第3章　图形的平移与旋转 课件 2024-2025学年 北师大版数学八年级下册

第三章　图形的平移与旋转 4　简单的图案设计 1 知识点1　图案的形成 1. (2024福州福清期中)下列是某些大学校徽内部的图案.其中可以看成由一个基本图形通过平移形成的是(　C　) C 1 2 3 4 5 6 7 8 返回首页 2. 某公司的商业标志图案如图所示,该图案的外层可以看作是利用图形的 　旋转　设计的,内部可以看作是利用图形的 　轴对称　设计的,这样既形象又美观.(填“平移”“旋转”或“轴对称”)  旋转 轴对称 1 2 3 4 5 6 7 8 返回首页 3. 如图1,△ABC和△ADE都是等腰直角三角形,∠ACB和∠ADE都是直角,点C在AE上,将△ABC绕点A按逆时针方向旋转 　45　°,能够与△AED重合,再将图1作为“基本图形”绕着点A按逆时针方向连续旋转 　90　°后得到图2.  45 90 1 2 3 4 5 6 7 8 返回首页 知识点2　设计图案 4. 同学们利用图形变化设计图案,下列设计的图案中既是轴对称图形又是中心对称图形的是(　B　) B 1 2 3 4 5 6 7 8 返回首页 5. 利用对称性可以设计出美丽的图案.在边长为1的方格纸中,某四边形如图所示(顶点都在格点上). 1 2 3 4 5 6 7 8 返回首页 (1)先画出四边形关于直线l成轴对称的图形,再画出你所作的图形连同原四边形绕点O按顺时针方向旋转90°后的图形; 解:(1)所要画的图形如图所示. 解:(1)所要画的图形如图所示. (2)完成上述作图后,整个图案的面积等于 　20　.  20 1 2 3 4 5 6 7 8 返回首页 6. 某公司的商品标志图案如图所示.下列说法中,正确的有 　③④　. (填序号)  ③④ ①图案是按轴对称设计的; ②图案是按旋转设计的; ③图案的外层“S”是按旋转设计的; ④图案的内层“A”是按轴对称设计的. 1 2 3 4 5 6 7 8 返回首页 7. 某公司为了节约开支,购买了质量相同的两种颜色的残缺地砖,准备用来装修地面,现已加工成如图1所示的等腰直角三角形,小明同学设计了四种图案,如图2所示. 1 2 3 4 5 6 7 8 返回首页 (1)你喜欢哪种图案?并简述该图案的形成过程; 解:(1)答案不唯一,如:我喜欢图案④. 图案④的形成过程是:以同行或同列的两个小正方形组成的长方形为“基本图案”,绕大正方形的中心旋转180°得到. (2)请你利用学过的知识再设计一幅与上述不同的图案. 解:(2)如图所示(答案不唯一). 解:(1)答案不唯一,如:我喜欢图案④. 图案④的形成过程是:以同行或同列的两个小正方形组成的长方形为“基 本图案”,绕大正方形的中心旋转180°得到. 解:(2)如图所示(答案不唯一). 1 2 3 4 5 6 7 8 返回首页 8. 如图,在8×5的正方形网格中,每个小正方形的边长均为1,△ABC的三个顶点均在网格的格点上. (1)在图1中画△ABD(点D在网格的格点上),使△ABD的周长等于△ABC的周长,且以A,B,C,D为顶点的四边形是轴对称图形; 解:(1)要求画出的△ABD如图1所示.(答案不唯一) 解:(1)要求画出的△ABD如图1所示.(答案不唯一) 1 2 3 4 5 6 7 8 返回首页 (2)在图2中画△ABE(点E在网格的格点上),使△ABE的周长等于△ABC的周长,且以A,B,C,E为顶点的四边形是中心对称图形. 解:(2)要求画出的△ABE如图2所示.(答案不唯一) 解:(2)要求画出的△ABE如图2所示.(答案不唯一) 1 2 3 4 5 6 7 8 返回首页 $$第三章　图形的平移与旋转 1　图形的平移 第1课时　平移的概念与性质 1 知识点1　平移的概念 1. (2024福州期中)下列生活现象中,不是平移的是(　D　) A. 站在运行的电梯上的人 B. 拉开抽屉的运动 C. 坐在直线行驶的公交车上的乘客 D. 小亮荡秋千的运动 D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 返回首页 2. (2024龙岩上杭期中)现实世界中,平移现象无处不在,中国的方块字中有些也具有平移性,下列汉字可以看作由平移构成的是(　B　) A. 良 B. 朋 C. 益 D. 友 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 返回首页 知识点2　平移的性质 3. 将长度为10 cm的线段向下平移8 cm后,所得线段的长是(　C　) A. 2 cm B. 8 cm C. 10 cm D. 18 cm 4. (2024厦门模拟)如图,将△ABC沿射线AC的方向平移至△CDE,若AE＝6,则点B与点D之间的距离是 　3　.  C 3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 返回首页 5. 如图,在△ABC中,∠BAC＝70°,∠B＝45°,现将△ABC向右平移得到△DEF,其中A,D两点的距离为1,CE＝2.根据题意完成下列各题: (1)AC和DF的数量关系为 　AC＝DF　;AC和DF的位置关系为 　AC∥DF　.  (2)∠F＝ 　65　°.  (3)BF＝ 　4　.  AC＝DF AC∥DF 65 4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 返回首页 知识点3　平移作图 6. 如图,经过平移,△ABC的边AB移到了EF的位置. (1)指出平移的方向和平移的距离. 解:(1)如答图,连接AE. 平移的方向为点A到点E的方向,平移的距离为线段AE的长度. 解:(1)如答图,连接AE. 平移的方向为点A到点E的 方向,平移的距离为线段AE的长度. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 返回首页 (2)你有几种画法可以画出平移后的三角形?请简单描述. 解:(2)答案不唯一.例如: 作法1:如答图1,连接AE,BF,过点C作线段CG平行且等于AE,连接EG,FG,△EFG就是平移后的三角形. 解:(2)答案不唯一.例如: 作法1:如答图1,连接AE,BF,过点C作线段CG平行且等于 AE,连接EG,FG,△EFG就是平移后的三角形. 作法2:如答图2,过点E,F分别作EG∥AC,FG∥BC, EG和FG交于点 G,则△EFG即为所求. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 返回首页 7. (2024龙岩长汀期中)如图,△ABC沿着点B到点C的方向平移到△DEF的位置,∠B＝90°,AB＝6,DH＝4.若平移距离为7,则阴影部分的面积为(　C　) A. 12 B. 16 C. 28 D. 24 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 返回首页 8. (2024莆田城厢区期中)如图,将△ABC沿着某一方向平移一定的距离得到△DEF,有下列结论:①AD＝CF;②AC∥DF;③∠ABC＝∠DEF;④∠DAE＝∠AEB. 