精品解析：新疆维吾尔自治区喀什地区巴楚县第一中学2024-2025学年高二上学期1月期末考试数学试题

巴楚县第一中学2024-2025学年上学期期末考试 高二数学 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. 已知空间向量，，若与垂直，则等于（ ） A. B. C. 3 D. 3. 过点和点的直线的倾斜角为（ ） A B. C. D. 4. 设直线的方向向量为，两个不同的平面的法向量分别为，则下列说法中错误的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 5. 已知椭圆，则该椭圆上的点到焦点距离的最小值为（ ） A 1 B. 2 C. D. 6. 若向量，，则（ ） A B. C. D. 7. 双曲线的虚轴长为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 8. 已知双曲线的一条渐近线方程为，则此双曲线的离心率为（ ） A. 5 B. C. D. 二、多选题 9. 直线的方向向量是，若，则平面的法向量可以是（ ） A B. C. D. 10. 点在圆：上，点在圆：上，则（ ） A. 的最小值为2 B. 的最大值为7 C. 两个圆心所在的直线斜率为 D. 两个圆相交弦所在直线的方程为 11. 已知双曲线的左、右焦点分别为，且双曲线C的两条渐近线的夹角为θ，若（e为双曲线C的离心率），则（ ） A. B. 双曲线C的一条渐近线的斜率为 C. D. 三、填空题 12. 经过点，且垂直于直线的直线的方程是________． 13. 已知点，，为椭圆的三个顶点，若是正三角形，则它的离心率是___________. 14. 已知直线和互相平行，则实数___________，两直线之间的距离是___________． 四、解答题 15. 已知向量，，． （1）求； （2）若，求，的值． 16. 已知直线与直线的交点为， （1）直线经过，且与直线垂直，求直线的方程： （2）直线经过，且在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程. 17. （1）求与椭圆有相同的焦点，且经过点的椭圆标准方程； （2）求焦点在轴上，虚轴长为8，离心率为的双曲线标准方程； 18. 如图，平行六面体底面是菱形，且，． （1）求的长； （2）求异面直线与所成的角． 19. 已知抛物线C顶点在原点，焦点在x轴上，且经过点，一条斜率为的直线过抛物线C的焦点，且与C交于A，B两点， （1）求抛物线方程； （2）求弦的长度； 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 巴楚县第一中学2024-2025学年上学期期末考试 高二数学 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】直线的倾斜角与斜率有关，先求直线斜率，再得到倾斜角. 【详解】直线，直线斜率为0，所以直线倾斜角为. 故选：D. 2. 已知空间向量，，若与垂直，则等于（ ） A. B. C. 3 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据两向量垂直数量积为零求出，计算出. 【详解】因为，，与垂直， 所以，解得， 所以，所以. 故选：C. 3. 过点和点的直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用两点先求出直线斜率，然后根据斜率与倾斜角关系求得倾斜角. 【详解】由已知直线的斜率， 设直线倾斜角为，则， 所以. 故选：B. 4. 设直线的方向向量为，两个不同的平面的法向量分别为，则下列说法中错误的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】D 【解析】 【分析】利用空间向量判定空间位置关系即可. 【详解】对于A，若两个平面的法向量互相垂直，则两个平面垂直，即A正确； 对于B，若两个不同的平面的法向量互相平行，则两个平面互相平行，即B正确； 对于C，若一直线的方向向量与一平面的法向量平行，则该直线垂直于该平面，即C正确； 对于D，若一直线的方向向量与一平面的法向量垂直，则该直线平行于该平面或者在该面内，即D错误. 故选：D 5. 已知椭圆，则该椭圆上的点到焦点距离的最小值为（ ） A. 1 B. 2 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由方程可得，根据椭圆的性质即可得结果. 【详解】由题意知，则， 所以椭圆上的点到焦点距离的最小值为． 故选：A． 6. 若向量，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求得的坐标，然后根据空间向量模的坐标运算求得结果. 【详解】由于向量，，所以， 所以， 故选：D. 7. 双曲线的虚轴长为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】由双曲线方程可求其虚半轴长，由此可得虚轴长. 【详解】设双曲线的虚轴长为， 则， 所以双曲线的虚轴长为. 故选：D. 8. 已知双曲线的一条渐近线方程为，则此双曲线的离心率为（ ） A. 5 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据双曲线的渐近线方程求得，再由离心率公式计算即可. 【详解】因为双曲线的一条渐近线方程为，所以， 所以此双曲线离心率为. 故选：B 二、多选题 9. 