上海市宝山区淞谊实验学校2024-2025学年八年级上学期期末数学试卷

2024-2025学年上海市宝山区淞谊实验学校八年级（上）期末数学试卷 一、单选题 1．（3分）下列二次根式中，最简二次根式是（　　） A． B． C． D． 2．（3分）下列一元二次方程中，有两个相等的实数根的方程是（　　） A．x2＝1 B．x2﹣2x＝1 C．x2+2x+2＝0 D．x2﹣2x+1＝0 3．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，如果D为边AB上的中点，那么下面结论错误的是（　　） A． B． C．∠A＝∠ACD D．∠ADC＝2∠B 4．（3分）用下列几组边长构成的三角形中哪一组不是直角三角形（　　） A．8，15，17 B．，， C．，2， D．1，2， 5．（3分）反比例函数y图象上有三个点（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3），若x1＜x2＜0＜x3，则y1，y2，y3的大小关系是（　　） A．y2＜y1＜y3 B．y1＜y2＜y3 C．y3＜y1＜y2 D．y3＜y2＜y1 6．（3分）如图，2002年8月在北京召开的国际数学家大会会标其原型是我国古代数学家赵爽的《勾股弦图》，它是由四个全等的直角三角形拼接而成．如果大正方形的面积是16，直角三角形的直角边长分别为a，b，且a2+b2＝ab+10，那么图中小正方形的面积是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 二、填空题 7．（3分）化简：　 　． 8．（3分）函数f（x）的定义域是 　 　． 9．（3分）已知函数，那么f（4）＝　 　． 10．（3分）方程x2＝4x的解是　 　． 11．（3分）已知反比例函数y的图象位于第一、三象限，则k的取值范围是 　 　． 12．（3分）已知直角坐标平面内两点A（6，4）和B（2，1），则线段AB的长为 　 　． 13．（3分）在实数范围内分解因式：x2﹣3x+1＝　 　． 14．（3分）已知关于x的一元二次方程x2﹣4x﹣（m+4）＝0有两个不相等的实数根，那么m的取值范围是 　 　． 15．（3分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D是边AB的中点，BE⊥CD，垂足为点E．如果∠CBE＝25°，那么∠CDA＝ 　 　°． 16．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝30°，AD⊥AC．如果BD＝2，那么AB的长等于 　 　． 17．（3分）如图，点A在双曲线y上，点B在双曲线y上，且AB∥x轴，过点A、B分别向x轴作垂线，垂足分别为点D、C，那么四边形ABCD的面积是 　 　． 18．（3分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，点D为边BC上一点，将△ACD沿直线AD翻折得到△AED，点C的对应点为点E，联结BE，如果△BDE是以BD为直角边的等腰直角三角形，那么BC的长等于 　 　． 三、解答题 19．解方程：3x2． 20．计算：． 21．已知y＝y1+y2，y1与x成正比例，y2与x﹣2成反比例，且当x＝1时，y＝﹣1；当x＝3时，y＝5．求y与x的函数关系式． 22．已知：如图在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点E在边BC上，∠EAD＝90°，AD＝AE． 求证：（1）△ABE≌△ACD； （2）如果点F是DE的中点，联结AF、CF，求证：AF＝CF． 23．为了预防流感，某学校每周末用药熏消毒法对教室进行消毒，已知药物释放过程中，教室内每立方米空气中含药量y（mg）与时间t（h）成正比例；药物释放完毕后，y与t成反比例，如图所示．根据图象信息，解决以下问题： （1）写出从药物释放开始，y与t之间的两个函数关系式及相应的自变量取值范围； （2）据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25mg以下时，学生方可进入教室，那么从药物释放开始，至少需要经过多少小时后，学生才能进入教室？ 24．已知：如图，△ABC中，∠ABC＝90°，AC＝10，BC＝6，CD平分∠ACB交AB于D．求AD的长． 25．如图，直线与双曲线交于A点，且点A的横坐标是4．双曲线（k＞0）上有一动点C（m，n）（0＜m＜4）．过点A作x轴垂线，垂足为B，过点C作x轴垂线，垂足为D． （1）求k的值； （2）若CD＝3AB，求点C坐标； （3）联结OC、AC，当△COD与△AOB的重合部分的面积值为1时，求△ACO的面积． 