专题02 平行线之M模型（猪蹄模型）-【常考压轴题】2024-2025学年七年级数学下册压轴题攻略（浙教版2024）

专题平行线之M模型（猪蹄模型） 解题技巧：找到M，利用结论快速解题。 结论： 题型讲解 例1．如图，将一块含有角的直角三角板的两个顶点放在两条平行的直线，上，如果，那么的度数为　　 A． B． C． D． 【答案】： 【解答】：解：如图：过点作，， ，， ，， ， 选：． 变式1-1．如图，，含的直角三角板的直角顶点在直线上，若，则的度数为　　 A． B． C． D． 【答案】： 【解答】：解：如图，过点作，，， ，， ， ，． 选：． 变式1-2．一副三角板如图所示摆放，若直线，则的度数为　　 A． B． C． D． 【答案】： 【解答】：解：过点作，， ，，， 是等腰直角三角形，，， 直角三角形，，， ， 选：． 例2．如图，，点为上方一点，、分别为、的角平分线，若，则的度数为　　 A． B． C． D． 【答案】：C 【解答】：解：过作，， ，， ，， 、分别为、的角平分线， ， ，， ，， ， ，，，， ． 选：． 变式2-1．如图所示，直线，平分，平分，且，则的度数是 　　． 【答案】：1140； 【解答】：解：设交于点，过作，如图： 设，， 平分，平分， ，， ，， ，，， ，，， ， 又，， ，， ，． 答案：． 变式2-2．已知，点为平面内一点，于．（温馨提示：本题可能用到知识点：三角形三角和为 （1）如图1，若，求的度数； （2）如图2，过点作于点，说明：； （3）如图3，在（2）问的条件下，点、在射线上，连结、、，平分，平分，若，，求的度数． 【答案】：（1）500；（2）见解析；（3）1050 【解答】：解：（1）如图1， ，，， ，； （2）如图2，过点作， ，，，， ，，， ，， ； （3）如图3，过点作，平分，平分， ，， 由（2）知，， 设，，则，， ，， ， ，，， 中，由得： ， ，，， ，． 例3．如图，，，平分，设，，，则、、的数量关系是　　 A． B． C． D． 【答案】：A; 【解答】：解：如图所示，过点作，过点作， ，平分，，，， ，，， ，，，， ，， 即，，， ，， ． 选：． 变式3-1．如图，，点在，之间，，连结，若，．下列说法中正确的是　　 A．当时， B．当时， C．当时， D．不可能为 【答案】：D; 【解答】：解：，， ，， ， 当时，则，， 解得：，即，， ，故说法错误； 当时，同理求得：，故说法错误； 当时，同理求得：，故说法错误； 当时，与分别为与的平分线，而不是的平分线，则不可能是，故说法正确． 选：． 变式3-2．如图，直线，点，分别在直线和直线上， 点在两条平行线之间，和的角平分线交于点， 已知，则的度数为 　　． 【答案】：1410； 【解答】：解：过点作，过点作． ，，， ，， ，， ， 平分，平分， ． 答案：． 例4．如图，直线，那么的度数是　　 A． B． C． D． 【答案】：A； 【解答】：解：作，， ，，，， ， ． 选：． 变式4-1．如图，直线． （1）如图1，你能得到这个结论正确吗？并说明你的理由； （2）如图2，请直接写出，，，，之间的关系　　． （3）如图3，请直接写出，，之间的关系　　． 【答案】：（1）见解析；（2）； （3）； 【解答】：证明： （1）这个结论正确，理由如下 如图1，过点作， ，，， ，， ， 即：． （2）根据（1）中结论可得，， 答案：， （3）由（2）的规律得， 答案： 例5如图，已知，点，分别在，上，点，在两条平行线，之间，与的平分线交于点．若，，则的度数为　　 A． B． C． D． 【答案】：D； 【解答】：解：如图所示，过点，，作，，， ．， ．， ，， ，， ，，， 和是角平分线，， ，， ，，， ，即． 选：． 变式5-1． 小明同学在完成七年级下册数学第1章的线上学习后，遇到了一些问题，请你帮他解决一下． （1）如图1，已知，则成立吗？请说明理由． （2）如图2，已知，平分，平分，、所在直线交于点，若，，求的度数． 【答案】：（1）成立，见解析；（2）450； 【解答】：解：（1）成立，理由： 过点作，如图，，． ，，．． ，． （2）过点作，如图， 由（1）的结论可得：，平分，， ．