其中正确的有(　A　) A. ①②③④ B. ①②③ C. ①②④ D. ①② A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 返回首页 9. (2024三明期中)如图,在△ABC中,∠B＝80°,将AB沿射线BC的方向平移至A'B',连接AA',设A'B'与AC的交点为O. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 返回首页 (1)若B'为BC的中点,求证:△AOA'≌△COB'; (1)证明:∵A'B'由AB沿射线BC的方向平移所得, ∴AA'∥BB',AA'＝BB'. ∴∠OAA'＝∠C. ∵B'为BC的中点, ∴BB'＝CB'. ∴AA'＝CB'. 又∵∠AOA'＝∠COB', ∴△AOA'≌△COB'(AAS). (1)证明:∵A'B'由AB沿射线BC的方向平移所得, ∴AA'∥BB',AA'＝BB'. ∴∠OAA'＝∠C. ∵B'为BC的中点, ∴BB'＝CB'. ∴AA'＝CB'. 又∵∠AOA'＝∠COB', ∴△AOA'≌△COB'(AAS). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 返回首页 (2)若AC平分∠BAA',求∠C的度数. 解:(2)∵AC平分∠BAA', ∴∠BAC＝∠OAA'. 又∵∠OAA'＝∠C, ∴∠BAC＝∠C. ∵∠BAC＋∠C＋∠B＝180°,∠B＝80°, ∴∠C＝(180°－80°)÷2＝50°. 解:(2)∵AC平分∠BAA', ∴∠BAC＝∠OAA'. 又∵∠OAA'＝∠C, ∴∠BAC＝∠C. ∵∠BAC＋∠C＋∠B＝180°,∠B＝80°, ∴∠C＝(180°－80°)÷2＝50°. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 返回首页 10. 如图,在方格纸中,△ABC的顶点都在方格纸的格点上. (1)将△ABC平移后得到△A'B'C',图中已画出点B的对应点B',请补全△A'B'C'; 解:(1)如图,△A'B'C'即为所求. 解:(1)如图,△A'B'C'即为所求. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 返回首页 (2)画出△A'B'C'的高C'H以及中线A'D; 解:(2)如图,高C'H,中线A'D即为所求. (3)直接写出BB'和CC'的关系: 　BB'＝CC',BB'∥CC'　.  解:(2)如图,高C'H,中线A'D即为所求. BB'＝CC',BB'∥CC' 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 返回首页 $$第三章　图形的平移与旋转 1　图形的平移 第3课时　坐标系中的平移(2) 1 知识点1　沿x轴、y轴的两次平移 1. (2024三明三元区期中)将点A(－3,－1)先向右平移4个单位长度,再向上平移2个单位长度,得到点A',则点A'在(　A　) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 返回首页 2. 如图,△ABC三个顶点的坐标分别为A(－3,4),B(－4,1),C(－1,2),则△ABC是怎样平移到△A1B1C1的?(写出一种平移方法) 解:△ABC先向右平移6个单位长度,再向下平移3个单位长度得到△A1B1C1. 或△ABC先向下平移3个单位长度,再向右平移6个单位长度,得到△A1B1C1. 解:△ABC先向右平移6个单位长度,再向下 平移3个单位长度得到△A1B1C1. 或△ABC先向下平移3个单位长度,再向右平 移6个单位长度,得到△A1B1C1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 返回首页 3. 如图,在平面直角坐标系中,网格中的每个小正方形的边长都是1个单位长度,四边形ABCD的各个顶点都在格点上. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 返回首页 (1)将四边形ABCD先向右平移4个单位长度,再向上平移2个单位长度,请 画出平移后得到的图形; 解:(1)如图,四边形A'B'C'D'即为所求. 解:(1)如图,四边形A'B'C'D'即为所求. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 返回首页 (2)写出A,B,C,D四点平移后的对应点A',B',C',D'的坐标. 解:(2)A'(4,2),B'(0,6),C'(2,2),D'(1,1). 解:(2)A'(4,2),B'(0,6),C'(2,2),D'(1,1). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 返回首页 知识点2　斜方向的一次平移 4. 在平面直角坐标系中,已知A(－2,0),B(0,3),将线段AB平移后得到线段CD,点A,B的对应点分别是点C,D. 若点D的坐标为(4,0),则点C的坐标为(　B　) A. (2,－2) B. (2,－3) C. (1,－2) D. (1,－3) B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 返回首页 5. 如图,△ABC各顶点的坐标分别为A(－2,6),B(－3,2),C(0,3),将△ABC先向右平移4个单位长度,再向上平移3个单位长度,得到△DEF. (1)画出△DEF,并分别写出△DEF各顶点的坐标; 解:(1)△DEF如图所示, 解:(1)△DEF如图所示, 其各顶点的坐标分别为D(2,9),E(1,5),F(4,6). 其各顶点的坐标分别为D(2,9),E(1,5),F(4,6). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 返回首页 (2)如果将△DEF看成是由△ABC经过一次平移得到的,请指出平移方向和平移距离. 解:(2)如图,连接AD. 解:(2)如图,连接AD. 由图可知,AD＝ ＝5. ∴平移方向是由点A到点D的方向, 平移的距离是5个单位长度. 平移的距离是5个单位长度. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 返回首页 6. (2024福州鼓楼区期中)在平面直角坐标系中,线段AB两端点的坐标分别为A(1,0),B(2,1).将线段AB平移后,A,B的对应点分别是C,D,则C,D的坐标可以是(　B　) A. (1,－1),(0,－2) B. (1,1),(2,2) C. (2,0),(4,2) D. (3,2),(0,3) B 7. 