七下期末压轴题专练（因式分解+分式，十大题型）-【常考压轴题】2024-2025学年七年级数学下册压轴题攻略（浙教版2024）

浙教版七下期末考压轴题专练 目录 压轴题题型讲练 类型一、因式分解 1 类型二、乘法公式运用 3 类型三、配方法运用 3 类型四、几何背景中的因式分解 5 类型五、分式的运算 7 类型六、分式运算之运用 8 类型七、分式之乘法公式“活”运用 9 类型八、分式方程的解 10 类型九、分式方程应用题 12 类型十、常考创新题 14 类型一、因式分解 1．已知x3+x2+x+1＝0，则x2019+x2018+x2017+…+x+1的值是（　　） A．0 B．1 C．﹣1 D．2 2．若实数x满足x2﹣2x﹣1＝0，则2x3﹣7x2+4x+2023的值为（　　） A．2020 B．2021 C．2022 D．2023 3．分解因式：　　． 4．先阅读下列材料： 分解因式：（a+b）2﹣2（a+b）+1． 解：将“a+b”看成整体，设M＝a+b，则原式＝M2﹣2M+1＝（M﹣1）2，再将M还原，得原式＝（a+b﹣1）2． 上述解题用到的是“整体思想”，请你仿照上面的方法解答下列问题： （1）分解因式：（a2+2a+2）（a2+2a）+1． （2）化简：． 5．阅读下列材料 1637年笛卡儿（R．Descartes，1596﹣1650）在其《几何学》中，首次应用待定系数法将4次方程分解为两个2次方程求解，并最早给出因式分解定理． 他认为，若一个高于二次的关于x的多项式能被（x﹣a）整除，则其一定可以分解为（x﹣a）与另外一个整式的乘积，而且令这个多项式的值为0时，x＝a是关于x的这个方程的一个根． 例如：多项式x2+9x﹣10可以分解为（x﹣1）与另外一个整式M的乘积，即x2+9x﹣10＝（x﹣1）M，令x2+9x﹣10＝0时，可知x＝1为该方程的一个根． 关于笛卡尔的“待定系数法”原理，举例说明如下： 分解因式：x3+2x2﹣3． 观察知，显然x＝1时，原式＝0，因此原式可分解为（x﹣1）与另一个整式的积． 令：x3+2x2﹣3＝（x﹣1）（x2+bx+c）， 而（x﹣1）（x2+bx+c）＝x3+（b﹣1）x2+（c﹣b）x﹣c，因等式两边x同次幂的系数相等，则有：，得，从而x3+2x2﹣3＝（x﹣1）（x2+3x+3）． 此时，不难发现x＝1是方程x3+2x2﹣3＝0的一个根． 根据以上材料，理解并运用材料提供的方法，解答以下问题： （1）若x+1是多项式x3+ax+1的因式，求a的值并将多项式x3+ax+1分解因式． （2）若多项式3x4+ax3+bx﹣34含有因式x+1及x﹣2，求a+b的值． （3）若多项式6x2﹣xy﹣2y2+5x﹣8y+a可以分解为两个一次因式之积，求a的值将该多项式分解因式． 6．若，，且，则代数式的值为 　　． 类型二、乘法公式的运用 1．把加上一个单项式，使其成为多项式的完全平方式，请你写出所有符合条件的单项式　 　． 2．已知a＝2b﹣5，则代数式a2﹣4ab+4b2﹣5的值是（　　） A．﹣30 B．20 C．﹣10 D．0 3．若x﹣2y﹣2＝0，x2﹣4y2+4m＝0（0＜m＜1），则多项式2mx﹣x2﹣4my﹣4y2﹣4xy的值可能为（　　） A．﹣1 B．0 C． D． 4．若a2+2ab+b2﹣c2＝10，a+b+c＝5，则a+b﹣c的值是（　　） A．2 B．5 C．20 D．9 5．若，，则的值是　　 A．2 B．5 C．20 D．9 类型三、配方法的运用 1．已知a＝2019x+2018，b＝2019x+2019，c＝2019x+2020，则代数式a2+b2+c2﹣ab﹣ac﹣bc的值为（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 2．若m2+2mn+2n2﹣6n+9＝0，则的值为　　． 3．阅读材料： ①用配方法因式分解：． 解：原式． ②若，利用配方法求的最小值． 解：． ，， 当时，有最小值1． 请根据上述材料解决下列问题： （1）在横线上添上一个常数项使之称为完全平方式：　　． （2）用配方法因式分解：． （3）若，求的最大值． 4．（1）阅读下列材料：教科书中这样写道：“我们把多项式及叫做完全平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．即将多项式、为常数）写成、为常数）的形式，配方法是一种重要的解决数学问题的方法，不仅可以将有些看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题及求代数式最大、最小值等问题． 【知识理解】： （1）若多项式是一个完全平方式，那么常数的值为 　　； （2）配方：　　； 【知识运用】： （3）已知，则　　，　　； （4）求多项式：的最小值． 5．阅读材料：我们把多项式及叫做完全平方式．如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式的最大值，最小值等． 例如：分解因式：； 又例如：求代数式的最小值：； 又 当时，有最小值，最小值是． 根据阅读材料，利用“配方法”，解决下列问题： （1）分解因式：　　； （2）已知实数，满足，求的值； （3）当　　、　　时，多项式的最大值 　　． 类型四、几何背景中因式分解 1．对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式．例如图1可以得到，请解答下列问题： （1）写出图2中所表示的数学等式 　　． （2）利用（1）中得到的结论，解决下面的问题： 若，，则　　． （3）小明同学用图3中张边长为的正方形，张边长为的正方形，张边长分别为、的长方形纸片拼出一个面积为长方形图形，则　　． （4）如图4所示，将两个边长分别为和的正方形拼在一起，，，三点在同一直线上，连接和，若两正方形的边长满足，，你能求出阴影部分的面积吗？ 