，，． 平分，． ． 例5-2．如图，，点为两直线之间的一点． （1）如图1，若，，则　　； （2）如图2，试说明，； （3）①如图3，若的平分线与的平分线相交于点，判断与的数量关系，并说明理由； ②如图4，若设，，，请直接用含、的代数式表示的度数． 【答案】：（1）550；（2）；（3）①；②； 【解答】：如图所示，过点作， ，，， ， 答案:． （2）如图所示，过点作， ，，， ，即． （3）①，理由如下： 由（1）可得，， 平分，平分，，，， 由（2）可知，，． ②由①知， ，，，， ，，，． 例6．数学活动课上，老师先在黑板上画出两条直线，再将三角板，与直线相交于点放在黑板上，转动三角板得到下面三个不同位置的图形． （1）如图1，若点在直线上，，则　　； （2）如图2，若点在直线的下方，在直线的上方，与有怎样的关系？写出结论，并给出证明； （3）如图3，若点在直线的下方，请直接写出与之间的关系． 【答案】：（1）1140；（2）；（3）； 【解答】：（1）解：设三角板与直线的交点为， 由余角性质和平行线的性质可知，，， ，． 答案：． （2）与的关系：． 证明：过点作，由题意可知， ，， ， ，． （3）． 证明：设与直线交于点，与直线交于点， 则，，， ， ， ． 变式6-1．如图1，已知直线，且和、分别交于、两点，点在直线上． （1）试找出，，之间的等式关系，并说明理由； （2）应用（1）的结论解下列问题． ①如图2，点在处北偏东方向，点在处的北偏西方向，求的度数． ②在图3中，小刀的刀片上、下是平行的，刀柄外形是一个直角梯形（下底挖去一小半圆），求的度数． 【答案】：（1）；（2）①850；②900； 【解答】：解：（1）．， 在中，， ． （2）①过点作，则，则； ②过点作，又， 则，则， ． 故的度数是． 例7．已知，．点在上，点在上． （1）如图1中，、、的数量关系为：　　； （2）如图2中，、、的数量关系为：　　； 用你所学知识选择其中一个说明数量关系成立的理由． （3）如图3中，平分，平分，且，求的度数． 【答案】：（1）；（2）；（3）； 【解答】：（1）、、的数量关系为：． 理由如下：延长交于点， ，， ，． （2）、、的数量关系为：． 理由如下：设与交于点， ，， ， 即：． （3）延长于点，设与交于点， 设，， 平分，平分， ，， ， ，，， 即：，， 又，， ，解得：， ． 变式7-1．已知，直线分别与直线，相交于点，，并且． （1）如图1，求证：； （2）有一点在直线，之间且在直线左侧，连接， ①如图2，当，时，求的度数； ②如图3，是的平分线，交于点，是的平分线，作．设，，求和满足的数量关系． 【答案】：（1）见解析；（2）①900；②； 【解答】：（1）证明：，， ，． （2）②解：，， 即， ，， ，，． ②解：，理由如下， 由（2）得，， ，， 、分别平分和，， ， ， ，， ， ． 变式7-2．阅读下面内容，并解答问题． 在学习了平行线的性质后，老师请同学们证明命题：两条平行线被第三条直线所截，一组同旁内角的平分线互相垂直． 小颖根据命题画出图形并写出如下的已知条件． 已知：如图1，，直线分别交，于点，．的平分线与的平分线交于点．求证：　　． （1）请补充要求证的结论，并写出证明过程； （2）请从下列、两题中任选一题作答，我选择 　　题． ．在图1的基础上，分别作的平分线与的平分线交于点，得到图2，则的度数为 　　． ．如图3，，直线分别交，于点，．点在直线，之间，且在直线右侧，的平分线与的平分线交于点，则与满足的数量关系为 　　． 【答案】：（1）；（2）选A:450；②选B:； 【解答】：（1）结论：； 理由：如图1中，，， 平分，平分，，， ． 在中，，， ．答案：． （2）．如图2中，由题意，， 平分，平分，， ， ．如图3中，由题意，，， 平分，平分，，， ， 答案或，，． 例8 如图，已知，点，分别在，上，点在，之间，，，三点均在直线的同侧． （1）如图1，试说明； （2）如图2，若，，分别平分和，求的度数； （3）如图3，若的度数为，平分交的延长线于点，平分交的延长线于点，则　　．（用含的代数式表示）． 