26．如图，已知△ABC中，AC＝2，BC＝4，AB＝6，点P是射线CB上一点（不与点B重合），EF为PB的垂直平分线，交PB于点F，交射线AB于点E，联结PE、AP． （1）求∠B的度数； （2）当点P在线段CB上时，设BE＝x，AP＝y，求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域； （3）当△APB为等腰三角形时，请直接写出AE的值． 2024-2025学年上海市宝山区淞谊实验学校八年级（上）期末数学试卷 参考答案与试题解析 题号 1 2 3 4 5 6 答案 C D B C A C 一、单选题 1．（3分）下列二次根式中，最简二次根式是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据最简二次根式中被开方数不含分母；根据被开方数中不含开得尽方的因数；根据最简二次根式的定义进行判断即可． 【解答】解：A、被开方数中含开得尽方的因数，不符合题意； B、被开方数中含开得尽方的因数，不符合题意； C、是最简二次根式，故选项符合题意； D、|a+b|被开方数中含开得尽方的因式，故选项不符合题意； 故选：C． 【点评】本题考查了最简二次根式：满足①被开方数不含分母；②被开方数中不含开得尽方的因数或因式的二次根式叫最简二次根式． 2．（3分）下列一元二次方程中，有两个相等的实数根的方程是（　　） A．x2＝1 B．x2﹣2x＝1 C．x2+2x+2＝0 D．x2﹣2x+1＝0 【分析】先把四个方程化为一般式，再计算各方程的根的判别式的值，然后根据根的判别式的意义进行判断． 【解答】解：A．x2﹣1＝0，Δ＝02﹣4×（﹣1）＝4＞0，方程有两个不相等的实数根； B．x2﹣2x﹣1＝0，Δ＝（﹣2）2﹣4×（﹣1）＝8＞0，方程有两个不相等的实数根； C．x2+2x+2＝0，Δ＝22﹣4×2＝﹣4＜0，方程没有实数根； D．x2﹣2x+1＝0，Δ＝（﹣2）—2﹣4×1＝0，方程有两个相等的实数根． 故选：D． 【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系，当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．上面的结论反过来也成立． 3．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，如果D为边AB上的中点，那么下面结论错误的是（　　） A． B． C．∠A＝∠ACD D．∠ADC＝2∠B 【分析】根据直角三角形斜边上的中线的性质结合等腰三角形的性质及含30°角的直角三角形的性质，三角形外角的性质判定即可求解． 【解答】解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为边AB上的中点， ∴AD＝BD＝CDAB，故A选项正确，不符合题意； ∴∠A＝∠ACD，故C选项正确，不符合题意； ∠DCB＝∠B， ∴∠ADC＝∠DCB+∠B＝2∠B，故D选项正确，不符合题意； 只有当∠A＝30°时，CBAB，故B选项错误，符合题意． 故选：B． 【点评】本题主要考查直角三角形斜边上的中线，掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键． 4．（3分）用下列几组边长构成的三角形中哪一组不是直角三角形（　　） A．8，15，17 B．，， C．，2， D．1，2， 【分析】根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形．如果没有这种关系，这个就不是直角三角形． 【解答】解：A、∵82+152＝172，∴此三角形为直角三角形，故选项错误； B、∵（）2+（）2＝（）2，∴此三角形是直角三角形，故选项错误； C、∵（）2+22≠（）2，∴此三角形不是直角三角形，故选项正确； D、∵12+22＝（）2，∴此三角形为直角三角形，故选项错误． 故选：C． 【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断． 5．（3分）反比例函数y图象上有三个点（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3），若x1＜x2＜0＜x3，则y1，y2，y3的大小关系是（　　） A．y2＜y1＜y3 B．y1＜y2＜y3 C．y3＜y1＜y2 D．