2．如图，在正方形中放入两张边长分别为和的正方形纸片，已知，正方形的面积记为，阴影部分面积分别记为，． （1）用含，，的代数式分别表示，． （2）若，且，求的值． （3）若，试说明是完全平方式． 3．数学活动课上，老师准备了若干个如图1的三种纸片，种纸片是边长为的正方形，种纸片是边长为的正方形，种纸片是长为、宽为的长方形．用种纸片一张，种纸片一张，种纸片两张可拼成如图2的大正方形． （1）观察图2，请你直接写出下列三个代数式：，，之间的等量关系为 　　； （2）晓晓同学利用上面的纸片拼出了一个面积为的长方形，这个长方形相邻两边长为 　　、　　； （3）根据（1）题中的等量关系，解决如下问题： ①已知：，，求的值； ②已知：，求的值． 4．我们知道，对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式．例如图①可以得到．请回答下列问题： （1）写出图②中所表示的数学等式 　　； （2）猜测　　． （3）利用（1）中得到的结论，解决下面的问题： 已知，，求的值； （4）在（3）的条件下，若、、分别是一个三角形的三边长，请判断该三角形的形状，并说明理由． 类型五、分式的运算 1．若，则的值为　　 A． B．1 C． D． 2．已知，则的值是　　 A．10 B．8 C． D． 3．若，为实数且满足，，设，，有以下2个结论：①若，则；②若，则．下列判断正确的是　　 A．①对②错 B．①错②对 C．①②都错 D．①②都对 4．已知，，满足，．则的值是　　． 5．已知为整数，且分式的值也为整数，则满足条件的所有的值之和为 　　． 类型六、分式运算之运用 1．已知，则　　． 3．探索： （1）如果，则　　； （2）如果，则　 　； 总结：如果（其中、、为常数），则　 　； 应用：利用上述结论解决：若代数式的值为整数，求满足条件的整数的值． 4．已知，是常数，．① （1）若，，求； （2）试将等式①变形成“”形式，其中，表示关于，，的整式； （3）若的取值与无关，请说明． 5．已知，，都是正数）． （1）计算：； （2）若，说明的理由； （3）设，且为正整数，试用等式表示，之间的关系． 类型七、分式之乘法公式之‘活’用 1．若，则的值　　 A．6 B．4 C． D． 2．（1）已知，求分式的值． （2）已知，求和的值． 3．已知，则　　． 4．求解下列问题： （1）已知，求的值； （2）已知，求的值； （3）已知，求的值． 5．甲、乙两个大小不一样的正方形按如图所示的两种方式放置．，，记图①中的阴影部分面积为，图②中的阴影部分面积为． （1）若，，则的值是 　　； （2）若，，则的值是 　　． 类型八、分式方程的解 1．若，则　　 A． B． C．1或0 D．或0 2．已知关于的方程无解，则的值是 　　． 3．若关于的分式方程有正整数解，则整数的值为　　． 4．用四块完全相同的小长方形拼成的一个“回形”正方形． （1）用两种不同的方法由代数式来表示图中阴影部分的面积，并用等号连接； （2）若，利用（1）中的结论计算，，求的值． （3）根据（1）中的结论，若，求的值． 5．有7个如图1的边长分别为，的小长方形，拼成如图2的大长方形． （1）观察图2，请你写出，满足的等量关系（用含的代数式表示； （2）将这7个图1的小长方形放入一个大长方形中，摆放方式如图3所示（小长方形都呈水平或竖直摆放），图中的阴影部分分别记为Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ． ①记阴影部分Ⅰ、Ⅱ的周长分别为，，试求的值； ②若阴影部分Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的面积之和为86，求，的值． 类型九、分式方程的应用 1．甲、乙两商场对某商品进行促销，已知甲商场原售价为元，乙商场原售价为元． （1）甲商场将该商品降价后销售，乙商场将该商品降价2元，若在甲商场花60元能买到的件数，在乙商场需花费70元才能买到，请用含的代数式表示； （2）在（1）的条件下，若甲商场降价后的售价为12元，求的值； （3）若，甲、乙两商场把该商品均按原价进行了两次降价，降价的百分比如下表所示，其中． 商场 第一次降价百分比 第二次降价百分比 甲 乙 如果你是消费者，你会选择去哪家商场更划算？请说明理由． 2．甲、乙两商场自行定价销售某一商品． （1）甲商场将该商品提价25%后的售价为1.25元，则该商品在甲商场的原价为　　元； （2）乙商场定价有两种方案：方案一将该商品提价20%；方案二将该商品提价1元．某顾客发现在乙商场用60元钱购买该商品，按方案一购买的件数是按方案二购买的件数的2倍少10件，求该商品在乙商场的原价是多少？ （3）甲、乙两商场把该商品均按原价进行了两次价格调整．甲商场：第一次提价的百分率是a，第二次提价的百分率是b；乙商场：两次提价的百分率都是（a＞0，b＞0，a≠b）．请问甲、乙两商场，哪个商场的提价较多？请说明理由． 3．为顺利通过“全国文明城市”验收，我市政府拟对城区部分路段的人行道地砖、绿化带、排水管等公用设施全面更新改造，根据市政建设的需要，需在20天内完成工程．现有甲、乙两个工程队有意承包这项工程，经调查知道，乙工程队单独完成此项工程的时间是甲工程队单独完成此项工程时间的2倍，若甲、乙两工程队合作只需要10天完成． （1）甲、乙两个工程队单独完成此项工程各需多少天？ （2）若甲工程队每天的工程费用是4.5万元，乙工程队每天的工程费用是2万元，请你设计一种方案，既能按时完工，又使工程费用最少． 