【答案】：（1）见解析；（2）450；（3）； 【解答】：（1）如图，过点作，则， ，，，， ． （2），， 由（1）知，， 、分别平分和， ． （3）设的度数为，的度数为，则由（1）得，， 由（1）（2）得，①，②， ①②得，． 变式8-1．已知直线，直线分别交、于点、．是、之间的一点，且位于直线左侧，连接、． 【基础探究】 （1）①如图1，若，，则的度数为 　63　度； ②在图1中探究、和的数量关系，并说明理由． 【迁移应用】 直接运用（1）中的结论，解决下列问题： （2）如图2，若平分，平分，交的延长线于点，，则的度数为 　　度； （3）如图3，若，，交的延长线于点，交的延长线于点，请问是否为定值？若是，请求出定值；若不是，请说明理由． 【答案】：（1）①63；②；（2）80；（3）； 【解答】：解：（1）①如图所示，过点作， ，， ，， ， 答案：63； ②，理由如下： 如图所示，过点作， ，， ，， ； （2）由（1）可得， 设，则， 平分，平分， ，， ，， ，， 答案：80； （3）是定值，． 由（1）可得，，， 设，，，， ，，，，， ， 是定值，． 专题练习 1．已知直线，将一块含角的直角三角板按如图方式放置，其中，两点分别落在直线，上，若，则的度数为 　53　． 【答案】：（1）53 【解答】：解：，， ，，； 答案：53． 2．如图，点在内，点、分别在的边、上，连结、，平分，若，，求的度数． 【答案】：（1）①640； 【解答】：解：平分，． ，． ． 即的度数为． 3．【阅读理解】：两条平行线间的拐点问题经常可以通过作一条直线的平行线进行转化． 例如：如图1，，点、分别在直线、上，点在直线、之间．问，，之间有何数量关系？请说明理由． 小铭同学发现，并给出了部分理由． 如图1，过点作， 因为，， 所以， ； （1）请将上面的说理过程补充完整； （2）如图2，若，，．则 　71　； 【方法运用】 （3）如图3，，点在的上方，问，，之间有何数量关系？请说明理由； 【联想拓展】 （4）如图4，已知，的平分线和的平分线交于点，请你用含有的式子表示的度数，直接写出结果． 【答案】：（1）见解析；；（2）710；（3）；（4）； 【解答】：解：（1）如图1，过点作， ，，， ，， ； （2）如图2，过点作， ，， ，， ，，， ， 故答案为：71； （3），理由如下： 如图3，过点作，， ，， ，， ； （4）如图4， 由（2）知，， ，， 的平分线和的平分线交于点， ，， ， 在四边形中，， ． 4．已知，，点在两条平行线之间、连接、，作平分，平分． （1）如图1，求证； （2）如图2，当时，求的度数； （3）如图3，延长交于点．当，时，过点作交的角平分线于点，在射线上取点、连接、已知，求的度数． 【答案】：（1）见解析；；（2）1500；（3）； 【解答】：（1）证明：根据平行线的M模型知：，， 平分，平分，，， ． （2）解：由（1）得：，， （3）解：平分，， ，，，，是平行四边形， ， 由（1）得：，， ，，， ，，， 又，． 解得：． 5．如图，已知，点，分别为，之间的点． （1）如图1，若，求的度数； （2）若，． ①如图2，请探索的度数是否为定值，请说明理由； ②如图3，已知平分，平分，反向延长交于点，求的度数． 【答案】：（1）1000；；（2）①360；②180； 【解答】：（1）过点作，， ，，， ； （2）①，是定值，理由如下： 如图，过作，过作， ，，而，， ，，， ； ②如图，平分，平分， ， ， 由①得：， ， ． 6．数学课上，老师提出了一个问题：已知平面内两条线段、，且，点不在、所在直线上，记，，（均小于平角），请根据点的不同位置探究，，的数量关系， 下面是小敏和小颖的探究过程： （1）当点位于直线和之间时， ①小敏画出图1，，，关系是：　　． ②小颖说，根据我画的图得到的结论是，请你在图2中画出图形并加以证明； ③小敏发现，，的数量关系不仅和点的位置有关，而且和线段的字母顺序也有关，若保持点、点位置不变，当点在点左侧时，在图3中补全图形，并写出，，的数量关系； （2）这时老师来了，看了她们的探究结果，又提出了一个问题：当，，都不是时，存在，请在备用图中画出一个符合以上条件的图形（标注，，，，和，，． 