山西省晋城市2024-2025学年高三上学期第一次模拟考试（期末）数学试题

试卷类型：A卷 2025年高三第一次模拟考试试题 数 学 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂 黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在 答题卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4.本试卷主要考试内容：高考全部范围。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的. 1.若复数x=二则x的共轭复数为 A-动动 c品-动 n品+品 2.已知集合A={-3,-23w5,3},B={x|x￠Z且x2∈Z,则A∩B的元素个数为 A.1 B.2 C.3 D.4 3.若向量a=(2,lgm),b=(一4，一6)，且a仍，则m= A.1000 B10寸 C.100√10 D.100 4.若甲、乙、丙、丁、戊随机站成一排，则甲、乙不同时站两端的概率为 A号 & c号 号 5.若函数f(x)=ax3一x2+a在[一6，一4幻上单调递减，则a的取值范围为 A[-日+∞) B(-,-] c[-g+∞) D.(-o,-] 6.已知f(x)为定义在R上的奇函数，f(1)=f(4)=0,当0<x<2时，f(x)单调递减，当x>2 时，x)单调道增，则不等式0的解集为 A(-∞，-1]U[0,3]U[4,+∞) B.[-4,-1]U(0,1]U(3,4] 【高三数学第1页（共4页）】 .(-∞，-4]U[-1,1]U(3,+o∞) D.[-4,-1]U[0,1]U(3,4] 1已知双商线C号- =1(a>0,b>0)的左，右焦点分别为F,F2,P为C的右支上一点， ∠PF,F,=20°，∠F,PF,=60°，则C的离心率为 A.3 √3 √3 sin 40" B.2sin 40' cos 40 D.2cos 40" 设maxa,b,c,d)表示a,b,c,d中最大的数.已知x,y均为正数，则max4r,y,云，y 最小值为 A是 B.2 c D.3 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.已知曲线C:a.x2+by2=(b+1)x十ay(a,b∈R),则 A.曲线C不可能是一个圆 B.曲线C可能为一条直线 C当a=0且b(6+1)≠0时，曲线C的准线方程为x=-b+ 46 D.当a≠0，b=0时，曲线C关于直线x=一 对称 10.已知函数f(x)=sin(2x-),g(x)=2tan(x-牙)，则 A.f(x)与g(x)的最小正周期相等 B当ga)=f()时，ana=号 C.f(x)与g(x)的图象在(0，π)上有2个交点 D.f(x)与g(x)在(x,）上的单调性相同 11.已知正n(n≥3)棱锥的体积为16√3π，则其侧棱长可能为 A.5 B.6 C.7 D.8 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.若a,b,c为锐角三角形的三条边，则直线ax十by十c=0与圆x2+y2=1的位置关系是 13.已知一组数据1,1,2,3，m,2m,1的第60百分位数为2，其中m∈N”,则这组数据的极差为 14.如图，现有一个半球形容器（有盖），其表面积为300π平方分米，忽略容器 的厚度，若在该容器内放人两个半径均为”分米的球，则”的最大值为 ▲（结果精确到0.1）. 【高三数学第2页（共4页）】 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(13分) 在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，且AB⊥PD. (1)证明：平面PAD⊥底面ABCD. (2)若PA⊥AD,AB=PA=3,AD=6,P币=3E,求直线CE与平面PBC所成角的正弦值 16.(15分) 设函数f(x)=ax2+ln(x+1) (1)当a=一时，求曲线y=f(x)在点(0，f(0)处的切线方程： (2)当a>0时，讨论f(x)的单调性 17.