将点P(－4,y)先向左平移2个单位长度,再向下平移3个单位长度后得到点Q(x,－1),则x＋y＝ 　－4　.  －4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 返回首页 8. (2024莆田月考)如图,已知A(－4,－1),B(－5,－4),C(－1,－3),△ABC经过平移得到△A'B'C',△ABC中任意一点P(x1,y1)平移后的对应点为P'(x1＋6,y1＋4). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 返回首页 (1)请在图中作出△A'B'C'; 解:(1)∵△ABC中任意一点P(x1,y1)平移后的对应点为 P'(x1＋6,y1＋4), ∴平移规律为向右平移6个单位长度,向上平移4个单位长度. 如图,△A'B'C'即为所求. 解:(1)∵△ABC中任意一点P(x1,y1)平移后的对应点为 P'(x1＋6,y1＋4), ∴平移规律为向右平移6个单位长度,向上平移4个单位长度. 如图,△A'B'C'即为所求. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 返回首页 (2)写出点A',B',C'的坐标; 解:(2)由图可得A'(2,3),B'(1,0),C'(5,1). 解:(2)由图可得A'(2,3),B'(1,0),C'(5,1). (3)求△A'B'C'的面积. 解:(3)S△A'B'C'＝4×3－ . 解:(3)S△A'B'C'＝4×3－ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 返回首页 9. (2024福州期末)如图,在平面直角坐标系中,正方形ABCD的顶点坐标分别为A(－1,2),B(－1,5),C(－4,5),D(－4,2),正方形ABCD经平移后得到正方形A1B1C1D1,点A的对应点为A1(4,－1). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 返回首页 (1)请在平面直角坐标系中画出正方形A1B1C1D1; 解:(1)如图所示,正方形A1B1C1D1为所求. 解:(1)如图所示,正方形A1B1C1D1为所求. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 返回首页 (2)若点P 在正方形A1B1C1D1内(不包含边界),求a的取值范围. 解:(2)∵点P 在正方形A1B1C1D1内(不包含边界), ∴ . 解:(2)∵点P 在正方形A1B1C1D1内(不包含边界), ∴ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 返回首页 $$第三章　图形的平移与旋转 综合与实践 1 1. 生活中,用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接,彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片,就是平面图形的镶嵌. (1)如图1,在平行四边形ABCD中,AB＝2,AD＝3,∠BAD＝60°,对图1进行切割平移,图2右侧的阴影部分可以看成是左侧阴影部分沿射线AD方向平移而成.请说出平移的距离,并说明理由.同理,再进行一次切割平移,可得图3,即图4可以看成由平行四边形经过两次切割平移而成. 1 2 返回首页 解:(1)平移的距离是3.理由如下: ∵图2右侧的阴影部分可以看成是左侧阴影部分沿射线AD方向平移而成的, ∴平移的距离就是AD的长. ∵AD＝3, ∴平移的距离是3. 解:(1)平移的距离是3.理由如下: ∵图2右侧的阴影部分可以看成是左侧阴影部分沿射线AD方向平移而 成的, ∴平移的距离就是AD的长. ∵AD＝3, ∴平移的距离是3. 1 2 返回首页 (2)我们可以用若干个如图4所示的图形,平面镶嵌成如图5的图形,则图5的面积是 　18 　.  18 1 2 返回首页 (3)小明家浴室装修,在墙中央留下了如图6所示的空白,经测量可以全部用边长为1的正三角形瓷砖镶嵌,如图7所示.小明调查后发现:一块边长为1的正三角形瓷砖的价格比一块边长为1的正六边形瓷砖的价格便宜40元;正三角形瓷砖与正六边形瓷砖各购买50片,共花了3 000元. 小明对比两种瓷砖的价格后发现:用若干块边长为1 的正三角形瓷砖和边长为1的正六边形瓷砖一起镶嵌 总费用会更少.按小明的想法,将空白处全部镶嵌完, 求购买瓷砖最少需要多少元. 1 2 返回首页 解:(3)设一块边长为1的正三角形瓷砖的价格为x元,则一块边长为1的正六边形瓷砖的价格为y元. 由题意,得 解:(3)设一块边长为1的正三角形瓷砖的价格为x元,则一块边长为1的正 六边形瓷砖的价格为y元. 由题意,得 解得 ∵每个边长为1的正六边形瓷砖的面积等于边长为1的正三角形瓷砖的面 积的6倍, 1 2 返回首页 一块边长为1的正六边形瓷砖的价格等于一块边长为1的正三角形瓷砖价 格的5倍, ∴用边长为1的正六边形瓷砖越多,费用就越少. 如图7,图中有黑点的正三角形部分用正三角形瓷砖,其余部分用正六边形 瓷砖时,用正六边形最多, ∴此时总费用最少. ∵正六边形8个,正三角形12个, ∴最少费用＝8×50＋12×10＝520(元). ∴此时总费用最少. ∵正六边形8个,正三角形12个, ∴最少费用＝8×50＋12×10＝520(元). 1 2 返回首页 2. 【阅读材料】 (1)如图1,等边三角形ABC内有一点P,若点P到顶点A,B,C的距离分别为3,4,5,求∠APB的度数. 1 2 返回首页 解:(1)∵△ACP'≌△ABP, ∴AP'＝AP＝3,CP'＝BP＝4,∠AP'C＝∠APB. 根据题意,知旋转角∠PAP'＝60°. ∴△APP'为等边三角形. ∴PP'＝AP＝3,∠AP'P＝60°. 根据勾股定理逆定理,可以证得 △PP'C为直角三角形,且∠PP'C＝90°, ∴∠APB＝∠AP'C＝∠AP'P＋∠PP'C＝60°＋90°＝150°. 解:(1)∵△ACP'≌△ABP, ∴AP'＝AP＝3,CP'＝BP＝4,∠AP'C＝∠APB. 根据题意,知旋转角∠PAP'＝60°. ∴△APP'为等边三角形. ∴PP'＝AP＝3,∠AP'P＝60°. 根据勾股定理逆定理,可以证得 △PP'C为直角三角形,且∠PP'C＝90°, ∴∠APB＝∠AP'C＝∠AP'P＋∠PP'C＝60°＋90°＝150°. 1 2 返回首页 【解决问题】 为了解决本题,我们可以将△ABP绕顶点A旋转到△ACP'处,此时△ACP'≌△ABP,这样就可以利用旋转变化,将三条线段PA,PB,PC转化到一个三角形中,从而求出∠APB的度数. 