安徽省黟县中学2024-2025学年高三上学期1月期末检测数学试题

黟县中学2025届高三上学期1月期末检测数学试题 考试时间：120分钟 满分：150分 第I卷（选择题） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合，集合，，则(     ) A. B. C. D. 2.已知复数是纯虚数，若是实数，则的虚部是(     ) A. B. C. D. 3.已知，为单位向量，且在上的投影向量为，则(     ) A. B. C. D. 4.已知等比数列的前项和为，若，，则(     ) A. .B. C. D. 5.在锐角中，，，的对边分别是，，则的范围是(     ) A. B. C. D. 6.我国元代瓷器元青花团菊花纹小盏如图所示，撇口，深弧壁，圈足微微外撇，底心有一小乳突器身施白釉，以青花为装饰，釉质润泽，底足露胎，胎质致密碗内口沿饰有一周回纹，内底心书有一文字，碗外壁绘有一周缠枝团菊纹，下笔流畅，纹饰洒脱该元青花团菊花纹小盏口径厘米，底径厘米，高厘米，它的形状可近似看作圆台，则其侧面积约为单位：平方厘米附：(     ) A. B. C. D. 7.设函数，若的图象经过点，且在上恰有个零点，则实数的取值范围是(     ) A. B. C. D. 8.已知函数的定义域为，且，为奇函数，，则(     ) A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.已知两个变量与对应关系如下表： 若与满足一元线性回归模型，且经验回归方程为，则(     ) A. 与正相关 B. C. 样本数据的第百分位数为 D. 各组数据的残差和为 10.如图，在正三棱柱中，，点在底面内，，，，分别为棱，，，的中点，则下列结论正确的是(     ) A. 直线与所成角的余弦值为 B. 若，则点的轨迹长度为 C. 若，则 D. 过，，三点的平面将三棱柱分成两部分的体积之比为或 11.已知、分别是双曲线：的左右焦点，点是圆：上的动点，下列说法正确的是(     ) A. 三角形的周长是 B. 若双曲线与双曲线有相同的渐近线，且双曲线的焦距为，则双曲线为 C. 若，则的位置不唯一 D. 若是双曲线左支上一动点，则的最小值是 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.的展开式中的系数为_________． 13.一个点从数轴的原点开始运动，通过投掷骰子决定运动方向：若出现，面之一时，向负方向移动个单位若出现，，，面之一时，向正方向移动个单位投掷次骰子，该点位置的平均值为_________．投掷次骰子后，概率大于的点的位置存在的最小区间为_________． 14.如图，圆形纸片的圆心为，半径为，该纸片上的正边形的中心为．，，，，为圆上的点，，，，，分别是以，，，，为底边的等腰三角形沿虚线剪开后，分别以，，，，为折痕折起，，，，，使得，，，，重合，得到棱锥当正边形的边长变化，所得棱锥体积单位：取得最大值时，圆心到的距离为_________． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题分 甲同学计划去参观某景点，但门票需在网上预约该同学从第一天开始，每天在规定的预约时间段开始预约，若预约成功，便停止预约若连续预约三天都没成功，则放弃预约假设该同学每天预约门票成功的概率均为， 求甲同学到第三天才预约成功的概率 记为甲同学预约门票的天数，求的分布列和期望． 16.本小题分 已知函数． 当时，求曲线在点处的切线方程 当时，求函数的单调区间． 17.本小题分 如图，在平行六面体中，，，且，设与的交于点． 证明：平面 若，且，求直线与平面所成角的正弦值． 18.本小题分 已知双曲线的右焦点为，渐近线方程为． 求双曲线的方程； 设直线与双曲线、圆：相切，切点分别为，，与渐近线相交于，两点．证明：为定值； 若，求直线的方程． 19.本小题分 对于数列，规定为数列的一阶差分数列，其中，规定为数列的二阶差分数列，其中 数列的通项公式为，试判断数列，是否为等差数列请说明理由． 正项等比数列的公比为，对于任意的，都存在，使得，求的值 设，为数列的一阶差分数列，令，其中，证明： 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 黟县中学2025届高三上学期1月期末检测数学试题 考试时间：120分钟 满分：150分 第I卷（选择题） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合，集合，，则(     ) A. B. C. D. 