4．某工程队用甲、乙两台隧道挖掘机从两个方向挖掘同一条隧道，因为地质条件不同，甲、乙的挖掘速度不同，已知甲、乙同时挖掘3天，可以挖216米，若甲挖2天，乙挖5天可以挖掘270米． （1）请问甲、乙挖掘机每天可以挖掘多少米？ （2）若乙挖掘机比甲挖掘每小时多挖掘1米，甲、乙每天挖掘的时间相同，求甲每小时挖掘多少米？ （3）若隧道的总长为米，甲、乙挖掘机工作天后，因为甲挖掘机进行设备更新，乙挖掘机设备老化，甲比原来每天多挖米，同时乙比原来少挖米．最终，甲、乙两台挖掘机在相同时间里各完成隧道总长的一半，请用含，的代数式表示． 5．阅读下列材料： 在学习“分式方程及其解法”过程中，老师提出一个问题：若关于x的分式方程+＝1的解为正数，求a的取值范围？ 经过小组交流讨论后，同学们逐渐形成了两种意见： 小明说：解这个关于x的分式方程，得到方程的解为x＝a﹣2．由题意可得a﹣2＞0，所以a＞2，问题解决． 小强说：你考虑的不全面．还必须保证a≠3才行． 老师说：小强所说完全正确． 请回答：小明考虑问题不全面，主要体现在哪里？请你简要说明：　小明没有考虑分式的分母不为0（或分式必须有意义）这个条件　． 完成下列问题： （1）已知关于x的方程＝1的解为负数，求m的取值范围； （2）若关于x的分式方程+＝﹣1无解．直接写出n的取值范围． 类型十、常考创新题 1．对于多项式x3﹣5x2+x+10，我们把x＝2代入此多项式，发现x＝2能使多项式x3﹣5x2+x+10的值为0，由此可以断定多项式x3﹣5x2+x+10中有因式（x﹣2），（注：把x＝a代入多项式，能使多项式的值为0，则多项式一定含有因式（x﹣a）），于是我们可以把多项式写成：x3﹣5x2+x+10＝（x﹣2）（x2+mx+n），分别求出m、n后再代入x3﹣5x2+x+10＝（x﹣2）（x2+mx+n），就可以把多项式x3﹣5x2+x+10因式分解． （1）求式子中m、n的值； （2）以上这种因式分解的方法叫“试根法”，用“试根法”分解多项式x3+5x2+8x+4． 2．阅读下列材料： 材料1、将一个形如x2+px+q的二次三项式因式分解时，如果能满足q＝mn且p＝m+n，则可以把x2+px+q因式分解成（x+m）（x+n） （1）x2+4x+3＝（x+1）（x+3）（2）x2﹣4x﹣12＝（x﹣6）（x+2） 材料2、因式分解：（x+y）2+2（x+y）+1 解：将“x+y”看成一个整体，令x+y＝A，则原式＝A2+2A+1＝（A+1）2 再将“A”还原，得：原式＝（x+y+1）2 上述解题用到“整体思想”，整体思想是数学解题中常见的一种思想方法，请你解答下列问题： （1）根据材料1，把x2﹣6x+8分解因式． （2）结合材料1和材料2，完成下面小题： ①分解因式：（x﹣y）2+4（x﹣y）+3； ②分解因式：m（m+2）（m2+2m﹣2）﹣3． 3．若一个整数能表示成， 是整数）的形式，则称这个数为“完美数”．例如， 所以13是“完美数”．再如，， 是整数），所以也是“完美数”． （1）请直接写出一个小于10的“完美数”，这个“完美数”是 　　； 判断：45 　　（请填写“是”或“不是” “完美数”； （2）已知，是整数，是常数），要使为“完美数”，试求出符合条件的一个值，并说明理由． （3）如果数，都是“完美数”， ，试说明 也是“完美数”． 4．我们规定：分式中，在分子、分母都是整式的情况下，如果分子的次数低于分母的次数，称这样的分式为真分式．例如，分式，是真分式．如果分子的次数不低于分母的次数，称这样的分式为假分式．例如，分式，是假分式．一个假分式可以化为一个整式与一个真分式的和．例如，，． （1）将假分式化为一个整式与一个真分式的和； （2）将假分式化成一个整式与一个真分式的和的形式为：，求、的值；并直接写出当整数为何值时，分式为正整数； （3）自然数是的整数部分，则的数字和为 　80　．（把组成一个数的各个数位上的数字相加，所得的和，就叫做这个数的数字和．例如：126的数字和就是． 5．对于一些特殊的方程，我们给出两个定义：①若两个方程有相同的一个解，则称这两个方程为“相似方程”；②若两个方程有相同的整数解，则称这两个方程为“相伴方程”． （1）判断一元一次方程与分式方程是否是“相似方程”，并说明理由； （2）已知关于，的二元一次方程与是“相伴方程”，求正整数的值． 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 浙教版七下期末考压轴题专练 目录 压轴题题型讲练 类型一、因式分解 1 类型二、乘法公式运用 4 类型三、配方法运用 6 类型四、几何背景中的因式分解 10 类型五、分式的运算 14 类型六、分式运算之运用 16 类型七、分式之乘法公式“活”运用 19 类型八、分式方程的解 22 类型九、分式方程应用题 25 类型十、常考创新题 30 类型一、因式分解 1．已知x3+x2+x+1＝0，则x2019+x2018+x2017+…+x+1的值是（　　） A．0 B．1 C．﹣1 D．2 【答案】：A 【解析】解：∵x3+x2+x+1＝0， ∴x2019+x2018+x2017+x2016+…+x4+x3+x2+x+1 ＝x2016（x3+x2+x+1）+…+（x3+x2+x+1） ＝（x3+x2+x+1）（x2016+…+x4+1） ＝0． 选A． 2．若实数x满足x2﹣2x﹣1＝0，则2x3﹣7x2+4x+2023的值为（　　） A．2020 B．2021 C．2022 D．2023 【答案】：A 【解析】解：∵x2﹣2x﹣1＝0， ∴2x3﹣7x2+4x+2023 ＝2x（x2﹣2x﹣1）﹣3（x2﹣2x﹣1）+2020 ＝2x×0﹣3×0+2020 ＝0+0+2020 ＝2020， 选：A． 