直线的方向向量是，若，则平面的法向量可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】AB 【解析】 【分析】由题意得到直线的方向向量与面的法向量平行，四个选项一一判断，得到答案. 【详解】，故直线的方向向量与面的法向量平行， A选项，与平行，满足要求， B选项，，故与平行，满足要求， C选项，，故与垂直，不合要求； D选项，，故与垂直，不合要求， 故选：AB 10. 点在圆：上，点在圆：上，则（ ） A. 的最小值为2 B. 的最大值为7 C. 两个圆心所在的直线斜率为 D. 两个圆相交弦所在直线的方程为 【答案】BC 【解析】 【分析】先求出两个圆的圆心坐标和半径，根据圆心距可得两圆相离，从而求得两圆上动点的距离最值，计算直线斜率公式判断各个选项； 【详解】对于A、B选项：由题意得：，半径为1， ：，，半径为1， 圆心距为，又点在圆上，点在圆上， ，，故A错误，B正确； 对于C选项：两个圆心所在直线斜率为，C正确； 对于D选项：圆心距，所以无公共弦，D错误； 故选：BC． 11. 已知双曲线左、右焦点分别为，且双曲线C的两条渐近线的夹角为θ，若（e为双曲线C的离心率），则（ ） A. B. 双曲线C的一条渐近线的斜率为 C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】求得双曲线的焦点，渐近线方程，结合离心率公式，对选项判断可得结论． 【详解】由题知，，所以双曲线的焦点，，， 由，可得，故A正确，C错误； 由双曲线的渐近线方程，则两条渐近线的倾斜角为，， 故两渐近线的夹角为，可得，故BD正确． 故选：ABD． 三、填空题 12. 经过点，且垂直于直线的直线的方程是________． 【答案】 【解析】 【分析】利用垂直直线系可求直线方程. 【详解】设所求直线方程为，代入点得， 故所求直线方程为， 故答案为：. 13. 已知点，，为椭圆的三个顶点，若是正三角形，则它的离心率是___________. 【答案】## 【解析】 【分析】由题意得，根据离心率公式即可求解. 【详解】因为点，，为椭圆的三个顶点，若是正三角形， 又注意到，则更加有，即不可能成立，矛盾， 所以只能，即， 所以所求椭圆的离心率为. 故答案为：. 14. 已知直线和互相平行，则实数___________，两直线之间的距离是___________． 【答案】 ①. 8 ②. ## 【解析】 【分析】根据两直线平行满足的系数关系，即可求解，根据两平行线间距离公式即可求解. 【详解】由于两直线平行，所以，所以， 故两直线分别为和互相平行， 即和互相平行， 故距离为， 故答案为：8， 四、解答题 15. 已知向量，，． （1）求； （2）若，求，的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用空间向量夹角余弦公式进行求解； （2）设，得到方程组，求出答案. 【小问1详解】 ; 【小问2详解】 因为，所以设，即， 故，解得. 16. 已知直线与直线的交点为， （1）直线经过，且与直线垂直，求直线的方程： （2）直线经过，且在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程. 【答案】（1）； （2）或. 【解析】 【分析】（1）联立两直线方程解得交点坐标，再由垂直关系可得斜率，利用点斜式方程可得结果； （2）分别讨论截距是否为0，代入点坐标计算可得结果. 【小问1详解】 联立，解得，即， 由与直线垂直可得其斜率为， 所以直线的方程为，即； 【小问2详解】 当在两坐标轴上的截距均为0时，易知此时方程为； 当在两坐标轴上的截距不为0时，可设直线的方程为， 因为，且，所以， 故此时直线的方程为； 综上可知，直线的方程为或. 17. （1）求与椭圆有相同的焦点，且经过点的椭圆标准方程； （2）求焦点在轴上，虚轴长为8，离心率为的双曲线标准方程； 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）写出已知椭圆参数，结合共焦点及椭圆所过的点求椭圆标准方程； （2）根据虚轴长、离心率及双曲线参数关系求双曲线参数，即可得双曲线标准方程. 【详解】（1）由，可知，令所求椭圆为且， 则且在椭圆上，可得，故，， 所以，所求椭圆标准方程为. （2）由题意，令双曲线为且，， 所以，故所求双曲线标准方程为. 18. 如图，平行六面体的底面是菱形，且，． （1）求的长； （2）求异面直线与所成的角． 【答案】（1） （2）90°． 【解析】 【分析】(1)因为三组不共线，则可以作为一组基底，用基底表示向量，平方即求得模长. (2) 求出两条直线与的方向向量，用向量夹角余弦公式即可. 【小问1详解】 设，，，构成空间的一个基底． 因为， 所以 ， 所以． 【小问2详解】 又，， 所以 ∴ ∴异面直线与所成的角为90°． 19. 已知抛物线C顶点在原点，焦点在x轴上，且经过点，一条斜率为的直线过抛物线C的焦点，且与C交于A，B两点， （1）求抛物线方程； （2）求弦长度； 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）由题意设抛物线为，结合所过的点求抛物线方程； （2）由（1）及题设有直线，联立抛物线，应用韦达定理及弦长公式求. 【小问1详解】 由题意，可设抛物线为，又抛物线经过点， 所以，则抛物线方程. 【小问2详解】 由（1）知：抛物线焦点为，则直线， 代入抛物线消去y，得，则，显然， 所以，，则. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$