2025届高三数学二轮复习微专题突破练19：直线与圆锥曲线的位置关系

微专题19　直线与圆锥曲线的位置关系 一、单选题 1.若直线y＝x－1与椭圆x2＋3y2＝a有且只有一个公共点，那么a的值为(　　) 1 2.(2024·遵义模拟)已知椭圆C：＋＝1，过点P的直线与椭圆C交于A，B两点且AB的中点为P，则坐标原点O到直线AB的距离为(　　) 1 2 2 3.(2024·泸州三模)已知点M(4，4)在抛物线C：y2＝2px(p>0)上，F为C的焦点，直线MF与C的准线相交于点N，则|MN|＝(　　) 4.已知F1为椭圆＋＝1的左焦点，过F1作倾斜角为的直线与椭圆交于A，B两点，O为坐标原点，则△AOB的面积为(　　) 3 5.已知抛物线C：y2＝4x，圆F：(x－1)2＋y2＝1，直线l：y＝k(x－1)(k≠0)自上而下顺次与上述两曲线交于M1，M2，M3，M4四点，则下列各式结果为定值的是(　　) |M1M2|·|M3M4| |FM1|·|FM4| |M1M3|·|M2M4| |FM1|·|M1M2| 6.已知过双曲线C：－＝1的左焦点F的直线l与双曲线左支交于点A，B，过原点与弦AB中点D的直线交直线x＝－于点E，若△AEF为等腰直角三角形，则直线l的方程可以为(　　) x＋(3－2)y＋2＝0 x－(3＋2)y＋2＝0 x＋(3－2)y－2＝0 x＋(3＋2)y＋2＝0 7.(2024·东北三省三校二联)双曲线C：－＝1的右焦点为F，双曲线C上有两点A，B关于直线l：3x＋y－8＝0对称，则|＋|＝(　　) 2 4 2 4 8.(2024·浙江名校协作体联考)抛物线y2＝4x的焦点为F，过点M(，0)的直线与抛物线相交于A，B两点，与抛物线的准线相交于点C.若|BF|＝3，则＝(　　) 二、多选题 9.已知椭圆E：＋＝1的右焦点为F2，直线x－y＋3＝0与椭圆交于A，B两点，则(　　) △ABF2的周长为20 △ABF2的面积为 线段AB中点的横坐标为－ 线段AB的长度为 10.(2024·邯郸二模)设抛物线E：x2＝2py(p>0)的焦点为F，过点P(0，3)的直线与抛物线E相交于点A，B，与x轴相交于点C，|AF|＝2，|BF|＝10，则(　　) E的准线方程为y＝－2 p的值为2 |AB|＝4 △BFC的面积与△AFC的面积之比为9 11.(2024·湘潭模拟)已知F1，F2为双曲线C：x2－y2＝λ(λ>0)的左、右焦点，点M(1，)满足1·2＝0，N为双曲线C的右支上的一个动点，O为坐标原点，则(　　) 双曲线C的焦距为4 直线MF2与双曲线C的左、右两支各有一个交点 △NOM的面积的最小值为1 ∠ONM< 三、填空题 12.设斜率为2的直线l过抛物线y2＝ax(a>0)的焦点F，且和y轴交于点A，若△OAF(O为坐标原点)的面积为4，则a的值为________. 13.(2024·娄底模拟)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的右焦点为F，下顶点为A，过A，F的直线l与椭圆C交于另一点B，若直线l的斜率为1，且|AB|＝，则椭圆C的标准方程为________. 14.(2024·合肥调研)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的一个焦点的坐标为(1，0)，一条切线的方程为x＋y＝7，则C的离心率e＝________. 四、解答题 15.(13分)(2024·新高考Ⅰ卷)已知 A(0，3)和P为椭圆C：＋＝1(a>b>0)上两点. (1)求C的离心率； (2)若过P的直线l交C于另一点B，且△ABP的面积为9，求l的方程. 16.(15分)(2024·南通调研)已知点A(2，1)在双曲线C：－＝1(a>1)上，直线l交C于P，Q两点，直线AP，AQ的斜率之和为0. (1)求l的斜率； (2)若tan∠PAQ＝2，求△PAQ的面积. 参考答案 1.C　[因为方程x2＋3y2＝a表示的曲线为椭圆，则a>0， 将直线y＝x－1的方程与椭圆的方程联立，得 可得4x2－6x＋3－a＝0， 则Δ＝36－4×4×(3－a)＝16a－12＝0， 解得a＝.] 