3．分解因式：　　． 【答案】：; 【解析】解： ， ， 答案：． 4．先阅读下列材料： 分解因式：（a+b）2﹣2（a+b）+1． 解：将“a+b”看成整体，设M＝a+b，则原式＝M2﹣2M+1＝（M﹣1）2，再将M还原，得原式＝（a+b﹣1）2． 上述解题用到的是“整体思想”，请你仿照上面的方法解答下列问题： （1）分解因式：（a2+2a+2）（a2+2a）+1． （2）化简：． 【答案】：（1）（a+1）4 ；（2）n2+3n+1； 【解析】解：（1）设a2+2a＝M， 原式＝（M+2）M+1＝M2+2M+1＝（M+1）2， 将M还原得，原式＝（a2+2a+1）2＝（a+1）4； （2）设n2+3n＝M， 原式＝＝， 将M还原得，原式＝n2+3n+1． 5．阅读下列材料 1637年笛卡儿（R．Descartes，1596﹣1650）在其《几何学》中，首次应用待定系数法将4次方程分解为两个2次方程求解，并最早给出因式分解定理． 他认为，若一个高于二次的关于x的多项式能被（x﹣a）整除，则其一定可以分解为（x﹣a）与另外一个整式的乘积，而且令这个多项式的值为0时，x＝a是关于x的这个方程的一个根． 例如：多项式x2+9x﹣10可以分解为（x﹣1）与另外一个整式M的乘积，即x2+9x﹣10＝（x﹣1）M，令x2+9x﹣10＝0时，可知x＝1为该方程的一个根． 关于笛卡尔的“待定系数法”原理，举例说明如下： 分解因式：x3+2x2﹣3． 观察知，显然x＝1时，原式＝0，因此原式可分解为（x﹣1）与另一个整式的积． 令：x3+2x2﹣3＝（x﹣1）（x2+bx+c）， 而（x﹣1）（x2+bx+c）＝x3+（b﹣1）x2+（c﹣b）x﹣c，因等式两边x同次幂的系数相等，则有：，得，从而x3+2x2﹣3＝（x﹣1）（x2+3x+3）． 此时，不难发现x＝1是方程x3+2x2﹣3＝0的一个根． 根据以上材料，理解并运用材料提供的方法，解答以下问题： （1）若x+1是多项式x3+ax+1的因式，求a的值并将多项式x3+ax+1分解因式． （2）若多项式3x4+ax3+bx﹣34含有因式x+1及x﹣2，求a+b的值． （3）若多项式6x2﹣xy﹣2y2+5x﹣8y+a可以分解为两个一次因式之积，求a的值将该多项式分解因式． 【答案】：（1）x3+ax+1＝（x+1）（x2﹣x+1）；（2）a＝8；a+b＝8+（﹣39）＝﹣31； （3）6x2﹣xy﹣2y2+5x﹣8y+a＝（2x+y+3）（3x﹣2y﹣2） ； 【解析】解：（1）x3+ax+1＝（x+1）（x2+bx+c）＝x3+（b+1）x2+（b+c）x+c， ∴，解得 ∴x3+ax+1＝（x+1）（x2﹣x+1）； （2）设3x4+ax3+bx﹣34＝（x+1）（x﹣2）•M（其中M为二次整式）， 由材料可知，x＝﹣1，x＝2是方程3x4+ax3+bx﹣34＝0的解， ∴求得a＝8，b＝﹣39， ∴a+b＝8+（﹣39）＝﹣31； （3）∵6x2﹣xy﹣2y2＝（2x+y）（3x﹣2y）， ∴令6x2﹣xy﹣2y2+5x﹣8y+a＝[（2x+y）+c][（3x﹣2y）+d]， 则上式＝6x2﹣xy﹣2y2+（2d+3c）x+（d﹣2c）y+cd， ∴， ∴， ∴6x2﹣xy﹣2y2+5x﹣8y+a＝6x2﹣xy﹣2y2+5x﹣8y﹣6＝[（2x+y）+3][（3x﹣2y）﹣2]＝（2x+y+3）（3x﹣2y﹣2） 6．若，，且，则代数式的值为 　　． 【答案】：； 【解析】解：，， ， ， ， ， ，， ，， 原式 ． 答案：． 类型二、乘法公式的运用 1．把加上一个单项式，使其成为多项式的完全平方式，请你写出所有符合条件的单项式　 　． 【答案】：、，，； 【解析】：解：； ； 加上的单项式可以是、，、中任意一个． 答案：、、、． 2．已知a＝2b﹣5，则代数式a2﹣4ab+4b2﹣5的值是（　　） A．﹣30 B．20 C．﹣10 D．0 【答案】：B; 【解析】解：已知式子a＝2b﹣5变形为a+2b＝﹣5， ∴a2﹣4ab+4b2﹣5＝（a﹣2b）2﹣5＝52﹣5＝20． 选：B． 3．若x﹣2y﹣2＝0，x2﹣4y2+4m＝0（0＜m＜1），则多项式2mx﹣x2﹣4my﹣4y2﹣4xy的值可能为（　　） A．﹣1 B．0 C． D． 【答案】：C; 【解析】解：∵x﹣2y﹣2＝0，x2﹣4y2+4m＝0（0＜m＜1）， ∴x﹣2y＝2， ∴4m＝4y2﹣x2＝（2y+x）（2y﹣x）， ∴x+2y＝﹣2m， ∴2mx﹣x2﹣4my﹣4y2﹣4xy ＝（2mx﹣4my）﹣（x2+4y2+4xy） ＝2m（x﹣2y）﹣（x2+4y2+4xy） ＝2m（x﹣2y）﹣（x+2y）2 ＝4m﹣4m2 ＝﹣（2m﹣1）2+1， ∵0＜m＜1， ∴0＜2m＜2， ∴﹣1＜2m﹣1＜1， ∴0＜（2m﹣1）2＜1， ∴0＜﹣（2m﹣1）2+1＜1， 选：C． 4．若a2+2ab+b2﹣c2＝10，a+b+c＝5，则a+b﹣c的值是（　　） A．2 B．5 C．20 D．9 【答案】：A; 【解析】解：a2+2ab+b2﹣c2＝10， （a+b）2﹣c2＝10， （a+b+c）（a+b﹣c）＝10， ∵a+b+c＝5， ∴5（a+b﹣c）＝10， 解得a+b﹣c＝2． 选：A． 5．若，，则的值是　　 A．2 B．5 C．20 D．9 【答案】：A; 【解析】解：， ， ， ， ， ， ， 选：． 类型三、配方法的运用 1．