1 2 返回首页 【基本运用】 (2)请你利用第(1)题中的解题思想方法,回答下面的问题: 如图2,在△ABC中,∠CAB＝90°,AB＝AC,E,F为BC上的点且∠EAF＝45°. 求证:EF2＝BE2＋FC2. 1 2 返回首页 解:(2)如图2,把△ABE绕点A按逆时针方向旋转90°得到△ACE',连接E'F. 由旋转的性质,得 AE'＝AE,CE'＝BE,∠CAE'＝∠BAE,∠ACE'＝∠B, ∠EAE'＝90°. 解:(2)如图2,把△ABE绕点A按逆时针方向旋转90°得到△ACE',连接 E'F. 由旋转的性质,得 AE'＝AE,CE'＝BE,∠CAE'＝∠BAE,∠ACE'＝∠B, ∠EAE'＝90°. ∵∠EAF＝45°, ∴∠E'AF＝∠CAE'＋∠CAF＝∠BAE＋∠CAF＝∠BAC－∠EAF＝ 90°－45°＝45°. ∴∠EAF＝∠E'AF. 1 2 返回首页 ∵AE＝AE',∠EAF＝∠E'AF,AF＝AF, ∴△EAF≌△E'AF(SAS). ∴E'F＝EF. ∵∠CAB＝90°,AB＝AC, ∴∠B＝∠ACB＝45°. ∴∠E'CF＝45°＋45°＝90°. 根据勾股定理,得E'F2＝CE'2＋FC2, 即EF2＝BE2＋FC2. ∴∠E'CF＝45°＋45°＝90°. 根据勾股定理,得E'F2＝CE'2＋FC2, 即EF2＝BE2＋FC2. 1 2 返回首页 $$第三章　图形的平移与旋转 2　图形的旋转 第2课时　旋转作图 1 知识点1　旋转作图 1. 分析图①、图②、图④中阴影部分的分布规律,按此规律在图③中画出相应的阴影部分. 解:如图③,阴影部分即为所求作. 解:如图③,阴影部分即为所求作. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 返回首页 2. 按要求完成以下作图: (1)如图1,以点B为中心,把△ABC按顺时针方向旋转40°; 解:(1)如图1所示,△A'BC'即为所求作的三角形. 解:(1)如图1所示,△A'BC'即为所求作的三角形. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 返回首页 (2)如图2,以AC的中点O为中心,把△ABC旋转180°. 解:(2)如图2所示,△CDA即为所求作的三角形. 解:(2)如图2所示,△CDA即为所求作的三角形. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 返回首页 3. 如图,△ABC绕点O旋转后,顶点A的对应点为A',试确定旋转后的三角形. 解:如图所示,△A'B'C'即为所求作的三角形. 解:如图所示,△A'B'C'即为所求作的三角形. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 返回首页 知识点2　网格中的旋转作图 4. 如图,在正方形网格中,以点A为旋转中心,将△ABC按逆时针方向旋转90°,画出旋转后的△AB1C1. 解:如图所示,△AB1C1即为所求作的三角形. 解:如图所示,△AB1C1即为所求作的三角形. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 返回首页 5. 如图,在方格纸中按要求画图,并完成填空. (1)画出线段OA绕点O按顺时针方向旋转90°后得到的线段OB,连接AB; 解:(1)如图,OB,AB即为所作. 解:(1)如图,OB,AB即为所作. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 返回首页 (2)画出与△AOB关于直线OB对称的图形,点A的对称点是点C; 解:(2)如图,△COB即为所作. (3)填空:∠OCB的度数为 　45°　.  解:(2)如图,△COB即为所作. 45° 1 2 3 4 5 6 7 8 9 返回首页 6. 在平面直角坐标系中,已知点A(2,3),若将OA绕坐标原点O旋转90°到OA',则点A'的坐标是 　(－3,2)或(3,－2)　.  (－3,2)或(3,－2) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 返回首页 (1)在图1中先画出一个以格点P为顶点的等腰三角形PAB,再画出该三角形向右平移2个单位长度后的△P'A'B'. 7. 在4×4的方格纸中,请按下列要求画出格点三角形(顶点均在格点上). 解:(1)如图1,△PAB,△P'A'B'即为所求(答案不唯一); 解:(1)如图1,△PAB,△P'A'B'即为所求(答案不唯一); 1 2 3 4 5 6 7 8 9 返回首页 (2)将图2中的格点△ABC绕点C按顺时针方向旋转90°,画出旋转后的△A'B'C. 解:(2)如图2,△A'B'C即为所求. 解:(2)如图2,△A'B'C即为所求. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 返回首页 8. 如图,分别在网格中画出△ABC绕点O按逆时针方向旋转90°和180°后的△A1B1C1和△A2B2C2. 解:如图,△A1B1C1是△ABC绕点O按逆时针方向旋转90°后得到的图形; △A2B2C2是△ABC绕点O按逆时针方向旋转180°后得到的图形. 解:如图,△A1B1C1是△ABC绕点O按逆时针 方向旋转90°后得到的图形; △A2B2C2是△ABC绕点O按逆时针方向旋转180°后 得到的图形. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 返回首页 9. (2024厦门海沧区期末)如图,在△ABC中,AB＝AC,CD＝CB. (1)尺规作图:将△ABD绕点B按顺时针方向旋转α(0°<α<90°)得到△EBF,使得点A的对应点E在BC的延长线上(保留作图痕迹,不写作法); 解:(1)如图,△EBF为所作. 解:(1)如图,△EBF为所作. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 返回首页 (2)在(1)的条件下,连接CF,判断点F与直线AC的位置关系,并说明理由. 解:(2)点F在直线AC上.理由如下: ∵△ABD绕点B按顺时针方向旋转α得到△EBF, ∴∠ABE＝∠DBF＝α,BD＝BF. ∴∠BDF＝ (180°－∠DBF) ＝ ×(180°－α) ＝90°－ α. ∵AB＝AC, 解:(2)点F在直线AC上.理由如下: ∵△ABD绕点B按顺时针方向旋转α得到△EBF, ∴∠ABE＝∠DBF＝α,BD＝BF. ∴∠BDF＝ (180°－∠DBF) ＝ ×(180°－α) ＝90°－ α. ∵AB＝AC, 1 2 3 4 5 6 7 8 9 返回首页 ∴∠ACB＝∠ABC＝α. ∵CD＝CB, ∴∠CDB＝ (180°－∠ACB) ＝ ×(180°－α) ＝90°－ α. ∴∠CDB＝∠BDF. ∴F,C,D三点共线. 