(15分) 甲、乙、丙3人进行跳棋比赛，3人两两各进行1局，共进行3局，赢的局数多者获胜，且这3 人只有1人可获胜，若没有获胜者，则这3人两两再各进行1局，若还没有获胜者，则比赛结 束.假设甲，乙，丙每人每局赢的概率均为了，每局是平局的概率均为了，每人每局的结果相 互独立.设每赢1局得2分，平1局得1分，输1局得0分. (1)求该跳棋比赛前3局没有获胜者且乙和丙的得分相等的概率： (2)已知前3局中甲、乙、丙各赢1局，这3人两两再各进行1局，记甲在这6局中获得的总 分为X,求X的分布列与数学期望 【高三数学第3页（共4页）】 18.(17分) 若数列{X,十Y.)是等差数列，则称{X,)与Y.}互为和等差数列.已知S,为数列(a,}的前 n项和. 1)若a,=/2n=1, 2n-2+2,m≥2.6=一2一n+2,试间15.与b,}是否互为和等差数列？ 说明你的理由。 (2)设(b}为等比数列.S,=2a,+n,且{a,}与{b.}互为和等差数列. ①求{b.}的通项公式： ②设c,=a!-b,求数列(c,}的前n项和T. 19.(17分) 已知椭圆C:后+号-1a>3)的离心率为名，A(-4.0.B1.,0过定点D4以，)的直 线I与C交于M,N两点，直线l的斜率不为0. (1)求C的长轴长， (2)若xo=4,yo=0,证明：直线BM,BN的斜率之和为定值. (3)若x=号，=2，设直线AM,AN分别交C于P,Q(都异于M,N)两点，且L的斜率存 在，证明直线PQ过定点，并求出定点坐标， 【高三数学第4页（共4页）】 2025年高三第一次模拟考试试题 数学参考答案 1.A【解析】本题考查复数的运算与共轭复数，考查数学运算的核心素养。 因为”而-所以：=晶高 ii(1+7i) 2.C【解析】本题考查集合的交集，考查数学运算的核心素养. 依题意可得A∩B={一√2,3,5}.则A∩B的元索个数为3. 3.A【解析】本题考查平面向量的平行与对数的运算，考查数学运算的核心素养。 因为a%,所以2×（一6）=一4lgm,lgm=3,则m=103=1000. 4,B【解析】本题考查排列组合与古典概型的实际应用，考查应用意识。 因为甲、乙同时站两端的概率为是=。所以甲、乙不同时站两端的概率为1一。一。， 5.D【解析】本题考查导数在研究函数单调性上的应用，考查逻辑推理的核心素养. 依圈意可得了a)=3ar-2<0对r∈[-6，一恒成立.则a≤忌对x∈[-6，-4恒成 立当x∈[一6，-4时，函数x)=忌为减函数.所以R=g(-40= 6,所以a≤ 6.D【解析】本题考查函数的奇偶性与不等式的解集，考查逻辑推 理与直观想象的核心素养 因为f(x)为定义在R上的奇函数，所以f(0)=0.又∫(1)= f(4)=0.所以f(一1)=f(一4)=0.根据题意作出f(x)的大致 图象如照所示号等价于 或 。由图可 得.x∈[-4.-1]U[0.1]U(3,4]. 7.B【解析】本题考查双曲线的离心率、正弦定理与三角恒等变换，考查直观想象与数学运算 的核心素养 依题意得∠PF,F=180°-20°-60°=10°，C的离心率为5=号 IF F2 a 2a PF-PF2 sin∠F,PFg sin60° sin60° sin∠PF.F1-sin∠PF,F2sinl00°-sin20°sin(60°+40)-sin(60°-40) sin 60 3 2cos60°sin402sin40- 8.D【解析】本题考查基本不等式，考查逻辑推理的核心素养， 【高三数学·参考答案第1页（共6页）】 设mx小号}=M.因为r为正数所以4r+}≥2，√r…=4.当且仅当- },即r=2时，等号成立则M>-2.因为y为正数所以y+号≥2√· 9 =6,当且仅 当y=号即y=3时等号成立，则M≥号=8所以M≥3则my号}的最小值 为3. 9.BC【解析】本题考查曲线方程，考查逻辑推理的核心素养， 取a=b=1,得2+y=2+y.即(-1)+(y-2)》'=号.A错误. 当a=h=0时.该方程为=0，B正确当a=0且66+1)≠0时y-牛，曲线C的准 线方程是x= ，C正确当a≠0，b-0时，该方程为u-+awy,即y=-=(: b+1 一六)》'-衣曲线C关于直线x=六对称.D钻误。 10.ABD【解析】本题考查三角函数的图象及其性质、三角恒等变换，考查直观想象、逻辑推理 与数学运算的核心素养。 ∫(x)与g(x)的最小正周期均为π，A正确.若g(a)= 21 f()=弓，则an(a-开)=子tana=tan(a-牙+开） 5 1~1 ,B正确.作出f()与g(x)在(0，）上的大 致图象，如图所示.由图可知，f(x)与g(x)的图象在(0，π)上只有1个交点，(.x)与g(.x) 在(x,）上均为增函数.C错误，D正确。 11.CD【解析】本题考查正n棱锥的体积与导数的应用，考查数学建模、直观想象与数学运算 的核心素养 设正”棱锥的侧棱长为：，底面正多边形的外接圆的半径为R,则0<R<a, 则正n棱锥的高h=√a一R,正n棱锥的底面多边形的面积S<πR, 所以正u校锥的休积V=S·A<兮RVa-R=名xV后R"-R,其中0<R<a, 令x=R2∈0a2).可得V<3xV0x-r 设函数f(r)=ax2-x3,x∈(0，a2),则f(r)=2a2x-3.r2=x(2a2-3.x）. 当r∈(o,2号)时了r)>0,)单测递增：当r∈（号a)时(x)<0r)单调递 【高三数学·参考答案第2页（共6页）】 成可知r-管)-等则v=16<有%-器解得>6 9√3 12.相交【解析】本题考查直线与圆的位置关系以及余弦定理，考查数学运算与逻辑推理的核 心素养 由题意可知a+b2一c2>0,则c<a2+b,圆x2+y2=1的圆心到直线a.x+by+c=0的 距离d=10+0+<1,所以直线ar+y+c=0与圆+y2=1相交， √a+丽 13.2或3【解析】本题考查统计中的百分位数与极差，考查数据处理能力. 将数据1.1,2,3,1按照从小到大的顺序排列为1,1,1,2,3，因为7×60%=4.2.且数据1.1， 2,3,m,2n,1的第60百分位数为2，所以m=1或2.当m=1时，这组数据的极差为3一1 =2:当川一2时.这组数据的极差为4一1一3.枚这组数据的极差为2或3. 14.4.1【解析】本题考查立体几何初步中的球体，考查直观想象与逻辑推理的核 心素养， 设半球形容器对应的半球的半径为R分米，则该容器的表面积为2π×R2十元 ×R2=300π平方分米，得R=10.根据对称性可知，当两个球外切且均与半球 相切（与球面相切，且与容器的盖所在平面相切）时，”取得最大值，这也相当于求半径为 10分米的四分之一个球的内切球，如图，由V2r+r=10,得r=10(√2一1)≈4.1. 15.(1)证明：因为底面ABCD为矩形，所以AB⊥AD, …1分 又AB⊥PD,AD∩PD=D.所以AB⊥平面PAD. …3分 因为ABC底面ABCD,所以平面PAD⊥底面ABCD.… …4分 (2)解：以A为坐标原点，AB,AD,A户的方向分别为xy,:轴 的正方向建立如图所示的空间直角坐标系.…5分 则P(0,0,3).B(3,0,0.C(3.6,0).E(0,4,1),…7分 则P3=(3.0.-3).BC=(0.6,0).CE=(-3.-2.1).… …8分 设平面PBC的法向量为n=(x,y,2), 则由n·BC=n·PB=0,得 6y=0, …10分 3.x-3:=0. 令x=1,得n=(1,0,1). 11分 因为cos(n,Ci)=n·C2 -2 12分 nCE1√2X14 7 、所以直线CE与平而PBC所成角的正弦值为？.· 13分 16.解：1)当a=-时)=-子r2+in(r+1),则()=- 2x1 十…1分 则曲线y=f(x)在点(0，f(0)处的切线斜率为f(0)=1,…2分 因为f(0)=0,所以曲线y=∫(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y=x,…4分 【高三数学·参考答案第3页（共6页）】 (2)f(.x)的定义域为（一1，十0∞）.…5分 当a>0时.f(x)=2ax+r中 12a.x2+2a.x+1 x+1 …6分 令g()=2ar2+2ar+1(>-1),则g(x)在(-1.-2]上单调递减，在(-2，+e∞)上 单调递增， 因此，g(x)的最小值为g(-）=-a十1.… …9分 当0a≤2时g()≥g(-号)≥0.则f)≥0.此时x)在(-1，+∞)上单调递增。 0766* 10分 当>2时，令g=0得=-2-应=-√-云>-1 …12分 Aa 当(-1.官-√云)时)>0)m调递增： 当(-言-√侣-云-宁+仔-云)时u0,)单调避诚： 当（一立+月一云+o时>0）单避.…分 综上，当0<a<2时，f(x)在(-1，+∞)上单调递增，当a>2时f(x)在(-1，-号 上单调递减. …15分 17.解：(1)依题意可得乙和丙不可能都得0分或1分，…1分 则乙和丙可能都得2分或3分，当乙和丙都得2分时，这3局均为平局或这3局每人各赢1 局；当乙和丙都得3分时，乙与丙都藏了甲且乙与丙的对局结果为平局 4分 所以该跳棋比赛前3局没有获胜者且乙和丙的得分相等的概率为（兮》”+（号） ×2+ ()=奇 7分 (2)依题意可得X的可能取值为6,5,4,3,2， …8分 P(X=6=(3)-号 64444444404440*4*45*05440…440414449分 P(X=5)=2x(g)-号， 10分 P(x=0=2x(号)广+()》°-3， 11分 P(X=3)=2x()》°=号 12分 【高三数学·参考答案第4页（共6页）】 PX=2)=()-日 13分 则X的分布列为 X 6 5 4 3 2 力 日 号 29 号 …14分 故E(X)=(6+2)×号+(6+3)×号+4X-4 …15分 18.解：(1)当n≥2时，Sn=2十(2+4十…+2n-2)十(2十…十2"-)…1分 =2+2+2m-2)0u-1)+21-2- 2 1-2 …2分 =2n十n2一n,… …3分 又S1=a1=2也满足Sn=2"+n2-n. 所以Sn=2十n2一。… …4分 因为Sn+b.=-n+2.且Sw+1+b+1-(Sn十bn)=-1. 所以(Sn}与{bn}互为和等差数列.… …5分 (2)因为Sn=2an十n,所以S1=2a1十1，得a1=一L.…6分 因为S4=2am+n,所以当n≥2时，aw=Sn一Sw-1=2a4一2aw-1十1， 即a=2W-l-1,…7分 所以an-1=2(aw-1-1),…8分 又a1一1=一2，所以数列{am一1}是首项为一2，公比为2的等比数列，…9分 所以an-1=-2X2"-1=-2",即4n=1-2”.… …10分 ①因为{a.〉与{b.}互为和等差数列，所以{1一2”+b.}为等差数列， 又{b}为等比数列，所以{bn}的通项公式为bn=2”.…11分 ②c.=(1-2")3-(2")3=1-3X2”+3X4”-2X8",…13分 14-2X8-81 故T,=n-3X1二2+3X4二4”1 1-8 …15分 =-号×81+41-3X21+m+9 7，…17分 19.1)解：因为箱圆C,号+苦-1a>3)的高心率为子.所以 3=2 …1分 解得以=，…2分 所以C的长轴长为2√a=4.… …3分 (2)证明：设直线l:x=my+4,M(x1y1),N(x2y2). (=my+4, 联立 买-3m十4y十24my十36=0…4分 3 【高三数学·参考答案第5页（共6页）】 则△=144(m2一4)>0，得m2>4,…5分 24m 36 y1+y2= 3m2+y1=3+ 6分 设直线BM,BN的斜率分别为k:,k: 72m 72m 则+：为+片》- (x1-1)(2-1) =0 所以直线BM,BN的斜率之和为定值0.… …8分 (3)解：设M(x1y1),N(xy:).P(x3y).Q(x4y4),A户=λAM,A=AN,A>0且 λ≠14>0且4≠1， 则-1=-41-4). 4 且〈 …9分 y=λy1: i+=. 4 3 得+a-+少+-2=(1+1-A3. 3 将-=-41-0代入得-，+)=1+与-，=-401-)联立. y,=λy1 ,=3-5 x=2-2 解得 同理可得 8年年行中行8年8中年导年车8年车中卡年4款 11分 35 35 1=22 r-2 2 又直线1过点（受2）则一 =1-2 4e000t+044e44et0tt44404004000404e0ee0e440 3 r:2 3 12分 x1-2 代人1=兰=片并化简可得受，-⅓)-48，-+3以-）=0.…13分 设直线PQ过定点E).则二兰=当二当 r-te r3-xo 代人数据并化简可得（号+，-）-2a,-,+2以-)=0.…15分 3 对比系数可得 +x 合=解得6=品=号 33 …16分 2 22% 则直线PQ过定点（一沿》， 17分 【高三数学·参考答案第6页（共6页）】