【答案】D  【详解】， 令得，令得，令得， 故， ， 所以． 故选： 2.已知复数是纯虚数，若是实数，则的虚部是(     ) A. B. C. D. 【答案】D  【解答】 解：是纯虚数， ， 是实数， ，解得， ，，则的虚部是． 故选：． 3.已知，为单位向量，且在上的投影向量为，则(     ) A. B. C. D. 【答案】C  解：，为单位向量，且在上的投影向量为， 则， 故， ． 故选：． 4.已知等比数列的前项和为，若，，则(     ) A. B. C. D. 【答案】B  【解答】解：是等比数列， ， ， ， ，即． 故选：． 5.在锐角中，，，的对边分别是，，则的范围是(     ) A. B. C. D. 【答案】A  【解答】 解：在锐角中，， 则，，， 可得，所以， 则，， 所以由正弦定理可知： ， 故选：． 6.我国元代瓷器元青花团菊花纹小盏如图所示，撇口，深弧壁，圈足微微外撇，底心有一小乳突器身施白釉，以青花为装饰，釉质润泽，底足露胎，胎质致密碗内口沿饰有一周回纹，内底心书有一文字，碗外壁绘有一周缠枝团菊纹，下笔流畅，纹饰洒脱该元青花团菊花纹小盏口径厘米，底径厘米，高厘米，它的形状可近似看作圆台，则其侧面积约为单位：平方厘米附：(     ) A. B. C. D. 【答案】B  【解答】 解：设该圆台的上底面、下底面的半径分别为，， 若当，时， 则圆台的母线长， 所以其侧面积为， 若当，时， 则圆台的母线长， 所以其侧面积为， 所以其侧面积满足． 故选：． 7.设函数，若的图象经过点，且在上恰有个零点，则实数的取值范围是(     ) A. B. C. D. 【答案】B  解：由题意，可得， 又， 可得， 所以， 由，可得， 由题意在上恰有个零点， 可得， 解得，即实数的取值范围是． 故选：． 8.已知函数的定义域为，且，为奇函数，，则(     ) A. B. C. D. 【答案】A  【解答】 解：因为， 所以， 所以， 所以的周期为， 因为为奇函数， 所以 令，由得， 所以， 中令，得， 所以， 令，得， 所以， 综上， ， ， ，， 所以 ， 由函数的周期性得， ． 故选：． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.已知两个变量与对应关系如下表： 若与满足一元线性回归模型，且经验回归方程为，则(     ) A. 与正相关 B. C. 样本数据的第百分位数为 D. 各组数据的残差和为 【答案】AD  【解答】 解：由经验回归方程为可得，所以与正相关，故A正确； ，， 代入，可得，解得，故B错误； ，所以样本数据的第百分位数为，故C错误； 各组数据的残差和为，故D正确． 10.如图，在正三棱柱中，，点在底面内，，，，分别为棱，，，的中点，则下列结论正确的是(     ) A. 直线与所成角的余弦值为 B. 若，则点的轨迹长度为 C. 若，则 D. 过，，三点的平面将三棱柱分成两部分的体积之比为或 【答案】ABD  【解答】 解：如图， 对于，以线段中点为坐标原点建立空间直角坐标系， 易得，， ，， 直线与所成角的余弦值为，故A正确 对于，连接，则， 点的轨迹是以点为圆心，半径为的在内的一段圆弧， 点的轨迹长度为，故B正确 对于，， ， ，，故C不正确 对于，设平面与交于点， 则易知点是的中点， 设点是的中点，连接，， 则三棱柱被截面分成的下面部分的几何体 为三棱柱和三棱台， 该部分几何的体积为， 三棱柱被截面分成的上面部分的几何体的 体积为， 过，，三点的平面将三棱柱分成两部分的 体积之比为或，故D正确． 故选ABD． 11.已知、分别是双曲线：的左右焦点，点是圆：上的动点，下列说法正确的是(     ) A. 三角形的周长是 B. 若双曲线与双曲线有相同的渐近线，且双曲线的焦距为，则双曲线为 C. 若，则的位置不唯一 D. 若是双曲线左支上一动点，则的最小值是 【答案】ACD  【解答】 解：对于，对于双曲线，可化简为，由， 所以左右焦点为，，， 圆的圆心，半径为． 所以， ， 故三角形的周长为，故A正确 对于，由双曲线的渐近线为， 设双曲线的方程为， 又双曲线的焦距为，所以 当时，，即 当时，，即；故B错误 对于，若，那么点是以，为左右焦点，且长轴为的椭圆与圆的交点， 即点是椭圆与圆的交点， 在一个直角坐标系下画出椭圆与圆的图像，如图所示： 可以看到椭圆与圆有个交点，则的位置不唯一，C正确 对于，若是双曲线左支上一动点，由双曲线的定义可得， 所以，， 又，当且仅当，，三点共线时，且在的下方时，等号成立． 所以，故D正确，故选ACD． 故答案为：． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.的展开式中的系数为_________． 