已知a＝2019x+2018，b＝2019x+2019，c＝2019x+2020，则代数式a2+b2+c2﹣ab﹣ac﹣bc的值为（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】：D; 【解析】解：∵a＝2019x+2018，b＝2019x+2019，c＝2019x+2020， ∴a﹣b＝﹣1，b﹣c＝﹣1，c﹣a＝2， ∴a2+b2+c2﹣ab﹣ac﹣bc ＝2（a2+b2+c2﹣ab﹣ac﹣bc）÷2 ＝[（a﹣b）2+（b﹣c）2+（c﹣a）2]÷2 ＝[（﹣1）2+（﹣1）2+22]÷2 ＝6÷2＝3选：D． 2．若m2+2mn+2n2﹣6n+9＝0，则的值为　　． 【答案】： 【解析】解：∵m2+2mn+2n2﹣6n+9＝0 ∴（m+n）2+（n﹣3）2＝0， ∴m+n＝0且n﹣3＝0， ∴m＝﹣3，n＝3， ∴＝＝﹣． 答案﹣． 3．阅读材料： ①用配方法因式分解：． 解：原式． ②若，利用配方法求的最小值． 解：． ，， 当时，有最小值1． 请根据上述材料解决下列问题： （1）在横线上添上一个常数项使之称为完全平方式：　　． （2）用配方法因式分解：． （3）若，求的最大值． 【答案】：（1）4;（2）；（3）当时，有最大值3； 【解析】解：（1）， 故答案为：4； （2） ； （3） ， 当时，有最大值3． 4．（1）阅读下列材料：教科书中这样写道：“我们把多项式及叫做完全平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．即将多项式、为常数）写成、为常数）的形式，配方法是一种重要的解决数学问题的方法，不仅可以将有些看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题及求代数式最大、最小值等问题． 【知识理解】： （1）若多项式是一个完全平方式，那么常数的值为 　　； （2）配方：　　； 【知识运用】： （3）已知，则　　，　　； （4）求多项式：的最小值． 【答案】：（1）;（2）10;（3），4;（4）2; 【解析】解：（1）多项式是一个完全平方式， ， ， 答案：； （2）， 答案：10； （3）， ， ， ， ， 答案：，4； （4）， ， ， ，， 的最小值为2． 5．阅读材料：我们把多项式及叫做完全平方式．如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式的最大值，最小值等． 例如：分解因式：； 又例如：求代数式的最小值：； 又 当时，有最小值，最小值是． 根据阅读材料，利用“配方法”，解决下列问题： （1）分解因式：　　； （2）已知实数，满足，求的值； （3）当　　、　　时，多项式的最大值 　　． 【答案】：（1）;（2）16;（3）4；；9． 【解析】解：（1） ， 答案：； （2）已知， 移项得：， 变形得：， 即， 则， 那么，， 解得：，， 则； （3） ， 当，时，原式有最大值9， 即，时，原式有最大值9， 答案：4；；9． 类型四、几何背景中因式分解 1．对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式．例如图1可以得到，请解答下列问题： （1）写出图2中所表示的数学等式 　　． （2）利用（1）中得到的结论，解决下面的问题： 若，，则　　． （3）小明同学用图3中张边长为的正方形，张边长为的正方形，张边长分别为、的长方形纸片拼出一个面积为长方形图形，则　　． （4）如图4所示，将两个边长分别为和的正方形拼在一起，，，三点在同一直线上，连接和，若两正方形的边长满足，，你能求出阴影部分的面积吗？ 【答案】：（1）；; （2）155；（3）9；（4）42； 【解析】解：（1）大正方形的面积， 又大正方形的面积， ． 答案：． （2）由（1）得， ，， ， 答案：155． （3）， ，，， ， 答案：9． （4）由图可知，， ， 将，代入， 得原式． 阴影部分的面积为42． 2．如图，在正方形中放入两张边长分别为和的正方形纸片，已知，正方形的面积记为，阴影部分面积分别记为，． （1）用含，，的代数式分别表示，． （2）若，且，求的值． （3）若，试说明是完全平方式． 【答案】：（1）；; （2）；（3）见解析； 【解析】：解：（1）， ． （2）， ．． ，， ． （3）当时，， ， ． 是完全平方式． 3．数学活动课上，老师准备了若干个如图1的三种纸片，种纸片是边长为的正方形，种纸片是边长为的正方形，种纸片是长为、宽为的长方形．用种纸片一张，种纸片一张，种纸片两张可拼成如图2的大正方形． （1）观察图2，请你直接写出下列三个代数式：，，之间的等量关系为 　　； （2）晓晓同学利用上面的纸片拼出了一个面积为的长方形，这个长方形相邻两边长为 　　、　　； （3）根据（1）题中的等量关系，解决如下问题： ①已知：，，求的值； ②已知：，求的值． 【答案】：（1）; （2），；（3）①6； ②16； 【解析】：解：（1）观察图形可知：， 答案：； （2） ， 这个长方形相邻两边长为、， 答案：，； （3）①，，， ， ， ， ； ②，， ， ， ， ． 4．我们知道，对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式．例如图①可以得到．请回答下列问题： （1）写出图②中所表示的数学等式 　　； （2）猜测　　． （3）利用（1）中得到的结论，解决下面的问题： 已知，，求的值； （4）在（3）的条件下，若、、分别是一个三角形的三边长，请判断该三角形的形状，并说明理由． 【答案】：（1）； （1） ； （3）48；（4）等边三角形，见解析； 【解析】：解：（1）， 答案：； （2）， 答案：； （3）， ， ； （4），， ，即， ， ， ， ，，， ，，， ， 该三角形是等边三角形． 