y3＜y2＜y1 【分析】反比例函数y图象在一三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小，点（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3）在图象上，且x1＜x2＜0＜x3，可知点（x1，y1），（x2，y2）在第三象限，而（x3，y3）在第一象限，根据函数的增减性做出判断即可． 【解答】解：∵反比例函数y图象在一三象限，y随x的增大而减小， 又∵点（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3）在图象上，且x1＜x2＜0＜x3， ∴点（x1，y1），（x2，y2）在第三象限，y2＜y1＜0， 点（x3，y3）在第一象限，y3＞0， ∴y2＜y1＜y3， 故选：A． 【点评】考查反比例函数的图象和性质，当k＞0时，在每个象限内y随x的增大而减小，同时要注意在同一个象限内，不同象限的要分开比较，利用图象法则更直观． 6．（3分）如图，2002年8月在北京召开的国际数学家大会会标其原型是我国古代数学家赵爽的《勾股弦图》，它是由四个全等的直角三角形拼接而成．如果大正方形的面积是16，直角三角形的直角边长分别为a，b，且a2+b2＝ab+10，那么图中小正方形的面积是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【分析】根据大正方形的面积为16结合a2+b2＝ab+10得出ab的值，再由小正方形的面积＝（b﹣a）2即可求解． 【解答】解：∵大正方形的面积是16， ∴a2+b2＝16， 又a2+b2＝ab+10， ∴ab＝6， ∴（b﹣a）2＝a2+b2﹣2ab ＝16﹣2×6 ＝4， 即小正方形的面积是4， 故选：C． 【点评】本题考查了勾股定理的证明，正确得出小正方形的面积表示方法是解题的关键． 二、填空题 7．（3分）化简：　3　． 【分析】利用二次根式的运算法则进行化简即可． 【解答】解：3， 故答案为：3． 【点评】本题考查利用二次根式的运算法则将其化为最简二次根式，其相关运算法则是基础且重要知识点，必须熟练掌握． 8．（3分）函数f（x）的定义域是 　x≥2　． 【分析】根据二次根式的被开方数大于等于0即可得到函数的定义域． 【解答】解：由二次根式的性质得：2x﹣4≥0， 解得：x≥2， 故答案为：x≥2． 【点评】本题考查了函数的定义域问题，当函数的表达式是偶次根式时，自变量的取值范围必须使被开方数不小于零． 9．（3分）已知函数，那么f（4）＝　　． 【分析】把4直接代入函数式计算即可得到答案． 【解答】解：∵， ∴f（4）． 故答案为：． 【点评】此题考查的是函数值，能够正确代入进行计算是解决此题关键． 10．（3分）方程x2＝4x的解是　0或4　． 【分析】此题用因式分解法比较简单，先移项，再提取公因式，可得方程因式分解的形式，即可求解． 【解答】解：原方程可化为：x2﹣4x＝0， ∴x（x﹣4）＝0 解得x＝0或4； 故方程的解为：0，4． 【点评】本题考查了一元二次方程的解法，解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法，此题方程两边公因式较明显，所以本题运用的是因式分解法． 11．（3分）已知反比例函数y的图象位于第一、三象限，则k的取值范围是 　k＞2　． 【分析】由题意得，反比例函数经过一、三象限，则k﹣2＞0，求出k的取值范围即可． 【解答】解：由于反比例函数y的图象位于第一、三象限， 则k﹣2＞0， 解得：k＞2． 故答案为：k＞2． 【点评】本题考查了反比例函数的性质，k＞0时，函数图象位于一三象限；k＜0时，函数位于二四象限． 12．（3分）已知直角坐标平面内两点A（6，4）和B（2，1），则线段AB的长为 　5　． 【分析】解法一：连接AB，过一点作关于坐标轴的平行线，再过另一点作平行线的垂线，最后利用勾股定理即可求解． 解法二：直接利用两点间的距离公式计算即可． 【解答】解：解法一：如图，连接AB，过点A作关于x轴的平行线，过点B作BC⊥AC，垂足为C， 则BC＝3，AC＝4， ∴AB5． 解法二：∵A（6，4），B（2，1）， ∴AB5． 故答案为：5． 【点评】本题主要靠考查勾股定理、两点间的距离公式，解题关键熟记两点间的距离公式：设有两点A（x1，y1），B（x2，y2），则这两点间的距离为AB． 13．（3分）在实数范围内分解因式：x2﹣3x+1＝　（x）（x）　． 【分析】利用配方法即可对多项式进行因式分解． 【解答】解：原式＝（x2﹣3x）+1 ＝（x）2﹣（）2 ＝（x）（x）． 故答案为：（x）（x）． 【点评】本题考查了实数范围内分解因式，求出多项式为0时方程的解是解决本题的关键． 14．（3分）已知关于x的一元二次方程x2﹣4x﹣（m+4）＝0有两个不相等的实数根，那么m的取值范围是 　m＞﹣8　． 