【答案】  【解析】【分析】 本题主要考查了二项展开式的特定项与特定项的系数，属于基础题． 首先得出二项展开式的通项，令即可得出结果． 【解答】 解：展开式的通项为， 令，解得， 此时的系数为， 故答案为． 13.一个点从数轴的原点开始运动，通过投掷骰子决定运动方向：若出现，面之一时，向负方向移动个单位若出现，，，面之一时，向正方向移动个单位投掷次骰子，该点位置的平均值为_________．投掷次骰子后，概率大于的点的位置存在的最小区间为_________． 【答案】  【解析】【分析】 本题考查独立重复试验概率的计算，属于中档题． 操作一次后，向正方向移动个单位的概率是，向负方向移动个单位的概率是，进而可求操作一次，位置的平均值；设次操作中，向正的方向移动了次，且作为点的位置坐标，则，所以，进而可得结论． 【解答】 解：操作一次后向正方向移动个单位的概率是，向负方向移动个单位的概率是． 操作一次位置的平均值是 设次操作中，向正的方向移动了次且作为点的位置坐标则， 所以． 要使， 即求满足的，且使为最小即可． 则由，可知． 因为， ， 即， 因此， 所以，，即点存在的最小区间为故答案为：． 14.如图，圆形纸片的圆心为，半径为，该纸片上的正边形的中心为．，，，，为圆上的点，，，，，分别是以，，，，为底边的等腰三角形沿虚线剪开后，分别以，，，，为折痕折起，，，，，使得，，，，重合，得到棱锥当正边形的边长变化，所得棱锥体积单位：取得最大值时，圆心到的距离为________． 【答案】  【解答】 解：连接，交于点，设， 则正数要满足， 的范围需要满足的条件有：正边长不能超过圆内接正边形的边长，个等腰三角形折叠后个顶点要重合，即 ， 所以 ， 当且仅当，即时等号成立， 此时． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题分 甲同学计划去参观某景点，但门票需在网上预约该同学从第一天开始，每天在规定的预约时间段开始预约，若预约成功，便停止预约若连续预约三天都没成功，则放弃预约假设该同学每天预约门票成功的概率均为， 求甲同学到第三天才预约成功的概率 记为甲同学预约门票的天数，求的分布列和期望． 【答案】解：设“甲同学到第三天才预约成功”为事件， 则 因为为甲同学预约门票的天数， 所以的取值可以是，， 则， ， ， 所以的分分布列为 期望．  16.本小题分 已知函数． 当时，求曲线在点处的切线方程 当时，求函数的单调区间． 【答案】解：当时，，． ，切线斜率， 则曲线在点处的切线方程为，即． ， 当时，令，则或，令，则， 所以在区间，上单调递增，在区间上单调递减，在区间上单调递增． 当时，令，则或，令，则， 所以在区间，上单调递增，在区间上单调递减，在区间上单调递增．  17.本小题分 如图，在平行六面体中，，，且，设与的交于点． 证明：平面 若，且，求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】证明：，底面是边长为的菱形，， ，，， 平面， 平面， ， ，，，，， 点为线段中点，， ，，都在平面上，平面； 解：由以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系， 则，，，，有，， 设平面的法向量，则，令， 解得其中一个法向量． 从而，， 即直线与平面所成角的正弦值为．  18.本小题分 已知双曲线的右焦点为，渐近线方程为． 求双曲线的方程； 设直线与双曲线、圆：相切，切点分别为，，与渐近线相交于，两点． 证明：为定值； 若，求直线的方程． 【答案】解：因为双曲线的右焦点为，渐近线方程为， 所以， 解得， 则双曲线的标准方程为； 证明：当与轴垂直时，直线的方程为， 可得，， 此时； 当直线与轴不垂直时， 设直线的方程为，，，，， 联立，消去并整理得， 此时且， 解得， 易知，， 联立，消去并整理得， 由韦达定理得，， 所以 ， 因为， 所以， 综上所述，； 因为直线与圆相切， 所以， 设直线为：， 联立， 解得 易知， 所以， 又， 所以， 所以，． 则直线的方程为．  19.本小题分 对于数列，规定为数列的一阶差分数列，其中，规定为数列的二阶差分数列，其中 数列的通项公式为，试判断数列，是否为等差数列请说明理由． 正项等比数列的公比为，对于任意的，都存在，使得，求的值 设，为数列的一阶差分数列，令，其中，证明： 【答案】解： ，， 所以不是等差数列 ， 则， 所以是首项为，公差为的等差数列． 由题意， 又，， 即 ，，则 若，即， 解得，舍去 即当时，，， 当时，则， 对，不存在， 综上所述， 所以，， 从而， 从而， 所以，   1 学科网（北京）股份有限公司 $$