类型五、分式的运算 1．若，则的值为　　 A． B．1 C． D． 【答案】：D; 【解析】解：变形为，， ，， ，， ，． 选：． 2．已知，则的值是　　 A．10 B．8 C． D． 【答案】：D; 【解析】解：， ， ． ， ， ． 选：． 3．若，为实数且满足，，设，，有以下2个结论：①若，则；②若，则．下列判断正确的是　　 A．①对②错 B．①错②对 C．①②都错 D．①②都对 【答案】：D; 【解析】解：， 当时，，即， 故①正确； ， 当时，， ，， ， ， ， ， ， 故②正确． 综上所述，结论①②都正确， 选：． 4．已知，，满足，．则的值是　　． 【答案】： 【解析】解：根据题意得：， ①②得：，即， 把代入①得：， 则原式， 答案：. 5．已知为整数，且分式的值也为整数，则满足条件的所有的值之和为 　　． 【答案】：0 【解析】：解：， 为整数，分式的值也为整数， 当时，分式，符合题意； 当时，分式值，符合题意； 当时，分式值，符合题意； 当时，分式值，符合题意； 满足条件的的值为0、、、3，所有满足条件的数的和为， 答案：0． 类型六、分式运算之运用 1．已知，则　　． 【答案】：4； 【解析】：解：设 则 ， 答案：4． 2．若，，则　　． 【答案】：3； 【解析】：解：①，②， ①②得：，， 解得：． 答案：3． 3．探索： （1）如果，则　　； （2）如果，则　 　； 总结：如果（其中、、为常数），则　 　； 应用：利用上述结论解决：若代数式的值为整数，求满足条件的整数的值． 【答案】：（1）1； （2）-13；总结：； 应用：2或0； 【解析】：解：探索：（1）已知等式整理得：，即， 解得：；答案：1； （2）已知等式整理得：，即，解得：； 总结：； 答案：； 应用：， 为整数且为整数，，或0． 4．已知，是常数，．① （1）若，，求； （2）试将等式①变形成“”形式，其中，表示关于，，的整式； （3）若的取值与无关，请说明． 【答案】：(1) ;(2) ，;(3) 见解析 ; 【解析】解：（1）当，时， ； （2）将两边都乘以得， ， 去括号得，， 移项得，， 两边都乘以得，， 即， ，； （3）的取值与无关， ，即， ，即， ． 5．已知，，都是正数）． （1）计算：； （2）若，说明的理由； （3）设，且为正整数，试用等式表示，之间的关系． 【答案】：(1) ;(2) 见解析;(3)或或 ; 【解析】解：（1）． ． （2）， ，， ， ， ． （3） ， 是正整数，，都是正数， 或或． 或或， 或或． 类型七、分式之乘法公式之‘活’用 1．若，则的值　　 A．6 B．4 C． D． 【答案】：【解析】解：， ，，． 选：． 2．（1）已知，求分式的值． （2）已知，求和的值． 【答案】：（1）；（2）119； 【解析】解：（1）， ， ； （2）， ，， ；， ， ． 3．已知，则　　． 【答案】：； 【解析】：解：，． ．．． ， ． 答案：． 4．求解下列问题： （1）已知，求的值； （2）已知，求的值； （3）已知，求的值． 【答案】：（1）322； （2）5； （3）207； 【解析】：解：（1），，即， ，即，； （2），，即， ； （3）， 将两边同时除以得，， ，， ， ． 5．甲、乙两个大小不一样的正方形按如图所示的两种方式放置．，，记图①中的阴影部分面积为，图②中的阴影部分面积为． （1）若，，则的值是 　　； （2）若，，则的值是 　　． 【答案】：（1）20； （2）； 【解析】解：（1），， 乙正方形的边长为， ， 答案：20； （2）①， ， ， ， 整理得，， 解得，， ， ， ， 答案：． 类型八、分式方程的解 1．若，则　　 A． B． C．1或0 D．或0 【答案】：C; 【解析】解：， 方程两边都乘，得 ， ， ， 或， 解得：或或， 经检验：和是分式方程的解，不是分式方程的解， 选：． 2．已知关于的方程无解，则的值是 　　． 【答案】：或0; 【解析】解：去分母，得， 整理，得， 当时，整式方程无解； 当时，分式方程有增根或． 当时，， 解得； 当时，，此情况不存在， 综上，的值是或0． 答案：或0． 3．若关于的分式方程有正整数解，则整数的值为　　． 【答案】：0； 【解析】：解：原式； ；； ， 分式方程有正整数解，，即， ，， ，，即，， 数的值为：． 答案：． 4．用四块完全相同的小长方形拼成的一个“回形”正方形． （1）用两种不同的方法由代数式来表示图中阴影部分的面积，并用等号连接； （2）若，利用（1）中的结论计算，，求的值． （3）根据（1）中的结论，若，求的值． 【答案】：（1）； （2）； （3）； 【解析】解：（1）阴影部分的面积； （2），， 又， ， （负数不符合题意，舍去）； （3）， ， 因为要使有意义，必须， 所以方程两边除以得：， ， ． 5．有7个如图1的边长分别为，的小长方形，拼成如图2的大长方形． （1）观察图2，请你写出，满足的等量关系（用含的代数式表示； （2）将这7个图1的小长方形放入一个大长方形中，摆放方式如图3所示（小长方形都呈水平或竖直摆放），图中的阴影部分分别记为Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ． ①记阴影部分Ⅰ、Ⅱ的周长分别为，，试求的值； ②若阴影部分Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的面积之和为86，求，的值． 