【分析】根据根的判别式Δ＝b2﹣4ac的意义得到Δ＞0，即（﹣4）2+4×1×（m+4）＞0，解不等式即可． 【解答】解：∵x2﹣4x﹣（m+4）＝0有两个不相等的实数根， ∴Δ＞0，即（﹣4）2+4×1×（m+4）＞0， 解得m＞﹣8， 所以m的取值范围是m＞﹣8． 故答案为：m＞﹣8． 【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式Δ＝b2﹣4ac：当Δ＞0，方程有两个不相等实数根；当Δ＝0，方程有两个相等实数根；当Δ＜0，方程没有实数根．也考查了不等式的解法． 15．（3分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D是边AB的中点，BE⊥CD，垂足为点E．如果∠CBE＝25°，那么∠CDA＝ 　130　°． 【分析】由直角三角形斜边中线的性质可得AD＝CD＝BD，即可得∠ACD＝∠A，由同角的余角相等可得∠A＝∠ACD＝∠CBE＝25°，再根据三角形的内角和定理可求解． 【解答】解：∵∠ACB＝90°，D是边AB的中点， ∴∠ACD+∠BCD＝90°，AD＝CD＝BD， ∴∠ACD＝∠A， ∵BE⊥CD， ∴∠BEC＝90°， ∴∠BCD+∠CBE＝90°， ∴∠A＝∠ACD＝∠CBE＝25°， ∵∠A+∠ACD+∠CDA＝180°， ∴∠CDA＝180°﹣25°﹣25°＝130°， 故答案为：130． 【点评】本题主要考查直角三角形斜边上的中线，三角形的内角和定理，求解∠A＝∠ACD＝∠CBE＝25°是解题的关键． 16．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝30°，AD⊥AC．如果BD＝2，那么AB的长等于 　　． 【分析】由等腰三角形的性质得到∠C＝∠B＝30°，根据三角形的内角和定理得到∠BAC＝120°，根据含30°角的直角三角形的性质得到CD＝AD，∠BAD＝30°，即可得AD＝BD＝2，CD＝4，利用勾股定理求得AC的长，即可求解AB的长． 【解答】解：∵AB＝AC， ∴∠C＝∠B＝30°， ∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝120°， ∵AD⊥AC， ∴∠CAD＝90°， ∴CD＝2AD，∠BAD＝30°， ∴∠B＝∠BAD， ∴AD＝BD＝2， ∴CD＝4， 在Rt△ADC中，AC， ∴AB． 故答案为：． 【点评】本题考查了含30°角的直角三角形，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，勾股定理，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 17．（3分）如图，点A在双曲线y上，点B在双曲线y上，且AB∥x轴，过点A、B分别向x轴作垂线，垂足分别为点D、C，那么四边形ABCD的面积是 　2　． 【分析】根据反比例函数系数k的几何意义得出矩形EODA的面积为：1，矩形BCOE的面积是3，则矩形ABCD的面积为：3﹣1＝2． 【解答】解：过点A作AE⊥y轴于点E， ∵点A在双曲线y上，点B在双曲线y上， ∴矩形EODA的面积为：1，矩形EOCB的面积是3， ∴矩形ABCD的面积为：3﹣1＝2， 故答案为2． 【点评】此题主要考查了反比例函数关系k的几何意义，得出矩形EODA和矩形BCOE的面积是解题关键． 18．（3分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，点D为边BC上一点，将△ACD沿直线AD翻折得到△AED，点C的对应点为点E，联结BE，如果△BDE是以BD为直角边的等腰直角三角形，那么BC的长等于 　12或3　． 【分析】根据题意可知，需要分两种情况，∠BDE＝90°，∠DBE＝90°，画出对应的图形，再根据折叠的性质及等腰直角三角形的性质可求解． 【解答】解：①当∠BDE＝90°时，如图， 此时，四边形ACDE是正方形， 则CD＝DE＝AC＝6， 又△BDE是等腰直角三角形， 所以BD＝DE＝6， 所以BC＝CD+BD＝12； ②当∠DBE＝90°时，如图， 设BD＝x，则BE＝x，DEx， 由折叠可知，CD＝DEx， 由题意可知，∠BDE＝∠DEB＝45°， ∴∠CDE＝135°， ∴∠CAE＝45°， 即△ACF是等腰直角三角形， ∴AC＝CF＝6，∠F＝45°， ∴BE＝BF＝x， ∴x+x+x＝6， 解得x＝6﹣3， ∴BCx＝3． 故答案为：12或3． 【点评】本题考查了翻折变换、勾股定理、解直角三角形、等腰直角三角形的性质与判定等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想解决问题． 