2.B　[设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 两式相减得＋＝0， 由条件可知，x1＋x2＝1，y1＋y2＝3， 即＋＝0， 并且由对称性可知，x1≠x2，所以＝－1， 所以直线AB的斜率为－1， 所以直线AB的方程为y－＝－， 即x＋y－2＝0， 所以原点O到直线AB的距离d＝＝.] 3.A　[将点M(4，4)代入抛物线方程y2＝2px，可得16＝2p×4，解得p＝2， 所以抛物线C的方程为y2＝4x， 所以F(1，0)，准线方程为x＝－1， 所以直线MN的斜率k＝＝， 所以直线MN的方程为y＝(x－1)， 令x＝－1，得y＝－，所以N， 所以|MN|＝＝.] 4.A　[如图，因为直线AB的倾斜角为60°， 所以斜率为， 又直线AB过点F1(－，0)， 所以直线AB：y＝(x＋)，联立 消去x并整理得11y2－12y－36＝0， Δ＝144＋4×11×36>0， 设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则y1＋y2＝，y1y2＝－， 所以|y1－y2|＝ ＝＝， 所以S△AOB＝·|OF1|·|y1－y2| ＝××＝.] 5.A　[如图，分别设M1，M2，M3，M4四点的横坐标为x1，x2，x3，x4， 由y2＝4x得焦点F(1，0)，准线l0：x＝－1， 由定义得，|M1F|＝x1＋1， 又|M1F|＝|M1M2|＋1， 所以|M1M2|＝x1， 同理|M3M4|＝x4， 由消去y整理得 k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0(k≠0)， 则x1x4＝1，即|M1M2|·|M3M4|＝1.] 6.A　[F(－2，0)，则由题意可设l：x＝my－2(m≠±)， 因为若△AEF为等腰直角三角形，且∠AEF为直角，所以直线EF的方程为y＝－m(x＋2)， 令x＝－，得y＝－m， 即E. 设A(x1，y1)，有|EF|＝|AF|可得， 即＝ ＝， 解得y1＝±. 又－＝1， 所以x1＝－， 所以m＝±(3－2)， 从而直线l的方程为x＋(3－2)y＋2＝0或x－(3－2)y＋2＝0.] 7.B　[由题意知，c＝＝4，F(4，0)， 设AB的中点为S，连接FS， 因为l为线段AB的垂直平分线，故可设AB：x－3y＋m＝0，A(x1，y1)，B(x2，y2)， 由 可得6y2－6my＋m2－12＝0(*)， 故y1＋y2＝m，则x1＋x2＝3(y1＋y2)－2m＝m， 故AB的中点为， 因为AB的中点在直线3x＋y－8＝0上， 故3×＋－8＝0， 故m＝4，此时Δ＝36m2－24m2＋12×24>0，且S(2，－2)， 故|＋|＝2||＝2＝4.] 8.A　[由抛物线y2＝4x得抛物线的焦点为F(1，0)，准线方程为x＝－1，设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 过A，B分别作抛物线的准线的垂线，垂足分别为E，N，则|BF|＝|BN|＝x2＋1＝3，所以x2＝2，把x2＝2代入y2＝4x，可得y2＝±2，即点B(2，－2)或B(2，2). 当点B(2，－2)时，点A在x轴上方，即y1>0，如图1，由y＝4x1，可得y1＝2， 即A(x1，2)， 因为M(，0)且kAM＝kMB，即＝，所以x1＝3， 所以|AE|＝3＋1＝4，所以＝＝. 当点B(2，2)时，点A在x轴下方，即y1<0， 如图2，由y＝4x1，可得y1＝－2， 即A(x1，－2)， 因为M(，0)且kAM＝kMB， 即＝，解得x1＝3， 所以|AE|＝3＋1＝4，所以＝＝. 综上，可得＝.故选A.] 9.ACD　[依题意，直线x－y＋3＝0过椭圆E：＋＝1的左焦点F1(－3，0)，椭圆长轴长2a＝10， 所以△ABF2的周长|AF2|＋|AB|＋|BF2|＝|AF2|＋|AF1|＋|BF1|＋|BF2|＝4a＝20， A正确； 由 消去y得41x2＋150x－175＝0， 设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则x1＋x2＝－，x1x2＝－， 因此线段AB中点的横坐标为 ＝－×＝－，C正确； 线段AB的长度为 · ＝·＝，D正确； 点F2(3，0)到直线x－y＋3＝0的距离d＝＝3， 所以△ABF2的面积S＝|AB|·d ＝××3＝，B错误.] 10.BD　[设直线AB的方程为y＝kx＋3，A(x1，y1)，B(x2，y2)， 