【答案】：（1）； （2）①； ②a=3;b=4； 【解析】解：（1）由题可知：，； （2）①阴影部分Ⅰ、Ⅱ的周长分别为：， ， ； ②阴影部分Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的面积之和， 将代入得：， ，即舍去）， ． 类型九、分式方程的应用 1．甲、乙两商场对某商品进行促销，已知甲商场原售价为元，乙商场原售价为元． （1）甲商场将该商品降价后销售，乙商场将该商品降价2元，若在甲商场花60元能买到的件数，在乙商场需花费70元才能买到，请用含的代数式表示； （2）在（1）的条件下，若甲商场降价后的售价为12元，求的值； （3）若，甲、乙两商场把该商品均按原价进行了两次降价，降价的百分比如下表所示，其中． 商场 第一次降价百分比 第二次降价百分比 甲 乙 如果你是消费者，你会选择去哪家商场更划算？请说明理由． 【答案】：（1）； （2）； （3）选择去甲商场更划算．； 【解析】解：（1）由题意得：在甲商场购买的件数为：， 在乙商场购买的件数为：， 整理得：， ， ； （2）由题意得：， 解得：， ， ， 解得：； （3）由题意得：甲商场按原价进行了两次降价后的价格为：， 乙商场按原价进行了两次降价后的价格为：， ， ， 原式 ， 选择去甲商场更划算． 2．甲、乙两商场自行定价销售某一商品． （1）甲商场将该商品提价25%后的售价为1.25元，则该商品在甲商场的原价为　　元； （2）乙商场定价有两种方案：方案一将该商品提价20%；方案二将该商品提价1元．某顾客发现在乙商场用60元钱购买该商品，按方案一购买的件数是按方案二购买的件数的2倍少10件，求该商品在乙商场的原价是多少？ （3）甲、乙两商场把该商品均按原价进行了两次价格调整．甲商场：第一次提价的百分率是a，第二次提价的百分率是b；乙商场：两次提价的百分率都是（a＞0，b＞0，a≠b）．请问甲、乙两商场，哪个商场的提价较多？请说明理由． 【答案】（1）1； （2）1元或5元； （3）乙商场； 【解析】解：（1）1.25÷（1+25%）＝1（元）； 故答案为：1； （2）设该商品在乙商场的原价为x元， 根据题意得：＝﹣10， 解得：x＝1或x＝5， 经检验：x＝1与x＝5满足方程，符合实际， 答：该商品在乙商场的原价为1元或5元； （3）若原价为1元，则 甲商场两次提价后的价格为：（1+a）（1+b）＝1+a+b+ab． 乙商场两次提价后的价格为：（1+）2＝1+a+b+（）2， ∵（）2﹣ab＝（）2＞0， ∴乙商场两次提价后价格较多； 若原价为5元，同理可得乙商场两次提价后价格较多． 3．为顺利通过“全国文明城市”验收，我市政府拟对城区部分路段的人行道地砖、绿化带、排水管等公用设施全面更新改造，根据市政建设的需要，需在20天内完成工程．现有甲、乙两个工程队有意承包这项工程，经调查知道，乙工程队单独完成此项工程的时间是甲工程队单独完成此项工程时间的2倍，若甲、乙两工程队合作只需要10天完成． （1）甲、乙两个工程队单独完成此项工程各需多少天？ （2）若甲工程队每天的工程费用是4.5万元，乙工程队每天的工程费用是2万元，请你设计一种方案，既能按时完工，又使工程费用最少． 【答案】：（1）甲工程队单独完成此项工程需15天，乙工程队单独完成此项工程需30天； （2）甲乙合作5天，乙工程队单独做15天费用最小，最小费用为62.5万元； 【解析】解：（1）设甲工程队单独完成该工程需天，则乙工程队单独完成该工程需天，由题意得： ， 解得：， 经检验，是原分式方程的解， ． 答：甲工程队单独完成此项工程需15天，乙工程队单独完成此项工程需30天． （2）设甲工程队做天，乙工程队做天， 根据题意得：， 整理得，即， 所需费用， 根据一次函数的性质可得， 越小，所需费用越小， 需在20天内完成工程， ， 即时，， 即甲乙合作5天，乙工程队单独做15天费用最小， 最小费用为（万元）， 答：甲乙合作5天，乙工程队单独做15天费用最小，最小费用为62.5万元． 4．某工程队用甲、乙两台隧道挖掘机从两个方向挖掘同一条隧道，因为地质条件不同，甲、乙的挖掘速度不同，已知甲、乙同时挖掘3天，可以挖216米，若甲挖2天，乙挖5天可以挖掘270米． （1）请问甲、乙挖掘机每天可以挖掘多少米？ （2）若乙挖掘机比甲挖掘每小时多挖掘1米，甲、乙每天挖掘的时间相同，求甲每小时挖掘多少米？ （3）若隧道的总长为米，甲、乙挖掘机工作天后，因为甲挖掘机进行设备更新，乙挖掘机设备老化，甲比原来每天多挖米，同时乙比原来少挖米．最终，甲、乙两台挖掘机在相同时间里各完成隧道总长的一半，请用含，的代数式表示． 【答案】：（1）甲每天挖30米，乙每天挖42米；（2）甲每小时挖掘2.5米； （3）．； 【解析】解：（1）设甲、乙每天分别挖、米． 依题意得：． 解得． 答：甲每天挖30米，乙每天挖42米； （2）设甲每小时挖米，则乙每小时挖米， 依题意得：， 解得． 经检验：是原方程的解，且符合题意． 答：甲每小时挖掘2.5米； （3）由题意可知天后甲完成米，剩余米，乙完成米，剩余米， 依题意得：， 整理，得． ． 解得． 5．阅读下列材料： 在学习“分式方程及其解法”过程中，老师提出一个问题：若关于x的分式方程+＝1的解为正数，求a的取值范围？ 经过小组交流讨论后，同学们逐渐形成了两种意见： 小明说：解这个关于x的分式方程，得到方程的解为x＝a﹣2．由题意可得a﹣2＞0，所以a＞2，问题解决． 小强说：你考虑的不全面．还必须保证a≠3才行． 老师说：小强所说完全正确． 请回答：小明考虑问题不全面，主要体现在哪里？请你简要说明：　小明没有考虑分式的分母不为0（或分式必须有意义）这个条件　． 完成下列问题： （1）已知关于x的方程＝1的解为负数，求m的取值范围； （2）若关于x的分式方程+＝﹣1无解．直接写出n的取值范围． 【答案】（1）m＜且m≠﹣； （2）n＝1或n＝．