三、解答题 19．解方程：3x2． 【分析】方程整理后，利用因式分解法求解即可． 【解答】解：方程整理得：x2﹣6x+5＝0， 分解因式得：（x﹣5）（x﹣1）＝0， 解得：x1＝5，x2＝1． 【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． 20．计算：． 【分析】先利用二次根式的乘法法则运算，再分母有理化，然后化简后合并即可． 【解答】解：原式 ＝6﹣2． 【点评】本题考查了二次根式的混合运算：熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则是解决问题的关键． 21．已知y＝y1+y2，y1与x成正比例，y2与x﹣2成反比例，且当x＝1时，y＝﹣1；当x＝3时，y＝5．求y与x的函数关系式． 【分析】根据正比例和反比例函数的定义设表达式，再根据给出自变量和函数的对应值求出待定的系数则可． 【解答】解：设y1＝k1x（k1≠0），y2 ∴y＝k1x ∵当x＝1时，y＝﹣1；当x＝3时，y＝5， ∴． 所以． 所以y＝x． 【点评】本题考查了正比例和反比例函数的定义，并且考查了二元一次方程组的解法，难度稍大． 22．已知：如图在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点E在边BC上，∠EAD＝90°，AD＝AE． 求证：（1）△ABE≌△ACD； （2）如果点F是DE的中点，联结AF、CF，求证：AF＝CF． 【分析】（1）先由∠BAC＝∠EAD＝90°得到∠BAE＝∠CAD，然后结合AB＝AC、AD＝AE得证△ABE≌△ACD； （2）由△ABE≌△ACD得到∠ACD＝∠ABC，从而得到∠BCD＝90°，然后由点F是DE的中点、△ADE和△ECD是直角三角形得到AFDE，CFDE，从而得证AF＝CF． 【解答】证明：（1）∵∠BAC＝∠EAD＝90° ∴∠BAE＝∠CAD， 在△ABE和△ACD中， ， ∴△ABE≌△ACD（SAS）． （2）∵△ABE≌△ACD， ∴∠ACD＝∠ABC， ∴∠ACD+∠ACB＝∠ACB+∠ABC＝90°， ∴∠BCD＝90°， ∴△ECD是直角三角形， ∵点F是DE的中点， ∴AFDE，CFDE， ∴AF＝CF． 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质、三角形的内角和定理，解题的关键是熟练掌握SAS定理判定三角形全等． 23．为了预防流感，某学校每周末用药熏消毒法对教室进行消毒，已知药物释放过程中，教室内每立方米空气中含药量y（mg）与时间t（h）成正比例；药物释放完毕后，y与t成反比例，如图所示．根据图象信息，解决以下问题： （1）写出从药物释放开始，y与t之间的两个函数关系式及相应的自变量取值范围； （2）据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25mg以下时，学生方可进入教室，那么从药物释放开始，至少需要经过多少小时后，学生才能进入教室？ 【分析】（1）首先根据题意，已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y（毫克）与时间t（小时）成正比；药物释放完毕后，y与t的函数关系式为y（m常数），将数据代入用待定系数法可得反比例函数的关系式； （2）根据题意得到不等式，解不等式即可得到结论． 【解答】解：（1）设正比例函数解析式是y＝kt， 反比例函数解析式是y， 把点（3，）代入反比例函数的解析式，得：， 解得：m， ∴反比例函数的解析式是y． 当y＝1时，代入上式得t， 把t时，y＝1代入正比例函数的解析式是y＝kt，得：k， ∴正比例函数解析式是yt； 综上所述，y， （2）由题意得0.25， 解得t＞6， 答：至少需要经过6小时后，学生才能进入教室． 【点评】本题考查了反比例函数的应用，现实生活中存在大量成反比例函数的两个变量，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用待定系数法求出它们的关系式． 24．已知：如图，△ABC中，∠ABC＝90°，AC＝10，BC＝6，CD平分∠ACB交AB于D．求AD的长． 【分析】过D作DE⊥AC于点E，根据勾股定理求得AB，再根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得DE＝DB，再利用“HL”证明Rt△CBD≌Rt△CED，根据全等三角形对应边相等可得BC＝EC＝6，再设AD＝x，则DE＝DB＝8﹣x，在Rt△ADE中，根据勾股定理求得AD的长即可． 