即点F在直线AC上. ∴∠ACB＝∠ABC＝α. ∵CD＝CB, ∴∠CDB＝ (180°－∠ACB) ＝ ×(180°－α) ＝90°－ α. ∴∠CDB＝∠BDF. ∴F,C,D三点共线. 即点F在直线AC上. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 返回首页 $$第三章　图形的平移与旋转 3　中心对称 1 知识点1　中心对称 1. 如图,在4组图形中,左边图形与右边图形不成中心对称的一组是(　　) 2. (2024福州期末)在平面直角坐标系中,点P(－4,－1)关于原点中心对称的点的坐标是 　(4,1)　.  D (4,1) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 返回首页 3. 如图,在方格中,每个小正方形的边长都为1,△ABC的顶点均在格点上.在建立平面直角坐标系后,点B的坐标为(－1,2).以原点O为对称中心,画出与△ABC关于原点O对称的△A2B2C2,并写出点B2的坐标. 解:如图所示,△A2B2C2即为所求. 由图可得,点B2的坐标为(1,－2). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 返回首页 4. 如图,△ABC与△DEC关于点C成中心对称,若AC＝1,AB＝2,∠BAC＝90°,求AE的长. 解:∵△ABC与△DEC关于点C成中心对称, ∴△ABC≌△DEC. ∴AB＝DE,AC＝DC,∠CAB＝∠CDE. ∵AC＝1,AB＝2,∠BAC＝90°, ∴∠CDE＝90°,DE＝2,DC＝1. ∴AD＝2. ∴在Rt△ADE中,AE＝ . ∴AE的长为2 . 解:∵△ABC与△DEC关于点C成中心对称, ∴△ABC≌△DEC. ∴AB＝DE,AC＝DC,∠CAB＝∠CDE. ∵AC＝1,AB＝2,∠BAC＝90°, ∴∠CDE＝90°,DE＝2,DC＝1. ∴AD＝2. ∴在Rt△ADE中,AE＝ . ∴AE的长为2 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 返回首页 知识点2　中心对称图形 5. (2024福州模拟)对称性揭示了自然的秩序与和谐,是数学之美的体现.在数学活动课中,同学们利用画图工具绘制出下列图形,其中是中心对称图形的是(　D　) D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 返回首页 6. 国家提倡推行生活垃圾分类,下列垃圾分类标志分别是厨余垃圾、有害垃圾、可回收物和其他垃圾,其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是(　B　) 7. 在你学过的几何图形中,既是轴对称图形又是中心对称图形的有 　圆、正方形(答案不唯一)　.(写出两个)  B 圆、 正方形(答案不唯一) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 返回首页 8. (2024厦门期末)如图,直线l是正方形ABCD的一条对称轴,直线l与AB,CD分别交于点M,N,连接AN,AN与BC的延长线相交于点P,连接BN. 下列三角形中,与△NCP成中心对称的是(　D　) A. △NCB B. △BMN C. △AMN D. △NDA D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 返回首页 9. 如图,△ABC与△A'B'C'关于某一个点成中心对称,点A,B的对称点分别为点A',B'.请用尺规作图的方法找出对称中心O,并把图形补充完整. 解:(1)连接BB'和AA',交于点O,则点O就是对称中心; 解:(1)连接BB'和AA',交于点O,则点O就是对称中心; (2)连接CO并延长至C',使CO＝C'O; (3)连接A'B',B'C',A'C',则△A'B'C'就是与△ABC关于点O成中心对称的 三角形. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 返回首页 10. 如图,方格纸中有三个点A,B,C,请按下列要求作一个四边形,使这三个点在这个四边形的边(包括顶点)上,且四边形的顶点均在方格的格点上. (1)在图1中作出符合条件的四边形,使它是中心对称图形但不是轴对称图形; (2)在图2中作出符合条件的四边形,使它是轴对称图形但不是中心对称图形; (3)在图3中作出符合条件的四边形,使它既是轴对称图形又是中心对称图形. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 解:(3)所画图形如图所示.(答案不唯一) 返回首页 11. 知识背景:过中心对称图形的对称中心的任意一条直线都将其分成全等的两个部分. (1)如图1,直线m经过平行四边形ABCD对角线的交点O,则S四边形AEFB  　＝　S四边形DEFC(填“>”“<”或“＝”);  ＝ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 返回首页 (2)两个正方形的摆放位置如图2所示,点O为小正方形对角线的交点,求作一条过点O的直线将整个图形分成面积相等的两部分; 解:(2)所要作的直线如图2所示. 解:(2)所要作的直线如图2所示. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 返回首页 (3)八个大小相同的正方形的摆放位置如图3所示,求作一条直线将整个图形分成面积相等的两部分(用三种方法分割). 解:(3)所要作的直线如图3所示. 解:(3)所要作的直线如图3所示. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 返回首页 $$第三章　图形的平移与旋转 章末复习　图形的平移与旋转 1 考点1　图形的平移 1. (2024龙岩长汀期中)下列图案中,能由如图所示的图案通过平移得到的是(　D　) D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 返回首页 2. (2024三明期末)把点M(－2,4)向下平移3个单位长度得到的点的坐标是(　C　) A. (1,4) B. (－5,4) C. (－2,1) D. (－2,7) C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 返回首页 3. 如图,将△ABC沿点B到点C的方向平移后得到△DEF,已知BC＝5,EC＝2,则平移的距离是(　C　) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 返回首页 4. (2024福州福清期中)如图,将△ABC的边AB沿点A到点C的方向平移到ED,ED交BC于点O,连接BD,BE. (1)若∠AEB＝70°,∠CBD＝60°,求∠EBC的大小; 解:(1)∵边AB沿点A到点C的方向平移到ED, ∴AC∥DB. ∴∠C＝∠CBD＝60°. ∵∠AEB＝∠C＋∠EBC, ∴∠EBC＝70°－60°＝10°. 解:(1)∵边AB沿点A到点C的方向平移到ED, ∴AC∥DB. ∴∠C＝∠CBD＝60°. ∵∠AEB＝∠C＋∠EBC, ∴∠EBC＝70°－60°＝10°. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 返回首页 (2)若AB＝7,BC＝8,AC＝3,边AB在平移的过程中,点E始终在边AC上(不与点A,点C重合),求△EOC与△BOD周长的和. 解:(2)∵AB＝ED,AE＝DB, ∴△EOC与△BOD周长的和 ＝CE＋CO＋EO＋OD＋OB＋DB ＝DE＋BC＋EC＋AE ＝AB＋BC＋AC＝7＋8＋3＝18. 解:(2)∵AB＝ED,AE＝DB, ∴△EOC与△BOD周长的和 ＝CE＋CO＋EO＋OD＋OB＋DB ＝DE＋BC＋EC＋AE ＝AB＋BC＋AC＝7＋8＋3＝18. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 返回首页 考点2　图形的旋转 5. (2024自贡)我国汉代数学家赵爽在他所著《勾股圆方图注》中,运用弦图(如图所示)巧妙地证明了勾股定理.“赵爽弦图”曾作为2002年第24届国际数学家大会的会徽图案.下列关于“赵爽弦图”说法正确的是(　B　) A. 是轴对称图形 B. 是中心对称图形 C. 既是轴对称图形又是中心对称图形 D. 既不是轴对称图形也不是中心对称图形 B 6. 若点A(4,m)关于原点的对称点是B(－4,－2),则m的值是 　2　.  2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 返回首页 7. 如图,网格中小正方形的边长为1,△ABC的三个顶点和点O都在格点上.画出将△ABC绕点O按顺时针方向旋转90°后的△A1B1C1. 解:如图,△A1B1C1即为所求. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 返回首页 8. 如图,在Rt△ABC中,∠ACB＝90°,将△ABC绕点C按逆时针方向旋转,使点A落在AB边上的点D处,得到△DEC. (1)点B的对应点是点 　E　,BC的对应线段是 　EC　;  E EC (2)判断△ACD的形状; 解:(2)由旋转,得AC＝CD, ∴△ACD是等腰三角形. 解:(2)由旋转,得AC＝CD, ∴△ACD是等腰三角形. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 返回首页 (3)若AD＝CD,求∠B和∠BCE的度数. 解:(3)∵AC＝DC,AD＝CD, ∴AD＝DC＝AC. ∴△ACD是等边三角形. ∴∠A＝∠ACD＝60°. ∵∠ACB＝90°, ∴∠B＝90°－60°＝30°. 由旋转,得∠BCE＝∠ACD. ∴∠BCE＝60°. 解:(3)∵AC＝DC,AD＝CD, ∴AD＝DC＝AC. ∴△ACD是等边三角形. ∴∠A＝∠ACD＝60°. ∵∠ACB＝90°, ∴∠B＝90°－60°＝30°. 由旋转,得∠BCE＝∠ACD. ∴∠BCE＝60°. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 返回首页 9. (2024北京改编)已知∠MAN＝α(0°<α<45°),点B,C分别在射线AN,AM上,将线段BC绕点B按顺时针方向旋转180°－2α得到线段BD,过点D作AN的垂线交射线AM于点E. 如图,当点D在射线AN上时,求证:点C是AE的中点. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 返回首页 证明:如图,连接CD,根据题意,得BC＝BD,∠CBD＝180°－2α, ∴∠BDC＝∠BCD. 证明:如图,连接CD,根据题意,得BC＝BD,∠CBD＝180°－2α, ∴∠BDC＝∠BCD. ∵∠BDC＋∠BCD＋∠CBD＝180°, ∴∠BDC＝ ＝α. ∴∠BDC＝∠A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 返回首页 ∴CA＝CD. ∵ED⊥AN, ∴∠1＋∠A＝∠2＋∠BDC＝90°. ∴∠1＝∠2. ∴CD＝CE. ∴CA＝CE. ∴点C是AE的中点. ∴CA＝CD. ∵ED⊥AN, ∴∠1＋∠A＝∠2＋∠BDC＝90°. ∴∠1＝∠2. ∴CD＝CE. ∴CA＝CE. ∴点C是AE的中点. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 返回首页 考点3　图案设计 10. 由4个全等的正方形组成的L形图案如图所示,请按下列要求设计图案: (1)在图中添加1个正方形,使它成为轴对称图形但不是中心对称图形; 解:(1)设计好的图案如答图1所示(答案不唯一). 解:(1)设计好的图案如答图1所示(答案不唯一). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 返回首页 (2)在图中添加1个正方形,使它成为中心对称图形但不是轴对称图形; 解:(2)设计好的图案如答图2所示. (3)在图中改变1个正方形的位置,从而得到一个新图形,使它既是中心对称图形,又是轴对称图形. 解:(3)设计好的图案如答图3所示(答案不唯一). 解:(2)设计好的图案如答图2所示. 解:(3)设计好的图案如答图3所示(答案不唯一). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 返回首页 $$第三章　图形的平移与旋转 1　图形的平移 第2课时　坐标系中的平移(1) 1 知识点1　沿x轴左右平移 1. 在平面直角坐标系中,点(－1,2)向右平移3个单位长度得到的点的坐标是(　B　) A. (－3,2) B. (2,2) C. (－1,2) D. (－1,2) B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 返回首页 2. 一个四边形各顶点的纵坐标保持不变,若横坐标减5,则这个四边形的移动情况正确的是(　B　) A. 向右平移5个单位长度 B. 向左平移5个单位长度 C. 向上平移5个单位长度 D. 向下平移5个单位长度 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 返回首页 3. (2024福州期中)如图,△OAB的顶点B的坐标为(5,0),把△OAB沿x轴向右平移得到△CDE. 如果CB＝2,那么OE的长为 　8　.  8 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 返回首页 4. 在边长为1的小正方形网格中,△AOB的顶点均在格点上,以点O为原点建立平面直角坐标系,如图所示. (1)将△AOB向左平移3个单位长度得到△A1O1B1,请画出△A1O1B1; 解:(1)如图,△A1O1B1即为所求. (2)在(1)的条件下,A1的坐标为 　(－2,3)　.  (－2,3) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 返回首页 5. 如图,△ABC的顶点坐标分别为A(－2,3),B(－3,0),C(－1,－1).将△ABC平移后得到△A'B'C',且点A的对应点是A'(2,3),点B,C的对应点分别是B',C'. (1)点A,A'之间的距离是 　4　;  4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 返回首页 (2)请在图中画出△A'B'C'. 解:如图,△A'B'C'即为所求. 解:如图,△A'B'C'即为所求. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 返回首页 知识点2　沿y轴上下平移 6. (2024福州长乐区期中)在平面直角坐标系中,点M(4,6)向上平移3个 单位长度后的对应点M'的坐标是 　(4,9)　.  7. 在平面直角坐标系中,已知线段AB的两个端点分别是A(－4, －1),B(1,1),将线段AB平移后得到线段A'B',若点A'的坐标为(－4,－2), 则点B'的坐标为 　(1,0)　.  (4,9) (1,0) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 返回首页 (1)描出点(－1,0),(4,4),(2,0),(4,1),(4,－1),(2,0),(3,－2),(－1,0),并将各点用线段依次连接起来; 8. 如图,在平面直角坐标系中, 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 返回首页 (2)若将(1)中图形各点的横坐标不变,纵坐标分别加3,则坐标变为 　(－1,3),(4,7),(2,3),(4,4),(4,2),(2,3),(3,1),(－1,3)　,描出这些点,并将各点用线段依次连接起来;  (－ 1,3),(4,7),(2,3),(4,4),(4,2),(2,3),(3,1),(－1,3) (3)将(2)画出的图形与(1)画出的图形比较,发生了什么变化? 解:图形的形状,大小都没有改变,只是位置向上平移了3个单位长度. 解:图形的形状,大小都没有改变,只是位置向上平移了3个单位长度. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 返回首页 9. 将点A(n－2,3－n)向左平移3个单位长度后落在y轴上,则点A的坐标是 　(3,－2)　.  (3,－2) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 返回首页 (1)△ABC经过平移得到△A1B1C1时,写出点A1,B1,C1的坐标,并说明它是由△ABC如何变化而来的; 解:(1)A1(－3,5),B1(－5,4),C1(－1,4).它是由△ABC向上平移3个单位长度得到的. 解:(1)A1(－3,5),B1(－5,4),C1(－1,4).它是由△ABC向上平移3个单位长 度得到的. 10. △ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 返回首页 (2)△ABC经过平移得到△A2B2C2时,写出点A2,B2,C2的坐标,并说明它是由△ABC如何变化而来的; 解:(2)A2(3,2),B2(1,1),C2(5,1).它是由△ABC向右平移6个单位长度得到的. (3)△ABC经过平移得到△A3B3C3时,顶点A的对应点是A3(－3,－4),请写出点B3,C3的坐标. 解:(3)根据平移规律,得B3(－5,－5),C3(－1,－5). 解:(2)A2(3,2),B2(1,1),C2(5,1).它是由△ABC向右平移6个单位长度 得到的. 解:(3)根据平移规律,得B3(－5,－5),C3(－1,－5). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 返回首页 11. 已知点A,B在平面直角坐标系中的位置如图所示. (1)写出这两点坐标:A 　(－1,2)　,B 　(3,－2)　;  (－1,2) (3,－2) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 返回首页 (2)若将线段AB平移,点A平移到点A'的坐标为(0,－1),求此时点B平移后点B'的坐标. 解:把点A先向下平移3个单位长度, 再向右平移1个单位长度可以得到A'(0,－1). ∴点B(3,－2)先向下平移3个单位长度, 再向右平移1个单位长度可以得到B'(4,－5). 解:把点A先向下平移3个单位长度, 再向右平移1个单位长度可以得到A'(0,－1). ∴点B(3,－2)先向下平移3个单位长度, 再向右平移1个单位长度可以得到B'(4,－5). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 返回首页 12. 如图,点P(a－1,a)位于平面直角坐标系的第三象限.点P向上平移到第二象限得到点Q(2a＋1,1－a). (1)求a的值,并标出点Q. 解:(1)∵P(a－1,a)向上平移得到 点Q(2a＋1,1－a), ∴a－1＝2a＋1. 解:(1)∵P(a－1,a)向上平移得到 点Q(2a＋1,1－a), ∴a－1＝2a＋1. 解得a＝－2. ∴点Q(－3,3)在平面直角坐标系中的表示如图所示. 解得a＝－2. ∴点Q(－3,3)在平面直角坐标系中的表示如图所示. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 返回首页 (2)若点P沿坐标轴方向平移后得到点T(2,b).画出△PQT,请说明△PQT是等腰直角三角形. 解:(2)∵a＝－2, ∴点P(－3,－2). ∵点P沿坐标轴方向平移后得到点T(2,b), ∴PT＝5. ∵PQ＝5, ∴PT＝PQ. 解:(2)∵a＝－2, ∴点P(－3,－2). ∵点P沿坐标轴方向平移后得到点T(2,b), ∴PT＝5. ∵PQ＝5, ∴PT＝PQ. ∵PQ∥y轴,PT∥x轴, ∴∠QPT＝90°. ∴△PQT是等腰直角三角形. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 返回首页 $$第三章　图形的平移与旋转 2　图形的旋转 第1课时　旋转的概念与性质 1 知识点1　旋转的有关概念 1. 下列运动形式中,属于旋转的是(　D　) A. 火车车厢的直线运动 B. 冰球在冰面上滚动 C. 电梯的上下移动 D. 汽车方向盘的转动 D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 返回首页 2. (2024厦门模拟)如图,将△ABC绕点B按顺时针方向旋转至△DBE. 下列角中,是旋转角的是(　A　) A. ∠ABD B. ∠DBC C. ∠ABC D. ∠ABE A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 返回首页 3. 如图所示,△ABC为等边三角形,D为BC边上的一点,△ABD经过旋转后,到达△ACP的位置,旋转中心是点 　A　,旋转角度是 　60　,△ADP是 　等边　三角形.  A 60° 等边 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 返回首页 知识点2　旋转的性质 4. 如图,这个五角星绕中心点O至少旋转 　72　度才能和自身重合.  72 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 返回首页 5. 如图,将△ABC绕点A按顺时针方向旋转一定的角度得到△AB'C',使点B'恰好落在边AC上.若AB＝2,AC'＝5,则B'C的长为(　B　) A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 返回首页 6. (2024泉州惠安模拟)如图,将△ABC绕点A按逆时针方向旋转80°,得到△AB'C',若点B'在线段BC的延长线上,则∠BB'C'的大小为(　C　) A. 95° B. 98° C. 100° D. 102° C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 返回首页 7. 如图,△ABC按逆时针方向旋转一定角度后与△ADE重合,且点C在AD上. (1)旋转中心是点 　A　.  A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 返回首页 (2)若∠B＝21°,∠ACB＝26°,求出旋转角的度数. 解:(2)∵∠B＝21°,∠ACB＝26°, ∴∠BAC＝180°－21°－26°＝133°. ∴旋转角的度数为133°. (3)若AB＝5,CD＝3,则AE的长是多少?为什么? 解:(3)由旋转的性质,得AD＝AB＝5. 又∵CD＝3, ∴AC＝AD－CD＝2. ∴AE＝AC＝2. 解:(2)∵∠B＝21°,∠ACB＝26°, ∴∠BAC＝180°－21°－26°＝133°. ∴旋转角的度数为133°. 解:(3)由旋转的性质,得AD＝AB＝5. 又∵CD＝3, ∴AC＝AD－CD＝2. ∴AE＝AC＝2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 返回首页 8. 如图,在正方形网格中,阴影部分的两个图形是一个经过旋转变化得到另一个的,其旋转中心可能是(　B　) A. 点A B. 点B C. 点C D. 点D B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 返回首页 9. 如图所示,在正方形网格(1格长为1个单位长度)中,△ABC的顶点都在格点上,将△ABC绕点O按顺时针方向旋转得到△A'B'C',使各顶点仍在格点上,则其旋转角的度数是 　90°　.  90° 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 返回首页 10. 如图,在△ABC中,AB＝AC＝5,BC＝6,AD是△ABC的角平分线.把△ABD绕点A按逆时针方向旋转90°得到△AEF,若点B的对应点是点E,则点D与点F之间的距离是 　4 　.  4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 返回首页 11. 如图,在△ABC中,AB＝AC,∠BAC＝40°,将△ABC绕点A按逆时针方向旋转100°得到△ADE,连接BD,CE交于点F. (1)求证:△ABD≌△ACE; (1)证明:由旋转的性质,得 ∠BAD＝∠CAE,AB＝AD,AC＝AE. 又∵AB＝AC, ∴AB＝AC＝AD＝AE. ∴△ABD≌△ACE(SAS). (1)证明:由旋转的性质,得 ∠BAD＝∠CAE,AB＝AD,AC＝AE. 又∵AB＝AC, ∴AB＝AC＝AD＝AE. ∴△ABD≌△ACE(SAS). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 返回首页 (2)求∠ACE的度数. 解:(2)∵∠CAE＝100°,AC＝AE, ∴∠ACE＝∠AEC. ∴∠ACE＝ ×(180°－∠CAE)＝ ×(180°－100°)＝40°. 解:(2)∵∠CAE＝100°,AC＝AE, ∴∠ACE＝∠AEC. ∴∠ACE＝ ×(180°－∠CAE)＝ ×(180°－100°)＝40°. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 返回首页 12. 如图,在△ABC中,∠BAC＝90°,AB＝AC,点D和点E均在边BC上,且∠DAE＝45°. (1)把△ABD绕点A按顺时针方向旋转90°至△ACG,可使AB与AC重合,连接EG, 求证:△DAE≌△GAE; 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 返回首页 (1)证明:由旋转可知,△ABD≌△ACG, ∴AD＝AG,∠BAD＝∠CAG. ∵∠BAC＝90°,∠DAE＝45°, ∴∠BAD＋∠EAC＝∠CAG＋∠EAC＝90°－45°＝45°. ∴∠EAG＝45°. 又∵AE为△ADE和△AGE的公共边, ∴△DAE≌△GAE(SAS). (1)证明:由旋转可知,△ABD≌△ACG, ∴AD＝AG,∠BAD＝∠CAG. ∵∠BAC＝90°,∠DAE＝45°, ∴∠BAD＋∠EAC＝∠CAG＋∠EAC＝90°－45°＝45°. ∴∠EAG＝45°. 又∵AE为△ADE和△AGE的公共边, ∴△DAE≌△GAE(SAS). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 返回首页 (2)连接CG,试猜想BD,DE,EC应满足的数量关系(直接写结论,不需证明). 解:(2)DE2＝CE2＋BD2. 解:(2)DE2＝CE2＋BD2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 返回首页 $$