； 【解析】解：请回答：小明没有考虑分式的分母不为0（或分式必须有意义）这个条件； （1）解关于x的分式方程得，x＝， ∵方程有解，且解为负数， ∴， 解得：m＜且m≠﹣； （2）分式方程去分母得：3﹣2x+nx﹣2＝﹣x+3，即（n﹣1）x＝2， 由分式方程无解，得到x﹣3＝0，即x＝3， 代入整式方程得：n＝； 当n﹣1＝0时，整式方程无解，此时n＝1， 综上，n＝1或n＝． 类型十、常考创新题 1．对于多项式x3﹣5x2+x+10，我们把x＝2代入此多项式，发现x＝2能使多项式x3﹣5x2+x+10的值为0，由此可以断定多项式x3﹣5x2+x+10中有因式（x﹣2），（注：把x＝a代入多项式，能使多项式的值为0，则多项式一定含有因式（x﹣a）），于是我们可以把多项式写成：x3﹣5x2+x+10＝（x﹣2）（x2+mx+n），分别求出m、n后再代入x3﹣5x2+x+10＝（x﹣2）（x2+mx+n），就可以把多项式x3﹣5x2+x+10因式分解． （1）求式子中m、n的值； （2）以上这种因式分解的方法叫“试根法”，用“试根法”分解多项式x3+5x2+8x+4． 【答案】：（1）m＝﹣3，n＝﹣5； （2）x3+5x2+8x+4＝（x+1）（x+2）2； 【解析】解：（1）在等式x3﹣5x2+x+10＝（x﹣2）（x2+mx+n），中， 分别令x＝0，x＝1， 即可求出：m＝﹣3，n＝﹣5 （2）把x＝﹣1代入x3+5x2+8x+4，得其值为0， 则多项式可分解为（x+1）（x2+ax+b）的形式， 用上述方法可求得：a＝4，b＝4，（8分） 所以x3+5x2+8x+4＝（x+1）（x2+4x+4）， ＝（x+1）（x+2）2． 2．阅读下列材料： 材料1、将一个形如x2+px+q的二次三项式因式分解时，如果能满足q＝mn且p＝m+n，则可以把x2+px+q因式分解成（x+m）（x+n） （1）x2+4x+3＝（x+1）（x+3）（2）x2﹣4x﹣12＝（x﹣6）（x+2） 材料2、因式分解：（x+y）2+2（x+y）+1 解：将“x+y”看成一个整体，令x+y＝A，则原式＝A2+2A+1＝（A+1）2 再将“A”还原，得：原式＝（x+y+1）2 上述解题用到“整体思想”，整体思想是数学解题中常见的一种思想方法，请你解答下列问题： （1）根据材料1，把x2﹣6x+8分解因式． （2）结合材料1和材料2，完成下面小题： ①分解因式：（x﹣y）2+4（x﹣y）+3； ②分解因式：m（m+2）（m2+2m﹣2）﹣3． 【答案】：（1）x2﹣6x+8＝（x﹣2）（x﹣4）； （2）（x﹣y）2+4（x﹣y）+3＝（x﹣y+1）（x﹣y+3）；； （3）（m+1）2（m﹣1）（m+3）； 【解析】解：（1）x2﹣6x+8＝（x﹣2）（x﹣4）； （2）①令A＝x﹣y， 则原式＝A2+4A+3＝（A+1）（A+3）， 所以（x﹣y）2+4（x﹣y）+3＝（x﹣y+1）（x﹣y+3）； ②令B＝m2+2m， 则原式＝B（B﹣2）﹣3 ＝B2﹣2B﹣3 ＝（B+1）（B﹣3）， 所以原式＝（m2+2m+1）（m2+2m﹣3） ＝（m+1）2（m﹣1）（m+3）． 3．若一个整数能表示成， 是整数）的形式，则称这个数为“完美数”．例如， 所以13是“完美数”．再如，， 是整数），所以也是“完美数”． （1）请直接写出一个小于10的“完美数”，这个“完美数”是 　　； 判断：45 　　（请填写“是”或“不是” “完美数”； （2）已知，是整数，是常数），要使为“完美数”，试求出符合条件的一个值，并说明理由． （3）如果数，都是“完美数”， ，试说明 也是“完美数”． 【答案】：（1）5（答案不唯一），是； （2）； （3）是完美数； 【解析】解：（1）， 是“完美数”， ， 是“完美数”； 答案：5（答案不唯一），是； （2） ， 为“完美数”， ， ； （3）， 设，， ， 是完美数． 4．我们规定：分式中，在分子、分母都是整式的情况下，如果分子的次数低于分母的次数，称这样的分式为真分式．例如，分式，是真分式．如果分子的次数不低于分母的次数，称这样的分式为假分式．例如，分式，是假分式．一个假分式可以化为一个整式与一个真分式的和．例如，，． （1）将假分式化为一个整式与一个真分式的和； （2）将假分式化成一个整式与一个真分式的和的形式为：，求、的值；并直接写出当整数为何值时，分式为正整数； （3）自然数是的整数部分，则的数字和为 　80　．（把组成一个数的各个数位上的数字相加，所得的和，就叫做这个数的数字和．例如：126的数字和就是． 【答案】：（1）； （2）或4； （3）80； 【解析】解：（1）； （2）， ，， 分式为正整数， 为整数且， 或4． （3） 999 ， 999 998， 所以数字之和为：80． 答案：80． 5．对于一些特殊的方程，我们给出两个定义：①若两个方程有相同的一个解，则称这两个方程为“相似方程”；②若两个方程有相同的整数解，则称这两个方程为“相伴方程”． （1）判断一元一次方程与分式方程是否是“相似方程”，并说明理由； （2）已知关于，的二元一次方程与是“相伴方程”，求正整数的值． 【答案】：（1）不是，见解析； （2）或3； 【解析】解：（1）一元一次方程与分式方程不是“相似方程”，理由如下： 解一元一次方程， 解得：， 解分式方程， 解得：， 检验：当时，， 原分式方程无解， 一元一次方程与分式方程不是“相似方程”； （2）由题意，两个方程由相同的整数解， ， ， ①当时，方程无解， ②当，即时，，即， ，均为整数， ，2，，， 又取正整数， 或3． 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $$