”为一次运算，若运算进行了3次才停止，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据程序运算进行了3次才停止，即可得出关于x的一元一次不等式组：，解之即可得出x的取值范围． 【解析】解：依题意，得： ， 由①得： ， 由②得：＞， ＞ ＞， 所以不等式组的解集为：． 故选：A 【点睛】本题考查了程序框图中的一元一次不等式组的应用，找准不等关系，正确列出一元一次不等式组是解题的关键． 10．已知关于x的不等式组，有以下说法： ①如果它的解集是1＜x≤4，那么a＝4； ②当a＝1时，它无解； ③如果它的整数解只有2，3，4，那么4≤a＜5； ④如果它有解，那么a≥2． 其中说法正确的个数为（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】分别求出每个不等式的解集，再根据各结论中a的取值情况逐一判断即可． 【解析】解：由x﹣1＞0得x＞1， 由x﹣a≤0得x≤a， ①如果它的解集是1＜x≤4，那么a＝4，此结论正确； ②当a＝1时，它无解，此结论正确； ③如果它的整数解只有2，3，4，那么4≤a＜5，此结论正确； ④如果它有解，那么a＞1，此结论错误； 故选：C． 【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 11．若实数a使得关于x的分式方程有非负整数解，并且使关于y的一元一次不等式组有且仅有4个整数解，则符合条件的所有整数a的个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】解不等式组，根据仅有4个整数解，求出的范围；解分式方程，根据的范围，确定符合条件的值即可． 【解析】解： 解得： 仅有4个整数解， ， ， 解得： 方程有非负整数解， ，且是2的倍数， ， ， ， 满足条件的整数为： 个数为4个． 故选D 【点睛】本题考查了一元一次不等式组的解法、分式方程的解法等知识点，根据不等式组解的情况确定参数的范围是解题关键． 12．非负数x，y满足，记，W的最大值为m，最小值n，则（    ） A．6 B．7 C．14 D．21 【答案】D 【分析】设，用t表示出x、y的值，再由x，y为非负数即可求出t的取值范围，把所求代数式用t的形式表示出来，根据t的取值范围即可求解． 【解析】解：设， 则x=2t+1，y=2-3t， ∵x≥0，y≥0， ∴2t+1≥0，2-3t≥0， 解得 ∴ ∵w=3x+4y，把x=2t+1，y=2-3t，代入得：w=-6t+11， ∴ 解得，7≤w≤14， ∴w的最大值是14，最小值是7， ∴m+n=14+7=21． 故选：D． 【点睛】本题考查了一元一次不等式组的应用，通过设参数的方法求出W的取值范围是解答此题的关键． 二、填空题 13．若关于x的不等式的解集为，则m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次不等式和不等式的性质，根据不等式的性质得，求解关于的不等式即可． 【解析】解：∵不等式的解集为， ∴， ∴， 故答案为：． 14．若a>b>c，则不等式组的解集是 ． 【答案】 【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到,结合a>b>c，确定不等式组的解集． 【解析】解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， 解不等式③得：， ∵a>b>c ∴不等式组的解集为：． 故答案为：． 【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，正确的计算是解题的关键． 15．若关于x的不等式组的解集是，则m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是不等式组的解集的确定． 分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集，据此进行解答即可． 【解析】解： 解不等式①得，， ∵不等式组的解集为， ． 故答案为：． 16．当= 时，不等式永远成立． 【答案】6 【分析】将原不等式化为，由不等式恒成立，可知与x无关，则问题可解. 【解析】解：原不等式化为. ∵不等式恒成立， ∴，解得. 【点睛】本题考查了不等式的成立的条件，解答关键是注意由题意可知，不等式恒成立时，未知数系数为0. 17．