联立可得x2－2pkx－6p＝0， 所以x1＋x2＝2pk，x1x2＝－6p， 因为x2＝2py，所以y＝， 故y1y2＝＝＝9， 因为|AF|＝2，|BF|＝10， 由抛物线定义可得y1＝2－，y2＝10－， 则＝9， 解得p＝2或p＝22， 因为y1＝2－>0，所以p＝2，则E的准线方程为y＝－1，故B正确，A错误； 又E的方程为x2＝4y，y1＝2－＝1，y2＝10－＝9， 把y1＝1代入x2＝4y可得x＝4y1＝4，x＝4y2＝36， 不妨设A(－2，1)，B(6，9)，则|AB|＝8，故C错误； 设F到直线AB的距离为d，△BFC的面积S△BFC＝|BC|d， △AFC的面积S△AFC＝|AC|d， 则△BFC的面积与△AFC的面积之比＝＝＝9，故D正确.] 11.ACD　[对于A，因为1·2＝0， 所以MF1⊥MF2， 则|MO|＝|OF1|＝|OF2|， 又|MO|＝＝2， 所以c＝2，双曲线C：－＝1的焦距2c＝4，故A正确； 对于B，由A知，F2(2，0)，双曲线渐近线方程为y＝±x， 则直线MF2的斜率为＝－<－1， 所以直线MF2与双曲线的右支有两个交点，故B错误； 对于C，因为kOM＝， 设直线l：y＝x＋m与双曲线右支相切， 联立消去y， 得2x2＋2mx＋2＋m2＝0， 则Δ＝(2m)2－8(2＋m2)＝0， 解得m＝－2或者m＝2(舍去)， 则直线OM与l之间的距离为d＝＝1， 所以△NOM的面积最小值为|OM|·d＝1，故C正确； 对于D，由C可知，直线l：y＝x－2与双曲线右支的切点为(，1)， 直线OM与l两平行线之间的距离为1， 且|OM|＝2，N到OM中点的距离大于1， 所以∠ONM<，故D正确.] 12.8　[抛物线y2＝ax的焦点坐标，|OF|＝， 直线l的点斜式方程为y＝2，在y轴的截距是－. ∴S△OAF＝××＝4，即a2＝64， 又a>0，∴a＝8.故答案为8.] 13.＋＝1　 [设F(c，0)， 由题意知，b＝c，a＝c，直线l的方程为y＝x－c， 与椭圆C的方程联立化简得3x2－4cx＝0， 所以xA＝0，xB＝c， 故|AB|＝·|xB－xA|＝c＝， 解得c＝， 所以b＝，a＝2，椭圆C的方程为＋＝1.] 14.　[联立直线与椭圆方程 可得(a2＋b2)x2－14a2x＋49a2－a2b2＝0， 则有Δ＝196a4－4(a2＋b2)(49a2－a2b2)＝0， 化简得a4b2＋a2b4＝49a2b2， 又a>b>0，故a2＋b2＝49， 又椭圆的一个焦点的坐标为(1，0)， 故有a2－b2＝1， 则a2＝25，故a＝5，则e＝.] 15.解　(1)由题知解得 ∴c＝＝， ∴C的离心率e＝＝. (2)|PA|＝＝， 设点B到直线PA的距离为h， 则△ABP的面积为S＝|PA|·h＝9， 解得h＝. 易知直线PA：x＋2y－6＝0，设B(x0，y0)， 则 解得或 ∴B(0，－3)或B， 故l的方程为y＝x－3或y＝x. 16.解　(1)将点A(2，1)代入－＝1中，得－＝1，即a4－4a2＋4＝0， 解得a2＝2，故双曲线方程为－y2＝1； 由题意知直线l的斜率存在，设l：y＝kx＋m，设P(x1，y1)，Q(x2，y2)， 则联立直线与双曲线－y2＝1， 得(2k2－1)·x2＋4kmx＋2m2＋2＝0， 需满足2k2－1≠0，Δ＝8(m2＋1－2k2)>0， 故x1＋x2＝－，x1x2＝， kAP＋kAQ＝＋＝＋＝0， 化简得2kx1x2＋(m－1－2k)(x1＋x2)－4(m－1)＝0， 故＋(m－1－2k)－4(m－1)＝0， 即2k2＋(m＋1)k＋m－1＝0，即(k＋1)(m＋2k－1)＝0， 由题意可知直线l不过A点，即m＋2k－1≠0， 故l的斜率k＝－1. (2)设直线AP的倾斜角为α，由tan∠PAQ＝2， ∴＝2， 得tan ＝(负值舍去)， 由直线AP，AQ的斜率之和为0，可知2α＋∠PAQ＝π，即tan ＝， 则tan ＝＝， 得kAP＝tan α＝，即＝， 联立＝，及－y＝1得x1＝，y1＝， 将x1＝，y1＝代入l：y＝－x＋m中，得m＝， 故x1＋x2＝，x1x2＝， 而|AP|＝|x1－2|＝|x1－2|， |AQ|＝|x2－2|， 由tan∠PAQ＝2，得sin∠PAQ＝， 故S△PAQ＝|AP|·|AQ|sin∠PAQ ＝|x1x2－2(x1＋x2)＋4| ＝＝. 学科网（北京）股份有限公司 $$