【答案】：（1）；②3600；③，，的数量关系为或； （2）见解析； 【解答】：解：（1）①如图1，过点作， ，， ，，又，， 即：， 答案：； ②如图2，过点作，，， ，，， 即：，； ③如图，过点作， ， ， ，， ， ， 即：， 同理，如图，有 同理，如图，有， 综上所述，，，的数量关系为或； （2）如图4， ，，都不是时，． 7．如图1，直线，被直线所截，直线分别交直线，于点，点，满足．将三角形按图1放置，点在直线上（点与点不重合），点在直线上，． （1）求证． （2）若，求的度数． （3）如图2，的平分线交直线于点．现将三角形沿直线平移，请直接写出 与的数量关系． 【答案】：（1）见解析；（2）400；（3）； 【解答】：（1）证明：，，，． （2）解：过点作， 由（1）知：， ，，， ， 即：，，， ，． （3）解：与的数量关系是：． 理由如下：为的平分线，， ， ， 由（2）可知：， 又，， ， ． 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题平行线之M模型（猪蹄模型） 解题技巧：找到M，利用结论快速解题。 结论： 题型讲解 例1．如图，将一块含有角的直角三角板的两个顶点放在两条平行的直线，上，如果，那么的度数为　　 A． B． C． D． 变式1-1．如图，，含的直角三角板的直角顶点在直线上，若，则的度数为　　 A． B． C． D． 变式1-2．一副三角板如图所示摆放，若直线，则的度数为　　 A． B． C． D． 例2．如图，，点为上方一点，、分别为、的角平分线，若，则的度数为　　 A． B． C． D． 变式2-1．如图所示，直线，平分，平分，且，则的度数是 　　． 变式2-2．已知，点为平面内一点，于．（温馨提示：本题可能用到知识点：三角形三角和为 （1）如图1，若，求的度数； （2）如图2，过点作于点，说明：； （3）如图3，在（2）问的条件下，点、在射线上，连结、、，平分，平分，若，，求的度数． 例3．如图，，，平分，设，，，则、、的数量关系是　　 A． B． C． D． 变式3-1．如图，，点在，之间，，连结，若，．下列说法中正确的是　　 A．当时， B．当时， C．当时， D．不可能为 变式3-2．如图，直线，点，分别在直线和直线上，点在两条平行线之间，和的角平分线交于点，已知，则的度数为 　　． 例4．如图，直线，那么的度数是　　 A． B． C． D． 变式4-1．如图，直线． （1）如图1，你能得到这个结论正确吗？并说明你的理由； （2）如图2，请直接写出，，，，之间的关系　 　． （3）如图3，请直接写出，，之间的关系　　． 例5如图，已知，点，分别在，上，点，在两条平行线，之间，与的平分线交于点．若，，则的度数为　　 A． B． C． D． 变式5-1． 小明同学在完成七年级下册数学第1章的线上学习后，遇到了一些问题，请你帮他解决一下． （1）如图1，已知，则成立吗？请说明理由． （2）如图2，已知，平分，平分，、所在直线交于点，若，，求的度数． 例5-2．如图，，点为两直线之间的一点． （1）如图1，若，，则　　； （2）如图2，试说明，； （3）①如图3，若的平分线与的平分线相交于点，判断与的数量关系，并说明理由； ②如图4，若设，，，请直接用含、的代数式表示的度数． 例6．数学活动课上，老师先在黑板上画出两条直线，再将三角板，与直线相交于点放在黑板上，转动三角板得到下面三个不同位置的图形． （1）如图1，若点在直线上，，则　　； （2）如图2，若点在直线的下方，在直线的上方，与有怎样的关系？写出结论，并给出证明； （3）如图3，若点在直线的下方，请直接写出与之间的关系． 变式6-1．如图1，已知直线，且和、分别交于、两点，点在直线上． （1）试找出，，之间的等式关系，并说明理由； （2）应用（1）的结论解下列问题． ①如图2，点在处北偏东方向，点在处的北偏西方向，求的度数． ②在图3中，小刀的刀片上、下是平行的，刀柄外形是一个直角梯形（下底挖去一小半圆），求的度数． 例7．已知，．点在上，点在上． （1）如图1中，、、的数量关系为：　　； （2）如图2中，、、的数量关系为：　　； 用你所学知识选择其中一个说明数量关系成立的理由． （3） 如图3中，平分，平分，且，求的度数． 