【解答】解：过D作DE⊥AC于点E． ∵△ABC中，∠ABC＝90°，AC＝10，BC＝6， ∴AB8， ∵DB⊥BC，DE⊥AC，CD平分∠ACB， ∴DE＝DB， ∵∠DBC＝∠DEC＝90°，CD＝CD， ∴Rt△CBD≌Rt△CED（HL）， ∴BC＝EC＝6， ∴AE＝4 设AD＝x，则DE＝DB＝8﹣x， 在Rt△ADE中，AD2＝AE2+DE2， 解得AD＝5． 故AD的长是5． 【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握各性质是解题的关键． 25．如图，直线与双曲线交于A点，且点A的横坐标是4．双曲线（k＞0）上有一动点C（m，n）（0＜m＜4）．过点A作x轴垂线，垂足为B，过点C作x轴垂线，垂足为D． （1）求k的值； （2）若CD＝3AB，求点C坐标； （3）联结OC、AC，当△COD与△AOB的重合部分的面积值为1时，求△ACO的面积． 【分析】（1）设A点的坐标为（4，λ），根据列方程组即可得到结论； （2）由（1）知，k＝8，∴得到，设点A（a，b），求得a，根据A在直线yx上，得到•n，求得n＝6（舍去负值），于是得到结论； （3）设△COD与△AOB的重合部分的面积值为S，设E点的坐标为E（m，m），根据三角形的面积公式得到E（2，1），求得OD＝2，根据梯形的面积公式即可得到结论． 【解答】解：（1）设A点的坐标为（4，λ）， 由题意得， 解得k＝8，λ＝2， ∴k的值为8； （2）由（1）知，k＝8， ∴y， 设点A（a，b）， ∵CD＝3AB， ∴bn， ∴a， ∵A在直线yx上， ∴•n， 解得n＝6（舍去负值）， ∴m， ∴C（，6）； （3）如图，设△COD与△AOB的重合部分的面积值为S， ∵E在直线yx上， ∴设E点的坐标为E（m，m）， ∴OD＝m， ∴SOD•DEm•mm2， ∴m2＝1， 解得m＝2或﹣2（舍去）， ∴E（2，1）， ∵点C在函数y的图象上， ∴CD4 ∴OD＝2， ∵S△AOB＝S△COD＝4， ∴S△CEO＝梯形ABDC的面积＝4﹣S△ODE＝3， 由（1）知OB＝4，AB＝2， ∴BD＝4﹣2＝2， ∴梯形ABDC的面积BD•（DE+AB）3， ∴S△AOC＝S梯形ABDC+S△COD﹣S△AOB＝梯形ABDC的面积＝6． 【点评】本题是反比例函数的综合题，考查了待定系数法求函数的解析式，三角形的面积的计算，反比例函数系数k的几何意义，正确地求得k的值是解题的关键． 26．如图，已知△ABC中，AC＝2，BC＝4，AB＝6，点P是射线CB上一点（不与点B重合），EF为PB的垂直平分线，交PB于点F，交射线AB于点E，联结PE、AP． （1）求∠B的度数； （2）当点P在线段CB上时，设BE＝x，AP＝y，求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域； （3）当△APB为等腰三角形时，请直接写出AE的值． 【分析】（1）先根据勾股定理逆定理判断出△ABC是直角三角形，再由ACBC即可得出答案； （2）作AD⊥BC，垂足为点D．由直角三角形30°角所对边等于斜边一半知ADAB＝3，EFBEx，求出CP和AD的长，由勾股定理可得出答案； （3）分三种情况画出图形，由等腰三角形的性质及直角三角形的性质可求出答案． 【解答】解：（1）在△ABC中， ∵AC＝2，BC＝4，AB＝6， ∴AC2+AB2＝48，BC2＝48， ∴AC2+AB2＝BC2． ∴∠BAC＝90°． 又∵AC＝2，BC＝4， ∴ACBC， ∴∠B＝30°． （2）如图1，过点A作AD⊥BC，垂足为点D． 在△ADB中，∠ADB＝90°，∠B＝30°， ∴ADAB＝3， 同理，EFBEx． 在Rt△EFB中，EF2+FB2＝EB2，即（x）2+BF2＝x2， ∴BFx， 又∵BP＝2BF， ∴BPx． ∴CP＝CB﹣PB＝4x， ∵CDAC， ∴DP＝4x3x， ∴AP（0＜x≤4）， ∴y关于x的函数解析式为y（0＜x≤4）； （3）如图2，当点P在线段CB上时，AP＝PB， 过点P作PM⊥AB于点M， 则BM3， ∴PB＝2， 由（2）可知2x， ∴BE＝2， ∴AE＝4； 如图3，当点P在线段BC上，且AB＝PB＝6， ∴BFPB＝3， ∴BE＝2， ∴AE＝6﹣2； 如图4，当点P在射线CB上时，BA＝BP＝6， 同理可求出BE＝2， ∴AE＝6+2． 综合以上可得，AE的长为4或6﹣2或6+2． 【点评】本题是三角形的综合问题，解题的关键是掌握勾股定理及其逆定理、直角三角形的性质及等腰三角形的性质和分类讨论思想的运用． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$