已知x、y满足，且，设，那么k的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次不等式：根据不等式的性质解一元一次不等式，基本步骤为：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤化系数为1．也考查了代数式的变形和一次函数的性质．先把变形得到，由得到，解得，所以的取值范围为，再用变形得到，然后利用一次函数的性质确定的范围． 【解析】解：， ，解得， 又， ， 当时，； 当时，， ， 故答案为：． 18．已知关于x的一元一次不等式的解集为，那么关于y的一元一次不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】设则化为：整理可得：，从而可得的解集是不等式的解集，从而可得答案. 【解析】解： 关于x的一元一次不等式的解集为， 设 则化为： 两边都乘以得： 即 的解集为：的解集， 故答案为： 【点睛】本题考查的是求解一元一次不等式的解集，掌握“整体法求解不等式的解集”是解本题的关键. 19．若关于x的不等式组无解，且关于x的方程的解为正整数，则所有满足条件的整数a的和等于 ． 【答案】12 【分析】解不等式组可以得到，再解方程得到，根据题意可得或，计算得结果． 【解析】解：解不等式组得， ∵不等式组无解， ∴，解得， 解方程可得， 又∵方程的解为正整数，a为整数， ∴或 ∴满足条件的整数a的和为：， 故答案为：12． 【点睛】本题考查一元一次不等式组的解法，一元一次方程的解法，掌握不等式组无解时求参数的取值是解题的关键． 20．美林湖小区内有甲、乙两种出租用儿童电动汽车，租用一次甲种电动汽车前15分钟内收费15元，超过15分钟后每超过1分钟加收1元（不足1分钟都按1分钟收费）；乙种电动汽车前10分钟内收费5元，超过10分钟后每超过2分钟加收3元（不足2分钟都按2分钟收费）．（1）小明租用的是乙种电动小汽车一次用时15分钟需缴费 元；（2）如果小明租用了其中一种电动小汽车一次用时x分钟，那么当x满足 时单独租用甲种电动小汽车一次比乙种电动小汽车一次费用更少． 【答案】 14 或 【分析】（1）根据题意列出算式求解即可； （2）小明租用了其中一种电动小汽车一次用时x分钟，根据题意列出两种收费方式，列出不等式，根据甲种电动车不足1分钟都按1分钟收费，乙种电动车不足2分钟都按2分钟收费，分别讨论当时，当时，甲乙的费用，进而求得也符合题意，也可采用表格的方式求得时间段内的缴费，作比较即可求解． 【解析】（1）乙种电动汽车前10分钟内收费5元，超过10分钟后每超过2分钟加收3元（不足2分钟都按2分钟收费）． 则小明租用的是乙种电动小汽车一次用时15分钟需缴费，则（元） （2）当时，租用甲种电动车需缴费15元，租用乙种电动车需缴费5元，不符题意， 当时，租用甲种电动车需缴费15元，由（1）可知租用乙种电动车需缴费最多元，不符题意， 当时， 解得. 甲种电动车不足1分钟都按1分钟收费，乙种电动车不足2分钟都按2分钟收费， 当时，租用甲种电动车缴费元， 租用乙种电动车缴费5+元，此时费用相等， 当时，租用乙种电动车仍为20元，而甲种电动车需要19元，符合题意， 当时，甲的费用比乙高，不符合题意， 综上所述，或 故答案为：或 【点睛】本题考查了一元一次不等式的应用，根据题意分类讨论是解题的关键． 三、解答题 21．解不等式与不等式组： (1)解不等式：． (2)解不等式组： 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解一元一次不等式（组）．熟练掌握解一元一次不等式（组）是解题的关键． （1）先去分母，然后去括号、移项合并，最后系数化为1即可； （2）分别求出两个不等式的解集，进而可得不等式组的解集． 【解析】（1）解：， 去分母得：， 去括号得：， ∴， 解得：； （2）解：， 由①得：， 解得：， 由②得：， ∴， ∴， 解得：， ∴不等式组的解集为：. 22．解下列关于x的不等式（组）： (1) (2)． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查了解一元一次不等式组及解一元一次方程组．熟练掌握解一元一次不等式组是解题的关键． （1）先分别计算两个不等式的解集，进而可得不等式组的解集． （2）根据解一元一次不等式步骤计算即可，注意分类讨论． 【解析】（1）解：， 解不等式①，得：， 解不等式②，得：， 不等式组解集是； （2）解：， ， 当时，， 原不等式化为：， ， ； 当时，， 原不等式化为：， ， ， 不等式解集为或． 23．求绝对值不等式的解集． 【答案】或 【分析】本题考查解含绝对值的不等式，将原不等式去绝对值，变形为，再解不等式组即可． 【解析】解：根据绝对值的定义得：， 解得或． 24．关于x的不等式组． (1)当时，解该不等式组； (2)当时，解该不等式组； (3)若该不等式组有解，但无整数解，则m的取值范围是多少？ 【答案】(1) (2)不等式组无解 (3) 【分析】（1）先求出两个不等式的解集，再代入m的值利用夹逼原则求解即可； （2）同（1）求解即可； （3）同（1）求出两个不等式的解集，再根据该不等式组有解，但无整数解，列出关于m的不等式组进行求解即可． 【解析】（1）解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， 当时，， ∴不等式组的解集为； （2）解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， 当时，， ∴不等式组无解； （3）解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∵不等式有解，但没有整数解， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式组，正确求出每个不等式的解集，然后利用夹逼原则求出不等式组的解集是解题的关键． 25．小杰到学校食堂买饭，看到两个窗口前面排队的人一样多（设为人，），就站在窗口队伍的后面．过了，他发现窗口每分钟有4人买了饭离开队伍，窗口每分钟有6人买了饭离开队伍，且窗口队伍后面每分钟增加5人．若此时小杰迅速从窗口队伍转移到窗口队伍后面重新排队，且到达窗口所花的时间比继续在窗口排队到达窗口所花的时间少，求的取值范围（不考虑其他因素）． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元一次不等式的实际应用,继续在A窗口需要的时间为，到达B窗口的时间为，再根据“到达B窗口所花的时间比继续在A窗口排队到达A窗口所花的时间少”列不等式求解即可． 【解析】解：由题意，得． 整理，得， 解得． 故的取值范围为． 26．阅读理解： 求不等式的解集． 解：根据“同号两数相乘除，积为正”可得：①或②． 解①得；解②得． ∴不等式的解集为或． 请你仿照上述方法解决下列问题： (1)求不等式的解集． (2)求不等式的解集． 【答案】(1)不等式的解集为； (2)不等式的解集为或． 【分析】（1）根据“异号两数相除，积为负”化为两个一元一次不等式组求解即可； （2）根据分式不等式大于零可以得到其分子、分母同号，从而转化为两个一元一次不等式组求解即可． 【解析】（1）解：根据“异号两数相除，积为负”可得 ①，或②． 解②，得无解．解①，得， ∴不等式的解集为：； （2）解：根据“同号两数相除，商为正”可得 ①，或②． 解①，得．解②，得， ∴不等式的解集为或． 【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 27．某研学基地为激发来研学学生参与活动的积极性，经常组织竞赛活动，并购买保温杯和台灯作为奖品奖励学生．该基地在某超市购买保温杯、台灯若干次，其中前两次购买时，均按标价购买；成为老顾客后，从第三次购买开始，保温杯、台灯同时以相同折扣数的打折价购买．前三次购买保温杯、台灯的数量及费用如下表所示： 购买保温杯的数量/个 购买台灯的数量/个 购买总费用/元 第一次购买 5 4 800 第二次购买 3 7 940 第三次购买 9 8 912 (1)求保温杯、台灯的标价； (2)某日，甲、乙两校师生同时来到该基地研学，基地为两校组织了一次陶泥制作比赛，并颁发奖品20个保温杯和10个台灯（均按打折价购买），甲、乙两校各获得15个奖品，甲校所获奖品的购买金额不低于800元，乙校所获奖品的购买金额不低于750元，求甲、乙两校分别获得保温杯和台灯各多少个？ 【答案】(1)保温杯、台灯的标价为80元和100元 (2)甲校分别获得保温杯和台灯个和个，乙校分别获得保温杯和台灯个和个 【分析】（1）设保温杯、台灯的标价为x元和y元，根据表中给的数量关系列出二元一次方程组解答即可； （2）求出第三次商品购进的打折数，然后利用不等式组解题即可． 【解析】（1）解：设保温杯、台灯的标价为x元和y元， ，解得， 答：保温杯、台灯的标价为80元和100元． （2）解：第三次购买的打折数为：折， 设甲校获得保温杯a个，则 , 解得， 又∵a为整数， ∴， ∴甲校分别获得保温杯和台灯个和个，乙校分别获得保温杯和台灯个和个． 【点睛】本题考查二元一次方程组和不等式组解应用题，理解题意找出数量关系是解题的关键． 28．阅读下面材料： 关于x的不等式的所有解都满足，求a的取值范围．    解：∵，∴当时，，当时，． ∵x的不等式的所有解都满足， ∴． 根据材料，完成下列各题： (1)解关于x的不等式． (2)关于x不等式的所有解都满足不等式，求a的取值范围． (3)如果不等式组非负整数解的和为3，求a的取值范围． 【答案】(1)当时，；当时， (2) (3)或 【分析】（1）分两种情况讨论解不等式即可； （2）仿照阅读材料解答即可； （3）解每个不等式，然后仿照阅读材料讨论，由于不等式组非负整数解的和为3，则不合题意，于是得到三种情况，分别求解即可． 【解析】（1）解：∵， ∴当时，， 当时，． （2）解：∵， ∴， ∵关于x不等式的所有解都满足不等式， ∴且， ∴； ∴； （3）解： 由①得，， 由②得，， ∵不等式组非负整数解的和为3， ∴不合题意，， ∵非负整数解的和为3， ∴①非负整数解为0,1,2， ∴， 解得，∴无解； ②非负整数解为1,2， ∴， 解得， ∴； ③非负整数解为3， ∴ ∴， 解得， 综上或． 【点睛】本题考查了一元一次不等式组的整数解，解一元一次不等式（组），仿照阅读材料的解题思路求解是解题的关键． 29．若一个不等式（组）A有解且解集为，则称为A的解集中点，若A的解集中点是不等式（组）B的解，则称不等式（组）B对于不等式（组）A中点包含． （1）已知关于x的不等式组A：，以及不等式B：，那么不等式B对于不等式组A________（填“是”或“否”）中点包含； （2）已知关于x的不等式组Q：，以及不等式P：，若P对于不等式组Q中点包含，则a的取值范围是______． （3）关于x的不等式组S：，以及不等式组T：，若不等式组T对于不等式组S中点包含，求m需要满足何种条件？ 【答案】（1）是；（2）a≥-2.5；（3）-6＜m＜ 【分析】（1）求得不等式组的解集中点，根据新定义判断即可； （2）求得不等式组的解集中点，代入不等式计算即可求出值； （3）求得不等式组的解集中点，代入不等式组，计算求出的取值即可． 【解析】解：（1）由解得，， 解集中点为， 不等式， 不等式对于不等式组是中点包含， 故答案为：是； （2）不等式组的解集为， 解集中点为， 对于不等式组中点包含， 代入得， 解得， 故答案为； （3）不等式组的解集为：且， 且， 解集中点为， 不等式组对于不等式组中点包含， ， 解得． 【点睛】本题考查了新定义，解一元一次不等式组，能求出不等式组的解集是解此题的关键． 30．新定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“相依方程”，例如：方程的解为，而不等式组的解集为，不难发现在的范围内，所以方程是不等式组的“相依方程”． (1)在方程①：②；③中，不等式组的“相依方程”是______；（填序号） (2)若关于x的方程是不等式组的“相依方程”，求k的取值范围； (3)若关于x的方程是关于x的不等式组的“相依方程”，且此时不等式组有5个整数解，试求m的取值范围． 【答案】(1)① (2)； (3)． 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，一元一次方程的解，理解材料中的不等式组的“相依方程”是解题的关键． （1）分别解三个一元一次方程与不等式组，再根据新定义作判断即可； （2）分别解不等式组与方程，再根据新定义列不等式组，解不等式组可得答案； （3）先解不等式组可得，再根据此时不等式组有5个整数解，令整数的值为：，，，，，再求解，而为整数，则或0，分两种情况讨论，从而可得答案． 【解析】（1）解：①， 整理得：， 解得：； ②， 解得：； ③， 解得：； ， 解不等式可得：， 解不等式可得：， 所以不等式组的解集为：； 根据新定义可得：方程①是不等式组的“相依方程”． 故答案为：①； （2）解：， 由①得：， 由②得：， 所以不等式组的解集为：， ， ， 根据“相依方程”的含义可得： ， ， 解得：； （3）解：， 由①得：， 由②得：， ∴不等式组的解集为：， 此时不等式组有5个整数解， 令整数的值为：，，，，， ， ∴， 则， 解得：，而为整数，则或0， 当时，， ∴， 因为， 解得：， 根据“相依方程”的含义可得：， 解可得：， 解可得：， 所以不等式组的解集为：； 当时，， ∴， 综上：． 23 / 23 学科网（北京）股份有限公司 $$