变式7-1．已知，直线分别与直线，相交于点，，并且． （1）如图1，求证：； （2）有一点在直线，之间且在直线左侧，连接， ①如图2，当，时，求的度数； ②如图3，是的平分线，交于点，是的平分线，作．设，，求和满足的数量关系． ． 变式7-2．阅读下面内容，并解答问题． 在学习了平行线的性质后，老师请同学们证明命题：两条平行线被第三条直线所截，一组同旁内角的平分线互相垂直． 小颖根据命题画出图形并写出如下的已知条件． 已知：如图1，，直线分别交，于点，．的平分线与的平分线交于点．求证：　　． （1）请补充要求证的结论，并写出证明过程； （2）请从下列、两题中任选一题作答，我选择 　　题． ．在图1的基础上，分别作的平分线与的平分线交于点，得到图2，则的度数为 　　． ．如图3，，直线分别交，于点，．点在直线，之间，且在直线右侧，的平分线与的平分线交于点，则与满足的数量关系为 　　． ． 例8 如图，已知，点，分别在，上，点在，之间，，，三点均在直线的同侧． （1）如图1，试说明； （2）如图2，若，，分别平分和，求的度数； （3）如图3，若的度数为，平分交的延长线于点，平分交的延长线于点，则　　．（用含的代数式表示）． 变式8-1．已知直线，直线分别交、于点、．是、之间的一点，且位于直线左侧，连接、． 【基础探究】 （1）①如图1，若，，则的度数为 　　度； ②在图1中探究、和的数量关系，并说明理由． 【迁移应用】 直接运用（1）中的结论，解决下列问题： （2）如图2，若平分，平分，交的延长线于点，，则的度数为 　　度； （3）如图3，若，，交的延长线于点，交的延长线于点，请问是否为定值？若是，请求出定值；若不是，请说明理由． 专题练习 1． 已知直线，将一块含角的直角三角板按如图方式 放置，其中，两点分别落在直线，上， 若，则的度数为 　　． 2． 如图，点在内，点、分别在的边、上，连结 、，平分，若，，求的度数． 3．【阅读理解】：两条平行线间的拐点问题经常可以通过作一条直线的平行线进行转化． 例如：如图1，，点、分别在直线、上，点在直线、之间．问，，之间有何数量关系？请说明理由． 小铭同学发现，并给出了部分理由． 如图1，过点作， 因为，， 所以， ； （1）请将上面的说理过程补充完整； （2）如图2，若，，．则 　　； 【方法运用】（3）如图3，，点在的上方，问，，之间有何数量关系？请说明理由； 【联想拓展】（4）如图4，已知，的平分线和的平分线交于点，请你用含有的式子表示的度数，直接写出结果． 4．已知，，点在两条平行线之间、连接、，作平分，平分． （1）如图1，求证； （2）如图2，当时，求的度数； （3）如图3，延长交于点．当，时，过点作交的角平分线于点，在射线上取点、连接、已知，求的度数． 5．如图，已知，点，分别为，之间的点． （1）如图1，若，求的度数； （2）若，． ①如图2，请探索的度数是否为定值，请说明理由； ②如图3，已知平分，平分，反向延长交于点，求的度数． 6．数学课上，老师提出了一个问题：已知平面内两条线段、，且，点不在、所在直线上，记，，（均小于平角），请根据点的不同位置探究，，的数量关系， 下面是小敏和小颖的探究过程： （1）当点位于直线和之间时， ①小敏画出图1，，，关系是：　　． ②小颖说，根据我画的图得到的结论是，请你在图2中画出图形并加以证明； ③小敏发现，，的数量关系不仅和点的位置有关，而且和线段的字母顺序也有关，若保持点、点位置不变，当点在点左侧时，在图3中补全图形，并写出，，的数量关系； （2）这时老师来了，看了她们的探究结果，又提出了一个问题：当，，都不是时，存在，请在备用图中画出一个符合以上条件的图形（标注，，，，和，，． 7．如图1，直线，被直线所截，直线分别交直线，于点，点，满足．将三角形按图1放置，点在直线上（点与点不重合），点在直线上，． （1）求证． （2）若，求的度数． （3）如图2，的平分线交直线于点．现将三角形沿直线平移，请直接写出 与的数量关系． 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $$